95

.Ch−¬ng 9. dÉn nhiÖt æn ®Þnh 9.1. ®Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt 9.1.1 §Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt Dùa vµo thuyÕt ®éng häc ph©n tö, Fourier ®· chøng minh ®Þnh luËt c¬ b¶n cña dÉn nhiÖt nh− sau: Vec t¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi vect¬ gradient nhiÖt ®é. BiÓu thøc cña ®Þnh luËt cã d¹ng vect¬ lµ: ,dtagrq λ−= d¹ng v« h−íng lµ:

.tndtgradtq λ−=λ−=

Theo ®Þnh luËt nµy, nhiÖt l−¬ng Q ®−îc dÉn qua diÖn tÝch F cña mÆt ®¼ng nhiÖt trong 1 gi©y ®−îc tÝnh theo c«ng thøc:

∫ ∂∂

λ−=F

dF.ntQ

Khi gradt kh«ng ®æi trªn bÒ mÆt F, c«ng thøc cã d¹ng:

dF.ntQ

∂∂

λ−=

§Þnh luËt Fourier lµ ®Þnh luËtc¬ b¶n ®Ó tÝnh l−îng nhiÖt trao ®æi b»ng ph−¬ng thøc dÉn nhiÖt. 9.1.2 HÖ sè dÉn nhiÖt λ

HÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier gradt

q=λ , W/mK ®−îc gäi lµ hÖ sè dÉn nhiÖt.

HÖ sè dÉn nhiÖt λ ®Æc tr−ng cho kh¶ n¨ng dÉn nhiÖt cña vËt. Gi¸ trÞ cña λ phô thuéc vµo b¶n chÊt vµ kÕt cÊu cña vËt liÖu, vµo ®é Èm vµ nhiÖt ®é, ®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm víi tõng vËt liÖu vµ cho s½n theo quan hÖ víi nhiÖt ®é t¹i b¶ng c¸c th«ng sè vËt lý cña vËt liÖu. 9.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt 9.2.1. Néi dung cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt

Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét

ph©n tè bÊt kú n»m hoµn toµn bªn trong vËt dÉn nhiÖt.

9.2.2. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh

XÐt c©n b»ng nhiÖt cho ph©n tè dV bªn trong vËt dÉn, cã khèi l−îng riªng ρ, nhiÖt dung riªng Cv, hÖ sè dÉn nhiÖt λ, dßng nhiÖt ph©n tè lµ q , c«ng suÊt ph¸t nhiÖt qv.

96

Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng, ta cã: [§é biÕn thiªn néi n¨ng cña dV] = [HiÖu sè nhiÖt l−îng (vµo-ra) dV] +

[l−îng nhiÖt sinh ra trong dV], tøc lµ:

τ+τ−=τ∂∂

ρ d.dV.qd.dV.divqtC.dV. vv ,

hay:

v

v

v C.q

qdivC.1t

ρ+

ρ=

τ∂∂

Theo ®Þnh luËt fourier ,dtagrq λ−=

khi λ = const ta cã: )dtagr(div)dtagr(divqdiv λ−=λ−=Trong ®ã:

Div(gra dt) = tzt

zyt

yxt

x2∇=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

,

Víi:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ∂∂

+ϕ∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇z) , r, trô dé to¹ (trong ,

z) y, x,víi gãc vu«ng dé to¹ (trong ,

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

ztt

r1

rt.

r1

rt

zt

yt

xt

t

Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh kÕt hîp hai ®Þnh luËt nãi trªn, cã d¹ng:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛λ

+∇=ρ

+∇ρλ

=τ∂∂ v2

v

v2

v

qta

C.q

tC.

t

víi a = vC.ρ

λ, m2/s., ®−îc gäi lµ hÖ sè khuyÕch t¸n nhiÖt, ®Æc tr−ng cho møc ®é

tiªu t¸n nhiÖt trong vËt. 9.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt víi qv = 0

Khi vËt æn ®Þnh nhiÖt, 0t=

τ∂∂

, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 0t2 =∇ . Trong v¸ch

ph¼ng réng v« h¹n vµ æn ®Þnh nhiÖt cã λ = const, tr−êng nhiÖt ®é t(x) ®−îc x¸c

®Þnh theo ph−¬ng tr×nh 0dx

td2

2

= . Trong ®iÒu kiÖn λ = const vµ æn ®Þnh nhiÖt,

tr−êng nhiÖt ®é t(r) trong v¸ch trô trßn dµI v« h¹n ®−îc x¸c ®Þnh theo ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt trong to¹ ®é trô:

0drdt

r1

dxtd2

2

=+ .

9.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ

97

Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt nãi chung lµ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp 2, chøa Èn lµ hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ). NghiÖm tæng quat cña nã chøa nhiÒu h»ng sè tuú ý chän. ®Ó x¸c ®Þnh duy nhÊt nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt, cÇn ph¶i cho tr−íc mét sè ®iÒu kiÖn, gäi lµ c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ. 9.3.1. Ph©n lo¹i c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ Tuú theo néi dung, c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ bao gåm 4 lo¹i sau: - §iÒu kiÖn h×nh häc cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh kÝch th−íc, h×nh d¹ng, vÞ trÝ cña hÖ vËt V. - §iÒu kiÖn vËt lý cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm M ∈ V, tøc cho biÕt (ρ, Cv, λ, a . . . ) = f(t, M ∈ V). - §iÒu kiÖn ban ®Çu cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i thêi ®iÓm τ = 0 t¹i mäi ®iÓm M∈ V, tøc cho biÕt t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z). - §iÒu kiÖn biªn cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc c©n b»ng nhiÖt t¹i mäi ®iÓm M trªn biªn W cña hÖ V t¹i mäi thêi ®iÓm τ. NÕu ký hiÖu dßng nhiÖt qλ dÉn

trong vËt V ®Õn M ∈ W lµ nt.ntq λ−=

∂∂

λ−=λ , th× ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ cho ë

d¹ng:

),0(,W¦M),M(q),M(tq

),M(tt

n

w ∞∈τ∀∈∀⎭⎬⎫

τ=τλ−=τ=

λ

hoÆc .

§iÒu kiÖn h×nh häc, vËt lý vµ ®iÒu kiÖn biªn cÇn ph¶i cho tr−íc trong mäi bµi to¸n. Riªng ®iÒu kiÖn ban ®Çu chØ cÇn cho trong bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh. 9.3.2. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn T¹i mçi mÆt biªn Wi ∈ W = ∑Wi cña vËt V, tuú theo c¸ch ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc c¸ch trao ®æi nhiÖt víi m«i tr−êng kh¸c nhau, ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ ®−îc cho theo c¸c lo¹i sau ®©y: - §KB lo¹i 1: cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm M1 ∈ W1 ë d¹ng: tw1 = t(M1, τ). - §KB lo¹i 2: cho biÕt dßng nhiÖt qua ®iÓm M2 ∈ W2 lµ: q(M2, τ) = -λ.tn.(M2, τ). §Æc biÖt khi W2 ®−îc c¸ch nhiÖt tuyÖt ®èi hoÆc lµ mÆt ®èi xøng cña bµi to¸n, th× tn(M2, τ) = 0 vµ hµm t sÏ ®¹t cùc trÞ t¹i M2 ∈ W2.

- §KB lo¹i 3: cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã nhiÖt ®é tf víi hÖ sè to¶ nhiÖt α vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W3 ∈ W3 cã d¹ng: qλ = qα hay -λ.tn.(M3, τ) = α[t(M3, τ) – tf ].

- §KB lo¹i 4: cho biÕt biªn W4 tiÕp xóc víi m«i tr−êng r¾n cã ph©n bè nhiÖt ®é t4 vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W4 ∈ W4 lµ qλ = qλ4 hay -λ.tn.(M4, τ) = -λ4.tn.(M4, τ).

98

- §KB lo¹i 5: cho biÕt trªn biªn W5 cã sù trao ®æi chÊt do sù khuyÕch t¸n hay chuyÓn pha (ch¼ng h¹n do ho¸ láng, ho¸ r¾n hoÆc th¨ng hoa, kÕt tinh). Khi ®ã chÝnh biªn W5 sÏ di chuyÓn vµ khèi l−îng vËt V sÏ thay ®æi vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i ®iÓm M5 trªn biªn W5 di ®éng sÏ cã d¹ng:

qλ = qλ’ + qr hay -λtn(M5, τ) = -λ’t’n(M5, τ) + rτ

ρd

dx. 5 .

trong ®ã:

τd

dx 5 lµ tèc ®é di chuyÓn cña ®iÓm M5 ∈ W5,

r lµ nhiÖt chuyÓn pha j/kg. - §KB lo¹i 6: cho biÕt biªn W6 tiÕp gi¸p víi m«i tr−êng ch©n kh«ng, ë ®ã

chØ xÈy ra sù trao ®æi nhiÖt b»ng bøc x¹ vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W6 ∈ W6 cã d¹ng: qλ = qε hay -λtn(M6, τ) =εσ0T

4(M6, τ). - §KB lo¹i 7: cho biÕt biªn W7 tiÕp xóc víi chÊt khÝ cã nhiÖt ®é Tk, ë ®ã cã

sù trao ®æi nhiÖt b»ng c¶ ®èi l−u vµ bøc x¹. Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W7 ∈ W7 cã d¹ng:

qλ = qλ + qr hay -λtn(M7, τ) = α[T(M7, τ) - Tk] + εσ0[T4(M7, τ) – T4k].

§KB lo¹i 7 cã thÓ qui vÒ lo¹i 3 nÕu viªt ph−¬ng tr×nh trªn ë d¹ng: qλ = )TT( kw −α víi )TT/()TT( kw

4k

4w0 −−εσ+α=α , ®−îc gäi lµ hÖ

sè to¶ nhiÖ phøc hîp. §KB lo¹i 6 vµ lo¹i 7 lµ nh÷ng §KB kh«ng tuyÕn tÝnh. 9.3.3. M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt

Bµi to¸n dÉn nhiÖt cã thÓ ®−îc m« t¶ b»ng mét hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t)

gåm ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c ®IÒu kiÖn ®¬n trÞ nh− ®· nªu ë môc (9.3):

⎪⎩

⎪⎨⎧ ∇=

τ∂∂

dkdt c¸c t¶ m« trinh ph−ong C¸c

tat)t(

2

Gi¶i bµi to¸n dÉn nhiÖt lµ t×m hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ) tho¶ m·n mäi ph−¬ng tr×nh cña hÖ (t) nãi trªn. 9.4. DÉn nhiÖt æn ®Þnh trong v¸ch ph¼ng 9.4.1. V¸ch 1 líp, biªn lo¹i 1 9.4.1.1. Bµi to¸n Cho 1 v¸ch ph¼ng réng v« h¹n, dµy δ, (0 ≤ x ≤ δ), lµm b»ng vËt liÖu ®ång chÊt cã hÖ sè dÉn nhiÖt λ = const, nhiÖt ®é t¹i hai mÆt v¸ch ph©n bè ®Òu b»ng t1, t2 vµ kh«ng ®æi. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) bªn trong v¸ch. Bµi to¸n dÉn nhiÖt æn ®Þnh nµy ®−îc m« t¶ bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (t) cã d¹ng:

99

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=δ=

=

(3)

(2)

(1)

2

1

2

2

t)(tt)0(t

0dx

td

)t(

9.4.1.2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt (1) cã d¹ng t(x) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c §KB (2) vµ (3):

⎪⎩

⎪⎨⎧

−δ

=→=+δ=δ

==

)tt(1CtCC)(t

tC)0(t)t(

121221

12

VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch lµ t(x) = x)tt(1t 211 −δ

− , cã d¹ng ®−êng

th¼ng qua 2 ®iÓm (0. t1) vµ (δ, t2). 9.4.1.3. TÝnh dßng nhiÖt dÉn qua v¸ch Theo ®Þnh luËt Fourier ta cã:

Rttt

dxdtq 21 ∆

=

λρ−

=λ−= , (W/m2),

víi R = λδ

, (m2K/W) gäi lµ nhiÖt trë cña v¸ch ph¼ng.

