középiskolai kísérletek...
TRANSCRIPT
BSc. szakdolgozat
Középiskolai kísérletek fraktálokkal
Kovács Olivér
Fizika BSc.- kémia minor tanári szakirány
III. évfolyam
Témavezető
Dr. Horváth Ákos
egyetemi docens
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Természettudományi Kar
Atomfizikai Tanszék
2014
Kivonat
A szakdolgozatommal a fraktálok középiskolában történő tanításának lehetőségeit
mutatom be demonstrációs kísérleteken keresztül.
Dolgozatom alapvetően három fő részre tagolható. Az első részben áttekintést adok a
fraktálokról, ismertetem a fraktáldimenzió,- és az önhasonlóság fogalmát. Bemutatok néhány
matematikai, biológiai fraktált, illetve ismertetek néhány fraktálra vezető fizikai folyamatot.
A második részben a fraktálok tanításakor használható demonstrációs kísérleteket
mutatok be. A Mandelbrot-halmaz számítógépes vizsgálata után ismertetek két kísérletet,
melyeket a fraktálok demonstrálására szeretnék használni: összegyűrt papírgalacsin tört-
dimenziójának meghatározása, illetve tojáshéj robbanásakor keletkező törési maradványok
tulajdonságaiban megnyilvánuló fraktál bemutatása.
A harmadik részben bemutatok néhány lehetőséget arra, hogy a fraktálok tanítása
középiskolások számára hogyan végezhető el az ELTE Matematikai Múzeum demonstrációs
eszközeinek segítségével
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés .................................................................................................. 1
2. A fraktálfogalom áttekintése ...................................................................... 3
2.1. A fraktálfogalom kialakulása ........................................................................................................ 3
2.2. Matematikai fraktálok .................................................................................................................. 4
2.3. Fraktáldimenziók meghatározása ................................................................................................ 6
2.4. Fraktálokra vezető fizikai folyamatok ........................................................................................... 7
2.5. A biológia fraktáljai ..................................................................................................................... 10
3. Demonstrációs kísérletek a fraktálok bemutatására .................................12
3.1. Az önhasonlóság bemutatása Mandelbrot-halmaz számítógépes szimulációja segítségével ... 12
3.1.1. A Mandelbrot-halmaz matematikai alapjai ......................................................................... 12
3.1.2. A kis-, és a nagy felbontással ábrázolt halmazok tulajdonságai közötti különbségek
bemutatása .................................................................................................................................... 13
3.1.3. Az önhasonlóság vizsgálata ................................................................................................. 14
3.1.4. Összegzés ............................................................................................................................. 16
3.2. Papírgalacsinok fraktál-dimenziójának meghatározása ............................................................. 17
3.2.1. A demonstrációs kísérlet bemutatása ................................................................................. 17
3.2.2. Papírgalacsin-dimenziók ...................................................................................................... 17
3.2.3. A kísérlet órai feldolgozása, feladatlap ............................................................................... 19
3.3. Tojáshéj robbanásakor kialakuló repedések fraktálszerkezetének bemutatása ....................... 20
3.3.1. A kísérlethez használt eszközök, anyagok ........................................................................... 20
3.3.2. A kísérlet előkészítése, biztonságos kivitelezése................................................................. 21
3.3.3. A saját robbantásaim kísérleti eredményei ......................................................................... 22
3.3.4. A kísérlet órai feldolgozása, munkafüzet ................................................................ 25
4. A Matematikai Múzeum demonstrációs eszközeinek bemutatása ..............27
5. A fraktálok tanítása a középiskolában .......................................................29
6. Összefoglalás ............................................................................................33
Irodalomjegyzék ...........................................................................................34
Mellékletek ....................................................................................................35
Köszönetnyilvánítás
Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Dr. Horváth Ákosnak, az
ELTE TTK Atomfizikai Tanszék egyetemi docensének.
Hálásan köszönöm Dr. Vass Gábor Tanár Úrnak, (ELTE Szervetlen Kémiai Tanszék),
aki a laboratóriumban és a kísérleteknél nyújtott nagyon sok segítséget.
Köszönettel tartozom Dr. Tél Tamásnak, aki hasznos tanácsokkal látott el a dolgozat
megírásának elején.
A matematika szakterületről Holló- Szabó Ferencnek köszönöm ezúttal is a „Fraktálok
az iskolában II.” című előadását, illetve Kabai Sándornak is köszönöm a Matematikai
Múzeum bemutatását.
Köszönöm továbbá családomnak, barátaimnak, és mindazoknak, akik a dolgozat
elolvasásával világítottak rá az esetleges hibákra.
1
1. Bevezetés
Nálam a tanítás családi indíttatású, hiszen egész kisgyermek koromban azt láttam,
hogy Anyukám készül az óráira, segédanyagot készít, dekorációt tervez, szabadidős
programokat szervez. Természetesen, amit lehetett, én is segítettem neki. Sokszor magával is
vitt, így „belenőttem” az iskolába. Az általános iskolában még csak szerettem a fizikát,
kémiát, de sajnos nem sok kísérletet láttunk, nem voltak anyagok hozzá. Aztán a
középiskolában minden megváltozott! Nagyon jó tanáraim voltak, érdekes órákat tartottak, és
ott már a gyakorlati része is érdekessé vált. Versenyekre jártunk, csapatban dolgoztunk. Jó
eredményeket értünk el, sikerélményeink voltak. A mai napig visszajárok régi tanáromhoz,
Somogyi Mihályhoz, és segítek neki ha kell, hogy a mostani tanítványival is hasonló
eredményeket érhessen el. Sok lelkesedést merítettem a fizika szeretetéhez Dr. Gambár
Katalin Tanárnőtől. Szeretném, ha egyszer én is valami hasonló módon nevelhetném,
taníthatnám a rám bízott gimnazistákat.
A „Középiskolai kísérletek fraktálokkal” című dolgozatomban össze szeretném
foglalni a fraktálokról elemi szinten általam összegyűjtött ismereteket, aminek célja kicsit
közelebb hozni ezt a fogalmat a hétköznapi emberekhez, valamint későbbi pedagógiai
munkám során a diákokkal is megismertetni, esetleg meg is szerettetni ezeket a sokszor
furcsának és elvontnak vélt dolgokat.
Általánosságban azt tapasztalom, hogy ha valakinek felvetem ezt a témát, semmit nem
tud róla, pedig hasznos és főleg szép dolgok kerülhetnek elő, ha kicsit jobban a mélyére
nézünk a fraktálok témakörének. Célom elsősorban a középiskolában, így a különböző órák
tananyagaiban történő felhasználási lehetőségek, illetve kísérletek bemutatása.
A természetben rengeteg fraktál létezik, számos tudományágban találkozhatunk velük:
például a biológiában, kémiában, fizikában, földtudományban. A matematikában sok
geometriai objektum mutat fraktáltulajdonságot, míg a fizikában a növekedés, egyes
mozgások, a törés, a villámlás, a hópelyhek kapcsán kerülhet elő ez a fogalom. A biológiában,
az emberi szervezetben például az agy, az érrendszer kinézete, a tüdő és az idegsejt-hálózatok
illusztrálják nekünk a fraktálokat, míg a kémiában az elektrokémia segítségével előállítható
fémfákat lehet tanulmányozni, hiszen a fák koronájának alakjai is fraktálgeometriával
írhatóak le.
Fizika-kémia tanári szakirányos hallgatóként megpróbáltam összegyűjteni olyan
kísérleteket, amelyek a fraktálokhoz kötődnek, és bármelyik középiskolás tanuló számára is
szépek, érdekesek, s nem utolsó sorban hasznosak lehetnek. Célom, hogy ezekkel a dolgokkal
színesítsem a tananyagot, felkeltsem az érdeklődést. Elvégeztem például egy olyan kísérletet,
melyet szinte befektetés nélkül meg lehet valósítani az iskolában, mégis hasznos, és érdekes,
szinte semmi nem kell hozzá, csak papír. Ez nem más, mint papírgalacsinok
fraktáldimenziójának meghatározása. Sok gyerek érdeklődését felkeltheti egy ilyen kérdés:
mekkora egy összegyűrt papír dimenziója? A témavezetőm készített továbbá egy programot,
mellyel az egyik legismertebb fraktált, a Mandelbrot-halmazt lehet tanulmányozni.
„Az iskola dolga, hogy megtaníttassa velünk, hogyan kell tanulni, hogy felkeltse a tudás iránti étvágyunkat, hogy megtanítson bennünket a jól végzett munka örömére és az alkotás izgalmára, hogy megtanítson szeretni, amit csinálunk, és hogy segítsen megtalálni azt, amit szeretünk csinálni.” (Szent-Györgyi Albert)
2
Véleményem szerint ezek a dolgok a vizuális típusú tanulóknak jobban tetszenek, valamint
ennek a témakörnek nincsen „magolós” része. A látvány kerül előtérbe, az esztétikai
élmények is segítik a nehezebb matematikai fogalmak befogadását.
A fraktálok középiskolai tananyagba helyezése során első sorban a matematika órák
jönnek szóba. A tört-dimenziók a különböző geometriai formákat összekötik az analízis egyes
területeivel (exponenciális függvény), valamint szemléletes szép példákat adnak a végtelen
fogalmának egy felhasználására. Emellett el lehet mondani a természettudományok különféle
területein előforduló fraktálok sokféleségét is.
Leendő tanári pályám legelején szívesen tanítanám a fraktálokat pl. egy szakkör
keretén belül: aki érdeklődőbb, így fakultatív módon tanulhat új, nem kötelező dolgokat tört-
dimenziókról, komplex számokról, nem hagyományos alakzatokról. Az általam elvégzett
kísérletek egyszerűen értelmezhetőek, könnyen kivitelezhetőek, és a diákok így játszva
ismerkedhetnek meg a fraktálok világával. Talán valamit még használhatnak is majd az így
megszerzett többlettudásból későbbi, akár egyetemi tanulmányaik során. Sokat merítettem a
„Fraktálok az iskolában II.” című matematikai speciális előadásból, mely a Matematikai
Múzeummal szoros együttműködésben zajlott Holló- Szabó Ferenc oktatónak köszönhetően.
Ezen a kurzuson is megpróbáltuk egy kicsit diákszemszögből áttekinteni a fraktálok
témakörét.
Dolgozatomban a fraktálokról szóló általánosabb bevezető, és néhány példa
ismertetése után bemutatom majd azt a néhány kísérletet, melyet kidolgoztam és elvégeztem,
valamint a középiskolai feldolgozásukra javaslatot tettem. Ezután leírom a Matematikai
Múzeumi látogatáson szerzett élményeimet, tapasztalataimat, esetleges elképzeléseimet a
múzeumi eszközök tanításáról, végül pedig egy bővebb, átfogóbb módszertani résszel zárom
a dolgozatomat.
3
2. A fraktálfogalom áttekintése A fraktálok olyan objektumok, melyeknek, ha egyes részeit kinagyítjuk, akkor a
nagyítás után kapott alakzatok hasonlóak, mint az eredeti alakzat, s ezért rendkívül
bonyolultnak, összetettnek látszanak. Tulajdonképpen ezek olyan formák, amelyek
valamilyen szempontból eltérnek a hagyományosan szabályos geometriai formáktól. Jellemző
ezekre az alakzatokra az önhasonlóság: általában egy fraktál akkor önhasonló, ha a kinagyított
része hasonló az eredeti alakzathoz.
2.1. A fraktálfogalom kialakulása
Benoit B. Mandelbrot lengyel származású francia-amerikai matematikus volt az egyik
legjelentősebb személy, aki fraktálgeometriával, és annak természeti alakzatokban és
folyamatokban történő megjelenésével foglalkozott [1]. A róla elnevezett halmaz a mai napig
a legtöbbet emlegetett fraktálok közé tartozik. A Mandelbrot-halmaz az első ábrán látható. E
halmaznak a dolgozatomban egy egész fejezetet szenteltem.
1. ábra Mandelbrot-halmaz képe.
1
A fraktálok megismerésére az első jelentős lépés az volt, hogy Anglia partvonalait
kezdték el tanulmányozni, és rájöttek, hogy ezt az öblökkel teli partvonalat is
fraktálgeometriával lehet leírni matematikailag. Felosztották a partvonal görbéjét kis δ
hosszakra, és megszámolták hány ilyennel lehet lefedni a partvonalat. Egyre kisebb mérési
egységet, δ –t, alkalmaztak. Ha tíz kilométeres egységekben mértek, akkor a tíz kilométernél
kisebb görbületeket nem vették figyelembe, holott a görbe hosszát ezek is növelik. Ha
kilométeres egységben mértek, akkor a méteres kis részeket hagyták figyelmen kívül, hiszen
túl nagy skálán, túl nagy „méterrúd” alkalmazásával mérték meg a partvonalat.
Ez így megy tovább egészen kis mérési egységekig, ez az önhasonlóság ezekig a kis szintekig
folytatódik. Minél kisebb skálán végezzük a hosszúság mérését, annál nagyobb végeredményt
kapunk (hossz = Nδδ). Ennek a növekedésnek az atomi méretek biztosan felső határt szabnak,
hiszen a kis atomi méreteknél kisebb δ-kra nem lehet felosztani a partvonalat [2]. 2
1 Forrás: http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set (letöltés ideje: 2013. december 17.)
4
Ez a két példa világosság teszi, hogy egy fraktál általában nagyon sok lépésen
keresztül alakul ki, illetve állítható elő, a kapott alakzat pedig rendelkezik az önhasonlóság
tulajdonságával, hiszen, ha például Anglia partvonalait nézzük, látszik, hogy ha jobban
ránagyítunk, akkor a kép hasonló lesz, mint az eredeti partvonal képe. A Mandelbrot-
halmaznál is meg lehet figyelni, hogy egy adott részére ránagyítva, a kapott képen nagyon sok
kisebb, ugyanolyan halmaz jelenik meg.
2.2. Matematikai fraktálok
A fenti példák már illusztrálták, hogy a fraktálokat általában sok lépésben lehet
előállítani. A következőkben néhány ilyen fraktált mutatok be.
Egy egyenes szakaszon értelmezett fraktál, az úgynevezett Cantor-halmaz, melyet
Georg Cantor (1845-1918), orosz származású, ám Németországban élt matematikus után
neveztek el. Ezt a halmazt a következőképpen készíthetjük el: Vegyünk egy egységnyi
hosszúságú szakaszt, vegyük ki ezen szakasz középső harmadát. A második lépésben a
megmaradó két 1/3 hosszú résznek is vegyük ki a középső harmadait, és így tovább a
végtelenségig. A műveletet végtelen sokszor megismételve kapjuk a Cantor-halmazt. A 2.
ábrán illusztrálom a folyamat első öt lépését egymás alá rajzolva.
2. ábra Cantor-halmaz első öt lépésének bemutatása. 2
Szemléletes példa lehet a diákok számára akármilyen természettudományos órán a
következő fraktál, az ún. Koch-féle hópelyhet határoló görbe, a Koch-görbe. Ez egy
geometriai alakzat, melyet Helge von Koch matematikus írt le az 1900-as évek elején.
Képzeljük el a következőket: Vegyünk egy szakaszt. Osszuk három részre, a középső
egyharmadára állítsunk egy 1/3 oldalú egyenlő oldalú háromszöget, és a két külső oldalát
tartsuk csak meg. Ismételjük meg ezt nagyon sokszor. Az első három lépést mutatja az alábbi,
3. ábra. Végtelen lépés után kapjuk határesetben a Koch-görbét. 3
2 Forrás: http://www.inf.unideb.hu/~nbenedek/FormNyelvAutom/chunks/ch03s03.xhtml
(letöltés ideje: 2013. december 10.)
5
3. ábra A Koch-görbe első három lépésének illusztrálása.
3
Egy másik ismert matematikai fraktál a Sierpinszki-szőnyeg. Ezt a halmazt a
következőképpen kaphatjuk meg: Vegyünk egy egységnyi oldalú négyzetet, és osszuk fel 3×3
db kis négyzetre. Ezek után vegyük ki a középső kis négyzetet, a többit pedig tartsuk meg. A
második lépésben az előző kis négyzeteket is osszuk fel kilenc kis négyzetre az előző
lépéshez hasonlóan. Ezekből is vegyük ki a középen lévő kisebb négyzetet. Az imént leírt
műveletet nagyon sokszor elvégezve kapjuk az ún. Sierpinszki-szőnyeget. Mindig a kisebb
négyzetekből kiindulva egyre sűrűbben kivágott formát kapunk, melyet a végtelenségig lehet
folytatni. Ezt illusztrálja az első négy lépéssel a 4. ábra.
4. ábra Sierpinszki-szőnyeg készítésének első négy lépése.
4
Ha a Sierpinszki-szűrő esetén leírt kiinduló négyzetről áttérünk egy háromszög
alakzatra, és hasonlóan végrehajtjuk az alakzat közepének eltávolítását, akkor a folyamat
szintén önhasonló objektumra vezet. Most tehát egy egységnyi oldalú háromszöget vegyünk,
s ebből vágjunk ki egy olyan kisebb háromszöget, melyet az eredeti háromszög oldalfelező
pontjainak összekötésével kapunk. A négy kis háromszögből kivesszük a középsőt, a
megmaradt három kisebb háromszögben is keressük meg az oldalfelező pontokat, s kössük
őket össze. Így ezekből is lett egy-egy kisebb háromszögünk, ezzel is el lehet végezni a fenti
műveletet. Egyre több ilyen kis háromszögben összekötve az oldalfelező pontokat, az ún.
Sierpinszki-háromszöghöz jutunk. Ennek első négy lépését az 5. ábra mutatja.
45
3 Forrás: http://prog.berzsenyi.hu:81/prog2011/prog.berzsenyi.hu_8080/prog/View/logo/rekgorb.html
(letöltés ideje: 2013. november 13.)
4 Forrás: http://www.t-es-t.hu/minden/kaosz/menger.htm (letöltés ideje: 2013. november 13.)
6
5. ábra Sierpinszki-háromszög konstrukciójának első négy lépése.
5
2.3. Fraktáldimenziók meghatározása
A hétköznapi geometriai objektumok térbeli dimenziója az egy, kettő, vagy három
értékeket veheti fel: vannak egydimenziós alakzatok (pl.: egy vonal), kétdimenziós alakzatok:
melyeknek van területük, (pl.: egy kiszínezett négyzet), és háromdimenziósak, melyeknek
pedig térfogatuk van: tömör vagy üreges testek (pl.: egy kocka).
A fraktálok tört dimenziós alakzatok. Ezeket a különleges alakzatokat kvantitatívan is
jellemezhetjük egy skalárral, az ún. Fraktál-dimenzióval, ami egy tört szám. A szó latin
jelentése is erre utal, a fractus szóból ered, jelentése törés, tört rész. Ezt a tört dimenziót meg
lehet határozni például az úgynevezett dobozszámlálási módszerrel. Ehhez fedjük be a fraktál
alakzatunkat egy ε élhosszúságú, és adott d dimenziójú kockákkal! A d dimenzió az a
hagyományos térdimenzió, amiben az alakzatunkat definiáltuk, ezt nevezik beágyazási
dimenziónak. A lefedéshez szükséges ilyen kockák minimális száma legyen N(ε). A
fraktáldimenziót ekkor a következőképpen definiálhatjuk:
) , (1)
ha minden ε esetén érvényes a fenti képlet egy adott D szám felhasználásával. Ez azt is jelenti,
hogy ε << 1 esetén, azaz ha ε a 0-hoz tart, akkor is igaz az összefüggés. Az összefüggésben
szereplő D paraméter a fraktál tört-dimenziója. Amennyiben D<d, azaz D kisebb az adott
alakzat d beágyazási dimenziójánál, akkor hívjuk az alakzatot fraktálnak. A tört-dimenzió
meghatározása a következőképpen történik. Ha lnN-et ábrázoljuk ln(1/ε) függvényében, akkor
egy D meredekségű egyenest fogunk kapni, az (1) egyenletnek megfelelően. Matematika
fraktálok esetén végtelen lépésben jutunk el az adott fraktálig. Ebben az ideális esetben a fenti
egyenes bármilyen nagy 1/ ε esetén lineáris marad.
Általánosságban egy általános fraktál dimenzióját meg lehet határozni
dobozszámlálási módszerrel. Ha az (1) egyenlet fennáll, akkor egy tetszőleges alakzatot úgy
készítünk el, hogy minden lépésben kd részre, azaz lineárisan k részre osztjuk, és ezt a d
beágyazási dimenzió szerint alkalmazzuk, majd kivágunk belőle néhány így kapott részt, úgy
hogy meghagyunk N ilyen részt. Ekkor a D dimenzió az alábbi módon számolható:
(2)
Az előbbi definícióval természetesen egy hagyományos geometriai objektum dimenzióját is
meg lehet adni: így tehát egy gömbre 3, egy vonalra 1 lesz a dimenzió, ha minden kis részt
megtartunk az adott halmazban. Ezzel a módszerrel a fent említett matematikai fraktáloknak
is meg lehet határozni a dimenzióját, így a tört dimenzió számolási módjának ismeretében a
következő eredményekhez jutunk:
5 Forrás: http://messzejaro.atw.hu/oldpages/fractal.html (letöltés ideje: 2013. december 10.)
7
A Koch-görbénél a megtartott önhasonló részek száma egy lépés elvégzése után 4, valamint
az oldalt minden lépésben harmadrészére csökkentettük, így D= =1,26
A Cantor-halmaz esetén mindig két kisebb vonalat tartunk meg a három részre osztott
szakaszok közül, így: D= =0,63
A Sierpinszki-háromszög dimenzióját is kiszámolhatjuk: a megmaradó háromszögek száma
három, a nagy háromszög oldala pedig mindig a belőle létrejövőének a fele lesz (a
felezőpontok miatt), innen: D= =1,59
Ezen általánosabb matematikai példákon szerettem volna szemléltetni a fraktálok
előállításának egy módját, illetve egy adott fraktál tört dimenziójának meghatározását. A
továbbiakban néhány, a természetben előforduló fraktált sorolok fel, illetve mutatok be.
2.4. Fraktálokra vezető fizikai folyamatok
A természetben is sokszor előállnak olyan alakzatok, amelyek önhasonlóak valamilyen
értelemben. Egyik fontos különbség az eddigi matematikai konstrukciókhoz képest, hogy a
méretskála nem változtatható tetszőlegesen kicsire vagy nagyra. A fizikai fraktálok esetén
elmondható, hogy ha túlságosan kicsire csökkentjük a méretskálát, és lemegyünk az atomi,
molekuláris szintre (kis ε), akkor nem áll fenn az (1) tulajdonság, itt már nem tapasztalunk
önhasonlóságot, ezen a szinten már a kvantummechanika érvényesül. Általánosan elfogadott
feltétel, hogy legalább két nagyságrenden keresztül kell teljesülnie az lnN – ln(1/) görbe
lineáris tulajdonságának. Így az ε-nak csak egy behatárolt értékkészletére áll fent a linearitás.
Amennyiben ez a két nagyságrend nincs meg, akkor az adott objektumot nem tekintjük
fraktálnak. Ahol ez a lineáris viselkedés teljesül, ott a rendszer fraktál jellegűnek tekinthető.
Itt lesz önhasonló, azaz kis részletei nagyítás után ugyanolyanok lesznek, mint nagyobb
rajzolatai.
Fraktálra vezető fizikai folyamat lehet például a törés, vagy egy repedés kialakulása is.
