Unidad Temática 2

La energía y su conservación

Objetivos de la Unidad Temática

Esperamos que al final de este módulo puedas:

1.- Distinguir las diferentes formas de energía

2.- Analizar los procesos de transformación de energía

3.- Comprender la noción de trabajo como proceso de transferencia de

energía

4.- Aplicar el principio de conservación de la energía en la resolución de

situaciones problemáticas

Contenidos

1.- ¿Qué es el trabajo?

2.- El trabajo y la energía cinética.

3.- Energía potencial. Distintas formas. La energía potencial gravitatoria.

4.- La conservación de la energía.

5.- Algunas actividades integradoras de ambas unidades

1.- ¿Qué es el trabajo? En la Unidad Temática anterior analizamos las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y los cambios que producen sobre su cantidad de movimiento. Veremos ahora cuándo esas fuerzas producen trabajo y de qué manera ese trabajo se traduce en un cambio en la energía del cuerpo. Podemos adelantarte, en principio, que si bien el término “energía” es sumamente utilizado cuando se analizan esfuerzos físicos, movimiento de objetos, funcionamiento de motores, etc., se trata de una noción difícil de definir. Simplemente afirmaremos, por ahora, que la energía es algo que puede transferirse de un cuerpo a otro o que puede transformarse de una forma en otra. Más adelante volveremos sobre esta primera aproximación al concepto. Por ahora, esto nos bastará para empezar a analizar cuándo una fuerza realiza trabajo sobre un cuerpo y sus derivaciones energéticas. Veamos, por ejemplo, el caso del automóvil que se quedó sin nafta y el esfuerzo que el joven tiene que hacer para acercarlo a la vereda. Podemos ver, por ejemplo, que el esfuerzo realizado por el muchacho al aplicar una fuerza para mover al auto es mayor cuando mayor sea la distancia que debe recorrer.

Esto nos da una idea intuitiva del concepto de trabajo ( )W al que ahora definiremos

formalmente como el producto de la fuerza aplicada ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ajFr

por el desplazamiento del

cuerpo ( )dr

dFWa

j

rr⋅=

Habrás notado que hemos tenido especial cuidado en expresar como vectores a la fuerza aplicada y al desplazamiento (escritos con la notación vectorial , tal como establecimos como convención en la Unidad Temática I), a pesar de que el trabajo es un escalar. Ocurre que el trabajo realizado por una fuerza se calcula precisamente por intermedio de una clase especial de producto entre dos vectores, denominado “producto escalar” (también se lo conoce como “producto punto”), que es igual al producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que existe entre ellos:

αcos⋅⋅= dFWa

j

Pero como en este caso estamos analizando el caso más simple, que es cuando la fuerza aplicada y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido, º0=α , luego el , la expresión del trabajo queda simplemente: 1º0cos =

dFWa

j ⋅=

Calculemos el trabajo realizado por la fuerza aplicada en el ejemplo del muchacho. Supongamos que éste aplica sobre el automóvil una fuerza NF

aj 800= y la mantiene

constante mientras el automóvil se desplaza una distancia . Entonces, el trabajo realizado es:

md 5=

mNmNdFW

aj ⋅=⋅=⋅= 40005800

Esto es, definiendo como unidad de trabajo al joule , donde es equivalente a

JW 4000= ( )J J1mN ⋅1

¿Es la fuerza aplicada por el joven la única fuerza que actúa sobre el automóvil?

Evidentemente no. En la Unidad anterior vimos que también actuaban el peso ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

aTFr

,

la normal ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

apFr

y la fuerza de rozamiento ( )rFr

rFr

aTFr

apFr

ajF

Los trabajos realizados por las fuerzas

aTFr

y a

pFr

son nulos, es decir 0=⋅= dFWa

T

rr

y 0=⋅= dFWa

p

rr ¿Te animas a demostrarlo?

rFr

La fuerza de rozamiento rF

r, en cambio, realiza trabajo “contra” el sistema. Veamos

en forma práctica qué significa esto. Supongamos que . Como el desplazamiento sigue siendo

NFr 300=md 5= , el trabajo realizado por esta fuerza es:

αcos⋅⋅= dFW r

Como verás, recurrimos aquí a la ecuación completa del trabajo. Esto se debe a que el ángulo existente entre la fuerza y el desplazamiento ya no es º0=α , sino

º180=α , porque tienen la misma dirección pero sentidos opuestos.

rFr

rFr

dv

dv

Como 1º180cos −= , el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento nos queda:

JmNdFdFW rr 15005300º180cos −=⋅−=⋅−=⋅⋅=

¿Tiene sentido la existencia de un trabajo negativo? ¿Qué significado físico tendrá? Si lo piensas un poco, verás que lo que hace la fuerza de rozamiento es oponerse al movimiento del cuerpo y, por lo tanto, realiza un trabajo contra el sistema. Esto tiene fuertes consecuencias cuando empecemos a analizar la energía del sistema y su conservación, temas que analizaremos más adelante. Veamos ahora cuál es el trabajo neto o resultante (éste es el trabajo hecho por todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo que estemos analizando) que se realiza sobre el automóvil. Si la fuerza aplicada por el muchacho realiza un trabajo de y la fuerza de roce hace otro trabajo de J4000 J1500− , es lógico interpretar que el trabajo neto es de:

