la forme exponentielle
DESCRIPTION
La forme exponentielle. 2. 5. 3. 3. 5. 4. 5. 1. 10. 6. La forme exponentielle est une forme d’écriture permettant de représenter une multiplication répétée d’un même facteur. =. 5. =. 2 X 2 X 2. =. 3 X 3 X 3 X 3 X 3. =. 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
La forme exponentielle est une forme d’écriture permettant de représenter une multiplication répétée d’un même facteur.
2 3= 2 X 2 X 2
3 5= 3 X 3 X 3 X 3 X 3
10 6=
À l’inverse, 5 X 5 X 5 X 5 = 5 4
5 1
= 5
10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10
On ne multiplie pas les facteurs entre eux.
On écrit le facteur et l’exposant qui indique combien de fois le facteur s’est multiplié par lui-même.
VocabulaireLe nombre qui indique combien de fois un facteur (la base) se multiplie par lui-même s’appelle
On l’écrit plus petit et on le place en haut et à droite du facteur.
Le facteur qui se répète
s’appelle la
23
= 8
Le produit de cette multiplication répétée s’appelle la
l’exposant.
base.
puissance.
2 3= 2 X 2 X 2 = 8
Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même.
C’est la loi la plus importante.
Loi 1 :
Formule les expressions suivantes sous la forme exponentielle.
5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 = 56
2 X 2 X 3 X 3 X 3 X 7 X 7 X 7 = 22 X 33 X 73
Remarque : On regroupe ensemble les bases semblables;on les réunit par le signe de multiplication puisque c’est une multiplication de facteurs.
2 X 3 X 2 X 5 X 2 X 3 X 7 X 5 = 23 X 32 X 52 X 7
Remarque : On peut permuter (changer de place) les facteurs, car ils sont tous unis par le signe de multiplication.
2 X 2 X 2 X 3 X 3 X 5 X 5 X 7 = 23 X 32 X 52 X 7
1,25 X 1,25 X 1,25 = 1,253
2
5X
2
5X
2
5=
2
5
3
-7 X -7 X -7 X -7 = ( -7 )4 On met des parenthèses, car c’est toute la base -7 qui est affectée de l’exposant 4.
On met des parenthèses, car c’est toute la base qui est affectée de l’exposant 3.
2
5
Détermine la puissance des expressions suivantes.
25 = 32
avec la calculatrice, utiliser la touche :
53 = 125
106 = 1 000 000
xy
10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 =
2 X 2 X 2 X 2 X 2 =
Exemple : 25 = 2 5 yx = : 32
yx ^ou ou
1,174 = 1,87388721
0,52 = 0,25
0,53 = 0,125
15 = 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 = 1
2
5X
2
5=
2
5
2
=
2
5X
2
5X
2
5=
2
5
3
=
Selon la loi sur la multiplication de fractions.4
25
8
125
(-2)2 =
(-2)3 =
(-2)4 =
(-2)5 =
-2 X -2 =
-2 X -2 X -2 =
-2 X -2 X -2 X -2 =
-2 X -2 X -2 X -2 X -2 =
4
- 8
16
- 32
Règle : Une base négative affectée d’un exposant pair donne toujours une puissance positive.
Qu’en déduis-tu ?
Une base négative affectée d’un exposant impair donne toujours une puissance négative.
Base négative :
23 = 21 X 21 X 21
23 X 22 = 25
soit 21+1+1
21 X 21 X 21 X 21 X 21 = 25
23+2 =
x . x . x =
Loi 2 : Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants.
Exemple : 23 = 2 X 2 X 2 peut s’écrire
Un nombre, sans exposant écrit, signifie que l’exposant est 1 :
Une lettre , sans exposant écrit, signifie que l’exposant est 1 :
2 = 21
x = x1
21 X 21 X 21 = 23
Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants.
= 23
x3
Loi 2 : am X an = am + n
Réduis les expressions suivantes.
33 X 32 = 35
x2 X x2 = x4
2x X 2x = 2 X x X 2 X x = 22 x2 = 4 x2
On ne multiplie pas les bases entre elles; on additionne les exposants.