Egy törési kép darabjai, vagy repedéshálózat-szakaszai önhasonlóak lehetnek, ami azt jelenti,
hogy ha az egész felületet megnézzük melyen a repedéshálózat kialakult, majd egy kisebb
részét kinagyítjuk, akkor a kapott képen szintén kisebb egymásból kiinduló repedések
lesznek, meghatározott arányok betartásával, hasonlóan az eredeti repedési felülethez. Ezek
alapján az irodalomban bemutatott cikkek kimutatták, hogy bizonyos esetekben egy törés
vagy repedés folyamán a törési felület képe fraktálnak tekinthető. A kísérletek azt mutatják,
hogy egy anyag törése az adott anyag minőségétől, belső rendezetlenségétől és a terhelés
módjától, illetve nagyságától függ [4]. A terhelés mértékétől függően többféle törésről
beszélhetünk. Ha a terhelés nagyobb, mint az adott heterogén anyag szakítószilárdsága (ez az
anyagra jellemző érték), akkor a törés viszonylag gyorsan lezajlik. Ha a terhelés kisebb a
szakítószilárdságnál, akkor a törés véges idő alatt következik be. Ezt nevezzük szubkritikus
törésnek. Ha a szubkritikus terhelés nagysága állandó, akkor kúszásról, ha nagysága változó,
akkor pedig kifáradásról beszélhetünk. Tapasztalati úton megállapítható, hogy az anyag
gyorsabban tönkremegy, ha változó terhelésnek van kitéve. A változó terhelés sebességének
szempontjából szintén két szintén esetről beszélhetünk: kvázisztatikus terheléskor annyira
lassú a terhelés változásának mértéke, hogy a maximális értékét közel egyensúlyi állapotokon
keresztül éri el, így ilyen terheléskor a testen egy domináns repedés keletkezik, két darabra
törik szét. A másik eset a fragmentáció jelensége, amikor rövid időn belül nagy energiaközlés
történik az anyagon [4]. Ennek következtében több, gyorsan növekvő repedés jön létre, s így
8
az adott test sok, kisebb darabra esik szét. Ebben az esetben várható a fraktál mintázatok
megjelenése.
A fragmentációs törések után kialakuló repedéshálózat optikai vizsgálatával
foglalkozott egy kísérletben M. Davydova és D. Davydov [3]. Azt tanulmányozták, hogy egy
éles, piramis alakú fém tű hegyének segítségével nagy nyomással megrepesztett üveglap
repedéshálózatáról hogyan lehetne eldönteni, hogy fraktál-e. A repedések között kialakult
területetek nagyságát mérték meg digitalizált felvétel alapján, és ezen területek kumulatív
eloszlásfüggvényét ábrázolták logaritmikus skálán. Az F(A) kumulatív eloszlásfüggvény azt
adja meg, hogy hány darab fragmens (terület) van, melynek nagysága az adott A értéknél
kisebb, vagy egyenlő vele. A függőleges tengelyen az eloszlásfüggvény logaritmusa szerepel,
a vízszintesen a területek logaritmusa. Ez egy egyenes lett, amiből az következik, hogy a
gyakoriságfüggvény hatványfüggvény. Az egyenes hatványfüggvény hatványkitevőjéből
méréseik alapján a D tört-dimenzió: 1,59<D<1,83 [3]. Ebben a kísérletben tehát a tört-
dimenzió számolást nem a fent bemutatott dobozszámlálási-módszerrel végezték, hanem
eloszlásfüggvény segítségével számolták.
A fraktálokra vezető fizikai folyamatok közé soroljuk még a villámok-, illetve
különböző kisülések pillanatképeit. Egy tanulmányban J. Sanudo és munkatársai villámokat
modelleztek, és sikerült fraktáldimenziót meghatározniuk. A modellben egy kockában
követtek három dimenzióban egy dielektrikum-összeomlást, mely a kocka alján és tetején
lévő potenciálok különbsége miatt (legfelül 0, legalul 1 volt a potenciál) a vele szomszédos
pontokon terjedt. A dielektrikum összeomlás egy olyan jelenség, mely akkor alakul ki, ha egy
nem vezető dielektrikum, ami dipólusokból áll, reagál külső elektromos térre. Az anyag nagy
elektromos térerősség hatására vezetővé válik, így az elektronok képesek haladni benne, azaz
áram tud folyni. Ez akkor következik be, amikor a térerősség (potenciál-különbség) nagyobb,
mint egy küszöbérték, és a molekula elektronjaira már elég nagy erő hat ahhoz, hogy
leváljanak, és vezetni tudjanak. Az elektromos tér hatására a kocka tetején a nulla
potenciálból egy kis pontban elindul egy ilyen dielektrikum összeomlás, mely a vele
szomszédos pontokon a potenciálkülönbségek miatt fürtszerűen terjedni fog. Minden egyes
szomszédos pont, mely a fürthöz kapcsolódik, a fürt részeként már 0 potenciállal fog
rendelkezni.
A Laplace-egyenlettel adott peremfeltételek mellett megadható a potenciál eloszlása a
kockában. Az, hogy az így terjedő, növekvő fürt-szerű objektum merre terjed, azaz melyik
szomszédos pontja fog csatlakozni hozzá, egy valószínűségi egyenlettel adható meg. Ez az
egyenlet tartalmazza a potenciálját az adott pontnak, hatványkitevőként pedig egy η-val jelölt
paraméter szerepel benne, mely az adott pontban lévő elektromos mező, és a dielektrikum
abban a pontban történő lehetséges összeomlása közötti valószínűséget tartalmazza. Az így
növekvő fürtről, villámalakról készült képek alapján megállapították, hogy a villámalakhoz
már hány pont csatlakozott. Két szomszédos pont távolsága egységnyi, ezen távolságok
négyzeteinek összegéből gyököt vonva, kaptak egy-egy számot. Ez a szám egy
karakterisztikus távolság. Ezeknek a karakterisztikus távolságoknak a logaritmusait a fürthöz
kapcsolódó pontok számának logaritmusainak függvényében ábrázolták [5]. Ekkor különböző
η paraméterek esetén különböző egyeneseket kaptak. Az egyenesek meredekségeiből tört-
dimenziókat határoztak meg. Egy másik ilyen kísérletben Tsonis felvételei alapján a tört-
dimenzió D=1,34-nek adódott. Ez éppen az előző kísérletibeli η=6-nak felel meg.
A villámok esetén is tapasztalható önhasonlóság: egy egész villám képe hasonló ahhoz
a képhez, amit akkor látunk, ha csak a villám egy kisebb ágát figyeljük. Abból is több kisebb
mellékágak alakulnak ki azonos arányokban (önhasonlóan), akárcsak az egész nagy villám
esetén. A kisebből pedig megint csak ágaznak el újabb villámalakok, és így tovább. A 6. ábra
egy villám alakját mutatja.
9
6. ábra Egy természetben előforduló önhasonló alakzat, a villám.
6
A fraktálok a csillagászatban is megfigyelhetőek. Az Bika csillagképben lévő
csillagközi molekuláris köd tömegeloszlása is fraktálként írható le. A csillagképről készített
infravörös szintvonalas elnyelődési felvételt T. Zimmermann és J. Stutzki. Az elnyelődési
képen sötétebb színű foltok vannak, ezek jelzik, hogy ott sok tömeg található, nagyobb az
elnyelődés. A harmadik (mélységi) dimenziót a pixel Doopler-spektrumából határozták meg a
vöröseltolódás alapján, a Gauss-görbe középpontjához tartozó hullámhosszból a Hubble-
törvény alapján számolt sebességérték felhasználásával.
Lefedték az elnyelődési képet kis dobozokkal, majd többféle pixelméretnél
megszámolták, hogy egy kisebb sötétebb foltot hány doboz fed le. Ezen dobozok számát
logaritmikus skálán ábrázolták a dobozok oldalhosszúság-értékeinek reciprokainak
függvényében. A logaritmikus ábrázolás során egy egyenest kaptak, melynek meredeksége
adta a D tört-dimenzióját a csillagközi köd tömegeloszlásának. Kísérletük során D=2,81-et
kaptak eredményül. [6]. Azt vették észre, hogy a dimenzió értéke összhangban van egy
speciálisan képzett „Cantor-por” nevet viselő fraktál dimenziójával, melynek szintén D=2,81
az értéke. Ez a következőképpen határozható meg. Vegyünk egy egységnyi oldalú kockát,
majd osszuk fel nyolc fele akkora oldalélű kisebb kockára, azaz minden oldalát felezzük meg.
A kockában eredetileg egységi térfogatú anyag volt. Ezt az anyagot most osszuk szét úgy,
hogy a létrejövő nyolc kockából csak hét kisebb kockába teszünk bele belőle véletlenszámmal
jellemzett nagyságú anyagot, és egyet üresen hagyunk. A kisebb kockákat is osszuk fel
egyenként nyolc még kisebbre. Ezekbe is osszuk szét az anyagot úgy, hogy hétbe teszünk,
egybe nem. Ez így folytatható a végtelenségig. Ennek a fraktálnak a tört dimenziója:
D=ln7/ln2=2,81 -mivel mindig hét kockát tartunk meg, az oldalakat pedig felezzük a
következő nyolc kocka kialakításakor [6].
Megvizsgáltál továbbá az egyes pixelek tömegeinek gyakoriság eloszlását. Ezt
ábrázolva logaritmikus skálán (a függőleges tengelyen tehát a tömegek eloszlásának
logaritmusa, a vízszintesen pedig a tömegük logaritmusa található), egy hatványfüggvényt
kaptak. A függvény hatványkitevőjéből a tört-dimenzióra D=1,73 adódott.
További érdekes, fraktál kialakulására alkalmas fizikai folyamat, hogy ha egy
kondenzátor lemezei közé gázt vezetünk, majd elég nagy feszültséget kapcsolunk rá, akkor a
lemezek között elektronlavina indul meg, azaz az elektronok száma az elektromos tér hatására
a negatív fegyverzettől a pozitív felé haladva lavinaszerűen növekszik. Az egyre több
elektronütközésből álló rendszer képe, azaz trajektóriája a kondenzátor lemezei között szintén
fraktálnak tekinthető [7]. Egy szimulációban Donkó Z. és Pócsik I. elektronlavinát
szimuláltak. Meghatározták az elektronok trajektóriáját a lemezek között, majd a két lemez
közötti teret felosztották kis r oldalhosszúságú „dobozokra”. Azoknak a dobozoknak a
számát, amelyeket a trajektória érint, logaritmikus skálán ábrázolták ezen dobozok r
oldalhosszainak függvényében. Egy egyenest kaptak, melynek meredeksége a
fraktáldimenzió, modellkísérletük szerint ez D=1,37 lett [7].
6 Forrás: http://szepkepek.hu/szep-kepek-villamokrol/ (letöltés ideje: 2013. december 17.)
10
2.5. A biológia fraktáljai
Az emberi testben az érhálózatok kinézete is fraktálszerkezetet mutat. Egy adott eret
kiválasztva, majd arra ránagyítva, azt látjuk, hogy abból is jönnek ki kisebb erek ugyanúgy,
mint ahogyan az az ér is kijön egy másikból. A 7. ábra az agy érhálózatát mutatja.
Mivel a vérkeringés szállítja a sejtjeink működéséhez nélkülözhetetlen oxigént és a
tápanyagokat, valamint felelős a salakanyagok elszállításáért, ezért a vérereknek minden élő
sejt közelébe el kell jutnia. Ennek módja, hogy a szív bal kamrájából kiinduló ún. fő verőér
egyre kisebb erekre ágazik, ily módon hálózva be az egész testet.
Egy számítógépes kísérletben az emberi érrendszer kinézetét három dimenzióban
modellezte Dévényi Patrícia az ún. „L-system 4” nevű szoftverrel. A program a „szülőerek”
és a belőlük kialakuló „leányerek” sugarainak, hosszainak, valamint elágazási szögeinek
vizsgálatával modellezte az emberi érrendszer kinézetét, amely egy igen összetett fraktál-
szerkezetet mutat [8]. Ez a program egymás után sokszor ismétlődő lépésekkel képes
modellezni az érrendszer fraktálszerű, szerteágazó felépítését. A program működése a
paraméteres Lindenmayer- rendszerekre (L-systems) épül. Illusztrálható a modellel, hogy egy
„szülőér” két „leányérré” ágazik el, melyek újabb két kisebb érré tudnak elágazni, és így
tovább. Ritka az az eset, amikor kettőnél több érré ágazik el egy adott ér. Paraméterként
szerepel az ún. bifurkációs index, mely két „leányér” átmérőjének vagy sugarának az arányát
adja meg. További paraméterként kell megadni a „szülőér” és a „leányér” által bezárt
szögeket, illetve hosszaik arányát is. A program ezen hossz-arányok és szög-arányok alapján
rajzolja ki a fraktálszerkezetű érrendszert az ún. Lindenmayer-nyelvtan segítségével, amely a
rajzolás pontos menetének algoritmusát tartalmazza.
7. ábra Az agy érhálózatának képe, ami szintén fraktálszerű alakzat.