( ) JJJW 250015004000 =−+=Σ Esto nos permite extraer como conclusión que el trabajo realizado por una serie de fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a la suma algebraica de los trabajos realizados por cada fuerza. Actividades sobre trabajo 1.- Dos hombres levantan un tronco pesado y lo transportan. a) ¿Ejecutan trabajo si lo llevan siempre sobre sus hombros, sin que cambie la altura del tronco con respecto al suelo? b) ¿Por qué se cansan? 2.- Una persona levanta un portafolio que pesa 30N y lo sostiene a 1m del piso. Después camina 5m hasta un escritorio donde lo deposita a 1,20m del piso. Luego empuja al portafolio (sobre la superficie del escritorio) 1m hacia la izquierda, aplicando con su mano una fuerza horizontal de 15N, a la que se opone una fuerza de rozamiento de 6N. Calcular el trabajo total realizado por las fuerzas aplicadas. (Un consejo: dibuja primero todas las fuerzas que actúan sobre el portafolio en cada etapa del movimiento, para levantar el portafolio, para llevarlo hasta el escritorio, para levantarlo hasta su superficie y para correrlo un metro).

3.- Una persona tira horizontalmente mediante una soga (de masa despreciable) de un objeto de 10kg, que se encuentra sobre una mesa sin rozamiento, ejerciendo sobre la soga una fuerza de 120N moviéndolo a velocidad constante. a) Calcula el trabajo realizado por la fuerza que ejerce la soga sobre el objeto si éste se desplaza 50cm. b) ¿Será mayor, menor o igual el trabajo realizado si la persona tira de la soga 30º hacia arriba de la horizontal? ¿Y si los 30º son hacia abajo? Demuéstralo. c) ¿Qué pasa con el trabajo realizado por la fuerza que ejerce la soga si la superficie ejerce una fuerza de rozamiento de 40N sobre el objeto? Justifica tu respuesta. d) ¿Cuáles son las otras fuerzas que actúan sobre el objeto? ¿Qué trabajo realizan? Justifica. e) ¿De cuánto será el trabajo total realizado sobre el objeto? 4.- Un hombre se encuentra remando en un bote, río arriba, aunque observa que no está avanzando con respecto a la orilla. ¿Realiza algún trabajo? Si deja de remar, la corriente lo arrastra. ¿Se hace trabajo por alguna fuerza aplicada sobre el bote. Explica tu respuesta. 5.- Una misma fuerza horizontal es aplicada sobre dos objetos, de los cuales uno tiene el doble de peso que el otro, para moverlos sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Primero la fuerza se aplica sobre el más liviano, durante un determinado tiempo, y después se aplica, por el mismo lapso de tiempo, sobre el cuerpo más pesado. ¿Sobre cuál de los cuerpos habrá realizado más trabajo? 6.- Se empuja un bloque sobre un plano inclinado aplicando la fuerza necesaria en dirección del plano, para que el bloque suba con velocidad constante. a) ¿Qué fuerza hará más trabajo? ¿La fuerza aplicada o la fuerza de rozamiento? Justifica tu respuesta. b) ¿Alguna de las fuerzas que actúan sobre el bloque hace trabajo negativo mientras el bloque asciende por el plano inclinado? ¿Alguna de esas fuerzas no hace trabajo? c) ¿Podrías estimar cuánto valdrá el trabajo total realizado por las distintas fuerzas que actúan sobre el bloque? 7.- Supongamos que el bloque del problema anterior tiene una masa de 800g y se encuentra sobre un plano que tiene una inclinación de 30º sobre la horizontal. Y que la persona ejerce una fuerza de 6N hacia arriba, en la dirección del plano. a) ¿Qué fuerza hará más trabajo? ¿La fuerza aplicada o la fuerza de rozamiento? ¿Podrías demostrarlo calculando el valor de la fuerza de rozamiento? b) Calcula el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque, suponiendo que éste alcanza una altura vertical de 2m. 8.- Una persona arrastra un cuerpo sobre una superficie horizontal, ejerciendo

sobre él una fuerza de 10N que forma 60º con la vertical. Existe una fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la superficie de 2,5N. Sabiendo que el cuerpo se desplaza una distancia de 4m. a) ¿Cuál es el trabajo que hace la persona sobre el cuerpo? b) ¿Qué otras fuerzas actúan sobre el bloque? ¿Qué trabajo realizan esas fuerzas? c) Calcular el trabajo debido al rozamiento. d) ¿Cuál es el trabajo total realizado sobre el bloque? 9.- Un caballo remolca una barca a lo largo de un canal, la cuerda de remolque forma un ángulo de 10º con la trayectoria de la barca. Si la tensión de la cuerda es de 50kg, ¿cuál es el trabajo realizado por el caballo mientras la barca recoore una distancia de 30m? 10.- Comparar el trabajo necesario para tirar el bloque hacia arriba, por un plano inclinado a diversos ángulos, con el trabajo requerido para levantar el bloque a la misma altura en línea recta.

