AI!!

Zdravko Kumik, Zagreb

1.0 metodi

Znaeenje samostalnog rada ueenika s nasta-vnom literaturom vrlo je veliko. Taj rad jejedno od osnovnih sredstava za ostvarenje va-znog cilja nastave matematike - nauCiti ucc-nike uciti.

Kao posebne' ciljeve mozemo navesti:

~.1

i

razvijanje navike koristenja literature, njego-vanje eitanja s razumijevanjem, njegovanjenavike dure koncentracije, razvijanje umije-Careproduciranja matematiekog teksta, razvi-janje sposobnosti stvaralaCkog osmisljavanjaproeitanog teksta, priprema za samostalni radu Zivotu.

;,To su ujedno i dobre strane met ode. Me<1utim,

metoda ~~ i neke slabe strane. To su:

nemogucnost samostalnog svladavanja tezihmjesta, pomnost citanja, popustanje koncen-tracije, samoobmana, manjak "zive" rijeei na-stavnika, slaba kontrola proucenog teksta, sla-ba povratna informacija, nemogucnost nepo-srednog utvrdivanja i provjeravanja stecenogznanja zbog fal."toravremena.

Osnovna poteskoca u primjeni metode radas tekstom nalazi se upravo u njezinoj prvojslaboj strani. Ueenici, radeCi s udzbenikom,trebaju usvojiti odre<1enu koliCinu novih in-formacija, a pritom im dio teksta moze bitinejasan. Te nejasnoce moraju razjasniti natemelju toga istog teksta, za razliku od nasta-vnika matematike koji nejasnoce moze izbjeCi

,0,,'

,.,'j~

~~;1

)6', ;,~.";1

.~

objasnjenjem proueavanog pitanja u drugomobliku.

Prva razina u ovladavanju umijeeem rada snastavnom literaturom je citanjc s razumijc-vanjcm i lImijcee reprodllciranja matema-tickog teksta.

Visa razina umijeca rada s nastavnomliteratu-rom je stvaralacko osmiSljavanje. To znaCi,ucenici trebajll biti sposobni ne sarno lIsvajatinove informacije iz udzbenika, nego na teme-lju usvojenih informacija znati doCi do novihznanja koja nisll neposredno izrazena u udzbe-niku, vee Sllrezultat stvaralackog promisljanjanad proCitanim tekstom.

Zadnji cilj je visoko postavljen. Da bi se onostvario i kod metode rada s tekstom, nllznaje pretpostavka da su ueenici tijekom matema-tickog obrazovanja osposobljeni za umni rad.Medutim, sposobnost umnog rada razvija sepostupno. Ta einjenica od nastavnika mate-matike zahtijeva dobru procjenu matematic-kih sposobnosti svakog ucenika i primjerenupripremu rada.

2. Savjeti za samostalan rad

Da bi se smanjilo iskazivanje slabih strana me-

tode rada s tekstom i postigla sto veea ucinko-

vitost, potrebno je poueiti ucenike kako treba-

ju postupati pri njezinoj primjeni.

BuduCi da se u nasem slucaju radi 0 tekstu ma-

tematicke naravi, primjena metode je oteZana

Motemotiko i skola

---L

zbog posebnog matematickog jezika, njegovesimbollke i terminologije. Zato se svaki takavtekst treba citati najmanje dvaput. Metodi-ka nastave matematike je na temelju rezulta-ta prakse razvila postupakkoji vodi raCllna 0poteskoeama samostalnog eitanja matematic-kog teksta i koji ovdje navodimo kao savjetellcenicima. Na temelju tih savjeta nastavnikmatematike treba organizirati samostalni raducenika i postupno ih nallciti pravilnoj pri-mjeni rnetode.

Prvo citanje (razumijevanje teksta):

1) Pri proucavanju teksta iz udzbenika kojegje zadao nastavnik matematike korisno je riasvaki ucenik ima pri ruci osnovna sredstva zapisanje i crtanje.

2) Procitati odabrani tekst u cjelini i u nje-mu uociti i izdvojiti one njegove dijelove kojiimaju samostalno znacenje. U matematici ta-kvi dijelovi su: definicije, poucci, primjeri,zadaci.

3) Sljedeei korak je analiza svakog od uocenihdijelova.

Ako se radi 0 primjeru, potrebno je analizi-rati njegovu narav i obrazovnu ulogu, odno-sno treba spoznatj radi Ii se 0 definicijskomprimjeru, motivacijskom primjeru, uvodnomprimjeru ili primjeru koji sluzi za utvraivanjeobradenog matematickog saddaja.

Ako se radi 0 definiciji, potrebno je shvatitina koji se matematicki pojam odnosi navedenadefinicija i potraziti primjere za ilustraciju.

Ako se radi 0 poucku, potrebno je pazljivoprocitati njegovu formulaciju, izdvojiti pre-tpostavku i tvrdnju te shvatiti njegov smisao.

I

Ako se radi 0 zadatku, vazno je uociti nje-gove sastavne dijelove, bitne za njegovo razu-mijevanje. To su: poznate ili dane velicine,

nepoznate ili trazene velieine, objekti i uvjetikoji opisuju veze izmeau danih i nepoznatihvelicina i objekata.

4) Za bolje razumijevanje problema cesto sekoristi crteZ u knjizi. Ako takvog crteZa nema,korisno je samostalno ga napraviti.

Mis godinaVII, be.35,2006.

5) U prvom se citanju ne trazi dllblja anali-

za, vec sarno shvacanje osnovnih misli i irleja

odabranog teksta. Zato se nejasni detalji mogllprivremeno preskocili.

G) ProuCivsi tekst II cjelini, ucenik je stekaopredodzbll 0 strllklllri i tdini teksta. Sarla

moze prijeci na izucavanje njegovih detalja.

Drllgo citanje (licenje):

7) U drllgom citanjll olpocetka treb.a pokloni-

ti pozornosl tdim mjestima, detaljima dokazapOllcka ili izvoda forrnllle, a takoder onirn rna-

lernatickirn cinjenicama (aksiorni, definicije,

poucci) na temelju kojih se izvode zakljuciva-

nja. Ako je nesto zaboravljeno, treba potrazitiu prethodnirn odjeljcima udzbenika.

8) CitajuCi dokaz teorerna, izvoda forrnule ili

rjesenja zadatka, potrebno ga je korak po ko-

rak prouciti i postupno reproducirati na papir.

9) Nakon sto je tekst shvaeen (naucen), pozelj-no ga je jedanputj dvaput usmeno ili pisrnenoreproducirali i utvrditi. Posebnu paznju va-Ija obratiti na one glavno sto treba zapamtiti(definicije, pojmovi, poucci, formule). Rep-rodukcije ne moraju biti doslovne, ali morajubiti tocne.

10) Pazljivo prouciti ilustrativne prirnjere.

11) Usvojivsi teorijll, treba poeeti rjesavati od-

govarajllee zadatke. Ne obratno' Pravilnost

rjesavanja svakog zadatka odreauje se dobrirn

poznavanjern teorijskih Cinjenica koje se od-nose na njega.

12) Ako u nekorn dijelu proucenog teksta nijesve jasno, treba se obratiti nastavniku mate-

matike za pomoe. Ne treba se stidjeti svogneshvaeanja.

Stvaralacki rad (visa razina ucenja):

13) Po zavrsetkll rada pozeljno je pokrenutirnisljenje ucenika u srnjeru dogradnje proll-cenog teksta. Korisno je postaviti neko odsljedeCih pitanja: Moze Ii se poucak dokazatina neki drugi nacin? Postoji Ii jednostavniji

~

:t

,~

;1"

naCin Ijesavanja zadatka? Je Ii moguce po-boljsati izvod fOffimle?

14) Zavrsni korak je upuCivanje ucenika napronalaienje analogija i izvodenje mogucihgeneralizacija i specijalizacija.

Na isti se nacin pripremaju ucenici za rad sdrugim matematickim tekstovima, a ne sarnoonim u udibeniku.

Naravno, nije moguce uvijek slijediti sve na-vedene savjete, niti je to nuzno. Sve ovisi 0matematickim sadrZajima. ledni su prikladniza prirnjenu jedne metode, drugi druge. Takoje i s metod om rada s tekstom. Nastavnik ma-tematike treba naCiniti uzi i primjereni izbormatematickih sadrZaja za primjenu ove meto-de. Bitno je da se cescom izmjenom nastavnihmetoda razbije jednolicnost nastave matema-

,i tike. Izmjenfl,mora uvijek biti u korist suvre-menih metoda. A metoda rada s tekstom jesigumo jedna od takvih metoda.

3. Primjeri

U ovom odjeljku opisat cemo nekoliko mje-sta u skolskoj matematici koja su prikJadna zaobradu prirnjenom metode rada s tekstom.

Zadaci. RjeSavanje zadataka je najcesca dje-latnost ueenika. Primjerenim izborom i kori-stenjem ~atematickih zadataka u najveCoj semjeri ostvaruje i razvija sarnostalni rad ueeni-ka. 1 ne sarno to. Preko zadataka ueenici se

vrlo rano upoznaju s metodom rada s tekstom,cija Cese prirnjena postupno prosiriti i na nekedruge matematicke tekstove.

Posebno je valno.zadavanje i rjeSavanje zada-taka za domacu zadacu. Cesto se dogada dazbog opsdnosti upravo obradenog novog na-stavnog gradiva nastavnik to ucini brzo i bezikakvih objaSnjenja, navodeCi sarno brojevezadataka iz zqirke ili udzbenika. lzostaju, po-red ostalog, i dva za naSu temu bitna elementapouCavanja:

1) Citanje tckslova zadataka od strane ueeni-ka,-analiziranje sastava i razmatranje pitanjanjihove tdine i rjeSivosti. Korak vazan zarazvoj kritickog misljenja ueenika.

2) Upucivanje ueenika na samostalno sasta-vljanje tekstova pojedinih zadataka za domacuzadacu. Korak vazan za razvoj kreativnostiucenika.

*, .

Biljeznice. Nastavnikovopoueavanje mate-matike ueenici prate zapisima u biljeZnicama.Tim zapisima ostvaruje se vazan opceobrazov-ni cilj nastave matematike: ucenje pisane ma-tematicke rijeei sa svim njezinim svojstvima(jasnoea, jednostavnost, punoca, precimost).Zato nastavnik mora paziti, kako na izgovore-ne rijeci, tako i na kvalitetu zapisa na ploei.

Zapisi u biljeznicama ueenika su zapravo pre-oblikovani tekstovi izvora manja. Oni sluzeucenicima za ponavljanje i ueenje. Jesu Iioni dobra napisani? Provjeravanje tih zapisatrebalo bi bili sastavni dio svakodnevne na-

stavnikove djelatnosti.

Kako treba voditi biljeznice, nastavnik mate-matike trebao bi objasniti ueenicima na poce-tku svake skolske godine.

* * *

Primjena Pitagorina poucka, Nakon obra-de, Pitagorin poueak se neposredno primjenju-je na nekoliko geometrijskih objekata: jedna-kostraniean trokut, jednakokraean trokut, kva-drat, pravokutnik, kocku i kvadar.

1 IFormule v = -aV3 i v = -V4b2 - a2 za

2 2duljine visina jednakostranienog i jednako-kracnog trokuta, d = aV2 i d = va2 + b2

za duljine dijagonala kvadrata i pravokulni-ka, d = aV3 i d = Va2 + b2 + c2 za duljinedijagonala kocke i kvadra analogno se izvode.

Prvu formulu ueitelj matematike uvijek mozeizvesli metodom dijaloga uz pomoc uecnika,dok drugu formulu ueenici mogu samostal-no izvesti primjenom metode rada s tekstom.

Motemotiko i skala

Naravno, najbolja bi problemska situacija bilakad bi se izvodenje svih navedenih formulaprepustilo samostalnom radu ueenika.

* * *

Pravila. Medu matematiekc sadrzajc koji su

posebno vazni i koje treba pamtiti ubrajaju se i

razna pravila, posebno pravila za brojeve. Evonekih od njih:

A) (aW = a2b2, vaE = ...;a...;b,labl = lal . [bl;

B) d"a" = am+", (ab)" = a"b",

\IQ[;=yra. n, loga(xy)=logax + logaY,

C) Zl+Z2 = fI + ZZ,Z0Z2 = fl. Z2.IZI . z21 = Izl! . IZ21,

ZlZ2 = rlr2[cos(rpl + rp2)+ isin(lfJI + lfJ2)]'

Prije primjene nekog od gornjih pravila po-trebno je da se ono najprije prasiri na vise oddva broja. Prasirenje se postize jednostavnomanalogijom. Pozeljno je da nastavnik ueenici-ma ukaze i na mogucnost poopcavanja svakogod tih pravila. Poopcenja se otkrivaju stvara-lackim radom ucenika. Na taj naein pravilapostaju vrlo zahvalan matematieki sadrzaj zaprimjenu metode rada s tekstom: ueenici mo-

gu ili proueiti tekst 0 analogiji i poopcavanjuu udzbeniku iIi, ako toga teksta nema, sarniispisati dodatni tekst za temu koju su prouca-vali.

* * *

Kvadratna funkcija f(x) = a.x2 Pri obradiove kvadratne funkcije razlikuju se dva sluea-ja: a >0 i a <0.

Obrada prvog slueaja a > 0 poCinjeproma-

tranjem posebnih funkcijax 1->x2, x 1->~x2,2x 1-> 2x2, izraduju se tablice vrijednosti tihfunkcija, crtaju grafovi i na kraju izvode nekanjihova svojstva.

~..

Obrada drugog slueaja a < 0 je, uz male pre-inake, posve analogna. To je pogodno mjestoza samostalni rad ucenika i primjenu metoderada s tekstom.

Mis godinaVII, br.35, 2006.

* * *

Elipsa i hipcrbola. Obrade ovih nastavnih

jedinica u trecem razredu srednje skole imajumnogo slienosti. Slicne su vec i same defini-cij e kri vulj a:

Neka su F] i F2 dvlje cvrSle locKe ravnine i

2a pozilivan realan bro) ve6 od IFI F21. Skupsvih locaka ravnine za ko)e)e zbro) udaljeno-sli od locaka FI i F2 slalan i )ednak .2a zovese elipsa.

Neka su FI i F2 dvlje cvrsle IOCKeravnine i 2a

pozilivan realan bro) man)i od IFIF21. Skupsvih locaka ravnine za kale )e apsollllna vri-)ednosl razlike udal)enosli od locaka FI i F2slalna i)ednaka 2a zove se lziperbola

Zato obradu hiperbole nastavnik moze posta-

viti kao problemsku situaciju koju, poznava-

juCi postupak obrade elipse, ueenici mogu i

znaju sam os tal no razrijeSili primjenom meto-de rada s tekstom.

Elipsa. Evo kratkog opisa obrade elipse:

Elipsa se smjestava u koordinatni sustav takoda joj je srediste u ishodistu iJ koordinatnogsustava, a osi na koordinatnim osima. Prema

definiciji elipse, za udaljenosti rl i r2 bilo ko-je njezine tocke T(x, y) od zarista FI (-e, 0)i F2(e, 0) vrijedi rl + r2 = 2a, 2a > IFIF21.Iz ove jednakosti izvodi se jednadzba elipse uobliku b2x2 + a2y2 = a2b2.

Uvjet diranja pravca Y = kx + I i elipseb2x2 + a2y2 = a2b2 dobiva se rjesavanjemtog sustavajednadzbi uz zahtjev da je pres-jek krivuljajedna tocka. Rezullatje jednakosta2k2+ b2 = zl.

Dalje se lako izvodi da je jednadzba tangentena elipsu b2x2 + a2y2 = a2b2 u njezinoj toeki

To(xo, Yo) oblika b2xxo + a2yyo = a2b2

Hipcrbola. Nakon obrade elipse ucenici mo-gu koristeci udzbenik analogne einjenice 0 hi-perboli samostalno prouciti. Bez poteSkocamogu sami spomati daje b2x2 - a2y2 = a2b2

jednadzba hiperbole, da je a2k2 - b2 = zl

uvjcl diranja pravca y = /.:x + ! i hipcrbo-

Ic b2x2 - (12/ = (l2b2, IC da JC I}xxo -

(l2yyO = a2b2 jcdnadZ.bJ langcntc nJ hipcr-bolu b2x2 - a2y2 = (/b2 u njczinoj lockiTo(xo, yO).

,,,r'

Za samostalni rad uccnika pogodnJ jc i kons-

trukcija, hipcrbolc.

I'oucak 0 sinusillla. Prva Jcdnakost (I sin (J =b sin a poucka 0 sinuslllla za trokut AIJC iz\'o-

di sc pornocu visinc iz vrha C i trigonolllctriJc

pravokutnog trokuta. i\nalogno sc izvodl dru-gaJcdnakost bsiny = csin(J, a iz doblvcnih

jcdnakosti i cijcli poucak. To rnogu uccnicisallloslaino proucili.

4. Zakljucak

Mctoda rada s tckslorn vazna jc za djclatnostgotovo svakog covjcka. Metoda rada s lcks-lorn vainajc i nastavniku matcrnatike u pripre-

jli'B.C.PRETPOTOPNJ ACI

CJJ "w 110x LA zo°

1

':'''. GU U,"'/MANnOD.~Tfm"-Gm7

.cv G" S"D I fVN() VECI OD T.<NGENSASREDITD RECIPROCNE VlUJEDNOSTI.

WUX! BI BID Y? .

5\L1f.~

1

)0;I

I

Illanju nastavnog sata i u svilll fazama njcgova

ostvarcnja.

U skolskoj matcmatici, ali i izvan njc, postojc

Illnogc tcme kojc su u potpunosti ili djclomic-

no pogodnc za obradu primjcnom mctodc rada

s tckstorn i kojc mogu doprinijcti rnatematic-

kOIll obrazovanju uccnika. Nastavnik matc-

111atikc lako maze pronaci l~lkvc tcrnc. Uistinu

JC nU/.no da rl1ctoda racla S lckstorn zauzmc u

nasta\'1 matcrnatikc ono mJ(~sto kaJc zasluzujc.

Litcratura

[t I z. Kurn/k. Alla/oglja. M:lIcl11ar/", I Skola 3 (2000),IOI-I()~

[21 Z. Kurn;k. SlnTemClla mClOdlka I 1I115IOl'amalc.malike. Zbornik raJa va t kongresa nastavl1/'"matel11atike. Zagreb 2000, t 87 -201