1,252 X 1,25 = 1,252 X 1,251 = 1,253
3
4
53
4
3
X3
4
2
=
(-8)2 X (-8) = ( -8 )3
(ab)2 X (ab)2 = (ab)4
(x + 3) X (x + 3)2 = (x + 3)3
Réduis les expressions suivantes.
22 X 3 X 23 X 5 X 32 X 52 = 25 X 33 X 53
24 X 12 =
32 X 52 X 2 X 33 X 23 X 52 = 24 X 35 X 54
Écris les multiplications suivantes sous la forme exponentielle en utilisant des facteurs premiers.
2 X 3 X 6 X 9 X 4 = 2 X 3 X 2 X 3 X 32 X 22 = 24 X 34
23 X 3 X 22 X 3 = 25 X 32
x4 ÷ x3 =
Loi 3 : Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants.
Exemple : 25 ÷ 22 =
Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants.
x 4 – 3 =
Loi 3 : am ÷ an = am - n
25 – 2 =
Démonstration
Écrivons 25 ÷ 22 sous la forme d’une fraction :25
22Une division est une fraction.
Développons : 25
22=
2 X 2 X 2 X 2 X 2
2 X 2
Simplifions les facteurs communs au numérateur et au dénominateur :
= 23
23
x
Réduis les expressions suivantes.
35 ÷ 32 = 33
27 ÷ 23 = 24
x2 ÷ x
=x
4x3 ÷ 2x2 =
x3 ÷ x2 = x
22 x3 ÷ 2 x2 = 2x
6x3
x2= 6x
( a + 3 )1 = ( a + 3 )3 ÷ ( a + 3 )2 = ( a + 3 )
22 ÷ 22
=22 – 2 = 20 = 1
22 ÷ 23 = 1
22-1 =
?
Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants.
27 ÷ 23 = 27 – 3 = 24
Loi 4 : Une base affectée de l’exposant 0 est toujours égale à 1.
On doit rendre l’exposant positif en inversant la base.
Démonstration
8 4 2 1
23 22 21 20 2-1 2-2
-1
Diminuer de 1 l’exposant, c’est diviser le puissance par la base.
-1 -1 -1 -1
2
1
÷ 2
4
1
÷ 2 ÷ 2÷ 2 ÷ 2
2-1 = 2-2 = =4
1
2
1
2
1X
2
1
Loi 4 : a0 = 1
Un exposant négatif signifie que l’on travaille avec une base inverse.Loi 5 :
a-1 =a
1Loi 5 :
2
1 1
=2
1 2
=1
2 -1
=1
2 -2
=
Calcule les expressions suivantes.
5-3 = 5
1
-3
=1
5
3
=1
5X
1
5X
1
5=
1
125
1
2
-2
=2
1
2
=2
1X
2
1= 4
2
3
-2
=3
2
2
=3
2X
3
2=
9
4= 2,25
a
b
-3
=b
a
3
=b3
a3
b
aX
b
a=X
b
a
5
10
-2
=1
2
-2
=2
1
2
= 4
2-2
3-1= car
2-2
3-1=
2-2
1X
1
3-1=
1
22X
31
1=
3
22=
3
4
Règle : Dans une expression fractionnaire, si un facteur au numérateur est affecté d’un exposant négatif, on le place au dénominateur pour le rendre positif et vice-versa.
2-2
3-1=
31
22
a-2 =1
a2
2
3-1=
Le numérateur est alors 1.
2 X 31 = 6
2-2
3=
1
22 X 3=
1
4 X 3=
1
12
2-1 X 3 X 5-2 X 7 = 3 X 7
2 X 52=
21
50= 0,42
2-2 X 2 X 3-2
5 X 3-1
= 2 X 3
22 X 5 X 32
= 1
30
1
2 X 5 X 3=2 X 3
2 X 2 X 5 X 3 X 3=
3
4,
Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même.
Loi 1 :
Loi 2 : Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants.
