la matemática de las epidemias -...
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La matemLa matemáática de las tica de las epidemiasepidemias
Guillermo Guillermo AbramsonAbramsonGrupo de FGrupo de Fíísica Estadsica Estadíística,stica, Centro Centro AtAtóómicomico BarilocheBariloche yy
CONICETCONICETBarilocheBariloche, Argentina, Argentina
Hasta hace no muchas décadas, las enfermedades infecciosas tenían una presencia en la vida cotidiana mucho mayor que hoy en día. Esto era así aún en las regiones más favorecidas del mundo. La malaria, la difteria, la sífilis, la meningitis meningocóccica, y mucha, mucha tuberculosis. Gracias a los avances en antibióticos, vacunas, plomería, y sobre todo dinero, muchas de estas pestes ya casi no existen en las regiones más favorecidas del mundo, y en buena parte del subdesarrollo también. Cada tanto, sin embargo, la sombra de una vieja o de una nueva plaga aparece en el horizonte. En el pasado, desde épocas remotas, las epidemias han causado enorme sufrimiento a la Humanidad. Cada civilización sobrellevó sus plagas de la mejor manera que pudo, y éstas fueron forjando en alguna medida el curso de la Historia.
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Reseña de algunas epidemias históricas
• La Plaga de Atenas (430 AC)
• La Peste Negra (1347-1351)
• La Gran Plaga de Londres (1665-1666)
• La pandemia de SIDA (1981-)
• La Gripe Aviar (?)
La matemática de las epidemias
• Conceptos fundamentales
• Modelos
• El trabajo en nuestro Grupo
• Redes complejas, Hantavirus,...
PLAN DE LA CHARLA
Lo que les propongo esta noche es una revisión de algunas de las grandes epidemias de la Historia, repasando brevemente el impacto que causaron y la reacción que produjeron. En una segunda parte veremos algunos conceptos del estudio matemático de las epidemias, y un par de ejemplos de nuestras propias contribuciones en este campo.
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La Plaga de Atenas (430 AC)
Ya los antiguos griegos se encontraron con una epidemia devastadora. En algún sentido, condujo a la terminación del Siglo de Oro de Grecia, al poner fin al predominio de Atenas en la región. A principios de este año apareció una noticia curiosa referida a esta Plaga.
La plaga, que empezó en Etiopía y pasó a través de Egipto y Libia a Grecia entre el 430 y el 426 aC, cambió el equilibrio de poder entre Atenas y Esparta, acabando con la Edad de Oro de Pericles y la dominación ateniense del mundo antiguo. Se piensa que una tercera parte de los atenienses, incluyendo a su carismático líder Pericles, perecieron en la epidemia.
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Primera Guerra del Peloponeso (431-425 AC)
Pericles
(495 AC – 429 AC)
La guerra, de la cual esta es la primera fase, se libró entre Atenas y su imperio Egeo (la Liga de Delos), y Esparta que lideraba la Liga del Peloponeso. Atenas, que era la potencia indiscutible antes de la guerra (posición asumida después de la derrota de Persia), quedó finalmente reducida a una sujeción total. En la segunda fase, Esparta recibió el apoyo de Persia y destruyó la flota de Atenas. La guerra transformó completamente la Grecia antigua, que pasó de un liderazgo de la democrática Atenas a la oligocrática Esparta. Los costos económicos de la guerra fueron enormes, cundió la pobreza, y Grecia nunca recuperó la posición que tuvo antes en la cuenca del Mediterráneo.
Antes de la guerra, la política de Atenas estaba ligada a su lider Pericles.
Busto de Pericles (copia de Cresilas, British Museum)
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La Plaga de Atenas (430 AC)
Tucídides
Historiador de la Guerra del Peloponeso
“...el miedo a los dioses y a la ley del hombre no los contenía, pensaron que era lo mismo adorar o no a sus dioses ya que toda la gente moría; y en cuanto a la ley, no creían que nadie sobreviviera para juzgarlos.”
Mortalidad:1/3 de la población?1/3 de las tropas
Atenas acabó perdiendo la guerra y su hegemonía
¿Tifus o fiebre tifoidea?
Al sitiar el ejército de Esparta la ciudad, gran parte de la población rural de Atenas se refugió dentro de los muros de la ciudad. En la ciudad superpoblada un brote infeccioso se convirtió en una epidemia incontrolable. Los cadáveres se apilaban. El historiador Tucídides relata los hechos.Había tantos enfermos que no había gente sana suficiente para cuidarlos. Los sobrevivientes resultaban inmunizados, y se encargaban de los enfermos subsiguientes.Murió una tercera parte de la población, incluído Pericles, en un rebrote de 429 AC.Murieron tropas, y se hizo difícil conseguir mercenarios para una ciudad devastada por la plaga. Los espartanos incluso desistieron de una invasión de Atica para no entrar en contacto con un enemigo infectado.Fue tan devastadora que eventualmente contribuyó a la caída de Atenas.
Como la enfermedad afectaba por igual a piadosos y pecadores, la gente se sintió abandonada por los Dioses. Este sentimiento se ha repetido en todas las epidemias de la Humanidad. Los templos se convirtieron en refugios de la población desplazada, y fueron los lugares donde más golpeó la enfermedad. Los atenienses hasta interpretaron que los Dioses favorecían a Esparta. Tucídides se mantuvo escéptico de estas creencias, apegándose al valor de la observación de la epidemia como un fenómeno natural. Observó, por ejemplo, que los animales que devoraban cadáveres también enfermaban y morían.
A pesar de la detallada descripción de Tucídides, los investigadores no han estado de acuerdo en la identidad de la plaga, y varias enfermedades, incluyendo la peste bubónica, la viruela, el ántrax (carbunclo), y el sarampión, se han relacionado con el surgimiento y diseminación de esta epidemia. In 1999, the University of Maryland devoted their fifth annual medical conference, dedicated to notorious case histories, to the Plague of Athens. They concluded that disease was typhus (also called "louse-borne typhus"). The causative organism is Rickettsia prowazekii, transmitted by the human body louse (Pediculus humanus corporis).
A principios de 2006 una investigación basada en el estudio de restos de pulpa dental recuperada en un enterramiento masivo en el cementerio de Kerameikos señaló a la fiebre tifoidea como responsable. Según el estudio, llevado a cabo por la Universidad de Atenas, el ADN extraído es semejante al de la Salmonella entérica serotipo Typhi.
Other scientists have disputed the findings, citing serious methodologic flaws in the dental pulp-derived DNA study.
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La Peste Negra (1347-1351)
Una flota Genovesa, huyendo del sitio de Caffa, llegó al puerto de Messina trayendo la peste. La ciudad de Caffa (colonia genovesa con el monopolio del comercio en el Mar Negro) estaba siendo sitiada por tropas de la Horda Dorada (un estado mongol establecido hasta Europa oriental tras la desintegración del Imperio Mongol). El ejército estaba sufriendo la peste, que venía desde Asia central o más allá, y catapultaron los cadáveres por sobre las murallas, desatando la epidemia en la ciudad. Es el primer caso conocido de Guerra Bacteriológica.
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Propagación de la Peste Bubónica en Europa
Mortalidad
1/3 a 2/3 de la población de Europa25 millones de personas25% de los pueblos desaparecieron
Italia: 50% o más de la poblaciónInglaterra: 70% de la poblaciónHamburgo: 60% de la población
China: desde ~13302/3 de la población25 millones de personas (prov. de Hubei, 5 millones, el 90% de la población)
Los genoveses escaparon de Caffa, pero trajeron la peste con ellos. Al desembarcar en Sicilia comenzó la más devastadora epidemia que le tocó sufrir al continente europeo. Las ciudades grandes llevaron la peor parte, ya que la densidad de la población favorecía el contagio. Las ciudades, además, eran muy distintas de las ciudades de hoy en día (y hasta de las ciudades de la antigüedad), siendo enormemente mugrientas, infestadas de piojos, pulgas y ratas, muy susceptibles a las enfermedades relacionadas con la malnutrición y la falta de higiene.
