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La logica
• Dare un significato preciso alle affermazioni matematiche
• Introdurre al ragionamento logico• Applicazioni in Informatica:
– Disegno di circuiti– Specifica di sistemi– Progettazione di software– Verifica di correttezza di programmi
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La logica
• La logica proposizionale
• La logica dei predicati– Quantificatori universali ed esistenziali
• Introduzione alle dimostrazioni
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Proposizioni
• Proposizione: una sentenza dichiarativa cui è possibile assegnare, in modo non ambiguo, un valore di verità. – Può essere vera o falsa ma non
entrambe
• Variabili Proposizionali: p, q, r, s• Valori di verità: vero (T) o falso (F)
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Proposizioni
• Esempi di proposizioni:– 1+1=2– Parigi è la capitale della Francia – Parigi è la capitale della Germania
• Non sono Proposizioni: – Che ora è?– x > 1– Carlo è alto
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Proposizioni composte
• Nuove proposizioni formate da proposizioni esistenti usando operatori logici
• Chiamate anche: formule proposizionali o espressioni della logica delle proposizioni
• Operatori logici: (negazione), (congiunzione),
(disgiunzione), (implicazione), (equivalenza)
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Negazione
•Se p è una proposizione, la negazione di p, denotata da p, è
“non è vero che p”
– “not p”
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TABLE 1 (1.1)
歐亞書局 P. 3
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Congiunzione e Disgiunzione
• Se p e q sono proposizioni, la congiunzione di p e q, denotata p q, è la proposizione
“p and q” (“p e q” )• Se p e q sono proposizioni, la
disgiunzione di p e q, denotata p q, è la proposizione
“p or q” (“p o q” )
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TABLE 2 (1.1)
歐亞書局 P. 4
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TABLE 3 (1.1)
歐亞書局 P. 4
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Disgiunzione esclusiva
• Se p e q sono proposizioni, la disgiunzione esclusiva di p e q, denotata p q, è la proposizione che è vera esattamente quando una tra p e q è vera (ma non entrambe)
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TABLE 4 (1.1)
歐亞書局 P. 6
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Implicazione(conditional statement)
• Se p e q sono proposizioni, la implicazione p q è la proposizione
“ se p allora q”
– p: ipotesi (o antecedente o premessa)
– q: conclusione (o conseguenza)
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Se p allora q
• Molti modi per esprimere l’implicazione:
q se p, q quando p, q ogni qualvolta che p,
p è (condizione) sufficiente per q,
q è (condizione) necessaria per p,
p solo se q, q a meno che “not p”
…..
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TABLE 5 (1.1)
歐亞書局 P. 6
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Implicazione Inversa, Contraria, Contronominale
• p q• Inversa: q p (Converse)• Contronominale: q p
(Contrapositive)• Contraria: p q (Inverse)
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Inversa, Contraria, Contronominale
• Due proposizioni composte sono equivalenti se hanno sempre lo stesso valore di verità
• Ogni implicazione p q è equivalente al proprio contronominale q p – L’inversa q p è equivalente alla
contraria p q (ma non sono equivalenti a p q )
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Doppia Implicazione(biconditional statement)
• Se p e q sono proposizioni, la doppia implicazione p q è la proposizione
“p se e solo se q.”– “p è condizione necessaria e sufficiente
per q”– “p iff q”
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TABLE 6 (1.1)
歐亞書局 P. 9
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Uso implicito di doppia implicazione
• La doppia implicazione non è sempre esplicita nel linguaggio naturale
• “Se mangi tutta la minestra, allora puoi avere il dolce.” Con il significato:
• “Puoi avere il dolce se e solo se mangi tutta la minestra.”
• Doppia implicazone implicita nelle definizioni:
• “n è pari se è divisibile per 2”• ma è implicita l’implicazione inversa
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Tavoledi verità per le proposizioni composte
TABLE 7 (1.1)
歐亞書局 P. 10
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Precedenza degli operatori logici
• La negazione è applicata prima degli altri operatori
• La congiunzione ha precedenza sulla disgiunzione
• Implicazione e doppia implicazione hanno precedenza più bassa
• Le parentesi sono usate quando sono necessarie
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TABLE 8 (1.1)
歐亞書局 P. 11
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Tradurre frasi del linguaggio naturale
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Specifiche di sistema
• Controllo di non ambiguità• Verifica della consistenza
– Quando il software del sistema è in aggiornamento, gli utenti non possono accedere al file system.
– Gli utenti possono salvare nuovi file se possono accedere al file system.
– Se gli utenti non possono salvare nuovi file, allora il software del sistema non è in aggiornamento.