Loi 2 : am X an = am + n
Loi 3 : Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants.
Loi 3 : am ÷ an = am - n
Loi 5 : Un exposant négatif signifie que l’on travaille avec une base inverse.
a-1 =a
1Loi 5 :
Loi 1 : am = a X a X a X a X … m fois
On doit rendre l’exposant positif en inversant la base.
Loi 4 :
Loi 4 : a0 = 1
Une base affectée de l’exposant 0 est toujours égale à 1.
Simplifie les expressions suivantes.
am X an = am + n
am ÷ an = am - n
a-1 =a
1
am = a X a … m fois
a0 = 1
a2b0 = a2 X b0 = a2 X 1 = a2
(- 5)-2 = 1
25-
1
5
2
= -1
5X -
1
5=
3a X 3a X a = 32a3 =
2 X 5-1 = 1
5
2 X = 2
5
4a-1 = 4 X a-1 = 4 X 1
a=
4
a
x 23 X =
9a3
25-2
= 2 =1
5-2X 2 =52X50, car 2 X 5 X 5 = 50
3=
x -23x 23 1X
x -2=
1
Calcule les expressions suivantes.
am X an = am + n
am ÷ an = am - n
a-1 =a
1
am = a X a … m fois
a0 = 1
72 ÷ 7-2 = 72 - -2 = 72+2 = 74 =2 401, car 2 401
(2x)3 = 8x3, car (2x)3 = 2x X 2x X 2x = 23 x3 =
4
5
-1
= 1,25, car4
5
-1
=5
4
1
= 1,25
10-2 = 0,01, car 10-2 = 1
10
2
=1
100= 0,01
55 X 5-2 = 125 soit 55 + -2 = 55 -2 = 53 =
soit 55 X 5-2 = 55
52= 53 =55 X 1
52=
( 5 X 3 X 2 X 4 X 6 X 52 X 33 X 7 )0 = 1
70 X 72 = car49, 70 X 72 = 1 X 72 = 72 = 49
125
125
8x3
cb-3
= cb3
a-2 b3
= b3a2
a2 b-3
c-4 d2=
a2 c4
b3 d2
a-2 b2 a2 b-2 = 1
soit a-2 a2 b2 b-2 = a-2+2 b2+-2 = a0 b0 = 1 X 1 = 1
soit
a-2 b2 a2 b-2 =
a-2 b2 a2 b-2 = a2 b2
a2 b2=1
( x + 1 )
( x + 1 )= 1
( x + 1 )2
( x + 1 )=( x + 1 )
Que vaut l’exposant dans cette expression ? 4x = 1
16x = -2
On écrit les coefficients (les nombres) en premier.
-
5
3
=1
( - 5 ) -3 = 1-125
Attention
Inverser la base change le signe de l’exposant.
Inverser la base ne change pas le signe de la base.
( - 5 ) -2 =1+25
-
5
2
=1
Cependant,
Un exposant pair donne toujours une puissance positive.
Il faut bien connaître ses lois.
2 X 2
2 X 2 X 2 X 2=
2 X 2 X 2 X 2
2 X 2=
Précision
24
22
= 22 soit 24 ÷ 22 = 24 – 2 = 22
soit
24
22
=
24
22
=
22
24
=1
22
soit 22 ÷ 24 = 22 – 4 = 2-2 =1
22
soit
22
24
=
22
24
=
22
1
22
1
1
1
1
1
1
1
1
Loi 6 : Lorsqu’une puissance se retrouve à l’intérieur d’une parenthèse et que celle-ci est affectée d’un exposant, on multiplie cet exposant avec l’exposant de la base à l’intérieur.
Loi 6 : ( am )n = am X n
Exemples : (22)3 = 22 X 3 = 26
(a5)3 = a5 X 3 = a15
( (-5)3 )4 = (-5)3 X 4 = (-5)12
On met des parenthèses, car c’est toute la base -5 qui est affectée par les exposants.
