LA CIRCONFERENZA, IPOLIGONI INSCRITTI ECIRCOSCRITTIRealizzato da: Ballatore Alessia, D’Aquila Michele, DiGuardo Chiara, Formosa Sara, Santuccio Anastasia.

Classe: III A

LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO

Un luogo geometrico èl’insieme di tutti e soli i punti diun piano che godono di unad e t e r m i n a t a p r o p r i e t àcaratteristica. Ad esempio, l’assedi un segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremidel segmento.

La circonferenza è il luogo deipunti di un piano che hanno unadistanza assegnata da un puntofisso detto centro. Il cerchio è lafigura formata dai punti dellacirconferenza e dai suoi puntiinterni.

LA CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI

Per tre punti non allineati, passauna ed una sola circonferenza.

Se in una circonferenza sonocongruenti due figure dellostesso tipo, per esempio duearchi, allora sono congruentianche le figure corrispondenti,ossia le due corde e i due angolial centro.

I TEOREMI SULLE CORDE In una circonferenza due corde hanno la stessa distanza

dal centro se e solo se sono congruenti. Congiungiamoil centro della circonferenza con uno solo degli estremiper ogni corda, ora tracciamo la proiezione ortogonaledel centro su ogni corda. Troviamo così due triangolirettangoli congruenti per il quarto criterio di congruenzadei triangoli rettangoli.

Se un diametro è perpendicolare ad una corda nonpassante per il centro, allora esso divide la corda indue parti congruenti. Tale diametro divide in due particongruenti anche i due archi che la corda individua e idue angoli al centro corrispondenti a detti archi.Uniamo gli estremi della corda al centro dellacirconferenza, considerando anche il diametro troviamodue triangoli rettangoli per le ipotesi del teorema, chesono congruenti per il quarto teorema di congruenza deitriangoli rettangoli. Hanno quindi tutti i lati uguali equindi la corda è divisa esattamente a metà.

In una circonferenza un diametro è la corda piùl u n g a d i o g n i a l t r a .Per la dimostrazione uniamo gli estremi della cordacon il centro della circonferenza ed otteniamo cosìun triangolo. Sappiamo che la somma di un lato diun triangolo è minore della somma degli altri due.

Se in una circonferenza il diametro interseca una cordanel suo punto medio, allora la corda ed il diametro sonoperpendicolari.Uniamo gli estremi della corda al cerchio econsideriamo il triangolo che si viene a formare conla corda. Per le proprietà dei raggi il triangolo èisoscele, sappiamo che la mediana è anche altezza eda qui concludiamo la dimostrazione.

LE POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTOAD UNA CIRCONFERENZA Una retta ed una circonferenza che

si intersecano non possono avere piùdi due punti in comune.

U n a r e t t a è secante u n acirconferenza se ha due punti incomune con essa, è tangente se hasolo un punto in comune, è esterna se non ha punti in comune.

Le tangenti a una circonferenzada un punto esterno. Se da unpunto esterno a una circonferenza siconducono le due rette tangenti,risultano congruenti i due segmentidi tangente.

LE POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE CIRCONFERENZE

Due circonferenze si dicono esterne se la somma dei loro raggi èstrettamente minore della distanza tra il o r o c e n t r i . I n f o r m u l e ,

OA+O ′ A ′ <OO ′ . D u ecirconferenze in tale posizione nonhanno punti in comune.

Due circonferenze si dicono tangentiesternamente se la somma dei lororaggi è uguale alla distanza tra i lorocentri. In formule, OT+O’T=OO’

Due circonferenze si dicono secanti se ladistanza dei loro centri è, al contempo,minore della somma e maggiore delladifferenza in valore assoluto dei lororaggi. Due circonferenze in taleposizione hanno due punti in comune,detti punti di intersezione. In formule, |OA-O’A’|<OO’<OA+O’A’

Due circonferenze si dicono tangentiinternamente se la differenza in valoreassoluto dei loro raggi è uguale alladistanza tra i loro centri. In formule,

|OT-O’T|=OO’

Due circonferenze si dicono interne sela differenza in valore assoluto dei lororaggi è maggiore della distanza tra iloro centri. In formule,

|OA-OA’|>OO’

D u e c i r c o n f e r e n z e s i d i c o n oconcentriche se la distanza tra i lorocentri è pari a 0. Se i due raggi hannouguale misura, le due circonferenze sidicono coincidenti. S e d u ecirconferenze concentriche noncoincidenti non hanno punti in comune,a l con t rar io due c i rconferenzecoincidenti ne hanno infiniti.

