la logique propositionnelle - esen
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NotesdeCoursT.Mellah
A.U2019-2020 1
LALOGIQUEPROPOSITIONNELLE
SOMMAIREOBJETDELALOGIQUE 2I-DEFINITIONETNOTATION 2II-OPERATIONSLOGIQUESSURLESPROPOSITIONS 2II-1CONNECTEURSTABLEDEVERITE 2II-2REGLESDEFORMATION 2II-3LOISLOGIQUES 3II-3-1CONSEQUENCESLOGIQUES 3Définition 31.Tautologieetantilogie 32.Equivalenceetimplicationlogique 33.Argument 4II-3-2ALGEBRESDESPROPOSITIONS 4IIITHEORIEDEDEMONSTRATION 4III-1DEFINITION 4III-2AXIOMESETREGLESD’INFERENCES 5III-3THEOREMES 6
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Objetdelalogique
Lalogiqueseproposed’étudierles«énoncés»quisontlediscourshumainexprimantleraisonnement.Parmitouslesénoncéspossiblesquipeuventêtreformulésdansunelangue,ondistingueceuxauxquelsilestpossibled’attribuerune«valeurdevérité»vrai/faux,appelépropositions
I-Définitionetnotation
1-Unepropositiondebase(formuleatomique/atome)estunénoncéquiestsoitvraisoitfauxmaispaslesdeuxàlafois.
ChaquepropositionnotéPaunevaleurdevéritéouvaluationnotéVquiestsoitlevraiV(P)=1soitlefauxV(P)=0
Formellement,lespropositionsqu’étudielalogiquepropositionnelledoiventrépondreauxprincipessuivants:
• Principedenoncontradiction:unepropositionnepeutêtresimultanémentvraieetfausse• Principedutiers-exclu:unepropositionestvraieoufausse(iln’yapasd’autrepossibilité)
II-Opérationslogiquessurlespropositions
II-1ConnecteursTabledeVérité
Symbole Nom Utilisation
¬ Négation ¬P:nonP
∧ Conjonction P∧Q:PetQ
∨ Disjonction P∨Q:PouQ
→ Implication P→Q:siPalorsQ;PimpliqueQ
↔ Equivalence P↔Q:PssiQ
Tabledevéritédesconnecteurs
P Q P∧Q P∨Q P→Q P↔Q
F F F F V V
F V F V V F
V F F V F F
V V V V V V
II-2Règlesdeformation
PropriétéI:Lesformulesouformespropositionnellessontdéfiniesrécursivement:
1. Unepropositiondebaseestuneformule2. SiPestuneformulealors¬Pestuneformule
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3. SiPetQsontdesformulesalorsP∧Q,P∨Q,P→QetP↔Q4. Touteslesformessontgénéréesenappliquantcesrègles
PropriétéII:Règledeprioritédesconnecteurslogiques–convention-
Lesrèglesdeprioritédesconnecteurslogiquessontlessuivants,parordredeprioritédécroissante:lanégation,laconjonctionetladisjonction(aumêmeniveau),l’implicationetm’équivalence(aumêmeniveau)
PropriétéIII:Associativitédesopérateurs∧et∨
𝑃⋀𝑄 ∧ 𝑅 ≡ 𝑃 ∧ 𝑄 ∧ 𝑅 ≡ 𝑃 ∧ 𝑄 ∧ 𝑅
𝑃 ∨ 𝑄 ∨ 𝑅 ≡ 𝑃 ∨ 𝑄 ∨ 𝑅 ≡ 𝑃 ∨ 𝑄 ∨ 𝑅
NB:
• Laparenthésageestobligatoirequand∨et∧setrouventdanslamêmeformule,puisqueiln’yapasdeprioritéentre∧et∨:(P∧Q)∨R≢P∧(Q∨R)
• L’implicationet l’équivalencenesontpasassociatives, lesparenthèsesontobligatoireP→(Q→R) ≢(P→Q)→RetP↔(Q↔R) ≢(P↔Q)↔R
• L’ordred’uneformuleestlenombremaximaldefoisoùlesrèglesdeformationsontappliquées;par
exemple𝑓(𝑃,𝑄,𝑅): ( ¬ 𝑃 → 𝑄 ∨ 𝑅 ↔ 𝑃 ↔ 𝑄 )estuneformuled’ordre4.