7
A természetben a falevelek erezetei, illetve maguk a fák is fraktáltulajdonságot
mutatnak az önhasonlóságukból kifolyólag [9]. Nézzünk meg egy falevelet, majd egy kis
részletére nagyítsunk rá egyre jobban! Azt látjuk, hogy a kinagyított ábrán lévő erezet hasonló
az eredeti levélen lévő erezethez, az elágazási szögük is körülbelül megegyezik. Ezt mutatja a
8. ábra.
8. ábra A levelek önhasonlóságát szemléltető ábra.
8
8 Forrás: http://www.t-es-t.hu/minden/kaosz/bio.htm (letöltés ideje: 2012. december 4.)
7 Forrás: http://www.t-es-t.hu/minden/kaosz/bio.htm (letöltés ideje: 2012. december 4.)
11
Ebből, a 8. ábrán lévő illusztrációból is látszik, hogy mennyire előjön az önhasonlóság, a
kinagyított rész mintázata hasonló az eredeti levél mintázatához. Ugyanígy van ez a fák ágai
esetében is: Ha csak egy faágat nézünk, akkor is feltűnik, hogy azt leszakítva, az abból kinövő
ágak elrendezése pont olyan, mint az egész fa ágaiból adódó szerkezet [9].
12
3. Demonstrációs kísérletek a fraktálok bemutatására
3.1. Az önhasonlóság bemutatása Mandelbrot-halmaz számítógépes szimulációja segítségével
Ebben a fejezetben a Mandelbrot-halmazzal fogok foglalkozni. Erre a célra egy, a
témavezetőm által írt halmaznézegető programot (NP) használtam. Ez a program kirajzolja a
halmazt, lehet benne nagyítani, lemenni egészen kis egységekig, illetve le lehet olvasni a
kurzor koordinátáit is. A program alapvetően 200-as iterációval rajzolja ki a komplex
számsíkon a halmazt a következő fejezetben leírt matematikai definíció felhasználásával. Az
iteráció a Mandelbrot-halmaz rajzoló programban az ismétlődő tevékenységek számát adja
meg. Természetesen az iteráció értéke növelhető a programban, ám nagyobb iteráció esetén
több ideig tart kirajzolni a halmazt.
3.1.1. A Mandelbrot-halmaz matematikai alapjai
A Mandelbrot-halmaz nem más, mint a komplex számsík azon C pontjainak a helye,
melyekre a Z0=0, Zn+1=(Zn)2+C -sorozat korlátos. Az egyenletben C a komplex számsík adott
pontjának megfelelő komplex szám (azaz a+ib, ahol „i” a komplex egységelem, „a” és „b”
pedig koordináták). Mivel komplex számsíkról beszélünk, ezért a függőleges tengelyt
képzetes (Im) tengelynek, a vízszintes tengelyt pedig valós tengelynek (Re), nevezzük. A
programban a koordináták x és y jelölést kaptak. A halmaz két fő részből áll: egy törzsből,
mely a jobb oldali része, és egy fejből, mely pedig a halmaz bal oldalán található, az origótól
kisebb, mint x=0,7552 távolságra.
A Mandelbrot-halmaz, ami teljes egészében az 1. ábrán látható, egyik fő tulajdonsága,
hogy önhasonló. Jelen esetben ez azt jelenti, hogy a nagy halmaz központi fekete része körül
rengeteg kisebb, ugyanolyan halmazfej helyezkedik el. Ezekre ránagyítva, körülöttük újabb
kis halmazfejek találhatóak. Ez így folytatódik egészen kis nagyságrendekig. Az alábbiakban
négy ilyen önhasonló részt mutatok be a rajzoló-program segítségével. Ezek egymástól az x, y
és a Δx (szélesség) koordinátákban különböznek. Ezek a koordináták a programból történtek
leolvasásra a nagyítást követően. A képeket rendre az „A”, „B”, „C” és „D” betűkkel
jelöltem, melyek egymásból következnek. A képeken a piros négyzetek jelzik, hogy annak az
adott területnek a nagyított változata lesz a következő kép. A zöld körök a halmazok fejeit
mutatják, melyeknek az önhasonlóságát vizsgáltam. Amelyik fej be van karikázva az ábrán,
ahhoz lesz hasonló a következő, 9. ábrán lévő halmazfej. A „C” kép kirajzolásakor az iteráció
1000, a „D” kép kirajzolásakor 2000 volt a jobb érzékelhetőség kedvéért.
x y Δx
-0,6102 -0,5080 +0,2658 A
-0,5460 -0,5354 +0,1329 B
-0,5142807 -0,5976968 +0,0228861 C
-0,5033562 -0,603649 +2,903998×10-3
D 1. táblázat Egymásból következő önhasonló halmazfejek
koordinátái a Mandelbrot-halmaz nézegető programban.
13
A B
C D
9. ábra Különböző méretű, egymáshoz önhasonló halmazrészek a Mandelbrot-halmazban. A piros négyszögek
azt a területet jelzik, melyet nagyítva a következő ábrán látunk. Zöld kör jelöli az egyre kisebb egymáshoz
hasonló kis fej alakú objektumokat.
A kisebb halmazok egy, az ábrákon is látható, fehér villámmintázat mentén
helyezkednek el, legtöbbször e villámalakok elágazásaiban vannak. Ezen fehér villámok
jellemzője, hogy mentükön összefüggő a fekete halmaz, tehát itt a fennt említett definíciós
számsorozat korlátos.
3.1.2. A kis-, és a nagy felbontással ábrázolt halmazok tulajdonságai közötti különbségek bemutatása
Az alábbi ábrán bal oldalt látható a kis felbontású, 200-as iterációval kirajzolt halmaz,
jobb oldalt pedig a nagy felbontással, és 800-as iterációval kirajzolt halmaz. A felbontás azt
mutatja meg, hogy egy inchen (2.54 cm) hány darab képpontot jelenít meg a program. Látszik
a 10. ábrán, hogy a halmaz körüli kisebb halmazokat nagy felbontással mennyire szebben
kirajzolja.
14
10. ábra x=-0,1336, y=-0,9825, ∆x=0,0116468 paraméterekkel jellemzett területen látható része a teljes
Mandelbrot-halmaznak két fajta kirajzolás mellett, bal panel: kis felbontás, maximális iteráció=200, futási
idő=24,4mp; jobb panel: nagy felbontás, maximális iteráció=2000, futási idő=262 mp
3.1.3. Az önhasonlóság vizsgálata
Megfigyelhető, hogy a halmaz nyaka mentén vannak kisebb halmazfejek, melyek a
nyaktól távolodva egyre nagyobbak, és teljesen hasonlóak egymáshoz. Ezt mutatja be a 11.
ábra.
11. ábra x=-1,557299, y=0,8835402, ∆x=1,226714 terület egy része, ahol egyre növekvő sugarú
halmazfejek láthatóak a nyaktól távolodva.
A kurzorral a kis fejek bal szélére és jobb szélére kattintva leolvasható a kis fejek átmérője.
A kisebb halmazfejek sugarait r-el jelöltem. A 2. táblázatban az így kapott origók koordinátáit
és a sugarakat mutatom be, valamint a kis fejek középpontjainak szögét a komplex sík
origójához képest.
x y Átmérő Szög (o) r×1000
-0,509 0,564 0,0815 48,0 40,8
-0,627 0,427 0,0408 34,3 20,4
-0,673 0,339 0,0270 26,7 13,5
-0,698 0,280 0,0181 21,8 9,0
-0,713 0,239 0,0129 18,5 6,4 2. táblázat A halmaz nyakánál lévő kis fejek méreteit bemutató táblázat.
Az alábbi, 12. ábrán a nyak körüli halmazfejek sugarainak ezerszeresei láthatóak az origótól
mért szögek függvényében. Az sugarak ezerszeres ábrázolása az ábrázolás átláthatósága miatt
volt szükséges.
15
y = 6,9735x0,5215
R2 = 0,9988
0
10
20
30
40
50
60
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0
Sugarak ezerszerese
Ori
gó
tól
mért
szö
ge
k
12. ábra A kis halmazfejek irányának origóhoz képest mért szögei a halmazfejek sugarainak függvényében
hatványfüggvényt mutat.
Az 1. ábrán látható teljes Mandelbrot-halmazon, és a rajzoló program által kirajzolt
halmazon is előforduló kisebb teljesen hasonló alakzatokban is észrevehető, hogy a halmaz
feje és a teste között van egy majdnem összeérő „szoros” kinézetű rész. Kérdés, hogy ez csak
a képek kirajzolásának pontatlansága miatt nem ér össze, vagy valóban a két végpont közötti
fesztávolság egyre pontosabb kirajzoláskor egy véges, nem nulla értékhez tart. Ezt illusztrálja
nagy felbontás mellett az alábbi három ábra az x=-0,3323263, y=0,75, és ∆x=0,4108762
koordinátákkal leírt területen. Az iterációk rendre: 200, 1600 és 2000.
13. ábra Egyre csökkenő fesztávolságok a maximális iteráció növelése esetén egy adott koordinátákkal jellemzett
területen. A maximális iteráció 200, 1600, 2000 rendre a bal paneltől jobb felé haladva.
Azt, hogy a fesztávolság nagysága a maximális iteráció növekedésével kis mértékben ugyan,
de csökken, szintén a koordináták leolvasásával mutatom be. Az x koordináták különbségét
mutatja az alábbi táblázat az iterációk függvényében. Ezeket úgy kaphatjuk meg, hogy az
érintkezési vonal (fesztávolság) egyik végének x koordinátájából kivonjuk a másik végének x
koordinátáját. A fesztávolság a koordináták különbsége lesz tehát. Ezeket az különbségeket,
és az iterációk értékét mutatja a 3. táblázat.
16
Iteráció Fesztávolság
200 0,0211
400 0,00997
600 0,0101
800 0,0169
1000 0,0089
1200 0,0109
1400 0,0073
1600 0,0047
1800 0,0058
2000 0,0065 3. táblázat Az összeszűkülő nyak fesztávolságának
adatai a maximális iterációk függvényében.
Az alábbi, 14. ábrán a fesztávolságok maximális iteráció-függése látható grafikusan is
bemutatva.
y = 0,2965x-0,5095
R2 = 0,6465
y = 0,0183e-0,0006x
R2 = 0,6577
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0 500 1000 1500 2000 2500
14. ábra A fesztávolságok a maximális iteráció függvényében csökkenő tendenciát mutatnak. Ezt
hatványfüggvénnyel és exponenciális függvénnyel is illusztráltam.
3.1.4. Összegzés
A diákok is tudják majd használni ezt a programot: saját felfedezéseket tehetnek a
halmazt illetően, különböző összefüggésekre bukkanhatnak a segítségével, vizsgálni tudják az
önhasonlóságot. A fenti három kérdésfelvetés egy-egy példa arra, hogy az önhasonlóságot
hogyan lehet számszerűen megvizsgálni, de ezektől eltérő feladatokat is elvégezhetnek. Akár
a fent leírt kísérleteket is elvégezhetik, de elég, ha véletlenszerűen ránagyítanak egy adott
részre, és vizsgálgatják, találhatnak valami különlegeset abban az adott tartományban,
akárcsak egy kisebb halmazt, amit az eredeti nagyítás nélküli módban nem látni, vagy egy
villámalakot, aminek furcsa alakja lévén elgondolkodik az ember, hogy vajon mért pont
abban az irányban vannak rajta a kisebb, és rajtuk a még kisebb halmazok! Mi történne, ha az
iteráció végtelen lenne? Hasonló kérdéseken lehet elgondolkodtatni egy-egy diákot, aki a
halmazról készült saját készítésű képei segítségével így játékosan ismerheti meg ezt a
halmazt, s vele együtt a komplex számsíkot.
17
3.2. Papírgalacsinok fraktál-dimenziójának meghatározása
3.2.1. A demonstrációs kísérlet bemutatása
Ebben a fejezetben be szeretném látni, hogy különböző tömegű, adott anyagi
minőségű papírokat kis gömbökké, galacsinokká gyúrva, ezen gömbök sugarait és a papírok
tömegeit megmérve, az adatok természetes alapú logaritmusai között egyenes arányosság áll
fent. Ez, ha tényleg fennáll, teljesen analóg a bevezető részben bemutatott tulajdonsággal,
amivel a fizikában előforduló fraktálok is rendelkeznek. Az egyenes meredekségéből az
analógia alapján a kis galacsinok tört-dimenziója megadható [10]. Egy kis galacsin
beágyazási dimenziója 3. A fraktálra vezető fizikai folyamat jelen esetben a galacsin
meggyúrásának folyamata, ekkor egy adott minőségű papírból készült papírgalacsin-
sorozatnak lesz tört-dimenziója.