GLI ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA E ICORRISPONDENTI ANGOLI AL CENTRO

Un angolo al centro e un angolo allacirconferenza si dicono corrispondenti quando insistono sullo stesso arco. Ogniangolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro corrispondente.Nella stessa circonferenza, due o piùangoli alla circonferenza che insistonosullo stesso arco o su archi congruentisono congruenti. Se un angolo allac i r c o n f e r e n z a i n s i s t e s u u n asemicirconferenza, è retto.

I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

Un poligono è inscritto in unacirconferenza quando ha tutti ivertici sulla circonferenza. Unpoligono può essere inscritto in unacirconferenza se e solo se gli assi dei sui lati si incontrano tutti nello stessopunto di intersezione, che coincidecon il centro della circonferenza.

Un poligono è circoscritto a unacirconferenza quando tutti i suoi latisono tangenti alla circonferenza. Unpoligono può essere circoscritto auna circonferenza se e solo se lebisettrici dei suoi angoli si incontratonello stesso punto di intersezione,che coincide con il centro dellacirconferenza.

I POLIGONI REGOLARI

Un poligono regolare è un poligonoavente tutti i lati congruenti e tuttigl i angoli congruenti . Se unpoligono è regolare, allora esso èinscrivibile in una circonferenza ecircoscrivibile a un’altra. Le duecirconferenze hanno lo stesso centro,detto ce nt ro d e l p o l i g o n o.L’apotema è i l r a g g i o d e l l acirconferenza inscritta.

LA SIMILITUDINE NELLA CIRCONFERENZA

Il Teorema delle corde dice: Isegmenti in cui viene divisa unacorda dal punto di intersezionesono i medi e quelli in cui vienedivisa l'altra corda sono gliestremi di una stessa proporzione.Disegniamo sulla circonferenza duecorde che si intersecano in un puntoe analizziamo i triangoli che siformano tramite le proprietà deglia n g o l i a l l a c i r c o n f e r e n z a .Applichiamo il primo principio disimilitudine dei triangoli e troviamole proporzioni del teorema.

Il Teorema delle rette secanti dice: Isegmenti sulla seconda retta sono imedi e quelli sulla prima sono gliestremi di una stessa proporzione.Per dimostrare questo teoremaprendiamo un punto esterno allacirconferenza e da lì tracciamo duerette che incontrino la circonferenza, einf ine uniamo quest i punt i diintersezione individuando così 2triangoli. Questi triangoli sono similiper il primo criterio di similitudine perle p ropr ie tà degl i angol i a l lacirconferenza. Da qui si trova subito laproporzione della tesi del teorema.

Il Teorema della tangente e dellasecante dice: I l segmento ditangenza è medio proporzionale trai due segmenti che si formano sullasecante. Prendiamo una circonferenzae un punto esterno da cui tracciamouna tangente e una retta secante allacirconferenza. Uniamo i punti diintersezione fra rette e circonferenza etroviamo due triangoli simili per ilprimo cr i terio di simil i tudine.Scriviamo la proporzione sui latiomologhi ed il teorema è dimostrato.

La sezione aurea di un segmento è laparte del segmento che è medioproporzionale fra l’intero segmento ela parte rimanente. Il lato di undecagono regolare ad esempio è lasezione aurea del raggio dellacirconferenza a esso circoscritta.

Poligoni regolari con lo stesso numerodi lati sono simili. Fra loro lati,perimetri , apotemi, raggi dellerispettive circonferenza inscritte ecircoscritte, c’è lo stesso rapporto, cheè ancora un rapporto di similitudine.

AB: AC= AC: CB

LA LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZAE L’AREA DEL CERCHIO

Il rapporto fra le lunghezze di duecirconferenze è uguale al rapportofra i rispettivi raggi, mentre ilrapporto fra le aree dei cerchi èuguale al quadrato del rapporto fra iraggi.

La misura r del raggio del cerchioinscritto in un triangolo è uguale alrapporto tra la misura A dell’area deltriangolo e la misura p del suosemiperimetro: r=A/p

La misura R del raggio del cerchiocircoscritto a un triangolo è uguale alprodotto delle misure a, b, e c dei lati deltriangolo diviso per il quadruplo dell’area Adel triangolo: R=abc/4A

Indicate con a, b e c le misure dei tre lati diun tr iangolo e con p/2 quel la delsemiperimetro, la misura dell’area A deltriangolo è data dalla formula di Erone: