la categoría derivada como invariante de variedades

La categorıa derivada como invariante de variedadesalgebraicas

Leovigildo Alonso Tarrıo

Universidade de Santiago de Compostela

IMUS – Universidad de Sevilla12 de Marzo de 2010

Leo Alonso (USC.es) Categorıa derivada como invariante Sevilla – Marzo 2010 1 / 40

Esquema

1 Categorificar los invariantes de las variedades algebraicas

2 La categorıa derivada de un esquema

3 Generalizaciones: esquemas formales, pilas geometricas

4 Subconjuntos de un esquema y teorıa de interseccion


Categorificar los invariantes de las variedades algebraicas

Esquema 1a parte

1 Categorificar los invariantes de las variedades algebraicasInvariantes de las variedades algebraicasLa categorıa derivada y el grupo de Grothendieck





Categorificar los invariantes de las variedades algebraicas Invariantes de las variedades algebraicas

Necesidad de invariantes de las variedades algebraicas

Sea X una variedad algebraica, es decir un espacio anillado que localmentees isomorfo al conjunto de soluciones de un sistema de ecuacionespolinomicas en un espacio afın.

La geometrıa algebraica pretende estudiar las propiedades geometricas deX : clasificacion, resolucion, deformacion, propiedades cohomologicas,interaccion geometrıa – aritmetica . . .

Para ello es preciso asociar a X invariantes que suelen tener diversasestructuras algebraicas (grupos, anillos, modulos . . . ) que expresan enterminos algebraicos (y, por tanto, sencillos) las propiedades geometricas(en principio difıciles) de X .


Categorificar los invariantes de las variedades algebraicas Invariantes de las variedades algebraicas

Ejemplos de invariantes

La cohomologıa de De Rham H iDR(X ), un anillo graduado.

La cohomologıa de Hodge H i (X ,ΩjX ), un anillo bigraduado.

La cohomologıa `-adica H iet(X ,Q`), un anillo graduado.

El grupo de Grothendieck, K0(X ), un anillo.

La teorıa K, K∗(X ), un anillo graduado.


Categorificar los invariantes de las variedades algebraicas La categorıa derivada y el grupo de Grothendieck

Categorificar los invariantes

Todos estos invariantes son estructuras algebraicas. Hemos omitido en losejemplos las versiones homologicas que acompanan a estas teorıas y quesuelen ser modulos sobre los correspondientes anillos.

Historicamente los invariantes co/homologicos son la algebraizacion deinvariantes discretos (enteros, como el genero, o polinomicos, como el deHilbert-Samuel) que tienen mas capacidad expresiva y por tanto, permitenabordar los problemas con mas herramienta.

Parece util enriquecer aun mas la estructura de estos invariantes, de modoque se expresen como categorıas con estructura, ampliando lasposibilidades de utilizacion de estos invariantes.



La categorıa derivada

Sea X un esquema razonable (digamos cuasi-compacto y cuasi-separado).Sea Aqc(X ) la categorıa de haces de OX modulos cuasi-coherentes. Unacategorıa util asociada a X es D(Aqc(X )), la categorıa derivada de hacesde modulos cuasi-coherentes.

Para aquellos que tengan inclinaciones mas bien topologicas es comodopensarla como la categorıa de homotopıa HoC(Aqc(X )) de la categorıa noacotada de complejos para una cierta estructura de categorıa modelo(C(Aqc(X )), cof,we). Problema: segun la cuestion abordada debemoselegir distintas clases como cofibraciones.

Desde el punto de vista algebraico es mas simple cocientar primero por lashomotopıas, construyendo la categorıa derivada en dos pasos:

C(Aqc(X ))hacer 0 homotopıas−−−−−−−−−−−−→ K(Aqc(X ))

quis−1

−−−−−−−−−−−→ D(Aqc(X ))



Grupos de Grothendieck

En las condiciones anteriores, supongamos ademas que X es noetheriano.La categorıa derivada D(Aqc(X )) contiene dos subcategorıas importantes

D(X )cp, la subcategorıa plena de D(Aqc(X )) formada por loscomplejos perfectos.

Dbc(X ), la subcategorıa plena de D(Aqc(X )) formada por los

complejos acotados con cohomologıa coherente.

Se tiene

K0(X ) = Groth(D(X )cp)

K !0(X ) = Groth(Db

c(X ))

K0(X ) es un anillo y K !0(X ) es un K0(X )-modulo. Estos invariantes deben

tener un reflejo categorico, ası que es importante esclarecer la estructurade D(Aqc(X )).


