Dfinitions:La Karimation dsigne la dmonstration plus que l'oprateur, puisque les K_n^p furentintroduits par Maurice d'Ocagne en tant que conjectures( Bulletin de la societeMathematique de France).Pour plus d'informations, Voir Section "Utilisation de laKarimation".Soit le polynme avec k1, appel kiemepuissance descendante de x.On dfinit aussi la kimepuissance montante ou factorielle de x en posant:Les puissances montantes et descendantes sont lies par l'identit:1er lemme:Pour toute fonction f sur , on pose: . On a:En effet:On a donc, pour k fix: On en dduit par sommetlescopique:Exemple:Pour k=2:2me lemme:A partir de l, on arrive exprimer les puissances ordinaires en fonction des puissancesmontantes. Exemples:On obtient alors un triangle arithmtique. Il existe donc des coefficients uniques notstel que: et3me lemme:Soient les nombres de Bernoulli:Demonstration:signifie:La relation entraine par somme telescopique:,car i>0. Par suiteRevenons maintenant aux polynmes de Bernoulli: Il a t dj tabli que:Calculons maintenant: :Par identification: Donc:Une identit connue de ces polynmes est: Donc:En drivant par rapport a x on obtient: Donc:Le polynme x[i]s'annule en x=0, puisque i>0. La valeur de sa drive en x=0 est donneparProxy-Connection: keep-alive Cache-Control: max-age=0Finalement:4me lemme:Soit l'oprateur de drivation: pour f de , alorsExemples:En continuant, on obtient:On remarque que l'on obtient les mmes coefficients du triangle arithmtique prcdent,d'o:Utilisation de la Karimation:Soient les coefficients Karimation dfinis pour etavec: etAlors:En effet, si l'on applique le 4melemme de Ghariani la fonction f(x) = ex, on obtient:Donc, pour n fix, on pose , pour tout . Avec cette notation l'galitdevient:L'oprateur Karimation, appel aussi oprateur de Ghariani, a t justifi par le tunisienKarim Ghariani, d'apres la conjecture de Maurice d'Ocagne propose en 1886, g alors de19 ans lors de sa 1re anne a l'Institut National des Sciences Appliques et de Technologie(INSAT).Le sens mathmatique de la Karimation, expliqu par Karim Ghariani, absent dans l'articled'Ocagne, utilise des notions de probabilit lmentaires et fera l'objet d'un article annexe.Corollaire:Pour l'obtenir, il suffit d'injecter la formule explicite de la Karimation dans celle des nombresde Bernoulli (lemme3).On signalera que cette formule existe dja, mais l'article innove par sa dmonstrationlgante et constructive. LANL confirme la dposition libre non lucrative (licence libre GNU)de la dmonstration. Par ces termes, cet article ne peut tre retenu comme sujet officiel dethse. (Par l'administration lgale ArXiv).ApplicationsLes nombres de Bernoulli sont prsents dans le dveloppement limit de la fonctiontangente et tangente hyperbolique en srie de Taylor(c--d sous sa forme gnrale).On pose: (gnratrice exponentielle). On a:Commenons par:Or, on sait que:En remplaant on obtient:La tangente s'obtient en remplaant x par ix dans la nouvelle expression de tanh(x), avec:i2=(-1). On obtient: