la matemagia desvelada

Octubre 2002 2002 Urria 145

La Matemagia Desvelada

LA MATEMAGIA DESVELADA (*)

por Pedro Alegra y Juan Carlos Ruiz de Arcaute (**)

NDICE

INTRODUCCINEvolucin histrica.

1. MENTACLCULOS1.1. Calendario perpetuo.1.2. Nmeros cclicos.1.3. Otros nmeros mgicos.

2. LGEBRA CURIOSA2.1. Clculo sorprendente.2.2. Clculos mgicos.2.3. Curiosidades aritmticas.

3. GEOMETRA RECORTABLE3.1. Puzzles geomtricos.3.2. La banda de Mbius.

4. PROBABILIDAD VENTAJOSA4.1. Jugador de ventaja.4.2. Sucesos casi seguros.4.3. Juegos de estrategia.

5. CONCLUSIN

6. DESIDERATUM

7. REFERENCIAS

(*) Si la matemtica es la reina de las ciencias y la magia es la reina de las artes, la matemagia ser la reina de las ciertes.

(**) Pedro Alegra es profesor de la Universidad del Pas Vasco. Departamento de Matemticas.Juan Carlos Ruiz es Presidente de la Asociacin de ilusionistas de Alava.

INTRODUCCIN

Conoces las cuatro operaciones bsicas? Piensa un nmero. Multiplcalo por dos. Sumadiez al resultado. Divide por dos. Por ltimo, rstale el nmero pensado. Entonces, elnmero obtenido es ... cinco.

Este simple ejercicio mental no puede sorprender a quien conozca los rudimentos del lgebra.Del mismo modo que la adivinacin de sucesos futuros puede no sorprender a nuestros des-cendientes lejanos si logran desentraar los secretos de la cuarta dimensin.

Pues de eso trata un aspecto muy comn de la magia: de lograr crear una sorpresa mediantela utilizacin de mecanismos ms o menos ingeniosos, ms o menos tcnicos, que sean des-conocidos para las personas a quienes se dirija la ilusin. Mientras no pueda explicarse dichomecanismo se podr hablar de magia. Cuando se conozca el procedimiento (tambin llamadosecreto), la magia se convierte en simple entretenimiento. Incluso si no se conoce el secretopero puede vislumbrarse algn mtodo posible, no se ver como magia. Es decir, el experi-mento, por simple que sea, debe estar arropado por un aura de misterio a fin de crear elambiente mgico adecuado.

No es nuestro objetivo dar un curso acelerado de tcnicas mgicas sino el de mostrar algunaspropiedades matemticas en que se basan ciertos trucos (mejor llamados efectos mgicos) uti-lizados por los magos en sus presentaciones. Dejamos al lector interesado el buscar revesti-mientos adecuados que disimulen o alteren dichas leyes matemticas con el fin de provocarsorpresa en el transcurso de su realizacin.

Veamos otro ejemplo de efecto mgico utilizando propiedades matemticas:

Con una calculadora de bolsillo se pide a un espectador que escriba un nmero (de unacifra), que lo multiplique por 3, el resultado por 7, este ltimo por 11, luego por 13 y,por fin, por 37.

En qu consiste la sorpresa final? A qu es debido?

Otra versin de una idea similar consiste en lo siguiente:

Hacer escribir en la calculadora un nmero de tres cifras y, a continuacin, el mismonmero. De este modo se obtiene un nmero de seis cifras. Despus sugerir que elnmero obtenido es mltiplo de 7, de 11 y de 13. Pero, como sorpresa final, el nmeroobtenido despus de dividir por dichos divisores vuelve a ser el de partida.

En estos ejemplos se utilizan descomposiciones en factores primos que comparten la sorpresacon la esttica de los resultados: no es del dominio pblico que los, relativamente poco agra-ciados, nmeros 3, 7, 11, 13 y 37 sean los factores primos de 111111, nmero agradable dondelos haya. Tampoco es algo que tengamos en cuenta muy a menudo que si multiplicamos unnmero de tres cifras por 1001 se obtiene el mismo nmero dos veces.

Describiremos a lo largo de estas lneas algunos principios y propiedades matemticas en lasque se basan los magos (a quienes, a partir de ahora, llamaremos matemagos) para crear unagran variedad de efectos. Dejamos al mago la tarea de ocultar dichos principios en la presen-tacin de sus juegos permitiendo as que siga vivo el lema de la magia: ILUSIN Y SORPRESAen vez de DESILUSIN Y DESENGAO.

SIGMA N 21 zk. 21 SIGMA146

Pedro Alegra y Juan Carlos Ruiz de Arcaute

Evolucin histrica

Magia y matemticas han sido compaeros de viaje durante mucho tiempo. Tanto los magoscomo los matemticos estn motivados por el sentido de sorpresa que representa el misterioesencial del mundo. Los magos muestran tales hechos sorprendentes mientras que los mate-mticos tratan de explicarlos: la ciencia de la ilusin versus la ilusin de la ciencia. El famosoescritor de ciencia ficcin Arthur Clarke opinaba que cualquier tecnologa suficientementeavanzada es indistinguible de la magia.

En la poca pitagrica, los nmeros se relacionaban ms con cualidades msticas que con elilusionismo (ver, por ejemplo, [MG] en la lista de referencias al final del artculo).Descubrimientos, como el que los tres nmeros consecutivos 3, 4 y 5 forman un tringulo rec-tngulo, o que con los nueve primeros nmeros se puede formar un cuadrado mgico, hanfomentado la creencia de que algunos nmeros tienen poderes mgicos. El gran avance en elestudio de los nmeros y sus propiedades ha propiciado que las comunidades ms cultashayan dejado de creer en tales propiedades msticas y se conformen con utilizarlos en unmbito ms folclrico. El remanente de pocas pasadas permite a los magos utilizar en suspresentaciones el lenguaje ocultista relativo a nmeros de la suerte o nmeros asociados acada persona, operaciones con los nmeros que corresponden al da de nacimiento, o alnmero de calzado, etc., para llegar a una prediccin.

En otra poca, la alquimia buscaba convertir plomo en oro; los curanderos obtenan propie-dades curativas de las plantas; ciertos procesos qumicos colorean el agua para darle aspectode vino u otros licores. An hoy en da causa sorpresa ver que un lquido cambia de colorsucesivas veces sin manipulacin aparente.

Ms recientemente, los avances tecnolgicos ofrecen muchas herramientas que, utilizadasconvenientemente, permiten conseguir efectos sorprendentes, inexplicables o, incluso, mila-grosos.

Uno de los primeros libros dedicados a mostrar principios matemticos aplicados a la mec-nica se debe a John Wilkins (ver [Fa]) quien, en 1648 public Mathematical Magick, or thewonders that may be performed by mechanical geometry siendo uno de las ms fciles, entre-tenidos y tiles de las matemticas. Fue el primer trabajo sobre dispositivos mecnicos escritoen ingls, pero no un texto de mecnica en sentido tradicional.

El libro consta de dos secciones:

Archimedes: o dispositivos mecnicos, que incluyen las balanzas, palancas, ruedas, poleas,cuas, tornillos, proyectiles y catapultas; y Daedalus: o movimientos mecnicos, en los que seestudian los autmatas, carros marinos, relojes, submarinos y movimiento perpetuo (del queel propio autor dice que no parece muy probable).

El objetivo del libro es el de mostrar al pblico profano los principios bsicos en que se basanlas distintas mquinas que producan movimientos mecnicos, para que no pudieran ser inter-pretados como basados en poderes ocultos de quienes se dedicaban a mostrarlos en pblico.En esa poca, quien no estuviera familiarizado con las leyes de la mecnica tena tendenciahacia lo esotrico para justificar aquellas curiosidades tcnicas. Las grandes ciencias aplica-das de la antigedad, como la astronoma, esttica, mecnica y ptica, haban sido inaccesi-bles a todos los pblicos salvo a los iniciados que las haban estudiado.



A lo largo de los tiempos algunos matemticos han logrado explotar las propiedades de losnmeros para sorprender y entretener a pblicos profanos. En el siglo XIX Charles Dogson(ms conocido por su sobrenombre Lewis Carroll) ya realizaba trucos y puzzles numricos uti-lizados hoy en da por los magos.

En el siglo XX ocurri el despegue de la magia con cartas (cartomagia) como disciplina inde-pendiente de la magia. En lo que se refiere a la recopilacin de efectos basados en principiosmatemticos (matemagia), podemos destacar como referencias histricas los libros de MartinGardner [Ga], publicado en 1956, y de William Simon [Si] en 1964. Otros magos que se handestacado por sus aportaciones a la magia matemtica son Karl Fulves y Bob Longe [Lo]. Hoyen da, casi ningn autor de literatura mgica se resiste a publicar algn efecto basado en pro-piedades matemticas pues no requieren habilidad tcnica pero s una cuidada presentacinque logre crear un ambiente de incredulidad en los espectadores.

Aunque la mayor parte de efectos mgicos basados en propiedades matemticas son clarospara los propios matemticos, sus secretos estn fuera del alcance de la mayora de la gente;de modo que conocer algunos de tales secretos proporcionar grandes posibilidades de crearla impresin de verdadera magia ante las mentes de estos grupos.

Una de las ms antiguas curiosidades, conocida desde la antigua China, corresponde al cua-drado mgico:

8 1 6

3 5 7

4 9 2

Esta disposicin de nmeros recibe este nombre pues la suma de los nmeros que estn enla misma fila, la de los que estn en la misma columna y la de los de la misma diagonal essiempre 15.

Esta matriz es bastante conocida por lo que su aparicin no causa sorpresa al efectuar con ellaalgn entretenimiento mgico. Por ello, los magos con algn conocimiento matemtico utili-zan variantes menos conocidas que resulten ms mgicas. Por ejemplo,

11 66 98 89

99 88 16 61

86 91 69 18

68 19 81 96

es un cuadrado donde cada fila, columna y diagonal suman 264. La sorpresa viene cuandogiramos el cuadrado boca abajo y se obtiene otro cuadrado mgico, donde nuevamentela suma de las filas, columnas y diagonales es 264 (pensemos que el 1 al girarlo vuelvea ser 1).

Cul es la razn de esta propiedad? La simetra de la matriz con respecto a la diagonal prin-cipal no es la que se acostumbra en matemticas pero s lo es en un sentido grfico.

Existe tambin un cuadrado mgico, cuya construccin dejamos al lector interesado, tambinde tamao 4, de modo que, tanto su giro de 180 grados como su reflexin especular (visto a



travs de un espejo) siga siendo un cuadrado mgico (para lo cual debemos representar losnmeros tal como se hara por una calculadora). Esa es la magia de los nmeros que sorprendey entretiene a los aficionados.

1. MENTACLCULOS

Siempre han sido muy apreciados quienes son capaces de realizar operaciones complicadasen un corto espacio de tiempo. El misterio en el que se rodean estos personajes hace pensaren la adquisicin de una poderosa memoria (lo que es cierto en la mayora de los casos) y enla posesin de ciertos poderes ocultos (de los que podemos creer o no creer). En este apartadonos asomaremos a unos ejemplos con los que se puede sorprender a una gran variedad depblico pero que tambin son susceptibles de motivar el estudio de las propiedades aritmti-cas que se esconden tras estos ejercicios mentales.

1.1. Calendario perpetuo

La unidad de medida de los calendarios actuales es el da, tiempo que tarda la Tierra en giraralrededor de su eje. A su vez, los das se agrupan en semanas (duracin de los ciclos lunares),meses (tiempo de giro de la luna alrededor de la Tierra) y aos (tiempo de giro de la Tierraalrededor del Sol).

Sin embargo, el giro de la Tierra alrededor del Sol no es mltiplo entero de un da: exacta-mente son 365 das, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos, es decir 365,2421896698 das.

Este hecho es el origen de las sucesivas reformas en los calendarios occidentales. En el ao 46a.C. Julio Csar instituy un calendario con 365 das con un da adicional cada cuatro aos.

El error acumulado a lo largo de los aos hizo que el Papa Gregorio XIII modificara el calen-dario en 1.582, eliminando alguno de los aos bisiestos, segn un ciclo de 400 aos: los ml-tiplos de 100, excepto los mltiplos de 400, no son bisiestos.

Esta distribucin da lugar a que ciertos das de la semana tengan mayor probabilidad que otrosen caer en algn da determinado del mes; por ejemplo, el da 13 es ms probable que seaviernes a cualquier otro da de la semana. Esto tambin indica que el domingo es ms proba-ble que los dems de ser el primer da del mes.

Como el calendario puede verse como un sistema posicional de nmeros, existen frmulasque permiten calcular el da de la semana que corresponde a un da determinado del calen-dario gregoriano.

Si eres capaz de aprenderla, la siguiente es una de las ms sencillas:

S = D + [2,6 M - 0,2] + A + [A/4] + [C/4] - 2C (md 7),

(es decir, el resto de la divisin por siete de la expresin dada), donde [.] representa la parteentera del nmero (el mayor entero que es menor o igual a dicho nmero) y S es el da de lasemana correspondiente al da D del mes M del ao 100 C + A, segn la siguiente corres-pondencia:

Marzo = 1, Abril = 2, ..., Enero = 11 (del ao anterior), Febrero = 12 (del ao anterior).Domingo = 0, lunes = 1, ..., sbado = 6.



Existen versiones simplificadas que permiten realizar la operacin casi inmediatamente,dando la impresin de poseer una memoria prodigiosa. Por ejemplo, si se trata de averiguarel da de la semana correspondiente a una fecha del calendario gregoriano, bastar memori-zar la siguiente secuencia de nmeros:

(0, 3, 3, -1, 1, 4, -1, 2, -2, 0, 3, -2)

y asignarlos a cada uno de los meses del ao (en el mismo orden: enero = 0, febrero = 3, ...,diciembre = -2). Las operaciones a realizar sern:

1. Sumar las dos ltimas cifras del ao a la parte entera de su divisin por cuatro.

2. Sumar a lo anterior el da del mes.

3. Sumar a lo anterior el cdigo del mes. Recordemos:

4. Aadir el nmero clave del siglo, segn la siguiente tabla:

0 1900 + 400 n

2 1800 + 400 n

4 1700 + 400 n

6 1600 + 400 n

5. Calcular el resto de la divisin de este resultado por siete.

6. Asignar el da de la semana al ltimo resultado segn la secuencia citada:

Domingo = 0, Lunes = 1, ..., Sbado = 6.

Por ejemplo, para calcular el da de la semana que corresponde al 11 de Noviembre de 1958,las operaciones a realizar son:

(58 + 14 + 11 + 3) = 86;

como el resto de su divisin por 7 es 2, el da de la semana fue MARTES.

Observacin: Si el ao fue bisiesto (lo que se conoce cuando su divisin por cuatro es exacta)y se trata de un da de Enero o Febrero, al resultado final se debe restar un da (si, por ejem-plo, la operacin da como resultado Jueves, se trata de un Mircoles).

Otra observacin: Como el resto de la divisin de la suma de dos nmeros coincide con lasuma de los restos de la divisin de cada nmero, se simplifican (y aceleran) las operacionessi se van sustituyendo los sumandos por los restos de su divisin por siete.

ltima observacin: Un algoritmo muy extendido fue ideado por el famoso matemtico JohnConway, de quien es conocida su aficin por establecer principios matemticos generalesbasndose en simples rompecabezas.



E F M A M J J A S O N D

0 3 3 -1 1 4 -1 2 -2 0 3 -2

Como complemento a lo anterior, describiremos un sencillo mtodo para descubrir la edad deuna persona.

Se le pide a una persona que escriba en un papel su edad. Debajo de dicho nmero debeescribir el nmero mgico 90. A continuacin sumar ambos nmeros. Del resultadoobtenido debe tachar la ltima cifra de la izquierda y trasladarla bajo el ltimo nmeroescrito. Por ltimo realizar la suma entre estos dos nmeros. Al conocer el resultadofinal, el mago deducir inmediatamente la edad de dicha persona.

La explicacin es muy sencilla pues basta repetir los pasos anteriores con un nmero arbitra-rio. Si la edad es x, las operaciones son

x + 90 100 + 1 = x - 9.

Basta pues sumar 9 al resultado final para conocer x.

Tambin con un calendario de bolsillo es posible crear efectos interesantes basados en senci-llas propiedades numricas. Por ejemplo:

De un calendario cualquiera pedimos que una persona elija el mes que desee. Despusdebe seleccionar en secreto cuatro das que formen un cuadrado. Slo conociendo elresultado de la suma de dichos nmeros, podremos decirle rpidamente de qu nme-ros se trata.

Para obtener dichos nmeros debes hacer los siguientes clculos: Divide el nmero dado porcuatro y rstale cuatro. Ese ser el menor de los das. El resto se obtiene simplemente sumandoal primero 1, 7 y 8, respectivamente.

Frmulas similares se pueden conseguir para cuadrados ms grandes, de tamao 3 x 3 4 x 4.

1.2. Nmeros cclicos

Fijmonos en la siguiente propiedad:

142.857 x 1 = 142.857

142.857 x 2 = 285.714

142.857 x 3 = 428.571

142.857 x 4 = 571.428

142.857 x 5 = 714.285

142.857 x 6 = 857.142

142.857 x 7 = 999.999

Con un poco de atencin se puede apreciar que las sucesivas multiplicaciones del nmero porlos nmeros del 1 al 6 dan como resultado una permutacin del nmero de partida. Adems,la multiplicacin por 7, produce el nmero formado por seis nueves. Esta propiedad cclica essuficiente para que identifiquemos al nmero 142.857 como nmero mgico.

Algunas explicaciones para justificar los resultados anteriores pueden confundir an ms alpblico inexperto. Por ejemplo:

Si colocamos las cifras del nmero 142857 en los vrtices de un hexgono y en sen-tido horario, la suma de dos vrtices diagonalmente opuestos es siempre 9.



