la arquitectura del conocimiento … · pótesis y reglas de inferencia. como sabemos, un teore-ma...

LA ARQUITECTURA DEL CONOCIMIENTO COMPLEJO, EL SENTIDOCOMÚN Y LA PROBABILIDAD

SIXTO RÍOS GARCÍA Y DAVID RÍOS INSUA

Real Academia de Ciencias

Estrictamente hablando, todo nuestroconocimiento, aparte de las matemáticasy la lógica demostrativa, consiste en con-jeturas.

(Polya, 1954)

INTRODUCCIÓN

En su introducción a esta serie de lecturas que la RealAcademia ha dedicado al Año Mundial de las Matemáti-cas, el profesor Etayo, al comparar la imagen de nuestradisciplina con otras actividades del pensamiento, men-ciona cómo el gran público asocia las matemáticas con elpensamiento más hermético. Nuestro objetivo aquí es des-granar algunas ideas sobre tal pensamiento, motivadas, enparte, por la cita introductoria de Polya, intentando rela-cionar las matemáticas con el pensamiento cotidiano y elsentido común.

Se da el nombre de inferencia al proceso discursivo que,partiendo de una proposición, llega a otra como conclu-sión, siendo habitual distinguir entre inferencia deducti-va e inductiva. La segunda supone incertidumbre, carac-terística de las conclusiones científicas en su aspectoinductivo, permite el conocimiento plausible y comprendela evidencia inductiva del físico, la evidencia circunstan-cial del abogado, la documental del historiador, la esta-dística del economista o del sociólogo... La diferencia en-tre ambos tipos de razonamiento se centra en que elprimero es seguro, pero no permite con su rígida lógica ob-tener ningún conocimiento nuevo sobre el mundo quenos rodea. Por contra, el razonamiento plausible, sin al-canzar la fuerza de una demostración lógica estricta, sehace necesario en las conclusiones científicas y de la vidadiaria, al pasar de observaciones y datos experimentales avalores no observados.

Por tanto, nuestro interés primordial está en el paso delrazonamiento lógico, o determinista, al razonamiento in-cierto, o plausible, puesto que refleja el estado actual deuna clase de conocimientos que va del puro sentido comúnal lenguaje sofisticado con que se construyen actualmentelos conocimientos científicos y humanos, en su impre-

sionante variedad de modelos, que van de la psicologíacognitiva y la filosofía a la teoría de la decisión y la inves-tigación operativa y de la inteligencia artificial y los siste-mas expertos a la práctica diaria de profesiones como la me-dicina o la abogacía, en que va siendo urgente un cambiode manera de razonar que incluya el razonamiento plau-sible o inductivo, manejado en forma rigurosa. Esto es asíporque la incertidumbre es un fenómeno casi ubicuo ennuestras vidas: en realidad hay pocas cosas de las que es-temos completamente seguros, y en nuestro discurso sonhabituales locuciones del tipo «probablemente», «es casi se-guro que...», «puede que...». Aunque tales locuciones sonválidas en el lenguaje coloquial, en el razonamiento cien-tífico en condiciones de incertidumbre deberemos expre-sarlas de forma cuantitativa.

George Polya (Budapest, Hungría, 1887-Palo Alto, California,EEUU, 1985).

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Aristóteles (Estagira, Grecia, 384 a. C. - Euboea, Grecia, 322 a. C).

Es interesante observar desde el principio que ha sido unmatemático, Polya (1954), quien ha influido más decisi-vamente que cualquier otro probabilista o estadístico enconseguir abrir las puertas de la teoría y aplicaciones de lainducción y la inferencia plausible a un campo de posi-bilidades de formalización y aplicaciones a las cienciasy humanidades en que no se pueden olvidar nombres tanimportantes como los de Laplace, Jeffreys, Shannon, Cox,Jaynes...

Creemos que este enfoque del problema de la induccióncomo lógica del razonamiento plausible, completado enlos últimos años del siglo XX, representa una novedad res-pecto de la teoría de la probabilidad basada en los axio-mas de Kolmogorov y el axioma de Bayes, que ahora sesustituyen por los axiomas de Aristóteles, complementadoscon los de la lógica inductiva de Polya, que no nace de laidea de aleatoriedad sino de la de información incomple-ta, y la adición de Cox-Jaynes de medidas de la plausibili-dad. Podemos así pasar de una lógica para el razonamien-

to deductivo a una lógica extendida para el razonamientoinductivo. Estamos convencidos de que este nuevo esque-ma de acceso al razonamiento inductivo, superada la iner-cia de los enseñantes, resultará más asequible al estudioso,tanto del campo de las humanidades como del de las cien-cias, lo que contribuirá a la caída del gran muro que aúnsepara las dos culturas e impide colaboraciones que facili-tarán progresos fundamentales en los mismos, lo cual debedestacarse en el año 2000 como una importante aportaciónde las matemáticas a la unidad de ambas culturas.

El resto de esta lectura comienza revisando algunos con-ceptos básicos del razonamiento lógico. Tras motivar lasdiferencias con el razonamiento plausible y hacer una intro-ducción histórica al problema de la inducción, revisamosalgunas reglas del razonamiento plausible para introdu-cir, después, su modelización mediante plausibilidades.Finalmente, describimos algunas cuestiones relativas ala implementación práctica de estas ideas, con especialreferencia a los sistemas inteligentes.