2.- Trabajo y energía Dijimos al comienzo que el trabajo es un proceso mediante el cual se transfiere energía de un cuerpo a otro. Si el joven aplica una fuerza sobre el automóvil para ponerlo en movimiento, podemos pensar entonces que es él quien le transfiere energía al auto. Como esa energía se traduce en un incremento de su velocidad, la llamaremos “energía cinética”. La energía cinética de un cuerpo, que queda definida matemáticamente por la expresión

( )K

2

21 vmK ⋅=

donde m es la masa del cuerpo y v su velocidad, es entonces la energía que el cuerpo adquiere por haber cambiado su estado de movimiento. Si gana velocidad, gana energía cinética. Ese cambio energético puede expresarse también como:

KW Δ=Σ

Esto refleja matemáticamente lo que dijimos al principio: el trabajo realizado por todas las fuerzas externas que actúan sobre el automóvil le transfiere una determinada cantidad de energía cinética. Volviendo a nuestro ejemplo, si el trabajo neto efectuado sobre el cuerpo era de , quiere decir que la variación de la energía cinética del cuerpo también es de

J2500J2500

JKW 2500=Δ=Σ

Esto nos permite, también, calcular la velocidad que adquiere el automóvil al término del desplazamiento de 5m. La variación de la energía cinética ( )KΔ es la diferencia entre la energía cinética al final del movimiento ( )fK , menos la energía cinética en el momento en que el joven empieza a empujar ( )iK

if KKK −=Δ

Pero como en este caso , porque al principio el auto está en reposo 0=iK ( )0=iv , en este caso particular, nos queda que:

fKK =Δ porque 0=iK

Entonces, y como JK f 2500= 2

21

ff vmK ⋅=

mK

v ff 22 = de donde

mK

v ff 2=

Reemplazando por el valor de la energía cinética y suponiendo que el automóvil tiene una masa , resulta: kgm 1500=

smkgJ

mK

v ff /82,1

1500250022 ===

¿Estarán bien las unidades de velocidad? Te desafiamos a que lo demuestres. Habrás observado que en el cálculo de la diferencia de energía cinética hemos considerado el trabajo total que se realizaba sobre el automóvil ( . Esto es así porque en realidad el cuerpo sufre el efecto de la acción de todas las fuerzas que actúan sobre él, de manera que podríamos escribir:

( KΔ ))J2500

KWWWW

ra

pa

ja

T FFFF Δ=+++

Donde en este caso los trabajos de las fuerzas

aTF y

apF eran nulos, pero puede

haber casos en que no lo sean. La energía cinética es siempre positiva, no importa que la velocidad fuera negativa ya que al estar al cuadrado nos da un número positivo. También lo es la masa. En cambio la variación de la energía cinética si puede ser negativa y también nula, dependiendo de que valores tenga la velocidad final del cuerpo respecto de la inicial. Cuando arrojamos un cuerpo hacia arriba, por ejemplo, el peso

cTF realiza un

trabajo en contra del desplazamiento ( )h , por lo que podríamos decir que

hFhFhFWc

Tc

Tc

T ⋅−=⋅⋅=⋅= º180cosrr

(recuerda que el signo menos es por el 1º180cos −= ) o, lo que es lo mismo,

hgmW ⋅⋅−= Entonces para el trabajo de subida es sW hgmWs ⋅⋅−= .. Pero como al caer, el peso hará el mismo trabajo, pero con signo positivo es

(las direcciones y sentidos de bW

hgmWb ⋅⋅=c

TF y coinciden), entonces el trabajo

total, para el ciclo completo de subida y de bajada, será igual a cero.

h

A las fuerzas que, como el peso, realizan trabajo nulo para un ciclo completo, se las denomina fuerzas conservativas. La fuerza de rozamiento, por el contrario, es lo que se conoce como fuerza no conservativa, ya que si consideramos el roce con el aire en este mismo ejemplo, se trata de una fuerza que tanto en subida como en bajada actúa en contra del

movimiento. En este caso, el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento para el ciclo completo no sólo no es cero, sino que es el doble del trabajo realizado durante la subida. Te desafiamos a que tú mismo demuestres que el trabajo de la fuerza de roce para un ciclo completo no es nulo. Cambian también los aspectos cinéticos del movimiento, ya que en el caso de que actúe sólo la fuerza conservativa peso, la energía cinética y, por ende, la velocidad del cuerpo, son iguales en el punto de partida y en el momento del regreso a la mano que lo arrojó. Cuando actúa la fuerza de rozamiento (no conservativa), la energía cinética y la velocidad del regreso a la mano son menores a las de la partida. Podemos decir, para aportar otro argumento a las diferencias entre fuerzas conservativas y no conservativas, que el trabajo realizado por las primeras depende sólo de las posiciones inicial y final del cuerpo antes y después de realizado el trabajo. En las no conservativas, en cambio, depende de la trayectoria del movimiento seguida por el cuerpo. Hay varios ejemplos de fuerzas conservativas. Podemos mencionar, además de la gravitatoria, la fuerza elástica de un resorte y las fuerzas electrostáticas. Las fuerzas aplicadas, en tanto, son todas no conservativas. Actividades sobre trabajo y energía