Si hacemos la operacin 1/7 se obtiene un nmero decimal peridico cuyo periodo essorprendentemente 142857.

Un buen ejercicio de matemtica elemental consiste en encontrar otros nmeros cclicos. Slodiremos que el aqu expuesto es el menor de ellos y que el siguiente se obtiene mediante ladivisin 1/17, cuyas 16 cifras son 0588235294117647.

Lo anterior sugiere a los magos realizar la siguiente adivinacin matemgica:

Se muestra una cinta de papel en cuyo interior hay escritas seis cifras. Un espectadornombra un nmero del uno al seis y el matemago le indica que multiplique dichonmero por el nmero mgico 142857. Previamente, el matemago corta la cinta poralgn lugar. Al realizar la operacin se muestra la cinta en donde est escrito el resultadode la multiplicacin.

Como se conoce de antemano el resultado de la multiplicacin, se entiende que la cinta sedebe cortar por el lugar adecuado.

Juego numerolgico

Otro experimento bastante conocido consiste en la siguiente prediccin.

El matemago anuncia a los espectadores que es capaz de sumar varios nmeros de formasorprendentemente rpida: incluso antes de ser nombrados todos los nmeros, l ya haconseguido sumarlos.

Para ello se dispone a escribir en una pizarra o una hoja de papel varios nmeros de cua-tro cifras: el primero de ellos lo elige arbitrariamente un espectador. Inmediatamente elmatemago escribe en la parte inferior u otro lugar, invisible para los espectadores, otronmero, que ser la suma total.

A continuacin, un segundo espectador nombra un segundo nmero. Debajo de ste, elmago escribe un tercer nmero de cuatro cifras. Otro espectador elige otro nmero y elmago escribe debajo de l un quinto nmero.

Al realizar la suma de los cinco nmeros escritos, el resultado coincide con el previa-mente anunciado por el matemago.

Para descubrir la estrategia seguida, pensemos que el matemago escribe dos de los sumandos,llammosles x e y, despus de conocer otros dos sumandos elegidos libremente, que denota-remos por a y b. Basta hacer que x + a = y + b = 9999 para que, si el quinto sumando lo deno-tamos por z, la suma de los cinco nmeros sea z + 19998. Dejamos al lector los detalles quepermiten escribir sin titubeos sus nmeros.

A otro nivel, se puede plantear el siguiente ejercicio de suma rpida.

Se propone a un espectador que escriba dos nmeros, uno debajo de otro. A continua-cin, debajo de los anteriores, escriba otro nmero que sea suma de los anteriores. Debecontinuar el proceso de escribir nmeros que sean suma de los dos anteriores a l hastaque haya escrito diez nmeros.

El matemago es capaz de anunciar la suma de los diez nmeros de forma casi inmediata.

Como se puede comprender, la sucesin de nmeros es una generalizacin de la llamadasucesin de Fibonacci y se puede demostrar que la suma de cualesquiera diez trminos con-secutivos es igual a once veces el sptimo trmino de la sucesin, propiedad poco conocidaen general. Por otra parte, una buena estrategia para multiplicar rpidamente un nmero por11 es la siguiente:



Colocar la primera cifra del nmero; a continuacin, la suma de la primera y segunda cifras;a continuacin la suma de la segunda y tercera cifras; as sucesivamente, hasta colocar comoltima cifra la ltima cifra del nmero.

Supercuadrado mgico

Pide que nombren un nmero cualquiera, mayor que 20 (que denotaremos por N), yanuncia que la simbiosis entre matemtica y magia puede conseguir que dicho nmerose manifieste en una gran cantidad de lugares de un cuadrado formado por nmeros.Conseguirs que el nmero elegido aparezca en el cuadrado ms de treinta veces!

Escribe rpidamente el cuadrado siguiente, donde todos los nmeros son independientes dela eleccin excepto los nmeros en negrita, que se escribirn segn una sencilla regla: en laposicin (1, 1), la diferencia N - 20; en la posicin (2, 3), el nmero N - 21; en la posicin (3,4), N - 18; y en la posicin (4, 2), N - 19.

Por ejemplo, si el nmero elegido es N = 31, la tabla quedara as:

A continuacin escribimos todas las formas posibles de elegir cuatro nmeros del cuadradocuya suma es 31. Se comprueba que no slo es un cuadrado mgico, pues la suma de las filas,las columnas y las diagonales es constante, sino que la suma aparece una cantidad sorpren-dente de veces, muchas de ellas asociadas a figuras geomtricas especiales, como los trape-cios que se observan en la ltima fila.



11 1 12 7

11 8 10 2

5 10 3 13

4 12 6 9

11 1 12 7

11

11

5

4

11

8

3

9

11 8 10 2

1

8

10

12

7

10

10

4

5 10 3 13

12

10

3

6

1

11

13

6

4 12 6 9

7

2

13

9

12

2

5

12

Este ingenioso ejemplo de construccin, y el que explicamos a continuacin, constituye unaperfecta excusa para estudiar la estructura de estos entes matemticos, de inters no slorecreativo sino como aplicaciones a diversos problemas prcticos. La obra [CF] ofrece un estu-dio exhaustivo de los cuadrados mgicos, su construccin y aplicaciones.

Anticuadrado mgico

Pide a un espectador que elija un nmero cualquiera. A continuacin construyes un cua-drado 4 x 4 y lo muestras. El espectador debe elegir y rodear con un crculo un nmerocualquiera del cuadrado. A continuacin tacha la fila y la columna que contienenal nmero. Despus elige otro nmero no tachado y procede de la misma forma.



11 1

11 8

11 7

11 2

11 2

5 13

11 12

5 3

11 7

10 3

12 7

10 2

1 12

8 10

1 12

12 6

1 7

10 13

11 2

12 6

5 10

4 12

5 13

4 9

8 10

10 3

11 10

4 6

1 12

5 13

3 13

6 9

10 3

12 6

11 7

4 9

8 2

12 9

8 10

4 9

Realiza la misma accin otras dos veces y obtiene cuatro nmeros. Se le pide que sumelos nmeros sealados y el resultado final coincidir con el nmero previamente elegido.

El procedimiento para construir el cuadrado es el siguiente:

Descompn el nmero elegido en ocho sumandos, sin importar su valor. Supongamos porejemplo que el nmero elegido es el 35 y realizas la operacin:

35 = 4 + 6 + 2 + 7 + 4 + 8 + 3 + 1.

Haz una tabla de sumar con dichos elementos, del modo siguiente:

Elimina la primera fila y primera columna y se obtiene una tabla con las caractersticas indi-cadas en el efecto, es decir la suma de cuatro nmeros elegidos de modo que no haya dos deellos en la misma fila y columna es 35.

Observacin: Este mismo efecto puede realizarse con el calendario de bolsillo pues cualquiercuadrado de tamao 4 x 4 formado con cualquier mes verifica la misma propiedad antim-gica: la suma de los nmeros elegidos de modo que todos ellos pertenezcan a distinta fila ycolumna es igual a 2n + 8, donde n es el elemento de la esquina superior izquierda del cua-drado.

1.3. Otros nmeros mgicos.

El nmero 37037

El nmero 37037 tambin tiene propiedades mgicas: al multiplicarlo por cualquier nmeromenor o igual a 27 da como resultado un nmero de seis cifras formado por dos bloques igua-les. La razn de esta propiedad se comprende fcilmente al escribir la descomposicin en fac-tores primos de 37037.

Un programa hecho en Java que muestra esta propiedad se puede ver en [By].

La calculadora

En una calculadora de bolsillo, donde los dgitos estn distribuidos segn un cuadrado:

se da a elegir una fila, columna o diagonal. Con esos dgitos, escribir un nmero de trescifras. A continuacin, repetir el proceso con otra fila, columna o diagonal y multiplicarlos dos nmeros seleccionados. Si se nombran todas las cifras del resultado excepto una,el matemago es capaz de adivinar la cifra que falta.



+ 4 6 2 7

4 8 10 6 11

8 12 14 10 15

3 7 9 5 10

1 5 7 3 8

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Cmo se logra hacer esto? Como indicacin sugerimos que se compruebe que cualquiernmero escrito bajo las condiciones citadas es mltiplo de 3. Por tanto su producto ser ml-tiplo de 9 y no debe ser difcil averiguar una de sus cifras cuando son conocidas todas lasdems.

Predicciones numricas

Escribe en un papel el nmero 18 (sin dejarlo ver) y anuncia que ser tu prediccin.Pide a alguien que escriba un nmero de tres cifras y, debajo de l, el mismo nmerocon las cifras invertidas. A continuacin, que reste el menor del mayor y, por ltimo, quesume las cifras del nmero obtenido. Abre la prediccin y asombra a todos!

Sumas y productos

El siguiente experimento puede realizarse incluso telefnicamente.

Una persona nombra y escribe en una hoja de papel una lista de n nmeros (para sim-plificar, supongamos que son de una cifra). Despus realizar secretamente los siguien-tes clculos:

1. Elegir al azar dos de los nmeros A y B y sustituirlos por el nmero

A x B + A + B.

