18kuhljdn evi

laško, 27. in 28. september 2018uredila dejan zupan in tomaž hozjan

Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2018

Laško, 27. – 28. september 2018

Uredila: Dejan Zupan

Tomaž Hozjan

Kuhljevi dnevi 2018Laško, 27. – 28. september 2018

ZBORNIK DEL

Uredila: Dejan Zupan

Tomaž Hozjan

Recenzije: Andrej BombačNenad Gubeljak Tomaž Hozjan

Matjaž HriberšekGeorge Mejak Janko SlavičDejan Zupan

Izdalo in založilo:SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

Jamova 2, Ljubljana september, 2018

Grafično oblikovanje:Veronika Saje

Tisk in vezava: Formatisk, Ljubljana

Naklada: 50 izvodov

Cena: knjiga je brezplačna

Kuhljevi dnevi 2018

Kazalo

M. Arh, J. Slavic , M. BoltezarVecdomensko modeliranje dinamskih sistemov v programskem okoljuOpenModelica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 – 8

U. Bajc, I. Planic, S. BratinaPozarna nosilnost armiranobetonskih stebrov z upostevanjem eksplozivnega luscenjabetona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 – 18

M. Cotic, A. BombacLokalni delez plinaste faze pri dispergiranju zraka v posodi s trostopenjskimmesalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 – 26

Z. Casar, M. Hribersek, M. ZadravecNumericna analiza tokovnih razmer v viali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 – 34

M. Cebron, S. Sarkar, A. Kosmrlj, M. BrojanAnaliza deformacij ravninskih elasticnih struktur po metodi elasticnihmultipolov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 – 42

M. Franjkovic, A. Kermiche, Z. Casar, A. Fujii, I. Catton, L. PilonVpliv vkljuckov vodika in dusika v matrici na toplotno prevodnost amorfnegananoporoznega ogljika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 – 49

T. Gomboc, M. Hribersek, M. Zadravec, J. Ravnik, J. IljazModeliranje susenja sfericnih delcev z metodo robnih elementov . . . . . . . . . . . . . . 51 – 58

B. Harl, M. Kegl, J. Predan, N. GubeljakVpliv rekonstrukcije geometrije na napetostna stanja v optimiranih nosilnihdelih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 – 64

J. KalinVirtualna ziroskopska kamera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 – 72

G. MejakEfektivne elasticne lastnosti periodicnega materiala s tetragonalno simetrijo . 73 – 80

- -

Kuhljevi dnevi 2018

B. Necemer, M. Borovinsek, T. Rodic, L. Krstulovic-Opara, M. VesenjakInverzna dolocitev parametrov materialnega modela duktilne poskodbe . . . . . . . 81 – 89

G. Novak, G. Rak, M. Cetina, D. ZagarDual SPHysics simulacije T-oblikovanega sotocja kanalov z derocim tokom . . . 91 – 98

N. Novak, M. Vesenjak, G. Kennedy, N. Thadhani, Z. RenEksperimentalno in racunalnisko balisticno testiranje plosc iz titana teraluminija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 – 106

R. PecenkoCelostna analiza lesenega stresnega nosilca s spremenljivo visino v pozaru . 107 – 114

R. Pusenjak, A. NikonovNelinearna nihanja harmonicno vzbujenega viskoelasticnega nosilca s tlacno aksialnoobremenitvijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 – 122

G. Rak, M. Hocevar, U. Pavlovcic, F. SteinmanMeritve poteka vodne gladine turbulentnega dvofaznega toka z uporabo laserskegaskeniranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 – 129

M. RamsakVecobmocna metoda robnih elementov za kompleksne fraktalne geometrije . 131 – 138

Z. RekAnaliza struktur pri razpadu plinskega curka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 – 146

T. Suligoj, B. Fortuna, M. Plos, G. TurkRazvoj naprave za razvrscanje lesa po trdnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 – 154

K. Zaletelj, J. Slavic, M. BoltezarModelno posodabljanje s hitro kamero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 – 162

- -

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Vecdomensko modeliranje dinamskih sistemov v programskemokolju OpenModelica

Matic Arh,1 Janko Slavic1 in Miha Boltezar1

Multidomain Modelling of Dynamic Systems in OpenModelicaEnvironment

Povzetek. Ko govorimo o nihanjih, imamo obicajno v mislih mehanska nihanja, dejstvo pa je, da

nihanja obstajajo tudi v drugih fizikalnih domenah (npr. elektromagnetna, fluidna). Pogosto so fizi-

kalne domene med seboj mocno prepletene. Ce v tem primeru zelimo ustrezno matematicno popisati

obnasanje sistema, obravnavanje samo ene domene ni dovolj, tako govorimo o vecdomenskem mo-

deliranju. Mocno orodje na podrocju modeliranja vecdomenskih sistemov je nekavzalni program-

ski jezik Modelica, ki se lahko uporablja v razlicnih odprtokodnih in komercialnih okoljih. Eden

taksnih odprtokodnih okolij je OpenModelica. Prispevek prikazuje matematicni model in rezultate

simulacije elektromagnetnega mehanskega sistema. Model je simuliran s pomocjo programskega

jezika Modelica v programskem okolju OpenModelica. Sistem je tudi eksperimentalno preverjen,

pri cemer se pokaze pomembnost ustreznega modeliranja izvora energije.

Abstract. Oscillations are usually understood in terms of mechanical oscillations. However they

also exist in other physical domains (e.g. electromagnetic, fluid). Physical domains often interact

with each other. Mathematical description which is concentrated on only one physical domain is

in that case insufficient and the need for multidomain modelling appears. Powerfull tool in the

field of multidomain modelling is acausal programming language Modelica which can be used in

numerous open-source as well as commercial environments. Article demonstrates mathematical

model and results of the simulation of electromagnetic mechanical system. Model is simulated with

help of Modelica programming language in OpenModelica environment. System is experimentally

validated and the importance of proper energy source model is presented.

1 Uvod

Razvoj simulacij se je zacel z analognimi simulacijami. Prvi mehanski diferencialni analizator

je bil razvit na MIT 1930 [1]. Leta 1947 so Ragazizini in ostali [2] pokazali, da je mogoce

1 LADISK, Fakulteta za strojnistvo - Univerza v Ljubljani

Kuhljevi dnevi 2018

simulacije izvesti elektronsko, s pojavom digitalnih racunalnikov, pa so se simulacije preselile

nanje. Prvi ki je pokazal, kako lahko digitalni racunalnik posnema diferencialni analizator, je bil

Selfridge [3]. Najprej je bilo razvito tekstovno modeliranje, temu pa je vzporedno z razvojem

racunalniske grafike sledilo modeliranje s pomocjo graficnih blokovnih diagramov (npr. Si-

mulink). Dobro so se razvila okolja, ki podpirajo modeliranje specificnih fizikalnih domen. Za

modeliranje elektricnih sistemov je bil npr. razvit SPICE [4] za mehanske npr. ADAMS. Razvoj

vecdomenskih fizikalnih modelov se je zacel z razvojem bond grafov [5]. Temu je sledil razvoj

Dymole (Dynamic Modeling Language), ki je kot prvi programski jezik uposteval nekavzalno

modeliranje s hierarhicno razvrscenimi podmodeli in metodami za avtomatsko simbolicno ma-

nipulacijo enacb [6]. Po Dymoli se je razvilo vec podobnih programskih jezikov, leta 1997 je

mednarodna ekipa znanstvenikov ustvarila enoten programski jezik za vecdomensko fizikalno

modeliranje, Modelico [7]. Modelica se je dobro uveljavila pri modeliranju vecdomenskih fizi-

kalnih sistemov. Uporabiti jo je mogoce v komercialnih programskih okoljih kot npr. Dymola

(Dynamic Modeling Laboratory), Wolfram SystemModeler kot tudi odprtokodnih programskih

okoljih npr. JModelica.org, Modelicac in OpenModelica.

Ko govorimo o nihanjih, imamo obicajno v mislih mehanska nihanja, dejstvo pa je, da nihanja

obstajajo tudi v drugih fizikalnih domenah (npr. elektromagnetna, fluidna). Fizikalne domene

so v realnih sistemih obicajno med seboj mocno prepletene, tako da matematicni model, ki

uposteva samo eno domeno, ni ustrezen. Pojavi se potreba po vecdomenskem modeliranju.

Mocno orodje, ki to omogoca, je nekavzalni programski jezik Modelica, ki se lahko uporablja

v razlicnih odprtokodnih in komercialnih okoljih. Eden taksnih odprtokodnih okolij je Ope-

nModelica. Prispevek prikazuje matematicni model in rezultate simulacije elektromagnetnega

mehanskega sistema. Model je simuliran s pomocjo programskega jezika Modelica v program-

skem okolju OpenModelica.

2 Vecdomensko modeliranje

Pri modeliranju vecdomenskih sistemov je cilj poiskati matematicni opis, ki popisuje obnasanje

sistema na podlagi fizikalnih zakonov. V razlicnih fizikalnih domenah nastopajo razlicni fizi-

kalni zakoni in spremenljivke. Elektricni sistem je lahko popisan s tokom in napetostjo, mehan-

ski s silo in hitrostjo, fluidni s tlakom in volumskim pretokom. Omenjenim sistemom je skupno,

da si izmenjujejo energijo. Iz tega razloga povezovanje domen temelji na prenosu in manipu-

laciji energije. Fizikalni sistem popisemo s parom spremenljivk, cigar produkt je enak ali vsaj

proporcionalen moci [8]. V splosni obliki tako sistem popisemo s spremenljivkami moci in

energijskimi spremenljivkami. Spremenljivki moci sta potencialna (angl. potential, effort) e in

pretocna (angl. flow) f spremenljivka, energijski pa pretocna kolicina (angl. momentum, flow

accumulation) fa in potencialna kolicina (angl. displacement, effort acumulation) ea. Energij-

ske spremenljivke in spremenljivke moci v mehanski in elektromagnetni domeni so zbrane v

tabeli 1. Mehanska je podrobneje razclenjena na rotacijsko in translacijsko domeno.

- 2 -

Kuhljevi dnevi 2018

Tabela 1: Spremenljivke moci in energijske spremenljivke v translacijski, elektromagnetni in

rotacijski domeni

Domena Potencialna

spremenljivka

Pretocna

spremenljivka

Potencialna

kolicina

Pretocna

kolicina

Translacijska hitrost sila pomik gibalna

kolicina

Elektro-

magnetna

napetost tok magnetni

sklep

naboj

Rotacijska kotna hitrost moment zasuk vrtilna

kolicina

Modelica temelji na prenosu spremenljivk moci med komponentami. Ideja Modelice je graficno

prikazana na sliki 1. Sistem sestoji iz dveh ali vec med seboj povezanih podsistemov. Vsak

podsistem vsebuje vodilne enacbe, ki ga opisujejo, ali pa hierarhicno podrejene podsisteme.

Med podisistemi se preko povezav prikljuckov prenasajo spremenljivke moci. Ko sklenemo

povezavo, se generirata sledeci enacbi

e1 = e2, (1)

f1 + f2 = 0. (2)

Na tak nacin lahko relativno enostavno modeliramo kompleksne domensko prepletene sisteme.

Poleg tega je prednost Modelice tudi njena nekavzalnost.

podsistem 1 podsistem 2

prikljucka

SISTEM f1

e1

f2

e2

Slika 1: Splosni prikaz modela v Modelici

3 Elektromagnetni mehanski sistem

Obravnavan je elektromagnetni mehanski sistem, prikazan na sliki 2 a), slika 2 b) pa prikazuje

njegovo numericno shemo. Gre za tuljavo z zeleznim jedrom. Ko napetostni izvor (baterija)

skozi tuljavo pozene tok, se ustvari magnetno polje, ki tezi k temu, da bi jedro premaknilo v

notranjost tuljave. Gibanju nasprotuje sistem mehanskih elementov in vzmeti.