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Representaciones artísticas de la época
Flagelantes Danza macabra
Doctor Pico
Bioseguridad Nivel 4
La epidemia tuvo consecuencias muy dramáticas para la sociedad, que resultóafectada en todos los niveles. Como en Atenas, el hecho de que la peste golpeara por igual a piadosos y pecadores erosionó el poder de la Iglesia predominante, la Católica. También resultó en la persecución indiscriminada de las minorías, a quienes se responzabilizaba de la epidemia: judíos, musulmanes, extranjeros en general, leprosos...En general, condujo a un cinismo y un descreimiento en la autoridad, ya que nadie, ni los sacerdotes, podían ni curar ni siquiera explicar la peste. Entre otras cosas, condujo a comportamientos religiosos que podrían decirse aberrantes, como los Flagelantes, que marchaban flagelándose públicamente sin detenerse más de un día en ningún lugar. La universalidad de la epidemia produjo una representación artística común hast hoy en día: la Danza Macabra. Es interesante también la vestimenta de los médicos, representada en muchas obras de la época. Es posible que haya sido relativamente efectiva en evitar el contagio por inhalación de partículas infectadas. El pico estaba relleno de hierbas y especias, cuyo efecto debía ser filtrar las “miasmas” que, se suponía, causaban la enfermedad. Absolutamente nadie relacionó la enfermedad con las ratas, y mucho menos con las pulgas.
Hubo también efectos económicos, ya que el efecto sobre la población y la mano de obra disponible, los precios, el poder político, la capacidad de aplicar justicia, el sistema feudal de servidumbre, así como sobre la urbanización y la posesión de los bienes, resultaron muy afectados. Eventualmente, los cambios condujeron al nacimiento del sistema capitalista y al Renacimiento.
Flagellants. From a fifteenth century woodcut.
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La Gran Plaga de Londres (1665-1666)
La peste bubónica no desapareció fácilmente. Uno de los rebrotes importantes fue la Gran Plaga de Londres, más de 200 años después, que se desató en 1665, aparentemente proviniente de Holanda.
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Mortalidad:
100 mil personas1/5 de la población de Londres
Primeros casos en el invierno de 1664-1665. En la primavera de 1665 escapó de control.
La Gran Plaga de Londres
Isaac Newton(1642-1727)
Woolsthorpe-by-Colsterworth
Un fenómeno curioso durante esta epidemia fue que la gente empezó a reaccionar de manera distinta de grandes epidemias anteriores. Por empezar, la gente no se amontonó en las ciudades. Quedó claro que el amontonamiento era perjudicial, y los que podían huyeron al campo. La nobleza así lo hizo, pero también mucha otra gente acomodada. Entre ellos el joven Isaac Newton, que obtuvo su grado en la Universidad de Cambridge en 1665, y como la Universidad cerró a causa de la Plaga, se fue a una casa de campo de su familia. Allí pasó 18 meses, lo que llamó su “año milagroso”, durante el cual inventó el cálculo y descubrió la gravitación, entre otros “milagros.”
Newton (nacido en 1642) tenía 23 años en 1665
En la epidemia de fiebre amarilla de Buenos Aires, en 1871, el foco estuvo en la zona Sur, en San Telmo, Barracas y el Riachuelo (donde estaban los saladeros), donde vivían los segmentos más ricos de la población. A raíz de la epidemia, se mudaron al Barrio Norte y dejaron sus propiedades abandonadas. Muchas se convirtieron en conventillos que alojaron a las masas de inmigrantes que comenzaban a llegar. El Cementerio del Sur se llenó y fue cerrado, y el de Recoleta también se llenó. Las autoridades de Buenos Aires hicieron un nuevo cementerio en Chacarita.
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John Graunt(1620-1674)
Los “Bills of Mortality” (1662)
Expectativa de vida en Londres: 27 años
65% morían antes de los 16 años de edad
El aspecto más interesante de la Gran Plaga de Londres, sin embargo, es que es la que marca el comienzo del estudio “científico” de las epidemias, un poco en medio del ambiente de cientificismo que empezaba a impregnar la cultura europea.