2. Repetir la operacin anterior con el conjunto de n-1 nmeros restantes.

3. Continuar el proceso anterior hasta que slo quede un nmero en la lista.

Incluso antes de terminar el proceso, puede saberse el nmero resultante.

Ser difcil sospechar que el nmero final no depende del orden en que se elijan los nmerosde la lista. Por ejemplo, si los nmeros iniciales son 8, 1, 3, 4, 2, el resultado final es 1079,independientemente de los nmeros elegidos en cada paso.

Un buen ejercicio consiste en demostrar que, si la lista de nmeros es {X1, X2, ..., Xn}, el resul-tado final ser (X1 + 1) (X2 + 1) ... (Xn + 1) - 1.

Prodigio en clculo

Podemos impresionar a nuestros amigos y conocidos demostrando nuestras habilidadespara el clculo.

Solicitamos que se nos diga un nmero de cuatro cifras. Supongamos que nombran elnmero 4825. Lo anotamos dos veces en un papel:

4825 4825

A continuacin pedimos que se nos diga otro nmero de cuatro cifras. Supongamos quesea el 3625. Lo escribimos debajo del nmero de la izquierda:

4825 4825

3625

Aadimos a continuacin un nmero de cuatro cifras anotndolo debajo del nmero dela derecha. Escribimos por ejemplo el nmero 6374. Nos quedara as:

4825 4825

3625 6374



Ahora demostraremos que somos capaces de efectuar las dos multiplicaciones y dar elresultado de la suma de ambos productos antes que nadie. Ellos pueden incluso utilizaruna calculadora.

Para empezar, el nmero que escribimos al final no es arbitrario: es el que resulta de restar9999 del ltimo nmero nombrado, en nuestro caso 9999 - 3625 = 6374.

Para obtener rpidamente el resultado indicado, procederemos como sigue:

a) Restamos 4825 - 1 y escribimos el resultado 4824.

b) Restamos 9999 - 4824 = 5175 y escribimos el resultado a la derecha del anterior48245175. Este nmero es la suma de los dos productos.

Dejamos al lector interesado en el clculo la justificacin de esta regla.

2. LGEBRA CURIOSA

2.1. Clculo sorprendente

Algunos ejemplos, como el que mostramos a continuacin, pueden hacer que un nio veacomo magia pero no sorprenda a un adulto. En otras ocasiones se produce el efecto contra-rio, pues los adultos tienen una visin de la realidad que les impide ver como normal hechosque pueden ser aceptados por los nios.

Supongamos que la Tierra es una esfera perfecta y rodeamos un crculo mximo con una cinta.A continuacin, aadimos a la cinta un metro con lo que, en comparacin con su longitudtotal, puede considerarse una nfima parte de ella.

Si nos preguntamos ahora qu holgura dar la nueva cinta al rodear el crculo terrestre, la res-puesta intuitiva ms generalizada sera que dicha holgura iba a ser tambin despreciable y noiba a permitir el paso de ningn objeto de tamao regular.

As pues, algunos considerarn mgico el hecho de que el espacio entre la cinta y la superfi-cie terrestre permite el paso de millones de ratones al mismo tiempo.

El clculo real para comprobar este hecho es sorprendentemente sencillo:

Si llamamos r al radio de la Tierra, la longitud de la cinta es L = 2 pi r. Al aadir un metro a lacinta, su nueva longitud ser L + 1 = 2 pi (r + s), donde r + s es el nuevo radio.

Al resolver el sistema, se obtiene que s = 1 /2pi ~ 16cm. Est claro que, en toda su longitud,este espacio permite el paso de una legin de ratones.

Es de esperar que este hecho no sorprenda excesivamente a los nios, pues no tienen con-ciencia de la magnitud del tamao de la Tierra ni de cantidades excesivamente grandes.

Comentemos otras situaciones donde el resultado final no corresponde con nuestra intuicin:una hoja de papel tiene un grosor aproximado de 0.1mm. Si doblamos la hoja por la mitad,el grosor sera ahora de 0.2mm. Un nuevo doblez hara que el grosor pasara a ser de 0.4mm.Podemos estimar el grosor del papel despus de hacer 50 dobleces? Pues, por mucho quenos queramos aproximar, es difcil de creer que el grosor del papel sera tal que la luz tarda-ra ms de seis minutos en recorrerlo.

Un ltimo caso: supongamos que una persona conoce determinada noticia a las doce delmedioda. Despus de quince minutos, ya la ha contado a tres personas ms. Cada una deellas la cuenta a su vez a otras tres personas al cabo de otros quince minutos. De este modo,



a las 12:30 la noticia es conocida por 1 + 3 + 9 = 13 personas. Si el proceso contina al mismoritmo inicial, slo tendrn que pasar algo ms de cinco horas para que la noticia pueda serconocida por toda la poblacin mundial, estimada en ms de 6 mil millones de habitantes.

Estos ejemplos muestran un hecho comn entre las matemticas y la magia: la intuicin y laexperiencia previa pueden dar como resultado hechos sorprendentes al comprobar que la rea-lidad de algunos sucesos va en contra de lo esperado. Por esta razn, juegos basados en pro-piedades matemticas pueden entretener ms a pblicos inteligentes que se vean sorprendi-dos por algn hecho que no imaginaban que a pblico de preparacin no cientfica cuyoescaso conocimiento matemtico no le permite apreciar la sorpresa a que dan lugar algunaspropiedades matemticas.

2.2. Clculos mgicos

Algunos juegos matemgicos se basan en el uso de la descomposicin decimal de un nmeropara adivinar su valor o bien de otras descomposiciones sencillas. Como ejemplo, expondre-mos los siguientes.

Adivinacin de una carta

Asignaremos los siguientes valores numricos a los palos de las cartas de una baraja:

Del mismo modo, cada carta tiene un valor numrico indicado por su nmero, donde lasota vale 8, el caballo 9 y el rey 10.

Ahora se pide que alguien piense en una carta y realice las siguientes operaciones caba-lsticas:

1. Multiplicar el valor numrico de su palo por dos.

2. Sumarle tres.

3. Multiplicar por 5.

4. Sumar el valor de su nmero.

Cmo podemos ahora saber el valor y el palo de la carta? Sugerimos realizar el experimentocon un ejemplo e inferir la ley que regula el resultado.

Adivinacin de tres tiradas de un dado

Se pide a un espectador que realice las siguientes operaciones:

1. Lanzar un dado tres veces.

2. Multiplicar el primer resultado por dos.

3. Sumarle cinco.

4. Multiplicarlo por cinco.

5. Sumarle el segundo resultado.

6. Multiplicar por 10.

7. Sumarle el tercer resultado.



OROS COPAS ESPADAS BASTOS

1 2 3 4

Al nombrar el resultado final, el matemago es capaz de saber los resultados obtenidos enlos tres dados.

Si queremos saber cules son los valores obtenidos en cada una de las tiradas, basta resolverla ecuacin que se plantea con las operaciones anteriores. Por qu es suficiente restar 250 alresultado final?

Suma constante

Se muestra un reloj de bolsillo y se pide a un espectador que piense una hora cualquiera,de la una a las doce. A continuacin, el mago empieza a dar golpecitos en la esfera delreloj con un lpiz sin orden aparente. A cada golpecito el espectador debe ir contandode uno en uno, en silencio y empezando por el nmero previamente pensado. As, sipens en el siete, al primer golpe contar siete, al segundo ocho, y as sucesivamente.En el momento en que llegue a veinte, debe parar e indicarlo. Casualmente, o debido alos poderes magnticos de la magia, el lpiz en ese momento est apuntando a la horapensada al principio.

El mtodo es elemental: si quieres descubrirlo, piensa simplemente que el nmero degolpes dados ser igual a la diferencia entre 21 y el nmero pensado. Esa diferencia sercomo mnimo de nueve. Se trata pues de asegurar que, a partir de nueve, la suma entreel nmero de golpes dados y la hora sealada sea tambin veintiuno.

Par o impar

Se indica a un espectador que saque unas cuantas monedas de su bolsillo y las escondaen su puo. A continuacin el mago saca tambin unas monedas de su bolsillo y mues-tra su puo cerrado.

El mago entonces anuncia que, a pesar de no saber la cantidad de monedas que tiene elespectador en su mano, es capaz de predecir lo siguiente:

Si el nmero de monedas en la mano del espectador es par, al juntarlas con las delmago, el total de monedas ser impar; si, por el contrario, el nmero de monedas delespectador es impar, la suma de sus monedas con las del mago ser par.

Al hacer la comprobacin se observa la exactitud de la prediccin del mago.

Para que la prediccin sea correcta, el mago debe sacar una cantidad impar de monedas. Lasuma de dos cantidades impares es par y la suma de un nmero par y otro impar es impar.

2.3. Curiosidades aritmticas

Algunos hechos curiosos tambin pueden presentarse como efectos mgicos. Es bastanteconocido el siguiente:

Se pide a alguien que elija su nmero preferido de una cifra, llammosle N. A continua-cin se le pide que multiplique el nmero 12345679 por 9N.

