WYBRANE WYKŁADY Z MECHANIKI PŁYNÓW

Jan Kulczyk

WYKŁAD 1. Wstęp, podział mechaniki płynów, siły. MP to dział fizyki w odniesieniu do ośrodków ciągłych. Obejmuje zagadnienia równowagi – HYDROSTATYKA, ruchu – KINEMATKA, i sił – DYNAMIKA. Ogólnie mechaniką płynów rządzą te same prawa co mechaniką ciała stałego. Właściowości płynów rzeczywistych powodują, że analiza teoretyczna w odniesieniu do badania ruchu płynu jest znacznie trudniejsza niż ciał stałych, stąd duże znaczenie badań doświadczalnych. (mimo znaczącego postępu w dziedzinie numerycznej mechaniki płynów).Uchwycenie wszystkich zjawisk w skali mikro wymaga budowy bardzo gęstych siatek, a to oznacza konieczność stosowania komputerów o bardzo dużej pamięci i bardzo szybkich. Mechanika płynów ma zastosowanie w wielu działach techniki, wszędzie tam gdzie występują przepływy gazu, oleju, wody, pary. Te dziedziny techniki to:

• Maszyny energetyczne • Lotnictwo i okrętownictwo • Urządzenia sanitarne • Układy hydrauliczne • Biomechanika • Transport rurociągowy • Aparatura chemiczna- przemysłowa • Surowce mineralne

PŁYN To ciecze i gazy-podstawowa cecha to brak zdolności do utrzymania kształtu, jest to równoznaczne z brakiem sprężystości postaciowej. Ciało stałe, a także ciecz to zbiór mikrocząstek o określonych własnościach chemicznych i fizycznych. Te własności nie będą przedmiotem naszych rozważań. Pojęcie płynu obejmuje swoim zakresem gazy i ciecze. CIECZ a GAZ. Ciecz – nie przejawia tendencji do nieograniczonego rozszerzania się. Oznacza to, że posiada

tzw. sprężystość objętościową. Ciecze są mało ściśliwe. Brak ściśliwości oznacza, że medium nie zmienia swojej objętości mimo działamy

na nie dużymi siłami. Gaz – posiada bardzo dużą ściśliwość, oznacza to brak sprężystości postaciowej i

objętościowej. Gazy samoistnie dążą do wypełnienia całej wolnej przestrzeni. W pewnych warunkach gazy traktowane są podobnie jak ciecze, jako nieściśliwe. Można takie założenie przyjąć, jeśli prędkości przepływu gazu są małe - V< 0.4Ma. Podobnie ma się z cieczami. W hydraulice siłowej, gdzie występują duże ciśnienia uwzględnia się często ściśliwość cieczy. Cecha ta odgrywa istotna rolę w tłumieniu pulsacji i obciążeń zmiennych w czasie.(amortyzatory olejowe). W mechanice cieczy i gazów płyn traktuje się jako ośrodek ciągły, tzn. płyn jest materią ciągłą doskonale wypełniającą przestrzeń, bez przerw i wtrąceń. Definicja ośrodka ciągłego związana jest z liczbą KNUDSENA (Kn)

01.00 ≤= Ll

nK lo – rozstaw molekuł substancji L – wymiar charakteryzujący ruch w skali makro

Dla wody l0 = 3*10-10m. W normalnych warunkach ciśnienia 1 mikron 3 powietrza zawiera 27*106 molekuł, a droga swobodna wynosi 9.3*10-6cm. Założenie ciągłości wprowadza ograniczenia dotyczące najmniejszej masy płynu, dla której obowiązują ogólne prawa mechaniki. (ciała stałe sprowadza się często do punktu materialnego) Odpowiednikiem punktu materialnego w przypadku płynów jest ELEMENT PŁYNU. Element płynu to najmniejsza objętość dostatecznie duża w stosunku do swobodnych dróg międzycząsteczkowych i mała w stosunku do wymiarów liniowych ciał stałych ograniczających rozpatrywaną masę płynu lub poruszających się w płynie. WŁAŚCIWOŚCI CIECZY I GAZÓW. Ciecz to zbiór cząstek o określonych własnościach fizycznych i chemicznych. Pomijając własności chemiczne z fizycznych istotne znaczenie mają;

• Gęstość • Ciężar właściwy • Ściśliwość • Lepkość.

Do opisu wszystkich wielkości fizycznych charakteryzujących daną ciecz, w dalszych częściach wykładu stosowany będzie konsekwentnie układ jednostek SI. Podstawowe trzy jednostki to:

• Miara liniowa L [m] • Miara masy m [kg] • Czas t,T [s].

Gęstość.

∆V

M(x,y,z)

z

x

y

dA

gęstość dVdm

VmTzyx

V=

∆∆

=→Λ

lim0

),,,(ρ

ρ [kg.m-3] ciężar właściwy γ = ρg [N.m-3], [kg.m-2.s-2] ciężar dG=gdm V – objętość [m3] T- temperatura g – przyśpieszenie ziemskie [ ms-2 ] Często szczególnie w przepływach z przemianami termodynamicznymi operujemy objętością właściwą v. Jest ona odwrotnością gęstości; ρ

1== dmdVv

Dla płynu jednorodnego, w którym ρ lub γ nie zależy od temperatury i położenia można przyjąć: V

m=ρ ; VG=γ

W większości przypadków gęstość jest funkcją temperatury i ciśnienia: ρ=ρ(T,p) T – temperatura p - ciśnienie Dla cieczy zależność gęstości od temperatury i ciśnienia jest mała i przyjmuje się z zasady, że ρ=cont. Mówimy wówczas o tzw płynie barotropowym. Nazwa ta jest również słuszna w przypadku, gdy gęstość zależy tylko od ciśnienia. Jeśli gęstość jest funkcją ciśnienia i temperatury to płyn taki nosi nazwę płynu baroklinowego. W przypadku cieczy przyjmuje się, że są one typu barotropowego i inne nie będą tu analizowane. W przypadku gazów nie można pominąć zależności gęstości od temperatury i ciśnienia. Jest to ewentualnie możliwe w przypadku bardzo małych prędkości przepływu gazów. Dla gazów zachodzi zależność: ρ = ρ(T,p,V) T, p i V są to tzw parametry stanu. Związek pomiędzy nimi opisuje tzw równanie stanu Clapeyrona: p.v = R.T lub p.V=mRT R – indywidualna stała gazowa (dla powietrza wynosi ona 287 Nm/kg.oK) Przykładowe parametry powietrza i wody w zależności od temperatury i ciśnienia: Woda,

Zależność gęstości od temperatury przy ciśnieniu atmosferycznym pb pb = 0.1013 MN/m2 = 1.013*105 N/m2 = 1013 hPa T [ 0K] ρ [kg.m-3] p [N.m2] ρ [kg.m-3] 273 999.84 1.105 999.97 293 998.20 100.105 1004.94 373 958.3- 500.105 1025.59 Dla powietrza przy ciśnieniu normalnym zależność gęstości od temperatury wynosi:

T [0K] ρ [kg/m3] 273 1.293 293 1.2045 373 0.9458 473 0.7457

Przy analizie ruchu ciał w powietrzu lub przepływu gazów, z uwagi na równanie stanu należy uwzględniać zachodzące przemiany termodynamiczne. Szczegółowo problemy te są omawiane w termodynamice. Tu tylko dla przypomnienia przypominam rodzaje przemian. Ogólnie każdą przemianę można opisać zależnością: p*Vm = const. - przemiana politropowa m – wykładnik politropy m = 0 przemiana izobaryczna (p=const) m = 1 przemiana izotermiczna (pV=const) m=κ = cp/cv przemiana adiabatyczna m = ∞ - przemiana izochoryczna p1/p2 = T1/T2 Jeśli będzie mowa o przepływach z zachodzącymi przemianami termodynamicznymi, to będziemy się odnosić do przemiany adiabatycznej. ŚCIŚLIWOŚĆ. To cecha płynu do zmiany objętości pod wpływem działania ciśnienia, czyli podatność płynu na odkształcenia postaciowe. Jeśli w stanie początkowym parametry płynu wynoszą: T1, p1, V1, to po zwiększeniu ciśnienia z p1 do p2 o ∆p, objętość zmniejszy się o wartość ∆V: V2 = V1 – ∆V Współczynnik ściśliwości w przedziale ciśnień p1≤≥p2, jest to wartość względnego zmniejszenia się objętości płynu, przy zmianie ciśnienia o jednostkę.

pV

Vpp

VVV ∆

∗∆

=−−

=−1

112

21121

1ζ

ζ – dzeta ξ – ksi.

W granicy gdy ∆p zmierza do 0 otzrymuje się zależność: dpV

dV 1=ζ (1)

Jeśli m= const, to wówczas V=m/ρ, różniczkując ostatnią zalezność, otrzymujemy:

ρdmdV 2= po uwzględnieniu tej zależności z równania (1), otrzymuje

się: ρ

dpρζ = (2) d 1ρ

Odwrotność współczynnika ściśliwości, to moduł sprężstości Yanga:

ρd

dp0 ρζ E ==1

Jak wiadomo z mechaniki ciała stałego moduł sprężystości to stosunek naprężenia do odkształcenia. Jednostką współczynnika ściśliwości jest [m2.N-1]. W obliczeniach związanych ze ściśliwością można posługiwać się ciągiem zależności:

pdp

dpV

VVdpV

dV∆

−==

∆−

==1111

2

12

1

21

ρρρ

ρρ

ζ

Przy wyprowadzaniu ostaniej zależności wykorzystuje się następujące założenia: m = V*ρ = const tzn., że V1ρ1=V2ρ2 i stąd:

2

12

1

21

1

21

ρρρ

ρ

ρρ −=

−=

−m

mm

VVV

Przykładowa dla wody w zakresie ciśnienia p=0.1 – 10 MN/m2 współczynnik ściśliwości wynosi ζ ≈ 5*10-10 m2/N, a dla powietrza dla tych samych warunków ok. 1m2/N. Z porównania tych dwu wartości, zasadne jest założenie, że ciecze można traktować jako nieściśliwe. W przypadku gazów współczynnik ściśliwości zależy również od przemiany termodynamicznej jaka realizuje się podczas zmiany parametrów stanu. Ogólnie ściśliwość zależy od temperatury i ciśnienia, przy czym wzrost ciśnienia powoduje wzrost współczynnika ściśliwości. Rozszerzalność cieplna:

dTdV

V1

=α ; lub 12

12

1

1TTVV

V −−

=α

Lepkość. Dyssypacja – rozproszenia energii mechanicznej.

W przypadku płynu energia zmniejsza się przechodząc w sposób nieodwracalny w energię cieplną Z tym związane jest zjawisko molekularnego transportu pędu i energii kinetycznej molekuł. Pęd rozkład pędu nie jest równomierny wskutek dyssypacji energii. Ciecz dąży jednak do wyrównania pędu. Następuje to na wskutek tarcia wewnętrznego, czyli naprężeń stycznych. Naprężenia styczne są wynikiem lepkości cieczy. Lepkość to też zdolność do przenoszenia naprężeń stycznych przy wzajemnym przemieszczaniu się elementów płynu poruszających się z różnymi prędkościami. Ta cecha będzie wykorzystywana w mechanice cieczy i gazów odnośnie zjawisk przepływu i opływu. Lepkość jest wynikiem występowania sił adhezji (przylegania).Siły te mają istotne znaczenie w zjawiskach związanych z napięciem powierzchniowym i włoskowatością. Cechy te nie będą w tym cyklu wykładów poruszane. W naszych dalszych rozważaniach lepkość będziemy kojarzyć z zjawiskiem oporu jaki stawia element płynu, który chcemy odkształcić. To odkształcenie jest wynikiem zmian prędkości w przekroju przepływającej cieczy. Wiążemy tu lepkość z zjawiskiem odkształcenia postaciowego. Odkształcenie postaciowe to zmiana kształtu elementu cieczy.

dΘ

z z

x x

τ

τ

B A A’

D C

B’

dVxdt

Vx

Vx+dVx

dz

dtdVADAA x ∗

==Θ'

d i stąd dz

dVdtd x=

Θ

Z powyższych zależności wynika, że odkształcenie postaciowe Θ elementu płynu jest liniową funkcją prędkości odkształcenia. Wraz z odkształcaniem elementu płynu, pojawiają się naprężenia styczne, przeciwdziałające temu odkształceniu. Newton przyjął, że naprężenia te są proporcjonalne do prędkości odkształcenia:

dndV

dzdVz ηητ ==

gdzie: η- współczynnik proporcjonalności noszący nazwę współczynnika lepkości dynamicznej. n – kierunek normalny do elementu powierzchni opływanego ciała.

Zgodnie z hipotezą Newtona zachowuje się większość gazów i cieczy (woda, oleje, powietrze). Są jednak ciecze, które nie wykazują właściwości cieczy newtonowskich. Są to np. krew, pasty, szlamy, lakiery, smoły. Mówimy wówczas o tzw. cieczach nienewtonowskich.

3

1

4 2

dV/dn

τ

Zależność naprężenia stycznego od prędkości odkształceń.

1. Ciecz newtonowska 2. Płyn pseudoplastyczny (zawiesiny koloidalne) 3. Płyny tiksotropowe (elastomery)

Prócz wymienionych wyżej spotyka się modele płynów plastyczno lepkich. Są to płyny które przy małych naprężeniach zachowują się jak ciała stałe. Najprostszym modelem takiego płynu jest model Binghama.(krzywa 4 na rysunku). Oddzielne zagadnienie to modele płynów fizjologicznych. Stworzenie wiarygodnego modelu np. krwi ludzkiej napotyka na olbrzymie trudności. Model krwi zależy od cech osobowych człowieka i nie daje się opisać jedną uniwersalną zależnością. W dalszych naszych rozważaniach zajmować się będziemy płynami newtonowskimi lub tzw. doskonałymi. Płyn doskonały to płyn w którym nie występują naprężenia styczne, tj. lepkość jest zerowa. Miarą dynamicznego współczynnika lepkości η jest [kg/m.s] lub [N.s/m2]. W praktyce stosuje się jednostkę techniczną 1P (poise); 1 P = 10-1 [kg/m.s]. Prócz dynamicznego współczynnika lepkości stosuje się tzw. kinematyczny współczynnik lepkości ν. Z dynamicznym związany jest zależnością: ν = η/ρ [m2/s] Jednostką techniczną współczynnika kinematycznego jest 1 St (stokes) 1 St=10-4 m2/s

Kinematyczny współczynnik lepkości zależy od temperatury i ciśnienia. Wpływ ciśnienia jest istotny w przypadku bardzo dużych ciśnień. (do 2Mpa wpływ ten można pominąć). Zależność od temperatury należy uwzględniać, przy czym temperatura wpływa na jego wartość różnie w zależności, czy to jest ciecz czy gaz (rys). W gazach wzrost temperatury powoduje wzrost ilości zderzeń międzycząsteczkowych, a więc wzrost sił tarcia wewnętrznego i lepkości. W płynach ze wzrostem temperatury rosną odległości między molekułami, a więc maleją siły spójności. Dla wody ν jest rzędu 10-6 m2/s, a dla powietrza rzędu 15*10-6 m2/s.