RAZONAMIENTO LÓGICO

Para entender las matemáticas escritas, debemos com-prender qué constituye un razonamiento matemáticocorrecto. A grandes rasgos, las matemáticas se describenen términos de teoremas, demostraciones, axiomas, hi-pótesis y reglas de inferencia. Como sabemos, un teore-ma es una sentencia que puede demostrarse que es ver-dadera. Demostramos que un teorema es verdadero conuna sucesión de sentencias que forman uno o másargumentos, lo que denominamos demostración. Paraconstruir demostraciones necesitamos derivar nuevassentencias a partir de sentencias anteriores. Las senten-cias empleadas en una demostración pueden incluir axio-mas o postulados, que son hipótesis subyacentes sobre lasestructuras matemáticas pertinentes, las hipótesis delteorema a probar y teoremas previamente demostrados.Las reglas de inferencia, los medios para derivar conclu-siones de otras sentencias, ligan los pasos de una de-mostración.

Quizá el primer tratamiento científico explícito del ra-zonamiento lógico aparece en el Organon de Aristóteles(siglo IV a. C ) . En esta obra fundamental se enunciandos silogismos fuertes, el modusponensy el modus tollens,que se han considerado desde entonces la base de todo ra-zonamiento lógico, es decir, que todo razonamiento de-ductivo debe aparecer como una reiterada composiciónde los citados silogismos. Recordemos brevemente su ex-presión.

1. Modus ponensSi A es verdadero, entonces B es verdaderoA es verdaderoPor tanto, B es verdadero.

Un ejemplo de aplicación sería:

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LA ARQUITECTURA DEL CONOCIMIENTO COMPLEJO, EL SENTIDO COMÚN Y LA PROBABILIDAD

Si leo esta lección, leeré el nombre de CoxHe leído esta lecciónPor tanto, he leído el nombre de Cox.

2. Modus tollensSi A es verdadero, entonces B es verdaderoB es falsoPor tanto, A es falso.

Un ejemplo de aplicación sería:

Si leo esta lección, leeré el nombre de CoxNo he leído el nombre de CoxPor tanto, no he leído esta lección.

Existen muchas otras reglas de inferencia, como la de adi-ción o el silogismo disyuntivo (ver, por ejemplo, Rosen,1994), pero, como hemos dicho, todas ellas pueden re-ducirse a los dos silogismos anteriores. En tal sentido, unlógico podría decir a un matemático que en su trabajoestá haciendo, simplemente, lógica; estrictamente, seríacorrecto, pues podría tomar los axiomas de la lógica y laaritmética y reproducir los resultados matemáticos me-diante razonamiento lógico. Una visión más útil sería lade que está empleando razonamiento lógico para hacermatemáticas: razona sobre conceptos y relaciones mate-máticas, con ayuda de la lógica como herramienta.

Así, un argumento basado en reglas de inferencia seráválido. Cuando todas las proposiciones empleadas en unargumento válido sean verdaderas, obtendremos una con-clusión correcta. Obsérvese, sin embargo, que un argu-mento válido puede conducir a una conclusión incorrec-ta si se emplean una o más proposiciones falsas.

También es importante recordar que las reglas de infe-rencia suelen llevar asociadas falacias que en ocasionesaparecen en argumentos inválidos. Y así, a pesar del tiem-po que ha pasado desde Aristóteles, se siguen utilizandofalacias como la de

Afirmación de la conclusiónSi A es verdadero, entonces B es verdaderoB es verdaderoPor tanto, A es verdadero,

como en

Si leo esta lección, leeré el nombre de CoxHe leído el nombre de CoxPor tanto, he leído esta lección,

que es un razonamiento incorrecto. Observemos que pue-do haber leído sobre Cox, sin necesidad de haber leídoesta lección.

Dado el éxito del razonamiento deductivo, el impresio-nante desarrollo de las matemáticas y el tiempo pasado des-de Aristóteles, no es de extrañar la tendencia natural a que-rer aplicar los silogismos fuertes anteriores, no sólo en las

construcciones matemáticas, sino en situaciones inciertas co-rrientes en la vida, en el descubrimiento de verdades cien-tíficas, en el lenguaje corriente o de sentido común..., peroéste es, más bien, el terreno de las conjeturas, el terreno delrazonamiento plausible, que estudiamos a continuación.

RAZONAMIENTO PLAUSIBLE

Cuando nos recreamos recordando los pasos sucesivospor razonamientos lógicos que surgen en la demostraciónde un teorema matemático y los comparamos con otrosprocesos inductivos, llamados plausibles o inciertos, queno son tan fuertes como un razonamiento lógico, pero sícompletamente necesarios para explicar hechos de la vidareal, en la que empleamos los razonamientos de sentido co-mún, o del mundo tecnológico, social..., sentimos la ne-cesidad de clarificar las diferencias.

Consideremos el siguiente párrafo en que un policíadescribe un suceso que ha observado:

Paseaba por la calle de Valverde la noche del 30 de octu-bre, a las 2, solitaria y oscura. De pronto, oí una señal dealarma y, poco después, observé una tienda de instrumentosmusicales, con un escaparate forzado. Después vi salir por elescaparate a un individuo con una careta de Drácula, con unsaco pesado. Decidí que era un ladrón y le perseguí.