- 3 -

Kuhljevi dnevi 2018

elektromagnetni

mehanski

sistem

napetostni

izvor

elektromagnetni

mehanski

sistem

a)

napetostni

izvorupor

elektromehanska

transformacija

mehanski

sistem

tuljava

b)

Slika 2: a) Obravnavani elektromagnetni mehanski sistem prikljucen na napetostni izvor b)

Numericna shema obravnavanega elektromagnetnega mehanskega sistema prikljucenega na na-

petostni izvor

Numericni model je sestavljen iz napetostnega izvora, upora, tuljave, elektromehanske transfor-

macije in mehanskega sistema. Za celoten sistem lahko na najvisjem hierarhicnem nivoju mo-

dela zapisemo Kirchoffov zakon napetostne zanke, enacba (3) in 2. Newtonov zakon, enacba

(4)

u(i)↓

napetostni izvor

= Ri↓

upor

+∂ψ(x,i)

∂ididt

↓tuljava

+∂ψ(x,i)

∂xdxdt

↓em. transformacija

, (3)

ma = Fem(x,i)↓

em. transformacija

+ Fm↓

meh. sistem

, (4)

kjer u(i) predstavlja napetost baterije, i tok skozi tuljavo, ψ(x,i) magnetni sklep, x pomik jedra,

m maso jedra, R upornost tuljave, a pospesek jedra, Fem elektromagnetno silo in Fm mehansko

silo. Mehanska sila predstavlja rezultirajoco kontaktno silo med jedrom in mehanskim siste-

mom in je odvisna od dinamike mehanskega sistema. Magnetni sklep in elektromagnetna sila

sta odvisna tako od pomika jedra kot toka. Parametri R, ψ in Fem so bili doloceni eksperimen-

talno in nato uporabljeni v numericnih modelih.

4 Eksperiment

Za potrebe dolocitve magnetnega sklepa in elektromagnetne sile je bil postavljen eksperiment,

prikazan na sliki 3. Napetost je bila merjena na izvoru. Tok skozi napravo je bil merjen preko

padca napetosti na uporih (6). Jedro naprave je s pomocjo merilnika pomika (4) in pomicnega

mehanizma (5) postaviti v zeljeno pozicijo in preko silomera meriti elektromagnetno silo (2).

- 4 -

Kuhljevi dnevi 2018

Slika 3: Eksperiment za dolocitev magnetnega sklepa ψ in elektromagnetne sile Fem, 1) merjena

naprava, 2) silomer, 3) pomicno drzalo, 4) laserski merilnik pomika, 5) pomicni mehanizem, 6)

elektricni upor

4.1 Dolocitev elektromagnetnih velicin

Lastna upornost navitja tuljave je bila dolocena preko vzbujanja s konstantno napetostjo v fi-

ksni poziciji jedra. Tako preostane le clen Ri v enacbi (3) in R lahko dolocimo preko meritve

napetosti in toka.

Magnetni sklep je nelinearno odvisen tako od pomika kot tudi toka, s katerim tvori histerezno

zanko. Magnetni sklep je bil dolocen tako, da je bilo jedro naprave fiksirano v razlicnih pozici-

jah, naprava pa vzbujana s sinusno napetostjo [9]. Na podlagi merjenja toka in uporabe enacbe

(5) je bil tako dolocen magnetni sklep

ψ(x,i) =∫ t2

t1(u−Ri)dt. (5)

Magnetni sklep je bil dolocen za razlicne pozicije jedra pri razlicnih amplitudah napetostnega

vzbujanja. Za uporabo v numericnem modelu, so bile pri dolocenem pomiku povezane skrajne

tocke histerezne zanke magnetnega sklepa. Ker v enacbi (3) nastopata le odvoda magnetnega

sklepa, je bilo potrebno dobljen rezultat se numericno odvajati po toku in pomiku. Rezultat

magnetnega sklepa dobljen preko meritve je prikazan na sliki 4 a), odvod po pomiku na sliki 4

b) in po toku na sliki 4 c).

4.2 Dolocitev elektromagnetne sile

Elektromagnetna sila je bila dolocena eksperimentalno. Jedro je bilo fiksirano v razlicnih le-

gah, skozenj pa je tekel konstanten tok, pri cemer je bila merjena sila, ki je vlekla jedro proti

- 5 -

Kuhljevi dnevi 2018

notranjosti. Rezultat meritve sile je prikazan na sliki 4 d). V simulaciji je bil uporabljen v obliki

interpolacijske tabele.

Slika 4: a) meritev magnetnega sklepa ψ, b) odvod magnetnega sklepa po pomiku jedra∂ψ∂x

, c)

odvod magnetnega sklepa po toku∂ψ∂i

, d) meritev elektromagnetne sile Fem

5 Numericna simulacija

Numericna simulacija je bila izvedena na podlagi modela prikazanega na sliki 2 b), pri cemer

so bili eksperimentalno pridobljeni podatki uporabljeni v obliki interpolacijskih tabel. Model je

bil eksperimentalno preverjen tako, da je bil vzbujan z baterijo, pri tem pa je bil merjen padec

napetosti na bateriji, tok skozi tuljavo in pomik jedra. Simulacija je bila narejena za dva primera

in sicer za primer napajanja s konstantnim napetostnim izvorom in za primer napajanja z ba-

terijo, pri cemer je bil pri bateriji upostevan padec napetosti zaradi notranje upornosti baterije.

Rezultati so zbrani na sliki 5.

- 6 -

Kuhljevi dnevi 2018

0

10

20u[V]

a)

eksperiment

simulacija - baterija

simulacija - konst. napetost

−10

−5

0

x[m

m]

b)

0 25 50 75 100 125 150 175 200

t[ms]

0

10

20

i[A]

c)

Slika 5: Primerjava a) vzbujevalne napetosti u, b) pomika jedra x in c) toka skozi tuljavo i med

simulacijo z baterijo, eksperimentom in simulacijo s konstantnim napetostnim izvorom

Na podlagi zbranih rezultatov vidimo, da pri simulaciji kjer je napetostni izvor tokovno odvisen

(baterija), pride do veliko boljsega ujemanja z eksperimentom. Tako mehanski kot elektroma-

gnetni del sistema sta med seboj prepletena in vplivata drug na drugega. Ce pogledamo tokovne

razmere pri eksperimentu (slika 5 c)), vidimo, da tok do 10 ms narasca, nato pa zacne padati.

Tok v tem delu narasca, ker se jedro se ni zacelo gibati. Po zacetku gibanja jedra se del ener-

gije porabi za gibanje, zato tok do priblizno 45 ms pada, tam pa jedro doseze koncno lego in

tok zacne zopet narascati. Pri simulaciji z baterijo se jedro proti koncu gibanja giblje nekoliko

hitreje kot pri eksperimentu, kar povzroci vecji tokovni padec v primerjavi z eksperimentom, to

pa vpliva na baterijo, ki doseze zato vecjo napetost, visja napetost pa spet povzroci hitrejso rast

toka po ustavitvi jedra.

- 7 -

Kuhljevi dnevi 2018

6 Zakljucki

Ker je matematicni popis lastnosti, ki nastopajo v naravi, analiticno in numericno zahteven,

se simulacije veckrat osredotocajo samo na eno domeno npr. mehansko. Predstavljeni pri-

mer prikazuje, kako pomembno je numericno modeliranje vec fizikalnih domen hkrati. Pri tem

smo se osredotocili na elektromagnetno in mehansko domeno. Pokazala se je mocna odvisnost

predstavljenih domen, saj majhno odstopanje fizikalne velicine iz ene domene mocno vpliva na

drugo. Razvidna je tudi nekavzalnost sistema, saj s tem ko elektromagnetna domena spremeni

obnasanje mehanske domene, ta nazaj spremeni obnasanje elektromagnetne. Iz tega razloga se

je Modelica znotraj OpenModelice izkazala za mocno orodje za modeliranje vec fizikalnih do-

men hkrati, saj omogoca nekavzalno modeliranje, poleg tega pa je v modele relativno enostavno

vnesti eksperimentalno dobljene rezutate. Kot zelo pomembno se je tudi izkazalo modeliranje

izvora energije, saj so rezultati dobljeni z uporabo konstantnega izvora napetosti, mocno odsto-

pali od eksperimentalnih, simulacija pri kateri se uposteva notranja upornost baterije, pa kaze

dobro ujemanje z dejanskim stanjem.

Literatura

[1] V. Bush The Differential Analyzer: A new machine for solving differential equations, Journal

of the Franklin Institute, 212, pp. 447–488, 1931

[2] R. G. Selfridge Analysis of problems in dynamics by electronic circuits, Proc. IRE, 35, pp.

444–452, 1947

[3] J. Ragazzini, R. H. Randall, F. A. Russel Coding a general purpose digital computer tooperate as a differential analyzer, Proceedings Western Joint Computer Conference, IRE,

1955

[4] L. Nagel, D. O. Pederson, SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis),Technical Report No. UCB/ERL M382, EECS Department, University of California, Ber-

keley, 1973.

[5] D. C. Karnopp, R. C. RosenBerg, Analysis and simulation of multiport systems — The bondgraph approach to physical system dynamics, . MIT Press, Cambridge, MA, US, 1968

[6] P. Fritzson, Principles of Object-oriented Modeling and Simulation with Modelica 3.3: ACyber-Physical Approach, . IEEE Press, 2015

[7] H. Elmqvist, S. E. Matisson, M. Otter, Modelica — The new object-oriented modeling lan-guage Proceedings of the 12th European Simulation Multiconference (ESM’98). SCS, The

Society for Computer Simulation, 1998 Manchester, UK

[8] P. E. Wellstead, Introduction to Physical System Modelling, Academic Press LTD, 1979

[9] G. Stumberger, B. Polajzer, B. Stumberger, M. Toman and D. Dolinar, Evaluation of expe-rimental methods for determining the magnetically nonlinear characteristics of electroma-gnetic devices, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 41, no. 10, pp. 4030-4032, 2005

- 8 -

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Požarna nosilnost armiranobetonskih stebrov z upoštevanjem eksplozivnega luščenja betona

Urška Bajc1, Igor Planinc2 in Sebastjan Bratina2

Fire resistance of reinforced concrete columns with regard to explosive spalling of concrete

Povzetek. V članku predstavimo nov numerični model za oceno požarne nosilnostioslabljenih armiranobetonskih stebrov, ki so posledica eksplozivnega luščenja betona. Predstavljeni model je dvofazen. V prvi fazi določimo razporeditev temperatur v požarnem prostoru. Druga faza požarne analize pa je sestavljena iz delno povezanega toplotno-vlažnostnega in mehanskega dela, saj le tako lahko ocenimo vpliv eksplozivnega luščenja betona na požarno nosilnost armiranobetonskih stebrov. V modelu kot kriterije za oceno nastanka in obsega eksplozivnega luščenja betona med požarom upoštevamo višino temperatur ter pornih tlakov v betonu, lokalno uklonsko nosilnost odluščenega dela betonastebrov ter hitrost izleta odluščenega betona. Primernost in učinkovitost razvitega numeričnega modela za analizo požarne nosilnosti stebrov prikažemo na primeru izoliranega stebra.

Abstract. A new numerical model for the estimation of fire load capacity of reinforced concrete columns considering local weakened column due to explosive spalling of concrete is presented. The present model is divided into two phases. In the first phase the time-dependent development of temperatures in the fire compartment is determined. The second phase consists of hygro-thermal and mechanical part of the fire analysis. For the estimation of explosive spalling of concrete, the hygro-thermal part and mechanical part are partly coupled. As a criterion to assess the occurrence of explosive concrete spalling and amount of spalled part of concrete, the height of temperatures, pore pressures in concrete, buckling load and velocity of the spalled part of concrete are considered. The adequacy and efficiency of the developed numerical model is shown in the case of an isolated column.

1 Bajc, tesarstvo in krovstvo, d.o.o, Zidani Most 3a, 8210 Trebnje2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, 1000 Ljubljana

Kuhljevi dnevi 2018

- -

1 Uvod

Kot poročajo številni raziskovalci, je vpliv eksplozivnega luščenja betona na požarno nosilnost armiranobetonskih konstrukcij zelo pomemben. Ta oblika luščenja betona se namreč pojavi že v začetni fazi požara (med 5 in 30 min) [7]. Tako je lahko zaradi odluščenega betona neposredno ogrožena stabilnost dela betonske konstrukcije (npr. obloge v predorih), posrednopa tudi nosilnost celotne konstrukcije, saj lahko postane armatura neposredno izpostavljena požaru. Številne eksperimentalne raziskave kažejo, da na pojav eksplozivnega luščenja betona najizraziteje vplivajo naslednji parametri: višja hitrost ogrevanja požarnega prostora in s tem betonske konstrukcije, višja vsebnost vlage v betonu, manjša prepustnost in poroznost betona in s tem povezani višji porni tlaki, večje tlačne napetosti v betonski konstrukciji ter ovirane temperaturne deformacije [7, 9].Matematično modeliranje interakcije med požarom in konstrukcijo je v splošnem zelo kompleksna naloga. Vzrok temu so zahtevni in med seboj povezani kemijski, hidrološki, toplotni in mehanski procesi v betonu pri povišanih temperaturah. Praviloma je modeliranje teh pojavov razdeljeno v dve ločeni fazi. V prvi fazi najprej določimo časovno in krajevnorazporeditev temperatur v požarnem prostoru. V drugi fazi požarne analize pa z uporabo teh rezultatov določimo še časovno in krajevno razporeditev temperatur, pornih tlakov, koncentracij zmesi suhega zraka in vodne pare ter napetostnega in deformacijskega stanja v konstrukciji med požarom. Pogosto tudi to fazo požarne analize ločimo na toplotno-vlažnostni in mehanski del. Za ustrezno oceno izpostavljenosti armiranobetonske (AB) konstrukcije pojavu eksplozivnega luščenja pa po poročanju številnih raziskovalcev lahko to dosežemo le s povezanim toplotno-vlažnostnim in mehanskim delom požarne analize [4, 11, 14]. V članku je predstavljen nov numerični model za oceno požarne nosilnosti izoliranih AB stebrov z upoštevanjem eksplozivnega luščenja betona, v katerem sta toplotno-vlažnostni in mehanski del požarne analize delno povezana. Pri tem povezanost upoštevamo le sspremenjeno geometrijo stebra, ki je posledica odluščenega dela stebra, in ta je posledica tako toplotno-vlažnostnih in mehanskih vplivov. Predstavljen model je nadgradnja numeričnega modela za požarno analizo AB konstrukcij brez upoštevanja pojava luščenja, pri kateri sta toplotno-vlažnostni in mehanski del nepovezana [1, 3].

2 Numerični model

Predpostavimo, da se v osrednjem delu stebra pri času trajanja požara tcr,s enostransko (nesimetrično) oziroma dvostransko (simetrično) po celotni širini prečnega prereza odlušči sloj betona debeline h1 in višine Lb kot to prikazuje slika 1. V sklopu delno povezanega numeričnega modela časovno in krajevno razporeditev temperatur po požarnem prostoru določimo s pomočjo požarnih krivulj temperatura-čas, ki na poenostavljen način opisujejo časovni razvoj temperature v požarnem prostoru (prva faza). V tem primeru je temperatura celotnega požarnega prostora enakomerna. V nadaljevanju najprej na kratko predstavimo poglavitne značilnosti druge faze požarne analize AB stebra, ki je izpostavljen luščenju. Ta faza požarne analize obsega toplotno-vlažnostni in mehanski del.

2.1 Toplotno-vlažnostni del požarne analizeV prvem delu druge faze požarne analize določimo časovno in krajevno razporeditev temperature, pornih tlakov in koncentracije suhega zraka in vodne pare v betonu. Vpliv prisotnosti armature zanemarimo. Ker je temperatura v celotnem požarnem prostoru

Kuhljevi dnevi 2018

- -

enakomerna, se tudi temperature in porni tlaki po višini stebra ne spreminjajo. Tako lahko določimo časovno razporeditev fizikalnih količin med požarom le v značilnih prečnih prerezihstebra in sicer v prečnem prerezu izven območja eksplozivnega luščenja betona ter v prečnemprerezu znotraj območja luščenja Lb, kjer pa lahko luščenje nastopi enostransko oziroma dvostransko (prečni prerez A1 oziroma A2 na sliki 1). Za analizo tega dela požarne analize armiranobetonskih stebrov uporabimo računalniška programa MoistureHeat [5] oziroma njegovo dopolnitev MoistureHeat2 [8], ki sta zasnovana na metodi končnih elementov in delujeta v programskem okolju MatLab.

Slika 1: Osnovni geometrijski podatki odluščenega stebra.

2.2 Mehanski del požarne analizeDeformiranje AB stebra med požarom opišemo z geometrijsko točnim Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca [10], pri čemer upoštevamo vzdolžne (membranske) in upogibne deformacije, strižne pa zanemarimo. Nelinearno in temperaturno odvisne materialne modele betona in armature v modelu upoštevamo skladno s standardom SIST EN 1992-1-2[13]. Z adicijskim razcepom geometrijske deformacije v modelu upoštevamo poleg mehanskih in temperaturnih deformacij še prehodne deformacije in deformacije lezenja pri povišanih temperaturah pri betonu in viskozno lezenje jekla pri povišanih temperaturah za armaturne palice (glej [2]).Steber razdelimo na štiri oziroma pet elementov z oznakami ʻaʼ, ʻbaʼ, ʻbbʼ, ʻbcʼ in ʻcʼ zdolžinami La, Lba = Lbb = Lbc = Lb in Lc kot to prikazujemo na sliki 2, in sicer ločeno za primer enostranskega oziroma dvostranskega luščenja. Elementi z oznako ʻbaʼ in ʻbcʼ predstavljajo potencialno odluščen del stebra in so zato označeni s črtkano črto. Osnovni sistem nelinearnih posplošenih ravnotežnih enačb stebra ločeno za vsak element sestavljajo kinematične, ravnotežne in konstitucijske enačbe (za detajle izpeljave glej [2]) s pripadajočimi robnimi pogoji in pogoji, ki posamezne elemente povežejo v steber. Rešimo jih z deformacijsko Galerkinovo metodo končnih elementov v kombinaciji z inkrementno-iteracijsko metodo, kjer celoten čas trajanja požarne analize razdelimo na časovne intervale. V ta namen smo ustrezno dopolnili in razširili računalniški program NFIRA [3], ki deluje v programskem okolju MatLab.

2.3 Kriteriji za oceno nastanka pojava eksplozivnega luščenja betona in s tem povezane količine odluščenega dela betona

Pri eksplozivnem luščenju opazimo silovit izlet požaru izpostavljenih betonskih kosov konstrukcije. Pojav eksplozivnega luščenja betona je v glavnem posledica dveh pogosto

Kuhljevi dnevi 2018

- -

povezanih procesov: toplotno-mehanskega, kjer se pojavijo napetosti zaradi oviranih temperaturnih deformacij, in toplotno-vlažnostnega procesa, pri katerem se v segretem delu betonu pojavijo povišani porni tlaki [4, 15]. V nadaljevanju predstavimo kriterije za oceno nastanka in obsega eksplozivnega luščenja betona med požarom.

Slika 2: Razdelitev stebra na več elementov.

2.3.1 Temperaturni kriterij in kriterij največjih pornih tlakovKot navajajo Gawin in sodelavci [4] se razpoka, ki povzroči odluščenje sloja betona, pojavi na mestu največjih pornih tlakov v betonu pri temperaturi okrog 200°C. Na osnovi rezultatov toplotno-vlažnostnega dela požarne analize tako lahko določimo čas nastopa luščenja betona tcr,s in globino luščenja h1, na kateri sta sočasno izpolnjena kriterija max

porePP in T = 200°C.

2.3.2 Kriterij uklona razslojenega (odluščenega) dela betonaS kriterijem uklonske nosilnosti razslojenega dela betona določimo še višino Lb razslojenega oz. odluščenega dela betona. To določimo s pol-analitičnim postopkom. Ker so dimenzije razslojenega sloja betona bistveno manjše od dimenzij preostalega, bolj togega AB stebra, ga lahko obravnavamo kot izoliran steber. Pri tem predpostavimo, da je razslojeni del betona praktično vpet v togi del stebra, tako da za uklonsko dolžino razslojenega dela betona upoštevamo Lu =0.5Lb. Nadaljnji postopek računa je sledeč:(i) izračunamo ravnotežno lego izoliranega stebra z uporabo osnovnih enačb Reissner-jeve

teorije ravninskih nosilcev [10] z ustreznimi robnimi pogoji,(ii) z uporabo Kellerjevega izreka [6], ki pravi, da so uklonske sile osnovnega sistema enake

uklonskim silam lineariziranega sistema, z uporabo rešitev iz točke (i) zapišemo linearni sistem diferencialnih enačb in ga rešimo,

(iii) poiščemo kritično rešitev sistema iz točke (ii). Pri tem moramo rešiti sistem dveh nelinearnih enačb za dve neznanki: kritično uklonsko silo jNcr , ki je kar enaka osni sili jNv razslojenem delu betona pri času tcr,s, in kritično osno deformacijo, 0,cr. Dobimo enačbo za določitev uklonske sile oziroma izraz za določitev višine Lb (j = ʻbaʼ, ʻbcʼ):

Kuhljevi dnevi 2018

- -

j

jjj

NDL

LDN

c0,cr

2

b2b

2

c0,cr )ε(1π4

)5.0(π)ε(1 (1)

V enačbi (1) je jNc konstitucijska osna sila v razslojenem oz. potencialno odluščenem delu

betona med požarom, količina jjjj CCCD 112

1222 / pa je povezana s členi materialne matrike odluščenega dela prečnega prereza. Kritično osno deformacijo 0,cr določimo s konstitucijskoenačbo .c

jj NN Sistem rešimo z inkrementno-iterativnim postopkom.

2.3.3 Kriterij količine akumulirane deformacijske energije in hitrost izletaHitrost izleta, s katero odluščeni del betona izleti od preostalega dela stebra, je odvisna od deformacijske energije Ekin, ki izvira iz toplotno-vlažnostnega th

kinE in toplotno-mehanskega

procesa tmkinE , ter energije loma Efr, ki se porabi za lomljenje razslojenega dela betonskega

stebra [15]. Hitrost izleta odluščenega dela z maso m določimo z izrazom:

mEEE

mEv )(22 fr

tmkin

thkinkin

p . (2)

Kinetično energijo toplotno-mehanskega procesa razslojenega dela stebra tik pred luščenjemocenimo z znanim izrazom za račun elastične deformacijske energije:

V

dVGE )εε(σ21

plc,σ,cσ,celc,tmkin , (3)

kjer je dV prostornina razslojenega (odluščenega) dela, z ,c in ,c,pl pa označimo vrednostmehanske deformacije in njenega plastičnega dela, z c pa napetost v betonu. Kinetičnoenergijo toplotno-vlažnostnega procesa ocenimo skladno z ugotovitvami raziskovalcev v [4, 15] in sicer upoštevamo tm

kinthkin EE . Energijo Efr, ki je potrebna za lomljenje razslojenega

dela betona na majhne koščke, izračunamo kot produkt lomne površine Afr in specifičneenergije loma betona v nategu Gf. Skupno lomno površino ocenimo tako, da razslojeni del betona razdelimo na majhne betonske kocke (npr.: h1 h1 h1), površine posameznih kock pa seštejemo. V razpoložljivi literaturi kot mejno hitrost izleta odluščenega dela betona, da lahko govorimo o eksplozivnem luščenju betona, omenjajo vrednost vp,crit = 5 m/s [4].

3 Računski primer

V tem poglavju na primeru izoliranega AB stebra prikazujemo učinkovitost predstavljenega numeričnega modela za analizo vpliva eksplozivnega luščenja na požarno nosilnostarmiranobetonskega stebra.

3.1 Osnovni podatki o AB stebru

Obravnavamo vrtljivo podprt AB steber višine L = 2.5 m, s kvadratnim prečnim prerezomdimenzij b/h = 30/30 cm (glej sliko 3). Steber je armiran z 12 vzdolžnimi armaturnimi palicami

12 mm. V analizi izberemo materialne karakteristike betona trdnostnega razreda C 40/50 in armaturnih palic razreda B 500B. Toplotne in materialne parametre betona in armature

Kuhljevi dnevi 2018

- -

povzamemo po SIST EN 1992-1-1 [12] in SIST EN 1992-1-2 [13] (beton z apnenčevim agregatom oz. hladno obdelano jeklo za armiranje).

Slika 3: Geometrijski in materialni podatki ter podatki o obtežbi AB stebra.