La categorıa derivada de un esquema

Esquema 2a parte


2 La categorıa derivada de un esquemaLa categorıa derivada de haces cuasi-coherentesHomotopıa estable axiomaticaEstructura monoidal cerrada simetricaBuenos generadores




La categorıa derivada de un esquema La categorıa derivada de haces cuasi-coherentes

La categorıa de haces cuasi-coherentes

Sea X un esquema cualquiera. La categorıa Aqc(X ) de haces deOX -modulos cuasi-coherentes es una categorıa de Grothendieck.

1 Es abeliana (clasico: EGA).

2 Posee lımites directos exactos (clasico: EGA).

3 Posee un generador (clasico si X es cuasi-compacto y cuasi-separadopero, en general, Gabber (sin publicar) e Enochs-Estrada (2005)).


La categorıa derivada de un esquema La categorıa derivada de haces cuasi-coherentes

Consecuencias

Dado que Aqc(X ) es una categorıa de Grothendieck, se tiene que:

1 D(Aqc(X )) es una categorıa triangulada.

2 D(Aqc(X )) posee coproductos arbitrarios.

3 Un funtor cohomologico D(Aqc(X ))o → Ab es representable.(A.–Jeremıas–Souto (2000), otros autores. . . ).

Mediante la localizacion de Bousfield se extiende la adjuncion deGabriel–Popescu

D(Aqc(X ))aiD(R)

con a a i y R el anillo de endomorfismos de un generador. Las propiedadesde esta adjuncion permiten transportar el teorema de representabilidad deD(R) (compactamente generada) a D(Aqc(X )).


La categorıa derivada de un esquema Homotopıa estable axiomatica

Nocion de categorıa de homotopıa estable

Estas son tres de las condiciones de la definicion de categorıa dehomotopıa estable establecida por Hovey–Palmieri–Strickland (1997).

Proponen un marco para hacer homotopıa. Incluye propiedades razonablesque permiten una panoplia de construcciones, entre ellas una estructuramultiplicativa.

Trataremos a continuacion cuando se cumplen las dos condicionesrestantes de categorıa de homotopıa estable:

Estructura monoidal cerrada.

Existencia de buenos generadores.

Se trata de responder a una pregunta de Strickland (2004).


La categorıa derivada de un esquema Estructura monoidal cerrada simetrica

Estructura monoidal cerrada simetrica

Clasicamente se sabe que (D−(A(X )),⊗L,OX ) es una categorıa monoidalsimetrica (A(X ) = categorıa de haces de modulos), pero no poseecoproductos.

Spaltenstein (1988) lo extiende a complejos de haces de modulos sinacotacion, construyendo resoluciones q-planas. En consecuencia,(Dqc(X ),⊗L,OX ) es una categorıa monoidal simetrica, donde Dqc(X ) esla subcategorıa plena de D(A(X )) de los complejos con cohomologıacuasi-coherente.

A.–Jeremıas–Lipman (1997) prueban que un complejo en D(Aqc(X ))posee una resolucion q-plana formada por haces cuasi-coherentes si X esun esquema cuasi-compacto y semi-separado.En consecuencia, (D(Aqc(X )),⊗L,OX ) es una categorıa monoidalsimetrica.



Esquemas semi-separados

Un esquema se dice semi-separado si su diagonal es un morfismo afın.Equivalentemente, si la interseccion de abiertos afines es afın. Estopermite que el calculo de Cech de la cohomologıa funcione.

Se tiene la siguiente cadena de implicaciones estrictas

separado ⇒ semi-separado ⇒ cuasi-separado

La recta afın con un punto duplicado es semi-separada sin serseparada

El plano afın con un punto duplicado no es semi-separado (pero sı,obviamente, cuasi-separado).



Estructura cerrada

El funtor inclusion canonico i : Aqc(X )→ A(X ) posee un adjunto por laderecha, QX : A(X )→ Aqc(X ) el funtor coherador.

Su funtor derivado RQX : D(X )→ D(Aqc(X )) induce una equivalencia decategorıas Dqc(X ) →D(Aqc(X )).

Teorema de Bokstedt–Neeman (1993) en el caso separado.La prueba de A.–Jeremıas–Lipman (1997) se extiende al casosemi-separado.Podemos definir el hom interno como:

Hom•X (F ,G) := RQXRHom•X (F ,G)

Que hace de D(Aqc(X )) una categorıa cerrada puesto que:

HomX (F ,Hom•X (G,H)) →HomX (F ⊗LOXG,H).