En 1662 John Graunt concibió la idea de llevar cuenta de las estadísticas vitales de la población mediante la publicación de Actas de Mortalidad (la natalidad quedaba registrada en las parroquias.
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Para 1665 se publicaban semanalmente. Los nombres de algunas de las causas de muerte son difíciles de entender.
Modern explanations for old disease namesChildbed--death of mother from infection following childbirth; puerperal fever Chrisomes--death of infants in the first month of life Consumption—tuberculosisDropsie--abnormal swelling of the body, or part of the body due to build up of clear, watery fluid Flox--hemorrhagic smallpoxFlux—dysenteryGowt--gout; painful inflammation caused by a build up of uric acid in the tissues Head-mould-shot--infant whose skull bones are forced to overlap one another in a difficult birthImposthume—abscessKingsevil--scrofula; tuberculosis of the neck Livergrown--enlarged liver; possibly rickets Meagrome--severe headachePurples--rash due to spontaneous bleeding in to the skin; in newborns, may be due to insufficient vitamin K Quinsy--accute inflammation of the tonsilsRising of the lights--illness affecting the lungs ("lights" = lungs)Spotted fever--meningitis or typhusStone--gall-stonesStrangury--painful and difficult urinationSurfeit--vomiting from over eating or gluttonyTeeth--death of a teething infantThrush--white spots and ulcers on the tongue and throat caused by a parasitic fungus Tissick--cough; phtisis; tuberculosis
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Distribución mundial de peste (1998)
(CDC)
Recurrencias:
• Gran Plaga de Islandia (1402–1404) • Plaga de Londres (1592–1594) • Gran Plaga de Milán (1629–1631) • Gran Plaga de Sevilla (1649) • Gran Plaga de Londres (1664–1665) • Gran Plaga de Viena (1679–1680s) • Gran Plaga de Marsellas (1720–1722) • Rebelión de la Plaga, Moscú (1771) • Tercera Pandemia, originada en China (1855–1950s)
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SIDA (1981-)
El SIDA es la gran pandemia de la actualidad.
El descubrimiento de la enfermedad tuvo lugar en 1981, al descubrirse un cúmulo de 5 casos de una neumonía rara en Los Angeles. Posteriormente se han identificado casos anteriores: 1959 en la Rep. de Congo, 1969 en St. Louis, 1976 en un marinero noruego.
Se reconoce actualmente el origen del agente viral más común, HIV-1, en poblaciones de chimpancés de África ecuatorial. Existe una variedad de hipótesis de cómo ocurrió el paso a la población humana.
Inclusive, existen teorías conspirativas y de accidentes biológicos, y algunas niegan inclusive la existencia de HIV-1. A mí me parece que estas “alternativas”no son más que la contraparte de las teorías irracionales que aparecieron tradicionalmente en todas las grandes plagas.
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Distribución mundial del SIDA en adultos
(OMS)Mortalidad:
25 millones
2,8 millones en 2005
570 mil niños en 2005
33 a 46 millones de infectados
Como en las grandes epidemias de la Historia, cuando se desató la reacción de la población fue más bien irracional. Se estigmatizó a los homosexuales, se llegóa decir que era un “castigo”. El cambio de actitud de la sociedad con respecto a la homosexualidad, coincidentemente, ha tenido lugar tras descubrirse que la enfermedad afecta por igual a todo el mundo.
UNAIDS and the WHO estimate that AIDS has killed more than 25 million people since it was first recognized in 1981, making it one of the most destructive epidemics in recorded history. Despite recent, improved access to antiretroviral treatment and care in many regions of the world, the AIDS epidemic claimed an estimated 2.8 million (between 2.4 and 3.3 million) lives in 2005 of which more than half a million (570,000) were children.[5]
Globally, between 33.4 and 46 million people currently live with HIV.[5] In 2005, between 3.4 and 6.2 million people were newly infected and between 2.4 and 3.3 million people with AIDS died, an increase from 2003 and the highest number since 1981
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Gripe A H5N1 (?)
?