Steber je po celotnem ovoju izpostavljen požaru, pri katerem se temperatura požarnega prostora spreminja skladno z ogljikovodikovo požarno krivuljo (HC) [13]. Med požarom je steber dodatno obremenjen s konstantno centrično osno silo, ki predstavljajo 50% kritične(uklonske) sile obravnavanega AB stebra pri sobni temperaturi (Pcr,20°C = 4278 kN). Lastno težo stebra v analizi zanemarimo. V nadaljevanju analize najprej ovrednotimo posamezne kriterije za oceno pojava in obsega eksplozivnega luščenja.

3.2 Določitev časa nastopa luščenja in količine razslojenega (odluščenega) dela betona S kriterijem temperature in maksimuma pornega tlaka ocenimo čas nastopa luščenja in globino razslojenega (odluščenega) dela krovne plasti. V ta namen s programom MoistureHeat2 [8]izvedemo toplotno-vlažnostno analizo neoslabljenega prečnega prereza obravnavanega stebra, s katero določimo časovno razporeditev temperature in pornih tlakov po prečnem prerezu.Razporeditev omenjenih količin za izbrane čase trajanja požara prikazujemo na sliki 4.Ugotovimo, da sta kriterija izpolnjena pri času tcr,s = 20 min na globini h1 =3 cm (glej rdeči krivulji na sliki 4).Višino razslojenega oz. odluščenega dela betona določimo s pomočjo kriterija uklonske nosilnosti razslojenega dela betona in sicer z uporabo izraza (1). Manjkajoče napetostne in deformacijske količine izračunamo z inkrementno-iterativnim postopkom s programomNFIRA [3]. Pri tem uporabimo že znano časovno razporeditev temperatur po prerezu. Ob času nastopa luščenja tcr,s = 20 min je osna deformacija stebra cr0,ε 1.3146 ‰, konstitucijska osna

sila v razslojenem delu betona je bacN 34.07 kN, vrednosti členov materialne matrike

razslojenega dela prečnega prereza pa so: ba11C 14472 kN, ba

12C 9649 kNcm in ba22C

121889 kNcm2. Ocenjena višina razslojenega dela betona tako znaša Lb = 81.71 cm.Na koncu s pomočjo izraza (2) ocenimo še hitrost izleta odluščenega dela betona od preostalega dela stebra. Pri tem analiziramo dva primera. V prvem primeru upoštevamo, da je kinetična energija, ki izvira iz toplotno-vlažnostnega procesa, enaka kinetični energiji iz

Kuhljevi dnevi 2018

- -

toplotno-mehanskega procesa ( tmkin

thkin EE ), v drugem primeru pa njen prispevek zanemarimo

)0( thkinE . Rezultate zberemo v tabeli 1.

Slika 4: Časovni razvoj temperature in pornih tlakov po globini prečnega prereza.

Tabela 1: Ocenjena hitrost izleta odluščenega dela betona.

Ugotovimo, da v nobenem primeru ocenjena hitrost izleta ni večja od mejne hitrosti izleta(vp,crit = 5 m/s [4]). Ugotovitev je do neke mere pričakovana, saj je intenzivnost segrevanja le eden izmed pomembnejših vzrokov, ki povečujejo verjetnost pojava eksplozivnega luščenja betona med požarom. Glede na dostopne podatke v literaturi bi se verjetnost pojava eksplozivnega luščenja dodatno povečala še v primeru večjih tlačnih obremenitev in visoke vlažnosti ter nizke prepustnosti betona (npr. uporaba betonov visokih trdnosti).

3.3 Scenariji porušitve AB stebra med požaromGlede na razpoložljivo deformacijsko energijo Ekin oz. glede na ocenjeno hitrost izleta vp

definiramo tri različne scenarije porušitve:(i) scenarij SC-0: predpostavimo, da zaradi premajhne količine deformacijske energije Ekin pri

času tcr,s = 20 min ne pride do razslojitve dela stebra, prav tako ne do odluščenja. To pomeni, da tudi po tem času ostane steber v osrednjem delu ‘b’ v celoti homogen.

(ii) scenarij SC-1: predpostavimo, da pride pri času tcr,s = 20 min v osrednjem delu stebra ‘b’ le do delnega lomljenja oz. drobljenja in razslojevanja AB stebra na globini h1 in višini Lb.Oslabitev je lahko enostranska (SC-1a) ali dvostranska (SC-1b). Deformacijske energije Ekin pri tem ni dovolj, da bi razslojeni in nalomljeni del betona odpadel v celoti ali po delih,pač pa predpostavimo, da v celoti izgubi svojo mehansko nosilnost, ohrani pa vlogo toplotnega izolatorja osrednjega dela stebra. Kljub temu, da globina razslojenega in delno lomljenega betona doseže vzdolžne armaturne palice (h1 = a = 3 cm), zanemarimo vpliv

h 1 L b m A fr E fr E kintm E kin

* v p* E kin

** v p**

[cm] [cm] [kg] [m2] [J] [J] [J] [m/s] [J] [m/s]

3 81.71 17.7 0.47 42 75 109 3.5 33 1.9* E kin

th E kintm ** E kin

th = 0

Kuhljevi dnevi 2018

- -

morebitnega lokalnega uklona mehansko nezaščitenih armaturnih palic na požarno nosilnost AB stebra,

(iii) scenarij SC-2: predpostavimo, da je deformacijske energije Ekin dovolj, da se v osrednjem delu stebra ‘b’ del betona globine h1 in višini Lb pri času tcr,s = 20 min razsloji, nalomi (zdrobi) in tudi odlušči v obliki eksplozije. Odluščenje je lahko enostransko (SC-2a) alidvostransko (SC-2b). Vpliv lokalnega uklona nezaščitenih armaturnih palic na požarno nosilnost AB stebra ni merodajen, saj je viskozno lezenje jekla dominanten fizikalni pojav.

V nadaljevanju predstavimo rezultate požarne analize AB stebra za vse tri scenarije.

3.4 Toplotno-vlažnostni del požarne analize za različne scenarije porušitveKot smo že predhodno omenili, časovno razporeditev temperatur in pornih tlakov med požarom določimo v dveh karakterističnih prečnih prerezih stebra. Pri tem rezultate analizeoznačimo z:- TEMP1 za prečni prerez stebra izven območja luščenja (deli z oznako ʻaʼ in ʻcʼ na sliki 2),- TEMP2a za prečni prerez stebra znotraj območja luščenja Lb (del z oznako ʻbʼ na sliki 2), ki je po nastopu luščenja pri času tcr,s = 20 min enostransko oslabljen (prerez A1 na sliki 1)oziroma- TEMP 2b za prečni prerez stebra, ki je po nastopu luščenja dvostransko oslabljen (prerez A2 na sliki 1).Izračunana temperaturna polja pri izbranih časih trajanja požara prikazujemo na sliki 5. Vtabeli 2 prikažemo še upoštevano razporeditev temperaturnih polj po višini analiziranega stebra za posamezne scenarije porušitve, ki jih nato uporabimo v mehanskem delu požarne analize.

Tabela 2: Razporeditev temperaturni polj po višini stebra za posamezne scenarije porušitve.

3.5 Mehanski del požarne analize za različne scenarije porušitveV mehanskem delu požarne analize ocenimo požarno nosilnost obravnavanega AB stebra. V primeru scenarija SC-0 upoštevamo, da je steber ves čas požarne analize homogen. V primeru scenarijev SC-1 in SC-2 pa upoštevamo, da se del stebra razsloji oziroma odlušči. Vsi ostali parametri mehanskega dela požarne analize (obtežba, materialni parametri, konstitucijski zakoni, adicijski razcep,…) ostanejo enaki kot pri analizi homogenega stebra. V tabeli 3 zberemo kritične (uklonske) čase za vse obravnavane scenarije porušitve. Sočasnoprikazujemo še navpični pomik ucr* krone stebra ter prečni pomik wcr* na sredini višine stebra pri kritičnem času. Negativno predznačeni navpični pomiki pomenijo, da se steber med požarom skrči. Ker je obravnavan centrično obremenjeni steber idealno raven, je prečni pomik v primeru analize homogenega stebra oziroma simetričnega luščenja enak 0.

scenarij porušitveSC-0 SC-1a SC-1b SC-2a SC-2b

ʻa ʼ TEMP1 TEMP1 TEMP1 TEMP1 TEMP1ʻb ʼ TEMP1 TEMP1* TEMP1* TEMP2a TEMP2bʻc ʼ TEMP1 TEMP1 TEMP1 TEMP1 TEMP1* odluščen del ne odpade, pač pa opravlja vlogo toplotnega izolatorja

del stebra

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 5: Razporeditev temperatur po karakterističnih prečnih prerezih stebra.

Tabela 3: Kritični (uklonski) časi AB stebra za različne scenarije porušitve.

Ugotovimo, da je vpliv razslojenega in nalomljenega oz. razdrobljenega dela betona (brez eksplozivnega luščenja betona in brez lokalnega uklona armaturnih palic) pomemben za določitev požarne nosilnosti AB stebrov. Ta vpliv zmanjša požarno nosilnost oslabljenega stebra za 8 oziroma 30 % (SC-1b oz. SC-1a) glede na primerljiv homogen centrično obremenjen AB steber (SC-0). Eksplozivno luščenje betona ima pričakovano še večji vpliv na požarno nosilnost AB stebra (71 % zmanjšanje pri SC-2a). Zmanjšana požarna nosilnost stebra

scenarijt cr

[min] t cr / t crSC-0

načinporušitve

u cr*

[cm]w cr*

[cm]SC-0 □SC-1a ■SC-1b □SC-2a ■SC-2b □■ upogibna porušitev (materialno mehčanje)□ uklon stebra

Kuhljevi dnevi 2018

- 1 -

je predvsem posledica spremenjenega temperaturnega polja in posledično spremenjenih mehanskih lastnosti betona in armature zaradi oslabljenega stebra, ki ga v globalnem algoritmu določimo z upoštevanjem delno povezanega toplotno-vlažnostnega in mehanskega dela druge faze požarne analize.

4 Zaključek

V članku smo predstavili nov numerični model za oceno požarne nosilnosti armiranobetonskihstebrov z upoštevanjem eksplozivnega luščenja betona. Pomembna novost modela je v delnopovezani toplotno-vlažnostni in mehanski požarni analizi. Na primeru izoliranega armiranobetonskega stebra smo prikazali, da je predstavljena numerična metoda zelo učinkovita in zato primerna za požarno analizo armiranobetonskih stebrov z upoštevanjem eksplozivnega luščenja betona.

Literatura

[1] U. Bajc, M. Saje, I. Planinc, S. Bratina, Semi-analytical buckling analysis of reinforced concrete columns exposed to fire, Fire Saf. J. 71, 11--22, 2015.

[2] U. Bajc, Uklonska nosilnost armiranobetonskih okvirjev med požarom, Doktorska disertacija, UL FGG, 114 str., 2015.

[3] S. Bratina, M. Saje, I. Planinc, The effects of different strain contributions on the response of RC beams in fire, Eng. Struct. 27, 418--430, 2007.

[4] D. Gawin, F. Pesavento, B. Schrefler, Towards prediction of the thermal spalling risk through a multi-phase porous media model of concrete, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 195, 570--5729, 2006.

[5] T. Hozjan, M. Saje, S. Srpčič, I. Planinc, Fire analysis of steel-concrete composite bean with interlayer slip, Comput. Struct., 89, 189--200, 2011.

[6] H.B. Keller, Nonlinear bifurcation, J. Diff. Eq. 7, 417--434, 1970.[7] G.A. Khoury, Effect of fire on concrete and concrete structures, Progr. Struct. Eng. Mater.

2, 429--447, 2000.[8] J. Kolšek, Nelinearna analiza vpliva požara na sovprežne linijske konstrukcije, Doktorska

disertacija, UL FGG, 117 str., 2013.[9] C.E. Majorana, V.A. Salomoni, G. Mazzucco, G.A. Khoury, An approach for modelling

concrete spalling in finite strain, Math. Comput. Simulat. 80, 1694--1712, 2010.[10]E. Reissner, On one-dimensional finite-strain beam theory: The plane problem, Z. Angew.

Math. Phys. 23, 795--804, 1972.[11]B.A. Schrefler, P. Brunello, D. Gawin, C.E. Majorana, F. Pesavento, Concrete at high

temperature with application to tunnel fire, Comput. Mech. 29, 43--51, 2002.[12]SIST EN 1992-1-1, Evrokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcij – Del 1-1: Splošna

pravila in pravila za stavbe, 227 str., 2005.[13]SIST EN 1992-1-2, Evrokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcij – Del 1-2: Splošna

pravila – Projektiranje požarnovarnih konstrukcij, 94 str., 2005.[14]A. Witek, D. Gawin, F. Pesavento, B.A. Schrefler, B. A, Finite element analysis of various

methods for protection of concrete structures against spalling during fire, Comput. Mech. 39, 271--292, 2007.

[15]M. Zeiml, R. Lackner, H.A. Mang, Experimental insight into spalling behavior of concrete tunnel linings under fire loading, Acta Geotechnica 3, 295--308, 2008.

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Lokalni delež plinaste faze pri dispergiranju zraka v posodi s trostopenjskim mešalom

Matic Cotič1 in Andrej Bombač1

Local void fraction in an aerated stirred vessel by three-stage impeller

Povzetek. Za primer dispergiranja večjih količin plina v mešalno posodo, opremljeno s tristopenjskim mešalom, so bili izmerjeni lokalni deleži plinaste faze ter rezidenčni časi plinaste faze v 50 lokacijah po višini pri konstantnem radiju. Meritve so bile opravljene pri dveh režimih pretoka dovedenega zraka, oziroma Fl = 0,05 ter Fl = 0,23. V obeh režimih mešanja je bila vrtilna frekvenca mešala enaka, oziroma Fr = 0,2. Meritve lokalnega deleža plinaste faze so bile opravljene z uporabo uporovne sonde.

Abstract. Local void fraction and gas structure residence time was measured in 50location at constant radius inside stirred vessel, equipped with three-stage impeller for the case of dispersing higher rates of gas. The measurements were done for two mixing conditions at constant rotational speed of the impeller (Fr = 0,2). Air inlet flow corresponded to Flow Numbers Fl = 0,05 and Fl = 0,23. Local void fraction measurements were carried out using the resistivity probe.

1 Uvod

V primerih velikih prostornin obdelovane snovi je pogosta uporaba vitkih mešalnih posod,opremljenih z večstopenjskimi mešali. Konfiguracija tristopenjskega mešala je že bila obravnavana v prispevku[1], kjer so bili merjeni premeri mehurčkov ob steni mešalne posode. Kadar se pri dispergiranju zraka dovaja večjo količino zraka (globalni delež plinaste faze vobravnavanem primeru znaša do αg = 10,3 %) so metode, ki temeljijo na vizualizaciji, zelo omejene. V tem prispevku so prikazani rezultati meritev lokalnega deleža plinaste faze pri pretočnem številu Fl = 0,05 (αg = 5,4 %) in Fl = 0,23 (αg = 10,3 %).

1 Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani

Kuhljevi dnevi 2018

- 2 -

Glede na način merjenja deleža faze se razvite naprave ločijo v dve skupini: lokalne naprave, ki neposredno merijo funkcijo gostote faze. Rezultat je lokalni,časovno povprečni delež faze;integralne naprave, ki merijo krajevno povprečni delež faze.

Nekatere poznanih metod merjenja deleža faze uporabljajo: zaznavanje zmanjšanja sevanja, optično detektiranje in električno impedanco. Pri slednji se lahko izkorišča upornost - lokalni, časovno povprečni α ali kapacitivnost - integralni, krajevno povprečni α dvofaznega vzorca[2]. Delež plinaste faze je bil merjen z uporovno sondo (intruzivna metoda). Časovno povprečne vrednosti lokalnega deleža plinaste faze so bile izmerjene v 50 lokacijah po višini mešalne posode. V posamezni meritvi je bilo zaznanih med ~700 in ~12000 plinskih struktur, iz katerih so bili izračunani povprečni rezidenčni časi plinaste faze v merjenih lokacijah. Meritve so bile opravljene v vodovodni vodi temperature 22°C, po obročastem razpršilniku pod spodnjim mešalom je bil dovajan komprimiran zrak temperature 19°C iz razvodnega omrežja Fakultete za strojništvo v Ljubljani.

2 Laboratorijska naprava

Meritve so bile opravljene na laboratorijski napravi, prikazani na sliki 1 (levo). Tristopenjsko mešalo je gnano s frekvenčno reguliranim elektromotorjem. Vrtilna frekvenca mešala je merjena z merilnikom vrtljajev, ki ima odstopanje . V posodo je dovajan zrak preko razpršilnega obroča, nameščenega pod mešalom (oznaka 1). Pretok dovedenega zraka je merjen z rotametrom točnosti (10). Meritve pretoka zraka so bile ustrezno temperaturno in tlačno korigirane. Globalni delež plinaste faze je bil merjen preko tritočkovnega odjema na gladini in vezne cevi (11). Oznake 2,3 in 4 prikazujejo mešala na gredi.

Slika 1: Laboratorijska naprava (levo) in tristopenjsko mešalo (desno).

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Uporovna sonda (5) je bila nameščena na pomični mehanizem, z možnim pomikom v vertikalni smeri ob motilniku toka, na radiju r = 0,35·T. Sonda je bila napajana s 5 V napetostjo (6). Oznaka 7 prikazuje drsni upor, signal je bil zajet preko merilne kartice (8). Za zapis podatkov je bil uporabljen program LabView (9). Slika 1 (desno) prikazuje obravnavano tristopenjsko mešalo. Na najvišji legi je nameščeno mešalo Scaba 3SHP. Srednje je turbinsko mešalo 6PBT45 z nagnjenimi lopaticami pod kotom 45°. Najnižje je nameščeno mešalo z asimetričnimi lopaticami ABT. Vsa uporabljena mešala so premera 0,5·T, pri čemer je premer mešalne posode T = 0,45 m.Meritve lokalnega deleža plinaste faze so bile opravljene pri vrtilni frekvenci mešala n = 178 vrt/min, kar ustreza Froudovemu številu Fr = 0,2. Pretok dovedenega zraka je znašal q = 6,3 m3/h, kar ustreza pretočnemu številu Fl = 0,05 in q = 28 m3/h, kar ustreza pretočnemu številu Fl = 0,23.

3 Postopek merjenja z uporovno sondo

Meritev lokalnega deleža plinaste faze v posamezni lokaciji je trajala 5 min, signal je bil zajet s frekvenco zapisovanja fs = 5 kHz. Uporovna sonda je bila napajana s +5 V enosmerno napetostjo. V dani lokaciji sonde znotraj mešalne posode so v vsakem času mogoča tri stanja: sonda se nahaja v plinasti fazi (MG), sonda se nahaja v kapljevini (ML), stična površina mehurčka/zračne strukture se nahaja točno na lokaciji sonde (MS). Glede na omenjena stanja so vrednosti M sledeče[3]:

(1)

Lokalni delež plinaste faze je bil določen po enačbi:

100 %Gi Gi

i i

Gi Lii i

t t

t t(2)

V enačbi (2) predstavlja ΔtGi rezidenčni čas plinaste faze v merjeni lokaciji in Δτ celotni čas meritve. Tekom meritev je bil pomerjen globalni delež plinaste faze v mešalni posodi z uporabo tritočkovnega odvzema in vezne cevi. Globalni delež plinaste faze je definiran:

100 100 %gg

g g

H HhH H

(3)

kjer označujeta Hg in H višino gladine pri dispergiranju zraka in brez dispergiranja.Slika 2 prikazuje eno sekundo meritve lokalnega deleža plinaste faze in določeno enojno mejo prehoda faze na 6 % razlike napetosti, kjer je pomerjana napetost višja v primeru, ko se sonda nahaja v plinasti fazi in nižja, ko je sonda v kapljevini. Razlika v napetosti uporovne sonde v vodi in zraku je znašala okoli 2 V, merjena vrednost v vodi je bila približno 2,1 V in zraku približno 4,3 V.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 2: Prikaz ene sekunde merjenega signala in meja prehoda faze.

Glede na izmerjene vrednosti napetosti v vodi in zraku je bila določena enojna meja prehoda faze. Skladno z literaturo[3] je bila izbrana enojna meja prehoda na 6 % razlike napetosti. Določanje lokalnega deleža plinaste faze in hitre Fourierove transformacije je bilo izvedeno z uporabo programa Octave[4].

4 Rezultati

V vsaki lokaciji je meritev lokalnega deleža plinaste faze (α) trajala 5 min. Časovno povprečne izmerjene vrednosti α v 50 lokacijah po višini mešalne posode pri konstantnem radiju r = 0,35·T so prikazane na sliki 3. V območju mešal so bile meritve po višini izvedene s korakom 10 mm, drugod s korakom 20 mm. Najnižja lokacija meritev je bila 85 mm oddaljena od spodnjega roba mešalne posode, kar je 65 mm nižje od sredine najnižjega (ABT) mešala. Vskrajni spodnji lokaciji meritev (85 mm) je iz slike 3 razvidna zelo majhna vrednost deleža plinaste faze. Vrednost α v tej lokaciji je višja pri režimu z manjšim pretokom dovedenega zraka (α@Fl = 0,05 = 2,1 %), kot pri režimu z višjim pretokom (α@Fl = 0,23 = 1,2 %). Glede na pomerjene majhne vrednosti α pod mešalom, bi bilo v nižjih lokacijah smotrno predvidevati pojav t.i. 'mrtvih con', kjer je vrednost α zanemarljivo majhna[5].Za uspešno dispergiranje večjih količin plina se uporabljajo specialna radialna mešala, med katera spada tudi uporabljeno ABT mešalo. V lokacijah ob robu lopatice spodnjega mešala so bile tako izmerjene najvišje vrednosti deleža plinaste faze v mešalni posodi, do α = 11 % (pri Fl = 0,05) in do α = 39 % (pri Fl = 0,23). Višje vrednosti α so bile izmerjene tudi ob robu lopatice radialno/aksialnega 6PBT45 mešala (5,4 % pri Fl = 0,05) in aksialnega Scaba 3SHP mešala (na najvišji poziciji: α = 6% pri Fl = 0,05) Pri režimu Fl = 0,05 je opazen vertikalni zamik najvišje pomerjenih vrednosti v okolici mešal glede na meritve pri Fl = 0,23. Najvišja izmerjena vrednost α v ob robu srednjega in zgornjega mešala pri režimu Fl = 0,23 znaša do 19 %.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

V radialni smeri so lokacije meritev od roba lopatic mešal oddaljene 45 mm. Preglednica 1prikazuje povprečje izmerkov deleža plinaste faze ob lopaticah mešal tristopenjskega mešala.Povprečeni so štirje izmerki, oziroma ena širina lopatice mešala.

Tabela 1: Povprečne vrednosti α ob robu mešal tristopenjskega mešala pri Fl = 0,05 in Fl = 0,23.

Slika 3: Odvisnost lokalnega deleža plinaste faze od višine pri Fr = 0,2 in Fl = 0,05 ter Fl = 0,23. Zaradi preglednosti ima diagram osi zamenjani. Mešalo: ABT + 6PBT + 3SHP.

S tritočkovnim odjemom in vezno cevjo je bil v režimih meritev lokalnega deleža plinaste faze izmerjen globalni delež plinaste faze αg = 5,4 % pri Fl = 0,05 in αg = 10,3 % pri Fl = 0,23. Izmerjene vrednosti α ob robu lopatic posameznih mešal je zaradi velike izbire mešal in režimov obratovanja težko primerjati z deli drugih avtorjev. V delu[6] so bile opravljene meritve α v okolici enostopenjskega ABT mešala premera T/3. Primerjava je prikazana na sliki 4 ter tabelirana v preglednici 2. Vrtilna frekvenca v literaturi je ustrezala Froudovim številom 0,3 in 0,5, meritve tristopenjskega mešala so bile opravljene pri Fr = 0,2.