ν

2

1

273oC 373oC

1 – woda 2 – powietrze. Modele cieczy a podział mechaniki płynów. Płyny doskonałe – pomijamy lepkość i ściśliwość (ciecze, gazy- małe prędkości). Płyny rzeczywiste - płyn lepki (newtonowski ) i ściśliwy. W przypadku cieczy przyjmuje się najczęściej, że ciecz jest lepka i nieściśliwa, a dla gazów ,że jest nielepki i ściśliwy. Siły działające w płynach. Zasadniczy podział tych sił to podział na siły: masowe (objętościowe) powierzchniowe Masowe działają na każdy element płynu i są proporcjonalne do masy elementu. Formalnie mogą być zewnętrzne i wewnętrzne, ale pole zewnętrzne indukuje w płynie analogiczne pole wewnętrzne. Siły masowe dzielimy na: 1. siły ciężkości związane z polem grawitacyjnym 2. siły bezwładności d'Alamberta w nieinercjalnym układzie odniesienia (np. ciecz w

zbiorniku nieruchoma, a zbiornik porusza się ruchem niestacjonarnym) 3. siły elektromagnetyczne Wymienione powyżej siły są to siły zewnętrzne. Siły masowe wewnętrzne to siły bezwładności, wynikające z ruchu niestacjonarnego cieczy.

W dalszych rozważaniach mówić będziemy o wektorze sił masowych.

Elementarny wektor sił masowych wynosi: r

dF q dVr= ⋅ ρ

gdzie: q(qx,qy,qz) wektor intensywności sił masowych. Jest on funkcją położenia Ma wymiar przyśpieszenia, choć to nie jest przyśpieszenie, określa się go z następującej zależności:

kqjqiq

mFzyxq zyx

m

rrrr

r⋅+⋅+⋅=

∆∆

=→∆

lim0lim

),,(

Całkowita siła masowa wyniesie:

r rF qV

= ∫∫∫ ρ dV

Dla cieczy jednorodnych, siła ta wynosi: r

rF q= ρ V V - objętość W ziemskim polu grawitacyjnym w zasadzi składowe qx i qy są równe zero, a składowa

pionowa ma wartość przyśpieszenia ziemskiego. Siły powierzchniowe: To siły działające na wyodrębnioną powierzchnię S, po obu stronach tej powierzchni. Z zasady jest to powierzchnia styku płynu i powierzchni ciała stałego. Może być też tzw. powierzchnia kontrolna wyodrębniająca określoną objętość elementu płynu z całości, a także powierzchnia rozdziału dwu nie mieszających się cieczy (np. powierzchnia swobodna ) Do tych sił zaliczamy: − siły ciśnienia − siły styczne wywołane tarciem w samym płynie lub płynu o ściany sztywne − napór cieczy na ściany − siły hydrodynamiczne będące wynikiem ruchu ciała stałego w płynie (siła nośna na

skrzydłach samolotu) Siły powierzchniowe wywołują na danej powierzchni stan naprężeń. Ogólnie jest to pole tensorowe. Wielkość naprężeń zależy nie tylko od położenia punktu, ale także od orientacji powierzchni w przestrzeni. Stosunek elementarnej siły powierzchniowej do elementarnej powierzchni, gdy ta ostatnia zdąża do zera definiuje nam naprężenia powierzchniowe τn:

dAtdAndAPd

tn

dAPd

AP

ntnnn

ntnnn

An

⋅⋅+⋅⋅=⋅=

⋅+⋅=

=∆∆

=→∆

rrr

rr

rr

τττ

τττ

τ lim0

n, t wersory normalne i styczne do elementu powierzchni dA τnn - naprężenia normalne do powierzchni

τnt - naprężenia styczne do powierzchni

nr

M

j i

k

z

x

τr

Można udowodnić, że naprężenia normalne do pelementu powierzchni i dlatego są skalarem. W mechciśnienia, przy czym wszystkie składowe tego napręż pppppn zyxnnn −=====⋅

rτCałkowita powierzchniowa siła normalna wynosi: ∫ ⋅−=

AdApP

r

Znak minus w ostatniej zależności wynika z przyjskierowana jest zawsze prostopadle do powierzchni. Naprężenia styczne wywołane są lepkością cieczymożna napisać:

dndV

nt ηττ ==

a całkowita powierzchniowa siła styczna:

∫ ⋅⋅=A

dAdndVηT

r

y

∆P

owierzchni zależą tylko od położenia anice płynów naprężenia te noszą nazwę enia są takie same:

ęcia, że siła od naprężenia normalnego

. Przy założeniu cieczy newtonowskiej

Siły powierzchniowe występują zawsze niezależnie od tego czy ciecz jest lepka czy nie, w spoczynku, czy w ruchu. Siły powierzchniowe styczne nie występują w cieczach idealnych. Przy założeniu cieczy rzeczywistych musi być spełniony dodatkowy warunek: ciecz musi być w ruchu.

WYKŁAD 2

Kinematyka płynu

Kinematyka to opis ruchu cieczy, bez uwzględnienia przyczyn i skutków tego ruchu. Nie zajmujemy się siłami i momentami. Można wyjść z ogólnych równań ruchu i przejść do kinematyki. Jednak z uwagi na względy czysto poznawcze analizę rozpoczyna się od przypadku prostszego tzn. samej kinematyki. Ruch ośrodków ciągłych, a cieczy w szczególności można badań, stosując dwa różne układy zmiennych niezależnych Lagrange’a i Eulera. Ciecz się odkształca, to dodatkowe trudności. Zmienne Lagrange’a (metoda Lagrange’a) badamy zmiany położenia poszczególnych elementów płynu.

c

X

b

z

y

x

Vo P(t)

Po(to)

Y

Z

W czasie t0 wybrany z danego obszar płynu o objętości V0 punkt P0, o współrzędnych a,b,c. t0 Vo, Po wsp. a, b, c, t w czasie t (po upływie czasu ∆t) punkt P0 przyjmie położenie P o spółrzędnych x,y,z.

ttt o ∆+= Vo V wsp. x, y, z. ( ) ( )ttPtP oo ∆+→Bieżące wsp. punktu elementu płynu zależą nie tylko od geometrii przepływu ale i od chwili to. Matematycznie można napisać:

( )(( )tcbazz

tcbayytcbaxx

,,,,,,,,,

===

) (1)

jest to parametryczne równanie toru tego elementu, jednego z wielu (zmiana a,b,c – inny element płynu). a,b,c=const, a t zmienne – to położenie wybranej cząstki w różnym czasie – tor ruchu. t=const, a,b,c≠cons – to położenie wszystkich cząstek w czasie t. Równanie (1) – ciągłe – bo ośrodek ciągły, przepływ bez rozerwania. Składowe pola prędkości mają postać:

( ) ,,,,t

tcbaxVx ∂∂

= ( )

ttcbay

y ∂∂

=,,,V ,

( )t

tcbazz ∂

V ∂=

,,, (2)

a składowe pola przyśpieszeń : ( ) ,,,,

2

2

ttcbax

tVa x

x ∂∂

=∂

∂=

( ) ,,,,2

2

ttcbay

tV

a yy ∂

∂=

∂∂

= az=....

Zmienne Eulera. Badanie pól wielkości fizycznych W obszarze płynu, wybieramy punkt M(x,y,z). Przez punkt ten przechodzą kolejne elementy płynu (kolejne cząsteczki). Prędkości są funkcją położenia tego punktu (x,y,z) i czasu t.

( )tzyxVV ,,,= ( )tzyx ,,,ρρ = ( )tzyx ,,,ρρ =

Składowe wektora prędkości są funkcją położenia i czasu t: ( )( )( )tzyxVV

tzyxVVtzyxVV

zz

yy

xx

,,,

,,,,,,

=

==

jeżeli x,y,z=c, t≠c prędkość różnych cząsteczek w wybranym punkcie x,y,z≠c, t=c prędkość wszystkich cząsteczek w czasie t. Składowe przyśpieszenia wynoszą:

dtdva x

x = , dt

dva y

y = , dt

dva zz =

Pochodna t

Vt

Vt

V zyx

∂∂

∂∂

∂∂ ,, zmiana prędkości cząsteczek w punkcie M(x,y,z)

Są to pochodne lokalne dla określonego punktu. W różnych chwilach pochodne odnoszą się do różnych cząsteczek. Dla określenia przyśpieszenia dla cząsteczki, która w danej chwili przepływa przez obrany punkt, należy przyjąć zmianę wsp. x,y,z, bowiem cząsteczka ta zmienia swoje położenie

dtdz

zV

dtdy

yV

dtdx

xV

tVa xxxx

x ⋅∂

∂+⋅

∂∂

+⋅∂

∂+

∂∂

=

dtdz

zV

dtdy

yV

dtdx

xV

tV

a yyyyy ⋅

∂∂

+⋅∂

∂+⋅

∂∂

+∂

∂=

dtdz

zV

dtdy

yV

dtdx

xV

tVa zzzz

z ⋅∂

∂+⋅

∂∂

+⋅∂

∂+

∂∂

=

czyli

zx

yx

xxx

x Vz

VVy

VVx

Vt

Va ⋅∂

∂+⋅

∂∂

+⋅∂

∂+

∂∂

=

zy

yy

xyy

y Vz

VV

yV

Vx

Vt

Va ⋅

∂∂

+⋅∂

∂+⋅

∂∂

+∂

∂=

zz

yz

xzz

z Vz

VVy

VVx

Vt

Va ⋅∂

∂+⋅

∂∂

+⋅∂

∂+

∂∂

=

W formie wektorowej, ostatnie trzy zależności maja postać:

zyx VzVV

yVV

xV

tVa ⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

=

Prawa strona powyższych równań – suma dwu pochodnych

tV

∂∂ - pochodna lokalne, miejscowa. Zmiana prędkości z czasem w danym punkcie

(charakteryzuje niestacjonarności przepływu)

zyx VzVV

yVV

xV

⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

- pochodna unoszenia (konwekcyjna). Charakteryzuje

zmianę prędkości cieczy, związanej z przemieszczeniem się cząsteczki. Odnosi się do niejednorodności pola.

Suma dwu pochodnych nosi nazwę pochodnej wędrownej, materialnej (substancjalna) W dalszych rozważaniach, opierać się będziemy na zmiennych Eulera. Ogólne równania mają różną postać (w zależności od zastosowanej metody). Przejście z jednych zmiennych w drugie zawsze jest możliwe (istnieje jakobian przekształcenia). Przejście może powodować np., że przepływ stacjonarny okazuje się niestacjonarny i na odwrót. E L – kłopotliwe – wymaga całkowania L E - łatwiejsze

WYKŁAD 3

Równanie ciągłości – tor, linia prądu (równanie zachowania masy)

Pole prędkości ma ścisły związek z gęstością płynu (dla ośrodka ciągłego). Związki matematyczne, które łączą te wielkości noszą nazwę równania ciągłości. Musi być ono spełnione zawsze, niezależnie czy rozpatrujemy dynamikę czy hydrostatykę. Równanie to wyraża zasadę zachowania masy, tzn., że w zamkniętym układzie fizycznym masa czynnika nie może ani powstać ani zniknąć (anihilacja?), poza tym nie ma przerw w obszarze w przestrzeni gdzie rozpatrujemy przepływ. W praktyce, te warunki nie zawsze są spełnione np. kawitacja, przepływy z osobliwościami, przepływy gdzie zachodzą reakcje chemiczne. Nim przejdę do wyprowadzenia równania ciągłości podam definicję natężenia przepływu: jest to ilości płynu przepływającego przez powierzchnię w jednostce czasu. Wielkość tą można wyrazić jednostkach objętości Q (natężenie objętościowe), jednostkach masy M (natężenie masowe), jednostkach ciężarowych (natężenie ciężarowe). O natężeniu decyduje nie V, a składowa normalna Vn do powierzchni

ds

P

S vn

t

n

V

Vt

dSndsVVn == βcos Ilość cieczy dQ przepływającej przez element powierzchni ds. wynosi: r

dSVdSVdSVdQ n=⋅== βcos

Dla całej powierzchni S: Q ∫=S

ndSV

Gdzie: Vn – rozkład składowej normalnej prędkości na powierzchni S. Jeśli operujemy prędkością średnią, wówczas objętościowe natężenie przepływu możemy wyrazić jako:

∫=

⋅=

SndSV

SV

gdzieSVQ

1

L

Natężenie masowe – strumień masy ( )tp,ρρ =

∫∫

∫==

S

S

n

n

dS

dSV

VdSVMρ

ρ

ρ ;

Natężenie ciężarowe

∫=S

ndSvgG ρ

===

sNG

skgM

smQ

QggMGQM

,,

,3

ρρ

Równanie ciągłości wyprowadzimy w oparciu o analizę przepływu przez elementarną objętość, która ma kształt sześcianu. Rozpatrzymy tylko przepływ w kierunku osi x. Postępując podobnie dla pozostałych kierunków uzyskujemy pełne równanie ciągłości dla przepływu trójwymiarowego. Vx

Vx

z

x

V∂

dy

dz

dx y

Suma cieczy wpływającej i wypływającej w jednostce czasu dpłaszczyzny prostopadłe do osi x wynosi:

dxdydx

Vdydzdtdxx

VVdtdydzV xxxx ∂

∂=

∂∂

+−⋅⋅ ρρρ

Uwzględniając pozostałe kierunki otrzymujemy:

dtdxdydzx

Vx ⋅∂

∂− ρ

dtdxdydzy

Vy ⋅∂

∂− ρ

dxx

V xx ∂

+

t przez dwie przeciwległe

zdt

(1)

dtdxdydzz

Vz ⋅∂

∂− ρ

Suma tych trzech wielkości musi być równa zmianie masy zawartej w objętości prostopadłościanu. Zmiana masy może być wynikiem tylko zmiany gęstości.

dxdydzdtdtdρ (2)

czyli możemy napisać, że (2)=Σ(1). Po przeniesieniu i uproszczeniu przez dx, dy, dz, dt otrzymujemy:

0=

∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

zV

yV

xV

dtd zyxρρ (3)

lub w zapisie wektorowym:

( ) 0div =+ Vdtd r

ρρ

Wykorzystując pojęcie pochodnej lokalnej i unoszenia, pierwsze wyrażenie w ostatniej zależności można zapisać inaczej i wówczas:

( ) 0divgrad =+⋅+∂∂ VV

tr

ρρρ

jeśli ρ=const – to mamy płyn nieściśliwy i wówczas: ( ) 0div =V

Ostatecznie dla cieczy nieściśliwych, o stałej gęstości równanie ciągłości ma postać:

0=∂

∂+

∂∂

+∂

∂z

Vy

Vx

V zyx

Interpretacja ( )Vdiv Jeśli wyróżnimy objętość W, to ρ i V – mogą ulec zmianie, ale m=ρW=const

0=+=dt

dWWdtd

dtdm ρρ

( ) 011==−= Vdiv

dtd

dtdW

Wρ

ρ - dla cieczy nieściśliwej

Równanie ciągłości ma bardzo istotne zastosowanie praktyczne w analizie przepływów jednowymiarowych (np. rurociągi). Jaką ma więc ono postać dla przepływów jednowymiarowych. Dla przepływu jednowymiarowego w kierunku np. s pole przekroju A zmienia się wraz z zmienną s. Gęstość jest funkcją czasu t i zmiennej s: ρ=ρ(t,s). Pochodna gęstości po czasie ma postać:

Vstdt

dsstdt

d∂∂

+∂∂

=⋅∂∂

+∂∂

=ρρρρρ

Dla przepływu jednokierunkowego można więc zapisać w oparciu o równanie (3):

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

sAV

sVA

sAV

tA ρρρρ

W ostatniej zależności wyrażenie sAV

∂∂ρ , wynika z faktu, że przekrój A, jest zależny od od

zmiennej kierunkowej s. W formie skrótowej równanie ciągłości dla przeplywu jednowymiarowego ma pstać:

( ) 0=∂

∂+

∂∂

sVA

tA ρρ

Jeśli ρ=const to wówczas można napisać: ρAV=C

czyli że, objętościowe natężenie przepływu CVAQ =⋅= gdzie V - prędkość średnia Prędkość średnią można wyznaczyć z zależności:

∫==A

dAAVA

VAQV )(1

Przykład wykorzystania: Jeśli mamy przepływ przez rurociąg o zmiennym polu przekroju, to z równania ciągłości bezpośrednio ważna jest zależność: A1V1=A2V2. Linie prądu, tor elementu. Pole prędkości – jest polem wektorowym

kVjViVV zyx ++= Z polem wektorowym związane jest stąd pojęcie linii prądu Jest to linia, do której w każdym punkcie jest styczny wektor prędkości. W zapisie matematycznym ma to postać:

0=×Vsd lub: 0=

zyx VVVdzdydxkji

ds. jest to wektor element linii prądu. Przy ustalonej prędkości V=const – linie prądu pokrywają się z torem elementu płynu i linie nie mogą się przecinać (ruch ustalony, tor i element pokrywają się).

zyx Vdz

Vdy

Vdx

== - równanie różniczkowe linii prądu

dtVdz

Vdy

Vdx

zyx=== - równanie toru elementu płynu

Rurka prądu to powierzchnia składająca się z linii prądu, przechodzących przez zamknięty kontur. W rurce strumień lub struga cieczy.