Gripe A subtipo H5N1 es un virus de gripe que causa una severa enfermedad en humanos y en aves domésticas. Es endémica en poblaciones de aves silvestres del sudeste asiático, y se está expandiendo rápidamente. Ha causado ya la muerte de decenas de millones de aves, y el sacrificio de centenares de millones de aves de corral. Aparentemente, no se contagia entre personas, por lo cual no existe riesgo de una epidemia. Pero, como todos los virus de gripe, muta rápidamente, lo cual lo convierte en candidato de ser precursor del próximo virus de gripe humana que cause una pandemia, tal vez similar a la Gripe Española de 1918 que causó 25 millones de muertes en todo el mundo.
Los primeros casos en humanos ocurrieron en Hong Kong durante una epidemia en las aves de corral (una panzoonosis), que fue detenida sólo al exterminar a la población total de aves domésticas del territorio (2003). Hay casos anteriores de virus similares.
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Casos de Gripe A H5N1
(OMS)
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EL ESTUDIO MATEMÁTICO DE LAS EPIDEMIAS
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Las EPIDEMIAS
tienen muchos de los ingredientes que participan en lo que vagamente reconocemos como
SISTEMAS COMPLEJOS
• Poblaciones de por lo menos dos especies
• Varios tipos de interacción, plagadas de detalles
• Muchos otros agentes: vectores, vacunación, salud pública, geografía, comportamiento social…
• Emergencia de comportamientos no obvios a partir de la dinámica microscópica de la enfermedad
Afortunadamente, como en la Mecánica Estadística, en muchas situaciones la mayoría de los grados de libertad, y de los detalles, pueden ser eliminados por promedios, y los modelos sencillos, de baja dimensión, aportan una comprensión de los fenómenos.
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Proc. of the Royal Society of London, 93A, 225-240 (1917)
Sir Ronald Ross
(1857-1932)
La “Patometría”
Ronald Ross (n. Almora, India, en 1857 ó 59), médico genial, descubridor del agente causante de la malaria y de su transmisión por el mosquito, publicó en 1917 este trabajo donde se asombra de que no se haya hecho una teoría matemática de la propagación de epidemias, un campo en el cual existían desde hacía tiempo grandes cantidades de datos estadísticos esperando ser examinados. Dice, además, que las cuestiones fundamentales de la epidemiología, en las cuales se basan las medidas preventivas, tales como latasa de contagio, la frecuencia de brotes, la pérdida de la inmunidad, no pueden ser resueltas por métodos que no sean analíticos. A qué se debe que algunas enfermedades persistan en la población, mientras que otras aparecen y desaparecen? Por qué existen las epidemias? Ross sospecha que la respuesta a estas preguntas se esconde en principios fundamentales a los que puede accederse mediante el cálculo, del mismo modo que en la Astronomía, la Física y la Mecánica.
In 1902 he was awarded the Nobel Prize for Medicine "for his work on malaria, by which he has shown how it enters the organism and thereby has laid the foundation for successful research on this disease and methods of combating it".
Sir Ronald Ross in 1899 (Courtesy: London School of Hygiene and Tropical Medicine)Page from notebook where Sir Ronald Ross records his discovery of the mosquito transmission of malaria, 20 August 1897. (Courtesy: London School of Hygiene and Tropical Medicine)
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Modelo SIR
William Kermack (1898-1970) Anderson McKendrick (1876-1943)
SS II RRcontagio recuperación
(o muerte)
susceptibles infectados recuperadosremovidos
Kermack & McKendrick, A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics, Proc. Roy. Soc. Lond. 115A, 700-721 (1927).
El balance entre la velocidad a la cual ocurren estos dos procesos determina la evolución de la infección.Es usual expresar esto en términos de un parámetro, la “tasa reproductiva” de la infección, que expresa el no. de infecciones secundarias producida por cada caso de la enfermedad. Si este no. es mayor que 1, entonces ocurre una epidemia. Si es menor que 1, el “brote” inicial decae.A medida que la infección se va propagando, la cantidad de susceptibles disminuye, de manera que a la infección se le hace cada vez más difícil propagarse, y eventualemente empieza a decaer.