1.- En el caso del bloque del último problema sobre trabajo: ¿En cuánto habrá cambiado la energía cinética del bloque mientras asciende por el plano? 2.- Un automóvil tiene una energía cinética de 10.000J. ¿Cuál será su energía cinética si se duplica su velocidad? 3.- Cuando una pelota se arroja dentro de un ómnibus en movimiento, ¿su energía cinética depende de la velocidad que tiene el ómnibus? ¿Por qué? 4.- Compara los cambios que sufren la cantidad de movimiento y la energía cinética de una partícula si se duplica el valor de su velocidad. 5.- ¿Variará la energía cinética de una partícula que se mueve si la fuerza resultante que actúa sobre esta es nula? ¿Qué tipo de movimiento tendrá? ¿Por qué? 6.- Si sobre una partícula actúan varias fuerzas, ¿puede ser que el trabajo realizado por una sola de ellas sea mayor que el cambio que sufre la energía cinética de la partícula? Explícalo. 7.- Un automóvil que tiene una masa de 1.500Kg y que se desplazaba con una velocidad de 5km/h, sobre una superficie sin rozamiento, es empujado por un camión hasta alcanzar una velocidad de 12km/h.

a) Calcular el trabajo realizado por la fuerza que el camión ejerció sobre el automóvil. b) Calcular la fuerza aplicada por el camión sobre el auto si estuvieron en contacto a lo largo de un desplazamiento de 30m. c) Si hubiera rozamiento, ¿la velocidad final del automóvil sería mayor, menor o igual a 12km/h? ¿Por qué? ¿Y la energía cinética transferida al automóvil, cómo sería? 8.- Un automóvil se deja deslizar desde lo alto de una loma, por una carretera sin rozamiento. a) ¿Se detendrá en algún momento el automóvil si después de bajar la loma la carretera se mantiene siempre horizontal? b) ¿Y si a los pocos kilómetros se encuentra con una loma más alta que la anterior? ¿Podrá subirla sin problemas? 9.- El automóvil en cuestión tiene una masa de 700kg y se desliza ahora desde lo alto de una colina de 50m de longitud y una inclinación de 10º, por una carretera a la que suponemos sin rozamiento. Calcular:

a) El trabajo realizado por la fuerza peso ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

aTFr

del automóvil.

b) La velocidad del automóvil al llegar al llano. 10.- Una persona traslada una caja de 5,5kg de masa desde un escritorio ubicado a 120cm del suelo. Supongamos que lo sube a velocidad constante hasta colocarlo en un estante de un placard ubicado a 2m del suelo. a) ¿Cuál es el trabajo neto efectuado sobre la caja? b) ¿Cuál es el trabajo que efectúa la persona sobre la caja? c) Si después baja la caja hasta el suelo, ¿cuál es el trabajo que efectúa la persona sobre la caja en este caso? d) Si se la deja caer ¿Qué trabajo hace la Tierra sobre la caja? 11.- Una fuerza de 10N actúa sobre un patín de ruedas que tiene una masa de 2kg inicialmente en reposo sobre una superficie sin rozamiento. El patín se desplaza 3m mientras actúa la fuerza. ¿Cuánto varía la energía cinética? ¿Qué velocidad alcanza? 12.- Un bloque de 2kg de masa se desplaza con una velocidad de 5m/s, calcular: a) ¿Cuál es la energía cinética del bloque? b) ¿Cuántas veces menor sería la energía cinética si la masa del bloque hubiera sido tres veces menor?

c) ¿Cuántas veces mayor se volvería si la velocidad del bloque se triplicara? d) ¿Qué sucedería con la energía cinética si sólo se cambiara la dirección de la velocidad? ¿por qué? 13.- Un bloque que pesa 78N es empujado, mediante una fuerza horizontal de 4kg, sobre una superficie lisa horizontal durante un trayecto de 6m de longitud. El bloque parte del reposo. a) ¿Cuánto trabajo se habrá realizado? ¿En qué se habrá convertido ese trabajo?

b) Comprobar la respuesta calculando su aceleración, su velocidad final y su energía cinética 14.- Comparar en cada caso las energías cinéticas de las personas mencionadas. Si estas energías no son iguales, indicar cuantas veces es mayor una que la otra: a) El padre y el hijo trotan con igual velocidad. La masa del padre es 2,5 veces la del hijo.

b) Dos niños tienen igual masa, uno de ellos corre con una velocidad que es el doble de la del otro. c) Dos mujeres tienen igual masa, luego de una discusión entre ellas, una sale caminando hacia el oeste y la otra hacia el este, ambas moviéndose con la misma rapidez. 15.- Un bloque se empuja con la fuerza necesaria en dirección hacia arriba a lo largo de un plano inclinado de manera que se mueve con velocidad constante. a) ¿Qué fuerza hará más trabajo, la aplicada o la de rozamiento? b) Alguna de las fuerzas que actúan sobre el bloque, ¿hace trabajo negativo mientras el bloque asciende por el plano inclinado? c) ¿Alguna de esas fuerzas no hace trabajo? d) ¿Podrías estimar cuánto vale el trabajo total realizado por las distintas fuerzas que actúan sobre el bloque? e) ¿En cuánto habrá cambiado la energía cinética del bloque mientras asciende por el plano?