WYKŁAD 4 Równania dynamiki ruchu płynu

Równania dynamiki uwzględniają wszystkie zjawiska, jakie zachodzą w czasie ruchu płynu. Wiążą wszystkie siły, jakie mogą wystąpić w trakcie ruchu z parametrami ruchu i właściwościami płynu. Równania te wynikają z zasady zachowania pędu (ilości ruchu), lub bezpośrednio z drugiej zasady dynamiki Newtona. Zasada ta mówi, że siła bezwładności jest w każdej chwili równa sumie wszystkich sił zewnętrznych działających na dany element płynu. Jest to sformułowanie d’Alamberta. Równania wyprowadzać będziemy dla elementu płynu. Obowiązywać będą one dla całego rozpatrywanego obszaru przepływu. Równania te mogą mieć postać całkową lub różniczkową. Postać całkowa wykorzystywana jest bezpośrednio do wyprowadzenia związków wynikających z zasady zachowania pędu i momentu pędu. Jeśli do wyprowadzenia ogólnych równań wychodzi się stosując sformułowanie d’Alamberta, otrzymujemy postać różniczkową równań ruchu. Na wybrany element płynu działają wszystkie siły, które zostały zdefiniowane w części 1. Te siły to siły masowe, powierzchniowe normalne i styczne, oraz bezwładności. Równania zostaną wyprowadzone przy założeniu, że ciecz jest nieściśliwa, newtonowska. Analizujemy siły występujący na elemencie o wymiarach dxdydz.

x

dT2

z

dxdydzdt

dVyρ

( )dxdzdyp yp

∂∂+

dy

--dT1dx

vy

pdxdz

ρqydxdydz

y

dzV zV

yy

∂∂+

dz

Rozpatrujemy tylko siły działające w kierunku y. Postępując identyczne dla pozostałych kierunków otrzymuje się pełne równanie ruchu płynu rzeczywistego. Dolna płaszczyzna przemieszcza się z prędkością Vy, górna natomiast z prędkością:

dzV zV

yy

∂∂+ . Powoduje to powstanie odkształcenia postaciowego, a tym samym sił

powierzchniowych stycznych. Na górnej płaszczyźnie siła T2 ma znak dodatni, bo działa zgodnie z kierunkiem osi y a na dolnej ujemny, bo przeciwdziała odkształceniu i ma zwrot przeciwny do dodatniego kierunku osi y. Dwie siły powierzchniowe normalne działają na przeciwległe ścianki prostopadle do powierzchni na które działają. Te siły to pdxdz i ( )dxdzdyp y

p∂∂+ . Siła masowa na jednostkę objętości wynosi ρqydxdydz, a bezwładności

dxdydzdt

dVyρ .

dT

Całkowita siła powierzchniowa styczna wynosi: dT = dT1 + dT2 Uwzględniając zależności dla sił stycznych powierzchniowych cieczy newtonowskich otrzymujemy dla elementarnej powierzchni dxdy:

dxdydzz

VV

zdxdy

zV

dT yy

y

∂

∂+

∂∂

+∂

∂−= ηη (1)

Po wykonaniu różniczkowania wyrażenia w nawiasie po prawej stronie ostatniej zależności i uporządkowaniu całkowita siła styczna wynosi:

2

2

zV

dxdydz y

∂

∂=η (2)

Sumując wszystkie siły działające na analizowany element płynu uzyskujemy:

2

2

zV

dxdydzdxdydzqdxdzdyypppdxdzdxdydz

dtdV y

yy

∂

∂++

∂∂

+−= ηρρ

Po wykonaniu mnożenia, uporządkowaniu i podzieleniu obu stron przez ρdxdydz otrzymujemy:

2

21zV

qyp

dtdV y

yy

∂

∂++

∂∂

ρη

ρ−= (3)

gdzie:

ρην = - kinematyczny współczynnik lepkości

Pochodna lewej strony ostatniego równania jest sumą dwóch pochodnych: pochodnej lokalnej i konwekcyjnej. Dokładna postać tej sumy była przedstawiona w części tego opracowania dotyczącego kinematyki i rodzaju zmiennych w jakich opisuje się te zjawiska. Jeśli przeprowadzi się podobny sposób postępowania dla pozostałych kierunków, doda stronami otrzymane wyrażenia to uzyska się równanie dynamiki płynów rzeczywistych. Równania te noszą nazwę równań Naviera – Stokesa:

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

2

2

2

2

2

21zV

yV

xV

xpq

zVV

yVV

xVV

tV xxx

xx

zx

yx

xx ν

ρ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

2

2

2

2

21zV

yV

xV

ypq

zV

Vy

VV

xV

Vt

V yyyy

yz

yy

yx

y νρ

(4)

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

2

2

2

2

2

21zV

yV

xV

zpq

zVV

yVV

xVV

tV zzz

zz

zz

yz

xz ν

ρ

Wyrażenie po lewej stronie przedstawia sumę pochodnej lokalnej i konwekcyjnej. W zapisie wektorowym ostatni układ równań ma postać:

( VVpqdtVd rrr )r

divgrad31grad1 2 νν

ρ+∇+−= (5)

Gdzie:

grad i ∇ (nabla), operatory na polu wektorowym:

zk

yj

xigrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

=rrr

∇=z

ky

jx

i∂∂

+∂∂

+∂∂ rrr

zyx

div∂∂

+∂∂

+∂∂

=

22

2

2

2

2

2

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

= ∇⋅∇=∇ - laplasjan

Ostatni człon po prawej stronie równania (5) odnosi się do przepływów płynów ściśliwych. la płynów nieściśliwych, divD V

r=0 i człon ten jest równy zero. Równanie N-S jest bilansem

sił działających w cieczach rzeczywistych. W analizie przepływu cieczy rzeczywistych, łe:

przyjmuje się z zasady, że si y masowe są znane. Wobec tego w układzie równań (4) występują cztery niewiadom 3 składowe pola prędkości i ciśnienie. Równaniem zamykającym ten układ równań jest znane równanie ciągłości w postaci:

0=∂

+∂

+∂ VVV zyx

∂∂∂ zyx Dla cieczy idealnych ν=0, i wówczas równanie N-S przechodzi w znane równanie dynamiki cieczy idealnych, które nosi nazwę równania Eulera. W zapisie wektorowym dla cieczy

ieściśliwych równanie to ma postać: n

Vd 1rr

pqdt

gradρ

−= (6)

Równaniem zamykającym równanie Eulera jest równanie ciągłości. Jeśli teraz założymy, że ciecz jest w spoczynku, tzn. wektor prędkości V=0, otrzymamy równania hydrostatyki. Równania te w zapisie skalarnym maja postać:

(7)

xpqx ∂

∂= ρ

1

ypqy ∂

∂= ρ

1

zpqz ∂

∂= ρ

1

lub w postaci wektorowej:

q = pgrad1ρ

r

opracowania.

(8)

Zagadnieniami hydrostatyki zajmiemy się bardziej szczegółowo w następnych częściach tego

W wielu zagadnieniach technicznych pomija się wpływ sił masowych. Ma to miejsce np. w

ń (7), przyjmuje wówczas wartości zerowe. Z otrzymanych równań

stępnych rozdziałach. Obecnie pełne równania N-S można

hydraulice siłowej, gdzie te siły są pomijalnie małe w stosunku do sił ciśnienia. Lewa strona układu równaróżniczkowych wynika, że ciśnienie jest stałe w całym rozpatrywanym obszarze płynu. Jest to treścią znanego prawa Pascala. Równania N-S uzupełnione równaniem ciągłości nie można rozwiązać w sposób bezpośredni. Znane są tylko rozwiązania dla bardzo uproszczonych przypadków przepływów. O niektórych z nich będziemy mówić w narozwiązać metodami numerycznymi.

WYKŁAD 5 HYDROSTATYKA

Hydrostatyka to dział mechaniki płynów w którym zakładamy, że prędkość płynu jest równa zero. W tym przypadku bezpośrednio z równania Eulera otrzymujemy:

)(1 pgradqρ

=r

lub w formie skalarnej:

xpqx ∂

∂= ρ

1 ypqy ∂

∂= ρ

1 zpqz ∂

∂= ρ

1 (1)

gdzie: qx, qy, qz – składowe intensywności wektora sił masowych. p - ciśnienie W hydrostatyce występują jedynie siły masowe i powierzchniowe normalne, czyli siły od ciśnienia. W przypadku hydrostatyki nie ma znaczenia, czy mamy płyn lepki, czy nie lepki. Z układu równań (1), wynika, że mamy 2 niewiadome p=p(x,y,z) i ρ=ρ(x,y,z), a 3 równania. Muszą być więc spełnione dodatkowe warunki, aby rozwiązanie tego układu równań było możliwe. Jeśli układ równań (1) pomnożymy odpowiednio przez dx, dy i dz, a nastepnie dodamy do siebie stronami to otrzymamy:

∂∂

+∂∂

+

∂∂

=++ dzzpdy

ypdx

xpdzqdyqdxq zyx ρ

1 (2)

Wyrażenie w nawiasie jest różniczką zupełną ciśnienia p, stąd mamy równanie różniczkowe:

dpdzqdyqdxq zyx ρ1

=++ (3)

Aby równanie (3) można było scałkować, siły masowe muszą spełniać pewne warunki. Warunkiem koniecznym jest, aby pole sił masowych było polem potencjalnym. Oznacza to, że musi istnieć taka funkcja U(x,y,z), że różniczka zupełna tej funkcji dU będzie wynosić:

dpdzqdyqdxqdU zyx ρ1

=++= (4)

Jeśli pole sił masowych jest polem potencjalnym, wówczas zachodzi też:

)(Ugradq =r

(5) Uwzględniając (5) wynika bezpośrednio, że składowe intensywności sił masowych wynoszą:

xUqx ∂

∂=

yUqy ∂

∂=

zUqz ∂

∂=

Równanie (4) jest równanie różniczkowym, wiążącym potencjał sił masowych i ciśnienie:

ρdpdU =

Całkując jednokrotnie ostatnie równanie otrzymujemy: CUp +⋅= ρ (6)

Stałą całkowania C wyznaczyć można z warunków brzegowych, które zależą od zagadnienia od analizowanego problemu. Zależność pomiędzy potencjałem sił masowych, a ciśnieniem jest liniowa. Jeśli U=const, to musi również zachodzić, że p=const. Powierzchnie takie gdzie zachodzą powyższe warunki nazywamy powierzchniami ekwipotencjalnymi. Przykładem takiej powierzchni jest powierzchnia swobodna zbiorników wodnych, powierzchnia rozdziału dwu nie mieszających się cieczy o różnych gęstościach. Równanie powierzchni ekwipotencjalnej przy wykorzystaniu (4) ma postać:

0=++= dzqdyqdxqdU zyx (7) Powyższa zależność wynika z warunku U=const, a stąd dU=0. Z ostatniego równania wynika również, że siły masowe to wektory prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnej. W ziemskim polu grawitacyjnym zachodzą warunki: qx = qy = 0 oraz:

gzUqz −=

∂∂

= (8)

gdzie: g – przyśpieszenie ziemskie. Znak minus wynika z przyjętego układu osi współrzędnych; oś z skierowana pionowo w górę, a przyśpieszenie ziemskie działa w kierunku przeciwnym (do powierzchni ziemi). Z równania (8), uzyskuje się bezpośrednio zależność:

zgU ⋅−= (9) pominięcie stałej całkowania w równaniu (9) wynika z przyjęcia, że na powierzchni ziemi (z=0), potencjał sił masowych jest równy 0. Podstawiając do równania (6), zależność (9), otrzymujemy:

Czgp +⋅⋅−= ρ (10) Stała całkowania dla przypadku jak na rysunku 1 wynosi: Przy z=H, p=pb, czyli że:

bpHgC +⋅⋅= ρ Ostatecznie po podstawieniu ostatniej zależności do (10), otrzymujemy:

hpzHgpp bb ⋅+=−⋅+= γρ )( (11) Ostatnia zależność nosi nazwę równania manometrycznego, a iloczyn γh ciśnienia hydrostatycznego.

Y Rys. 1.

ρg=γ

H

h

pb

z

Ciśnienie hydrostatyczne, sposób jego określania ma bardzo duże znaczenie w pomiarach. Wykorzystuje się go do pomiaru ciśnienia, przy zastosowaniu najprostszego przyrządu pomiarowego jakim jest U-rurka. Przyrząd ten służy do pomiaru ciśnienia w zbiornikach przy wykorzystaniu zasady naczyń połączonych. Przypadek naczyń połączonych ma ścisły związek z pojęciem ciśnienia hydrostatycznego. Zasada naczyń połączonych mówi, że w punktach będących na tych samych poziomach, ciśnienie hydrostatyczne musi być takie same, co wynika bezpośrednio z zależności (11). Jeśli w naczyniach połączonych znajdują się ciecze nie mieszające się ale o różnych gęstościach, to poziom cieczy będzie różny w różnych ramionach naczynia połączonego. Różnica ta wynika z zachowania równości ciśnień hydrostatycznych na tych samych poziomach. Dotyczy to także tych przypadków, gdy ramiona naczyń połączonych będą zamknięte i będzie tam panować (nad powierzchnią cieczy) ciśnienie różne w każdym z ramion.