Claramente, la conclusión del policía no es una deduc-ción lógica a partir de la evidencia. Podría ser, por ejem-plo, que el señor de la careta fuese el dueño de la tiendade instrumentos, que venía de una fiesta de Halloween ypasase cerca de la tienda momentos antes de que unosgamberros hubiesen apedreado el escaparate y un gato hu-biese entrado en la tienda. Por no estar trabajando, no lle-varía la llave de la tienda y, en un momento, intentó re-coger los objetos más valiosos antes de que potencialesladrones pudiesen darse cuenta de la situación.

De igual forma, podrían darse otras descripciones com-patibles con los hechos parcialmente contemplados. Sinembargo, a pesar de no tratarse de una deducción lógica,basada en las reglas antes mencionadas, le daremos, sinduda, cierto grado de validez: la evidencia no confirmaque el hombre de la careta sea un ladrón, pero lo hace muyplausible. De hecho, podríamos formalizar el tipo de ra-zonamiento empleado con un silogismo débil del tipo:

3. Si A es verdadero, entonces B es más plausibleB es verdaderoPor tanto, A resulta más plausible,

donde A es «La persona es un ladrón» y B es «La personasale corriendo de la tienda con una bolsa».

Con mucha frecuencia, se nos plantean situaciones comola del policía en las que, basados en información insuficientepara realizar un razonamiento deductivo, debemos tomaruna decisión. En estos casos, resulta conveniente emplear

n:


David Hume (Edimburgo, Escocia, 1711 - Edimburgo, Escocia, 1776).

razonamientos plausibles, que tienen cierto grado de va-lidez, sin llegar a la fuerza probatoria de un razonamientológico. Y esto afecta no sólo a la vida cotidiana, sino tam-bién a la actividad científica (no lógico-matemática), so-liéndose hablar de inferencias de la muestra a la pobla-ción, de los datos a las hipótesis, de los efectos observadosa las causas inciertas, del pasado al futuro, aspectos di-versos de la inducción con que continuamente nos en-frentamos en nuestras actividades de conocer y decidir.

Nota histórica sobre el problema de la inducción

De una forma u otra, la humanidad ha estado siemprepreocupada por el problema de cómo tratar la ignorancia.Los filósofos y estadísticos han adoptado puntos de vistadiferentes para abordar estos problemas. Los primerosproporcionan intentos de identificación de las caracterís-ticas universales de las inferencias inductivas para llegar auna teoría magna como justificación de los métodos in-ductivos. Los estadísticos se restringen a problemasinductivos más concretos, logrando con ayuda de modelosmatemáticos apropiados, establecer reglas de inferenciaen condiciones bien especificadas.

Refiriéndonos al enfoque filosófico, con precursorescomo Avicena (980 - 1037), Roger Bacon (1214 - 1294)y otros posteriores, llegamos a Francis Bacon (1561 - 1626)que, con su Novum Organum, inicia la ruptura con losmétodos aristotélicos deductivos, y a John Stuart Mili(1806 - 1 873), que introduce una metodología cuyo pro-pósito es establecer relaciones de causa a efecto en unproceso dialéctico en que, a partir de un conjunto poten-

cialmente infinito de observaciones, se obtendrían unasprimeras afirmaciones inductivas que se someterían a com-probación. De confirmarse por las nuevas experiencias,permitirían llegar a teorías científicas sucesivamente per-feccionadas. Con él, aparecen ya las ideas iniciales de losmétodos eliminativos de Popper, más tarde tan en boga,y muy relacionados con los métodos de contraste de hi-pótesis.

Es obligado mencionar antes a Hume que, en su Trea-tise of Human Nature (1739), define por primera vez cla-ramente el problema de la inducción en la siguiente forma:

Cuando se pasa de lo observado O a lo inobservado I,0 e I son lógicamente distintos, al menos en el sentido de quese puede concebir O como evidente, mientras 1 no. En con-secuencia, no existe necesidad lógica de que I se siga de O.Cuáles podrían ser entonces los fundamentos para afirmar1 dado O.

En definitiva, plantea el problema de dar una justifica-ción racional a las inferencias inductivas. Su postura em-piricista le lleva a negar que tal problema pudiera tener so-lución. Pero, como dice, muchos años después, BertrandRussell:

Es necesario elegir entre la inducción, con su irracionali-dad relativa, y la irracionalidad absoluta.

Las respuestas filosóficas al problema han sido de dos ti-pos. Las primeras sugieren que las inferencias inductivasson injustificables y no deben figurar en ningún libro cien-tífico. Otros filósofos, como Popper, Kuhn, Feyerabend...,tratan de auxiliar al científico con sus métodos de falsación

Sir Harold Jeffreys (Fatfield, Inglaterra, 1891 -Cambridge, Inglaterra,1989).

112


m

Leonard Jimmie Savage (Detroit, Estados Unidos, 1917 - Connecticut,Estados Unidos, 1971).

o refutación, que se relacionan con los métodos estadís-ticos de contraste de hipótesis (ver, por ejemplo, Frenchy Ríos Insua, 2000) como término de una línea de traba-jos, ya mencionados, que se inicia en Bacon y Mili.

