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La diffraction I) Le principe d’Huygens - Fresnel

1) Mise en évidence et définition de la diffraction

Définition :

La diffraction est le phénomène d’éparpillement de la lumière que l’on observe lorsqu’une onde lumineuse est matériellement limitée dans sa propagation.

Écran

Laser He – NeSource à l’infini

Figure de diffraction de S donnée par la fente étroite

Mise en évidence du phénomène de diffraction

Fente réglable

Diffraction par des ouvertures rectangulaires

Diffraction par un bord



2) Le principe d’Huygens - Fresnel




a) Énoncé

Soit () une ouverture plane éclairée par une source ponctuelle S monochromatique de fréquence .Envisageons un découpage de () en éléments de surface dS(P) mésoscopiques centrés sur des points courants P de ()

Lumière incidente P

dSP

P’

()

(L) Écran

M

Énoncé du principe d’Huygens – Fresnel

. Chaque élément de surface se comporte comme une source ponctuelle fictive secondaire, émettant une ondelette sphérique dont l’amplitude complexe instantanée en P (juste après P) est proportionnelle à l’amplitude complexe instantanée de l’onde émise par S en P (juste avant P) et à l’élément de surface dS(P).

Pour le calcul de l’éclairement en un point M :

Énoncé du principe d’Huygens – Fresnel

Pour le calcul de l’éclairement en un point M :

. Les sources fictives secondaires sont cohérentes entre elles.




a) Énoncé

b) Conséquences

Lumière incidente P

dSP

P’

()

(L)Écran

M

D’après le principe d’Huygens – Fresnel :

daP(M,t) = A(P,M).t(P). exp(jt).exp[– jP(M)].dS(P)

Puis par intégration sur toute la pupille diffractante :

a(M,t) = exp(jt). t(P).exp[– jP(M)].dS(P)Σ

A(P,M).

La diffraction II) L’approximation de Fraunhofer : diffraction à l’infini

1) Énoncé

Onde plane

incidente

k0

u0

Onde plane

diffractée

k

u

xy

z()

Pupille diffractante

P

dSP

Diffraction de Fraunhofer

f1

S

F1

u0

x

L1

u

f'2

M

Y

z

L2

O1O2

y

Pupille Écran

X


Dans le cas de Fraunhofer, les ondes sont planes :A(M,P) = A = Cste.

a(M,t) = exp(jt).A. exp[– jP(M)].dS(P)Σt(P).

t(P), la fonction caractéristique de la pupille, est donnée. Il nous reste à trouver P(M) puis à intégrer sur ().


1) Énoncé

2) Relation fondamentale

P(M) = O(M) + [P(M) – O(M)] = O(M) + (M)

a(M) = A. exp[– jP(M)].dS(P)Σ

t(P).

O(M) est l’origine des phases :

O(M) est la phase en M de l’onde envoyée par S passant par la source secondaire centrée sur O.

(M) est la différence de phase en M entre les deux ondes émises par S passant respectivement par O et par P.

O(M) = k0(SOM)

P(M) = k0(SPM)

(SPM) et (SOM) sont les chemins optiques mesurés le long des rayons lumineux passant par respectivement en P et en O

(M) = k0[(SPM) – (SOM)]

H0 HP

OS M

()(o)

u0 u

Diffraction : schéma fondamental


1) Énoncé


3) Diffraction par une pupille rectangulaire

a) Expression de l’intensité

Pupille rectangulaire

a

b

y

xO

P

f

S

F

u0

x

L

u

f’

M

Y

z

L

O1O2

y

Pupille Écran

X


Dépendances du phénomène de diffraction

Taille et formede la source

Dépendances du phénomène de diffraction

Longueurd’onde


1) Énoncé




b) Étude de l’intensité

Diffraction par une ouverture rectangulaire

2

22

0 uusin

ucsin(u)F

u– 2– 2

– 2/a – /a /a 2/a

).a.

(csin)(F 21 λ

απα

X– 2f’/a – f’/a f’/a 2f’/a

)f.X.a.

(csin(X)F 22 'λ

π

– 2/a – /a

/a2/a

2/a/a

X– 2f’/a – f’/a f’/a 2f’/a

f’/a2f’/a

u

tanu = u

Basculer sur Diffraction Portrait


1) Énoncé




b) Étude de l’intensité

c) Cas de la fente fine

Cas de la fente fine b >> a

a

b

y

xO

P

Diffraction par une pupille rectangulaire b = 5a

Diffraction par une pupille rectangulaire b >> a

0bf

2 'λ af

2'λ

af 'λ


1) Énoncé



4) Généralisation à la pupille circulaire

Diffraction par une pupille circulaire

Basculer sur Diffraction Portrait

La diffraction III) Diffraction par les deux fentes

d’Young1) Éclairage par une source ponctuelle

d

t(x)

2d

2a

2d

2a

2a

2d

2a

2d

a1

Diffraction par les fentes d’Young

f'

S

F

k0O2

F’

L

O1

Ok

f'

M

x

z

L

d

a

xÉcran

Dispositif expérimental

Modulation des interférences par la diffraction :

1

0


0

II

Modulation des interférences par la diffraction :0

II

0

La diffraction III) Diffraction par les deux fentes d’Young

1) Éclairage par une source ponctuelle

2) Éclairage par une source fente parallèle

La diffraction IV) Diffraction avec N fentes

Schématisation des N fentes

Oi Oi+1 Oi+2

d a

i [1, N – 1], i i 1O O = d

i i + 1 i + 2

Diffraction par N fentes

H02H2

O2

O1

S M

()(0)

u0 u

O4

O3

H03

H04

H3

H4

2 4

dλ

d2λ

0 = 0, N = 5

2

)2

N.sin(

)2

N.sin(

φΔ

φΔInterférences à N ondes :0II

1

0


0

II

Principe du réseau

L’intensité est maximum lorsque toutes les ondes issues des différentes fentes sont en phase, les interférences sont exactement constructives

Dans ces conditions, = 2K, K

La diffraction V) Notions sur le pouvoir séparateur

Critère de Rayleigh

Deux images issues de figures de diffraction différentes et incohérentes sont discernables si le maximum principal de chacune des figures (image géométrique) se trouve à l’extérieur du lobe central de l’autre figure .

Critère de Rayleigh Éléments séparés

Critère de Rayleigh Éléments non séparés

Critère de Rayleigh Éléments juste séparés

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