kul minggu 2 smp 4 besaran karakteristik penampang
TRANSCRIPT
-
Fakultas TeknikJurusan Teknik SipilUniversitas Brawijaya
-
Luas Penampanga. Bidang berbentuk tak beraturan
Luas penampang didefinisikan sebagai integral dari luas elemendiferensial dA
denganA : Luas penampang secara keseluruhan (mm2)dA : Luas elemen diferensial = dx . Dydx : Lebar elemendy : Tinggi elemen
-
Example:
1. Tentukan luas daerah B dibawah kurva : y = x4 2x3 + 2 diantara x = -1 dan x = 2
-
Answer :
5,1 10
51
2 - 2
1 -
5
1- 4
2
16 -
5
32
2 4
2
5
2 2 -
2
1-
45
2
1-
4
xxx
dxxxALuas B
-
antara nilai mempunyai yangsumbu x
oleh dibatasidan -1 persamaan mempunyai
yang parabola semisegmenberbentuk yang bidang luasTentukan 3.
2
2
b
xhxfy
-
bhhb
b
hbhb
b
hxhx
dxhb
xdxhA
dxb
xhydxdA
dAA
b
b
bb
3
2
3
3
3
3
1 .
2
3
0
2
3
0
0
2
2
0
2
2
-
b. Penampang bidang mempunyai tepi tak beraturan dan tidakterdefinisi secara sistematis sederhana
Luas penampang dapat ditentukan dengan membagi bidangmenjadi elemen-elemen terhingga yang kecil-kecil, kemudianmenjumlahkannya.
Dengan :
n = Jumlah elemen yang terbentuk
A i = Luas elemen ke i (in2 atau mm2)
n
i
iAA1
-
c. Penampang Bidang Secara Umum
-
Momen Statis
Momen statis dari suatu luasan terhadap sumbu x dan ydidefinisikan sebagai integral dari hasil kali luas setiapelemendiferensialdA dengan jarak titik berat luasan elementersebutterhadap suatu sumbuyang ditinjau
Terhadap sumbu x :
Terhadap sumbu y :
)mmatau (iny.dA M 3 3sx
)mmatau (inx.dA M 3 3sy
-
Titik Pusat Berat Benda
Titik pusat berat suatu penampangdapat dinyatakan sebagai titiktangkap resultante gaya dalam arah horizontal dan vertikal atausuatu titik dimana semuaberat terpusat pada titik tersebut. Koordinatx dan y dari pusat berat sama dengan momen statis dibagi denganluas penampang
M1 M2M3
Dimana:m1, m2, m3 =massapiasx1, x2, x3 = jarak massa terhadaptitik pusat Opada sumbuxy1, y2, y3 = jarak massa terhadaptitik pusat Opada sumbuy
= jarak titik berat bendaterhadap sumbux dan yM = m
yx dan
-
Prinsip Besaran Momen
M
mxx
mxxm
xmxmxmxm ...332211
Dengancara yang sama:M
myy
-
Titik Berat Bidang / Penampang
A
xax
.
A
yay
.
Dimana:a1, a2, a3 =luas penampangpiasx1, x2, x3 =Jarakpenampangterhadap sumbuyy1, y2, y3 =Jarakpenampangterhadap sumbuxA = a = a1 + a2 + a3 +
-
Contoh:Tentukantitik berat penampangberikut:
y1 y2
X
Y
Penampang ABCH:
a1 = 10 x 3 = 30 cm2
x1 = 5 cm
y1 = 15 3/2 = 13,5 cm
Penampang DEFG:
a2 = (15 3) x 3 = 36 cm2
x2 = 5 cm
y2 = (15 3) = 6 cm
53630
536530. xx
A
xax 41,9
3630
6365,1330. xx
A
yay
-
3. Tampang L
Bagian LuasMomenStatisterhadap
x y
I (15x20)=300 300x10=300 300x7,5=2250
II -(10x15)=-150 -150x12,5=-1875 -150x10=-1500
Jumlah 150 1125 750
5150
750.
5,7150
1125.
o
o
A
xa
A
Mx
A
ya
A
My
sy
sx
-
Soal:
Tentukantitik berat penampangberikut:
-
MOMEN INERSIA BIDANG (I)
r1
r2
r3
a1
a2a3
2
33
2
22
2
11
2
...
.
rararaI
raI
Jika luas bidang yang diarsir:
a1 = dA1
a2 = dA2
a3 = dA3
Jarak terhadap sumbu y:
r1 = x1
r2 = x2
r3 = x3
Maka momen inersia
terhadap sumbu x:
Maka momen inersia
terhadap sumbu y:
2
xx dA I y2
yy dA I x
-
Example :
Inersia segiempatterhadap sumbux melalui titik berat
3333
33
33
2
1
2
1
3
21
21
2
2
.12
1
24
2
24
24
81
381.
3
21
321
3
..3
1
I
b.dy dA
I
t
t
2
1
tbbtbtbt
tbtb
tb
tb
by
dybyx
dAy
t
t
y
yx
-
dx
dy
y
3333
33
33
21
21
3
2b1
2b1
2
2
.12
1
24
2
24
24
81
381.