0 0

ρ2 ρ1

pb

pb

h2

h1

Rys. 2

Zgodnie z rys.2 można napisać:

1

2

2

1

2211

221100

ρρ

ρρρρ

=

=+=+=−

hh

hhhgphgpp bb

Równowaga względna płynu. Zjawisko takie występuje w przypadku, gdy ciecz jest nieruchoma względem naczynia, zbiornika, ale sam zbiornik wykonuje ruch niestacjonarny. Mimo, że jest to zjawisko dynamiczne, to zachowanie się cieczy traktowane jest jako hydrostatyczne. Zagadnienia te rozwiązuje się więc przy zastosowaniu praw hydrostatyki. Dotyczy to również zjawisk jakie występują w naczyniach wirujących, czy pojazdach transportujących ciecze poruszające się po łuku. Ciecz w cysternie, która porusza się ruchem przyśpieszonym. Cysterna nie jest wypełniona w całości cieczą (występuje powierzchnia swobodna).

g ax

x

z

W omawianym zagadnieniu występują dwie składowe intensywności sił masowych. Składowa pionowa wynikająca z działania przyśpieszenia ziemskiego (qz= -g) i składowa pozioma będąca wynikiem ruchu przyśpieszonego cysterny (qx= -a).

0=

−=∂∂

=

−=∂∂

=

y

x

z

q

axUq

gzUq

Równanie powierzchni ekwipotencjalnej ma więc postać:

0=⋅−⋅− dzgdxa Po jednokrotnym scałkowaniu uzyskujemy:

Czgxa =⋅+⋅ Jest to równanie powierzchni przechodzącej przez początek układu odniesienia, której tangens kąta pochylenia wynosi:

ga

−=αtg

Rozkład ciśnienia wyznacza się w oparciu o równanie (4):

dzgdxadp ⋅−⋅−=ρ1

Po jednokrotnym scałkowaniu i przyjęciu warunku brzegowego, że dla z=x=0, p=pb otrzymujemy:

bpzgxap +⋅+⋅−= )(ρ Ciecz w wirującym naczyniu.

rω2

qy

qx

x

y

y z0g

rω2

z

Składowe intensywności sił masowych przy ruchu wirowym naczynia ze stałą prędkością kątową ω wynoszą:

qx = xω2; qy = yω2; qz = -g

Równanie linii ekwipotencjalnej (stałego ciśnienia) w oparciu o (7) przyjmie postać:

( )dyydxxg

dz

dzgdyydxx

⋅+⋅=

=⋅−⋅⋅+⋅⋅2

22 0

ω

ωω

Po jednokrotnym scałkowaniu ostatniego wyrażenia otrzymujemy:

( ) Crg

Cyxg

z +=++= 22

222

22ωω

Ostatnie równanie jest równaniem paraboloidy. Stała całkowania zależy od warunków brzegowych. Np. można przyjąć, że dla r=0, z=z0 i wówczas stała całkowania C = z0. Ciśnienie określa się w oparciu o równanie (4). Równanie to ma postać:

( ) dzgdyydxxdp ⋅⋅−⋅+⋅⋅= ρωρ 2 po scałkowaniu otrzymujemy:

1222

Czgrg

p +⋅⋅−= ρωρ

Stałą w ostatnim równaniu można określić z warunku, że dla

z = z0; r = 0, oraz p = pb

WYKŁAD 6.

Równanie Bernoulliego (1)

Równanie Bernoulliego jest całką równania Eulera. Całkowanie równania Eulera można wykonać przy założeniu: 1) Pole sił masowych polem potencjalnym

Uq grad−= , r( )zyx qqqq ,,

2) Przepływ ustalony

0=∂∂

=∂

∂=

∂∂

tv

tv

tv zyx

3) Płyn nieściśliwy (C – stała dla linii prądu) ( )Cp,ρρ =

4) Linie prądu pokrywają się z torami elementu płynu – tzn. analizujemy jedną linię prądu Równanie Eulera mnożymy stronami przez dx, dy, dz:

dxxpqz

vvyvvx

vv xx

zx

yx

x ∂∂−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ1

dyypqz

vvy

vvx

vv y

yz

yy

yx ∂

∂−=∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ1

dzzpqz

vvyvvx

vv zz

zz

yz

x ∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂

ρ1

dodając stronami otrzymujemy:

∂∂

+∂∂

+∂∂

−++=

=

+

∂∂

+

+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+∂

∂

dzzpdy

ypdx

xpdzzqdyyqdxxq

dzxzv

xvdyxyv

xvdxzxv

zvyxv

yvxxv

xv

ρ1

(1)

Wykorzystując równanie linii prądu dla przepływu ustalonego:

zvdz

yvdy

xvdx

== ; dxvdzvdzvdyvdxvdyv

zx

yz

yx

===

wyrażenia w nawiasach lewej strony równania (1) można przekształcić. Dla pierwszego wyrażenia w nawiasie się:

dxzvv

yvv

xvv x

zx

yx

x

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

= dxzv

dxdzv

yv

dxdyv

xvv x

xx

xx

x

==

∂∂

+∂∂

+∂∂

=2

2x

xxxxx

xvddvvdz

zvdy

yvdx

xvv

i odpowiednio dla pozostałych:

2

2yv

d

2

2zvd

Równanie (1) można teraz zapisać w formie:

ρdpdU

vvvd zyx −=

++2

222

2222 vvvv zyx =++ lub:

02

2

=+−

ρdpdUvd

∫ =−+ constUdpvρ2

2

jeżeli: U , a gęstość nie zależy od ciśnienia to wówczas otrzymujemy: gz−=

Cgzpv=++

ρ2

2

constzpg

v=++

γ2

2

Czpv=++ γρ

2

2

Trzy ostatnie wyrażenia to równoważne postacie równania Bernoulliego. Wyrażają one zasadę zachowania energii przy przepływie cieczy idealnych. W przypadku gazów można pominąć oddziaływanie sił ciężkości tj. qx= qy= qz=0 I stąd równanie Bernoulliego ma postać:

∫ =+ Cdpvρ2

2

(2)

lub:

Cdpvd =+

ρ2

2

(2a)

W przypadku gazów należy uwzględnić zależność między ciśnieniem, a gęstością. Jeśli założymy przepływ z przemianą adiabatyczną, to dla tej przemiany zachodzi warunek:

constVp =⋅ χ , lub: Cp=χρ

Ostatnia postać wynika z równania stanu Clapeyrona i uwzględnieniu związku między gęstością ρ, a objętością właściwą v. (objętość właściwa jest odwrotnością gęstości v=1/ρ). Dla przemiany adiabatycznej uzyskuje się więc:

χχ ρρpp

=0

0 , a stąd : χ

χρ

ρ⋅=

0

0pp

Obliczając różniczkę ostatniego wyrażenia, a następnie dzieląc przez ρ i całkując otrzymuje się:

CpCp

Cpdpdp+⋅

−=+

−=+

−=⋅= −−−∫ ∫ ρχ

χρχ

χρ

ρχ

χρ

ρρχρρ

χ

χ

χ

χ

χ

χ 11111

0

02

0

0

gdzie: V - objętość, χ – wykładnik adiabaty Czyli przy wykorzystaniu zależności (2), dla przepływu z przemianą adiabatyczną równanie Bernoulliego ma postać:

Cpv=

−+

ρχχ

12

2

Równanie Bernoulliego ma zastosowanie tam gdzie występuje przepływ ustalony tj.

0===dtdv

dtdv

dtdv zyx

oraz mamy przepływ bezwirowy to dla całego obszaru płynu. Zasadę zachowania energii można wyprowadzić w znacznie prostszy sposób. Element cieczy o masie m posiada energię kinetyczną 0,5mv2, potencjalną mgz i energię potencjalną ciśnienia pV. Suma tych trzech postaci energii musi być stała:

CpVmgzvm=++

⋅2

2

Jeśli V=mv=m/ρ, to wówczas otrzymujemy:

Cmpmgzvm=++

⋅ρ2

2

Po podzieleniu ostatniej zależności przez masę m, otrzymujemy bezpośrednio równanie Bernoulliego:

Cpgzv=++

ρ2

2

WYKŁAD 7

Interpretacja równania Bernoulliego. Przykłady zastosowań

Równanie Bernoulliego może być zapisane w trzech równoważnych sobie postaciach. Wszystkie one wyrażają ta samą zasadę zachowania energii, ale ta energia wyrażona jest w różnych jednostkach: m2s-2; kg.s-2m-1 (Pa); m.

CpzVCpgzV=++=++ γρ

ρ 2;1

2

22

Czgp

gV

=++ρ2

2

Jest to suma różnych rodzajów energii (na jednostkę masy) poruszającego się płynu. Można to też powiedzieć, że RB wyraża zasadę zachowania energii w odniesieniu do cieczy idealnych, ruch ustalony, występują tylko siły ciężkości

Energia Wysokość

gz – potencjalna z –położenia 2

21V - kinetyczna

gV2

2

- prędkości

ρp - ciśnienia (wewnętrzna)

γp - ciśnienia

Interpretacja graficzna; analizujemy strugę cieczy w rurociągu, traktując ten przepływ

jako jednowymiarowy, a prędkość strugi w rurociągu jest ustalona i równa prędkości średniej. linia energii V

H

p1/γ

p2/γ

z2 0 0

z1

V1 V2

V22/2gV2

1/2g

Stosując równanie Bernoulliego dla przepływu przedstawionego powyżej otrzymujemy:

Hg

Vpzg

Vpz =++=++22

222

2

211

1 γγ

gdzie: H jest miarą energii całkowitej.

Wypływ przez mały otwór w zbiorniku. Zakładamy, że poziom cieczy w zbiorniku nie ulega zmianie. Mały otwór oznacza, że jego pole jest małe w stosunku do pola powierzchni swobodnej cieczy w zbiorniku. Pozwala to przyjąć, że prędkość cieczy w zbiorniku jest równa 0.

- mały otwór A3<<A1

pb

1 1

0 0

2

A3 h

z0

H

A1

pb

Pisząc równanie Bernoulliego dla wydzielonej powierzchnią kontrolną strugi

otrzymujemy:

( ) oo zpg

VHzpg

V++=+++

γγ3

231

21

22

przy czym dla przyjętego modelu zachodzi: p1=p3=pb i V1≈0 i wobec tego otrzymuje się ostatecznie zależność na prędkość wypływu cieczy przez mały otwór.

gHv 23 =

Otrzymana zależność nosi nazwę wzoru Torricellego. Zależność tą można uzyskać, pomijając założenie : V1=0. W takim przypadku należy

zastosować równanie ciągłości: 3311 AVAV ⋅=⋅

Z równania Bernoulliego otrzymujemy:

gVH

gV

22

23

21 =+

a z równania ciągłości: 1

331 A

AV=V i dalej:

gHAAVV 2

2

1

323

23 +

=

2

1

3

23

1

2

−

=

AA

gHV można przyjąć, że dla 02

1

3 ≅

AA

i wobec tego otrzymujemy

ostatecznie: gHV 22

3 = co jest identyczne z zależnością Torricellego.

Zjawiska towarzyszące wypływowi

W warunkach rzeczywistych przekrój strugi wypływającej nie jest równy przekrojowi otworu, a poza tym rozkład prędkości w strudze nie jest rozkładem jednorodnym. Aby uwzględnić te zmiany wprowadza się dwa współczynniki poprawkowe:

β – współczynnik kontrakcji

1'≤=

AAβ określany jest doświadczalnie lub analitycznie rozpatrując przepływ

trójwymiarowy. Powodem przewężenia pola przekroju strugi są siły bezwładności. Siły te występują ponieważ mamy gwałtowne przyśpieszenie prędkości przy wypływie przez mały otwór. Zmiana prędkości i ciśnienia nie może odbyć się w sposób gwałtowny. Do zmian potrzebna jest pewna droga. Współczynnik kontrakcji jest przede wszystkim funkcją kształtu otworu.

β=f(kształtu) Ponieważ prędkość w strudze nie jest prędkością jednorodną, rzeczywista średnia prędkość

wypływu jest mniejsza od teoretycznej: VR≠Vt. Oczywistym jest, że VR<Vt i współczynnik prędkości α wynosi:

1≤=t

R

VVα

Na wielkość współczynnika prędkości wpływa lepkość cieczy, oraz kształt otworu. Rzeczywiste natężenie wypływu wynosi:

tR QQ ⋅= αβ Aby zmniejszyć straty przy wypływie z zbiorników stosuje się różne kształty otworów.

Noszą one nazwę przystawek.

α=0,96; β=1,0

α=0,71; β=1,0

α=0,82; β=1,0 α=0,97; β=0,64

Stosując zależność na prędkość wypływu przez mały otwór, można określić również wypływ przez duży otwór, a także czas opróżnienia zbiornika. Oznacza to, że równanie Bernoulliego wykorzystujemy do rozwiązania zagadnienia niestacjonarnego (zmiennego w czasie). Duży otwór. Prędkość wypływu wyniesie:

( ) ( )zVVzHgV =→−= 2 a natężenie wypływu:

( )∫∫∫−

⋅⋅−==2/

2/2

a

asdzbzHgVdsQ

Jeśli założymy, że H – zmienia się, to można określić czas opróżniania zbiornika (np. przez mały otwór).

H1

z

dz

H2

A1

A(z)

a/2 0

a

b

z 0 H

Natężenie jest funkcją wysokości słupa cieczy i wynosi:

( ) gzAzQ 21= W jednostce czasu wypłynie ciecz o objętości Qdt i równa jest objętości A(z)dz:

( )dzzAdtgzA =⋅21 Otrzymujemy równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych. Po jednokrotnym

całkowaniu otrzymujemy: ( )

∫−=2

121

H

H

dzgzA

zAT

Rzeczywisty czas wypływu będzie dłuższy, ponieważ mianownik w wyrażeniu podcałkowym należy pomnożyć przez współczynniki kontrakcji β i prędkości α. Jeśli do zbiornika będzie dopływać ciecz z natężeniem Q1, wówczas czas opróżniania wyniesie:

( )∫ −

−=2

1211

H

Hdz

gzAQzAT

µ

gdzie: µ=αβ – współczynnik wypływu. Pomiary prędkości →

- oparte na RB - wykorzystaniu sił aerodynamicznych

CzpV=++ γρ

2

2

dla z=const lub z bardzo małe to wówczas można napisać:

PCpV==+

2

2ρ

gdzie: P - ciśnienie całkowite,

2

2vρ - ciśnienie dynamiczne,

p – ciśnienie statyczne jeśli V=0 – to wówczas punkt taki nosi nazwę p. spiętrzenia, w którym p=P. Wykorzystując RB można zagadnienie pomiaru prędkości sprowadzić do pomiaru

ciśnienia statycznego lub ciśnienia spiętrzenia. Pomiar ciśnienia spiętrzenia – rurka Pitota i Prandtla. Pomiar ciśnienia statycznego – zwężka Venturiego, kryzy pomiarowe.

Rurka Pitota Jest to bardzo prosty przyrząd do pomiaru prędkości miejscowej opartej na pomiarze ciśnienia całkowitego.