3.- Energía potencial. Distintas formas. Energía potencial gravitatoria. No siempre el trabajo realizado por un cuerpo deriva en una variación de la energía cinética. El trabajo mecánico puede también transferir energía potencial, que es una forma de energía que, como su nombre lo indica, está en potencia. Es decir, que está almacenada y disponible para ser utilizada para realizar trabajo o para transformarse en otra forma de energía. En realidad, hay varias formas de energía potencial. En nuestro ejemplo del automóvil, el combustible –si lo tuviera- tiene energía potencial química. Es la energía que se aprovecha después para hacer un trabajo que transmite energía cinética cuando el auto se pone en marcha y va adquiriendo velocidad. Toda sustancia capaz de realizar un trabajo a partir de una reacción química tiene energía potencial: así ocurre con el combustible y con la batería eléctrica del automóvil, y hasta con los alimentos que nosotros consumimos, ya que de ellos proviene la energía que después “gasta” nuestro cuerpo. También se almacena energía potencial en un campo eléctrico o en un resorte. Hablando de campos, cuando nosotros elevamos un cuerpo cualquiera, lo hacemos en contra del campo gravitatorio, que tiende a atraer al cuerpo hacia el centro de la Tierra. Al elevarlo una cierta altura, lo que estamos haciendo es aumentar la energía potencial gravitatoria del cuerpo. Es decir, la energía potencial que queda almacenada en el campo gravitatorio en función de la posición en que se encuentra el cuerpo. Si después el cuerpo se deja caer, es su peso el que produce un trabajo mediante el cual va adquiriendo energía cinética. La expresión matemática que nos permite calcular la energía potencial gravitatoria

es: ( )U

hgmU ⋅⋅= donde es la masa del cuerpo, es la intensidad del campo gravitatorio (en cercanías de la Tierra puede considerárselo constante) y h la altura a la que se encuentra el cuerpo.

m g

Sin embargo, como es en realidad la diferencia entre la altura que alcanza el cuerpo y la altura inicial, a ras del suelo

h0=ih (en este caso), consideraremos que

es la diferencia entre la altura final y la inicial. De allí que en el análisis que sigue nos referiremos a la variación de la energía potencial

h

UΔ en vez de simplemente a U :

fif hgmhgmhgmU ⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=Δ ¿Cuál será la relación entre el trabajo realizado por el peso del cuerpo y la energía potencial que éste gana cuando se eleva una cierta altura ( )hh f = ? Cuando analizamos lo que son las fuerzas conservativas vimos que cuando un cuerpo se arroja hacia arriba su peso realiza un trabajo igual a:

hgmWc ⋅⋅−=

(donde simboliza al trabajo realizado por una fuerza conservativa) cW Pero como , nos queda: hgmU ⋅⋅=Δ

UWc Δ−= Donde se establece que el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a “menos” la variación de la energía potencial. Hemos obviado a propósito el término gravitatoria, ya que aquí hemos analizado el caso del trabajo producido por la fuerza conservativa peso. Si se calculara el trabajo de otra fuerza conservativa, como la de un resorte, lo que varía es la energía potencial elástica. En definitiva, todo trabajo realizado por una fuerza conservativa se traduce en una variación de alguna forma de energía potencial. Es importante tener en cuenta respecto a que lugar se considera la altura , entonces a ese nivel le llamaremos nivel cero de la energía potencial. Si consideramos un libro que se encuentra sobre un escritorio, y es justamente allí donde consideramos el nivel cero, entonces respecto a ese nivel, la energía potencial del libro también es cero. Si el cuerpo estuviera en el suelo, en este caso la energía potencial es negativa, está por debajo del nivel, y si lo colocamos sobre un estante, más alto que la mesa, tendrá energía potencial positiva. Por otro lado, el cambio de energía potencial también al igual que con la energía cinética, puede ser positivo, negativo o nulo.

h

Actividades sobre energía potencial 1.- Pensando en el automóvil que se deja deslizar desde una loma. a) ¿En algún momento su energía potencial es cero? ¿Y la energía cinética? b) ¿Cuándo tendrá mayor energía cinética? ¿Puede coincidir ese tramo con el de mayor energía total? 2.- Decir y justificar cuál de estos objetos tiene mayor energía potencial con respecto al suelo: a) un auto de 500kg que circula por una ruta horizontal b) una paloma de 150g que vuela a 0,5m de altura con una velocidad de 20km/h c) una mariposa de 12g que está posada sobre una flor a 8m de altura? Justifica tu respuesta.