9.4.2. V¸ch n líp, biªn lo¹i 1 9.4.2.1. Bµi to¸n

100

Cho v¸ch ph¼ng n líp, mçi líp thø i dµy δ, cã hÖ sè dÉn nhiÖt λ, 2 mÆt biªn cã nhiÖt ®é kh«ng ®æi, ph©n bè ®Òu vµ b»ng t0, tn cho tr−íc. TÝnh dßng nhiÖt q qua v¸ch vµ nhiÖt ®é c¸c mÆt tiÕp xóc ti, ∀i = 1 ÷ (n-1). 9.4.2.2. Lêi gi¶i

Khi æn ®Þnh, dßnh nhiÖt q qua mäi líp lµ kh«ng ®æi:

n

n

n1n

i

i

1ii

1

1

10 ttttttq

λδ−

=

λδ−

=

λδ−

= −+

§©y lµ hÖ n ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh cña Èn sè ti vµ q. b»ng c¸ch khö c¸c Èn sè ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1), sÏ t×m ®−îc:

∑∑∆

=

λδ−

=

=

in

1i i

i

n0

Rttt

q , (W/m2).

Thay q vµo lÇn l−ît mçi ph−¬ng tr×nh ta t×m ®−îc nhiÖt ®é c¸c mÆt tiÕp xóc:

ti = ti-1 - x)tt(1i1i

i

−δ − , ∀ i = 1 ÷ n.

Ph©n bè nhiÖt ®é trong mçi líp thø I lµ ®o¹n th¼ng cã d¹ng:

ti(x) = ti-1 - x)tt(1i1i

i

−δ − , ∀ i = 1 ÷ n.

9.4.3. V¸ch mét líp, biªn lo¹i 3 9.4.3.1. Bµi to¸n Cho v¸ch ph¼ng réng v« h¹n, dµy δ, hÖ sè dÉn nhiÖt λ = const, mÆt x = 0 tiÕp xóc víi chÊt láng 1 cã nhiÖt ®é tf1 víi hÖ sè to¶ nhiÖt α1, mÆt x = δ tiÕp xóc víi chÊt láng 2 cã nhiÖt ®é tf2 víi hÖ sè to¶ nhiÖt α2, t×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) trong v¸ch. M« h×nh bµi to¸n cã d¹ng:

101

[ ]

[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

δλ−=−δα

λ−=−α

=

(3)

(2)

(1)

dx)(dtt)(t

dx)0(dt)0(tt

0dx

td

)t(

2f2

1f1

2

2

9.4.3.2. T×m ph©n bè t(x) NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(x) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo (2) vµ (3):

⎩⎨⎧

λ−=−+δαλ−=−α

12f212

121f1

C)tCC(C)Ct(

Gi¶i hÖ nµy ta ®−îc:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

αλ

+=

αλ

+δ+αλ

−=

12

1f2

21

2f1f1

CtC

ttC

Do ®ã ph©n bè t(x) cã d¹ng:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αλ

+

αλ

+δ+αλ

−−=

1

21

2f1f1f x

ttt)x(t

§å thÞ t(x) lµ ®o¹n th¼ng ®i qua 2 ®iÓm

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αλ

− 1f1

1 t,R vµ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αλ

+δ 2f2

2 t,R

®−îc gäi lµ c¸c ®iÓm ®Þnh h−íng cña §KB lo¹i 3. 9.4.3.3. TÝnh doang nhiÖt q Theo ®Þnh luËt Fourier ta cã:

21

2f1f1 11

ttC

dxdtq

α+

λδ

+α

−=λ−=λ−= , (W/m2),

Theo biÓu thøc t(x) cã thÓ tÝnh nhiÖt ®é t¹i 2 mÆt v¸ch theo:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αλ

+δ

αλ

+δ+αλ

−−=δ=

αα

+λδα

+

−−==

1

21

2f1f1f2w

2

11

2f1f1f1w

ttt)(tt

1

ttt)0(tt

102

9.5. DÉn nhiÖt trong v¸ch trô 9.5.1. Trô mét líp, biªn lo¹i 1 Bµi to¸n: Cho v¸ch trô 1 líp ®ång chÊt, b¸n kÝnh trong r1, ngoµi r2, λ = const, hai mÆt biªn cã nhiÖt ®é t1, t2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(r) trong trô vµ nhiÖt l−îng

ql = ,lQ

(W/m), truyÒn qua 1m dµi mÆt trô. Trong to¹ ®é trô, m« h×nh bµi to¸n trªn

cã d¹ng:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

=+

(3)

(2)

(1)

22

11

2

2

t)r(tt)r(t

0drdt

r1

drtd

)t(

9.5.1.2. T×m ph©n bè t(r)

§æi biÕn drdtu = th× ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt (1) cã d¹ng:

0ru

drdu

=+ hay rdr

udu

−= .

LÊy tÝch ph©n lÇn 1 ta cã:

Lnu = - ln r + ln C1 = rln

Cln 1 hay rdtCdt

rC

udrdt

11 =→== .

LÊy tÝch ph©n lÇn 2 ta cã nghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(r) = C1ln r + C2, C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc tÝnh theo §KB (2) vµ (3):

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−−=

→⎭⎬⎫

+==+==

1112

1

2

211

22122

21111

rlnCtCrr

ln

ttC

CrlnCt)r(tCrlnCt)r(t

VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch trô cã d¹ng:

1

1

2

211 r

rln

rr

ln

ttt)r(t

−−=

§−êng cong t(r) cã d¹ng logarit ®i qua 2 ®iÓm (r1, t1) vµ (r2, t2). 9.5.1.3. TÝnh nhiÖt l−îng Dßng nhiÖt qua 1m2 mÆt trô b¸n kÝnh r bÊt kú lµ:

1

2

211

rr

lnr

)tt(r

Cdrdtq

−λ=λ−=λ−= , w/m2,

103

lu«n gi¶m khi r t¨ng. L−îng nhiÖt qua 1m dµi mÆt trô b¸n kÝnh r bÊt kú lµ:

l

1

2

211l R

t

rr

ln21

)tt(C2

lrl2.q

lQq ∆

=

πλ

−=πλ−=

π== , (w/m),

Víi 1

2l r

rln

21Rπλ

= , (mK/W) lµ nhiÖt trë cña 1m trô. V× ql = const víi mäi

mÆt trô, kh«ng phô thuéc vµo b¸n kÝnh r nªn ql ®−îc coi lµ 1 ®¹i l−îng ®Æc tr−ng cho dÉn nhiÖt qua v¸ch trô. 9.5.2. Trô n líp biªn lo¹i 1 9.5.2.1. Bµi to¸n Cho v¸ch trô n líp, b¸n kÝnh trong r0, r1, . . . ri, . . . rn, cã hÖ sè dÉn nhiÖt λi, cã nhiÖt ®é 2 mÆt biªn kh«ng ®æi t0, tn. T×m l−îng nhiÖt ql , qua 1m dµi mÆt trô, nhiÖt ®é ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) c¸c mÆt tiÕp xóc vµ ph©n bè nhiÖt ®é ti(r) trong mçi líp. 9.5.2.2. Lêi gi¶i V× ql = const víi mäi líp nªn cã hÖ ph−¬ng tr×nh:

,n1i,

rr

ln2

1)tt(

q n

1i 1i

i

i

i1il ÷=∀

πλ

−=

∑= −

−

B»ng c¸ch khö (n-1) Èn ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) se thu ®−îc:

,

rr

ln2

1)tt(

q n

1i 1i

i

i

n0l

∑= −πλ

−= , (W/m)

trong ®ã: ,rr

ln2

1Rn

1i 1i

i

il ∑

= −πλ= , (mK/W) lµ tæng nhiÖt trë cña 1m v¸ch trô n líp.

TÝnh ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) lÇn l−ît theo ql ta ®−îc:

),1n(1i,rr

ln2

1tt1i

i

i1ll −÷=∀

πλ−=

−−

Ph©n bè nhiÖt ®é trong mçi líp thø i cã d¹ng:

),1n(1i,rr

ln

rr

ln

ttt)r(t

1i

1i

i

1iill −÷=∀

−−=

−

−

−

104

lµ ®−êng cong logarit ®I qua 2 ®iÓm (ri-1, ti-1) vµ (ri, ti). 9.5.3. V¸ch trô mét líp biªn lo¹i 3 9.5.3.1. Bµi to¸n T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(r) trong v¸ch trô ®ång chÊt cã r1, r2, λ cho tr−íc, mÆt trong tiÕp xóc víi chÊt láng nãng cã tf1, α1, mÆt ngoµi tiÕp xóc víi chÊt láng l¹nh cã tf2, α2. Trong to¹ ®é trô, m« h×nh bµi to¸n cã d¹ng:

[ ][ ]⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

λ−=−αλ−=−α

=+

(3)

(2)

(1)

)r(tt)r(t)r(t)r(tt

0drdt

r1

drtd

)t(

2r2f22

1r11f1

2

9.5.3.2. T×m ph©n bè t(r)

NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(r) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c §KB (2) vµ (3):

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

λ−=−+α

λ−=−−α

2

12f2212

1

12111f1

rC

)tCrlnC(

rC

)CrlnCt(

Gi¶i ra ta ®−îc:

;

rrln

rr

ttC

1

2

2211

1f2f1

+αλ

+αλ

−= vµ C2 = tf2 + C1;

VËy:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αλ

++

αλ

+αλ

−−=

111

1

2

2211

2f1f1f rr

rln

rr

lnrr

ttt)r(t .

§å thÞ t(r) cã d¹ng loarit tiÕp tuyÕn t¹i r1 qua ®iÓm ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αλ

− 1f1

11 t,rR vµ tiÕp

tuyÕn t¹i r1 qua ®iÓm ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αλ

+ 2f2

22 t,rR .

9.5.3.3. TÝnh nhiÖt l−îng q1

L−îng nhiÖt qua 1m dµi mÆt trô kh«ng ®æi vµ b»ng:

105

1

2

2211

2f1frll

rr

ln21

r21

r21

)tt(l

rl2tl

Qq

πλ+

απ+

απ

−=

πλ== , (w/m),

NhiÖt ®é c¸c mÆt biªn lµ:

1

2

2211

112f1f

1f11w

rr

lnrr

r)tt(

t)r(tt+

αλ

+αλ

αλ

−−==

1

2

2211

111

22f1f

1f22w

rr

lnrr

)rr

r)(lntt(

t)r(tt+

αλ

+αλ

αλ

+−−== .

9.6. DÉn nhiÖt qua c¸nh Khi muèn t¨ng c−êng truyÒn nhiÖt, ng−êi ta th−êng g¾n c¸c c¸nh trªn mÆt to¶ nhiÖt, ch¼ng h¹n trªn xilanh hoÆc stato cña c¸c ®éng c¬. Theo kÕt c©u, ng−êi ta cã thÓ g¾n c¸nh th¼ng, c¸nh trßn tiÕt diÖn kh«ng ®æi, h×nh thang hoÆc tam gi¸c. §Æc ®IÓm cña c¸nh lµ chiÒu dµy δ cña c¸nh rÊt bÐ so víi c¸c kÝch th−íc kh¸c, do ®ã nhiÖt ®é t¹i mçi tiÕt diÖn f ®−îc coi lµ ph©n bè ®Òu vµ chØ thay ®æi theo chiÒu cao x cña c¸nh. 9.6.1. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua c¸nh ph¼ng cã tiÕt diÖn kh«ng ®æi

