LA DIVISION SINTETICA Y LOS CEROS DE UN POLINOMIO.1. LA DIVISION SINTETICA[4]PROCEDIMIENTO Y PROBLEMAS RESUELTOSPoder dividir un polinomio P(x) por un polinomio lineal de la forma x - r rápida y correctamente nos será de gran ayuda (tan extraño como lo veremos ahora) en la búsqueda de los ceros de un polinomio. Esta clase de división se puede hacer eficientemente por un método llamado de división sintética. El método se comprende más fácilmente con un ejemplo. Comencemos por dividir a P(x) = 2x4 + 3x3 - x - 5 por x + 2. Rescribimos P(x) = 2*x4 + 3*x3 - x - 5 = 2*x4 + 3*x3 + 0*x2 - x - 5 Los coeficientes del dividendo son 2, 3, 0, -1, -5. escribimos solamente (x+2) = (x-(-2)) luego r = -2. por lo tanto escribimos en el divisor el numero -2. el método de Ruffini expresado por Barnett se describe a continuación

De manera practica vemos que la segunda y tercera filas de números se generan como sigue. El primer coeficiente 2 del dividendo se baja a la tercera fila para multiplicarlo por el -2 del divisor y el producto se coloca bajo el segundo coeficiente del dividendo 3 y se suma. La diferencia - 1 se multiplica por el -2 del divisor y el producto se coloca bajo el tercer coeficiente del dividendo y se suma. Este proceso se repite hasta encontrar el "Residuo R".Los nuevos coeficientes de la operación son 2, -1, 2 y -5 que corresponden al polinomio de grado (4-1 = 3) quedando el cociente como 2*x3 - 1*x2 + 2*x - 5 y el "Residuo es R = 5". luego tenemos la siguiente expresión matemática:

Pasos en el Procedimiento de División Sintética 1. Ordenar los coeficientes de P(x) en orden de potencias decrecientes de x (escribir cero como coeficiente de

los términos que no aparecen). 2. Considerar el dividendo de la forma (x - r) y usar "r" para generar la segunda y tercera fila de números como

sigue. Se baja a la tercera fila el primer coeficiente del dividendo y se multiplica por "r" y el producto se suma al segundo coeficiente del dividendo. Se multiplica a esta suma por "r" y este producto se suma al tercer coeficiente del dividendo. Se repite este proceso hasta que se suma un producto al término constante de P(x).

3. El último número de la tercera fila es el residuo, los demás son los coeficientes del cociente que es un grado menos que P(x).EjemploSean P(x) = 14x4 - 2x2 + 3x - 2 Q(x) = x + 2 Efectúe por división sintética P(x) 砑(x)Solución

Ejemplo 2Sean P(x) = 3x5 + 2x3 + 5x - 4 Q(x) = x - 3Efectúe por división sintética P(x) 砑(x)Solución

TEOREMAS DEL RESIDUO Y DEL FACTOR

La regla de Ruffini es un caso particular de la división de polinomios y de deduce que al dividir un polinomio P(x) por un binomio (x - r) se obtiene un nuevo polinomio C(x) de un grado inferior a P (x) y un resto de grado estrictamente menor que 1, es decir, igual a una cantidad numérica R. Por tanto:El valor numérico del polinomio P (x) sustituyendo x por "r" será P (r) = R.

Este principio se conoce como teorema del residuo, y afirma que el Residuo del cociente de un polinomio por un binomio (x - r) es igual al valor numérico que adopta dicho polinomio para x = r.De ello se deduce como corolario el llamado teorema del factor, por el cual se afirma que un polinomio P (x) es divisible por un binomio (x - r) si, y sólo si, el valor numérico de dicho polinomio para x = r es cero, esto es P(r) = R = 0.Teorema del factor.Si r es un cero del polinomio P(x), entonces (x - r) es un factor de P(x); recíprocamente, si (x - r) es un factor de P(x), entonces r es un cero de P(x).Así, si podemos encontrar un cero de un polinomio, podemos encontrar uno de sus factores. De otra parte, si podemos encontrar un factor lineal de un polinomio, podemos encontrar un cero del polinomio.

P (x) = C (x)* (x - r) + R y R = 0 luego P (x) = C (x)* (x - r)

2. EJERCICIOS PROPUESTOSResuelva por división sintéticaY exprese los resultados en las formas

Usar división sintética y el teorema del residuo en cada uno de los siguientes problemas.

Encontrar los ceros de los siguientes polinomios.

Determinar si el segundo polinomio es un factor del primero sin usar división ni división sintética (Sugerencia: Calcular directamente y usar el teorema del factor )

Usar división sintética y el teorema del residuo en cada uno de los siguientes problemas.

V TEOREMAS ACERCA DE LA FACTORIZACION DE LOS POLINOMIOS Y APLICACIONES1 . TEOREMA DE DESCARTES

Una forma de expresar el teorema de Descartes es el siguiente:Si todos los coeficientes de un polinomio P(x) son enteros, entonces por medio del teorema de Descartes, podemos encontrar todos los ceros racionales de P(x), si existen.Teorema

Ejemplos:Encontrar todos los ceros o raíces de

SOLUCIONSi r/s es un cero racional de P(x), entonces r debe ser de 2 y s factor de 6

Se puede verificar cada uno de estos números racionales usando división sintética.El lector puede verificar que un cero es -3/2

Este método generado por el teorema de Descartes presenta el inconveniente de que existen varias posibles raíces a saber:

Ejemplo 2

Ejemplo 3

2. PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE EL TEOREMA DE DESCARTESPara cada polinomio enumerar todos los ceros racionales posibles de acuerdo al teorema de DescartesY encontrar por la formula cuadrática las dos raíces o ceros del factor pólinomial cuadrático.

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos93/matematica-del-noveno-grado/matematica-del-noveno-grado2.shtml#ixzz3ohLILfVy