Kermack era químico, y McKendrick médico, y matemático amateur.
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Progreso de una epidemia SIR sencilla
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Infección!
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La epidemia comienza a crecer…
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Máximo de prevalencia
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Máximo de prevalencia
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La epidemia declina…
30
La epidemia declina…
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La epidemia declina…
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Fin de la epidemia
A medida que la epidemia se propaga en la población, va “consumiendo”susceptibles. Como necesita susceptibles para propagarse, a medida que hay menos susceptibles se le hace cada vez más difícil propagarse. Llega un momento en que el número de infectados empieza a declinar (la tasa reproductiva se hace menor que 1) y finalmente la epidemia se extingue. Inevitablemente, algunos susceptibles resultan libres de la infección. (Pueden ser más o menos, por supuesto...)
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Gente no afectada por la epidemia!
A medida que la epidemia se propaga en la población, va “consumiendo”susceptibles. Como necesita susceptibles para propagarse, a medida que hay menos susceptibles se le hace cada vez más difícil propagarse. Llega un momento en que el número de infectados empieza a declinar (la tasa reproductiva se hace menor que 1) y finalmente la epidemia se extingue. Inevitablemente, algunos susceptibles resultan libres de la infección. (Pueden ser más o menos, por supuesto...)
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Ecuaciones “de reacción” del modelo SIR(campo medio, bien mezclado)
constante0)0(,0)0(,0)0(
remoción de tasa0
infección de tasa0
00
=++==>=>=
>=
>−=
−=
RISNRIISS
aaIdtdR
raIrSIdtdI
rSIdtdS
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A tiempo cero:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≡<<
≡>>−=
= ρ
ρ
raSraS
arSIdtdI
t0
0
000 0
0)(
FENÓMENO DE UMBRAL
aarSR
1
1
00 =ρ
ρ Tasa de remoción relativa
Tasa de contacto
Tasa reproductiva básica
Período medio de infección
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Tasa reproductiva de la infección
S I R
epidemia brote
S I R
> 1 < 1
Modelos como el SIR llevan naturalmente a describir el curso de una infección con ayuda de una tasa reproductiva (de varios nombres) que representa el número de infecciones secundarias que produce cada caso de la enfermedad que se introduce en una población. Depende de una cantidad de factores.
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ρρ
ρ
ρ))((
0)(
0
0
)( ∞−−∞−
−
==∞⇒
=⇒−=
SNR
R
eSeSS
eSSSdRdS
De las ecuaciones de S y de R:
La infección se extingue por falta de infectados, no por falta de
susceptibles.
Una parte de la población permanece susceptible.
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Trayectorias en el plano de fases
)0(1)(≠+−=
−−= I
SrSIarSI
dSdI ρ
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( )ρReSRNaSRNaaIdtdR −−−=−−== 0)(
chico es si2
1 2
200
0 ρρρ
RRSRSSNa ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−≈
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⇒ φαα
ρρ
2tanh1)( 0
0
2 atSS
tR
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −≈ φαρα ta
Sa
dtdR
2sech
22
0
22Tasa de remoción:
3 parámetros
En la vida real, puede ser difícil medir I(t), y puede ser más facil contar a los removidos, o a los muertos:
(la epidemia no es muy grande)
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Peste de Bombay 1905-1906• datoso modelo SIR(K&MK, 1927)
Gripe en una escuela internada,Inglaterra 1978• datos- modelo SIR (int. numérica)
SIR en el mundo real…
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Muertes por peste en Londres(años seleccionados)
(De acuerdo a los Bills of Mortality)
De acuerdo a los Bills of Mortality
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Factores que afectan el desarrollo de la epidemia...
43
……si hay msi hay máás gentes gente……
44
……si la densidad de poblacisi la densidad de poblacióón es n es mayormayor……
45
……si la enfermedad es distintasi la enfermedad es distinta……
46
……si hay gente vacunadasi hay gente vacunada……
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SS II RR
nacimientos
contagio recuperación
pérdida de la inmunidad
muertes adicionales
muertes muertes
Extensiones: modelo SIRS con demografía…
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Complicaciones: secuencia de eventos en una enfermedad infecciosa simple...
período de incubación
momento momento de la de la infecciinfeccióónn
tiempoperíodo infecciosolatencia
síntomas
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Más complicaciones…
Efecto de la edad (en la susceptibilidad y la infectividad)
Vacunación
Tratamiento
Respuesta inmune
Extensión geográfica
Estructura social…
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PROPAGACIÓN DE EPIDEMIASPROPAGACIÓN DE EPIDEMIAS
IDaIrIStI
SDrIStS
2
2
∇+−=∂∂
∇+−=∂∂
Transporte de tipo difusivo(o una retícula con contactos entre los vecinos…)
2
2
2
2
xIIIS
tI
xSIS
tS
∂∂
+−=∂∂
∂∂
+−=∂∂
λ
1D y reescaleando
51
2
2
2
2
xIIIS
tI
xSIS
tS
∂∂
+−=∂∂
∂∂
+−=∂∂
λ
S
I
onda epidémica…
Buscamos soluciones del tipo:
Ansatz de onda viajera: z=x – c t
0)('''0'''
=−++=−+
λSIcIIIScSS
(4o orden)
Simplificación: linealizar la ecuación de I en el frente de la onda…
ONDAS EPIDÉMICAS
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0)1(''' ≈−++ λIcII zcc
ezI 2)1(42
)(λ−−±−
≈
1,12 <−≥ λλc
10
<=rSaλ
Densidad mínima crítica de susceptibles Sc=a/r
Tasa de contagio crítica: rc=a/S0
Mortalidad crítica máxima: ac=rS0
Si λ>1 no hay ondas, el brote se autoconfina y se extingue
Reducir S0 (vacunación)
Reducir el contagio (aislamiento, tratamiento,…)
linealización…
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……si la gente se relaciona de si la gente se relaciona de maneras distintasmaneras distintas……
Abramson y Kuperman
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……si la gente se relaciona de si la gente se relaciona de maneras distintasmaneras distintas……
Abramson y Kuperman
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REDES
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Sincronización de un sistema SIRS en una red SW
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Sin Sin NombreNombrePeromyscusPeromyscus maniculatusmaniculatus
Rio SegundoRio SegundoReithrodontomysReithrodontomys mexicanusmexicanus
El Moro CanyonEl Moro CanyonReithrodontomysReithrodontomys megalotismegalotis
AndesAndesOligoryzomysOligoryzomys longicaudatuslongicaudatus
BayouBayouOryzomysOryzomys palustrispalustris
Black Creek CanalBlack Creek CanalSigmodonSigmodon hispidushispidus
Rio Rio MamoreMamoreOligoryzomysOligoryzomys microtismicrotis
Laguna Laguna NegraNegraCalomysCalomys lauchalaucha
MuleshoeMuleshoeSigmodonSigmodon hispidushispidus
New YorkNew YorkPeromyscusPeromyscus leucopusleucopus
JuquitibaJuquitibaUnknown HostUnknown Host MacielMaciel
NecromysNecromys benefactusbenefactusHu39694Hu39694Unknown HostUnknown HostLechiguanasLechiguanasOligoryzomysOligoryzomys flavescensflavescensPergaminoPergaminoAkodonAkodon azaraeazarae
OrOráánnOligoryzomysOligoryzomys longicaudatuslongicaudatus
CCaaññoo DelgaditoDelgaditoSigmodonSigmodon alstonialstoni
IslaIsla VistaVistaMicrotusMicrotus californicuscalifornicus
BloodlandBloodland LakeLakeMicrotusMicrotus ochrogasterochrogaster
Prospect HillProspect HillMicrotusMicrotus pennsylvanicuspennsylvanicus
Hantavirus del Nuevo MundoHantavirus del Nuevo Mundo
BermejoBermejoOligoryzomysOligoryzomys chacoensischacoensis
Calabazo y ChocloCalabazo y ChocloZigodontomysZigodontomys brevicaudabrevicauda
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Roedor infectado crónicamente
Virus presente en aerosolesde las excreciones,
particularmente orina
Transmisión horizontal de la infección por comportamiento
agresivo intraespecífico
Virus también la garganta y heces
Aerosoles secundarios, contacto de las mucosas y rasguños, también son posibles
vías de infección
TRANSMISIÓN DE LOS HANTAVIRUS
(CDC)
Sólo Andes?