3.- Calcular la variación de energía potencial en cada uno de los siguientes casos: a) Una pelota cuya masa es 400g se lanza verticalmente hacia arriba y alcanza una altura de 6m. b) Un muchacho que pesa 650N se arroja a una pileta natural de un río, desde una roca situada a 11m de altura sobre el nivel del agua, se hunde hasta una profundidad de 2,3m. c) Un avión DC-10 de 200ton vuela durante 3h con una velocidad de 750km/h manteniéndose a una altura constante de 10000m. 4.- ¿En cuánto aumenta tu energía potencial cuando subes desde la calle hasta el 20º piso de un edificio, situado a una altura de 60m? ¿De dónde proviene esa energía si realizas la hazaña de subirlo a pie? ¿De dónde proviene esa energía si subes cómodamente en ascensor? 5.- Un cuerpo de 0,8kg de masa se arroja hacia arriba, alcanzando una altura de 13m. a) Calcular el trabajo realizado por su peso. b) ¿Qué relación tiene ese trabajo con la energía potencial gravitatoria del cuerpo en el punto más alto de su trayectoria? c) ¿Podrías calcular la velocidad con que el cuerpo fue arrojado hacia arriba? d) ¿Qué pasará al caer? ¿Tendrá la misma velocidad con la fue arrojado? 6.- El martinete de una piloteadora está siendo utilizado para hincar un pilote en el suelo. La maza del martinete se deja caer, sucesivamente, desde diferentes alturas. a) ¿En que caso el pilote penetrará más en el suelo al ser golpeado por la masa del martinete? b) Entonces, ¿en qué situación la maza del martinete posee mayor energía potencial gravitacional? 7.- El martillo de un martinete pesa 1ton y cae desde una altura de 3m sobre pilote al cual introduce 8cm en el suelo. Calcular a partir de consideraciones energéticas, la fuerza ejercida sobre el pilote, suponiendo que ésta es constante.

4.- Conservación de la Energía Al analizar el movimiento del auto empujado por el joven dijimos que el trabajo total realizado por las fuerzas que actúan sobre éste es igual a la variación de la energía cinética:

KW Δ=Σ Expresamos también que ese trabajo total es realizado por distintas fuerzas que pueden clasificarse en dos categorías: las fuerzas conservativas (el peso, la fuerza de un resorte, etc.) y las fuerzas no conservativas (el rozamiento y la fuerza aplicada, entre otras). De manera que la expresión anterior puede ser escrita también de la siguiente forma:

KWW ncc Δ=+ Determinamos también que el trabajo conservativo UWc Δ−= , por lo que podemos decir que:

KWU nc Δ=+Δ−

Ordenando la expresión anterior, nos queda:

ncWUK =Δ+Δ

Si consideramos que la variación de las energías cinética y potencial es igual a la variación de la energía mecánica del sistema, resulta:

ncWE =Δ donde queda establecido entonces que el cambio en la energía mecánica total (cinética más potencial) es igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. En el caso en que no haya trabajos no conservativos (en un sistema ideal sin trabajos debido al rozamiento y/o a fuerzas aplicadas), es decir, , se puede escribir:

0=ncW

0=ΔE

Expresión matemática del Principio de Conservación de la Energía Mecánica, que establece que cuando no hay trabajos no conservativos la energía mecánica del sistema permanece constante. Esto es:

0=Δ+Δ UK Reemplazando,

0=−+− ifif UUKK O sea:

ffii UKUK +=+ donde se establece que la suma de las energías cinética y potencial se mantiene constante a lo largo de todo el movimiento, si no hay trabajos no conservativos. O, lo que es lo mismo, que la energía mecánica inicial tiene el mismo valor que la energía mecánica final:

fi EE = Este principio es sumamente importante y, junto al Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento facilita la resolución de gran cantidad de problemas de la parte de la Física que estudia lo que se denomina mecánica de la partícula, o sea distintos tipos de movimientos de traslación de los cuerpos. Ejemplos de aplicación de la conservación de la energía 1) Supongamos que el automóvil de los problemas anteriores ( ) circula por una carretera a una velocidad de 20m/s, cuando empieza a ascender por una colina sin rozamiento. Calcular:

kgm 1000=

a) La máxima altura a la que puede ascender por la colina. b) ¿Cuánto habrá ascendido por la colina hasta que su velocidad sea de 5m/s? Resolución: a) Aplicando el principio de conservación:

ffii UKUK +=+ Vemos que , porque tomamos como referencia la ruta en el llano ( ) y 0=iU 0=ih

0=fK , porque en la altura máxima 0=fv . Entonces, nos queda:

fi UK =

fi hgmvm ⋅⋅=⋅ 2

21

Simplificando las masas y despejando a la que llamaremos , resulta: fh h

( ) msm

smg

vh i 4,20

/8,92/20

2 2

22

=⋅

==

b) ffii UKUK +=+ donde 0=iU

ffi UKK +=

ffi hgmvmvm ⋅⋅+⋅=⋅ 22

21

21

Simplificando las masas y despejando:

( ) ( ) ( ) m

smsmsm

gvv

h fi 1,19/8,92

/5/202 2

2222

=⋅

−=

−=

2) Un cuerpo de masa se arroja desde lo alto de un edificio de 40m de altura con una velocidad hacia debajo de 10m/s. Calcular la velocidad con que llega al suelo suponiendo que el aire ejerce sobre el cuerpo una fuerza de rozamiento