II-3Loislogiques
II-3-1Conséquenceslogiques
DéfinitionSoituneformulef,etsoientP1,P2…Pnlesatomesintervenantdansf.UneinterprétationdefestuneaffectationdesvaleursdevéritéàP1,P2…Pn
Parmitouteslesformulesbienforméespossibles,certainesontdespropriétésparticulières:
1.TautologieetantilogieUneformulefestditevalideouappeléeunetautologie,sielleestvraiequelquesoitsoninterprétation.Notation⊨ 𝑓
Uneformuleestinconsistante/contradictionouencoreuneantilogiesielleestfaussequelquesoitsoninterprétation;
Théorème:Principedesubstitution
Si𝑓 𝑃!,𝑃! …𝑃! estunetautologie;supposonsqu’onremplace 𝑃!,𝑃! …𝑃! par 𝑄!,𝑄! …𝑄! ;lanouvelleformule𝑓∗estunetautologiequelquesoitlesatomes𝑄1 ,𝑄2 …𝑄𝑛
Si⊨ 𝑓 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 ⊨ 𝑓∗
2.EquivalenceetimplicationlogiqueSoientf1etf2deuxformules:
• f1impliquelogiquementf2(notéf1⇒f2)sif2estvraichaquefoisquef1estvrai
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• f1estéquivalentelogiquementàf2(notéf1⇔f2ouencoref1≡f2)siellesontdestablesdevéritéidentiques.
NB
• 𝑃 → 𝑄 ≡ ¬𝑃 ∨ 𝑄• 𝑃 ↔ 𝑄 ≡ 𝑃 → 𝑄 ∧ 𝑄 → 𝑃 ≡ (𝑃⋁¬𝑄)⋀(¬𝑃 ∨ 𝑄)
3.ArgumentUnargumentestunénoncédanslequelunensembledeproposition-appeléesprémisses-P1,P2…PnconduitparvoiedeconséquenceàunepropositionQ(appeléerésultat),onnote𝑃!,𝑃!,𝑃!,… . ,𝑃! ⊢ 𝑄
Définitiondevaliditéd’unargument:UnargumentestditvalidesiQestvraichaquefoisquelesprémissesP1,P2…Pnsontvraies.
Unargumentquin’estpasvalideestunsophisme.
Théorème:l’argument𝑃!,𝑃!,𝑃!,… . ,𝑃! ⊢ 𝑄 estvalidessilaformule𝑓: (𝑃! ∧ 𝑃! ∧ 𝑃! ∧ … .∧ 𝑃!) → 𝑄 estunetautologie
II-3-2Algèbresdespropositions
Théorème:lespropositionssatisfontauxdifférentesloissuivantesoùvetfsignifievraietfauxrespectivement:
Idempotence 𝑃 ∧ 𝑃 ≡ 𝑃 𝑃 ∨ 𝑃 ≡ 𝑃
Associativité (𝑃 ∧ 𝑄) ∧ 𝑅 ≡ 𝑃 ∧ (𝑄 ∧ 𝑅) ≡ 𝑃 ∧ 𝑄 ∧ 𝑅 (𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅 ≡ 𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅) ≡ 𝑃 ∨ 𝑄 ∨ 𝑅
Commutativité 𝑃 ∧ 𝑄 ≡ 𝑄 ∧ 𝑃 𝑃 ∨ 𝑄 ≡ 𝑄 ∨ 𝑃
Distributivité 𝑃 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≡ (𝑃 ∧ 𝑄) ∨ (𝑃 ∧ 𝑅) 𝑃 ∨ (𝑄 ∧ 𝑅) ≡ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅)
Identité 𝑃 ∧ 𝑓 ≡ 𝑓; 𝑃 ∧ 𝑣 ≡ 𝑃 𝑃 ∨ 𝑓 ≡ 𝑃; 𝑃 ∨ 𝑣 ≡ 𝑣
Complémentarité 𝑃 ∧ ¬𝑃 ≡ 𝑓 𝑃 ∨ ¬𝑃 ≡ 𝑣
¬𝑓 ≡ 𝑣; ¬𝑣 ≡ 𝑓
Involution ¬¬𝑃 ≡ 𝑃
LoideMorgan ¬(𝑃 ∧ 𝑄) ≡ ¬𝑃 ∨ ¬𝑄 ¬(𝑃 ∨ 𝑄) ≡ ¬𝑃 ∧ ¬𝑄
IIIThéoriededémonstration
III-1Définition
ThéorèmeLogique:Unrésultatobtenuparunedéductioncorrecteouunesuitededéductionscorrectes,i.e.,quiutilisentexplicitementlesrèglesd’inférenceautorisées,àpartirdesaxiomeslogiqueset,éventuellement,d’autresrésultatsdumêmetypedéjàétablisparailleurs,s’appelleunthéorèmelogique.