La sorpresa que produce el resultado (el nmero preferido repetido nueve veces) puede acha-carse a la numerologa pero la belleza del resultado es consecuencia de la divisibilidad de111111111 por 9.

Hay muchsimos trucos de magia con cartas que usan, de una forma u otra, alguna propiedadmatemtica, a veces tan simple que parece mentira que el truco pueda pasar desapercibido.Uno de los ms famosos es el siguiente:



El juego de las 21 cartas

Se comienza por separar 21 cartas de una baraja. Un espectador coge la baraja, eligeuna carta, la devuelve al mazo y mezcla. El mago toma la baraja y coloca las cartas sobrela mesa, boca arriba, en tres montones, la primera carta es la primera del primer mon-tn, la segunda ser la primera del segundo montn, la tercera en el tercer montn, lacuarta sobre el primer montn, la quinta sobre el segundo, y as sucesivamente. Una vezcolocadas todas las cartas, el espectador debe indicar nicamente el montn en dondeest su carta. Despus se recogen todas las cartas, tal como estn pero colocando elmontn de la carta elegida entre los otros dos montones.

Se vuelve a repetir el proceso anterior una segunda vez y, por ltimo, una tercera vez,siempre de la misma forma y preguntando cada vez en qu montn est la carta elegida.

Despus de todo lo anterior, el mago es capaz de anunciar la carta elegida por el espec-tador.

Como el resultado final es siempre el mismo, para descubrir el mtodo basta con realizar lasoperaciones indicadas y buscar el lugar que ocupa la carta elegida. Casualmente, o quizdebido a cierta ley matemtica, la carta elegida ocupar el lugar undcimo a partir de cual-quier extremo.

La pregunta es: Por qu funciona siempre el truco?

Y otra pregunta, un poco ms general: Podra hacerse el mismo truco cambiando el nmerode cartas o el nmero de montones?

Voltea y corta

Bob Hummer fue un famoso mago estadounidense de principios del siglo XX que descubriinteresantes propiedades matemticas en una gran variedad de efectos mgicos (una recopi-lacin de su obra se encuentra en el libro The Collected Works of Bob Hummer escrito porKarl Fulves).

Ilustraremos aqu una de dichas propiedades, la conocida por el principio de Hummer, conel siguiente juego:

De una baraja francesa se separa un grupo par de cartas, de modo que tengan sus colo-res alternados, roja-negra, roja-negra, ..., y se entregan a un espectador. Se le pide querealice las siguientes operaciones:

1 Voltear las dos cartas superiores del paquete.

2 Cortar el paquete por cualquier lugar.

3 Repetir los pasos 1 y 2 cuantas veces desee.

De este modo habr en el paquete algunas cartas cara arriba y otras cara abajo pero apa-rentemente no hay ningn control sobre el nmero ni la posicin de las cartas caraarriba. El espectador entrega entonces el paquete al mago. Este debe separar el paqueteen dos montones sobre la mesa: deja la primera carta a la izquierda, la segunda a la dere-cha, la tercera sobre la primera, la cuarta sobre la segunda, y as sucesivamente, las paresen un montn y las impares en el otro. Por ltimo rene ambos montones pero despusde dar una vuelta completa a uno de ellos.

Pues bien, a pesar del aparente desorden de las cartas, en este momento habr tantas cartascara arriba como cartas cara abajo. Adems, en una direccin estarn todas las cartas negrasy en la otra todas las cartas rojas. La sorpresa entre el pblico ser mayor si este anuncio se



hace antes de empezar el juego. Puede incluso mejorar la presentacin del efecto si el manejofinal de las cartas por el mago se realiza de forma secreta, bien en la espalda del mago, bienbajo la mesa.

El manejo que acabamos de explicar es la base del principio de Hummer: si tenemos una can-tidad par de cartas alternadas (ya sea por colores, por palos o por cualquier otro criterio), algirar dos cartas consecutivas y colocarlas nuevamente, el orden previo se ha alterado pero elcambio se manifiesta por el giro de las cartas. No importa cuntas veces se realiza la opera-cin anterior: cada carta invertida representa una alteracin del orden inicial. La operacinfinal de invertir slo las cartas que ocupan el lugar par hace que queden en un sentido unode los grupos de cartas y en el otro sentido el otro grupo.

Muchos otros juegos y presentaciones diversas se basan en este principio, que no es fcil dedescubrir sin un detenido anlisis.

Prediccin cartomgica

El mago escribe una prediccin en una hoja de papel y entrega al espectador un paquetede cartas, con las que debe realizar las siguientes operaciones:

1) Colocar la carta superior en la parte inferior del paquete.

2) Retirar la siguiente carta.

3) Repetir los pasos 1) y 2) hasta que slo quede una carta en el paquete.

Se muestra ahora el contenido de la prediccin y se confirma que coincide con la nicacarta que ha quedado en el proceso de eliminacin.

El secreto est en saber de antemano qu carta quedar despus de realizar el proceso ante-rior y verla sin que nadie lo advierta. Para ello debe conocerse la expresin binaria del nmerode cartas del paquete inicial y colocar la primera cifra de la izquierda, siempre un uno, a laderecha del nmero. La carta que ocupa el lugar indicado por este ltimo nmero, empe-zando por arriba, ser la elegida.

Por ejemplo, si se utiliza toda la baraja espaola de 40 cartas, como su representacin bina-ria es 101000, la carta a predecir ser la decimosptima, pues 010001(2) = 17(10).

Un buen ejercicio consiste en demostrar la validez de esta frmula.

Como complemento, si se conoce una relacin de posibles combinaciones, puede repetirse elefecto con grupos de distinto nmero de cartas. Por ejemplo, para paquetes con un nmerode cartas igual a una potencia de dos, la carta final ser siempre la carta superior de la baraja.

Como no siempre es sencilla, al menos mentalmente, la operacin que nos indica el lugar dela carta que debemos predecir, mostraremos otro mtodo ms simple:

Supongamos que n es el nmero de cartas con que se realizar el experimento. En primerlugar, debemos ver la carta superior de la baraja. Despus haremos mentalmente la multipli-cacin por dos de la diferencia entre n y la mayor potencia de dos que sea menor que n.

Por ejemplo, si n = 25, entonces 2 x (25 - 16) = 18. La diferencia 25 18 = 7 indica el nmerode cartas que han de pasarse de arriba abajo para que la carta superior (ya conocida) quedeen el lugar idneo para aparecer al final del proceso. En este caso, la carta ocupar el lugar19 desde la parte superior, lo que coincide con la frmula inicial:

25(10) = 11001(2) y 19(10) = 10011(2).



A vista de pjaro

Un ejercicio de supuesta rapidez visual es el siguiente.

Se muestran seis tarjetas o cartulinas, cada una de ellas conteniendo los nmeros que seindican. Se pide a un espectador que piense un nmero y que separe las tarjetas que con-tienen dicho nmero. El matemago, con un simple vistazo a dichas tarjetas, nombra rpi-damente el nmero pensado.

El mtodo es muy sencillo: basta sumar los primeros nmeros de las tarjetas que contienen elnmero pensado. Con toda seguridad, la prueba de la validez de este mtodo es mucho msinteresante para alguien interesado en las matemticas. Dicha prueba se vuelve sencilla des-pus de observar con detalle las tarjetas: si escribimos la representacin binaria de los nme-ros involucrados, en la tarjeta 1 estn todos los nmeros cuya ltima cifra es un uno, en la tar-jeta 2, aquellos cuya penltima cifra es un uno, y as sucesivamente. El primer nmero de cadatarjeta indica el valor decimal de cada una de las cifras del nmero. As que su suma nos darel nmero pensado.



TARJETA 1

1 3 5 7 9 11 13 15

17 19 21 23 25 27 29 31

33 35 37 39 41 43 45 47

49 51 53 55 57 59 61 63

TARJETA 2

2 3 6 7 10 11 14 15

18 19 22 23 26 27 30 31

34 35 38 39 42 43 46 47

50 51 54 55 58 59 62 63

TARJETA 3

4 5 6 7 12 13 14 15

20 21 22 23 28 29 30 31

36 37 38 39 44 45 46 47

52 53 54 55 60 61 62 63

TARJETA 4

8 9 10 11 12 13 14 15

24 25 26 27 28 29 30 31

40 41 42 43 44 45 46 47

56 57 58 59 60 61 62 63

TARJETA 5

16 17 18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28 29 30 31

36 37 38 39 44 45 46 47

52 53 54 55 60 61 62 63

TARJETA 6

32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47

48 49 50 51 52 53 54 55

56 57 58 59 60 61 62 63

3. GEOMETRA RECORTABLE

3.1. Puzzles geomtricos

Las siguientes ilustraciones muestran algunas paradojas geomtricas que se observan recor-tando figuras planas y reconstruyndolas de otra forma. En algunos ejemplos el error es fcil-mente detectable pero en otros puede ser ms sutil. Invitamos a pensar en ellos.

Ejemplo 1. En una hoja de papel se dibujan diez lneas paralelas, como en la figura de laizquierda; se recorta la hoja por la diagonal y se desplaza la mitad superior como indica lafigura de la derecha. Por qu ahora slo hay nueve lneas? Dnde est la dcima?