Démonstration : (32)3 = 32 X 32 X 32 = 36
Donc, (32)3 = 32 X 3 = 36
Loi 7 : Pour élever un produit de facteurs à une puissance quelconque, il suffit d’élever chaque facteur à cette puissance.
Exemple :
( 22 X 3 )2 =
La première loi dit : Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même.
( 22 X 3 ) X ( 22 X 3 ), donc 22 X 22 X 3 X 3 = 24 X 32
( 74 X 52 )3 = 74 X 3 X 52 X 3 = 712 X 56
( 2 X 5 )3 = 23 X 53
Donc, ( 2 X 5 )3 = (2 X 5 ) X ( 2 X 5 ) X ( 2 X 5 ) = 23 X 53
Exemples :
Loi 7 : (ab)m = ambm
2 X 5 X 2 X 5 X 2 X 5 =
( 10 )3 = 8 X 125
1 000 = 1 000
Cette loi n’est vraie que s’il n’y a que des facteurs dans la parenthèse.
Exemples : ( 23 X 32 )2 = 26 X 34 = 5 184
( 23 X 32 )2 = ( 8 X 9 )2 = 722 = 5 184
( 23 + 32 )2 = 26 + 34 = 145
( 23 + 32 )2 = ( 8 + 9 )2 = 172 = 289
Faux !
Attention : 22 X 23 = 22 + 3 = 25
( 22 )3 = 22 X 3 = 26
Loi 2 :
Loi 6 :
64 X 81 = 5 184
64 + 81 = 145
En calculant l’intérieur de la parenthèse en premier :
En calculant l’intérieur de la parenthèse en premier :
Problèmes
(63)2 = 66
(5-1)3 = car (5-1)3 = 5-3 = 1
53
(22 X 53)2 = 24 X 56
(3x2)2 = 9x4,
(-2y)2 = 4y2
(-2y)3 = -8y3
(-5xy)3 = -125x3y3
(xy)-2 =
(ab2a-3b4)-3 = car (ab2a-3b4)-3 = a-3 b-6 a9 b-12 = a6 b-18 = a6
b18
car (xy)-2 = x-2 y-2 =1
x2y2
car (3x2)2 = (31 . x2)2 = 32 . x4 = 9 . x4 = 9x4
1x2
1y2
X =
1
53,
1x2y2
,
a6
b18,
Si on peut insérer un exposant à l’intérieur, on peut aussi le sortir !
Écris les expressions suivantes selon la base exigée.
83 en base 2 : 29 , car 83 = (23)3 = 29
42 X 8-3 en base 2 :
94 en base 3 : 38 , car 94 = (32)4 = 38
2-5 , car 42 X 8-3 = (22)2 X (23)-3 = 24 X 2-9 = 2-5
Ici, on laisse l’exposant négatif, car on doit écrire l’expression en base 2.
Pour écrire l’exposant positif, on doit inverser la base; la base devient 1 et non 2.2
42 X 2-3 en base 2 : 2 , car 42 X 2-3 = (22)2 X 2-3 = 24 X 2-3 = 2
(36)3 en base 6 : 66 , car (36)3 = (62)3 = 66
33 X 73 en base 21 : 213 , car 33 X 73 = 213
123 en base 2 et 3 : 26 X 33 , car 123 = (4 X 3)3 = (22 X 3)3 = 26 X 33
(a(n+2))2 = a2n+4 , car (a(n+2))2 = a2(n+2) = a2n+4
(3 X 7)3 =
Petit défi
(a+b)(2n-6)2
÷ (a+b)(n-3)4
= 1, car (a+b)(2n-6)2
÷ (a+b)(n-3)4
= (a+b)2(2n-6) ÷ (a+b)4(n-3) =
(a+b)(4n-12) ÷ (a+b)(4n-12) = 1 Une quantité divisée par elle-même donne 1.
Loi 8 : Lorsqu’un quotient de puissance (une fraction) se retrouve à l’intérieur d’une parenthèse et que celle-ci est affectée d’un exposant, on multiplie cet exposant avec les exposants du numérateur et du dénominateur.