.

kgm 3=

NFr 10= En este caso, como hay trabajos no conservativos, nos queda:

ncWUK =Δ+Δ

ncifif WUUKK =−+−

donde porque el cuerpo llega al suelo, donde 0=fU 0=fh y llamamos hhi =

nciif WUKK =−−

hFhgmvmvm riif ⋅−=⋅⋅−⋅−⋅ 22

21

21

hFhgmvmvm rif ⋅−=⋅⋅−⋅−⋅ 22

21

21

Despejando , nos queda fv

m

hFhgmvmv

rif

⋅−⋅⋅+⋅⋅=

2

21

2

( )2

22

/3,293

401040/8,93/10321

2 smkg

mNmsmkgsmkgv f =

⋅−⋅⋅+⋅⋅=

Actividades sobre conservación de la energía 1.- Un auto se mueve a cierta velocidad y de pronto frena y se detiene. ¿Qué ocurrió con la energía cinética que tenía inicialmente? 2.- Un objeto es arrojado hacia abajo de manera que luego de rebotar contra el piso llega a una altura que duplica a aquella desde donde fue arrojado. ¿Desafía esta situación al Principio de Conservación de la Energía? 3.- En base a la lectura complementaria sobre "¿Qué es la energía": a) ¿Puedes dar una definición precisa acerca de lo que significa el concepto de energía? b) ¿Y una definición aproximada, con tus propias palabras, como para hacerle entender de qué se trata a un compañero de clase? 3.- Tres objetos de igual masa se lanzan desde un mismo punto y con la misma velocidad, en tres direcciones distintas: uno hacia arriba, otro hacia abajo y un tercero, hacia un costado. ¿Cuál de ellos llega al suelo con mayor velocidad? ¿Por qué? 4.- Un automóvil de 1.500kg de masa se desplaza por una carretera con una velocidad de 80km/h.

a) ¿Qué distancia recorrerá hasta frenarse totalmente si al bloquear las ruedas se ejerce sobre el automóvil una fuerza de rozamiento de 1000N? b) Si en vez de frenar se empieza a subir una cuesta ¿hasta qué altura llegará? 5.- Imagínate que, siendo ya todo un ingeniero, te piden que supervises un invento como el descripto en la lectura complementaria "Máquinas Imposibles". ¿Puedes explicar, al menos en forma cualitativa (sin hacer ningún cálculo) por qué no podría funcionar en forma continua? 6.- Se deja caer una maceta de 2.000g desde lo alto de un edificio de 20m de altura. a) ¿A qué altura tendrá la maceta la mitad de la energía mecánica total? ¿Y la mitad de su energía cinética máxima? b) Si el aire ejerciera una fuerza de rozamiento de 0,5N sobre la maceta, ¿cuál sería la velocidad de la maceta al llegar al suelo? c) ¿Qué pasa con la energía mecánica de la maceta cuando impacta contra el suelo?

7.- Una persona arrastra un carrito de 50N por una pendiente cuya inclinación es 30º, ejerciendo sobre él una fuerza de 30N en la dirección del plano. Si se desprecia el rozamiento entre el carrito y el plano inclinado y considerando que el mismo tiene una longitud de 4m señalar cuál de las afirmaciones siguientes está equivocada y justificar en todos los casos: a) El trabajo realizado por la fuerza normal es nulo. b) El ángulo formado por la fuerza aplicada con el desplazamiento del carrito es 30º. c) El trabajo realizado por la componente del peso en la dirección del plano es -100J d) El ángulo formado por la componente del peso perpendicular al plano con el desplazamiento del carrito es 90º. e) El trabajo total realizado sobre el carrito es de 20J. 8.- ¿Gasta un automóvil más combustible cuando está encendido el aire acondicionado? ¿Y cuando están encendidas las luces? ¿Cuando está encendida la radio y el auto está detenido en un estacionamiento? Explica tus respuestas. 9.- La energía que necesitamos para vivir proviene de la energía potencial almacenada químicamente en los alimentos, que se transforma en otros tipos de energía por medio del proceso de digestión. ¿Qué le ocurrirá a una persona que realiza menos trabajo que la energía que consume? ¿Qué pasa si el trabajo que realiza es mayor que la energía que consume? ¿Puede una persona desnutrida realizar más trabajo sin recibir más alimentos? ¿Por qué? 10.- Señala algunos procesos cotidianos que puedas explicar usando el principio de conservación de la energía. Pueden ser de lo que a diario ocurre en tu casa, cuando vas a la universidad, en un paseo por el centro de la ciudad, en un boliche, etcétera.