Los filósofos del segundo grupo se ocupan de justifi-car racionalmente las inferencias inductivas, bien tra-tándolas como argumentos deductivos incompletos, bienañadiendo algún principio de carácter general, como elde uniformidad de la naturaleza. Sin embargo, en estalínea no se avanza mucho en tiempos posteriores, a pe-sar del enfoque pragmático de Reichenbach (1949) y delas aportaciones de Keynes, que, en su A Treatise on Pro-bability (1921), introduce la probabilidad lógica o ne-cesaria. Hoy se considera fallido este ambicioso intentode reconstrucción y formalización racional de la reali-dad científica, a pesar de los importantes trabajos deCarnap (1950), cuyo complicado sistema de axiomasfue pronto abandonado. Carnap, junto con Keynes yJeffreys, contribuyó en parte a resucitar la antigua líneabayesiana de trabajos que en la actualidad pueden con-siderarse como el primer tratamiento formal exitoso dela inferencia inductiva.

El teorema de Bayes, que Laplace redescubrió y aplicómuchos años después, constituye la base de la inferenciabayesiana, que se desarrolló y utilizó hasta la Primera Gue-rra Mundial, junto con otras metodologías, que se suelendenominar de estimación y contraste de hipótesis. Despuéssurgieron los importantes trabajos de Fisher, que con su va-riada gama de técnicas, más fáciles de elaborar, arrincona-ron las ideas bayesianas, a lo que contribuyen también los

trabajos más formalizados de Neyman-Pearson y Wald, quedominaron a partir de los años treinta entre los estadísticosteóricos y aplicados, hasta el reciente auge de los métodosbayesianos (ver, por ejemplo, French y Ríos Insua, 2000).

Esto lleva a la construcción axiomática de un modeloprobabilístico subjetivo mediante axiomas que han idoperfeccionándose con los trabajos de De Finetti, Savage,Anscombe y Aumann... Con ellos se llega finalmentea las mismas reglas de Kolmogorov, que permiten elcálculo de la probabilidad subjetiva de cada sentencia S,bien construida mediante las reglas de Boole, a partir deun conjunto de proposiciones atómicas A, B, C... en uncierto contexto provisto de una cierta información H.Sobre esta construcción axiomática se edifica el forma-lismo bayesiano para razonar en condiciones de incerti-dumbre.

Aquí, siguiendo la línea de trabajos de Polya, Cox yJaynes, mostraremos cómo la lógica deductiva aristotéli-ca puede extenderse de manera consistente con algunasreglas de razonamiento plausible, de modo que los gra-dos de creencia se representan mediante números realesque satisfacen las propiedades de las probabilidades, conlo que puede hablarse de probabilidades como lógica ex-tendida.

Reglas de razonamiento plausible

En el apartado anterior introdujimos un silogismo dé-bil que recordaba en parte al modus ponens. Otro silogis-mo débil, que debe compararse con la falacia de afirma-ción de la conclusión, y habitualmente empleamos en elrazonamiento plausible, es:

4. Si A es verdadero, entonces B es verdaderoB es verdaderoPor tanto, A resulta más plausible

Por ejemplo, supongamos que A es Comenzó a llover alas 9 de la mañana y B es El cielo estaba nublado a las 8.55de la mañana. Si tratamos de aplicar el silogismo modusponens, nos encontramos que la presencia de nubes alas 8.55 no nos da una certidumbre lógica de que llo-verá a las 9. Esto nos lleva a introducir, para el razona-miento plausible, el silogismo débil anterior, que ennuestro contexto se expresaría Si el cielo estaba nubladoa las 8.55 de la mañana (B) resulta más plausible quellueva a las 9 (A).

La contribución esencial de Polya fue fijarse en los as-pectos cualitativos de extensión de los esquemas clásicosde la lógica aristotélica al planteamiento de nuevos es-quemas, que sirven de soporte a los razonamientos in-ductivos que llamaremos plausibles y desempeñan un pa-pel fundamental en los procesos intuitivos, como hemosvisto en el ejemplo del policía. Polya busca formas debi-litadas de los esquemas básicos de Aristóteles para efec-tuar estas construcciones. Otro ejemplo es:

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5. Si A es verdadero, entonces B es verdaderoA es falsoPor tanto, B resulta menos plausible,

como ocurre en el ejemplo anterior de lluvia a las 9 (A) ycielo nublado a las 8.55 (B).

En conjunto, Polya proporciona una tabla de patronesde inferencia plausible que usamos en nuestro razona-miento común, y que los científicos y los matemáticos ',en particular, empleamos en el descubrimiento de nue-vas verdades, que después deben convertirse en teoríasque habrán de desarrollarse mediante silogismos. Por ejem-plo, los silogismos débiles 4 y 5 permiten a los científicosrechazar o aceptar teorías. Incluso se emplean para realizardemostraciones en computación aleatorizada.

El razonamiento deductivo anteriormente descrito, tie-ne la propiedad de que podemos realizar largas cadenas dededucciones modus ponens y modus tollens, preservandolas conclusiones la misma certeza que las premisas. Sinembargo, con razonamientos basados en silogismos débi-les como los aquí expuestos, la Habilidad de las conclusionesse debilita si pasamos por varias fases.

Modelización del razonamiento plausible

Hemos indicado que Polya puso el énfasis en los as-pectos cualitativos del razonamiento plausible. De hecho,basándonos en los axiomas de Cox (1946), es posible mo-delizar el razonamiento plausible en términos probabilís-ticos, con lo que se consigue ver cómo el razonamientoplausible puede considerarse como una extensión del ra-zonamiento lógico.