1

1 2

2 ho

H

pb

2-2 – przekrój p. spiętrzenia

V2=0 – woda nie płynie w rurce (po ustaleniu się przepływu)

Dla przekrojów 1-1 i 2-2, równanie Bernoulliego ma postać:

22

22

1

21

22zp

gVzhp

gV ob ++=+

++

γγγ

dla V2=0 → ( ob hHpp ++= )γ2 - ciśnienie hydrostatyczne, i wobec tego otrzymujemy:

( )γ

γγ

γ oaoa hHphpg

V ++=

++

2

21 , a stąd po uporządkowaniu i uproszczeniu:

gHV 21 = - prędkość miejscowa, lokalna

W zasadzie ten pomiar prędkości może być zastosowany w przepływie w korytach otwartych. Przy pomiarze prędkości w powietrzu postępujemy podobnie, lecz inaczej wygląda rurka Pitota (rys).

pb

γc

H

ho

Wyrażenie �gho – pomijamy z uwagi na małą wartość � (powietrze), i wówczas z równania Bernoulliego otrzymujemy:

bcb pHPVp +==+ γρ2

2

a stąd bezpośrednio:

ργ HV c2

=

Przedstawione metody pomiaru prędkości są przydatne, gdy przestrzeń pomiarowa jest otwarta. W przypadku przestrzeni zamkniętej np. rurociągi, pomiar metodami przedstawionymi powyżej jest niemożliwy. Do takich pomiarów należy zastosować inne techniki. Można to zrealizować tzw. rurką Prandtla. Metoda ta była przez długie lata uważana za jedną z najbardziej dokładnych metod pomiaru prędkości miejscowej, lokalnej. Umożliwiała ona pomiar składowych pola prędkości. Obecnie metoda ta wypierana jest przez metody bezinwazyjne, tzn. takie które do obszaru pomiaru nie wymagają wprowadzenia elementu urządzenia pomiarowego. Metodą taką jest metoda laserowa. Wymaga ona jednak

ścian przewodu przepuszczających światło. Jest jednak bardzo dokładna i pozwala na pomiar wszystkich składowych pola prędkości. Przestrzeń zamknięta , ciśnienie w tej przestrzeni wynosi po,. Występują 2 niewiadome V i po

Rurka Prandtla W przestrzeni zamkniętej mamy 2 niewiadome V i p0 Tę niedogodność usuwa rurka Prandtla. Przy zastosowaniu rurki Prandtla mierzymy ciśnienie, które jest różnicą pomiędzy ciśnieniem statycznym i całkowitym, czyli równe ciśnieniu dynamicznemu. pstat jest różne od ciśnienia w u-rurce

co

o hvpP γρ⋅∆==−

2

2

γc

∆h

0,3d d

0,1d

l=0,3d

Vo

po

Zwężka Venturiego Zwężka Venturiego służy do pomiaru prędkości średniej (wydatku) w przewodzie, a

także prędkości strumienia swobodnego. Na poziomym odcinku przewodu montujemy przewężenie przekroju. Na tym przewężeniu powstaje spadek ciśnienia, który jest miara prędkości średniej w przewodzie.

V1

∆h

V2

1

2

1

Z równania ciągłości mamy:

QVAVA == 2211 Równanie Bernoulliego dla przekroju 1-1 i 2-2 ma postać:

γγ2

221

21

22p

gVp

gV

+=+

Jeśli stosunek pól powierzchni wynosi: 212

1 1 pppamgdziemAA

−=∆>= to średnia

prędkość przepływu w rurociągu wyniesie:

ρp

mV ∆

⋅−

=1

221 gdzie hp c∆=∆ γ

Równanie Bernoulliego służy również do wykazania zjawiska, które nosi nazwę ssące działania strugi – czyli działania eżektora (pompy strumieniowej). Zjawisko to można wyjaśnić na prostym przykładzie.

1 1

0 0

Vo, Ao

B γ1

V1, A1

Ao γ

h

h1

ho

A

Az pb z z

Ciecz przepływa z zbiornika górnego A do dolnego B przewodem o stałej średnicy. W odległości h od poziomu cieczy w górnym zbiorniku znajduje się przewężenie przekroju przewodu. Przekrój wynosi d1. Określić przy jakiej wysokości h1 nastąpi zassanie cieczy z zbiornika dolnego W przewodzie pionowym zakładamy przepływ stacjonarny. Równanie B dla przekroju z-z i 1-1 ma postać:

γγ1

21

2

22p

gVhp

gV bz +=++

a dla przekroju z-z i 0-0:

γγ

boo

bz pg

Vhpg

V+=++

22

22

Zakładamy, że w pionowej rurze Q=const oozz VAVAVA ≈= 11

z

ooz

oo A

AVVAAVV ⋅≈⋅=

11 , ponieważ Az>>Ao, Vz<V1, można więc przyjmująć, że Vz=0 i

wobec tego prędkość wypływu z drugiego równanie Bernoulliego wynosi:

oo ghV 2= Z pierwszego równania B i ostatniej zależności otrzymujemy:

−

=

−

o

oo

b

hh

AAhpp

2

1

1

γ dla 1,1

1

<>o

o

hh

AA , oraz: 01 >

−γ

ppb

czyli p1<pb – w gardzieli wytwarza się podciśnienie Wobec tego, ciecz ze zbiornika B będzie zasysana. Aby to zassanie nastąpiło musi być spełniony warunek:

11

1 hppb >−γ

lub

11

2

1

hhh

AAh

o

oo γγ >

−

Wykład 8

Napór płynu na ściany naczyń

Problem istotny – obciążenie ścian zbiorników, budowli wodnych. Napór-parcie to siła powierzchniowa jaką wywiera ciecz w stanie spoczynku na dowolnie zorientowaną w przestrzeni powierzchnię. Kierunek działania siły naporu N, jest zawsze prostopadły do powierzchni. Jeśli na ciecz działa dodatkowo ciśnienie p, to siła naporu hydrostatycznego wynosi:

( )AzgpN s⋅+= ρ (2)

Rozpatrujemy tylko siłę normalną (stycznej nie ma, bo ciecz jest nieruchoma). Elementarna sił naporu dN na element powierzchni dA wynosi:

zdAnpdAnNd γ== (1) gdzie: n – wersor jednostkowy, prostopadły do elemantu powierzchni. jeśli ciśnienie na zewnątrz jest równe pb to elementarny napór wynosi (przy pominięciu w dalszych rozważaniach zapisu wektorowego)

( )dAzgpdN b ⋅+= ρ (2) lub bez uwzględnienia ciśnienia atmosferycznego:

zdAgdN ⋅= ρ ; (3) Napór całkowity na powierzchni A wynosi:

∫=A

zdAgN ρ (4)

Całka w powyższym wyrażeniu określa moment statyczny powierzchni A, względem osi leżącej na powierzchni wody. Można ją zastąpić iloczynem pola powierzchni i odległością środka geometrycznego tej powierzchni od płaszczyzny wody: AzzdA s=∫Uwzględniając powyższe można napisać, że napór (bez uwzględnienia ciśnienia

atmosferycznego) wynosi: AgzN sρ= - (5)

Napór równy jest więc ciężarowi słupa cieczy, którego podstawą jest dana ścian a wysokość głębokości środka geometrycznego od zwierciadła cieczy. Pozostaje problem punktu przyłożenia siły naporu. Punkt ten nosi nazwę środka naporu. Wychodzimy z momentu sił elementarnych i wypadkowej względem osi X, które muszą być sobie równe.

∫ ⋅×=×=A

ANo zdAnrNrM γ (6)

gdzie: kPN ⋅= , zdAkzdAnNd γγ =⋅= jyixr NNN ⋅+⋅=

vrrr - wektor promień,

nkji ,,, - wersory jednostkowe rr kn = wersor prostopadły do elementu powierzchni.

NxjNyiN

yxkji

NNnn ⋅−⋅=00

0 (7)

Ponieważ interesują nas odległość przyłożenia siły od osi o-x i o-y to można zapisać, że:

∫

∫∫ ==⋅

A

An

AN

zdA

yzdAyyzdANy ;γ (8)

∫

∫∫ ==⋅

A

An

AN

zdA

xzdAxxzdANx ;γ (8A)

Uwzględniając związek geometryczny między wielkościami z i y αsin⋅= yz z równania (8), uzyskujemy:

Ay

AyI

Ay

I

ydA

dAyy

s

sos

s

ox

A

AN ⋅

⋅+=→=

∫

∫ 22

sin

sin

α

α

czyli ostatecznie otrzymujemy:

Ay

Iyy

s

ossN ⋅

+= (9) gdzie ! sN yy >

W wyprowadzeniu zależności (9), wykorzystano wzór Steinera, określający związek pomiędzy momentem bezwładności figury względem dowolnej osi (Iox), a momentem bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości tej figury (Ios). Podobnie postępując dla współrzędnej xN, wykorzystując równanie (8a), otrzymujemy:

AyI

dAy

dAxyx

s

xyAN ==

∫

∫α

α

sin

sin gdzie AyxII ssyxxy oo

⋅+=

i ostatecznie:

AyI

xxs

yxsN

oo+=

Ixy biegunowy moment bezwładności względem osi xy

oxyI0

- biegunowy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek geometryczny figury, równoległej do osi xy. Współrzędną wysokości zN, określimy, wykorzystując zależność (9). Jeżeli:

αsinNN yz = podstawiając za yN wyrażenie (9) mamy:

Az

Iz

AzI

yzs

oss

s

ossN

α

α

αα

2sin

sin

sinsin

⋅+=

⋅+⋅= (10)

Parcie na dno płaska ściana ghAAgzN s ργ →=

gdzie : h – wysokość słupa cieczy. Jeśli pole i wysokość słupa jest taka sama to parcie nie zmienia się – paradoks hydrostatyczny (parcie nie zależy od ilości wody i kształtu naczynia).

h

A A

PARCIE NA POWIERZCHNIE KRZYWE

z

x

dAz

dA

dAx

dNx

dN

dNz

dAz dAx

dAgzdN ⋅= ρ

xx zdAzdAdN γαγ == cos

zz zdAzdAdN γαγ == sin Składowa pozioma równoległa do osi x:

xsx AzN ⋅⋅= γ Składowa pionowa:

VdVzdANV

zz γγγ === ∫ ∫ - ciężar cieczy nad powierzchnią krzywą

Składowa pozioma równoległa do osi y: ysy AzN γ=

Składowe poziome parcia na powierzchnie zakrzywioną są równe parciu na odpowiadające im pionowe rzuty tej powierzchni. Składowa pionowa równa jest ciężarowi cieczy ograniczonej od dołu tą powierzchnia krzywą. Punkt przyłożenia składowej poziomej (współrzędna pionowa) określa się tak jak w przypadku parcia na ścianę płaską:

zs

ssN Az

Izz⋅

+=

gdzie: Is, – moment bezwładności powierzchni rzutu, względem osi przechodzącej przez środek geometryczny tej powierzchni rzutu, zs - współrzędna środka geometrycznego tej powierzchni rzutu. Składowa pozioma xN określa się z równania momentów:

z

zN N

xdNx ∫= a stąd wynika bezpośrednio:

VxdV

xN∫=

czyli, Nz – przechodzi przez p. So, będący środkiem ciężkości obszaru cieczy, wywierającej napór. Napór dodatni i ujemny W praktyce występuje bardzo często przypadek tzw. naporu ujemnego. Składowa pionowa ma wówczas zwrot skierowany do góry. Zachodzi to wówczas, gdy ciecz napiera na ścianki naczynia od dołu. (dno naczynia ma powierzchnię większą niż powierzchnia płaszczyzny cieczy w tym naczyniu). Składową pionową tego naporu określa się tak, jak gdyby ciecz znajdowała się nad tą powierzchnią. Składowe poziome mają znak zawsze dodatni. Px zawsze dodatnie

Pz

Wykład 9.

Napór płynu na ciała zanurzone

Wypór, równowaga ciała pływających, wysokość metacentryczna

Założenia – ciało sztywne o dowolnych kształtach, całkowicie zanurzone (rys.1). Możemy zapisać:

∫ ⋅=A

zdAnN γ

∫ ⋅×=A

zdAnrM γ

( )zyx NNNN ,,

ysyy

xsxx

AzNNAzNN

y

x

⋅==⋅==

γγ

21

21

Składowe poziome Nx, Ny=0, bo napór z dwóch stron, rzuty ciała na odpowiednie płaszczyzny są takie same, a wielkość naporu zależy od pola rzutu i współrzędnej środka geometrycznego pola rzutu.

11VzdAN z γγ == ∫ gdzie V1 – objętość słupa cieczy nad ciałem

22VzdAN z γγ == ∫ gdzie V2 = V1+Vciała

S2 -rzut taki sam dla części konturu dolnego i górnego ( )1221

VVNNWN zzz −−=−=−= γ gdzie V2 – V1=V

VNW z γ−=−=− - wypór hydrostatyczny VW γ=

W - równa się ciążarowi cieczy o objętości wypartej przez to ciało Na ciało prócz siły wyporu działa siła ciężkości ciała G Siła wypadkowa

WGG −=1 - prawo Archimedesa

ccVGVW γγ == Od wartości G1 zależą warunki pływania: I G1 = 0; G=W

ccVV γγ = V=Vc, �=�c stan równowagi – ciało zanurzone na dowolnej głębokości II G1>0; G>W

ccVV γγ < VVc ≥ γγ >c - ciało tonie

III G1<0; G<W 1. γγ <= ccVV ciało wynurza się, przy czym trwa to do osiągnięcia stanu

równowagi tzn. wtedy kiedy G=W,

2. ciało częściowo wynurzone (Statki!) }VVc

c

>< γγ

Mówimy, że ciało pływa, gdy jest wynurzone częściowo nad jej powierzchnią, lub zanurzone całkowicie utrzymuje określone położenie.

Zajmujemy się statecznością ciała pływających. Jest to zdolność powrotu ciała pływającego do położenia pierwotnego po uprzednim jego

wychyleniu ze stanu równowagi. Ma to związek z kierunkami działania sił. Siły G i W przechodzą przez środek ciężkości zG i środek wyporu zB G w środku ciężkości ciała W przez punkt będący środkiem wyporu są to współrzędne środka objętości części ciała

zanurzonego. Aby była równowaga G=W i muszą działać wzdłuż tej samej prostej. Ale to nie jest warunek wystarczający aby ciało zanurzone było stateczne. O stateczności

decyduje wysokość położenia środka ciężkości zG i położenie środka wyporu zB zG>zB – brak stateczności zG=zB –stateczność chwiejna zG<zB – równowaga trwała – ciało stateczne

Ciała częściowo wynurzone Warunki stateczności są inne!!! Wyprzedzając, chcę powiedzieć, że wystąpienie warunku zG>zB, wcale nie oznacza utraty

stateczności! W analizie stateczności zakładamy że: WG = constG =

zmieni się natomiast kształt ciała pływającego, a tym samym położenie środka wyporu. Siły wyporu i ciężkości nie działają wzdłuż tej samej linii(rys.2). Pojawia się moment pary sił. Moment ten może przeciwdziałać dalszemu przechyłowi lub go pogłębiać. Zależy to od znaku tego momentu.

cistatecznośbrak 0równowaga 0stateczny 0

sin→<

→=→>

=m

mm

mWM p ϕ obojętna

Wielkość momentu względem osi o-x wynikającego z przesunięcia się położenia środka wyporu:

( ) xBB MzzW =⋅

ϕ

Moment ten jest równoważony przez moment klina wynurzonego i zanurzonego MX. Elementarny siła wyporu od klina wynurzonego lub zanurzonego wynosi:

dAydW ϕγ ∆=Siły te są równe co do wartości lecz przeciwnie skierowane. Moment od tych sił ma postać:

dAyydWdM x ϕγ ∆== 222 Wyrażenie y(∆ϕ)dA jest elementarną objętością klina wynurzonego lub zanurzonego.