Általában véve tudjuk, hogy egy térbeli alakzat térfogata arányos annak valamilyen
lineáris méretének (l) egy adott hatványával (például a gömb térfogata a sugár harmadik
hatványával). Mivel tudjuk azt is, hogy a tömeg pedig -adott sűrűségű anyag esetén- a
térfogattal arányos, ezért adódik, hogy a térfogat mellett a tömeg is ugyanúgy arányos ezen
lineáris méret azonos hatványával. Jelöljük a lineáris kiterjedést l-el, valamint jelölje M a
tömeget. Ekkor a korábbi fejezetekben leírtak, és a feltevésünk alapján, miszerint a
papírgalacsin gyúrása egy fraktálra vezető folyamat: M~lD. Az egyre nagyobb galacsinok
egyre jobban kitöltik a teret a galacsin mélyén, ezért a galacsingyúrás geometriailag egészen
más, mint egy meggyúrt hógolyó (ahol a teret minden sugarú golyóban ugyanúgy, és teljesen
kitölti az anyag), a D nem feltétlen lesz hárommal egyenlő. A galacsinok dimenziójának
vizsgálatához vegyük az M~lD összefüggés minkét oldalának természetes alapú logaritmusát.
Ekkor a következő egyenlethez jutunk: lnM=Dlnl. A D dimenzió tehát ezen logaritmus-
logaritmus ábra meredekségéből számolható ebben az esetben is.
3.2.2. Papírgalacsin-dimenziók
A lineáris méret ebben a kísérletben legyen a kis papírgömbök sugara. Az általam
használt különböző tömegű papírdarabok analitikai mérleggel (Precisa 205A SuperBal-Series,
egyedi szám: 00120) mért tömegeit és a tolómérővel mért sugarakat tartalmazzák a
táblázatok. Az átmérőket háromszor mértem meg a pontosabb mérés érdekében, ezek
átlagának fele a sugár értéke. Ötféle színű papírt használtam a kísérlet során a jó
megkülönböztethetőség céljából. Azért, hogy belássam, hogy a galacsin összegyúrása nem
függ a kísérletet végző személytől, illetve az ő gyúrási módjától, az öt féle papírból három
félét más-más hallgatók gyúrtak össze. A nagy A4-es papírt félbe vágjuk, majd a felet is félbe,
a kis negyedet ismét félbe és így tovább, egészen ameddig tudjuk. A tömegek logaritmusait a
sugarak logaritmusainak függvényében a Grapher nevű programmal ábrázolva mindegyik
papírfélére kapunk egy-egy egyenest, melynek meredeksége megadja a tört-dimenziót. Az
egyenestől való kis eltérések oka egyrészről mérési hibának tudhatóak be: a tolómérő
használata lehetett pontatlan. Másrészről a gyúrás statisztikus ingadozásának is nagy szerepe
van benne. Az alábbi, 15. ábrán a kísérletben összegyűrt papírgalacsinok láthatóak szín, és
növekvő méret szerint.
18
15. ábra A kísérletben használt összegyűrt galacsinok sorba rendezve.
Az öt mérés közül csak a sárga színű papír esetében mutatom be az adatokat tartalmazó
táblázatot, és az azokból illesztett egyenest, a többi négy mérés részletei a mellékletben
találhatóak.
A sárga színű papír esetén mért adatok:
4.táblázat A sárga papírból készült galacsinok adatai.
A dimenziók értékeit a különböző papírok esetén az alábbi, 5. táblázat tartalmazza.
Tömeg
(g)
Tömeg
logaritmusa
1.
átmérő
(cm)
2.
átmérő
(cm)
3.
átmérő
(cm)
Átmérők
átlaga
(cm)
Sugár
(cm)
Sugár
logaritmusa
2,5205 0,9245 2,65 2,62 2,65 2,64 1,32 0,28
1,2324 0,2090 1,55 1,53 1,55 1,54 0,77 -0,26
0,6425 -0,4424 1,98 2,05 2,00 2,01 1,01 0,00
0,3222 -1,1326 0,71 0,70 0,66 0,69 0,35 -1,06
0,1677 -1,7856 0,72 0,66 0,66 0,68 0,34 -1,08
0,0831 -2,4877 0,40 0,42 0,40 0,41 0,20 -1,59
0,0393 -3,2365 0,31 0,30 0,30 0,30 0,15 -1,89
0,0207 -3,8776 0,28 0,26 0,31 0,28 0,14 -1,95
0,0104 -4,5659 0,26 0,20 0,21 0,22 0,11 -2,19
0,0068 -4,9908 0,10 0,10 0,11 0,10 0,05 -2,96
-2.67 -2.33 -1.67 -1.33 -0.67 -0.33 0.33 0.67
-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00
Sugár logaritmusa
-5.33
-4.67
-3.33
-2.67
-1.33
-0.67
0.67
1.33
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
Töm
eg lo
garit
mus
a
Y = 1.90119 * X + 0.27841
19
sárga narancssárga lila kék zöld
D 1.9±0.28 1.442±0.23 2.1±0.06 1.719±0.575 1.669±0.065 5. táblázat A különböző színű papírokból készült galacsinok tört-dimenziók értékei. A színek nem jelentenek
különbséget a papír anyagában, de más ember gyúrta őket.
3.2.3. A kísérlet órai feldolgozása, feladatlap
A papírgömbök dimenziójának meghatározására egy középiskolai órán is lehetőség
van, hiszen nem jár sok anyagbefektetéssel. A kísérlethez felhasznált eszközök: papírdarabok,
tolómérő és mérleg. Az alábbiakban egy tíz pontból álló vázlatot mutatok be, melyet
felhasználva a diákok is el tudják végezni a kísérletet.
1. Vegyünk egy tetszőleges papírdarabot, majd vágjuk szét különböző nagyságú részekre!
Először félbe, majd negyedbe, nyolcadba, tizenhatodba, akár még harminckettedbe is.
2. Gyúrjuk össze ezeket olyan erővel, amilyennel csak tudjuk!
3. Mérjük meg a kapott gömbök átmérőjét legalább három különböző helyzetben a
tolómérővel, majd a kapott adatokat átlagoljuk! Ezen átlagnak vegyük a felét, ez lesz a sugár.
4. Mérjük meg a papírok tömegét egy analitikai mérleg segítségével!
5. Vegyük minden galacsin esetén a sugarak és a tömegek természetes alapú logaritmusait!
6. A 3-as, 4-es, és 5-ös pontban kapott adatokat (tömegek, tömegek logaritmusa, átmérők,
átmérők átlaga, sugarak, sugarak logaritmusa) írjuk be egy üres táblázatba!
A sorok száma természetesen az azonos papírból készült galacsinok számával arányosan
növelhető.
Tömeg
(g)
Tömeg
logaritmusa
1.
átmérő
(cm)
2.
átmérő
(cm)
3.
átmérő
(cm)
Átmérők
átlaga
(cm)
Sugár
(cm)
Sugár
logaritmusa
6. táblázat A kitöltendő táblázat diákoknak a galacsinos méréshez.
7. Ábrázoljuk a kapott adatokat tetszőleges programmal, vagy kézzel milliméterpapíron!
8. Becsüljük meg a sugár mérésének és a tömeg meghatározásának hibáit!
9. Mit tudhatunk meg a kapott egyenes meredekségéből? Mit jelent a kapott szám?
10. Becsüljük meg, mekkora lenne a dimenzió, ha egy alufólia darabkát gyűrnénk össze?
Miért?
20
3.3. Tojáshéj robbanásakor kialakuló repedések fraktálszerkezetének bemutatása
3.3.1. A kísérlethez használt eszközök, anyagok
1. Preparált tojás: édesanyám segítségével kifújtam belőle a belsejét most csak a tojás héjára
van szükség. Egy ilyen tojást mutat a 16. ábra. Vízzel alaposan kiöblítettem, mikrohullámú
sütőben kiszárítottam, ezáltal könnyebben törik majd szét.
16. ábra A kísérletre kész kifújt tojás, a jobbról jövő vezeték a gyújtószerkezet része.
2. Durranógáz: oxigén és hidrogén 2:1 arányú gázkeveréke, mely szikra hatására robban. A
két gáz megfelelő arányú keverékét lufik segítségével juttatjuk a tojásba, ezt a lufis megoldást
mutatja a 17. ábra, melyet Vass Gábor Tanár Úr ötlete alapján valósítottam meg. Az egyik
felső sárga lufi oxigént, a másik hidrogént, a különálló alsó fehér pedig szintén hidrogént
tartalmaz. Ez az elrendezés biztosítja a megfelelő arányokban történő kiáramlását a
gázkeveréknek.
17. ábra A durranógáz bekeverésére és szállítására szolgáló eszköz.
21
3. Gyújtószerkezet: gáztűzhelyeknél használt piezoelektromos szikráztató. A szikráztató vége
meg van hosszabbítva egy vezetékkel, így biztonságosan be lehet vezetni a tojásba, melyet a
18. ábra szemléltet. Az eszköz fém végéhez, ahol szikrázna, egy vezeték egyik drótját
rögzítjük (jelen esetben cellux ragasztóval), a másik drótot pedig a műanyaghoz rögzítjük
hozzá. Ezek után a két drót egymás mellett fut a szigetelő burkolatban. A vezeték másik
végén újra szétválasztjuk őket úgy, hogy csak kis távolság legyen közöttük, de ne érjenek
össze. Ezen a kis távolságon, a két drót között fog megjelenni a szikra a gomb
megnyomásakor.
18. ábra A piezoelektromos szikráztató meghosszabbított vezetékkel.
4. Gyurma: Ezzel rögzítjük a tojásban a szikráztató végét, illetve ezzel tömjük be a másik
szabadon maradt lyukat is a gáz beáramoltatása után.
5. Védőzsák: ebben végezzük a kísérletet, akkora legyen, hogy a tojás beleférjen, és
kényelmesen le is lehessen zárni, én erre a célra egy átlátszó sütőzsákot használtam.
6. Négy tizedes jegy gramm pontosságú mérleg, a konyhai mérleg nem elegendően pontos a
kisebb repeszdarabok tömegének pontos meghatározására.
3.3.2. A kísérlet előkészítése, biztonságos kivitelezése
A kísérlet elvégzéshez egy preparált tojást kell előkészítenünk, azaz egy olyan tojást,
melynek a két végén két fúrt lyuk van, és ezeken keresztül a sárgája és fehérje kifújható. Így
csak a tojás héja marad meg a kísérlethez. Az egyik lyukat gyurmával betömködjük, majd a
másikon keresztül durranógázt vezetünk a tojás belsejébe. A durranógázt a laboratóriumban
könnyedén előállíthatjuk, hiszen nem más, mint oxigén és hidrogén 2:1 arányú gázkeveréke,
mely szikra hatására robban, s víz keletkezik belőle nagy energia felszabadulással. Ez a nagy
energia felszabadulás okozza majd a robbanást a tojás belsejében. Jelen esetben mindkét gázt
palackból nyertük ki, majd luftballonok segítségével egy injekciós tűn át a megfelelő
arányban engedtük be a tojásba. Ezt követően a másik lyukat is betömjük gyurmával, s ezen a
gyurmán keresztül bevezetjük a szikráztató vezetékét. Az egészet egy átlátszó zsákba tesszük,
azért hogy a robbanás után a darabok ne szóródjanak szét, hanem egy zárt helyen maradjanak,
a könnyebb megtalálhatóság és megszámolhatóság érdekében. Ezen felül érdemes az egészet
szabadtéren csinálni. A kísérlet előkészítése után a szikráztatóval felrobbantjuk a tojást,
melynek következtében a repeszek (héj darabok) a zsákban szabadon szétszóródnak.