Partimos de un conjunto de proposiciones elementa-les, o sentencias que pueden ser verdaderas o falsas, que de-notamos por A, B... Suponemos la estructura básica del ál-gebra de Boole, con el producto lógico o conjunción quedesignamos por AB y representa A y B son ambas verda-deras; la suma lógica o disjunción A + B que representa laproposición al menos una de las proposiciones A, B es ver-dadera; y la negación de una proposición, A. Con ellascreamos el conjunto S de sentencias bien formadas que obe-decen las reglas de combinación del álgebra de Boole,como las de doble negación, la de idempotencia, la con-mutativa, la asociativa, la de dualidad, la distributiva y lasimplificativa. Lógicamente, en un entorno cambiante,iremos descubriendo que la información disponible se vamodificando, por lo que es necesario hablar de la propo-sición A sabiendo que la proposición B es verdad, quedesignaremos mediante AIB.

Podemos ya enunciar las hipótesis básicas de Cox quepermiten representar los grados de creencia mediante nú-meros que satisfacen las reglas de combinación de las pro-babilidades y que, como veremos, permiten modelizar

cuantitativamente el razonamiento plausible. Esencial-mente, a cada proposición sobre la que razonemos le asig-naremos un grado de plausibilidad y cuando recibamosnueva evidencia deberemos modificar tal asignación paratener en cuenta tal información. Las hipótesis de Cox

son:

• Los grados de plausibilidad se representan mediantenúmeros reales. Simbólicamente, a cada proposiciónAIB se le asocia un número p(AIB), que medirá sugrado de plausibilidad.

• El grado de plausibilidad de una inferencia, dada cier-ta evidencia, determina el grado de plausibilidad dela inferencia contraria, basada en la misma eviden-cia. Simbólicamente:

P(AIB) = g(P(AIB))

• El grado de plausibilidad de la conjunción de dos in-ferencias dada cierta evidencia se determina a partirdel grado de plausibilidad de una inferencia, dada laevidencia, y del grado de plausibilidad de la otra in-ferencia dada la evidencia y que la primera inferenciasea verdadera. Simbólicamente:

p(ABIC) = f(p(AIC), p(BIAQ)

A partir de ellas se prueba que se pueden asignar númerosno negativos a las sentencias AIB que satisfacen las reglasbásicas del cálculo de probabilidades:

p(ABIC) = p(AIC)p(BIAC) = p(BICp(AIBC)

p(AIB) + p(AlB) = 1

La primera se denomina regla del producto. La segunda,regla de la suma.

Horvitz et al. (1986) proporcionaron una versión delresultado anterior más cercana al lenguaje de la inteli-gencia artificial. Jaynes (1990), de forma algo más im-precisa, relaciona el resultado de Cox con las reglas, algomás cualitativas:

• Representación de grados de plausibilidad mediantenúmeros reales.

• Correspondencia cualitativa con el sentido común.• Consistencia.

Probabilidades como lógica extendida

A continuación vamos a analizar cómo, una vez ob-tenida la representación de los grados de plausibilidadmediante probabilidades condicionadas, somos capaces de

El propio Polya empleó los patrones que descubrió en sus investigaciones en teoría de números.

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implementar el razonamiento lógico (deductivo) y las re-glas de razonamiento plausible (inductivo) debidas aPolya.

Si designamos por C la proposición «Si A entonces B»,vemos que modusponensy modus tollensse. adaptan, res-pectivamente, a las reglas de producto:

A partir de modus ponensy modus tollens tenemos, respec-tivamente, que p(ABIC) = p(AIC) y p(ABIC) = 0, por lo que:

p(BIAC) = 1p(AIBC) = 0

Podemos, por tanto, modelizar modus ponensy modus to-llens con ayuda de las probabilidades, como casos extremosen los que estamos seguros de las conclusiones.

Más aún, podemos dar versiones cuantitativas de las re-glas débiles. Así, por ejemplo, el silogismo débil 4 corres-ponde a la regla del producto en la forma:

p(AIBC) = p(AIC)p(blC)

Ahora bien, de modus ponens, p(BIAC) = 1 y, comop(BIC) < 1, tenemos:

p(AIBC) a p(AIC)

como se indica en el silogismo débil 4. El silogismo 5 co-rresponde a la regla producto en la forma

p(BIÁC) = p(BIC)

De la conclusión anterior se sigue:

con lo cual:

p(ÁIBC) < p(AlC)

p(BIAC) <; p(BIC)

como se indica en el silogismo. Respecto a 3, si C desig-na la información disponible, la primera premisa esp(BIAC) s p(BIC); aplicada a la regla de producto:

p(AIBC) = p(AIC)

tenemos directamente: .

p(AIBC) a p(AIC)

Vemos, pues, cómo somos capaces de modelizar en tér-minos probabilísticos el razonamiento lógico y los patronesde razonamiento plausible, con lo que, efectivamente,podemos hablar de probabilidades como lógica extendida.

IMPLEMENTACIÓN

Los axiomas antes mencionados de Cox sugieren intro-ducir la probabilidad como una medida de los grados deplausibilidad o creencia que una persona tiene en la verdadde una proposición basada en su información en un mo-mento dado. En presencia de información adicional, lasprobabilidades se actualizan mediante la fórmula de Bayes:

p(AIB) =P(B)

p(BIA)p(A)

que es una consecuencia inmediata de la regla del pro-ducto. No hemos descrito aún cómo implementar talprograma, para lo cual debemos proporcionar, primero,métodos de asignación de probabilidades.