Ejemplo 2. En el tablero de ajedrez de la izquierda se sombrean los 15 cuadros indicados. Sise recorta por la lnea marcada y se desplaza la mitad superior como se ilustra en la figura dela derecha, el nmero de cuadros sombreados es ahora 14 (donde el tringulo que sobresaleen el extremo superior derecho se traslada al extremo inferior izquierdo). Quin se ha llevadoel cuadro que falta? Si el tablero original tena 8 x 8 = 64 cuadros, ahora slo tiene 9 x 7=63cuadros.

Ejemplo 3. El rectngulo de la figura se construye uniendo las piezas A, B, C y D. Es evidenteque el rea de dicho rectngulo es 30 unidades.



Sin embargo, si colocamos las mismas piezas como se indica a continuacin, la figura queresulta tiene rea 20 + 12 unidades. Desde cundo el rea de una regin depende de su dis-posicin?

Ejemplo 4. El rectngulo de la figura superior est formado por las cinco piezas A, B, C, D yE. Ahora bien, si recolocamos las piezas como se indica en la figura inferior, falta un cuadropara completar el rectngulo. Cmo ha podido perderse?

Ejemplo 5. Similar al caso anterior es el del tringulo (llamado tringulo de Curry) que semuestra a continuacin. Con la primera disposicin de las piezas se llena el tringulo pero, aldisponerlos como se muestra a la derecha, se han perdido dos cuadros. Hay alguna propie-dad geomtrica que regule esta situacin?



Ejemplo 6. La siguiente construccin es tambin muy intrigante. Se forma el cuadrado de laizquierda y se llama la atencin sobre los cuadrados pequeos, numerados del uno al cinco.

Al deshacer la figura y volverla a construir en la forma indicada por la figura de la derecha, seobserva que uno de los cuadrados ha desaparecido. Con un poco de habilidad puedes haceraparecer el cuadrado que falta en algn lugar inesperado.

Estos ejemplos y muchos ms pueden convertirse en originales efectos de magia con una ade-cuada puesta en escena. La sorpresa inicial que produce cualquiera de estas situaciones hacepensar en que el mago posee algn tipo de habilidad manual o conoce alguna tcnica des-conocida, por no decir que puede llegar a poseer ciertos poderes mgicos.

Por otra parte, no podemos desdear el aspecto matemtico de estos divertimentos pues esimportante distinguir estos trucos de verdaderas demostraciones matemticas. Por ejemplo,algunas de las mltiples demostraciones del teorema de Pitgoras consisten precisamente enrecortar papel. Mostramos a continuacin una de ellas.

Se dibujan sobre los catetos del tringulo rectngulo dos cuadrados y se recorta el de lado elcateto mayor en cuatro partes iguales, trazando desde el centro del cuadrado una recta para-lela a la hipotenusa. A continuacin, estas piezas, junto con el cuadrado de lado el catetomenor, se trasladan como se muestra en la figura para formar el cuadrado de lado la hipote-nusa del tringulo.

Observaciones

1) Una propiedad de las sucesiones de Fibonacci permite construir nuestros propios ejemplosde puzzles paradjicos: basta saber que el cuadrado de cualquier trmino de la sucesin deFibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., es igual al producto de los dos trminos adyacentes a l ms omenos uno; simblicamente,

an2 = an-1 . an+1 m 1.



El ejercicio que planteamos ahora es construir un cuadrado de lado an y recortarlo (en cuatropiezas) de modo que al reconstruirlo se forme un rectngulo de lados an-1 y an+1. La paradojaest servida.

2) Como es sabido, las matemticos presentan en ocasiones propiedades que van ms all decualquier idea intuitiva a pesar de no contener contradicciones formales. En este sentido cita-remos dos propiedades geomtricas dentro de la teora de la medida:

a) Paradoja de Hausdorff. En 1914, Felix Hausdorff prob que es posible dividir una esfera Sen tres figuras A1,A2,A3 congruentes, es decir con reas iguales, de modo que

A1 U A2 U A3 = S, m(Ai I Aj) =0, (i =/ j)

y tal que A1 es congruente con A2 U A3, A2 es congruente con A1 U A3 y A3 es congruentecon A1 U A2.

b) Paradoja de Banach-Tarski. Pocos aos despus, Stefan Banach y Alfred Tarski demostraronotro resultado, tambin aparentemente paradjico, que se puede enunciar en lenguaje nomatemtico diciendo que es posible descomponer una esfera en un nmero determinadode piezas, las cuales pueden recomponerse, sin dejar huecos, para formar otra esfera detamao considerablemente mayor.

Evidentemente, las demostraciones de estos resultados no son constructivas pues estn basa-das en el axioma de eleccin, de modo que no es posible mostrar un ejemplo de lo anterioren nuestro modelo de geometra eucldea (consultar detalles en [Bu]).

3.2. La banda de Mbius

Es bastante popular y conocida la banda de Mbius, una superficie no orientada pues sloposee una cara y una arista. Surgi alrededor de 1.858 en un trabajo de Mbius y Listing y yaen 1.890 se us como truco de magia, antes de que el conocimiento de sus propiedades seextendiera a mbitos no cientficos.

Su construccin es muy sencilla: se juntan los extremos de una cinta pero, antes de unirlos,se da un giro de 180 a uno de los extremos. Al recorrer la banda que se forma de esta manera,para llegar al punto de partida se deben recorrer los dos lados de la cinta original. Una apli-cacin ingeniosa de este hecho se encuentra en los carretes de cinta en las mquinas de escri-bir o en las cintas de impresora, lo que permite utilizar la tinta de ambos lados antes de ago-tar el carrete. Este principio permite a los magos realizar experimentos donde se oculta elhecho de que se est utilizando una banda de Mbius pero, tambin, proporciona otras pro-piedades que no son tan conocidas.

Veamos algunos hechos sorprendentes:

1) Como prueba de habilidad el mago anuncia que es capaz de cortar una banda de papel porla mitad sin separarla. Para ello prepara la banda de Mbius como se ha indicado y recr-tala longitudinalmente por el centro de la cinta. El resultado final muestra una banda eldoble de larga que la original, en vez de dos bandas, como caba esperar.

2) Para aumentar la sorpresa, se puede intentar otro experimento ms difcil todava. Se pre-para una nueva banda de Mbius pero esta vez se corta longitudinalmente pero siempre aun tercio de la distancia al borde. Qu figura se obtiene? Cmo ha salido otra banda enla-zada a la primera?

3) Prepara otra banda con una cinta pero, antes de unir los extremos, haz un doble giro a unode ellos. Recorta nuevamente la banda a lo largo de su lnea central. Una nueva sorpresa!



Dos bandas de la misma longitud enlazadas!

4) Recorta cada una de las bandas obtenidas en el experimento anterior. Ahora saldrn cuatrobandas, todas enlazadas.

Parecen evidentes las ventajas que estas experiencias representan para conseguir motivar a losestudiantes en el estudio de las matemticas.

4. PROBABILIDAD VENTAJOSA

Tambin es destacable la contribucin de la teora de probabilidades al desarrollo de juegoscon alguna componente de sorpresa. No citaremos aqu los aspectos relativos al estudio de lasordenaciones de cartas, en concreto, la llamada mezcla faro, investigada por un gran nmerode matemticos, entre quienes destacaremos a Persi Diaconis, un mago que se hizo matem-tico, interesado por las propiedades matemticas de las cartas. Nos limitaremos a citar algu-nos ejemplos en los que el mago aprovecha conocimientos poco comunes entre pblico conescaso conocimiento probabilstico.

4.1. Jugador de ventaja

Existe la creencia de que los jugadores de ventaja aprovechan no slo su habilidad manualsino que utilizan en muchas ocasiones objetos trucados con los que ganar cualquier apuesta.

Tambin las matemticas pueden ayudar a estos jugadores tramposos si conocen algunas pro-piedades poco conocidas. La propiedad que utilizaremos en el siguiente ejemplo vamos adenominar no transitividad de las leyes de probabilidad".

Construimos cuatro dados que contengan los siguientes nmeros en sus caras.

El juego se realiza con dos jugadores: el primero elige un dado, el segundo otro, se lanzan losdados y gana quien obtenga mayor puntuacin.

A simple vista, parece que el jugador que elija primero tiene ventaja sobre el segundo puesalguno de los dados tendr ventaja sobre los dems. Slo necesita saber cul es dicho dado.Sin embargo, y por increble que parezca, con probabilidad 2/3 el primer dado gana alsegundo, el segundo al tercero, el tercero al cuarto, y, debido a la falta de transitividad, elcuarto gana al primero. Esto significa que el segundo jugador que elige dado tiene la ventajade saber el dado de su contrincante y tomar el que gana.



Evidentemente, este juego debe realizarse un gran nmero de veces para estabilizar la proba-bilidad de cada uno. En promedio, dos de cada tres veces gana el jugador que escoge ensegundo lugar.