Megszámoljuk a kis tojáshéjdarabkákat, majd a tömegüket lemérjük egyesével egy mérlegen
(erre a célra is a 3.2.2.-es fejezetben említett négy tizedes jegy gramm pontosságú analitikai
22
mérleget használtam). Ezeket az adatokat egy táblázatba foglaljuk, majd vesszük a
logaritmusaikat. Az adatokra végül majd kumulatív eloszlás függvényt kell illesztenünk,
ennek kell hatványfüggvénynek lennie a 2.4. pontban leírtak szerint.
A kumulatív eloszlás függvény azt adja meg, hogy a mért tömeg adatok hány
százaléka kisebb, vagy éppen egyenlő egy adott tömeg értékkel. Az eloszláshoz fel kell
vennünk a táblázatba a tojáshéj darabok sorszámát növekvő sorrendben, illetve ezen
sorszámok összes darabszámmal leosztott értékét. A kumulatív eloszlásfüggvény nem lesz
mást, mint ez a hányados a tömegek függvényében ábrázolva. A kumulatív
eloszlásfüggvényre hatványfüggvényt illesztve, megkapható a tört-dimenziója a robbanáskor
kialakult repedéshálózatnak [11], hiszen ez nem más, mint az illesztett függvény hatványából
egyet kivont számnak a mínusz egyszerese. Az eloszlás logaritmusát a tömegek
logaritmusának függvényében ábrázolva, egy egyenest kapunk, mely jól mutatja majd a már
említett két nagyságrenden keresztüli linearitást.
3.3.3. A saját robbantásaim kísérleti eredményei
Három mérést végeztem el, ezek közül egyet itt bemutatok, a többi mérés adatait és az
illesztéseket a mellékletben lehet megtalálni. Az általam mért és számolt adatokat mutatja a
következő táblázat.
Tojáshéj
darabok
sorszáma
A sorszám és az
összes
darabszám
hányadosa
Az előző oszlop
értékeinek
logaritmusa
A repeszek
tömege (g)
A tömegek
logaritmusa
1 0,031 -1,518 0,0002 -3,6989
2 0,061 -1,217 0,0003 -3,5228
3 0,091 -1,0414 0,0013 -2,886
4 0,121 -0,9164 0,0027 -2,56863
5 0,151 -0,8195 0,0085 -2,07
6 0,181 -0,7403 0,0121 -1,9172
7 0,212 -0,6734 0,0237 -1,6253
8 0,242 -0,6154 0,026 -1,585
9 0,273 -0,5642 0,0266 -1,5751
10 0,303 -0,5185 0,0303 -1,5185
11 0,33 -0,477 0,0306 -1,5142
12 0,363 -0,4393 0,0378 -1,4225
13 0,393 -0,40458 0,0400 -1,3979
14 0,424 -0,37238 0,0491 -1,3089
15 0,454 -0,3424 0,0702 -1,1536
16 0,484 -0,3143 0,0731 -1,136
17 0,515 -0,288 0,0767 -1,1152
18 0,545 -0,2632 0,0778 -1,109
19 0,575 -0,2397 0,0865 -1,0629
20 0,606 -0,2174 0,0889 -1,0512
21 0,636 -0,1962 0,1396 -0,8551
23
22 0,67 -0,176 0,1558 -0,8074
23 0,696 -0,1567 0,1901 -0,7217
24 0,727 -0,1383 0,1914 -0,718
25 0,757 -0,1205 0,2096 -0,6786
26 0,787 -0,1035 0,2431 -0,6142
27 0,818 -0,0871 0,2552 -0,5931
28 0,848 -0,0713 0,2639 -0,5785
29 0,878 -0,0561 0,2791 -0,5542
30 0,909 -0,0413 0,4213 -0,3754
31 0,939 -0,0271 0,4575 -0,3396
32 0,969 -0,0134 0,4608 -0,3364
33 1 0 1,1276 0,0521 7. táblázat Az első tojáshéj felrobbantásakor keletkezett repeszek általam mért és számolt adatai.
A kumulatív eloszlásra illesztett hatványfüggvényt, melyet az Excel nevű programmal
ábrázoltam, az alábbi, 19. ábra mutatja.
19. ábra A tojáshéj darabok tömegeinek kumulatív eloszlásfüggvénye.
A tömegek E(m) kumulatív-eloszlásfüggvényét konstansm1-
-val közelítjük, egy
leegyszerűsített formában. A pontosabb leírás Kun Ferenc munkájában található [11]. Innen
az gyakoriságfüggvény kitevője esetemben =-(0,42-1)=0,58-nak adódik az első mérésre.
24
y = 0,745x + 0,4381
y = 0,4202x + 0,1403
y = 0,4664x + 0,2433
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
-4,5 -3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5
log(m/1g)
Ku
mu
latí
v e
los
zlá
sfü
gg
vé
ny
lo
ga
ritm
us
a
3. Robbantás
1. Robbantás
2. Robbantás
20. ábra Az összes robbantás eredményei egy grafikonon ábrázolva.
-3.50 -2.50 -1.50 -0.50 0.50
-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00
Tömegek logaritmusa
-1.40
-1.00
-0.60
-0.20
-1.60
-1.20
-0.80
-0.40
0.00
Kum
ula
tív e
loszlá
s lo
ga
ritm
usa
Y = 0.420242 * X + 0.140274
21. ábra A 19. ábra adatai log-log skálán, amely mutatja a három nagyságrenden keresztüli linearitást.
Ez a fenti 21. ábra jól mutatja a linearitást, illetve a mérési eredmények körülbelüli
illeszkedését az egyeneshez.
A dimenzió tört mivoltából és a hatványfüggvényből adódóan kijelenthető, hogy
valóban fraktál keletkezett a tojáshéj robbanásakor.
25
3.3.4. A kísérlet órai feldolgozása, munkafüzet
Kellő elővigyázatossággal, a biztonságos kísérletezés szabályait betartva elvégezhető a
diákokkal is ez a kísérlet. Összeállhatnak többen is a gyerekek, kis csoportokban
dolgozhatnak, van, aki számolja a darabokat, van, aki méri a tömegüket, harmadik társuk
pedig számológéppel számolhatja is egyből a logaritmusokat. Később mindannyian
illeszthetnek maguk kézzel egyenest milliméterpapíron, s így kiderülhet, kinek mennyi jön ki,
melyik tanuló mennyire pontosan ábrázolta a kapott illetve számolt adatokat.
A robbantást természetesen szigorúan tanári, vagy felnőtt felügyelet mellett kéne
kivitelezni az udvaron, vagy más szabad téren.
Az alábbiakban egy rövid feladatlapot, 10 pontból álló segítő vázlatot mutatnék be,
melynek segítségével a gyerekek is könnyebben boldogulhatnak a tört dimenzió
meghatározásával.
1. A durranógáz beszerzése, előkésítése: ehhez a tanár segítségét kellene kérniük a
tanulóknak.
2. A tojás előkészítése, kifújása, átöblítése, majd megszárítása
3. A gáz tojáshéjba történő bevezetése injekciós tű segítségével
4. A két lyukat tömjék be gyurmával, majd az egyiken vezessék be a szikráztató eszközt,
végül az egészet helyezzék egy zsákba
5. A robbantás pillanata
6. A robbantás után számoljuk össze a repeszeket, mérjük meg a tömegüket egyesével
7. Jegyezzük fel az adatokat: Erre a célra egy előre legyártott üres táblázat adhat
segítséget nekik a számoláshoz.
Tojáshéj darabok
sorszáma
A sorszám és az
összes darabszám
hányadosa
Az előző
oszlop
értékeinek
logaritmusa
A repeszek
tömege
(g)
A tömegek
logaritmusa
1
2
3
4 8. táblázat A kitöltendő táblázat a tojáshéj-robbantásos kísérlet órai feldolgozásához.
A tömegeket növekvő sorrendben kell beírni egy Excel táblázatba, majd a program
segítségével ki kell tölteni a többi oszlopot is, ehhez persze tanári segítség kérhető.
8. A hányados (valószínűséget) a tömegek függvényében ábrázolva megkapjuk a
kumulatív eloszlás függvényt, melyre egy hatványfüggvényt kell majd illeszteni a
program segítségével.
26
9. A hatványfüggvény kitevőjéből kaphatjuk meg a keresett dimenziót.
10. Foglaljuk össze a mérést, mit történt, mit vártunk, és mi jött ki a végén!
A számítógépes ábrázoláshoz tanári segítség kérhető/adható, ez akár számítástechnika
órán is egy feladat lehet, mivel ha mégsem menne, akkor ott még tudják ez által gyakorolni.
27
4. A Matematikai Múzeum demonstrációs eszközeinek bemutatása
Az ELTE Természettudományi Karának Matematikai Múzeumának (ami része a TTK
Természetrajzi Múzeumának, igazgató: Dr. Weiszburg Tamás) jelenleg a Lágymányosi
Campus északi épületének első emeletén, a galérián van kialakítva egy helység. A
Múzeumban számos matematikai szemléltető tárgy található, amit Holló-Szabó Ferenc és
Kabai Sándor készítettek vagy gyűjtöttek. Személyesen is ellátogattam a Múzeumba
megismerkedtem az ott fellelhető, matematikát szemléltető eszközökkel, beszélgettem a
múzeum képviselőivel. Fő céljuk a matematika tanításának színesítése, érdekessé és
könnyebben megjegyezhetővé tétele, illetve a matematika egyes témakörei fontosságának
hangsúlyozása. Rengeteg eszköz található a teremben, jó részüket lelkes hallgatók készítették
különféle gyakorlatok, speciális előadások alkalmából a Múzeum vezetőinek irányításával. A
Múzeumban első sorban térbeli modellek, logikai játékok, színes magyarázó ábrák
találhatóak. Ezen eszközök használata során a tanításkor a vizuális információt lehet előtérbe
helyezni. Ezek közül a színes ábrák, illetve képek, modellek közül természetesen a fraktálok
témaköre sem maradt ki. Nagyon sok a fraktál, vagy fraktálra hasonlító, azzá alakítható
szemléltető eszköz is, ezért szakdolgozatom természetes módon kapcsolódik a Múzeum
anyagához. Ezen kívül CD-k, videó kazetták, könyvek lelhetőek fel, melyek a fraktálokról
szólnak.
A fraktálok tanítása során felhasználható demonstrációs eszközök a következők:
1. Sierpinszki-háromszög.
Az egyik szemléltető érdekes tárgy egy térbeli poliéder, melynek oldalai Sierpinszki-
háromszöget tartalmaznak mindenféle színben. Ezt egy általam készített fényképen mutatja a
22. ábra. A poliéderen jól szemléltethető az egyre kisebb háromszögek konstrukciója.
22. ábra Sierpinszki-háromszögekből 23. ábra Menger-szivacs inverze habszivacsból
felépülő térelem
2. Menger-szivacs (néha Sierpinszki-szivacsként is emlegetik).
Ez egy olyan háromdimenziós fraktálra vezető konstrukció, amelyet úgy kapunk, hogy egy
kockát az élei harmadolásával 27 kisebb kockára osztunk, és elhagyjuk közülük azt a hetet,
amelyik nem tartalmazza az eredeti kocka egyetlen élét sem, majd ezt az eljárást sokszor
megismételjük a megmaradt kockákra. Nevét Karl Menger osztrák matematikusról kapta.
28
A Múzeumban elkészítették a Menger-szivacsra vezető konstrukció második lépésének
eredményét, annak is az inverzét. Ennek a fényképe a 23. ábrán látható.
Ezeknek a térbeli elemeknek a megértéséhez semmilyen különösebb előtudás nem
szükséges véleményem szerint, a térelemek neveit kell tudni maximum, hány éle, lapja van
egy adott térbeli alakzatnak, stb. Főleg a vizualizáció a fontos, a színek, a formák. Némi
képzelőerő persze elengedhetetlen.
3. Múzeumi képek.
A galérián lévő falon hatalmas fehér alapon narancssárga Cantor-halmazok vezetik be az
érdeklődő hallgatókat a fraktálok világába, illetve nagyon sokféle színben van Mandelbrot-
halmaz is kirakva ezekre a falakra.
Még egy érdekes kép van, mely jó szemléltető eszköze lehet a szép színes
fraktálgeometriai objektumoknak. Ezen rengeteg egymásra, illetve egymás mellé (valamilyen
szabály szerint) rakott ikozaéder található, melyek egymás oldaliból illetve csúcsaiból „nőnek
ki”. Nagyon sok ilyen ikozaédert összerakva alakul ki a 24. ábra képe.