Notation:laformule𝑓estunthéorème;onnote:⊢ 𝑓
Démonstration:lachainededéductionquiconduitàunthéorèmelogique
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Axiomelogique:cettechainepeutéventuellementnecomporterqu’unseulélément.Danscecasle«résultat»estunaxiomelogique.Unaxiomelogiqueestdoncunthéorèmelogiquequinenécessitepasdémonstration.
Déductionsoushypothèse:ilestpossibled’utiliserdesformuleslogiquessupplémentaires(autrequedesaxiomesoudesthéorèmes)etdemenerunraisonnementcorrectàpartirdecesformules,desaxiomesetdesthéorèmesdéjàconnu.Onparlealors,nonplusdedémonstration,maisdedéductionsoushypothèses.
Notation:laformulelogiqueRestobtenuepardéductionsousleshypothèsesH1,H2,…..,Hn:
𝐻!,𝐻! ,… . ,𝐻! ⊢ 𝑅
III-2Axiomesetrèglesd’inférences
Axiomes:soitlessystèmed’axiomenoncontradictoiresuivantoùP,QetRdesformules:
Axiomesrelatifsàl’implication
A1:𝑃 → 𝑄 → 𝑃
A2:(P→ 𝑄) → ( 𝑃 → 𝑄 → 𝑅 → 𝑃 → 𝑅 )
Axiomesrelatifsàlaconjonction
A3:𝑃 → 𝑄 → (𝑃 ∧ 𝑄)
A4:(𝑃 ∧ 𝑄)→ 𝑃
A5:(𝑃 ∧ 𝑄)→ 𝑄
Axiomesrelatifsàladisjonction
A6:𝑃 → (𝑃 ∨ 𝑄)
A7:𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄)
A8:(𝑃 → 𝑅) → 𝑄 → 𝑅 → (𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑅
Axiomesrelatifsàlanégation
A9:¬¬𝑃 → 𝑃
A10: 𝑃 → 𝑄 → 𝑃 → ¬𝑄 → ¬𝑃
Axiomesrelatifsàl’équivalence
A11: 𝑃 → 𝑄 → 𝑄 → 𝑃 → 𝑃 ↔ 𝑄
A12: 𝑃 ↔ 𝑄 → 𝑃 → 𝑄
A13: 𝑃 ↔ 𝑄 → 𝑄 → 𝑃
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Règlesd’inférence:lalogiqueclassiqueutiliselesrèglesd’inférencessuivantes:
1. Le«modusponendoponens»(lemodeenposant,onpose)m.p.p: 𝑃,𝑃 → 𝑄 ⊢ 𝑄
2. Le«modustollendotollens»(lemodeensupprimant,onsupprime)m.t.t: 𝑃 → 𝑄,¬𝑄 ⊢ ¬𝑃
3. Le«modusponendotollens»(lemodeenposant,onsupprime)m.p.t: ¬(𝑃 ∧ 𝑄),𝑃 ⊢ ¬𝑄
4. Le«modustollendoponens»(lemodeensupprimant,onpose)m.t.p: 𝑃 ∨ 𝑄,¬𝑃 ⊢ 𝑄
Remarque:desrèglesd’inférenceannexes
• Règlededisjonctiondescas: 𝑃 → 𝑅,𝑄 → 𝑅 ⊢ 𝑃 ∨ 𝑄 → 𝑅• Règlederéductionàl’absurde 𝑃 → 𝑄,𝑃 → ¬𝑄 ⊢ ¬𝑃
III-3Théorèmes
Théorèmedeladéduction: 𝐺!,𝐺!,… . ,𝐺! ⊢ 𝐻 𝑠𝑠𝑖 𝐺!,𝐺!,… . ,𝐺!!! ⊢ 𝐺! → 𝐻
Théorèmedelacontraposée:⊢ 𝑃 → 𝑄 → (¬𝑄 → ¬𝑃)
Théorèmedetransitivitédel’implication:⊢ 𝑃 → 𝑄 → ((𝑄 → 𝑅) → 𝑃 → 𝑅 )
Théorèmedelacontradiction:⊢ ¬𝑃 → (𝑃 → 𝑄)
Théorèmedecomplétude:⊢ 𝑓 𝑠𝑠𝑖 ⊨ 𝑓