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LECCIÓN 2
Asignatura:
Modelización Numérica de Estructuras deHormigón mediante el MEF
Máster Oficial en:
Ingeniería delHormigón
Departamento:
Ingeniería de laConstrucción
MÉTODOS DE RESOLUCIÓNDE SISTENAS DE ECUACIONES
NO LINEALES.
Pedro Miguel Sosa
Miguel A. Fernández Prada
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Ingeniería delHormigón
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Ingeniería de laConstrucción
LECCIÓN 2
M É T O D O S D E R E S O L U C I Ó N
D E
S I S T E N A S
D E E C U A
C I O N E S
N O L I N E A L E S
Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
ÍNDICE
Clasificación de los Métodos de resolución de sistemasde ec. No lineales
Métodos de Nivel de Carga Constante
Método de Iteración directa Método de Newton-Raphson Método de Newton-Raphson modificado Método incremental
Métodos Cuasi-NewtonMétodos Globalmente Convergentes
Métodos de Control de Respuesta Método Arc-Length Método de Crisfield Método del Camino Plano
Ejemplos
Clasificación de los Métodos de resolución de sistemasde ec. No lineales
Métodos de Nivel de Carga Constante
Método de Iteración directa Método de Newton-Raphson Método de Newton-Raphson modificado Método incremental
Métodos Cuasi-NewtonMétodos Globalmente Convergentes
Métodos de Control de Respuesta Método Arc-Length Método de Crisfield Método del Camino Plano
Ejemplos
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Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
CALISIFICACIÓN DE LOS MÉTODOSDE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Métodos de Nivel de Carga Constante.
Método de iteración directa o Método de Rigidez Secante.
Método de Newton-Raphson.
Método de Newton-Raphson Modificado.
Método Incremental
Métodos Cuasi-Newton.
Métodos de Control de Respuesta.
Control por Arco.
Método de Crisfield.
Método de Camino Plano.
Métodos de Nivel de Carga Constante.
Método de iteración directa o Método de Rigidez Secante.
Método de Newton-Raphson.
Método de Newton-Raphson Modificado.Método Incremental
Métodos Cuasi-Newton.
Métodos de Control de Respuesta.
Control por Arco.
Método de Crisfield.
Método de Camino Plano.
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Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODOS DE NIVEL DE CARGA CONSTANTE
La magnitud de las fuerzas aplicadas es fijaLa magnitud de las fuerzas aplicadas es fija
r
f
)(rfni
• Permiten conocer los desplazamientos nodales para una carga aplicada determinada
rsol
fne
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Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODOS DE NIVEL DE CARGA CONSTANTE
∑ ∫ ∑ ⋅⋅⋅=
e V
e T e e
e
Ge
e
dV σBTF
Sistema de ecuaciones planteado por el MEF (n ecuaciones)
∑ ∫ ⋅⋅⋅=
e V
e T e e
e
dV σBTrfni )( fuerzas nodales internas equivalentes
∑=e
Ge Ffne fuerzas nodales exteriores equivalentes
r
f
fni(r)
fne
rsolSolución
rNo solución
ψ ψψ ψ (r)
)r(fnifne)r(ψ −= fuerzas nodales residuales
∑≡
e
Ensamblaje
Calcular el valor de r que hace ΨΨΨΨ(r)=0
0)r(fnifne)r(ψ =−= sol sol
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Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODO DE ITERACIÓN DIRECTA
r
f
fni(r)
fne
rsol
Solución
rNo solución
ψ ψψ ψ (r)
( ) ( )o s o εεεDσσ −⋅=− Ds
DT
σ
ε
εo
σo
( ) ( ) rrKrfni ⋅= s
∫ ⋅⋅⋅=e V
e se T e se dV BDBK
Material
Elemento
Estructura
Ks(r)
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Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODO DE ITERACIÓN DIRECTA
( ) fnerKr ⋅= −+ i s i
11
o r
( )i s rK
)r(fnifne)r(ψ 11 ++ −= i i
sol r
)r(ψ 1+i
r
f
fni(ri)
fne
rsolri
Ks(ri)
ri+1
Ks(ri+1)
ψ ψψ ψ (ri)
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Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
RIGIDEZ TANGENTE
∑ ∫ ⋅⋅⋅=
e V
e T e e
e
dV σBT)r(fni
( ) ( )[ ]
( ) ( )
G T G
e
T ej Te ei
G
e
T e
V e T
T e e T
T e e
e
Ge T e e T
T e e T
T e e
e V
e e T
T
e V
e e T
T
e e
e V
e
T e
V e
T e e
d d
d dV
dV d
dV d dV d
dV d dV d
d d
e
e e
e e
rKrTKT
rTGSGΒDBT
rTGSGΒDBT
rGSGrΒDBT
rσr
Br
rε
ε
σBT
rr
rfniΨ
⋅−=⋅
⋅⋅−=
=⋅
⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=
=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−=
=
⋅⋅⋅
∂
∂+⋅
∂
∂⋅⋅⋅=
=⋅∂
∂−=
∑
∑ ∫
∑ ∫ ∑ ∫ ∫
∑ ∫ ∫ ∂
∂
)(
)r(fnifne)r(ψ −=
G T d d rKΨ ⋅−=
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Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
RIGIDEZ TANGENTE
r
f
fni(r)
fne
rsolr
KT(r)
dr
ψ ψψ ψ (r) dψ ψψ ψ
( ) ψrKr d d T ⋅−= −1
( ) ( )o T o εεεDσσ −⋅=−
∫ ∫ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=e e V
el Te T ej
V el Te
T ej Te dV dV GSGBDBK
Material
Elemento
Estructura ∑ ∫ ⋅⋅⋅=
e V
e T e e
e
dV σBTrfni )(
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Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
r
f
fni(ri)
fne
rsolri
KT(ri)
∆r
∆∆∆∆ψ ψψ ψ =0- ψ ψψ ψ (ri)
ri+1
( ) ( )i i T i i rψrKrr ⋅+= −+
11
o r
( )i T rK
)r(fnifne)r(ψ 11 ++ −= i i
sol r
)r(ψ 1+i
)r(fnifne)r(ψ o o −=
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Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO
r
f
fni(r)
fne
rsolri
KT(ro)
∆rri+1
( ) ( )i o T i i rψrKrr ⋅+= −+
11
o r
( )o T rK
)r(fnifne)r(ψ 11 ++ −= i i
sol r
)r(ψ 1+i
)r(fnifne)r(ψ o o −=
ro
ψ ψψ ψ (ro)
ψ ψψ ψ (ri) ( )o T rK 1−
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Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODO INCREMENTAL
)()( n n rfnifnerψ −=
r
f
fni(ri)
fne
rsolri
KT(ri-1)
∆riri+1
( ) ( )[ ]111
1 −−−
− +∆⋅+= i i i T i i rψfnerKrr
1−i r
( )1−i T rK
sol r
)( n rψ
)()( 111 −−− −= i i i rfnifnerψ
ψ ψψ ψ (ri-1)fnei-1
fnei
∆∆∆∆fnei
ri-1
fni(ri-1)
ψ ψψ ψ (ri)
i=1,n
( ) ( )n n T n n rψrKrr ⋅+= −+
11
N e w t o n - R a p h s o n
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Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODO DE CUASI-NEWTON
i i i i rKrψrψ ∆=− − .)()( 1
1
1)()(
−
−
−
−=
i i
i i i
r r
rrψψ
K n ecuaciones
n x n incógnitas
Algoritmos de solución
11 −− ∆+= i i i KKKA)
B) 11
11
1 −−
−−
−∆+= i i i KKK
La matriz de rigidez se calcula con los resultados de las iteraciones anteriores.
i i T i i AKAK ⋅⋅= −
−− 1
11
Algoritmo BFGS
(Braydon- Fletcher - Goldferb -Shanno)
⋅∆
−⋅∆+⋅=
−−
−−−
11
111
)(1
i T i
i i T i
i i r ψ
ψψrψv
)( 11
1
−−
−
−⋅∆
∆=
i i T i
i i
ψψr
rw
T i i i wvIA ⋅+=
r
f
fni(ri-1)
fne
rsolri
Ki
ri+1
ψ ψψ ψ i-1
fni(ri)
ψ ψψ ψ i
ri-1
∆ri-1
Newton-secante
( )1
11
1
−
−−
−⋅
⋅+=
i i
T
T i K ψψb
bbK
*1
*1 −− ∆−∆+∆= i i i rrrb
111
*1
11
*
−−
−
−
⋅−=∆⋅−=∆
i T i
i T i
ψKrψKr
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Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODOS GLOBALMENTE CONVERGENTES
−⋅−
−⋅−⋅
−
−=
)λ
21(
)λ21(
λ / λλ / λ
λ / 1λ / 1
22
11
2
21
2
12
22
21
o
o
f f
f f
b
a
a
f a b b o n
3
6λ
2 ⋅⋅−+−=
)1λ0(λ1 ≤<∆⋅+=+ i i i rrr
Encontrar el valor de λ para reducir el valor de f por debajo de fo:
o
o
f f
f
+=
1
2λ
1λ1 =
)λ()λ(2
1)λ( i n i
T i i n i n r r r r f ∆+⋅∆+⋅= ψψ
)()(2
1)0( i
T i i o r r f f ψψ ⋅⋅==0λ =o
)()(2
1)1(1 i i
T i i i r r r r f f ∆+⋅∆+⋅== ψψ
)λ()λ(2
1)λ( 2222 i i
T i i i r r r r f f ∆+⋅∆+⋅== ψψ
)λ()λ(2
1)λ( i n i
T i i n i n r r r r f ∆+⋅∆+⋅= ψψ
−⋅−
−⋅−⋅
−
−=
−−
−−
−−−−
−−)λ21(
)λ21(
λ / λλ / λ
λ / 1λ / 1
11
22
212
221
2
1
2
2
n o n
n o n
n n n n
n n f f
f f
b
a
)()(1i i T i rψrKr ⋅−=∆ −
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Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODOS DE CONTROL DE RESPUESTA
La magnitud de las fuerzas aplicadas es variable y sedetermina por una condición adicional
La magnitud de las fuerzas aplicadas es variable y sedetermina por una condición adicional
r
f
)(rfni
• Permiten conocer por puntos la trayectoria de carga-desplazamiento
• Permiten determinar el valor máximo de la carga (capacidad resistente)
• Permiten reproducir la rama descendente de la trayectoria de carga-desplazamiento
Condición de carga
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Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODOS DE CONTROL DE RESPUESTA
∑ ∫ ∑ ⋅⋅⋅=⋅
e V
e T e e
e
Ge
e
dV σBTFµ )(µ)( rfnifnerψ −⋅=n ecuaciones
0),µ( =rg condición adicionaln+1 incognitas:
(r, µ)
r
f
fni(ri)
rsolri ri+1
ψ ψψ ψ (ri)
0),µ( =rg
)(rfni
fne⋅i µ
fne⋅+1µi
fne⋅∆ i µ
i r∆
( ) i i T i i rrKfnerψ ∆⋅−⋅∆=∆ µ)(
( ) ( ) )(µ 11i i T i T i i rψrKfnerKr ⋅+⋅⋅∆=∆ −−
i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ
i
r ′′i
r′∆
0),µµ( =∆+∆+ i i i i g rr
0)µ,µµ( =′∆+′′⋅∆+∆+ i i i i i i g rrr
0)µ( =∆ i h i µ∆
(ecuación de constricción)
Sistema de ecuaciones planteado por el MEF (n+1 ecuaciones)Sistema de ecuaciones planteado por el MEF (n+1 ecuaciones)
Factor de control
del nivel de carga
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Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODOS DE CONTROL DE RESPUESTA
)(µ)( i i i rfnifnerψ −⋅=
i i µ,r
( )i T rK
( ) fnerKr ⋅=′′ −i T i
1
( ) )(1
i i T i rψrKr ⋅=′∆−
Proceso de cálculoProceso de cálculo
r
f
fni(ri)
rsolri ri+1
ψ ψψ ψ (ri)
0),µ( =rg
)(rfni
fne⋅i µ
fne⋅+1µi
fne⋅∆ i µ
i r∆
i i h µ0)µ( ∆→=∆
i i i i i rrrr ′∆+′′⋅∆+=+ µ1
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Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODO “ARC-LENGTH”
0)µµµ()()µ,( 2222 =−⋅∆+−⋅+∆+−≡∆∆ m i m i i m i i i l b g frrrrLa ecuación de constricción es un arco ‘elíptico’
r
f
ri
)(rfni
fne⋅m µ
fne⋅+1µm
1+m l
1+m r
m l
rm
fne⋅i µ
i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ
0)µµµ()µ()µ( 2222 =−⋅∆+−⋅+∆⋅′′+′∆+−≡∆ m i m i i i i m i i l b h frrrr
Ecuación de segundo grado
Escoger entre las 2 soluciones
• avance
• retroceso
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Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODO DE CRISFIELD
i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ
0)()µ,( 22 =−∆+−≡∆∆ m i m i i i l g rrrrLa ecuación de constricción es un arco ‘elíptico’ con b=0
r
f
)(rfni
fne⋅m µ
fne⋅+1µm
1+m r
rm
0)µ()µ( 22 =−∆⋅′′+′∆+−≡∆ m i i i m i i l h rrrr
m l
i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ
1+m l
Ecuación de segundo grado
Escoger entre las 2 soluciones• avance
• retroceso
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Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODO DE CAMINO PLANO
0µ)µµµ()()µ,( 2211 =−⋅∆⋅∆+−⋅+∆⋅∆+−≡∆∆ m i m i
T i m i i i l b g frrrrr
( ) fnerKr ⋅=′′ −m T
11
La ecuación de constricción es un plano normal al vector tangenteen un punto fijo a una distancia no nula
0µ)µµµ()µ()µ( 2211 =−⋅∆⋅∆+−⋅+∆⋅∆⋅′′+′∆+−≡∆ m i m i
T i i i m i i l b h frrrrr
i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ
r
f
ri
)(rfni
fne⋅m µ
fne⋅+1µm
1+m rrm
1+m l
m l
0)(ψ)( 111
1 =⋅=′∆ − rrKr T
0)µ()µ()µ( 2221
211 =−⋅∆⋅+∆⋅′′≡∆ m i l b h fr
m rr =1
0)(ψ 1 =r
111 µ rr ′′⋅∆=∆
1µ∆
Ecuación de segundo grado
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30/09/2008 21
Máster Oficial en:
Ingeniería delHormigón
Departamento:
Ingeniería de laConstrucción
LECCIÓN 2
M É T O D O S
D E R E S O L
U C I Ó N
D E S I S T E N A
S D E E C U A
C I O N E S
N O L
I N E A L E S
Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODO DE DESPLAZAMIENTO IMPUESTO
0))()()((),( =−∆+−≡µ∆∆ m i m i i i l k r k r k r g r
La ecuación de constricción es el desplazamiento impuesto de ungrado de libertad de un nodo prefijado
0)()()()()( =−µ∆⋅′′+′∆+−≡µ∆ m i i i m i i l k r k r k r k r h
i i i i k r k r k r )()()( ′∆+′′⋅µ∆=∆
r(k)
f
ri
)(rfni
fne⋅m µ
fne⋅+1µm
1+m rrm
1+m l m l
i
i m i m i
k r
k r k r k r l
)(
))()()((
′′
′∆+−−=µ∆
r(j)
f
ri
)(rfni
fne⋅m µ
fne⋅+1µm
1+m rrm
1+m l m l
j≠k
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Máster Oficial en:
Ingeniería delHormigón
Departamento:
Ingeniería de laConstrucción
LECCIÓN 2
M É T O D O S
D E R E S O L
U C I Ó N
D E S I S T E N A
S D E E C U A
C I O N E S
N O L
I N E A L E S
Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
MÉTODO DEL INCREMENTO DE TRABAJO IMPUESTO
0)(),( =ξ−⋅µ⋅∆+−≡µ∆∆ m m T
i m i i i g frrrr
La ecuación de constricción es el incremento de trabajo que seimpone a la estructura en cada paso
( ) 0)( =ξ−⋅µ⋅µ∆⋅′′+′+−≡µ∆ m m T
i i i m i i h frr∆rr
i i i i rrr ′∆+′′⋅µ∆=∆
m T
i
m i m i m i
µ⋅⋅′′
µ⋅⋅′∆+−−ξ=µ∆
frfrrr )(
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Máster Oficial en:
Ingeniería delHormigón
Departamento:
Ingeniería de laConstrucción
LECCIÓN 2
M É T O D O S
D E R E S O L
U C I Ó N
D
E S I S T E N A
S D E E C U A
C I O N E S
N O L
I N E A L E S
Asignatura:
Modelizaciónde Estructurasde Hormigón
mediante MEF
EJEMPLO
27
5)(
r
r r fni
+
⋅=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1