59
Zygodontomysbrevicauda(HantavirusCalabazo)
Peromyscusmaniculatus(Hantavirus
Sin Nombre)
INFINITAS COMPLICACIONES!• Machos y hembras, juveniles, sub-adultos, adultos• Differentes interacciones• Adultos difusión dentro de un “home range”• Sub-adultos escapan para encontrar un “home range”• Juveniles pocas excursiones desde el nido• Machos y hembras, exploraciones, “transitorios”…• Diferentes especies, otras species…
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TRES OBSERVACIONES DE CAMPOY UN MODELO SENCILLO
• Fuerte influencia de factores ambientales.
• Desaparición esporádica de la infección de una población.
• Segregación espacial de las poblaciones infectadas (refugios).
Dinámica poblacional+Contagio+(Movimiento)+(Competencia con no-huéspedes)
Modelo matemático
Un parámetro de control representa el efecto del medio ambiente.
Las otras dos aparecen como consecuencias de las soluciones del modelo.
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MODELO BÁSICO (sin movimiento aún!)
,
,
ISI
II
ISS
SS
MMaK
MMMcdt
dM
MMaK
MMMcMbdt
dM
+−−=
−−−=
Lógica detrás de cada términoNacimientos: bM → sólo susceptibles, todos contribuyenMuertes: -cMS,I → la infección no afecta la tasa de mortalidadCompetencia: -MS,I M/K → población limitada por el parámetro
medioambiental Contagio: ± aMS MI → simple contacto entre pares
MS (t) : Ratones susceptibles
MI (t) : Ratones infectados
M(t)= MS (t)+MI (t): Población total
parámetro medioambiental, “capacidad de carga”
62
La capacidad de carga controla una bifurcación en el valor de equilibrio de la población infectada.
La población susceptible es siempre positiva.
)( cbabKc −
=
BIFURCACIÓN
63
FENÓMENOS ESPACIALMENTEEXTENDIDOS
,)(
),(
,)(
),(
2
2
IISI
II
SISS
SS
MDMMaxKMMMc
ttxM
MDMMaxKMMMcMb
ttxM
∇++−−=∂
∂
∇+−−−=∂
∂
• Transporte difusivo• K dependiente del espacio, siguiendo la diversidad del terreno
64
Una ilustración de la Patagonia.La capacidad de carga se supone proporcional a la cubierta vegetal.
“REFUGIOS”
65
[ ])(2
)(2
cbaKbDv
cbDv
I
S
−+−≥
−≥
Velocidades permitidas:
Depende de K y a
Ondas viajeras del sistema completo
66
Dos regímenes de propagación:
)(2
0 cbacbK
−−=
0
0
si si
KKvvKKvv
SI
SI
>=<<
El retraso Δ también está controlado por la capacidad de carga
67
,)(
),(
,)(
),(
2
2
IISI
II
SISS
SS
MDMMaxKMMMc
ttxM
MDMMaxKMMMcMb
ttxM
∇++−−=∂
∂
∇+−−−=∂
∂
Parámetros?...
… y validez de la difusión?...
68
Modelo simple (campo medio)
Modelo espacialmente
extendido
Ondas
Refugios
Biodiversidad
Metapopulations
Fluctuaciones
Ecuación Maestra
Oscilaciones
Extinctión (First Passage Time)
CompetenciaDepredación
Jerarquía
Otrossistemas
epidémicos
“Transporte” animaly “home ranges”
xc3xc2xc1 xc/2-xc/2 G/2-G/2
L/2
U1U
2 U3
P3(x)P
2(x)P1(x)
L/2L/2
NUESTRA HOJA DE RUTA HOY
69
Gracias!Gracias!