Loi 8 : ab
mab
m
m=
Démonstration :2
5
3
=2
5X
2
5X
2
5=
23
53Donc, 2
5
3
=
23
53
Calcule les expressions suivantes.
2
3
2
=22
32=
4
9
3a
4b2
3
=33 a3
43 b6=
27 a3
64 b6Attention : l’exposant multiplie chacun des facteurs.
3 X a
4 X b2
3
=
Calcule les expressions suivantes.
x2
y
3
=x6
y3
2x
3y
-2
=3y
2x
2
=
x-2
3y-1
2
=y
3x2
2
=
153 ÷ 53 =153
53=car 153 ÷ 53 =
(3 X 5)3
53=
33 X 53
53= 33 = 27
1
5a
2
=12
52 a2=
3
5
3
=27
125
car2x
3y
-2
=9y2
4x2
carx-2
3y-1
2
=y2
9x4
car1
5a
2
=1
25a2
3 y
2 x
2
=2
2 2
y
3 x
2
=2 2
27,
9y2
4x2,
y2
9x4,
1
25a2,
Les lois sur les exposants sont particulièrement intéressantes pour simplifier des expressions complexes.
Simplifie les expressions suivantes.
42
18
2
=2 X 3 X 7
2 X 3 X 3
2
= 7
3
2
=49
9
216
36
2
=23 X 33
22 X 32
2
= (2 x 3)2 = 62 =36,
4
9
3
x3
4
3
=
car 216
36
2
= 36
22
32
3
X3
22
3
=33
26
26
36X =car
4
9
3
x3
4
3
=1
33=
1
27
9 000
50
2 500
300X
2 2
=
52 X 102
3 X 102
32 X 103
5 X 10X
2 2
=34 X 106
52 X 102X
54 X 104
32 X 104=
34 X 54 X 1010
32 X 52 X 106= 32 X 52 X 104 =
2 250 000,
2 250 000
9 000
50
2 500
300X
2 2
=car
27
1 ,
Les exposants fractionnaires
91
2 = 9 = 3
Un exposant fractionnaire signifie que l’on doit calculer une racine.
Avec ta calculatrice, calcule 9 : 3
Avec ta calculatrice, calcule 9 yx ( 1 ÷ 2) = 3
2
Avec ta calculatrice, calcule 8 yx ( 1 ÷ 3) = 2
Avec ta calculatrice, calcule 8 :3
La forme radicale
Vocabulaire
Le radical.
C’est le symbole qui indique que l’on doit extraire une racine.
L’indice.
Le radicande.
Il indique la grandeur de l’extraction.
83
= 2 La racine.C’est la réponse.
2 est donc la racine cubique de 8.
C’est le nombre que l’on doit extraire.
Remarque :3
se prononce la racine cubique.
se prononce la racine carrée.
L’indice est alors 2.
2
Par convention, on ne l’écrit pas, mais il faut se souvenir qu’il est là.
83
La forme radicale
Sens
signifie : quel est le nombre qui multiplié 3 fois par lui-même donne 8 ?
Ce nombre est 2, car 2 X 2 X 2 = 8.
25 signifie : quel est le nombre qui multiplié 2 fois par lui-même donne 25 ?
Ce nombre est 5 car 5 X 5 = 25.
83
peut donc s’écrire
25 peut donc s’écrire
L’expression est donc égale à 2.
L’expression est donc égale à 5.
81
3
.
251
2.
Remarque
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les réels.
Exemple : - 4 signifie : Quel est le nombre qui multiplié deux fois par lui-même donne – 4 ?
Ce nombre n’existe pas, car 2 X 2 = 4
-2 X -2 = 4
- 4 provient de 2 X -2 ;
La racine cubique d’un nombre négatif existe dans les réels.
Exemple : signifie : Quel est le nombre qui multiplié trois fois par lui-même donne – 8 ?
Ce nombre est -2, car
ce sont deux nombres différents.
-2 X -2 X -2 = -8
- 83
Écrire une forme radicale en forme exponentielle.
83
Il faut se souvenir que l’exposant de 8 est 1.