Asignación de probabilidades

La ventaja de la concepción adoptada de la probabili-dad es que corresponde a un concepto más general queel tradicionalmente considerado y que, por tanto, pue-de aplicarse a fenómenos en los que no haya simetrías apa-rentes, ni sean de carácter repetitivo, como ocurre ennumerosos campos como la medicina o la abogacía.Nuestro objetivo es proporcionar un modelo probabi-lístico, que no es otra cosa que una codificación de lainformación disponible sobre la verdad de las sentenciasbien formadas a partir de las proposiciones elementalesen términos de una distribución de probabilidad. Para ellodescribimos tres métodos, siendo el más general y gené-rico el tercero.

En ocasiones, por razones de simetría física o lógica,encontramos todos los resultados de un experimento igual-mente verosímiles y apelamos al concepto clásico de pro-babilidadque se define mediante el cociente del númerode casos favorables, i.e. casos en los que es verdadera laproposición, por el de casos posibles.

Ejemplo 1

Consideramos una urna con ocho bolas numeradas del1 al 8. Dada la simetría física, encontramos igual de ve-rosímil sacar cualquiera de las bolas en una extracción.Así, por ejemplo, si preguntamos por la probabilidad desacar una bola con número par tenemos:

/MPar) = 4/8 = 0,5

Un concepto más general es el frecuentista. Se aplica enexperimentos que se pueden repetir bajo condiciones si-

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milares, adoptándose la hipótesis intuitiva de que la fre-cuencia relativa con la que una proposición es verdad seestabiliza al repetirse un experimento.

Ejemplo 2

La figura muestra la traza de la frecuencia relativa deaparición de cara en n tiradas de una moneda equilibrada.

Frecuenciade caras

0.5-

0.4-

0.3-

0.2-

0.1 -

0 .

1 i'

V0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Lanzamientos de moneda

Fig. 1 . - Evolución de la frecuencia relativa de cara al tirar unamoneda equilibrada.

Se interpreta entonces la probabilidad de la proposi-ción como el límite de la frecuencia relativa de apariciónde la proposición, cuando el número de ensayos tiende ainfinito. Observemos, sin embargo, que no es físicamen-te posible hablar de una sucesión infinita de repeticiones,por lo que, en la práctica, hablamos de la fracción de ve-ces que una proposición es verdad en una sucesión largade ensayos.

Ejemplo 3

En un gran hospital que atiende a cierto sector de unaciudad, se han registrado 7.227 ingresos de niños entreuno y cinco años, de los cuales 536 presentaban amigda-litis aguda. Tenemos entonces que:

Pr (niño entre 1 y 5 años de esa poblacióncon amigdalitis) = 536/7227 = 0,07

Obsérvese el problema con esta definición, al no serpreciso lo que se entiende por un número grande de en-sayos. Así, por ejemplo, si al tirar un dado de seis caras cin-co veces, el 4 no aparece ninguna vez, no tiene sentidoestimar mediante 0 la probabilidad de que salga 4.

El concepto más general utiliza un experimento de ca-libración para medir probabilidades. Un experimento esde calibración para un individuo si éste encuentra todos

los resultados igualmente verosímiles, utilizándose tal ex-perimento para comparar la verosimilitud de las proposi-ciones de interés con la verosimilitud de las proposicionesde calibración.

Ejemplo 4

En el ejemplo 1, los autores de este trabajo encuentranigual de preferibles todas las apuestas del tipo Ganar 10.000pesetas si sale la bola con el número i, 0 pesetas en otro casopara z= 1, ..., 8. Nos sirve, por tanto, de instrumentopara medir probabilidades con valores en 0, 1/8, 2/8, ...,7/8, 1. Así, por ejemplo, si deseamos encontrar la proba-bilidad de uno de nosotros (DRI) de que España gane laCopa Davis del año 2000 2, encontramos tan verosímilque saquemos una bola con número menor o igual que 6,como que gane España, por lo que para DRI la probabi-lidad de que España gane es 3/4.

Además, debe mencionarse que existe la posibilidad deemplear distribuciones «por defecto» o «no informativas»,que exigen poco esfuerzo por parte del experto. Un ejem-plo de tales distribuciones es el de las basadas en el princi-pio de máxima entropía, ver Jaynes (1996).

Subjetivismo, consenso e imprecisión

Una cuestión llamativa es que hemos introducido lasprobabilidades como grados de plausibilidad o creenciaasociados, por tanto, a una persona. Las probabilidades sonpropiedades del observador, no del sistema observado. Laprimera cuestión que surge es si las creencias tienen cabi-da en la Ciencia y en la Ingeniería. En nuestra opinión,la respuesta es afirmativa: en numerosas fases de la Historiade la Ciencia, y en distintas ramas, ha habido teorías con-tradictorias que defendían distintas concepciones de un fe-nómeno. En muchas ocasiones, con la recepción de nue-va información, algunas teorías han quedado refutadas,mientras que otras han evolucionado y convergido a unateoría mejor.

De hecho, las creencias dependerán de cada persona y dela información que tenga en cada momento, de manera quedos personas podrían discutir e intercambiar información has-ta que sus creencias convergiesen, con lo que tendríamosuna forma de modelizar consenso implícitamente.