050

100150200250300350400450500550600650700750800850900950

0 10 20 30 40

z [m

m]

α [%]

Fl =0,23

Fl =0,05

mešalo lokacija αpov,Fl = 0,05 [%] αpov,Fl = 0,23 [%]ABT spodnje mešalo 9,4 32,2 4PBT45 srednje mešalo 6 17,9 Scaba 3SHP zgornje mešalo 5,4 18,5

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Tabela 2 : Primerjava največjih izmerjenih α v okolici mešal z vrednostmi iz literature[6,7].

mešalo Fr Fl dmešala lokacija αmax [%] vir

ABT 0,2 0,23 0,5·T r = 0,35·T 38,9 meritve 0,3 0,09 0,33·T ob lopatici 23,5 literatura[6] 0,5 0,22 0,33·T ob lopatici 72,8 literatura[6]

PBT 0,2 0,23 0,5·T r = 0,35·T 17,9 meritve 0,44 0,09 0,4·T r = 0,37·T 9 literatura[7]

Vrednosti α ob lopatici srednjega (4PBT45) mešala so primerjane z vrednostmi iz literature[7],kjer so vrednosti Frlit = 2,2·Frmer in pretočno število Fllit = 0,39·Flmer. Ustrezno je αtristopenjskega mešala 8,9 % višja od α ob lopatici 6PBT mešala iz literature (preglednica 2).

Slika 4: Primerjava izmerjenih α s podatki iz literature[6]. Zaradi preglednosti imata diagramaosi zamenjani.

V literaturi je najmanjše obravnavano pretočno število enostopenjskega ABT mešala Fl = 0,09(v primeru tristopenjskega mešala: Fl = 0,05) pri Froudovem številu Fr = 0,3 (tristopenjsko: Fr = 0,2). Primerjava je prikazana na sliki 4 (levo). Najvišja pomerjena vrednost α ob lopatici ABT mešala v tristopenjskem mešalu znaša 12 %, pri meritvah iz literature 26 %. Največje obravnavano pretočno število iz literature znaša Fl = 0,24 (v primeru tristopenjskega mešala: Fl = 0,23), vendar so meritve iz literature izvedene pri višjem Froudovem številu Fr = 0,6 (tristopenjsko mešalo: Fr = 0,2), slika 4 (desno). Posledično je najvišji izmerjen lokalni delež plinaste faze ob lopatici enostopenjskega mešala iz literature α = 72,8 % , vrednost ob lopatici ABT mešala v tristopenjskem mešalu znaša 38,9 %.

050

100150200250300350400450500550600650700750800850900950

0 10 20 30

z [m

m]

α [%]

ABT+6PBT+3SHP; Fr =0,2; Fl = 0,05 - mer.ABT; Fr = 0,3; Fl = 0,09 -lit.

050

100150200250300350400450500550600650700750800850900950

0 20 40 60 80

z [m

m]

α [%]

ABT+6PBT+3SHP; Fr =0,2; Fl = 0,23 - mer.ABT; Fr = 0,3; Fl = 0,09- lit.ABT; Fr = 0,6; Fl = 0,24- lit.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 5. Rezidenčni časi plinaste faze v odvisnosti od višine (levo – osi sta zamenjani) in porazdelitev rezidenčnih časov plinskih struktur v treh lokacijah (desno). Mešalo: ABT +

6PBT + 3SHP.

Slika 6: Zaznava izstopajoče frekvence zaznave plinaste faze, ki ustreza frekvenci lopatic ABT mešala pri Fr = 0,2. Prikaz pri merjenih pretočnih številih Fl = 0,05 (levo) ter Fl = 0,23

(desno).

Število zaznanih plinskih struktur v posameznih meritvah variira med ~ 700 (v lokacijah pod spodnjim mešalom) in ~ 12000 (ob lopaticah spodnjega ABT mešala). Povprečni rezidenčni

050

100150200250300350400450500550600650700750800850900950

0 0,005 0,01 0,015

z [m

m]

povprečni rezidenčni čas plinaste faze [s]

Fl = 0,23

Fl = 0,05

Kuhljevi dnevi 2018

- -

časi plinaste faze iz zaznanih struktur so prikazani na sliki 5 (levo). Najdaljši rezidenčni časi so bili izmerjeni ob lopaticah najnižje nameščenega radialnega mešala. Tok iz lopatic srednje in najvišje nameščenega mešala je aksialno/radialni in aksialni. Posledično so rezidenčni časi plinaste faze ob lopaticah obeh mešal krajši od zadrževalnih časov med mešali. Desno na sliki 5 je prikazana porazdelitev rezidenčnih časov zaznanih plinastih struktur v lokacijah ob lopaticah vseh treh mešal (na sredini mešala).

Iz podatkov meritev plinaste faze na razdalji r = 0,35·T (45 mm od roba lopatice v radialni smeri) je bila v primeru obeh pretočnih števil (Fl = 0,05 in Fl = 0,23) zaznana izstopajoča frekvenca zaznave plinaste faze, ki ustreza frekvenci lopatic ABT mešala 17,8 Hz (pri Fr = 0,2oziroma n = 178 vrt/min), slika 6. V lokacijah ob robu lopatic srednjega in zgornjega mešala se na razdalji 45 mm od roba lopatic izstopajoče frekvence zaznave plinaste faze ne pojavijo.

5 ZaključekV mešalni posodi, opremljeni s tristopenjskim mešalom (ABT, 6PBT in 3SHP), so bili pomerjeni lokalni deleži (α) in rezidenčni časi plinaste faze z uporabo uporovne sonde. Sonda je bila montirana na pomični mehanizem. Meritve α so bile opravljene v 50 lokacijah po višini s korakom 10 mm ob robu lopatic mešal in 20 mm med mešali. V radialni smeri je bila sonda fiksna z radijem r = 0,35·T.Vrtilna frekvenca mešala premera 0,5·T je ustrezala Froudovemu številu Fr = 0,2, obravnavani sta bili dve pretočni števili: Fl = 0,05 (q = 6,3 m3/h) in Fl = 0,23 (q = 28 m3/h). Dobljeni rezultati so primerjani s podatki iz literature za dve mešali (ABT in 6PBT) iz tristopenjskega mešala.V lokacijah ob robu lopatic spodnjega (radialnega) mešala so bile zaznane najvišje vrednosti α. Z uporabo hitre Fourierove transformacije je bila v lokacijah 45 mm od roba lopatic (v radialni smeri) spodnjega mešala zaznana frekvenca plinaste faze, ki ustreza frekvenci lopatic mešala pri dani vrtilni frekvenci mešala.

Literatura [1] M. Cotič, U. Kočevar, A. Bombač, Eksperimentalna določitev premerov mehurčkov pri

dispergiranju zraka v posodi s tristopenjskim mešalom, prispevek na konferenci (2016). [2] B. Volfango, Modelling and Experimentation in Two-Phase flow, Part of the International Centre

for Mechanical Sciences book series (CISM, volume 450), Springer-Verlag, Vienna (2004). [3] A. Bombač, I. Zun, Iztok, B. Filipic, M. Žumer, Gas-Filled Cavity Structures and Local Void

Fraction Distribution in Aerated Stirred Vessel. AIChE Journal. 43. 2921 - 2931. 10.1002/aic.690431105 (1997).

[4] https://www.gnu.org/software/octave/[5] A. Bombač, I. Zun, Gas-filled cavity structures and local void fraction distribution in vessel with

dual-impellers. Chemical Engineering Science. 55. 10.1016/S0009-2509(99)00469-8 (2000). [6] L. Janež, Eksperimentalna raziskava učinkovitosti mešala z asimetrično zapognjenimi lopaticami,

diplomska naloga univerzitetnega študija, Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani (oktober 2013).

[7] M. Chen, J. Wang, S. Zhao, C. Xu, and L. Feng, Optimization of Dual-Impeller Configurations in a Gas-Liquid Stirred Tank Based on Computational Fluid Dynamics and MultiobjectiveEvolutionary Algorithm. Industrial & Engineering Chemistry Research 55 (33), 9054-9063 (2016).

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Numericna analiza tokovnih razmer v viali

Ziga Casar1 , Matjaz Hribersek1 in Matej Zadravec1

Numerical analysis of fluid flow in a vial

Povzetek. Izdelki iz farmacevtske industrije so pogosto obcutljivi na visoke temperature, saj lahko

pride do bioloskih in kemicnih sprememb v snovi. Iz tega razloga, se v proizvodnem procesu upora-

bljajo liofilizatorji, za susenje koncnega izdelka. Za optimiziranje proizvodnega procesa je potrebno

poznati tokovne razmere v viali in njeni okolici, ki pa jih je mozno preuciti z uporabo racunalniske

dinamike tekocin (RDT). Zaradi nizkih tlakov in temperatur je potrebno obstojece modele dopolniti

z dodatnimi modeli, ki upostevajo te vplive. V prispevku so predstavljeni rezultati taksne obravnave,

kadar je upostevan zdrsn tekocine na steni, ki je modeliran z uporabo Maxwellovega modela zdrsa

tekocine na steni.

Abstract. Products in the pharmaceutical industry are often sensitive to high temperature, beca-

use of biological and chemical changes in the material. Therefor the pharmaceutical industry uses

lyophilizers in the manufacturing stage, which are responsible for the drying of the product. For the

optimization of the process a detailed view of the fluid flow is needed, and can be achieved with the

use of computational fluid dynamics (CFD). Because of low pressure and temperature, the standard

CFD approach is not accurate enough, therefor additional models need to be considered, like the

Maxwell slip formulation model. In this contribution the results of CFD analyses in a vial, under

consideration of such additional model, are shown.

1 Uvod

Liofilizacija je proces odstranjevanje topila, pri razlicnih termodinamicnih pogojih, ki omogocajo

neposreden prehod iz trdne v plinasto fazo, torej sublimacija topila. Za preprecitev prehoda za-

mrznjenega topila v kapljevinasto stanje, sta potrebna zelo nizek sistemski tlak in temperatura.

Taksne pogoje je potrebno ohraniti v prvi oziroma primarni fazi susenja. Tlacne razmere so

vecinsko odvisne od obremenitve in kapacitete liofilizatorja ter delovnih razmer kondenzatorja.

Na temperaturo snovi v viali neposredno vpliva bilanca toplotnega toka iz okolice ter kolicina

porabljene toplote za sublimacijo na mejni povrsini, med se zamrznjeno snovjo in odmrznjeno

porozno snovjo.

1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojnistvo, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor

Kuhljevi dnevi 2018

V zadnjih letih je modeliranje liofilizacije postalo priznana metoda za izboljsanje ter optimira-

nje proizvodnih procesov v farmacevtski industriji [1], [2], [3]. V tem delu je zajeto modeliranje

prvega dela primarne faze susenja, s ciljem dolocitve vpliva uparjenega topila, od vrha polnila

viale do izhoda viale. Prispevek obravnava hidrodinamske razmere sublimirane vodne pare v

obmocju viale in njeni neposredni okolici. Zaradi nizkih sistemskih tlakov in visjih hitrosti, se

pojavi vprasanje izbire robnega pogoja na steni, kar predstavlja izhodisce problema obravna-

vane raziskave.

2 Numericni model

Za izracun tlacnega padca, ki se pojavi v viali, je bila uporabljena RDT analiza. Idealna izvedba

RDT analize bi bila v primeru direktne povezave izracuna prenosa mase in snovi znotraj viale,

z uporabo namenskega racunalniskega modela ([4], [5]) ter polne 3D RDT analize toka vodne

pare skozi notranjost viale. Taksen pristop bi zahteval razvoj novega racunalniskega programa,

zaradi cesar je v bil tem delu uporabljen poenostavljen pristop, ki temelji na loceni analizi obeh

pojavov. Masni pretok sublimirane pare je bil dolocen na osnovi specificnega masnega pretoka

iz [5] in je bil uporabljen kot robni pogoj na vstopu. Za resevanje enacb ohranitve mase in

gibalne kolicine, se je uporabil programski paket Ansys Fluent:

�∇ ·�u = 0, (1)

(�u ·�∇)�u =−1

ρ�∇p+νΔ�u, (2)

kjer je�u hitrost plina, ν kinematicna viskoznost, ρ gostota plina in p tlak.

Snovske lastnosti plina so se izracunale glede na obratovalne pogoje liofilizatorja. Gostota plina

se je izracunala po teoriji nestisljivega idealnega plina:

ρ =popR

MwT, (3)

kjer so R splosna plinska konstanta, Mw molekulska masa in pop tlak obratovanja.