Esta singularidad probabilstica fue descubierta por el estadstico Bradley Efron. Adems, estaviolacin de la transitividad es la base de algunas paradojas de votacin: las preferenciassociales que se determinan por votacin entre un nmero determinado de candidatos no obe-dece la propiedad transitiva. En el libro de John Allen Paulos [Pau] se muestran algunos ejem-plos de esta situacin.

Otras aparentes paradojas probabilsticas se presentan al combinar de forma preasignada cier-tos juegos de azar, en donde la tendencia de cada uno de ellos por separado se inviertecuando se combinan entre ellos. El lector interesado, y que posea conocimientos sobre lascadenas de Markov, puede consultar [Par] para conocer el funcionamiento de la paradoja deParrondo.

4.2. Sucesos casi seguros

Se da una baraja a mezclar a un espectador. Despus de colocar la baraja cara abajopide que el espectador nombre los valores de dos cartas (sin precisar el palo).Supongamos que dice el tres y la sota. A continuacin, ve pasando cartas de la baraja,una a una y caras arriba, hasta que aparezcan seguidos un tres y una sota.

Este efecto funciona el 90% de las veces debido a las leyes de probabilidad y, en caso con-trario, es muy posible que estn separadas por una sola carta. Una propiedad tan inusualcomo esta crea un gran impacto pues a priori da la impresin de ser algo que ocurre en pocasocasiones. Es tarea del mago hacer creer a los espectadores la casi imposibilidad del resultadofinal.

Un experimento con resultado similar al anterior es el siguiente: se dan dos barajas, una acada espectador, para que las mezclen. A continuacin, se dejan sobre la mesa y se pide quevayan repartiendo cartas cara arriba, una por una, de ambas barajas a la vez. Es casi seguroque, en el transcurso del reparto, aparecern dos cartas iguales a la vez, una de cada baraja.

Otra apuesta casi segura, pero que requiere algo de habilidad en su realizacin, es lasiguiente: Escoge 25 cartas al azar y apuesta a que eres capaz de formar con ellas cinco manosde pquer, de modo que cada una de ellas sea al menos una escalera; esto quiere decir quelas jugadas permitidas son color", full", pquer", escalera de color" y escalera real". Loseguro es que al menos habr dos jugadas de color" (cinco cartas del mismo palo).

Presentamos a continuacin otro juego, basado en la llamada cuenta Kruskal, pues debe elnombre a su descubridor el fsico Martin Kruskal (este y otros juegos matemticos con cartasse explican en [Mu]).

Adivinacin cartomgica

Se distribuyen todas las cartas de la baraja, previamente mezclada, caras arriba sobre lamesa. Un ejemplo se muestra en la figura adjunta.

Se pide a un espectador que piense un nmero del uno al diez. A continuacin, deberealizar las siguientes operaciones, todas ellas mentalmente para no dar ninguna indica-cin de sus resultados:

1) Empezando con la primera carta, debe recorrer tantas cartas como indica el nmeropensado.



2) Al finalizar, debe fijarse en el valor de la carta donde se ha detenido y volver a reco-rrer, empezando por dicha carta, tantos pasos como indica dicho nmero. [En caso deque se haya detenido en una figura, recorrer cinco pasos.]

3) El proceso anterior debe repetirlo tantas veces como sea posible, es decir siempre quehaya suficientes cartas para hacer el recorrido preciso. Cuando no pueda hacerlo ms,debe fijarse y recordar la ltima carta del ltimo trayecto.

Pues bien, a pesar de la aleatoriedad de dicho proceso, el mago puede descubrir el valorde dicha carta.

Por ejemplo, si se siguen las instrucciones anteriores con la figura adjunta, podramos apostara que la carta final ser el cinco de oros.

Ya se deduce, a partir del proceso seguido, que el mtodo de adivinacin no puede consistiren habilidad tcnica, sino en algn principio matemtico. Como el mtodo es directo, la nicaconsecuencia plausible es que el resultado ser independiente de las condiciones iniciales.Para casi todas las elecciones de la primera carta, el camino converge al mismo resultado final(concretamente, la probabilidad de que esto ocurra es mayor de 0,8). La pregunta que surgede forma natural es entonces: cul es la propiedad en que se basa este resultado?

Puede consultarse el trabajo [LRV] donde se calculan las probabilidades de xito en el juegocon asignaciones diferentes para los valores de las figuras; destaquemos que si la sota cuenta10 pasos, el caballo 11 y el rey 12, las probabilidades disminuyen a menos del 70%. Elmodelo matemtico que mejor se ajusta a las caractersticas de este juego es el de las cade-nas de Markov, tipos especiales de procesos estocsticos, de gran inters en ciertas aplicacio-nes estadsticas.

Otro anlisis del juego est realizado en [HR]. Relacionada con este trabajo est la versininteractiva que puede realizarse en la direccin electrnica

http://www.cecm.sfu.ca/cgi-bin/organics/carddemo.pl

Observacin. Se ha encontrado (como indica [Pe]) una gran similitud entre la clave del xitoen el juego anterior con la siguiente reflexin de Sherlock Holmes:



Mi querido Watson, cuando sigues dos cadenas de pensamiento diferentes, siempreencontrars algn punto de interseccin que te aproximar a la verdad."

Apuesta segura

Un principio matemtico, de gran sutileza, permite realizar sin ninguna posibilidad de fracasola siguiente apuesta:

Se disponen previamente las cartas de una baraja francesa de modo que queden alter-nadas las rojas y las negras (pero sin dejar que esta preparacin sea advertida). Se cortala baraja aproximadamente por la mitad (de modo que las cartas inferiores de cadapaquete sean de distinto color) y se mezclan ambos montones intercalando cartas de unoy otro montn (puede mezclar el espectador para cerciorarse de la limpieza del proceso).Entonces cada jugador extrae una carta de la parte superior de la baraja: si las cartas deambos jugadores son de distinto color, una roja y una negra, el mago gana un punto; sison del mismo color, gana el contrario. Al terminar de repartir toda la baraja se sumanlos puntos. Sorprendentemente, el mago ha obtenido todos los puntos en juego.

El hecho recin explicado es la base del llamado principio de Gilbreath: una mezcla de labaraja como se ha explicado no dejar juntas ms de dos cartas del mismo color y, aunquehaya dos consecutivas del mismo color, no saldrn juntas si se extraen las cartas de dos endos.

Basndose en este principio, la comunidad mgica ha creado una gran variedad de efectos.Por ejemplo, si preparamos la baraja de modo que los palos se repitan secuencialmente, siem-pre en el mismo orden, y vamos repartiendo sobre la mesa una por una aproximadamente lamitad de las cartas, al mezclar por el mtodo de intercalacin el montn de la mesa con elmontn de la mano, al sacar las cartas en grupos de cuatro, siempre habr en cada grupo unacarta de cada palo.

Si estudiamos con algn detalle el funcionamiento de este principio, podemos encontrar otrasinteresantes aplicaciones, tanto a la magia como a las matemticas.

4.3. Juegos de estrategia

Existen algunos juegos numricos en los que participan dos o ms jugadores, donde aparen-temente el resultado es aleatorio pero para los que existen estrategias, basadas en leyes mate-mticas, que permiten ganar a quien las conozca.

Esto permite a un matemago plantearlos como juegos de habilidad, en los que el jugador con-trario es incapaz de ganar a pesar de concedrsele todas las facilidades posibles.

Juego del 31

Cada jugador nombra por turnos un nmero del 1 al 6. Cada nmero nombrado se sumaal resultado anterior. Gana el primero que llegue exactamente a 31.

Ganar siempre quien logre nombrar el nmero 24, pues el oponente no podr nombrar el 31pero tendr que decir un nmero cuya distancia a 31 sea menor que 7. Por la misma regla,quien nombre los nmeros 17, 10 3 ser el ganador del juego.

Una variante cartomgica del juego consiste en dejar sobre la mesa cuatro montones de car-tas: el primero formado por los cuatro ases (o unos), el segundo por los cuatro doses, y assucesivamente, el ltimo formado por los cuatro seises de la baraja. Cada jugador retira unacarta cualquiera, por turnos, y se van sumando los valores de las cartas retiradas. Gana quien



retire la carta que suma 31 u obligue al oponente a retirar una carta de modo que la sumaexceda de 31.

La diferencia estriba en que slo puede nombrarse cada nmero un mximo de cuatro veces.As, quien empiece el juego con el tres perder con la siguiente secuencia de nmeros:

3 - 4 - 3 - 4 - 3 -4 -3 - 4

cuya suma es 28 pero impide nombrar el tres, al haberse agotado estas cartas. Puede ser inte-resante mezclar ambas variantes para ganar a algn jugador avispado.

Juego del Nim ([Fr])

Se dejan sobre la mesa veinte monedas o cerillas y dos jugadores deben retirar alterna-damente una, dos o tres de ellas en cada turno. Quien tenga que retirar la ltima cerillade la mesa es el perdedor del juego.

El procedimiento para ganar, independientemente de quien empiece el juego, es retirar encada turno el nmero de cerillas necesario para que sobre la mesa queden 17, 13, 9 5 ceri-llas.