5.- Algunas actividades integradoras de ambas unidades 1.- Un joven empuja un automóvil, como vimos en los ejemplos de este curso, de manera que la velocidad se mantiene constante. a) Dibuja todas las fuerzas que actúan sobre el automóvil. b) De repente, apelando a todas sus fuerzas, el joven le da un fuerte empujón al automóvil. Dibuja las fuerzas que actúan en este caso. c) Finalmente, el joven deja de empujar el automóvil, el que desliza solo hasta que se detiene. Dibuja las fuerzas que actúan sobre el auto cuando el joven ya no lo empuja. d) Analiza que ocurre con la cantidad de movimiento y con la energía mecánica del automóvil en cada caso. 2.- ¿Puede un cuerpo tener energía mecánica sin tener cantidad de movimiento? ¿Puede tener cantidad de movimiento sin tener energía mecánica? Explica tus respuestas. 3.- Tres objetos, A, B y C, parten del reposo y caen desde una misma altura. El objeto A cae verticalmente, el B se desplaza a lo largo de un plano inclinado sin fricción, y C por un tobogán también sin rozamiento. Sabemos que sus masas son tales que mA > mB > mC a) Colocar en orden creciente las energías potenciales que dichos cuerpos poseían al inicio de la caída. b) Colocar en orden creciente las energías cinéticas que poseen al llegar al piso. c) Sean vA, vB y vC las velocidades de dichos cuerpos al llegar al suelo. El valor de vB ¿es mayor, menor o igual que el de vA? ¿Y el de vC? d) Colocar en orden creciente la cantidad de movimiento de dichos cuerpos al llegar al suelo. 4.- Se debe empujar con una fuerza de 200N para deslizar una heladera sobre un piso a velocidad constante. ¿Por qué no acelera el sistema si se está aplicando una fuerza? ¿Por qué no aumenta la velocidad? ¿Cuál es la fuerza de rozamiento que actúa sobre la heladera? ¿Es posible ejercer una fuerza y al mismo tiempo no transferir energía? 5.- a) Si una bola de acero rueda con una velocidad de 20m/s sin que actúe ninguna fuerza sobre ella en dirección horizontal, a.1) Traza un diagrama de cuerpo libre de la pelotita rodando por la mesa. a.2) ¿Cuál será su velocidad después de 5s?

a.3) ¿Podrías calcular la cantidad de movimiento? ¿Qué pasa con ella, mientras rueda por la mesa? b) Si una bola de acero rueda por una mesa horizontal y sale disparada por el borde a una altura de 1,22m del borde de la mesa horizontalmente. b.1) ¿Cuál será su velocidad en el momento que salió disparada horizontalmente? b.2) ¿Qué ocurre con la energía de la bolita en el momento en que sale disparada de la mesa? b.3) Cuando está en el aire, ¿qué ocurre con la cantidad de movimiento y la energía? b.4) ¿Qué ocurre con la cantidad de movimiento y la energía un instante antes de impactar contra el suelo? b.5) Si después de impactar contra el suelo, ¿qué pasó con la energía de la bolita? 5.- a) ¿Desde que altura debería caer un automóvil de 3000kg para ganar la energía cinética equivalente a la que tendría viajando a 60 km/h? ¿Depende la respuesta del peso del automóvil? b) Durante su caída, ¿qué ocurre con la cantidad de movimiento del auto, permanece constante, aumenta o disminuye? c) ¿Qué ocurre con la energía mecánica del sistema, permanece constante, aumenta o disminuye? ¿Y con la energía total del sistema? 6.- Un proyectil con una masa de 0,05kg y que se mueve con una velocidad de 400m/s penetra una profundidad de 0,1m en un bloque de madera que se halla fuertemente sujeto al suelo. La fuerza desaceleradora se supone que es constante, calcular: a) la desaceleración experimentada por el proyectil, b) la fuerza desaceleradota, c) el tiempo que demora en penetrar la madera, d) el impulso durante el choque. 7.- Un bloque de masa m desliza una distancia d hacia abajo por la superficie de un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y el plano es μ y la velocidad del bloque en el extremo superior es . 1v a) Hacer un diagrama de cuerpo libre del bloque.

b) ¿Cuál es la expresión de su velocidad en la parte más baja? 2v c) Deducir de dicha expresión el ángulo mínimo de inclinación del plano para el cual el bloque descendería con velocidad constante. 8.- Un niño se desliza en un tobogán (supongamos que no existe rozamiento). Si parte del reposo en la parte superior:

a) ¿con qué velocidad llegará a la parte más baja del plano? Si ahora suponemos que hay fricción entre el niño y el tobogán, b) ¿cuáles son las fuerzas que actúan sobre el niño mientras se desplaza por el tobogán? c) ¿qué trabajo realizan dichas fuerzas? d) ¿cuáles de estas fuerzas son conservativas?, entonces, al llegar al suelo la energía potencial que el niño poseía en lo alto del tobogán ¿se habrá transformado íntegramente en energía cinética? 9.- En el problema anterior, supongamos que existe fricción entre el niño y el tobogán. Supongamos que la altura del tobogán es 8m, la masa del niño es 50kg y la velocidad con la que llega al punto más bajo es 10m/s, determinar: a) la energía mecánica total del niño en el punto más alto y en el punto más bajo; b) De acuerdo al resultado del ítem a) ¿qué conclusiones puede sacar respecto a la energía? c) ¿Cuáles de dichas fuerzas realizan trabajo positivo? ¿Cuáles negativo? ¿Y cuál no realiza trabajo? Justifica en cada caso. d) ¿Qué cantidad de movimiento tiene el niño el punto más alto y en el punto más bajo?