Ejemplo 5

Como ilustración, supongamos que dos ingenierosse enfrentan a un problema de control de calidad deuna línea de producción. Para ello se fijan en la pro-porción de piezas defectuosas de la línea. El primeroes muy inexperto sobre el proceso de producción y mo-

Escrito unas semanas antes del evento.

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0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Fig. 2 . - Evolución de las creencias de los ingenieros.

delizamos sus creencias sobre la proporción con unadistribución /5e(l, 1), esto es una distribución unifor-me en el intervalo (0, 1). El segundo cree saber muchosobre el proceso y modeliza sus creencias sobre la pro-porción con una /fe(10, 70). Ambos observan tres pie-zas, siendo una de ellas defectuosa. Las creencias delprimer ingeniero pasan a modelizarse mediante unaj8e(2, 3)cambiando radicalmente; las del segundo pasan a serj8e(l 1, 72), no sufriendo apenas cambio. Después de observar380 piezas, con 160 defectuosas, las creencias del primeropasan a ser j3e( 161, 221) y las del segundo ¿8e( 170, 290), lascreencias de ambos ingenieros se parecen bastante.

Un problema implícito en el procedimiento de asig-nación, y en los axiomas de Cox, en concreto en el pri-mero de ellos, es que somos capaces de asignar a cadaproposición un grado de plausibilidad. Exigimos, portanto, un grado de precisión muy grande en la mente delobservador, lo cual es aceptable desde un punto de vis-ta normativo, pero quizá no tanto desde un punto devista descriptivo. Debemos mencionar que, desde unaperspectiva normativa, se han desarrollado axiomáticasque no exigen tanta precisión (ver Girón y Ríos, 1980,o Ríos Insua, 1990). Desde un punto de vista prescrip-tivo se han desarrollado enormemente los métodos delanálisis robusto (ver Ríos Insua y Ruggeri, 2000).

Razonamiento plausible en sistemas inteligentes

En cierta medida, el resurgir del interés por las cues-tiones relativas al razonamiento plausible se debe a la ne-cesidad que los sistemas inteligentes tienen de procesarinformación incierta y tomar decisiones bajo condicionesde incertidumbre. El objetivo de la inteligencia artificial(IA) es proporcionar un modelo computacional del com-portamiento inteligente (Pearl, 1988). Ciertamente, dostareas asociadas al mismo son el aprendizaje y la toma dedecisiones bajo condiciones de incertidumbre. Por consi-guiente, cabría esperar la importancia de los conceptosprobabilistas en la inteligencia artificial. Sin embargo, has-ta muy avanzada la historia de esta disciplina, la IA mos-tró poco interés por estas teorías. Este desinterés inicialtiene fácil explicación: tales teorías implican utilizar pro-babilidades y utilidades, que son números, y la IA, enprincipio, no se interesaba por la manipulación de nú-meros, sino por programas con entradas y salidas simbó-licas. Este prejuicio contra los números en general, y, enparticular, los que utiliza la teoría de la probabilidad, noha desaparecido de la IA, lo que explicaría la introduc-ción de métodos no numéricos para el tratamiento de laincertidumbre, como las lógicas no monótonas o la teo-ría de la confirmación, dando lugar a la línea logicista detratamiento de la incertidumbre.

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Sin embargo, los factores causantes de este prejuicio hancambiado sustancialmente. La idea de definir la inteli-gencia artificial por contraposición al procesamiento nu-mérico, ha sido sustituida por la idea de que la inteli-gencia se produce mediante la complejidad y por accesoa grandes cantidades de conocimiento. Así, se han abier-to dos vías para el posible empleo de las probabilidadesenlA:

• El interés por los sistemas expertos que, en ocasio-nes, se diseñan para interaccionar con personas queproporcionan entradas numéricas. Por tanto, ha de-saparecido en algunos casos la prohibición sobre lamanipulación de números.

• Los investigadores en IA aceptaron las propuestas deMarr (1982) sobre niveles de explicación: la com-prensión de un sistema inteligente requiere explica-ciones según diversos niveles. Así, incluso si las entra-das y salidas fuesen no numéricas, puede ser muyvalioso para una inteligencia artificial poder diseñar eltipo de argumentos empleados en el cálculo de proba-bilidades y generar los juicios numéricos que éstarequiere.

A pesar de ello, las probabilidades se consideraron du-rante bastante tiempo computacionalmente infactibles yepistemológicamente inadecuadas, lo que motivaría laadopción de métodos neo calculistas para el tratamiento dela incertidumbre, como la lógica difusa o el métodode Dempster-Shafer.

Ciertamente, los primeros intentos de emplear pro-babilidades debieron limitarse a modelos muy senci-llos, denominados Buyes naive (ver Warner et al, 1961),muchas veces inadecuados. El enorme potencial delos métodos probabilísticos se debe, en gran medida, alestudio en detalle de la propiedad de independenciacondicionada, su relación con las denominadas redesbayesianas y la introducción de algoritmos para el ra-zonamiento probabilístico y estadístico en tales estruc-turas de conocimiento, bien descritas en Cowell et al.(1999).

Decimos que los sucesos A y C son independientes dadoB si p(C I B, A) = p(C I B), o, cualitativamente, si, una vezconocido B, A no aporta información sobre C (y recí-procamente). Gráficamente se tiene la representación quese muestra en la figura 3.

( Disnea )

Fig. 4.- Red bayesiana del problema de enfermedades pulmonares.

El interés de este concepto está en que permite la re-presentación modular del conocimiento complejo me-diante las denominadas redes bayesianas o causales. Unared bayesiana es un grafo acíclico dirigido G = (N, A),donde N es el conjunto de nodos y A es el conjunto de aris-tas, que lleva asociado a cada nodo n una variable aleato-ria, con una distribución condicionada p(n I pa(n))donde pa(n) es el conjunto de nodos padre de n, demanera que la distribución conjunta asociada a la red es

E L N P(n ! Pa(n))-

Ejemplo 6

Un ejemplo ya clásico es el debido a Lauritzen y Spie-gelhalter(1988):

La disnea puede deberse a tuberculosis, cáncer de pul-món o bronquitis, a ninguna de ellas, o a más de una deellas. Una visita reciente a Asia aumenta las probabilidadesde tener tuberculosis. Sabemos, además, que fumar es unfactor de riesgo tanto para el cáncer de pulmón como parala bronquitis. Los resultados de una única radiografía torá-cica no discriminan entre el cáncer de pulmón y la tuber-culosis, como tampoco lo hace la presencia o ausencia de ladisnea.

La estructura cualitativa del problema viene ilustradaen el grafo, mientras que la distribución asociada al pro-blema es:

p(f, a, b, c, t, o, d, r) = p(f)p(a)p(b I f)p(c I f)p(t I a)p(o I c, t)p(d I b,o)p(r I o)

Fig. 3.- Representación de la independencia condicionada de A y C T a l s istema se emplearía en situaciones como la siguiente.dado B. Se presenta un paciente con disnea que ha visitado Asia;

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el médico desearía saber las probabilidades de presencia dealguna de las enfermedades. Además, podría estar intere-sado en saber cómo afectaría a tales probabilidades el co-nocer los resultados de la radiografía o de determinar el his-torial como fumador del paciente, de cara a planificar laexploración. Una vez realizada ésta y absorbida la evi-dencia, puede preguntarse cuál es la información más im-portante al formarse tales probabilidades.

La ventaja obvia de esta estructura modular del cono-cimiento es que reduce enormemente el número de pro-babilidades a asignar. Así, en el ejemplo anterior, supues-to que cada nodo puede tener dos estados (por ejemplo,en Asia podemos haber visitado o no Asia) en lugar detener que realizar 255 ( = 28 — 1) asignaciones, basta conrealizar 18 asignaciones. Más aún, se han construidodiversos algoritmos, ver Cowell etal. (1999) para una in-troducción, que posibilitan, de forma eficiente, el razo-namiento probabilístico y estadístico en redes bayesianas.

Percepción como inferencia

Hemos indicado cómo la adopción de las hipótesis deMarr permitieron la introducción de conceptos probabi-lísticos en la inteligencia artificial. Es quizá interesante re-visar las aportaciones de estos métodos en el campo de lapercepción. De forma muy esquemática, intervienen, esen-cialmente, cuatro elementos:

• La representación de las propiedades de la escena s.• Un modelo de la estructura de las escenas p(s).• Un modelo de formación de la imagen Jt(s).• Un modelo de ruido n, de manera que la imagen es

i = Jt(s) + n.

Entonces, el objetivo en el problema de percepción seríacalcular la distribución sobre las escenas, dada la imagenformada, que se obtiene a través de la fórmula de Bayes me-diante:

p(s= p(üs)p(s)

Usualmente se emplea la moda de esta distribución, lamoda a posterior!, para resumirla. La aplicabilidad de es-tas ideas se extiende enormemente con la teoría de patrones(Grenander, 1995). Pastor et al. (1998) proporcionanuna descripción detallada del problema de reconocimientode objetos.

DISCUSIÓN

Durante más de dos milenios, la lógica aristotélica ha do-minado el pensamiento occidental, conformándose lasteorías y modelos científicos a sus principios. Hemos vistoaquí cómo, de forma natural, las probabilidades extienden

la lógica permitiéndonos tratar situaciones en las que exis-te incertidumbre, ayudándonos a modelizar figuras delsentido común empleadas en la vida diaria y en el trabajohabitual del científico.

Hemos puesto énfasis en la axiomática de Cox (1946),pero existen otras que, esencialmente, llevan a las mismasconclusiones, lo cual reasegura su sólida fundamentación.Debemos quizá destacar las axiomáticas relacionadas conla teoría de la decisión, como las de Savage o de Anscombey Aumann (ver French y Ríos Insua, 2000).

También hemos indicado algunas aplicaciones im-portantes, especialmente, en el campo de la inteligenciaartificial, la medicina, la biología, la ciencia, la tecnolo-gía o la abogacía. Estos métodos «inductivos estocásticos»,como dice Mumford «will transform puré and appliedmathematics in the beginning of the third millenium.Probability and statistics will come to be viewed as thenatural tools to use in mathematical as well as scientificmodeling. The intellectual world as a whole will come toview logic as a beautiful elegant idealization but to view sta-tistics as the standard way in which we reason and think».

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha sido financiado por proyectos de la CAMURJC y CICYT-TIC. Agradecemos los comentarios deJesús Palomo y Juanmi Marín.

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la arquitectura del conocimiento … · pótesis y reglas de inferencia. como sabemos, un teore-ma...

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