1
Cet exposant est le numérateur de la fraction.
L’indice du radical est le dénominateur de la fraction.
= 81
3
Cette forme d’écriture est intéressante pour calculer rapidement certains radicandes.
Exemple :8
3
= 23
3
= 233 = 2
1
= 2
Loi 9 : amn
= amn
Simplifie les expressions suivantes.
x4 = car x4 = x42 =
car64 =3
x2
64 =3
26 =3
263 = 2
2= 4
8 X 8 X 8 X 8 =3
car
8 X 8 X 8 X 8 =3
23 X 23 X 23 X 23 =3
212 =3
2123 = 2
4=16
16 =4 2
(2 ) =4
4 2 2 =
48 2 =4
8
22
= 4car
x =3
3
car x =3
3
x =
3
31
x =31 X
13
x 33
= x
16 =4 2
x2,
4 ,
16 ,
4 ,
x ,
Loi des radicaux
La forme radicale peut s’écrire en forme exponentielle, donc
les lois sur les radicaux sont les mêmes que les lois sur les exposants.
Nous allons nous attarder à deux lois en particulier :
Loi 10 : a X b = a b
b
aLoi 11 : a
b=
Loi 10 : a X b = a b
Démonstration : 4 X 9 = 36
2 X 3 = 6
= 6
Il est parfois plus précis d’utiliser cette loi.
Exemple : 3 X3 3
9 ≈ 1,442… X ≈ 2,08… ≈ 2,9993…
33 X =3 3
9 27 =3
33 =3
Mais,
Attention : La loi n’est vraie que si les indices des radicaux sont les mêmes.
3 X =3 3
9 273
4 X 9 = 36
3 X3
9 La loi ne s’applique pas.
b
aLoi 11 : a
b=
Démonstration :16
4=
4
16 = 24 =
16
4=
4
2= 2
Il est parfois plus précis d’utiliser cette loi.
Exemple : 20
5≈
≈ 4,47…
≈ 2,23…≈ 2,004…
Mais, 20
5=
5
20 = 24 =
Attention : La loi n’est vraie que si les indices des radicaux sont les mêmes.
Calcule les expressions suivantes.
25 X =3 3
5 52 X =3 3
5 52 X 5 =3
53 =3
5
322 X = 64 = 8
3
5
2
=3
5
2
=3
5
2
=
12
12
3
5=
22
22
3
5
16
25=
25
16=
4
5
27
64=
33
464
27=
3
3
Calcule les expressions suivantes.
8x3 =3
=x38 X3 3
x24 X =4x2 = 2 . x = 2x
ou simplement 4x2 = 2x
2 . x =
2xou simplement 8x3 =3
a2 + b2 La loi ne s’applique pas, car ce ne sont pas des facteurs.
a2 X b2 = b2a2 X = a X b = ab
2x
Quelques défis.
Donne la réponse en forme radicale.
a23 a
12÷ = a
23
12-
= a46
36-
= a16 = a
6
364 = 4 = 2
3(x4 y-1) =6 3
x24 y-6 = x24
3 y- 6
3 = x8 y-2 =
Calcule la valeur de cette expression.
Simplifie l’expression :
x8
y2
Soit
Soit3
(x4 y-1) =6 (x4 y-1)63
= (x4 y-1)2
= x8 y-2 =x8
y2
3(x4 y-1) 6
Réduis au maximum cette expression; donne la réponse en base 4 et en base 2.
64 2n + 1
4 3n - 1= 4
3n + 4
64 2n + 1
4 3n - 1=
64 (2n + 1)
4 (3n – 1)=
4 (2n + 1)
4 (3n – 1)=
3 4(2n + 1)
4 (3n – 1)=
3 46n + 3
4 (3n – 1)=
46n + 3
4(3n – 1)÷ = 4
6n + 3 - (3n – 1)= 4
6n + 3 - 3n + 1= 4
3n + 4
=43n + 4
=(22)3n + 4
et 26n + 8
22(3n + 4)
= 26n + 8