Moment całkowity wynosi:

xx IdFyM ϕγϕγ ∆=∆= ∫ 22

Jeśli W=γ∇ to wówczas otrzymuje się:

VIzzIzzV x

BBxBB ϕϕγγϕϕ

∆=∆=

IX – moment bezwładności wodnicy pływania. Wodnica pływania to powierzchnia utworzona z przecięcia płaszczyzny swobodnej

powierzchni wodnej z powierzchnią ciała pływającego częściowo wynurzonego. Z drugiej strony, dla małych wartości ∆ϕ w oparciu o rysunek uzyskuje się:

( ) ϕϕ

∆+= mazz BB

VIma x=+

0,0, ><<−= mazzaVIm BG

x

Jeśli środek wyporu jest położony niżej niż środek ciężkości (co ma miejsce w budowie okrętów) tzn :

BG zz > to znaczy: a>0 to aby ciało (statek ) był stateczny musi zachodzić warunek:

m>0 i aVIx >

Odległość środka ciężkości do punktu Mo nosi nazwę wysokości metacentrycznej. (m - wysokość metacentryczna)

Rys. 2. Wartości wysokości metacentrycznej

Dla przypadku granicznego, gdy kąt przechyłu ϕ zmierza do 0 wysokość metacentryczna wynosi:

VIrzrzGM x

oGoB =−+=

W budownictwie okrętowym jest to bardzo istotny element, sprawdzany szczegółowo w fazie projektowania i eksploatacji. Instytucje międzynarodowe, które nadzorują budowę i eksploatację statków określają szczegółowo jaka powinna być wartość wysokości metacentrycznej dla określonych typów statków. Wysokość metacentryczna zależy od kształtu części podwodnej i sposobu załadowania statku. Uwzględniając rzeczywiste uwarunkowania jakie występują w trakcie eksploatacji statków moment prostujący jest funkcją kąta przechylenia. Przebieg tej zależności od kąta przechylenia statku decyduje o bezpieczeństwie statku w rzeczywistych warunkach eksploatacji. Dla każdego statku który posiada certyfikat bezpieczeństwa, przebieg tej krzywej musi być dokładnie określony.

0 X r Nz1 z NY2 dA

Y

NX1 NX2 Z NY1 NZ2 AY

AZ

AX

Rys. 1.

Wykład 10.

Równanie ilości ruchu – reakcja hydrodynamiczna (Zasada zachowania pędu i momentu pędu) Równanie Eulera – z II zasady dynamiki Newtona. Było to tzw. podejście różniczkowe. Zajmujemy się II zasadą dynamiki Newtona, dla cieczy, ale w ujęciu całkowym – chodzi o zasadę zachowania pędu (momentu pędu) pęd to wektor vm=Π

Zmiana ilości ruchu (pędu) w czasie dt

dΠ ( pewnej masy m) równa jest sumie sił

zewnętrznych działających na tę masę.

( ) iFvmdtd

dtd

Σ=⋅=Π

Impuls dΠ masy dm wynosi: dVvdmvd rρ==Π

gdzie: dV – element objętości, przy czym dm=�dV

v2

v1

b f

e a

c

g d

h

v1dt

v2dt

Masa płynu w obszarze abcd ma impuls dVvd ⋅=Π ρ

∫=Πabcd

dVvρ

Ten element przemieszcza się w obranym obszarze w czasie t+dt – zajmując nowy obszar efgh. Po czasie dt impuls ma wartość:

( ) ∫=+Πefgh

dVvdtt ρ

Zmiana pędu po czasie dt wyniesie

( ) ( )

+−

+=Π−+Π=Π ∫∫∫∫

efcdabefdcghefcddVvdVvdVvdVvtdttd ρρρρ

jeśli dt→0, to dla }2

1

vvdcghvvabef

→→ i są to prędkości stałe, i wobec tego:

dtvAvdVvabef

111 ⋅⋅=∫ ρρ

dtvAvdVvabgh

222 ⋅⋅=∫ ρρ

Jeśli przepływ nie zmienia się w czasie ( przepływ stacjonarny) to:

( ) (tvdttv =+ ) , stąd całki ∫efcd

dVvρ → są sobie równe ( w obu nawiasach kwadratowych)

Uwzględniając powyższe założenia upraszczające zmiana pędu wyniesie:

( )dtvvAvvAd 111222 ρρ −=Π Jeśli �A2v2= �A1v1=ρQ – równanie ciągłości, to ostatecznie uzyskuje się:

( ) ( )1212 vvmvvQdtd

−=−=Π ρ

( ) FvvQdtd

=−=Π

12ρ

Siła F – to suma wszystkich sił które występują w danym zjawisku. W naszym

przypadku to siły masowe, powierzchniowe normalne (styczne nie występują bo założyliśmy ciecz idealną), oraz reakcja ścian na ciecz. Reakcja ta nosi nazwę reakcji hydrodynamicznej. Wszędzie tam gdzie zachodzi zmiana pędu występuje reakcja hydrodynamiczna.

( )

12 xxx vvQF −= ρ ( )

12 yyy vvQF −= ρ F→ siła reakcji ścian na ciecz Ta zasada wykorzystywana jest do określenia reakcji ściany przewody na przepływającą ciecz, a także reakcja wypływu cieczy ze zbiornika dyszy (silnik odrzutowy), reakcja cieczy na elementy wirnika maszyn przepływowych. Tam gdzie mamy zmianę pędu strumienia – występuje reakcja hydrodynamiczna. Przykład: przewód kołowy o zmiennym przekroju, z kolanem zmieniającym kierunek przepływu. Siły zewnętrzne, to siły p1A2, p2A2 i siły na powierzchni cylindrycznej przewodu – to siły działające na ciecz. Są to siły powierzchniowe normalne. Siły na powierzchni cylindrycznej znoszą się. Pozostają jedynie siły normalne na powierzchniach kontrolnych 1 – 1 i 2 –2, oraz składowe reakcji przewodu na ciecz.

12

122211 v

AAvAvAv =→=

( )22

21122

221

21 2

121

21 vvpppvpv −+=→+=+ ρρρ

( )βρβ coscos 122211 vvQFApApx x −=+−∑

( )1

sinsinsin 102111 vy vvQQvFApy −== −→=+−∑ βρβρβ We wzorach powyżej Fx, Fy siły działające na ciecz. Nas interesują siły od cieczy, które są reakcją przewodu, przegrody na przepływającą ciecz – reakcja hydrodynamiczna. Jest to wielkości Fx, Fy, ale ze znakiem przeciwnym.

( )βρβ coscos 12112211 vvvAApApFx −−−= βρβ sinsin 2

1111 vAApFy −= Jeśli β=π, (A1=A2=C)

( ) 02 2 =+−= yx FvpAF ρ , lub po pominięciu ciśnienia zewnętrznego: 22 vAFx ρ−=

Przy korzystaniu z zasady zachowania pędu należy pamiętać o pewnych zasadach:

• Powierzchnia kontrolna musi otaczać obszar przepływu w obrębie którego następuje zmiana pędu.

• Część powierzchni kontrolnej powinna pokrywać się ze „sztywną” powierzchnią ściany, pozostała część pokrywa się z linią (powierzchnią) prądu

• Przekroje kontrolne prowadzimy prostopadle do kierunku przepływu. Reakcja hydrodynamiczna – wszędzie tam gdzie zmiana pędu strumienia równa jest pochodnej pędu po czasie i zwrócona przeciwnie do zwrotu geometrycznego przyrostu prędkości ( 12 vv L ). Zasadę tę wykorzystuje się w maszynach hydraulicznych wirnikowych (turbiny, pompy odśrodkowe). Korzystamy z zasady zachowania krętu:

∑= MdtKd

u=ωr --prędkość unoszenia w -- prędkość względna c -- prędkość bezwzględna c – 2 składowe

1. na kierunek prędkości unoszenia (prostopadła do promienia) , cu 2. równoległa do promienia, cn Momentu pędu względem osi obrotu jest wynikiem zmiany tylko składowej prostopadłej do promienia. Ramię momentu równe jest wartości promienia. Otrzymujemy więc:

dtQcrK 1111 cosαρ= dtQcrK 2222 cosαρ=

Qdtm ρ= - masa w masie dt Wyrażenia na kręt K1 i K2można uzyskac w inny sposób. Kręt jest iloczynem wektorowym pędu i wektora promienia. Wychodząc z tej definicji uzyskujemy:

( )

ucQrdtcQrdt

cQrdtcrcQrdtcQrcmrK

22222

222222222222

cos2

sin,sin

ραρ

απρρρ

=

=

+==×=×=

rrrr

( )

ucQrdtcQrdt

cQrdtcrcQrdtcQrcmrK

11111

111111111111

cos2

sin,sin

ραρ

απρρρ

=

=

+==×=×=

rrrr

dtKKM 12 −

=

( ) ( )uu crcrQcrcrQM 1122211222 coscos −=−= ρααρ Wzór Eulera Moc ωMN = to w pompie

ale w turbinie wirnik przejmuje energię płynu: ( )222111 coscos ααρ crcrQM −=

W maszynach roboczych – pompach – moment na wale powiększa kręt przepływającego płynu. W silnikach (turbinach) → kręt płynu zmniejsza się, powodując powstanie momentu na wale. Wzór Eulera występuje w wielu innych wersjach. Zależy to od jego dalszego wykorzystania. W przypadku pomp, wykorzystuje się zależności pomiędzy momentem a mocą, związki trygonometryczne trójkąta prędkości i wzory Carnota. Trójkąty prędkości:

u2

c2u w2u

c2 c2nw2

u1

c1u w1u

c1 c1n w1

Trójkąty prędkości mają różną postać. Np. dla pompy odśrodkowej zachodzi zależność: c1=c1u, oraz: c2=c2u. Dla pomp osiowych: u1=u2. Wzory Carnota:

22

22

22222

21

21

21111

cos2

cos2

wcucu

wcucu

−+=

−+=

α

α

Prędkości unoszenia wynoszą odpowiednio:

11 ur =ω 22 ur =ω a stąd:

( ) ( )uuuu cucuQcrcrQM 112211221

−=−=ω

ρρ

i dalej moc wynosi: ( )uu cucuQMN 1122 −=⋅= ρω

Wykorzystując wzory Carnota otrzymujemy:

−+

−+

−=

222

22

21

21

22

21

22 wwuuccQN ρ

Wykorzystując związek między gęstością, a ciężarem właściwym: ρ=γ/g, otrzymuje się z ostatniej zależności:

thQHgww

guu

gccQN γγ =

−+

−+

−=

222

22

21

21

22

21

22

gdzie: Hth [m] – teoretyczna wysokość podnoszenia

−gcc

2

21

22 - dynamiczna wysokość podnoszenia

gww

guu

22

22

21

21

22 −

+−

- potencjalna wysokość podnoszenia

Rzeczywista wysokość podnoszenia jest mniejsza. Powodem tego są straty. Straty te dzielą się na:

• Hydrauliczne (opory przepływu, zawirowania, prądy powrotne) • Objętościowe (nieszczelności) • Tarcia (opory lepkości wirujących elementów względem przepływającej cieczy) • Mechaniczne (straty tarcia w łożyskach, dławicach uszczelniających itp.)

Wykład 11

Płyny rzeczywiste – lepkie

Na wstępie, omawiając rodzaje i modele cieczy mówiliśmy o płynie lepkim tzn. takim który posiada zdolność przenoszenia naprężeń stycznych. Zdolność przenoszenia naprężeń zależy od modelu płynu. Mamy różne modele płynów, które wynikają z odmiennych związków pomiędzy naprężeniem, a gradientem prędkości. Najbardziej rozpowszechniony model płynu to model płynu Newtonowskiego.

dAdndvdT η=

dndv

dAdT ητ ==

η – dynamiczny współczynnik lepkości, η[P] – poise=1 g/cm s Często zamiast dynamicznego współczynnika lepkości używa się kinematycznego współczynnika lepkości ν gdzie ν=η/ρ . Jednostką jest 1 [St]. 1St=10-4m/s. H2O v=10-6 m2/s, przy 293O K powietrze v=15 10-6 m2/s przy 293O K Siła oporu przeciwstawiająca się przemieszczaniu dwu płaszczyzn, to siła tarcia → siła odniesiona do jednostki powierzchni daje naprężenie styczne. Jeśli ciecz lepka płynie rurociągiem (przewodem) narastają straty przepływu wynikające z konieczności pokonania sił stycznych. Tracona jest energia, czyli może spadać v, pęd. Tak nie jest. Prędkość utrzymuje się stała, kosztem spadku ciśnienia. W rurociągu nie spada prędkość (prawa ciągłości), a ciśnienie.

DOŚWIADCZENIE

21 hhh −=∆ - straty ciśnienia spowodowane lepkością Równanie Bernoulliego dla powyższego przypadku ma postać.

strhzpg

vzpg

v+++=++ 2

222

11

21

22 γγ

strppgzvpgzv∆+++=++ 22

22

11

21

221

2ρρρρ ,

hstr, ∆pstr – straty tarcia na długości i straty tarcia lokalne – opory miejscowe

strsrsr hz

pg

vz

pg

v∆+++=++ 2

2222

11

211

22 γα

γα

,

α – współczynnik Coriolisa Wynika ze zjawisk w przekroju normalnym do osi przewodu. W takim przekroju p=const, v≠c. Równanie Bernouliego, które obowiązuje dla linii prądu tu jest odniesione dla całego przekroju przepływu. Współczynnik Coriolisa uwzględnia różnicę między energią kinetyczną rzeczywistą, a odniesioną do średniej prędkości przepływu w rurociągu.

22

32srsr

kvAvQE

srρρ == , ∫=

Asr vdA

Av 1

∫∫ =⋅=A

k dAvvvdAEneu 22

32

ρρ

3

3

3

3

1

2

2

sr

A

sr

A

k

k

v

dAv

AvA

dAv

EE

sr

neu

∫∫===

ρ

ρα

Rozkłady prędkości przy przepływie laminarnym i turbulentnym. Dla paraboidalnego rozkładu prędkości w przekroju osiowo symetrycznym współczynnik Coriolisa wynosi α =2 ; α≈1,1 – dla przepływu turbulentnego, stąd często przyjmuje się często α≈1,0.

Rodzaje przepływów lepkich

Doświadczenie Reynoldsa (ok. 100 lat temu)

νvRe d

=

to doświadczenie doprowadziło do podziału, klasyfikacji przepływów lepkich na przepływy: laminarne turbulentne

W przepływie turbulentnym cząsteczka cieczy posiada pulsacje prędkości. W zasadzie jest to zawsze przepływ 3D. Z turbulencją związana jest tzw. lepkość turbulentna. O tej lepkości będziemy mówić nieco później. Liczba Reynoldsa przy której zachodzi zmiana rodzaju ruchu nosi nazwę liczby krytycznej Rekr. Nie jest to wartość absolutna (ścisła). Szereg czynników ubocznych ma wpływ na jej wartość:

- wlot do przewodu - chropowatość rury, miejscowe nierówności, drgania, zanieczyszczenia cieczy itp.

Często mówimy o dolnej i górnej liczbie Reynoldsa. Rekr d – wartość, poniżej której nie udało się obserwować ruchu burzliwego jako trwałego. Rekr d=2300÷2400 Rekr g → nie ma mowy o przepływie laminarnym Generalnie przejście z laminarnego w turbulentny – przy większej liczbie Reynoldsa. Z turbulentnego w laminarny przy mniejszej liczbie Reynoldsa Rekr d. Rekr g≈50000, 2300≤Re≤50000 – przepływy niestateczne Jakie przepływy występują w przyrodzie. Woda t=10oC, ν=1,31 10-6m2/s

d [m]

Rekr=2300 vkr [m/s]

50000 vkr [m/s]

0,02 0,15 3,26 0,10 0,03 0,652 0,5 0,006 0,1304

W normalnych warunkach przepływy turbulentne są przepływami dominującymi. Tylko w szczególnych przypadkach możemy mówić o przepływach laminarnych. Występują one przy bardzo małych prędkościach i obszarach przepływu (np. szczeliny, łożyska ślizgowe, itp.). Szczegółowa analiza pola prędkości w pobliżu ścianki wykazała, że rzeczywisty przepływ składa się z podwarstwy laminarnej (gdzie jest słuszny model cieczy newtonowskiej), warstwy przejściowej i rdzenia turbulentnego. W takim modelu o stratach decyduje przede wszystkim tzw. lepkość turbulentna, która jest wielokrotnie większa od lepkości przepływu laminarnego. O ile równanie Naviera – Stokesa opisują nam dokładnie przepływ laminarny i jest to układ równań zamknięty, o tyle równania opisujące przepływy turbulentne nie stanowią układu zamkniętego. Nie są znane dokładne związki wiążące lepkość turbulentną z polem prędkości. W mechanice płynów można obecnie spotkać się z wieloma hipotezami opisującymi te związki. Mówimy wówczas o modelach turbulencji. Najbardziej rozpowszechnione są modele bazujące bezpośrednio na równaniach N-S, gdzie lepkość laminarną w tych równaniach zastępuje się sumą dwu lepkości: laminarnej i turbulentnej. Równania takie noszą wówczas nazwę uśrednionych równań N – S. Modele turbulencji. Jednorównaniowy model turbulencji - hipoteza drogi mieszania. Ogólnie jeśli przyjąć, że lepkość burzliwa jest stała, to lepkość całkowita jest równa sumie lepkości laminarnej i turbulentnej.

( ) oTTc nu τηηηηη =

∂∂

+→+=

Gdzie:

nu

∂∂ - gradient średniej prędkości przepływu w kierunku normalnym do powierzchni.

Teoretycznie ruch turbulentny jest opisywany jako laminarny o innej lepkości (burzliwej). W przepływie 3D

21

3

1

3

1

2

∂∂

∂∂

+∂∂

= ∑∑= =i j j

i

i

i

j

imT x

uxu

xu

lρη

lm -droga mieszana sm yl χ= ; χ ≈0,4 – współczynnik doświadczalny;

ys – odległość od ścianki i, j=1,2,3 kierunki w 3D układzie współrzędnych. Dla przepływu jednowymiarowego uwzględniając związek pomiędzy współczynnikiem lepkości dynamicznej η i kinematycznej ν otrzymujemy ( w prostokątnym układzie współrzędnych z, x):

zu

zv xT ∂

∂= 22χ

Model 2 równaniowy k - ε k – kinetyczna energia turbulencji ε - prędkość dysypacji energii tubulencji

ερη η

2kCT = , k i ε – z równań różniczkowych, Cη,σT1, σT2, C1, C2 - stałe

∑∑= =

−

∂∂

∂

∂+

∂∂

+

∂∂

∂∂

=3

1

3

1 1i j j

i

i

j

j

iT

iT

T

i xu

xu

xu

xk

xDtDk ρεη

σηρ

∑∑= =

−

∂∂

∂

∂+

∂∂

+

∂∂

∂∂

=3

1

3

1

2

211i j j

i

i

j

j

iT

iT

T

i kC

xu

xu

xuC

xk

xDtD ερη

σηερ

DtD

DtDk ε, → pochodne substancjonalne (suma pochodnej unoszenia i lokalnej)

Równanie ruchu płynów lepkich - przykłady rozwiązań.

R. Naviera-Stokesa Przepływ dwuwymiarowy:

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂

∂+

∂∂

+∂

∂2

2

2

21yV

xV

xpqV

yV

Vx

Vt

V xxxy

xx

xx νρ

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

2

2

21yV

xV

ypqV

yV

Vx

Vt

V yyyy

yx

yy νρ

Równanie N –S daje się bezpośrednio rozwiązać tylko dla bardzo prostych przypadków w których zakłada się znaną kinematykę przepływu. W rozwiązaniach tych równań pomija się z zasady siły masowe, lub zakłada że są znane. Przykładem takiego rozwiązania jest przepływ laminarny, ustalony w prostym odcinku rury o przekroju kołowym i długości l.

Y (r) P1 R p2 x l Na długości l wystąpi różnica ciśnień ∆p=p1-p2, poza tym zakładamy: qx=qy=0; Vy=0;

0=∂

∂=

∂∂

xV

tV xx

0≠∂

∂y

Vx

Uwzględniając powyższe założenia równanie N – S redukuje się do postaci:

1.) 2

210yV

xp x

∂∂

+∂∂

−= νρ

2.) 2.) yp

∂∂

=ρ10

Z równania 2 wynika bezpośrednio, że p = p(x) Wprowadzając współrzędne r, x, oraz uwzględniając zależność ρν=η mamy:

∂

∂=

∂∂

rV

rdrd

rxp x1η

)(rVVVx ==

=

drdVr

drd

rdxdp 1η - równanie różniczkowe zwyczajne

Cdxdp

=

Cdrdvr

drd

r=

1η

Ponieważ lewa strona zależy od x, a prawa od r to:

drrCdrdVrd

rCdrdVr

drd

⋅⋅=

⋅=

η

η1

1

Całkując dwukrotnie powyższą zależność otrzymamy:

∫∫ =

Crdr

drdVrd

η1

12

211 CCr

drdVr +=

η

i dalej:

drr

CrCdV

+= 1

211

η

ostatecznie po operacji następnego całkowania:

212 ln

41 CrCCrV ++=η

C1, C2 – z warunków brzegowych 1. V 0)( =R2. Dla r=0, mamy prędkość nieokreśloną co nie może mieć miejsc. I wobec tego aby ∞≠V

dla r=0 , bo gdy ; to 01 =C 01 ≠C ∞→V ; dla 0=r

22

22

41

410

CRC

CCR

η

η

−=

+=

Stałą C – wyznaczamy z warunku na ciśnienie, jeśli ∆p=p1 – p2>0 to:

lp

dxdpC ∆

−== i ostatecznie:

)(41

41

41 2222 rR

lpR

lpr

lpV −

∆=

∆+

∆−=

ηηη

Jest to rozkład paraboliczny

2max 4

1 Rlp

η∆

=V

Objętościowe natężenie przepływu wyniesie rdrrVdQ π2)(=

Po wstawieniu zależności na prędkość i wykonaniu operacji całkowania otrzymujemy: 4

8R

lpQ

ηπ∆

= - prawo Hagena – Poiseuille’a

Dla ruchu laminarnego przepływu płynu nieściśliwego, lepkiego natężenie przepływu jest wprost proporcjonalne do jednostkowego spadku ciśnienia i promienia do 4 potęgi

)();( 4Rlp∆ , a odwrotnie proporcjonalne do lepkości.

Przy parabolicznym rozkładzie prędkości, prędkość średnia wyniesie:

max21 VVśr =

a natężenie przepływu: śrVRQ 2π= Porównując dwa wzory na natężenie przepływu otrzymujemy:

42

8R

lpVR śr η

ππ ∆=

a stąd wyrażenie na spadek ciśnienia:

22

328d

lVR

lVp śrśr ⋅

==∆ηη

lub jeśli: ;ghp str ρ⋅∆=∆ ;γphstr

∆=∆

2dR = , ν

ρη

= ; gργ = to spadek w

jednostkach wysokości:

2

32gd

lVh śrν

=∆

Straty na długości przewodu

Z prawo Hagena – Poiseuille’a

2

32d

lVp śr ⋅⋅

=∆η

lub:

śr

śrśr

VV

gdlV

h22

/32

2

⋅=∆

ν

;2

64 2

gdlV

dVh Sr

śr

⋅⋅=∆

ν przy czym Re1

=dVśr

ν i wobec tego:

dl

gV

gdlVh

22Re64 22

λ=⋅

⋅=∆

w jednostkach ciśnienia straty wyniosą:

g

Vdlp

2

2γλ=∆ równanie Darcy – Weisbacha

λ – współczynnik strat na tarcie dla ruchu laminarnego λ = 64/Re

λ – dla innych przepływów - turbulentnych wyznacza się doświadczalnie lub zakładając określony model turbulencji.

λ = f(Re, kształtu, stanu powierzchni ) Straty dzielą się na straty w przewodach (liniowe, lepkości) i straty lokalne. Wielkość strat lokalnych określa zależność:

gvhstr 2

2

⋅= ς -

gdzie: ζ - współczynnik strat lokalnych, miejscowych. Określa się go na podstawie badań lub w oparciu o analizę przepływu nielepkiego. Można te współczynniki znaleźć w poradnikach lub podręcznikach z mechaniki płynów. Straty lokalne związane są z zmianą geometrii przewodu (rozszerzenie, przewężenie), kierunku przepływu

(kolanka), zaburzeniami związanymi z armaturą (zawory, kryzy, zasuwy), rozgałęzienia przewodów itp..

PRZEPŁYW W SZCZELINIE, SMAROWANIE

y nieruchoma h(x) x x V l a W modelu ruchoma płaszczyzna przemieszcza się względem nieruchomej z prędkością V. Pochylenie h(x) jest bardzo małe. Założenie to pozwala na przyjęcie że:

0≈YV 0≈∂

∂x

Vx 02

2

≈∂∂

xVx 0≈

∂∂

yp

0))(()0(

==xhV

VV

x

x δ)()( xaxh −=

Przy tych założeniach z równań N – S otrzymujemy:

2

1yV

dxdp x

∂∂

=νρ

Kdxdp

=ρ1

KyVx

ν1

2

2

=∂∂

dwukrotnie całkując to równanie otrzymujemy:

dyCKydVx

+= 1

1ν

212

211 CyCyKVx ++=

ν ν

ρη

=

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych: VCVVy x =→== 2;0

0);( == xVxhy

[ ] VCxhxhK ++= 12 )()(

2110

ν

)(21

)(1 xKhxh

VCν

−−= ρ1

dxdpK =

ostatecznie otrzymujemy:

Vxh

Vydxdpxyh

dxdpyVx +−−=

)()(

21

21 2

ηη lub po uporządkowaniu:

−−=

)(21))((

xhV

dxdpyxhyVx η

Objętościowe natężenie przepływu wynosi:

−== ∫ dx

dpxhvxhdyVQxh

x η6)(

2)( 2)(

0

(2)

Naprężenia styczne na odpowiednich powierzchniach zgodnie z newtonowskim modelem płynu wynoszą:

+−=

=

== )(20

0 xhV

dxdph

dydV

y

xy

ηητ

)(2)()( xh

Vdxdph

dydV

xhy

xxhy

ηητ +−=

=

==

Na powierzchni nieruchomej h(x) naprężenia styczne mają znak przeciwny do naprężeń na powierzchni ruchomej. W wielu zagadnieniach technicznych istotna jest znajomość rozkładu ciśnień i hydrodynamicznej siły nośnej. Zależności te uzyskuje się z warunku (2).

−= 32 )()(2

12xhQ

xhV

dxdp η

Jest to równanie różniczkowe ze względu na nieznany rozkład ciśnień. Całkując jednokrotnie otrzymujemy:

Cxh

dxQxh

dxVp +

−= ∫ ∫ 32 )()(2

12η

Stałe całkowania C i Q z warunków brzegowych np.: 00

ppx

==

; 0pplx

==

stąd:

→∫l

pdx0

siła nośna

∫ →l

pxdx0

moment

Wykład 12

OPORY MIEJSCOWE – LOKALNE Straty lokalne to straty gdzie następuje zmiana kierunku przepływu, miejscowe rozgałęzienia, zmiany przekroju (łagodne, gwałtowne), elementy armatury, które zakłócają przepływ.

Analitycznie w miarę prosto straty lokalne można określić dla kilku przypadków – np. przepływ z gwałtowną zmianą przekroju poprzecznego. Wykorzystuje się zasadę zachowania pędu (ilości ruchu) i równanie Bernoulliego.

W przekroju 2-2 ustalenie przepływu. Z badań wynika, że na pierścieniu o powierzchni A2 - A1 (przekrój 1 –1), działa

ciśnienie takie jak w przekroju A1 , daleko przed rozszerzeniem. Zasadniczy powód tego to oderwania przepływu. Zmiany ciśnień z powodu:

- spadku Ek, - powoduje wzrost ciśnienia, - część energii ciśnienia tracona na zawirowania (ciecz lepka).

Do określenia strat wykorzystujemy równanie Bernoulliego i zasadę pędu dla wydzielonego obszaru cieczy.

Zmiana pędu wynosi: ( )12 vvQ −ρ

ta zmiana jest równa sumie sił zewnętrznych (tylko od ciśnienia): ( ) ( ) 221211112 ApAApApvvQ ⋅−−+⋅=−ρ ( ) 222112 ApApvvQ ⋅−⋅=−ρ

γρ =⋅ g ( ) ( ) 2221212 vAQivvQApp ⋅=−⋅=− ρ

( )2

212212 A

vvvApp −=−

ρ

( 21212 1 vvv

gpp

−=−γ

) (a)

Z równania Bernoulliego:

sNppvpv∆++=+ 2

22

1

21

22ρρ

( ) shvvpp

−−=− 2

221

12

21ργ

(b)

Z równania (a) i (b):

( ) ( )

( )[ ] ( )221

2212

22

21

21222

21

2122

21

121

vvg

vvvvvg

h

vvvg

hvvg

s

s

−=+−−=

−=−−

czyli ostatecznie::

( 2212

1 vvg

hs −= ) wzór Bordy-Cornota

lub

( )2212

1 vvhp ss −=⋅=∆ ργ

Bezwymiarowy współczynnik strat ζ jest stosunkiem energii traconej do energii kinetycznej strugi (w 1-1 lub 2-2).

Wykorzystując równanie ciągłości: 2211 vAvA ⋅=⋅

można uzyskać:

gv

gv

AA

vv

gvhs 22

112

22

2

22

2

2

1

2

2

122 ζ=⋅

−=

−=

11

2 >=AAm

gdzie:

( )22

1

22 11 −=

−= m

AA

ζ

Podobnie uczynimy w stosunku do strugi w 1-1: 2

1

21

111;

2

−==

mgv

hs ζζ

Łatwo zauważyć, że 12 ζζ >> np. dla .64,0;16;5 12 === ζζm 64,01 =ζ - oznacza, że 64% energii kinetycznej strugi węższej zostaje nieodwracalnie

przy przepływie przez rozszerzenie zamieniono na ciepło, przy stosunku średnic: .51

2 =dd

Jeśli (zbiornik o dużej objętości) to ∞→2A 1; 1 =∞→ ζm - tzn. cała energia strugi zostaje stracona (co oczywiście ma miejsce). Nagłe przewężenie przepływu

Problem trudniejszy. Nie można w taki prosty sposób jak przy rozszerzeniu określić wielkość strat. Inne zjawisko, tzn. kontrakcja strumienia, a następnie gwałtowne rozszerzenie.