Viskoznost se je izracunala po kineticni teoriji [6]:

μ = 2.67 ·10−6

√MwT

σ2Ωμ, (4)

kjer so μ v enotah kg/m-s, T v kelvinih, σ v ansgstromih in Ωμ = Ωμ(T �), kjer:

T � =T

ε/kB. (5)

Leonnard-Jones parameter, σ in ε/kB sta konstanti v kineticni teoriji in sta znasala 2,605 ang-

stroma in 572,5 K, kar sta privzeti vrednosti v programskem paketu Fluent.

V klasicnih inzenirskih sistemih temelji obravnava toka na predpostavki zvezne snovi, v kateri

imajo lokalne lastnosti tekocine dovolj casa, da se prilagodijo spremembam v toku tekocine.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Slika 1 : Stena brez zdrsa, a), in stena, na kateri se pojavi zdrs tekocine, b).

Govorimo o lokalnem termodinamicnem ravnotezju, torej pojavi na mikro ravni, trki med mole-

kulami, imajo dovolj casa, da se prilagodijo novim tokovnim razmeram. Kadar postane odzivni

cas sistema zaradi bistveno zmanjsanih dimenzij na mikro ravni ali zaradi bistveno zmanjsanega

stevila molekul zelo kratek, se lahko pojavijo dolocene razlike v obnasanju tekocine v taksnem

sistemu.

Najbolj znacilna sprememba v tokovnem obnasanju tekocine, v opisanih pogojih, je pojav zdrsa

tekocine ob trdi steni (slika 1). Pojavi se v pogojih zelo razredcene tekocine, nizkega sistem-

skega tlaka, ali v primeru toka tekocine ob hidrofobni ali zelo hrapavi povrsini, ki ni popolnoma

omocena s kapljevino. Eden izmed takih modelov, ki opisuje zdrs tekocine ob trdi steni, je

Maxwellov model:

uw −ug =

(2−αv

αv

)Kn

∂u∂n

, (6)

vg = (�v ·�n)g = vw. (7)

Model je v programskem paketu Fluent aproksimiran kot [6]:

uw −ug =

(2−αv

αv

)λδ(ug −uc), (8)

kjer je u hitrostna komponenta vzporedna steni in v normalna na steno. Podpisi g, w in coznacujejo hitrost plina, hitrost na steni in v srediscu elementa. δ je razdalja med srediscem

elementa in steno. αv je koeficient akumulacije gibalne kolicine plina. Srednja prosta pot, λ se

racuna kot:

λ =kBT√2πσ2 p

. (9)

Zgornje enacbe nakazujejo, da med tem, ko je normalna komponenta hitrosti plina enaka nor-

malni komponenti hitrosti stene, pride pri tangencialni hitrosti do zdrsa. Vrednost lezi med

vrednostjo v sredini elementa in na steni. Maxwellov model vkljucuje tudi temperaturni skok,

ki pa tukaj ni obravnavan, saj so bile kvazi izotermne razmere.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Druga dva uporabljena robna pogoja na steni sta bila brez zdrsni pogoj in prost zdrs. Prvi

predpise hitrost na steni, ki je enaka 0, drugi pa predpostavi, da je strizna napetost na steni

enaka 0.

2.1 Geometrija in racunska mreza

Obmocje obravnave zajema vialo postavljeno na polico laboratorijskega liofilizatorja, pri cemer

je bil izhod dovolj oddaljen od vhoda, in se posledicno ni pojavil povratni tok na izhodu. Izbrana

viala je bila standardna viala A20-C8, z notranjim premerom 20 mm, zunanjim 22 mm. Visina

viale brez cepa znasa 40 mm, s cepom 49 mm. Dimenzije celotne racunske domene, z robnimi

pogoji, so prikazane na sliki 2.

Slika 2 : Domena z robnimi pogoji in merami v mm.

Domena je bila zamrezena v programskem paketu Ansys Mesher z uporabo CutCell metode, ki

generira heksaedre po celotni domeni. Skupno so bile narejene 4 racunske mreze, ki so imele

4, 6, 10 in 15 milijonov mreznih elementov. V nadaljevanju se je naredila studija neodvisnosti

racunske mreze, pri cemer je bilo ugotovljeno, da pri konvergencnem kriteriju 10−6, pride do

popolnega ujemanja tlacnega padca med 10 in 15 milijonsko mrezo, mreza s 6 milijoni elemen-

tov je pokazala 3% odstopanje (slika 3). Zaradi zelje po krajsih racunskih casih se je v nadalje-

vanju uporabila mreza s sestimi milijoni elementov (slika 3). V obmocju zgoscene mreze je bila

predpisana lokalna zgostitev mreze, velikostnega razreda 0,1 mm. Globalna najvecja velikost

elementov je bila 6,7 mm, ti elementi so se nahajali ob izhodih. Prav tako je bila izdelana mejna

plast ob vseh stenah.

V nadaljevanju je bila mreza uporabljena za casovno odvisno in neodvisno analizo. Pri casovno

odvisni analizi je prislo do ustaljenih razmer po 100 s, ki so pokazale 97% ujemanja s stacio-

narnim izracunom. Za potrebe dela je bila tako uporabljena casovno neodvisna analiza.

2.2 Robni in zacetni pogoji

Uporabljeni robni pogoji so prikazani v tabeli 1. Za koeficient akumulacije gibalne kolicine, αv,

sta bili izbrani dve razlicni vrednosti, 0,45 in 0,9137. Prva vrednost je tipicna vrednost, ki se

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Slika 3 : Racunska mreza s sest milijoni elementov v X-Y ravnini.

Tabela 1 : Robni pogoji.

Lokacija Pogoj VrednostVhod Masni pretok 7.04 ·10−8kg/sIzhod Staticni tlak 0PaStene Zdrs tekocine Brez zdrsa

Prost zdrs

Maxwell αv = 0.45

Maxwell αv = 0.9137

predpisuje za obravnavanje vial [7], med tem ko je druga vrednost privzeta vrednost v program-

skem paketu Fluent. V analizo je bila druga vrednost vkljucena za prikaz vpliva koeficienta na

tlacni padec in velikost hitrosti na steni.

Kot zacetni pogoj je bilo doloceno, da je celotna racunska domena napolnjena z vodno paro pri

4 Pa in 238 K, torej obratovalnih pogojih liofilizatorja.

3 Rezultati

Na sliki 4 je prikazan tlacni padec po sredini viale. Zaradi pogoja brez zdrsa tekocine imamo za-

stojno plast plina ob steni, kar si lahko predstavljamo kot zozanje preseka in posledicno zvisanja

hitrosti in vecjega tlacnega padca. Pri robnem pogoju prostega zdrsa tekocine, je pricakovano

tlacni padec najmanjsi, saj ima najvecjo hitrost ob steni, iz med vseh robnih pogojev na trdi

steni. V primeru Maxwellovega modela dobimo razmere, ki se nahajajo med prej omenjenima

robnima pogojema, kar pa je v skladu z ugotovitvami iz poglavja 2, torej da pri normalni kom-

ponenti hitrosti plina ne pride do spremembe, med tem ko tangencialna hitrost zdrsne.

V najozjem delu viale se v skladu z zakonom ohranitve mase pojavijo visje hitrosti. Na sliki

5 je prikazan hitrostni profil za vse primere robnega pogoja. Kot ze prej omenjeno, se najvisje

hitrosti pojavijo pri pogoju brez zdrsa tekocine, najnizje pa pri robnem pogoju s prostim zdrsom,

ki pa se bistveno ne spreminjajo po prerezu. Natancna vrednost hitrosti na steni v zozitvi je

- -

Kuhljevi dnevi 2018

prikazana na sliki 6.

Slika 4 : Tlacni padci po visini viale, prikazani na liniji L1.

Slika 5 : Hitrostni profili v zozitvi, prikazani na liniji L2.

Ob izhodu iz viale se nahaja cep, ki ima dve odprtini. Pricakovano se najvisje hitrosti pojavijo

v obmocju odprtin, saj sta odprtini veliko manjsi od dimenzij viale, slika 7 in 8. Izven obmocja

viale hitrosti dosezejo enake vrednosti, saj vec ni vpliva stene.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Slika 6 : Vrednost hitrosti ob steni v zozitvi.

Slika 7 : Hitrostni profil v cepu, prikazan na liniji L3.

Slika 8 : Hitrosti na X-Y ravnini.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

4 Zakljucek

V prispevku smo pokazali, da v pogojih, ki ne dovoljujejo obravnave tokovnih razmer s pred-

postavko zvezne snovi, robni pogoj na trdi steni mocno vpliva na rezultat analize. Rezultati so

pokazali pricakovane razlike med posameznimi robnimi pogoji, torej, najvecji tlacni padec in

hitrosti pri robnem pogoju brez zdrsa tekocine na stenah, ter najmanjsi tlacni padec in hitrosti

pri robnem pogoju z razlicnim zdrsom tekocine na stenah. Na podlagi rezultatov Maxwellovega

modela zdrsa hitrosti na steni je razvidno, da pri pogojih nizkega obratovalnega tlaka, je nujno

potrebno dopolniti obstojece modele RDT, saj nastala napaka zaradi predpostavke zveznega

telesa ni zanemarljiva.

Literatura

[1] M. Brulls & A. Rasmuson, Heat transfer in vial lyophilization, International Journal of

Pharmaceutics, Vol. 246, pp.1-16, 2002.

[2] K. H. Gan, R. Bruttini, O.K. Crosser & A. I. Liapis, Heating policies during the primaryand secondary drying stages of the lyophilization process in vials: Effects of the arrange-ment of vials in clusters of square and hexagon arrays on trays, Drying Technology, 22,

pp.1539-1575, 2004.

[3] N. Daraoui, O. Dufour, H. Hammouri & A. Hottot, Model predictive control during the pri-mary drying stage of lyophilisation, Control Engineering Practice, 18, pp.483-494, 2010.

[4] J. Ravnik, I. Golobic, A. Sitar, M. Avanzo, S. Irman, K. Kocevar, M. Cegnar, M. Zadravec,

M. Ramsak & M. Hribersek, Lyophilization model of mannitol water solution in a labo-ratory scale lyophilizer, Journal of Drug Delivery Science and Technology, 45, pp.28-38,

2018.

[5] M. Ramsak, J. Ravnik, M. Zadravec, M. Hribersek & J. Iljaz, Freeze-drying modeling ofvial using BEM, Engineering Analysis with Boundary Elements, 77, pp.125-156, 2017.

[6] Ansys Inc. ANSYS Fluent Theory Guide, 2018.

[7] B. Scutella, S. Passot, E. Bourles, F. Fonseca & I. C. Trelea, How Vial Geometry Variabi-lity Influences Heat Transfer and Product Temperature During Freeze-Drying, Journal of

Pharmaceutical Sciences, 106, pp.770-778, 2017.

- -

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Analiza deformacij ravninskih elastičnih struktur po metodi elastičnih multipolov

M. Čebron1, S. Sarkar2, A. Košmrlj3, M. Brojan1

Analyzing deformations of 2D elastic structures using elastic multipole method

Povzetek. Nenavadne mehanske lastnosti metamaterialov so običajno posledica geometrije njihovih izrazito deformabilnih, navadno ravninskih struktur. Razumevanje nastanka deformacijskih vzorcev, ki se oblikujejo v obremenjenih strukturah, je ključnega pomena pri snovanju metamaterialov z inovativnimi karakteristikami. V nadaljevanju je predstavljena nova metoda za analizo deformacij elastičnih ravninskih struktur z luknjami v linearnem področju, v kateri so uporabljene nekatere podobnosti med mehaniko deformabilnih teles in problemi v elektrostatiki.

Abstract. The geometry of highly deformable planar structures is responsible for many unusual mechanical properties of mechanical metamaterials. Understanding how deformation patterns in such structures form in response to an applied external load is crucial for designing metamaterials with novel mechanical characteristics. Here we present a method for predicting deformations of 2D solid structures with holes in the linear response regime by employing analogies with electrostatics.

1 Uvod

V zadnjih nekaj letih je bilo predstavljenih več metod za napoved deformacijskih vzorcev ravninskih, elastičnih struktur z luknjami, v katerih so geometrijske nepravilnosti (disklinacije, dislokacije ...) obravnavane kot izvor induciranih napetosti [1, 2]. Do sedaj predstavljene metode omogočajo le kvalitativno napoved oblike deformacijskih vzorcev (npr. relativne orientacije lukenj v deformiranem stanju), saj z njihovo uporabo ne moremo izračunati velikosti t. i. elastičnih nabojev in s tem dejanskih vrednosti napetosti in deformacij v materialu. Predstavljena nova metoda elastičnih multipolov (MEM) omogoča izračun velikosti elastičnih nabojev iz zahteve po izpolnjevanju robnih pogojev na konturah lukenj v materialu.