La categorıa derivada de un esquema Buenos generadores

Generadores fuertemente dualizables

Una familia de generadores Gαα∈A de D(Aqc(X )) es una familia deobjetos tal que la menor subcategorıa triangulada de D(Aqc(X ))estable por coproductos que la contiene es toda D(Aqc(X )).Esto significa que todo objeto de D(Aqc(X )) se construye a partir delos Gα mediante un proceso posiblemente infinito involucrando conos,suspensiones y coproductos iterados.

Ser fuertemente dualizable es para los objetos Gα que el morfismocanonico

Hom•X (Gα,OX )⊗LOXH −→Hom•X (Gα,H)

es un isomorfismo para cada H ∈ D(Aqc(X )).



Ejemplos de generadores fuertemente dualizables

Categorıas de homotopıa estable clasicas

La categorıa derivada D(R) de complejos de modulos sobre un anilloconmutativo R.

La categorıa clasica de homotopıa estable, HoSp.

Ambas categorıas poseen un conjunto de generadores fuertementedualizable.

El conjunto R genera D(R).

El conjunto S genera HoSp, con S el espectro de las esferas.

En grado n, el espectro S es la esfera n-dimensional Sn. Los morfismosestructurales vienen dados por los homeomorfismos ΣSn ∼= Sn+1.

La existencia de un tal sistema de generadores para D(Aqc(X )) sedemuestra en tres pasos.



Existencia de generadores fuertemente dualizables I

Un objeto E de una categorıa triangulada T se dice compacto si el funtorHomT(E ,−) conmuta con coproductos arbitrarios.

La categorıa D(Aqc(X )) esta generada por compactos.

Este es un resultado de Neeman (1996).

Bondal–Van den Bergh (2003) y Lipman–Neeman (2007) han probado quebasta un unico generador compacto.



Existencia de generadores fuertemente dualizables II

Un complejo G ∈ D(Aqc(X )) se dice perfecto si existen abiertos afinesU = Spec(R) de forma que los U ⊂ X recubren X tales que G|U escuasi-isomorfo a un complejo acotado de modulos localmente libres derango finito.

R-modulos localmente libres de rango finito = proyectivos y finitamentegenerados.

En el caso afın los compactos son los perfectos, Rickard (1989).

Proposicion

Los compactos de D(Aqc(X )) son los complejos perfectos.



Existencia de generadores fuertemente dualizables III

Proposicion

Los complejos perfectos son fuertemente dualizables.

La cuestion es local, se trata de establecer un isomorfismo.

Nos reducimos al caso afın donde podemos suponer que que G = O⊕nX .

En este caso, se tiene

Hom•X (O⊕nX ,OX )⊗LOXH ∼= H⊕n

Hom•X (O⊕nX ,H) = H⊕n


Generalizaciones: esquemas formales, pilas geometricas

Esquema 3a parte



3 Generalizaciones: esquemas formales, pilas geometricasEsquemas formalesPilas geometricas



Generalizaciones: esquemas formales, pilas geometricas Esquemas formales

Haces en esquemas formales

Sea (X,OX) un esquema formal noetheriano semi-separado.

Los haces cuasi-coherentes tienen un comportamiento inadecuado en estecontexto (no existen de lımites ni generadores. . . ) de modo que hay quereemplazarlos por una categorıa de haces con propiedades mejores.

Sea I un ideal de definicion de (X,OX).

Los haces apropiados son los cuasi-coherentes de torsion, es decir, aquelloshaces cuasi-coherentes F tales que el subhaz de torsion para la topologıacanonica

Γ ′XF := lım−→n∈N

Hom(OX/In+1,F)

es todo F .

La categorıa Aqct(X) de los haces de OX-Modulos cuasi-coherentes detorsion es una categorıa de de Grothendieck (A.–Jeremıas–Lipman (1999)).



Coeficientes cohomologicos en esquemas formales

La categorıa de coeficientes cohomologicos para un esquema formal es lacategorıa derivada de los complejos de haces con cohomologıacuasi-coherente y de torsion.

De denotara por Dqct(X).

Se considera Dqct(X) y no D(Aqct(X)) por el comportamiento del tensorderivado y la caracterizacion de los complejos perfectos.



Homotopıa estable en esquemas formales

Sea X un esquema formal noetheriano semi-separado. La categorıaDqct(X) es una categorıa de homotopıa estable.

A.–Jeremıas–Perez–Vale (2008).



Comparacion entre esquemas formales y esquemas usuales

La categorıa D(Aqc(X )) es unital .

Esto significa que su objeto unidad para la estructura monoidal OX escompacto.