131 Z. Kurnik. Problcmska !laslm'a. Matemal;", / Skala15(2002).196-202.

141 Z. KurIllk. f/cllrlsltBa !laslal'a. MalCI11Jlika / Skala34 (2006), 148-153.

151 VA. OgJnespn / dr., MelOdlka prefJodal'a!lija ma.Icmalik" Prosl'escen;e. Moskva 1980.

BY JOI1NNY HART

Motemotiko i skola

Sonja Banie, IvanieGrad

Kombinirani suradnicki zadatak

Uvijck jc dobra aka zadatkc priprcmljcnc zatimski rad uspijcrno na ncki nacin povczati. Tapovczanost poticc uccnikc na suradnju. Tako-clcr CCdoci do izrazaja i potrcba da svaki clanlima ispravno rijcSi svoJc zadatkc, jer bcz toga

nijc rnogllcc ostvarili konaeni zadatak eitavogtima. Takav tip lirnskog zaclatka, 1I kojcmSll mcclusobno nczavisni zadaci na ncki na-

ein (umjctno) povezani, na1.ivamo kombinira-ni sllradnicki 1.adatak.

Priprema timskog rada s kombiniranim surad-

niekim 1.adacima trazi dobru idcju 1.apovczi-vanje i podosla vrernena. Zadalke mozcmopovezati 1Icjelinu na nckc od ovih nacina:. rjesenja se lIpisuju 1I krizaJjku u kojoj trcbaotkriti zagonelnu rijec ili pojam;. prema rjeSenjima treba obojiti slikll i otkritiskriveni lik;. pomocu rjesenja moiemo sloiiti puzzle sliku;. rjescnja elanova tima prcdstavljaju ulaznc 1'0-datke za novi 1.adatak;. rJesenja cinc rnagieni kvadrat ili 1.vijczdu;. rjcsenja se upisuju u koordinatni sustav i ot-krivaju nacrtani lik;. rjcSenja daju uputu pomocu koje sc na "gu-sarskoj" karti pronala1.i "skrivcno blago";. ueenici dobivaju na karticarna sva rjcsenja imoraju loeno odabrati svoja;. naravno, bilo koja nova idcja za povczivanjeje dobro dosla.

Za koji god se od ovih nacina ocllueili, utro-

sit cetc podosla vrernena 1.a pripremu. Za-clatkc lrcba odabrati i prilagoditi lako da narnrjcscnja oclgovaraju, trcba izmisliti i nacrtali

Mis godina Vii, be. 35, 2006

krizaljkc ili slikc, iuaditi puzzlc ili karticc s

rjcScnjirna Dobra strana svcga toga jc ciajcdnom priprcmljcni timski rad rnozc1l1o isko-

ristiti visc puta. Mozcmo 1 razmijcniti 1l~ISC

priprcmc s kolcgama koji sc isto tako trudc.

Iii opisati kako jc prasao sat i podiJcliti svoJupriprcmu i iskllstvo s citalcljima Mis-a.

Zajednicki timski zadatak, koji pobudujc intc-res i zanimljiv jc lIecnicima, rnotivirat cc ih daulozc veCi trud u vjcibanJc i rjcSavanJe zadata-ka. Takoder CCpotaknuli ueenikc da budu pa-zljiviji pri rjesavanju i pazc na tocnOSIsvojihrjesenja, jcr samo toena rjcscnja omogucujuostvarenjc konacnog cilja. Dobra jc ueenikcpoticati da si medusobno pravjere ispravnostpo stupka i toenost rjesenja.U timski rad s kombiniranim suradniekirn za-

dacima CCSIOvrlo uspjeSno mozcmo ukljueiti

i ucenikc koji idu po prilagodenom programu.Dovoljno je jednu skupinu zadataka zamijcnitizadacima koji odgovaraju programu uecnika,pazeci da imaju ista rjeScnja. Taka cc sc iti zadaci ukJopiti u konaenll sliku, krihljkll,puzzlc ili rnagieni kvadrat. Ucenik s tcSkoca-ma cc pridonijcti uspjchu tima sto CCpozitiviloutjccati na njcgovu motivacijll i samopouzda-nJe.

1. Primjer kombiniranogsuradnickog zadatka

Primjcr jcdnog kombiniranog suradnickog za-datka jc timski rad povczan u cjclinll magic-nim kvadratorn.

Ovaj limski rad predvidcn jc za llvjdbava-