24. ábra Egy ikozaéderekből kiinduló fraktál 25. ábra Egy ötszögekből kiinduló fraktál
Vegyünk most egy nagy ötszöget, melynek minden csúcsába tegyünk egy-egy kisebb
ötszöget, és a középen kialakuló ötszöget is tekintsük hatodik ötszögként. Ezt sokszor
megismételve minden irányban a 25. ábrán látható kép alakul ki, ez szintén megtalálható a
múzeumban.
A diákokkal tehát sokféle objektumot el lehet kezdeni modellezni, s egy szabályt
követve, egy adott műveletet sokszor végig lehet hajtani. Ezekhez a feladatokhoz semmilyen
különösebb matematikai tudás nem szükséges, elegendő a dolgok szépségét megragadnia a
tanulóknak.
A Matematikai Múzeumba pedig egy kötetlen iskolai program keretében, vagy akár
egy szakkör részeként is el lehet vinni az érdeklődőbb diákokat.
29
5. A fraktálok tanítása a középiskolában A dolgozat elején a bevezetőben már leírtam néhány gondolatot a fraktálok
tanításának lehetőségeiről. Ez a fejezet ezeknek a gondolatoknak, lehetőségeknek a
kifejtéséről szól.
A Mandelbrot-halmaz rajzoló program bemutatása:
Matematika óra, 12. évfolyan, komplex-számok témakör
Egy-egy számítógépes kísérlet Mandelbrot-halmazzal is érdekes feladat a tanulók számára.
Ezt a programot bármikor bármelyik érdeklődő diáknak ki tudnom majd adni, illetve el tudom
küldeni. Nagyon egyszerű kezelni, így tényleg energia befektetés nélkül egyből a halmaz
nézegetése tanítható. Kereshetnek érdekes dolgokat, megfigyelni, mi történik, ha
nagyítunk/kicsinyítünk, vagy csak kicsit arrébb megyünk a rendszerünkben. A szakkörön
feldolgozható feladatlapokat a korábbi fejezetekben már bemutattam.
Papírgalacsin gyúrás kísérlete:
Fizika szakkör, 12. évfolyam, anyagszerkezet, porózus anyagok témakör.
A papírgömbök hajtogatása különböző színű papírokból szakkörön elvégezhető, vagy
otthonra is feladható házi feladatnak, gyakorolni tudják vele a tolómérő használatát, a
hétköznapi eszközökkel való gyakorlati tapasztalat megszerzését. Ezen felül az átlagszámolás,
a logaritmus gyakorlása is a javukra válhat, és a matematika órán elsajátított anyag fizika órán
történő felhasználása segíti az egységes természettudományos gondolkodás kialakulását.
Tojáshéj-robbantás kísérlete:
Kémia óra, 12. évfolyam, durranógáz témakör, vagy
Fizika óra, 12. évfolyam, anyagszerkezet, porózus anyagok témakör.
A durranógáz tananyag a középiskolában, így akár ott is be lehet mutatni a tojáshéjrobbantós
kísérletet, hiszen így demonstrálható a hidrogén és oxigén megfelelő arányú keverékének
esetleges pusztító ereje.
A dolgozatban nem bemutatott önhasonló alakzatok:
Kémia óra, 12. évfolyam, viszkozitás témakör.
Kémia órán lehet elvégezni azt a bemutatót, amelyben két üveglap közé mézet csurgatunk,
majd a lapokat nagy erővel egymásra tesszük, de a felső lapon egy kis lyukon keresztül vizet
csepegtetünk be a mézbe. Ekkor a víz önhasonló alakzatokat felvéve fog terjedni a mézben,
fraktálgeometriai objektumot hozva ezzel létre. A kísérlet neve: viszkózus ujjasodás [12, 13].
Ezzel a bemutatóval a viszkózus folyadékok témakörét is be lehet vezetni, melynek tipikus
hétköznapi példája a méz.
30
Egyéb a dolgozatban bemutatott fraktálok tanítása:
Matematika szakkör.
Említettem már a matematika órán a geometria részeknél történő bemutatást. Talán itt lenne a
legcélszerűbb megismerkedni a témával, hiszen a fraktálok geometriai alakzatok, csak nem a
hagyományos Euklideszi-ek, mint amiket a diákok tanulnak ezeken az órákon. Emiatt
szerintem egyfajta kiegészítésként lehet tálalni.
Az alábbiakban három példát mutatok be, melyekkel ellenőrizhető a fraktálokról kapott
tudás helyes értelmezése. Az első feladat a dimenziók számolására kérdez rá, a második a
területszámolásról szól, a harmadik pedig a végtelen lépés fogalmának megértését ellenőrzi.
1. Mekkora a tört-dimenziója annak a fraktálnak, melynek első két lépése (iterációja)
az alábbi ábrán látható?
a) ln3/ln5
b) ln3/ln6 c) ln5/ln3 d) ln6/ln3
2. Vegyük a Sierpinszki-szőnyeg előállításának első lépését az alábbi ábra szerint!
Mekkora lesz az objektum területe, ha oldaléle a=2 cm?
a) 2 cm
2
b) 4 cm2
c) 32/9 cm2
d) 0 cm2
3. Mekkora a területe végtelen sok lépés után (ideális esetben) előállított Sierpinszki-
szőnyegnek, ha a oldaléle 2 cm?
a) 2 cm
2
b) 4 cm2
c) 32/9 cm2
d) 0 cm2
31
Az alábbi kép jól mutatja az elképzeléseimet, a fraktálok tanításával kapcsolatban. A
képen az látható, ahogyan a gyerekek ismerkednek a Sierpinszki-háromszöggel, egy színes,
kivágós játék keretein belül.
1. kép: Egy szakköri játéklehetőség fraktállal.
9
Szintén matematika órán feladható házi feladatnak, hogy a diákok saját maguk
készítsenek el egy fraktált megadott N és egy ε értékek alapján és ezt rajz, vagy modell
segítségével mutassák is be. Ehhez a feladathoz a fent említett példák és ábrák a rendelkezésre
állnak, a feladat csupán annyi, hogy azokat szem előtt tartva valamilyen objektumon
valamilyen műveletet végezzenek el a megadott értékek figyelembevételével. Ugyanez a
feladatat feladható úgy is, hogy a tört-dimenziót adjuk meg, ez egy fokkal nehezebb, ehhez
már vissza is kell számolni N és ε értékét.
Rajz szakkör, 12. évfolyam:
Fraktálszerű mintázatok a művészetekben is előszeretettel fordulnak elő. Az alábbi képen egy
Sierpinszki-háromszög látható, mely Laurent Emőke textilművész alkotása. Czirók Adrienn
fényképezte le, és adott engedélyt a dolgozatomban való bemutatására, melyet ezúton is
köszönök neki.
2. kép: Egy dupla Sierpinszki-háromszög műalkotás formájában. 10
9 Forrás: http://mremenysmathsblog.blogspot.hu/2011/12/all-sierpinski-triangle-fun.html
(letöltés ideje: 2013. december 20.) 10
Laurent Emőke textilművész alkotása
32
Ennek az alkotásnak a bemutatására néhány kérdés fogalmazható meg a diákok számára.
Elsőként például feltehető a kérdés:
1. Hol hiányzik belőle néhány részlete?
2. Hány iteráció látható a képen, azaz hány lépésben jutott el a készítője eddig a
mintázatig?
3. A jobb, illetve a bal oldali háromszögben milyen színűek a háromszögek, melyek a
Sierpinszki-háromszöget képezik?
33
6. Összefoglalás
A dolgozatom során elvégeztem néhány önálló kisérletet. a) meghatároztam
papírgalacsinok gyúrása során a papír összegyűrődése folyamatának tört-dimenzióját, b)
felrobbantottam 4 tojáshéjat, melynek törésekor kialakuló repedéshálózat fraktál szerkezete
miatt a repeszdarabok tömegeloszlása hatványfüggvény lesz.
Bemutattam a Mandelbrot-halmaz néhány önhasonlóságra utaló tulajdonságát.
Ezen kívül bemutattam néhány olyan fraktált, melyet szépnek és érdekesnek találok:
A különféle matematikai halmazok: a Koch-görbe, Cantor-halmaz, és Sierpinszki-szűrő. A
természetben előforduló fraktálok közül ide tartozik az érrendszer kinézete, a tüdő képe, a
levelek, fák alakzata. Fizikai fraktálok közé soroltam például a törést, villámlást, molekuláris
ködöket.
Bemutattam, miként lehetne használni iskolai keretek között a fraktálok témakörét,
tanítani, vagy szakkörön beszélni róla az érdeklődőbb tanulóknak. A tojáshéj törésekor
bevezetést kaptunk a repedések/törések témakörébe, melyben az alapfogalmakat tisztáztam,
bővebben a témáról az említett és forrásként megjelölt dolgozatban lehet olvasni.
Igyekeztem személyes motiváltságomat is éreztetni a sorok között. A kísérletekkel
nem titkolt vágyam volt, hogy felkeltsem a fizikatanárok érdeklődését a kísérletek
elvégzésére.
34
Irodalomjegyzék [1] Benoit B. Manderbrot, Tha fractal geometry of nature (W. H. Freeman and Company,
New York, 1977)
[2] Bacsosz Sztavrosz: Fraktálok a földrajzban, ELTE Regionális Földrajzi Tanszék
http://senna.web.elte.hu/doksik/fraktalok_a_foldrajzban.pdf
(letöltés ideje: 2013. november 13.)
[3] Davydova Marina and Davydov Denis: Fractal Analysis of Fragmentation Patterns of
Glass Plates, Materials Science Forum, Volumes 567 – 568 (2008) 289-292. oldal
[4] Halász Zoltán: Heterogén anyagok károsodása és törése, PhD. Értekezés, Debreceni
Egyetem (2012) 4-6. oldal
[5] J. Sanudo, J. B. Gómez. F. Castano and A. F. Pacheco: Fractal dimension of lighting
discharge, Nonlinear Process in Geophysics (1995), 2: 101-106
[6] T. Zimmermann and J. Stutzki: Fractal Aspects of Interstellar Clouds in T. Vicsek, M.
Shlesinger, M. Matsushita: Fractals in natural sciences: 537. oldal, World Scientific
Publishing Co. Pte. Ltd. (1994)
[7] Z. Donkó and I. Pócsik: On the Fractal Structure of Electron Avalanches in T. Vicsek, M.
Shlesinger, M. Matsushita: 546. oldal, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. (1994)
[8] Dévényi Patricia: A fraktálok és a biológia - a vérkeringés bemutatása fraktál-
modellekkel, Informatika és Menedzsment az Egészségügyben, az egészségügyi vezetők
lapja, VI. évfolyam, 10.szám, 2007. december.
[9] Vicsek Tamás: Szabály a szabálytalanban-Fraktálok, Fizikai Szemle 2005. év 6. szám
[10] Nagy Péter (Kecskeméti Főiskola, GAMF Kar): Interaktív számítógépes anyagok a BSc.-
fizikaoktatásban, 5. oldal, http://fiztan.phd.elte.hu/letolt/fizkonf2009/nagy.pdf, (letöltés ideje:
2012. november 11.)
[11] F. Wittel, F. Kun, H.J. Hermann and B. H. Kröplin:Fragmentation of Shells, Physical
Review Letters Volume 93, Number 3, 035504 (2004. július 16.)
[12] Vicsek Mária, Vicsek Tamás , Fraktálok a fizikában II., Mintázatképződés növekedési
jelenségekben, Fizikai Szemle 1993. év 3. szám 96. o.
[13] Czirók András, Önszervező mozgások statisztikus fizikai leírása, TDK-dolozat, ELTE
Fizika TDK, (1995). http://ludens.elte.hu/~tdkinfo/abs/eredm96.html., (letöltés ideje: 2013.
december 13.)
35
Mellékletek
M1. Papírgalacsinok mérési eredményei
A lila színű papír esetén mért adatok:
Tömeg
(g)
Tömeg
logaritmusa
1.
átmérő
(cm)
2.
átmérő
(cm)
3.