En el caso de un esquema formal X esto ya no es ası.El objeto unidad en el caso de esquemas formales es O′X := RΓ ′XOX

O′X no es un objeto compacto, salvo que X sea un esquema usual.

Hay una diferencia estructural entre ambas categorıas que distingue elcaso de los esquemas formales de los esquemas usuales.


Generalizaciones: esquemas formales, pilas geometricas Pilas geometricas

Pilas algebraicas

Dado un esquema base S , una pila algebraica X es una pila en el sitiogrande etale de S tal que

El 1-morfismo diagonal δX : X→ X×S X es representable, separado ycuasi-compacto.

Existe un esquema U y un 1-morfismo sobreyectivo y liso p : U → X

El morfismo p : U → X se denomina presentacion de la pila.



Nocion de pila geometrica

Diremos que X es cuasi-compacta si U lo es.

Observese que si X es cuasi-compacta, podemos tomar U afın.

Diremos que X es semi-separada si δ es un morfismo afın (en cuyocaso es automaticamente representable, separado y cuasi-compacto).

Una pila algebraica se dice geometrica si es cuasi-compacta ysemi-separada.

Definicion de Lurie, Toen y Vezzosi.

Sea X es una pila geometrica y p : U → X es una presentacion afın.Podemos formar el producto fibrado U ×X U, a priori una pila algebraica.Por ser X geometrica U ×X U es un esquema afın.



Pilas geometricas y algebroides

Sea X es una pila geometrica, p : U → X es una presentacion afın.Tomemos U = Spec(A0) y U2 := U ×X U = Spec(A1)

El par (U,U2) es un esquema (afın) en grupoides.

La correspondiente estructura algebraica del par (A0,A1) se denominaalgebroide de Hopf (dual de grupoide interno).

Al par (U,U2) se le asocia canonicamente un grupoide en el sitio grandeetale de S . Este grupoide es una pre-pila. Por pilificacion se obtiene unapila que denotamos [U,U2].

La pila X es canonicamente equivalente a [U,U2] vıa p.

Escribimos esta construccion como X = Stck(A0,A1).



Haces sobre pilas geometricas

Dada una pila algebraica X se tiene su sitio grande etale que esequivalente al sitio grande de los esquemas afines sobre X con losrecubrimientos dados por los morfismos etales (base de abiertos afines).Denotaremos este ultimo sitio por Affet(X).

El sitio Affet(X) es anillado por el haz estructural OX.

Como en todo sitio anillado existe una nocion de haz cuasi-coherente,luego tiene sentido definir la categorıa abeliana Aqc(X).



Prehaces cartesianos sobre pilas geometricas

Cosideremos el sitio Affet(X) asociado a X como categorıa.

Un prehaz M : Affet(X)o → Ab se dice cartesiano (de OX-modulos) siverifica que dado un morfismo V ′ → V en Affet(X), con V = Spec(B) yV ′ = Spec(B ′) el morfismo canonico

M(V )⊗B B ′ −→ M(V ′)

es un isomorfismo.

Denotaremos la categorıa de prehaces cartesianos sobre X por Cart(X).

Se tiene una equivalencia de categorıas Cart(X) ∼= Aqc(X).



Prehaces cartesianos y comodulos

Sea (A0,A1) un algebroide de Hopf.Un A0 modulo M junto con un homomorfismo ψ : M → A1 ⊗A0 M quesatisfaga ciertas compatibilidades se denomina un comodulo.

Denotamos por coMod(A0,A1) la categorıa de comodulos sobre (A0,A1).

Un prehaz cartesiano sobre X = Stck(A0,A1) define un comodulo sobre(A0,A1). Esta asignacion es funtorial

Se tiene una equivalencia de categorıas Cart(X) ∼= coMod(A0,A1).



Hacia la categorıa de homotopıa estable

Sea (A0,A1) un algebroide de Hopf.La categorıa coMod(A0,A1) es una categorıa abeliana de Grothendieck.

Por las equivalencias anteriores tenemos ası que Aqc(X) es una categorıade Grothendieck y, por tanto:

1 D(Aqc(X)) es una categorıa triangulada.

2 D(Aqc(X)) posee coproductos arbitrarios.

3 Todo funtor cohomologico D(Aqc(X ))→ Ab es representable.

(A.–Jeremıas–Perez–Vale, en progreso).