3
21
321
3
..3
1
. I
d.dx dA
I2
1
bddbdbdb
bdbd
bd
bd
dx
dxxd
dAx
b
b
y
x
xy
Momeninersia segiempatterhadap sumbuy melalui titik berat
-
Momeninersia pada penampangberlubang
Momen inersia segiempat
ABCD terhadap sumbu x:
Ixx = 1/12 b d3
Momen inersia segiempat
EFGH terhadap sumbu x :
Ixx = 1/12 b1 d13
Momen inersia segiempat
berlubang:
Ixx = Ixx (ABCD) - Ixx (EFGH)
Ixx = 1/12 b d3 - 1/12 b1 d13
Dengan cara yang sama, Momen inersia segiempat berlubang
terhadap sumbu y :
Iyy = Iyy (ABCD) - Iyy (EFGH)
Iyy = 1/12 d b3 - 1/12 d1 b13
-
MomenInersia PenampangLingkaran
dA = dr
= keliling sebuah cincin
r = jari-jari cincin
dr = lebar cincin
r2 = x2+y2
-
4
4
4
0
4
0
4
0
3
0
2
0
2
0
222
00
2
4
1
2
1.
2
1
2
1
2
1
2
1
4
2
2 ) 2(
R
RII I
Rrr
drrdr rrI
I I
dAydAxdAyxdArI
pyx
RR
RR
p
yx
RRRR
p
-
MomenInersia Pada SistemKoordinat Translasi
a & b = koordinat pusat berat Oterhadap sumbu
sumbux // sumbusumbuy // sumbu
AbbMsIyIy
dAbdAxbdAx
dAxbdAxIy
y .2 '
.2.
. '
2
22
22
AaaMsIxIx
dAadAyadA
dAyadAIx
x .2 '
2y
y' '
2
22
22
Bila:
koordinat X, Y bertitiktangkap pada titik beratpenampang, maka Msx danMsy =0
.AbIyIy'
.AaIxIx'
2
2
-
Momen inersia segitiga terhadap sumbu x
dAyx2I
3
0
3
0
2
0
22
.12
1penampang)dasar thd(I
.12
1''.
''.
'.'.
.'
''
'
at
atdytttt
aI
ttdytt
ajarakLuas
dytt
adyadALuas
at
ta
t
t
a
a
x
t
x
3
2
3
2
0
.36
1
32.
12
1
Iberat) titik thd(I
attat
at
jarakLuasxx
-
Tentukan besarnya momen inersia untuk perhitungan teganganlentur dari penampangpada gambardi bawah.
-
Menentukantitik berat penampang
Berhubung momen inersia yang diinginkan akan dipergunakandalam perhitungan lenturan, maka momen inersia ini haruslahdiperhitungkan terhadap sumbuyang melalui titik berat penampang
KeteranganLuas(A) (mm 2)
Jaraktitik berat thd. alas (y (mm ))
A x y (mm3)
LuasTotal 40 x 60 = 2400 30 2400 x 30 = 72000
Luas Rongga dalam
-(20 x 30) = -600 35 -600 x 35 = -21000
= 1800 = 51000
-
dasar dari mm 3,28800.1
000.51
A
A.yy
Momeninersia terhadap sumbux
untuk luas penampangluar
44
4442
0
4422
44
3
3
o
10 . 72,69
10 . 69,010.50,4.
10 . 69,03,28302400.
10 . 7212
60.40..
21
mm
mmyAIIx
mmyA
mmhbI
-
untuk rongga dalam
44
4442
0
4422
44
3
3
o
10 . 7,19
10 . 69,210.50,4.
10 . 69,23,2835600.
50 . 50,412
30.20..
21
mm
mmyAIIx
mmyA
mmhbI
4 4
44
10 . 65,50
10 . 7,1910 . 72,69
berlubang penampanguntuk I
mm
-
Dari gambar terlihat bahwar2 = x2 + y 2
Sehinggarumus momeninersia polar dapat juga ditulis sbb :
dAydAx
dAyxdArIp
22
222
Ip = Ix + Iy
MOMEN INERSIA POLAR :
-
Hubungan MomenInersia Polar dan MomenInersia terhadap sumbux dan y
2
2
bAIycIy
aAIxcIx
baAIyc Ixc
bAaAIyc IxcIp
Iy IxIp
22
22
: maka
: Berhubung
Momen inersia polar nilainya makin besar apabila titik yangditinjau terletak makin jauh dari pusat berat bidang.
-
MomenInersia TerhadapDua Sumbu(Silang) Ixy
Ixy adalah produk inersia terhadap pusat berat bidang yangditinjau . Produk inersia dapat bertanda positif , negatif, ataubernilai 0 tergantung pada letak sumbu terhadappenampangtersebut.
A
xy dAxyI
..'' AbaIxyyIx
Sehingga, untuk koordinat translasi :
Produk inersia bernilai o, apabilasalah satu sumbunya merupakansumbusimetris penampang
-
Jari-jari Inersia (Radius Girasi)
Jari-jari inersia terhadap sumbux :
Jari-jari inersia terhadap sumbuy:
)(cmA
Ir xx
)(cmA
Ir
y
y
Ix dan Iy berturut-turut sama dengan momen inersiaterhadap sumbux dan sumbuy, dan A samadenganluas bidang.
-
Suatupenampangpada gambar. Tentukan:1. Momeninersia terhadap sumbux dan sumbuy dari penampang2. Ixy (produk inersia)
-
Berhubung sumbu y adalah sumbu simetris, maka
Ixy=0. Sumbu x dan sumbu y adalah sumbu utama.
Penampang dibagi atas 8 bagian.
-
Titik Berat Penampang
Bagian Luas A (cm2)Jarak terhadap
sumbu x
Momen statis:
A.YLetak sumbu
I 150 x 150 = 2250 7,5 16875
II 150 x 30 = 4500 75+15 = 90 405000
III 15 x 25 = 375 165 12,5 = 152,5 57187,5
IV 375 152,5 57187,5
V (15) (15) = 112,5 165-25-1/3.15=135 57187,5
VI 112,5 135 57187,5
VII (20) (20) = 200 15+1/3(20)=21,67 4334
VIII 200 21,67 4334
Total 8125 Total 575293