Es fcil calcular cuntas se deben retirar para que siempre haya sobre la mesa una de las can-tidades indicadas. Como la diferencia entre los nmeros clave es cuatro, el nmero de ceri-llas a retirar en cada turno depender de las que retire el oponente.

Aqul que comience a jugar posee una estrategia ganadora, pues basta que retire tres cerillasen el turno inicial.

Cuando el resto de jugadores puedan tener alguna idea sobre la estrategia ganadora, se lespuede despistar utilizando inicialmente una cantidad distinta de cerillas.

Algunas variantes del juego consisten en colocar las monedas en diferentes filas y retirar encada turno monedas de una sola fila. Esto modifica la estrategia que debe utilizarse para ganar.Una explicacin muy completa e ilustrativa, basada en la representacin binaria de los nme-ros, puede encontrarse en [Gu].

5. CONCLUSIN

La Enseanza efectiva de las Matemticas puede ser entretenida?

Una gran mayora de nuestra sociedad todava piensa que las matemticas constituyen un reaoscura que contiene profundos misterios que slo pueden ser entendidos por una clase espe-cial de personas.

Se podra pensar que la magia permitira disipar esta creencia? Si alguna propiedad matem-tica, como las expuestas anteriormente, se plantearan como enigmas a resolver en vez de unaexposicin de poderes mgicos, hara que los estudiantes trataran de encontrar el secreto pors mismos; esto dara pie a profundizar en las leyes sobre las que reposan los hechos en cues-tin. Adems se sale de la rutina en la que las matemticas no permiten el uso de la imagina-cin y el espritu crtico, pues la bsqueda de la solucin requiere un proceso de discusin yde planteamiento de ideas originales.

Por otra parte, este tipo de presentacin poco convencional mantiene la atencin de unaclase. Las pistas que se ofrecen durante la realizacin, en general ocultas por un buen mago,harn que pueda reproducirse un efecto matemgico por los estudiantes y llegar a la solucindel secreto, no sin antes eliminar otras posibles soluciones, que lleven a propiedades mate-mticas similares. Esta es tambin una tcnica vlida de resolucin de problemas.



Veamos algunos efectos, catalogados como de magia mental, presentados en clases de alum-nos de primaria (consultar [Mo]).

Prediccin con el diccionario

El profesor advierte que es capaz de percibir los pensamientos de los alumnos y para probarloescribe una prediccin en una hoja de papel que deja dentro de un sobre y lo coloca en unlugar visible pero inaccesible.

A continuacin indica a los alumnos que sigan un conjunto de instrucciones elementales:

1) Escribir un nmero de tres cifras.

2) Debajo de l escribir el mismo nmero pero con sus cifras colocadas en orden inverso.

3) Realizar la resta de dichos nmeros, el mayor menos el menor.

4) Volver a escribir debajo el mismo nmero obtenido de la resta, pero con las cifras coloca-das de nuevo en orden inverso.

5) Sumar estos dos nmeros.

6) Buscar en un diccionario una palabra asociada con el resultado final.

7) Como el nmero ser demasiado grande, utilizar las primeras cifras (todas menos la ltima)para representar la pgina del libro y la ltima cifra para contar el nmero correspondientede palabras en dicha pgina.

8) Una vez encontrada la palabra que ocupa dicho lugar, digamos la novena palabra de lapgina 108, nombrar dicha palabra.

9) Por ltimo, abrir el sobre y leer lo escrito inicialmente por el profesor.

Sorprendentemente, la prediccin coincide con la palabra del libro sealada.

Al realizar el experimento con diferentes nmeros se observa que el resultado final es inva-riable, lo que conduce a buscar una explicacin dentro de las matemticas. La pregunta surgeen las propias mentes de los alumnos: por qu se obtiene el mismo resultado aunque se uti-licen diferentes nmeros?

Diferentes ensayos y sugerencias del profesor irn llevando a precisar las propiedades de lasoperaciones algebraicas que muestren la validez de las hiptesis planteadas. La observacinclave ser que despus de la primera resta, la cifra central ser un nueve y la suma de las otrasdos tambin ser nueve.

Desde este momento, la idea de la prediccin y la sorpresa que produce la coincidencia delas palabras ya no es importante, pues la explicacin surge por s misma. Sin este descubri-miento, se debe pensar que la magia existe.

Un problema complementario que se debe plantear, si no ha surgido de la discusin previa,es el de saber si con todos los nmeros se llega al mismo resultado. Ms an, descubrir el con-junto de nmeros para los que no funciona el experimento.

Proponemos a continuacin un problema similar cuyo estudio permite complementar el pro-ceso de aprendizaje.

Pide que escriban un nmero de cuatro cifras y, debajo de l, el mismo nmero con lascifras invertidas (de derecha a izquierda). A continuacin, que reste el menor del mayor,que tachen una de las cuatro cifras del resultado y te digan las tres restantes, en cualquierorden. Cmo puede saberse la cifra eliminada?



Como conclusin podemos sugerir la magia como una forma de conseguir atraer el inters delos estudiantes por las matemticas elementales, una va en la que ellos mismos plantean losproblemas, buscan las soluciones y proponen las reglas que las producen.

Como ejemplo, reproducimos un esquema utilizado para el aprendizaje y motivacin de algu-nos aspectos de la educacin matemtica y fsica, mediante la magia:

En primer lugar el profesor realiza un truco.

A continuacin los alumnos intentan adivinar la explicacin del mismo.

El profesor revela la verdadera explicacin, comparndola con las sugeridas por losestudiantes.

Como el secreto es una aplicacin de algn principio cientfico, se puede despertar elinters de los estudiantes hacia temas de la ciencia de forma amena.

6. DESIDERATUM

Si has logrado llegar hasta aqu, conoces suficientes secretos para considerarte un aficionadoa la magia. De modo que ya puedes aplicarte la principal regla de los magos:

Nunca reveles los secretos de la magia.

Si adems te has sentido tentado en descubrir los secretos y la base matemtica de los juegosaqu expuestos, puedes considerarte un aficionado a las matemticas. De modo que puedesaplicarte para resolver el siguiente problema, propuesto en la 41 Olimpiada MatemticaInternacional, celebrada en Taejon (Corea del Sur) en Julio de 2000:

Un mago tiene cien tarjetas numeradas, del 1 al 100. Las coloca en tres cajas, una roja,una blanca y una azul, de tal manera que cada caja contiene por lo menos una tarjeta.

Un espectador selecciona dos de las tres cajas, extrae una tarjeta de cada una y anunciaa la audiencia la suma de los nmeros de las dos tarjetas elegidas. Al conocer esta suma,el mago identifica la caja de la cual no se ha elegido ninguna tarjeta.

De cuntas maneras se pueden distribuir todas las tarjetas en las cajas de modo que estetruco siempre funcione?



7. REFERENCIAS

[Bu] Bryan Bunch, Mathematical Fallacies and Paradoxes. Van Nostrand, 1982.

[By] John Byers, La magia del nmero 37037. http://www.vsv.slu.se/johnb/java/cal-mag-1.htm

[CF] Jos Carlavilla y Mercedes Fernndez, Cuadrados Mgicos. Proyecto Sur deEdiciones, 2000.

[Ea] Rob Eastaway, Maths and Magic.http://plus.maths.org/issue14/features/eastaway/index.html

[Fa] John Fauvel, Sobre la consideracin como texto del libro de John Wilkins,Mathematical magic.http://w4.ed.uiuc.edu/faculty/westbury/Paradigm/fauvel1.html

[Fr] Bob Friedhoffer, The Science behind the Magic.http://hometown.aol.com/scienctrix/index.html

[Ga] Martin Gardner, Mathematics, Magic and Mystery. Dover, 1956.

[Gu] Miguel de Guzmn, Cuentos con cuentas. Labor, 1987.www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/cuentosconcuentas/nim/nim0003.htm

[HR] Wayne Haga y Sinai Robins, On Kruskal's Principle. Organic Mathematics,Burnaby, 1995.

[LRV] Jeffrey Lagarias, Eric Rains y Robert Vanderbei, The Kruskal Count.http://xxx.lanl.gov/abs/math.PR/0110143

[Lo] Bob Longe, The Magical Math Book. Sterling, 1998.

[MG] Christine Megit y Jessica Greer, Los pitagricos, numerologa y misticismo.http://pythagoreans.tripod.com

[Mo] Larry Moss, Teaching magic as a math topic in an elementary classroom.http://www.fooledya.com/moss/papers/mathfun.html

[Mu] Colm Mulcahy, Mathematical card tricks.http://www.ams.org/new-in-math/cover/mulcahy1.html

[Par] Juan Parrondo, Juegos de azar paradjicos. La Gaceta de la RSME, 4, 355365(2001).

[Pau] John Allen Paulos, El hombre anumrico. Tusquets, 1990.

[Pe] Ivars Peterson, Guessing Cards.http://www.sciencenews.org/20011222/mathtrek.asp

[Si] William Simon, Mathematical Magic. Dover, 1964.



Revista SIGMA 21

la matemagia desvelada

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