átmérő
(cm)
Átmérők
átlaga
(cm)
Sugár
(cm)
Sugár
logaritmusa
2,4973 0,9152 2,6 2,6 2,6 2,6 1,3 0,26
1,243 0,2175 2,35 2,34 2,36 2,35 1,18 0,16
0,6102 -0,494 1,31 1,26 1,30 1,29 0,65 -0,44
0,2694 -1,3116 1,0 1,01 1,01 1,01 0,5 -0,69
0,1522 -1,8826 0,75 0,75 0,77 0,76 0,38 -0,97
0,0803 -2,522 0,61 0,58 0,61 0,6 0,3 -1,20
0,0416 -3,1797 0,54 0,55 0,54 0,54 0,27 -1,30
0,0295 -3,5234 0,5 0,53 0,52 0,52 0,26 -1,35
0,0111 -4,5008 0,21 0,2 0,2 0,2 0,1 -2,29
0,0135 -4,305 0,2 0,21 0,21 0,21 0,1 -2,27
A kapott egyenes:
-2.6 7 -2.33 -1.67 -1.33 -0.67 -0.33 0.33 0.67
-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00
Sugár logaritmusa
-5 .33
-4 .67
-3 .33
-2 .67
-1 .33
-0 .67
0.67
1.33
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
Töm
eg logaritm
usa
Y = 2.10167 * X + 0.0619362
36
A kék színű papír esetén mért adatok:
Tömeg
(g)
Tömeg
logaritmusa
1.
átmérő
(cm)
2.
átmérő
(cm)
3.
átmérő
(cm)
Átmérők
átlaga
(cm)
Sugár
(cm)
Sugár
logaritmusa
4,8362 1,576 3,02 3,0 3,0 3,01 1,5 0,41
2,5621 0,9408 2,42 2,36 2,34 2,37 1,19 0,17
1,2782 0,2455 1,66 1,69 1,8 1,72 0,86 -0,15
0,6275 -0,466 1,19 1,16 1,19 1,18 0,59 -0,53
0,2975 -1,2123 0,76 0,78 0,76 0,77 0,38 -0,96
0,1575 -1,8483 0,5 0,5 0,51 0,5 0,25 -1,38
0,0823 -2,4974 0,45 0,38 0,39 0,41 0,2 -1,59
0,0408 -3,19 0,21 0,21 0,2 0,21 0,1 -2,27
0,0324 -3,4296 0,21 0,2 0,22 0,21 0,11 -2,25
0,0266 -3,6268 0,16 0,11 0,15 0,14 0,07 -2,66
A kapott egyenes:
-2.6 7 -2.33 -1.67 -1.33 -0.67 -0.33 0.33 0.67
-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00
Sugár logaritmusa
-3 .33
-2 .67
-1 .33
-0 .67
0 .67
1 .33
-4.00
-2.00
0.00
2.00
Töm
eg logaritm
usa
Y = 1.71791 * X + 0.575062
37
A zöld színű papír esetén mért adatok:
Tömeg
(g)
Tömeg
logaritmusa
1.
átmérő
(cm)
2.
átmérő
(cm)
3.
átmérő
(cm)
Átmérők
átlaga
(cm)
Sugár
(cm)
Sugár
logaritmusa
4,8686 1,5828 3,98 3,97 4,0 3,98 1,99 0,69
2,4224 0,8848 2,63 2,60 2,63 2,62 1,31 0,27
1,1810 0,1664 2,06 2,05 2,06 2,06 1,03 0,03
0,5917 -0,5248 1,6 1,6 1,6 1,6 0,8 -0,22
0,2947 -1,2218 1,11 1,12 1,16 1,13 0,57 -0,57
0,1495 -1,9005 0,66 0,66 0,69 0,67 0,34 -1,09
0,0788 -2,54 0,49 0,55 0,49 0,51 0,26 -1,37
0,0455 -3,09 0,46 0,49 0,48 0,48 0,24 -1,43
0,0361 -3,3215 0,2 0,2 0,16 0,19 0,09 -2,37
0,0245 -3,709 0,16 0,18 0,16 0,17 0,08 -2,48
A kapott egyenes:
-2.6 7 -2.33 -1.67 -1.33 -0.67 -0.33 0.33 0.67
-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00
Sugár logaritmusa
-3 .33
-2 .67
-1 .33
-0 .67
0 .67
1 .33
-4.00
-2.00
0.00
2.00
Töm
eg logaritm
usa
Y = 1.66931 * X + 0.0657749
38
A narancssárga színű papír esetén mért adatok:
Tömeg
(g)
Tömeg
logaritmusa
1.
átmérő
(cm)
2.
átmérő
(cm)
3.
átmérő
(cm)
Átmérők
átlaga
(cm)
Sugár
(cm)
Sugár
logaritmusa
2,5112 0,92 2,630 2,66 2,63 2,64 1,32 0,28
1,2416 0,216 2,20 2,2 2,14 2,18 1,09 0,09
0,5833 -0,539 2,04 2,0 2,05 2,03 1,02 0,01
0,3161 -1,15 1,77 1,79 1,77 1,78 0,89 -0,12
0,1626 -1,8165 0,56 0,51 0,66 0,58 0,29 -1,24
0,0804 -2,52 0,51 0,46 0,48 0,48 0,24 -1,42
0,0378 -3,275 0,31 0,31 0,30 0,31 0,15 -1,88
0,0208 -3,8728 0,15 0,15 0,10 0,13 0,07 -2,71
0,0098 -4,6254 0,096 0,09 0,09 0,09 0,05 -3,08
0,0082 -4,8036 0,084 0,076 0,08 0,08 0,04 -3,22
A kapott egyenes:
-3.6 7 -3.3 3 -2.67 -2.33 -1.67 -1.33 -0.67 -0.33 0.33 0.67
-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00
Sugár logaritmusa
-5 .33
-4 .67
-3 .33
-2 .67
-1 .33
-0 .67
0.67
1.33
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
Töm
eg logaritm
usa
Y = 1.44198 * X + -0.229027
39
M2. A tojáshéj-robbantás eredményei
A második tojáshéj robbantására kapott eredmények:
Tojáshéj darabok
sorszáma
A sorszám és az
összes darabszám
hányadosa
Az előző oszlop
értékeinek
logaritmusa
A repeszek
tömege (g)
A tömegek
logaritmusa
1 0,024 -1,612 0,0009 -3,045
2 0,048 -1,311 0,0035 -2,455
3 0,073 -1,135 0,0087 -2,06
4 0,097 -1,0107 0,0141 -1,85
5 0,121 -0,913 0,021 -1,677
6 0,146 -0,834 0,031 -1,507
7 0,17 -0,7676 0,0351 -1,454
8 0,195 -0,7097 0,0457 -1,34
9 0,2195 -0,658 0,0464 -1,33
10 0,2439 -0,613 0,0523 -1,281
11 0,2682 -0,5713 0,0526 -1,279
12 0,2926 -0,5336 0,0651 -1,186
13 0,317 -0,498 0,0702 -1,153
14 0,3414 -0,46 0,0722 -1,141
15 0,3658 -0,4366 0,0739 -1,131
16 0,39 -0,408 0,0779 -1,108
17 0,4146 -0,382 0,0784 -1,105
18 0,439 -0,3575 0,0821 -1,08
19 0,4634 -0,334 0,085 -1,07
20 0,4878 -0,3117 0,0931 -1,031
21 0,513 -0,29 0,0955 -1,012
22 0,536 -0,27 0,098 -1,008
23 0,561 -0,251 0,1019 -0,991
24 0,5853 -0,2325 0,1025 -0,989
25 0,6097 -0,2148 0,1093 -0,961
6 0,6341 -0,1978 0,1171 -0,931
27 0,6585 -0,1814 0,1316 -0,88
28 0,6829 -0,165 0,1374 -0,862
29 0,7073 -0,15 0,1382 -0,85
30 0,7317 -0,135 0,1389 -0,857
31 0,7561 -0,121 0,1399 -0,854
32 0,78 -0,1076 0,1556 -0,808
33 0,8048 -0,0942 0,1627 -0,788
34 0,8292 -0,0813 0,1636 -0,786
35 0,8536 -0,0687 0,1774 -0,751
36 0,878 -0,0564 0,2151 -0,667
37 0,9024 -0,0445 0,2173 -0,662
38 0,9268 -0,033 0,231 -0,636
39 0,9512 -0,0217 0,2433 -0,6138
40 0,9756 -0,0107 0,2565 -0,5909
41 1 0 0,2567 -0,59
40
-3.5 0 -2.50 -1.50 -0.50
-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00
Tömegek logaritmusa
-1 .80
-1 .40
-1 .00
-0 .60
-0 .20
-2.00
-1.60
-1.20
-0.80
-0.40
0.00
Kum
ula
tív e
loszlá
s logaritm
usa Y = 0.745317 * X + 0.438854
y = 2,747x0,7453
R2 = 0,9621
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3
Tömegek (g )
Kum
ulat
ív e
losz
lás
A harmadik tojáshéj robbantására kapott eredmények:
Tojáshéj darabok
sorszáma
A sorszám és az
összes darabszám
hányadosa
Az előző oszlop
értékeinek
logaritmusa
A repeszek
tömege (g)
A tömegek
logaritmusa
1 0,0238 -1,6232 0,0003 -3,522
2 0,047 -1,322 0,0006 -3,22
3 0,0714 -1,146 0,0009 -3,045
4 0,0952 -1,0211 0,0039 -2,409
5 0,119 -0,924 0,0041 -2,387
6 0,1428 -0,845 0,005 -2,301
7 0,167 -0,778 0,0056 -2,251
8 0,195 -0,72 0,0059 -2,22
9 0,2142 -0,669 0,0067 -2,173
10 0,238 -0,6232 0,0085 -2,07
11 0,2619 -0,581 0,0089 -2,05
12 0,285 -0,544 0,0095 -2,022
13 0,3095 -0,5093 0,0109 -1,9625
14 0,33 -0,4771 0,0227 -1,6439
15 0,357 -0,447 0,0325 -1,488
16 0,381 -0,4191 0,0416 -1,382
17 0,4047 -0,3928 0,0504 -1,297
18 0,4285 -0,3679 0,0531 -1,274
19 0,452 -0,344 0,057 -1,24
20 0,4761 -0,323 0,0577 -1,238
21 0,5 -0,301 0,0672 -1,172
22 0,523 -0,2808 0,0913 -1,0395
23 0,547 -0,2615 0,0924 -1,034
24 0,5714 -0,243 0,099 -1,0004
25 0,5952 -0,22534 0,105 -0,978
6 0,619 -0,2082 0,106 -0,9738
27 0,642 -0,191 0,113 -0,9457
28 0,67 -0,176 0,1278 -0,8934
41
29 0,69 -0,1608 0,1429 -0,8449
30 0,714 -0,1461 0,1432 -0,844
31 0,7381 -0,1318 0,1476 -0,8309
32 0,7619 -0,118 0,1562 -0,8063
33 0,7857 -0,1047 0,1663 -0,779
34 0,809 -0,0917 0,1886 -0,724
35 0,83 -0,0791 0,1962 -0,7073
36 0,858 -0,0669 0,2068 -0,684
37 0,8809 -0,0550 0,2359 -0,6272
38 0,904 -0,043 0,2439 -0,6127
39 0,9285 -0,032 0,359 -0,4447
40 0,9524 -0,0212 0,374 -0,4267
41 0,9762 -0,0104 0,376 -0,4245
42 1 0 0,378 -0,4225
-3.5 0 -2.50 -1.50 -0.50
-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00
Tömegek logaritmusa
-1 .80
-1 .40
-1 .00
-0 .60
-0 .20
-2.00
-1.60
-1.20
-0.80
-0.40
0.00
Kum
ula
tív e
loszlá
s logaritm
usa
Y = 0.466155 * X + 0.243126
y = 1,7504x0,4662
R2 = 0,9673
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4
Tömegek (g)
Ku
mu
latí
v e
loszlá
sfü
gg
vén
y
42
NYILATKOZAT
Név: Kovács Olivér
ELTE Természettudományi Kar, szak: Fizika BSc.
Neptun azonosító: IZ45GX
Szakdolgozat címe: Középiskolai kísérletek fraktálokkal
A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom
önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések
standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelelő idézés
nélkül nem használtam fel.
Budapest, 2013. december 20.
__________________
a hallgató aláírása