kvalitet sistema automatskog upravljanja - pogoni.etf.rs · kvalitet sistema automatskog...
TRANSCRIPT
KVALITET SISTEMAKVALITET SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJAAUTOMATSKOG UPRAVLJANJAKod projektovanja ili ocene kvaliteta sistema p j jautomatskog upravljanja kao što jeautomatskog upravljanja kao što je regulisani elektromotorni pogon bitna su triregulisani elektromotorni pogon, bitna su tri k it ijkriterijuma:
3 kriterijuma stabilnost statička karakteristika statička karakteristika di ičk k kt i tik dinamička karakteristika Analiza prema redosledu i važnosti:
stabilnost, zatim ponašanje u stacionarnom stanju, i na kraju kvalitet prelaznog režima.
11
StabilnostStabilnost
• Teorema Ljapunova o stabilnostiTeorema Ljapunova o stabilnosti dinamičkih sistemadinamičkih sistema
č Алекса́ндрZa linearne dinamičke sisteme Александр Миха́йлович
Л ́
• Algebarski kriterijumi stabilnostiЛяпунов,
1856-1918Algebarski kriterijumi stabilnosti G f litički k it ij i t bil ti• Grafo-analitički kriterijumi stabilnosti Za stacionarne kontinualne fizički ostvarive linearne sisteme saZa stacionarne, kontinualne, fizički ostvarive, linearne sisteme sakoncentrisanim parametrima, potreban i dovoljan uslov zastabilnost jeste da svi koreni njegove karakteristične jednačineimaju negativne realne delove ili, što je isto, da leže u levoj
l i k l k lji [1]2
poluravni kompleksne promenljive p. [1].2
[1]. M. Stojić, Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, Naučna knjiga, Beograd
Kontinualni sistemiKontinualni sistemiSvi koreni karakteristične jednačine u levoj poloviniSvi koreni karakteristične jednačine u levoj polovini kompleksne ravni:
N pkompleksne ravni:
w
N pF p
D p
0n
D p
D 1 0 1 2... ... 0nn n nD p a p a p a a p p p p p p
Re( ) 0, 1,...,ip j n
U opštem slučaju, za kompleksna rešenja, uslov je p j , p j , jRe(pj)<0, j
U slučaju realnih rešenja karakteristične jednačine, uslov se svodi se na
pj <033
Diskretni sistemiDiskretni sistemiPotreban i dovoljan uslov za globalnu asimptotskuPotreban i dovoljan uslov za globalnu asimptotsku stabilnost linearnog digitalnog (diskretnog) sistemastabilnost linearnog digitalnog (diskretnog) sistema
1( ) ( )k kt t x A xje da sve nule svojstvenog polinoma matrice A,
k k
je da s e u e s ojs e og po o a a ce ,odnosno svi koreni karakteristične jednačine j
det( ) 0z I Adet( ) 0z I A
budu po modulu manji od 1 ili, što je isto, da se nalaze t j di ič k t k di tunutar jediničnog kruga sa centrom u koordinatnom
č tk i [1]početku z ravni [1].
44[1]. M. Stojić, Digitalni sistemi upravljanja, Nauka, Beograd
Statičke karakteristikeStatičke karakteristikePosmatrajmo sistem:
+u yW(p)
+ eW(p)
_
W p W pYF p p Y p U p 1 1wF p p Y p U p
U W p W p
Pretpostavimo da je sistem stabilan5
Pretpostavimo da je sistem stabilan.5
Greška je:1
j 1
1E p U p Y p U p
W
1p p p p
W p
0
lim lim lime e t u t y t pE p 0t t p
Odnosno: p U pOdnosno: 1
p U pe
W p
0
1p
W p
Uzmimo dalje da se W(p) u opštem slučaju može predstaviti u j (p) p j pobliku:
k P pW p
0
rW pp Q p
00 0 1P Q 0Q
r - je astatizam sistema66
Astatizam sistemaAstatizam sistema k P 00 0 1
k P pW p P Q
0
0rp Q
p Q p
ako je r = 0 (nulti astatizam),ako je r 0 (nulti astatizam),
li W k li 0W 2li 0W 0
lim ppW p k
0lim 0p
p W p
2
0lim 0p
p W p
ako je r = 1 (astatizam prvog reda),
limW p lim p W p k 2lim 0p W p 0
limp
W p
0
lim vpp W p k
0lim 0p
p W p
ako je r = 2 (astatizam drugog reda)ako je r = 2 (astatizam drugog reda),
2 0
limp
W p
0
limp
p W p
2
0lim up
p W p k
7
0p 0p 0p
K l ž j B i k k K b j 7Konstanta položaja Brzinska konstanta Konstanta ubrzanja
Sistem nultog astatizmak l ž j
Sistem nultog astatizma li W k k - konstanta položaja
0lim pp
W p k k
P t j i t k d l d d d k č i i lPosmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede odskočni signal:
00
uu t u h t U p 0 pp
0up 0
pupe
1 1
eW p k
0p0p
ako je r = 0, kp = k greška postoji e()=u0/(1+k)j , p g p j ( ) 0 ( )
za r > 0 k →∞ greška ne postoji e(∞)→0za r > 0, kp→∞ greška ne postoji e(∞)→0.88
Od i i t lti t tiOdziv sistema sa nultim astatizmom u vremenskom domenuu vremenskom domenu.
r > 0, kp→∞, greška ne postojip g p j
r = 0 k = k greška postojir 0, kp k greška postoji
99
Si t i t ti dSistemi sa astatizmom prvog reda li W k k b i k k
p g
0lim vp
pW p k k
- brzinska konstanta
Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede linearna funkcija os j o s s e d se u dovede e u c j(rampa): Primer soft start” 0( ) uU( p ) Primer „soft start
Konstantno ubrzanje. 00 2( ) uu t u t U p
p
u
jp
0uup
0
1upe
W p k
1 W p k
0p
0 0vr k e Greška se povećava.
1 /r k k e u k Greška ima konačnu vrednost. 01 /vr k k e u k
Greška ima konačnu vrednost.
1 0vr k e 10
Greška ne postoji.10
r = 0k = k greška postojikp = k, greška postoji
k 0 ( )kv = 0, e(∞) → ∞
V ki d i i t t ti lt dVremenski odziv sistema sa astatizmom nultog reda k d l d d “ ” f k ijkada se na ulaz dovede “rampa” funkcija.
1111
r = 1
kkpp
kv≠0v≠k =kkv=k
Vremenski odziv sistema sa astatizmom prvog redaVremenski odziv sistema sa astatizmom prvog redakada se na ulaz dovede “rampa” funkcijakada se na ulaz dovede rampa funkcija
1212
r = 2
kkp
k kv
Vremenski odziv sistema sa astatizmom drugog redaVremenski odziv sistema sa astatizmom drugog redakada se na ulaz dovede “rampa” funkcijakada se na ulaz dovede rampa funkcija
1313
Si t i t ti d dSistemi sa astatizmom drugog reda 2li W k k k b j
g g 2
0lim up
p W p k k
- konstanta ubrzanja
Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede polinomijalna funkcija os j o s s e d se u dovede po o j u c j(na pr. kvadratna):
2 0u( p ) 2 0
0 3( ) uu t u t U pp
up
Primer: zadavanje 02
u ciljne (referentne) pozicije kod sistema
2
0
1upe
W k
pozicije kod sistema za pozicioniranje. 1 W p k p j
0p
2 0ur k e Greška se povećava.
2 /r k k e u k Greška ima konstantnu vrednost. 02 /ur k k e u k
Greška ima konstantnu vrednost.