Subconjuntos de un esquema y teorıa de interseccion

Esquema 4a parte




4 Subconjuntos de un esquema y teorıa de interseccionSubconjuntos de un esquemaEspeculaciones sobre teorıa de interseccion


Subconjuntos de un esquema y teorıa de interseccion Subconjuntos de un esquema

Localizaciones de Bousfield

Sea T una categorıa triangulada. Una localizacion de Bousfield en T es unpar (`, η) formado por un funtor y una transformacion natural tal que

El funtor ` es un endofuntor ` : T→ T.

La transformacion natural η : id→ `.

de forma que η induce un isomorfismo `→ `2.

En otras palabras una localizacion de Bousfield es una monadaidempotente.

Sea L := ker(`), la subcategorıa localizante asociada a `.Para cada X ∈ T se tiene un triangulo distinguido

γX −→ X −→ `X+−→

con γX ∈ L y `X ∈ L⊥.



Existencia de localizaciones de Bousfield

Teorema

Sea A una categorıa abeliana de Grotendieck y D(A) su categorıaderivada. Sea L la menor subcategorıa triangulada estable por coproductosde D(A) que contiene un objeto E ∈ D(A).Entonces existe una localizacion de Bousfield ` : D(A)→ D(A) tal queker(`) = L.

A.–Jeremıas–Souto, (1999).



Clasificacion de localizaciones de Bousfield

En un esquema X o un esquema formal X una localizacion de Bousfield sedice rıgida si para todo F ∈ L y todo G se tiene que F ⊗L G ∈ L.

Si X es un esquema afın, toda localizacion de Bousfield es rıgida.

Teorema

Sean Aqc(X ) y Aqct(X) la categorıa de haces cuasi-coherentes (de torsion)sobre un esquema noetheriano X y un esquema formal noetheriano X,respectivamente.El conjunto de las localizaciones de Bousfield rıgidas de D(Aqc(X )) yD(Aqct(X)) estan en biyeccion con los subconjuntos de X y X,respectivamente.

La biyeccion conserva las inclusiones.

Caso X = Spec(A) se debe a Neeman (1992).Caso X y X, en general, A.–Jeremıas–Souto, (2004).



Descripcion de ciertas localizaciones de Bousfield I

Sea X un esquema noetheriano Z ⊂ X .Sean `Z y γZ la localizacion y aciclizacion de Bousfield correspondientes.Sea LZ := ker(`Z ).

Se dice que `Z es ⊗-compatible si `Z (F ⊗L G) ∼= F ⊗L `ZG

Teorema

1 `Z es ⊗-compatible.

2 `Z conserva coproductos, es decir, `Z es smashing.

3 L⊥Z es estable para coproductos de D(Aqc(X )).

4 Z ⊂ X es estable por especializacion.

5 γZ = RΓZ .



Descripcion de ciertas localizaciones de Bousfield II

Denotemos DZ (Aqc(X )) = LZ .Podemos resumir una localizacion de Bousfield en el diagrama:

DZ (Aqc(X )) D(Aqc(X )) L⊥Z

D(Aqc(X ))DZ (Aqc(X ))

i

gZ λZ

j

q vıa λZ∼

Se tienen las adjunciones i a gZ y λZ a j .Ademas, γZ = i gZ y `Z = j λZ .Es lo analogo a una sucesion exacta de categorıas trianguladas.

Si Z es un cerrado, L⊥Z ∼= D(Aqc(U)), con U = X \ Z .


Subconjuntos de un esquema y teorıa de interseccion Especulaciones sobre teorıa de interseccion

La filtracion topologiga

A partir de ahora X denota un esquema equidimensional de tipo finitosobre un cuerpo K .

Definimos Xn ⊂ X el subconjunto de los puntos x ∈ X tal que lacodimension de x en X es mayor o igual que n. Los Xn son conjuntosestables por especializacion de X .

Se define la filtracion F n(K0(X )) como el subgrupo de las clases decomplejos perfectos de X cuyo soporte homologico esta contenido en Xn.

Por tanto F n(K0(X )) = Groth(DXn(X )cp).


Subconjuntos de un esquema y teorıa de interseccion Especulaciones sobre teorıa de interseccion

Categorificar los grupos de Chow

Es un resultado de Grothendieck que

CH i (X )⊗Q ∼= (F i (K0(X ))/F i−1(K0(X )))⊗Q

Sin embargo es bien conocido que

Groth(DXi(X )cp)

Groth(DXi−1(X )cp)

6= Groth

(DXi

(X )cp

DXi−1(X )cp

)

Problema

¿Es posible definir una categorıa triangulada empleando D(X )cp y lasDXi

(X )cp con i ∈ Z de modo que su grupo de Grothendieck coincida conCH i (X ) al menos tras tensorizar por Q?


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