Straty całkowite wynoszą :

ζζζ 2001 −−+=

ζ1-0 - współczynnik strat powodowany kontrakcją ζ0-2 – współczynnik strat wynikający z rozszerzenia strugi

Straty spowodowane nagłym rozszerzeniem ze wzoru Bordy-Carnota:

( )222

120

vvg

h os −=−

po uwzględnieniu równania ciągłości: 2211 vAvAvAQ oo ⋅=⋅=⋅=

gv

AA

gv

vv

ho

os 2

12

122

2

222

2

220

⋅

−=⋅

−=

−

2

20

22

20 11220

−=⋅= −−− β

ζζg

vhs (1)

β - współczynnik kontrakcji 1<β . β - ma tu inny nieco sens, niż przy wypływie ze zbiornika

11

058,0

1

2

1

2

1

2

→→

→→

=

AAprzy

AAprzy

AAf

β

ββ

.52,0158,01max

2

20=

−=

−δζ

Straty 01−ζ - z wzoru Bordy-Carnota przy czym 01−ζ << 20−ζ . Jeśli przyjąć w przybliżeniu, że straty całkowite określa wzór (1) to ze wzoru

Bernoulliego określić można spadek ciśnienia statycznego ppp ∆=− 21 w oparciu o wzór (b) dla przepływu z gwałtownym rozszerzeniem pola przekroju:

( )g

vvvg

pp2

1121 2

22

22

21

12

−−−=

−βγ

po wyeliminowaniu v1 12

121 >=

=

AAm

mvv

mamy:

2

22

2vp ρ

ζ=∆

2

2

2

1111m

−

−−=

βζ

.1111

22

1 ierozszerzenAAm

m>=

−=ζ

Z wykresów wynika, że zmiany ciśnienia i prędkości nie zachodzą gwałtownie.

Dla strugi zwężającej się ;0>dxdv ;0<

dxdp

Dla rozszerzającej się ;0<dxdv .0>

dxdp

Jeśli 0>dxdp (przewód rozszerzający) straty są znacznie większe niż przy 0<

dxdp

(przewód zwężający się). Przy zawężeniu straty mniejsze niż przy rozszerzeniu.

Wykład 13

Podobieństwo hydrodynamiczne zjawisk Problem wynika z faktu, że mimo rozwoju metod numerycznych w dalszym ciągu wiele zjawisk jakie występują w mechanice płynów można rozpoznać w oparciu o badania doświadczalne. Badania takie wykonuje się na obiektach modelowych, w warunkach laboratoryjnych. Aby takie wyniki można było transformować na obiekt rzeczywisty muszą być spełnione pewne warunki. Warunki te określają tzw. prawa podobieństwa hydrodynamicznego zjawisk. Ogólnie przyjmuje się, że aby spełnić te warunki należy zachować:

1. Podobieństwo geometryczne – stałe stosunki wymiarów liniowych 2. Podobieństwo kinematyczne – stałe stosunki wektorów prędkości w dowolnym

punkcie obiektu rzeczywistego i modelu

3. Podobieństwo dynamiczne - równania dynamiki ruchu sprowadzone do postaci wymiarowej muszą przybierać identyczną postać dla modelu i obiektu rzeczywistego.

Jeśli pominąć zjawiska cieplne, to w przypadku przepływów to aby te trzy warunki były spełnione równania N – S muszą być niezależne od wielkości liniowych. Warunki podobieństwa zostaną wyprowadzone w oparciu o równanie N – S. Uwzględniamy jedno z równań N – S.

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂

∂+

∂∂

+∂

∂2

2

2

21yV

xV

xpqV

yV

Vx

Vt

V xxxy

xx

xx νρ

Wprowadzamy wielkości bezwymiarowe:

,∞

=VVV ,

Lxx = ,

∞=

ρρρ ,1==

∞ννν ,

∞

=ppp ,

gqq x

x = Ttt =

gdzie: L, T charakterystyczne wymiary liniowy i czasu. Indeks , oznacza wartość w przepływie nie zaburzonym lub dowolnym wybranym punkcie przepływu. Dla wielkości bezwymiarowych równanie N-S przyjmie postać:

∞

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=

∂∂

+∂∂

+∂

∂ ∞

∞

∞∞∞2

2

2

2

2

2 1yV

xV

LV

xp

Lpqg

yVV

xVV

LV

tV

TV xx

xx

yx

xx ν

ρρ

Dzieląc ostatnie równanie przez L2

∞V , uzyskujemy:

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=

∂∂

+∂∂

+∂

∂

∞∞∞

∞

∞∞2

2

2

2

22

1yV

xV

LVxp

Vpq

VgL

yVV

xVV

tV

TVL xx

xx

yx

xx ν

ρρ

Z równania ostatniego wynika, że aby równanie bezwymiarowe mogło opisywać dwa porównywalne przepływy to następujące wyrażenia muszą być takie same dla obu przepływów:

→==∞

StCTV

L1 liczba Strouhala – wyraża stosunek składowej siły unoszenia do

lokalnej siły bezwładności

( )→==

∞222

1Fr

CVgL

gLVFr = liczba Froudea – stosunek lokalnej siły bezwładności do

siły ciężkości

→==∞∞

∞ EuCV

p32ρ

liczba Eulera – wyraża stosunek sił ciśnienia do lokalnej siły

bezwładności.

→==∞ Re

14C

LVν

νVL

=Re liczba Reynoldsa. – wyraża stosunek lokalnej siły

bezwładności do sił tarcia lepkiego. W badaniu przepływów płynów ściśliwych (gazy) występuje liczba podobieństwa Macha. Jest to stosunek prędkości przepływu do prędkości rozchodzenia się dźwięku w tym gazie.

cVMa = - liczba Macha

Można łatwo udowodnić, że w praktyce nie da się spełnić wszystkich praw modelowych jednocześnie. Przykłady: 1. Opór okrętu R, zależy od:

( )VgSLfR ,,,,,, νρ∆=

gdzie: L[m] – długość statku, S[m2] – pole powierzchni zwilżonej, ∇[m3] - objętość części zanurzonej statku, R[kgm/s2] – opór okrętu V[m/s] − prędkość pływania okrętu W przyjętej bazie przestrzeni wymiarowej SI, trzy wielkości z 8 mogą być wymiarowo niezależne. Mogą to być np. L, ρ, V.

[ ]

[ ][ ]

3110

031010

11

31

1

1

3 =−

−⇒

⇒⋅⋅

−

−

−

−

smkgsmkgsmkg

smVmkg

mL

o

o

oo

ρ

Bezwymiarową postać ogólnej zależności na opór okrętu:

∇= 1,,,1,,,1

434241333231232221131211321 ααααααααααααααα ρρρρρ VLV

VLg

VLVLSf

VLR

Wartości wykładników należy tak dobrać je , aby odpowiednie wyrazy były bezwymiarowe. Wynoszą one: α1=2; α2=1, α3=2 α11=2; α12=α13=0 α21=3; α22=α23=0 α31=-1; α32=2, α33=0 α41=1; α42=1, α43=0 Uwzględniając powyższe wartości i mnożąc obie strony przez 2 pomijając wartości stałe uzyskujemy:

∇

==VLV

gLLL

SfLV

RcTν

ρ,,,22

23222

gdzie: cT – bezwymiarowy współczynnik oporu.

Ostatnią zależność przepisać można w innej postaci. Wyrażenia: FnV

gL 12 = ,

RnVL1

=ν są to

znane liczby podobieństwa. Parametr S/L2 nie ma istotnego wpływu na opór okrętu i zostanie pominięty. Wyrażenie ∇/L3 nosi nazwę smukłości okrętu. Jak wykazały badania wpływ tego parametru na opór jest istotny. Opór okrętu można więc wyrazić:

∇⋅= RnFn

LcLVR T ,,

21

322ρ

Współczynnik oporu zależy więc od trzech parametrów. Wyznacza się go w oparciu o badania modelowe. Jeśli zachowa się podobieństwo geometryczne, to współczynnik cT, ma taką samą wartość, jeśli zachodzi równość liczby Reynoldsa i Froude’a dla statku rzeczywistego i modelu. Ponieważ w praktyce nie ma możliwości zachowania prawa modelowego Reynoldsa, badania wykonuje się przy zachowaniu tylko podobieństwa modelowego Froude’a. W takim przypadku opór liczy się z zależności:

( ) ( )[ ]RnCFnCSVR fR += 2

21 ρ

W zależności powyższej wymiar L2 zastąpiono polem powierzchni, co jest dopuszczalne, ponieważ wymiar nie ulega zmianie, CR jest tzw. współczynnikiem oporu resztowego, określonego doświadczalnie przy zachowaniu prawa modelowego Froude’a. Współczynnik Cf jest współczynnikiem oporu tarcia i oblicza się go niezależnie od badań modelowych. 2. Czy możliwe jest jednoczesne spełnienie prawa modelowego Froude’a i Reynoldsa? Można przyjąć, że właściwości cieczy i wielkość przyśpieszenia ziemskiego w warunkach modelowych i rzeczywistych są identyczne. Jeśli skala modelu wynosi α to wówczas z prawa modelowego Froudea wynika, że Fnm=Fns i wobec tego:

α1VsVm = (1)

Z prawa modelowego Reynoldsa natomiast:

ννms

smm

mLV

RnLV

Rn⋅

==⋅

=

wobec czego: Vm=Vsα (2) Z porównania warunku (1) i (2) wynika, że nie jest możliwe jednoczesne spełnienie prawa modelowego Reynoldsa i Froudea. Zgodnie z 2 zasadą dynamiki Newtona siła to iloczyn masy i przyśpieszenia:

S

VmamF∆

∆=⋅=

2

(3)

gdzie: s [m] droga. Ponieważ droga ma wymiar liniowy, to stosunek drogi w warunkach rzeczywistych i modelowych ma tą samą wartość co skala modelu α, natomiast stosunek masy obiektu rzeczywistego do masy modelu wynosi:

3αρρ

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=mmm

sss

m

szyxzyx

mm

(4)

Z warunku (3) przy uwzględnieniu (4) i odpowiednio (1) lub (2), przy zachowaniu prawa modelowego Froudea siła na modelu wynosi:

31

α⋅= sm FF

Z prawa modelowego Reynoldsa wynika, że: Fm=Fs Przy zachowaniu prawa modelowego Reynoldsa siły na modelu są tego samego rzędu co w warunkach rzeczywistych. W praktyce oznacza to, że model w trakcie badań ulegnie zniszczeniu. Spełnienie obu praw modelowych jest możliwe w przypadku gdy wymiary modelu są takie same jak obiektu rzeczywistego.

Wykład 14

Siły oddziaływania między cieczą i opływanym ciałem Przy ruchu ciała w płynie lepkim, na ciało działać będzie siła, która posiada składową

prostopadłą do kierunku wektora prędkości Składową prostopadła Pz nazywamy siłą wyporu hydrodynamicznego lub siłą nośną. Składowa równoległa Px jest siła oporu. Siła wypadkowa P jest reakcją hydrodynamiczną. Siła oporu Px jest wynikiem różnicy ciśnień wokół opływanego ciała (opór ciśnienia) i naprężeń stycznych na opływanym ciele (opór tarcia):

τxxx PPPn

+= (1)

Jeśli ciało jest tylko częściowo zanurzone, to w czasie jego ruchu na powierzchni swobodnej powstaje układ fal. Z tym układem fal związany jest opór falowy. Ten składnik oporu ma istotne znaczenie w obliczaniu oporu pływania statku. Opór ciała przedstawia się za pomocą bezwymiarowego współczynnika oporu cx:

SVPc x

x

2

2∞

=ρ

(2)

gdzie:

S - powierzchnia odniesienia

Ogólnie, współczynnika oporu dla ciał geometrycznie podobnych zależy od:

( )annx MFRfc ,,= (3)

Dla płynu nieściśliwego pomija się wpływ liczby Macha. Dla ciał całkowicie zanurzonych, współczynnik jest funkcją tylko liczby Reynoldsa:

( nx Rfc = ) (4)

Badania wykazały, że dla dostatecznie dużych liczb Reynoldsa współczynnik cx przyjmuje wartość w przybliżeniu stałą. W praktyce określa się go w oparciu o wyniki badań modelowych lub na podstawie wzorów przybliżonych. W tabeli przedstawiono współczynniki oporu dla wybranych ciał. Podobnie jak współczynnik oporu całkowitego oblicza się współczynnik oporu tarcia cf:

SVP

c xf

2

2∞

=ρ

τ (5)

gdzie:

S - powierzchnia zwilżona.

Współczynnik cf jest funkcją liczby Reynoldsa i można go wyznaczyć z wielu formuł, których stosowanie uwarunkowane jest rodzajem przepływu w warstwie przyściennej:

Wzór Blasiusa n

fn RcR 328,1 105 5 =⋅≤

Wzór Prandtla-Karmana 5

75 074,0 1010n

fn RcR =≤≤⋅5

Wzór Prandtla-Schlichtinga ( ) 58,2

96

log455,0 10

nfn R

cR =≤≤10

W wielu zastosowaniach technicznych (samoloty, maszyny hydrauliczne, okręty), elementy ciał, które wykonują ruch w cieczy są odpowiednio kształtowane. To ukształtowanie ma na celu uzyskanie maksymalnej wartości siły nośnej, przy minimalizacji siły oporu. Ciała te nazywamy płatami nośnymi. O ich właściwościach hydrodynamicznych, decyduje kształt przekroju poprzecznego płata czyli profil. Podstawowe parametry geometryczne płata i profilu przedstawia rys.

Kształty profili zostały usystematyzowane. Najbardziej rozpowszechnione są profile typu NACA, Gotingen, Żukowskiego. Właściwości hydrodynamiczne profilu są znane, jeśli znana jest zależność współczynnika siły nośnej cz , siły oporu cx i momentu cM.

SVPc z

z

2

2∞

=ρ

SVPc x

x

2

2∞

=ρ

lSVMcM

⋅=

∞

2

2ρ

gdzie:

S - powierzchnia odniesienia. Dla płata prostokątnego lbS ⋅= .

Moment M do określenia współczynnika momentu cM, oblicza się jako iloczyn składowej normalnej reakcji hydrodynamicznej P, do cięciwy profilu i odległości punktu przyłożenia tej siły od krawędzi natarcia profilu lub określonej osi obrotu profilu. Punkt przyłożenia reakcji hydrodynamicznej zależy od kąta natarcia. Moment ten ma istotne znaczenie tam, gdzie pochylenie profilu może ulegać zmianie np. płetwy sterowe statków, klapy skrzydeł samolotów. Współczynniki są funkcją kąta natarcia, kształtu profilu i obrysu płata. W określonym zakresie kątów natarcia, współczynnik siły nośnej w przybliżeniu jest funkcją liniową tego kąta. Wówczas:

( )oz

z ddcc αα

α−=

gdzie:

αo - kąt zerowej siły nośnej.

Dla profilu symetrycznego αo=0. Charakterystyki profilu podane są najczęściej dla określonego wydłużenia płata λ. Przy innym wydłużeniu charakterystyki należy przeliczyć na właściwe wydłużeniu. Wzory do przeliczeń oparte są na założeniu eliptycznego rozkładu cyrkulacji wzdłuż rozpiętości płata. W literaturze często są znane jako wzory Prandtla.