2 0ur k e 14
Greška ne postoji.14
r = 1k kp
r=1 k =kr=1 kv=kGreška je konstantnaGreška je konstantna
r=1k =0ku 0
Greška se ćpovećava
Odziv sistema kada se na ulaz dovede signal k d i i d 15sa kvadratnom zavisnosti od vremena 15
r = 2k kp
r=2 k r 2 kv
r=2 ku=k
Od i i t k d l d d i lOdziv sistema kada se na ulaz dovede signal sa k adratnom a isnosti od remena 16sa kvadratnom zavisnosti od vremena 16
St tičk šk k d i tStatička greška kod sistema sa gdva ulazadva ulaza
upyx –
uuyx+ F1(p) F2(p)u
– +1(p) F2(p)
u Upravljački ulazuu – Upravljački ulaz
u – Poremećajup – Poremećaj
1717
St tičk šk k d i tStatička greška kod sistema sa gdva ulazadva ulaza
lim lime u t y t p E p
0
lim limut pe u t y t p E p
uE p U p Y p
1( ) uX p F p U p Y p
1( )
( )up p p p
Y F X U 2 ( ) pY p F p X p U p
2Fy p F U p U p 21
1 21 u py p F U p U pF F
1 2
21 F 211 1u p
FE p U p U pF F F F
181 2 1 21 1F F F F
18
Uprošćeni primer regulisanog pogonap p g g p g
*
U p mmU p uU p
p pU p
p
uu(t) up(t)uu(t)ω*
up(t)mm
t t
mmm
1ω* ωme+–
kmp T
ω* e++k
mp– +
1919
Odloženo dejstvo poremećajaj p j
*
U p 0p tmmU p e uU p
p pU p e
p
uu(t) up(t)uu(t)ω*
up(t)mm
t tt0
mmm
1ω* ωme+–
kmp T
ω* e++k
mp– +
2020
Uprošćeni primer regulisanog pogona) P i l i l b i b d i
p p g g p ga) Proporcionalni regulator brzine, veoma brz odziv momenta,
Nj t j d čiNjutnova jednačina
( )F p k 1( )F p 211 1u p
FE p U p U pF F F F
1( )F p k 2 ( )
m
F pp T
1 2 1 21 1u pp p p
F F F F
*
0 li 0p
p
0mm 0
lim 01
p
pe k 1
mp T
* 1
mp * 1mmpp
lim m m
ppp p T mpe k k
0m 0
lim1 1
pe k k k
0mm
m mp T p T 2121
Uprošćeni primer regulisanog pogonab) P i l I l i l b i
p p g g p gb) Proporcionalno-Integralni regulator brzine,
b d i t Nj t j d čiveoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina
1 1( ) ip TF p k K K
1( )F p 1( ) p ii
F p k K Kp T p
2 ( )
m
F pp T
mmKp
1* ωm+–
p+ 1
p Tω* ωme+
+1 mp T– +1iK +i p
2222
Uprošćeni primer regulisanog pogonab) P i l I l i l b i
p p g g p gb) Proporcionalno-Integralni regulator brzine,
b d i t Nj t j d čiveoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina
1( ) ip TF p k
1( )F p 1( )i
F p kp T
2 ( )
m
F pp T
*
0 li 0p
p
0mm 0
lim 01 11p i
pe p Tk
1 i
i m
pkp T p T
* 1 0
i mp p * 1mmpp
0mm
lim 01 11 1m
ppp p Tpe T T
0
lim 01 11 11 1p i i
e p T p Tk k
i m i mp T p T p T p T 2323
Dinamičke karakteristikeDinamičke karakteristike
• Posmatramo sisteme drugog redaPosmatramo sisteme drugog redaPromena upravljačkog ulaza kao “step• Promena upravljačkog ulaza kao “step f ”funkcija”
• Dva različita slučaja:Dva različita slučaja:S k j k l k i l i– Sa konjugovano kompleksnim polovima.
– Sa realnim polovima (koji u opštem slučaju nisu jednaki, ali bi mogli biti).
2424
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi
2
( ) nF y(t)u(t)2 2( )
2n
wn n
F pp p
F ( )
U(p) Y(p)n np p Fw(p)
00( ) ( ) ( ) uu t u h t U p 0( ) ( ) ( )p
p22
0( ) ( ) ( ) nuY p U p F p 2 2( ) ( ) ( )
2wn n
Y p U p F pp p p
1( ) £ ( ) ( )y t U p F p ( ) £ ( ) ( )wy t U p F p
211 cos 1n tu e t
0 21 cos 1
1nu e t
21
25 2arccos 1
25
Dominantni konjugovano-kompleksni polovij g p pKorišćene oznake:Korišćene oznake:
ω – prirodna (neprigušena) učestanostωn prirodna (neprigušena) učestanostζ – faktor relativnog prigušenjaζ – faktor relativnog prigušenja
preskok [%]π – preskok [%]i i jTs – vreme smirivanja
Tk – vreme kašnjenjak j j – period oscilacija period oscilacijaT vreme usponaTu – vreme usponaT dominantna remenska konstantaTd – dominantna vremenska konstantaTr – vreme reagovanja
2626
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi1.6 T T
ymax
Td Ts
1.4ymax
1.2 T±5%
Ts1
t)
%(±2%)
0.8t), y
(t ( )
u(t
0.63 u00.6
0.63 u0Td0.4
d
0.2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
27
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Vreme t [s] 27Vreme, t [s]
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi1.6 T T
ymax
T10 T90
1.4ymax
1.2
1
t) T0.8t),
y(t Tr
u(t
T0.60.5 u0
Tk
0.40
T0.2 Tu
0 1 2 3 4 50
0 1 2 3 4 5
Vreme t [s] 28Vreme, t [s] 28
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi1.6 t t
1 4ymax
t t τ1.4 max
1.2 π11
(t)
0.8
(t), y
(
0 6
u(
0.6
0.4
0 20.2
0 2 4 6 8 10 120
0 2 4 6 8 10 12
Vreme t [s] 29Vreme, t [s] 29
Dominantni realni polovi (dva realna pola)1p p
1 2 1( )
1 1wp pF p
p p p p T p T p
1 2 1 21 1p p p p T p T p
0( ) ( ) ( ) uu t u h t U p1 1T T 00( ) ( ) ( )u t u h t U p
p 1 2
1 2
T Tp p
p
( ) ( ) ( )Y U F
1 2p p
( ) ( ) ( )wY p U p F p y(t)u(t)
F (p)U(p) Y(p)
Fw(p) 1( ) £ ( ) ( )wy t U p F p ( ) ( ) ( )wy p p
p p 2 11 2
0 1 p t p tp pu e ep p p p
1 2 1 2p p p p
1 2/ /1 21 t T t TT Tu e e
300
1 2 1 2
1u e eT T T T
30
Dominantni realni polovi (dva realna pola)p ( p )Korišćene oznake:Korišćene oznake:
T – vreme smirivanjaTs vreme smirivanjaT – vreme kašnjenjaTk – vreme kašnjenjaT vreme usponaTu – vreme uspona
d i t k k t tTd – dominantna vremenska konstanta
fNe mogu se definisati:ωn – prirodna (neprigušena) učestanostζ – faktor relativnog prigušenja
k k [%]π – preskok [%]i d il ijτ – period oscilacija
T vreme reagovanja31
Tr – vreme reagovanja31
D i t i l i l i (d l l )Dominantni realni polovi (dva realna pola)1.6 T TTd Ts
1.4
1.2
±5%1
t)
%(±2%)T
0.8t), y
(t ( )Ts
u(t
0.63 u00.6
0.63 u0Td0.4
d
0.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
32
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vreme t [s] 32Vreme, t [s]
D i t i l i l i (d l l )Dominantni realni polovi (dva realna pola)1.6 T10 T90
1 4
10 90
1.4
1.2
11
y(t)
0.8
(t), y
0 6
u
Tk0.60.5 u0
Tk
0.4
0.2 T0.2 Tu
0 1 2 3 4 50
33Vreme, t [s] 33[ ]
Matlab/Simulnik modelMatlab/Simulnik model
34
2 1,558262,2 2.2 4 1 10,641472
34