la circunferencia y sus propiedades
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R
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¿Qué figuras tienen la forma de círculo y circunferencia?
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Es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en un mismo plano y equidistan de un mismo punto fijo; el cual representa al centro de la circunferencia
P
QT
S
R
R
R
O: Centro
OP=OQ=OT=OS=…:Radio
CIRCUNFERENCIA
Actividad
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ACTIVIDAD
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ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A B
M
N
Rectatangente
Rectasecante
Flecha o sagita
DiámetroAB( )
Centro
T
Punto de tangencia
Q
P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ
interactúa
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PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA
Todo radio trazado a un punto de tangencia resulta perpendicular a la recta tangente que determina dicho punto de tangencia
Recta Tangente
Radio
1.-Recta Tangente
ACTIVIDAD
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02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
ON : radio
DN : Diámetro
EF : Cuerda
ACTIVIDAD
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P
Q
M
N
R
MQ PM PQ R
Actividad
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03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.
A B
C D
mBDmAC CD // AB :Si
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04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentes
Arcos congruentesLas cuerdas
equidistan del centro
mCD mAB CD AB:Si
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POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
01.- Circunferencias concéntricas tienen un mismo centro
T punto de tangencia
ET=TF
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Rr
Distancia entrelos centros (d)
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
d > R + r
R r
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d = R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia.
rR
R r
Punto de tangencia
Distancia entrelos centros (d)
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d
R
d = R - r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia.
d: Distancia entre los centros
R
r
Punto de
tangencia
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05.-CIRCUNFERENCIAS SECANTES
Tienen dos puntos comunes
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5.1.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.
R r
( R – r ) < d < ( R + r )
Distancia entrelos centros (d)
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5.2.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.
d2 = R2 + r2
Distancia entrelos centros (d)
rR
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06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
R
r
d
d < R - r d: Distancia entre los centros
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1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PB
A
B
P
R
R
ACTIVIDAD
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2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
AB = CD
A
B
C
D
R
Rr
r
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3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
AB = CD
A
BC
DR
R
r
r
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TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio.
a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )
ab
c
r
R R
Inradio
Circunradio
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TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.
a + c = b + d
d
a
b
c
Cuadrilátero circunscrito
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1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.
A
B
Cr
r
= mAB
ACTIVIDAD
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A
C
B
D
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos
2mCDmAB
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A
B
C
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.
2mAB
ACTIVIDAD
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4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto.
A
B
C
2mAB
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A
BC
2mABC
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.
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A
B
C O
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
+ mAB = 180°
2mAB - mACB
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A
B
C
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
2mBC - mAB
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A
B
C
O
D
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
2mCD-mAB