T×m ph©n bè nhiÖt ®é vµ l−îng nhiÖt truyÒn qua 1 c¸nh th¼ng cã diÖn tÝch f = δL vµ chu vi tiÕt diÖn u = 2(L + δ) kh«ng ®æi, khi nã tiÕp xóc chÊt láng nãng cã nhiÖt ®é tf1 víi hÖ sè to¶ nhiÖt α1 vµ t¹i ®Ønh c¸nh lµ αl, biÕt chiÒu cao l vµ nhiÖt ®é t¹i gèc lµ t0.

[ ][ ]⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

λ−=−αλ−=−α

=+

(3)

(2)

(1)

)r(tt)r(t)r(t)r(tt

0drdt

r1

drtd

)t(

2r2f22

1r11f1

2

9.6.2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é T¹i ®é cao x xÐt ph©n tè dV = f.dx cña c¸nh. Ph©n tè nµy cã biªn lo¹i 3 t¹i mÆt udx nªn nã kh«ng ph¶i ph©n tè trong, kh«ng tu©n theo ph−¬ng tr×nh

tat 2∇=τ∂∂

, Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho dV lµ:

δQα = Qx - Qx+dx .

106

NÕu gäi θ(x) = t(x) – tf th× ph−¬ng tr×nh trªn cã d¹ng:

,dxdxdffdx

dxd

dxdf

dxdudx 2

2θλ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

+θλ+θ

λ−=αθ hay

0m"fu" 2 =θ−−θ=θ

λα

−θ

víi m = ,fu

λα

(m-1).

NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh trªn cã d¹ng: θ(x) = C1eml + C2e

-ml. C¸c h»ng sè C1 vµ C2 t×m theo §KB lo¹i 1 t¹i x = 0 vµ lo¹i 3 t¹i x = l:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−λα

−=−

+=θ→

⎭⎬⎫

θα=λθ−θ=−=θ

−− )eCeC(emCemC

CC

)i()l('tt)0(

ml2

ml1

1ml2

ml1

210

2

0f0

Gi¶i ra ta ®−îc:

[ ] [ ]

)ml(shm

)ml(ch

)xl(mshm

)xl(mch)x(

1

1

0

λα

+

−λ

α+−

θ=θ

Trong tÝnh to¸n kü thuËt, cã thÓ coi α1 = 0 (do f<< ul), khi ®ã ph©n bè nhiÖt

®é trong c¸nh cã d¹ng: [ ]

)ml(ch)xl(mch)x( 0

−θ=θ , hay:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

λα

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

λα

−

−+=

fu.lch

fu).x1(ch

)tt(t)x(t f0f .

Víi thanh trô dµi v« han cã f = const, ph©n bè nhiÖt ®é sÏ lµ:

[ ] mx00

l

e)ml(ch

)xl(mch)x( lim −∞→

θ=−

θ=θ

9.6.3. TÝnh l−îng nhiÖt qua gèc c¸nh

)ml(thm

1

)ml(thmfm)0('fQ

1

1

0

λα

+

+λ

α

θλ=θλ−= , (w)

Khi coi α1 = 0 th× Q = mλfθ0th(ml). Víi thanh dµi v« h¹n th× Q = mλfθ0. L−îng nhiÖt truyÒn qua c¸c lo¹i c¸nh kh¸c th−êng ®−îc tÝnh gÇn ®óng theo c«ng thøc cña c¸nh th¼ng t−¬ng øng råi nh©n víi 1 hÖ sè hiÖu chØnh cho tõng lo¹i c¸nh.