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Tautologie e contraddizioni
• Tautologia: una proposizione composta che è sempre VERA
• Equivalente a T• p p
• Contraddizione: una proposizione composta che è sempre FALSA
•Equivalente a F•p p
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TABLE 1 (1.2)
歐亞書局 P. 22
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Equivalenza logica
• Proposizioni composte che hanno lo stesso valore di verità in ogni possibile caso
• p e q sono logicamente equivalenti if p q è una tautologia – denoted by p q or p q
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Equivalenza logica - Esempi
• Leggi di De Morgan: (p q) p q(p q) p q
• Distributività:p (p r) (p q) (p r)
• Proprietà dell’implicazione:p q p q
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TABLE 3 (1.2)
歐亞書局 P. 22
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TABLE 4 (1.2)
歐亞書局 P. 23
pq
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TABLE 5 (1.2)
歐亞書局 P. 23
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TABLE 6 (1.2)
歐亞書局 P. 24
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TABLE 7 (1.2)
歐亞書局 P. 25
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TABLE 8 (1.2)
歐亞書局 P. 25
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Construire Nuove Equivalenze Logiche
• Come mostrare equivalenze logiche:
– Usare una tavola di verità
– Usare equivalenze logiche già note
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Dimostrazioni
• Una dimostrazione è una valida argomentazione che stabilisce la verità di una affermazione matematica– Argumentazione: una sequenza di
affermazioni che portano ad una conclusione
– Valida: la conclusione deve seguire dalle affermazioni precedenti (premesse)
• Regole di Inferenza
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Argomentazioni valide nella Logica Proposizionale
– “Se hai una password corrente, allora puoi entrare nella rete”
– “Tu hai una password corrente”– Quindi, “Puoi entrare nella rete”
• Regola di Inferenza (Modus ponens) p q p
______
:q
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TABLE 1 (1.5)
歐亞書局 P. 66
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Un esempio
– “Oggi non c’è il sole”– “Andiamo al mare solo se c’è il sole”– “ Quando non andiamo al mare,
facciamo una passeggiata”– “Se facciamo una passeggiata, torniamo
a casa prima del tramonto”
• Conclusione: “Oggi torniamo a casa prima del tramonto”
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Attenzione!
• ((p q) q) p non è una tautologia
• “Se fai tutti gli esercizi imparerai bene la materia.
• Tu hai imparato bene la materia• Quindi, tu hai svolto tutti gli esercizi.” CONCLUSIONE ERRATA
• ((p q) p) q non è una tautologia
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Logica dei Predicati
• Predicato: una proprietà che il soggetto della frase può soddisfare– Ex: x>3
• x: variabile• >3: predicato• P(x): x>3
– FUNZIONE PROPOIZIONALE
– P(x1,x2, …, xn): predicato con n argomenti
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Quantificatori
• Quantificazione universale: un predicato è vero per ogni elemento
• Quantificazione esistenziale: c’è uno o più elementi per cui un predicato è vero
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Quantificatore universale
• Dominio (o Universo): elementi cui si fa rierimento nelle affermazioni
• La quantificazione universale di P(x) è: “P(x) vale per tutti i valori di x nel dominio– denotato da x P(x)
• Contresempio: un elemento per cui P(x) è falso
– Quandi gli elementi del dominio possono essere listati è equivalente a:
P(x1) P(x2) … P(xn)
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Quantificatore esistenziale
• La quantificazione esistenziale di P(x) è: “esiste un valore di x nel dominio tale che P(x) vale” per tutti i valori di x nelThe existential – Denotato da x P(x)– Quandi gli elementi del dominio possono
essere listati è equivalente a: P(x1) P(x2) … P(xn)
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TABLE 1 (1.3)
歐亞書局 P. 34
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Altri quantificatori
!x P(x) or 1x P(x)– Esiste un unico valore di x tale che P(x)
è vero
• Quantificatori con domini ristretti: x<0 (x2>0)
• Condizionale: x(x<0 x2>0)
z>0 (z2=2)• Congiunzione: z(z>0 z2=2)
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Precedenza di quantificatori
e hanno precedenza maggiore di tutti gli operatori logici
– Ex: x P(x) Q(x)• (x P(x)) Q(x)
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Equivalenze logiche che coinvolgono quantificatori
• Espressioni logiche che coinvolgono predicati e quantificatori sono logicamente equivalenti se e solo se essi hanno lo stesso valore di verità
• E.g. x (P(x) Q(x)) and x P(x) x Q(x)
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Negare le espressioni quantificate
x P(x) x P(x)– Negazione di “Tutti gli studenti della
classe frequentano il corso di Programmazione”:
– “C’è uno studente della classe che non frequenta il corso di Programmazione”
x Q(x) x Q(x)
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TABLE 2 (1.3)
歐亞書局 P. 41
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Tradurre il linguaggio naturale in espressioni logiche
• “Ogni studente della classe ha studiato Matematica Discreta” x (x ha studiato M.D.)
• “Alcuni studenti hanno visitato il Messico”: x (x ha visitato il Messico)
• “Tutti gli studenti hanno visitato il Messico o il Canada” : x ((x ha visitato il Messico) (x ha visitato il Canada))
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Quantificatori annidati
• Due quantificatori sono annidati se uno è nello scope dell’altro x y (x+y=0) x y ((x>0) (y<0) (xy<0))
• L’ordine dei quantificatori è importante a meno che non siano tutti universali o tutti esistenziali
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TABLE 1 (1.4)
歐亞書局 P. 53
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Regole di Inferenza per espressioni quantificate
• Instanziazione universale x P(x), P(c)
• Generalizzazione universale– P(c) per un generico c, x P(x)
• Instanziazione esistenziale x P(x), P(c) per un c
• Generalizzazione esistenziale– P(c) per un c, x P(x)
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TABLE 2 (1.5)
歐亞書局 P. 70
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Generalizzazioni delle regole di inferenza
• Combinare regole di infrenza per proposizioni ed espressioni quantificate– Universal modus ponens
x (P(x) Q(x))P(a), dove a è un particolare elemento nel dominio
Q(a)
– Universal modus tollensx (P(x) Q(x))
Q(a) , dove a è un particolare elemento nel dominio P(a)