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za nelinearno mehaniko 2 Princeton University, Department of Electrical Engineering 3 Princeton University, Department of Mechanical and Aerospace Engineering

Kuhljevi dnevi 2018

- -

2 Metoda elastičnih multipolov

V metodi elastičnih multipolov za reševanje mehanskih problemov uporabimo podobnosti med mehaniko deformabilnih teles in elektrostatiko. Številne probleme v elektrostatiki lahko prevedemo na iskanje skalarnega polja, tako imenovanega električnega potenciala U , iz gradienta katerega lahko izračunamo električno polje: UE . Na soroden način lahko vmehaniki deformabilnih teles v dvorazsežnem prostoru definiramo skalarno Airy-jevo napetostno funkcijo tako, da iz njenih odvodov izračunamo normalne in strižne napetosti v elastičnem materialu:

,2

2

yxx ,2

2

xyy .2

yxyxxy (1)

Takšna definicija napetostne funkcije nam omogoča, da iz mehanskega ravnovesja in kompatibilnosti deformacij tvorimo relativno enostavno vodilno diferencialno enačbo:

.E (2)

V zgornjem izrazu E označuje modul elastičnosti (Young-ov modul) v 2D, pa predstavlja gostoto elastičnega naboja, pomen katere je obrazložen v nadaljevanju. Izraz (2) je podoben Gauss-ovemu zakonu v elektrostatiki ( eeU / , e - gostota električnega naboja, e - dielektričnost snovi). Podobno kot v elektrostatiki, lahko tudi v mehaniki deformabilnih teles definiramo točkovne elastične naboje / monopole, dipole, kvadrupole itd.

Slika 1: (a) pozitiven in (b) negativen električni monopol, (c) električni dipol.

Točkovni naboj ali monopol je v elektrostatiki definiran kot Dirac-ovi funkciji proporcionalna porazdelitev naboja (slika 1 (a) in (b)), od koder dobimo:

.0

0

0

xxqU e

e

e (3)

V zgornji enačbi 0 označuje influenčno / dielektrično konstanto, pa relativno dielektričnost snovi. Vektor 0x podaja položaj točkovnega naboja in konstanta q njegovo velikost. Rešitev zgornje diferencialne enačbe je:

.4 00 xx

qqUU m (4)

Kuhljevi dnevi 2018

- 3 -

Na podoben način, kot smo definirali elektrostatični točkovni naboj, lahko definiramo tudi t. i. elastični točkovni naboj. Vodilna diferencialna enačba napetostne funkcije je v tem primeru (iz enačbe (2)):

. 0xxEsE (5)

Pomen točkovnega elastičnega naboja velikosti s si oglejmo na primeru trikotne / heksagonalne ravninske kristalne mreže (slika 2). Če iz idealnega ravninskega kristala izrežemo klin s kotom s in novonastala prosta roba »zlepimo« skupaj, v kristalno strukturo vnesemo napako imenovano disklinacija. Pri izrezanem kotu 3/s dobimo pet-števno disklinacijo (slika 2 (b)).

Kot s predstavlja naboj elastičnega monopola. Naboj je pozitiven, če klin odstranimo iz materiala in negativen, če klin vrinemo v kristalno strukturo (slika 3 (a)).

Disklinacija povzroči nastanek napetosti v materialu, pri čemer mora napetostna funkcija izpolnjevati enačbo (5). Vektor 0x pri tem podaja položaj središča disklinacije.

Slika 2: (a) nastanek disklinacije in (b) pozitivna disklinacija / točkovni elastični naboj.

Napetostna funkcija elastičnega monopola z elastičnim nabojem s (tj. rešitev diferencialne enačbe (5)) je:

. 2/1ln8 0

20 xxxxEss m (6)

Elektrostatični dipol sestavljata dva bližnja (glede na položaj v katerem nas zanima električni potencial) monopola z nabojem iste velikosti, a različnega predznaka (slika 1 (c)). Električni potencial dipola lahko izračunamo neposredno iz potenciala enotskega monopola (

mU v enačbi (4)):

.4 3

00

0

xxxxpp md UU (7)

Vektor p imenujemo električni dipolni moment. Ta kaže v smeri od negativnega do pozitivnega električnega naboja, njegova velikost pa je enaka produktu razdalje med monopoloma in (absolutne) velikosti posameznega električnega naboja.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Isti postopek ponovimo še z elastičnimi monopoli. Ko v bližino postavimo elastična monopola iste velikosti in različnega predznaka (slika 3 (b)), v kristal vnesemo t. i. dislokacijo. Rdeči črti na sliki ponazarjata, da lahko dislokacijo razumemo tudi kot vrinjeno vrsto »atomov« v sicer idealno kristalno strukturo (v primeru na sliki 3 (b) v spodnjo polovico kristala - takšno razlago dislokacijskih napak pogosto srečamo v kristalografiji). Dislokacija tako dejansko predstavlja elastični dipol. Airy-jevo napetostno funkcijo elastičnega dipola lahko, podobno kot v elektrostatiki, izračunamo neposredno iz napetostne funkcije enotskega elastičnega monopola ( m v enačbi (6)):

.ln4 00 xxxxdd E

md (8)

Vektor d pri tem predstavlja elastični dipolni moment, ki podobno kot elektrostatični, kaže v smeri od negativnega proti pozitivnemu monopolu, njegova velikost pa je enaka produktu razdalje med monopoloma in velikosti posameznega elast. naboja (slika 3 (b)).

Slika 3: (a) negativna disklinacija / elastični naboj in (b) elastični dipol / dislokacija.

Na podoben način, kot smo izračunali napetostno funkcijo elastičnega dipola iz napetostne funkcije monopola, lahko določimo tudi napetostne funkcije elastičnih multipolov višjih redov. Za elastični kvadrupol tako lahko zapišemo:

.2

, ji

m

jiijm

Τk xx

QQ (9)

V nasprotju z elektrostatiko, kjer nastopa samo ena oblika kvadrupola, poznamo dve vrsti elastičnih kvadrupolov. Elastični kvadrupol, ki je analogen elektrostatičnemu, imenujemo kvadrupol vrste Q. Matrika Q je v tem primeru simetrična, njena sled pa je enaka 0:

.2cos2sin

2sin2cosQQij (10)

Kvadrupol Q povzroči lokalni razteg strukture v smeri, podani s kotom , in skrček vortogonalni smeri (slika 4 (a)). Napetostna funkcija kvadrupola vrste Q je:

. 4 ,

0020

,ji

jjijiiQk xxQxxExx

(11)

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Kvadrupol, pri katerem je matrika Q enaka s konstanto pomnoženi identični matriki, imenujemo kvadrupol vrste P. Slednji povzroča izotropen lokalen skrček / razteg strukture (slika 4 (b)). Napetostna funkcija kvadrupola P je:

1111

PQij .ln2 0, xxEP

Pk (12)

Slika 4: (a) lokalna deformacija (kroga) zaradi kvadrupola Q in (b) zaradi kvadrupola P.

Splošna rešitev diferencialne enačbe 0 v polarnih koordinatah ( r , ) je, z izjemo točke v koordinatnem izhodišču, podana z neskončno vrsto, poznano kot Michell-ova rešitev (prvič predstavljena v [3]):

2

22

2

22

13

111

1113

111

11

322

12

002

02

0

.sincos

sinlncosln

lnlnlnln

n

nn

nn

nn

nn

n

nn

nn

nn

nn nrHrGrFrEnrDrCrBrA

rrHrGrFrFrErrDrCrBrBrAIrIrrIrIrCrrBrA

(13)

Vsi zgoraj predstavljeni elastični multipoli so zajeti v tej rešitvi, ki poleg tega vključuje tudi napetostne funkcije vseh multipolov višjih redov. Podrobna izpeljava napetostnih funkcij za multipole višjih redov in popoln opis metode reševanja, ki je na kratko povzeta v nadaljevanju, so podani v [4].

Za neskončne strukture (oziroma strukture, ki jih lahko obravnavamo kot neskončne glede na dimenzije lukenj) intuitivno vemo, da morajo napetosti zaradi prisotnosti lukenj končnih velikosti v elastičnem materialu padati proti nič z naraščanjem razdalje od njihovega položaja. Poleg tega elastična energija zaradi posamezne luknje ne sme divergirati z velikostjo strukture. Amplitude multipolov v rešitvi (13), ki ne izpolnjujejo teh dveh pogojev, morajo biti tako enake nič. Preostali členi Michell-ove rešitve, ki jih moramo upoštevati, so tako:

2

2

2

2

11

110

.sincos

sincosln

n

nn

nn

n

nn

nn nrDrCnrBrA

rCrArA

(14)

Podobno, kot zunanje električno polje v prevodnih materialih povzroči polarizacijo (nastanek električnih dipolov in kvadrupolov), napetostno »polje« inducira elastične multipole v središčih lukenj.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 5: enoosno obremenjena stena s krožno luknjo.

Na sliki 5 je prikazan primer »neskončne« ravninske stene s krožno luknjo radija R , katere središče je postavljeno v koordinatno izhodišče. Stena je neskončno stran od luknje obremenjena z enoosno (v tem primeru tlačno) napetostjo velikosti 0 . Airy-jevo napetostno funkcijo za ta primer lahko izračunamo analitično [5]:

.2cos4

2cos2

ln2

2cos14 2

40

20

20

20

rRR

rRr

(15)

Iz zgornjega izraza, podanega v polarnih koordinatah, lahko ugotovimo, da »zunanja« obremenitev (napetost 0 ) v središču luknje inducira dve vrsti kvadrupola in multipol višjega reda. V strukturah, v katerih je prisotnih več lukenj, zunanja napetost inducira različne elastične multipole v vsaki izmed njih, poleg tega pa prihaja tudi do interakcije med inducirani multipoli v posameznih luknjah, kar privede do nastanka zapletenih deformacijskih vzorcev [4].

Oglejmo si primer strukture z več luknjami na sliki 6 (število lukenj naj bo N ). Zunanja obremenitev inducira elastične multipole v središčih posameznih lukenj, ki zatem sovplivajo med seboj. Inducirana napetostna funkcija i -te luknje naj bo ),,( , piiii Arf , pri čemer smo z f označili Michell-ovo rešitev (14), ( ir , i ) so polarne koordinate, katerih izhodiščese nahaja v središču i -te luknje, piA , pa predstavlja velikost / amplitudo p -tegainduciranega multipola v i -ti luknji. Celotna napetostna funkcija je:

.j

jzuncel (16)

Slika 6: enoosno obremenjena stena z več različno velikimi krožnimi luknjami.

Obremenitev Multipol višjega reda Kvadrupol Q Kvadrupol P

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Z zun smo označili napetostno funkcijo zunanje obremenitve. Za zapis robnih pogojev 0rrr na meji / konturi i -te luknje, moramo v enačbi (16) nadomestiti

spremenljivke ( jjr , ) z ( iir , ) za vse vrednosti ij , oziroma nadomestiti napetostne funkcije j s funkcijami oblike )),,,,(),,,,(( , pjijijiijijijiijj Aararrf (glej sliko 6 za pomen ija in ij ). Celotno napetostno funkcijo (16) lahko sedaj zapišemo kot:

.ij

jizuncel (17)

Iz zgornje zveze lahko s pomočjo enačb (1) izpeljemo izraze za izračun napetosti in zapišemo robne pogoje za vsako izmed lukenj (za i -to luknjo 0rrr pri ii Rr ). Na ta način tvorimo sistem linearnih enačb oblike ijij BA , z rešitvijo katerega določimo vrednosti jA , tj. velikost induciranih multipolov oziroma velikost elastičnih nabojev.

3 Računski primer

Rezultate, izračunane po metodi elastičnih multipolov za primer, prikazan na sliki 7, smo primerjali z rezultati, izračunanimi po metodi končnih elementov (MKE) s komercialnim programom Ansys. Uporabljeni so kvadratični ravninski končni elementi, narejena je bila tudi konvergenčna analiza vpliva velikosti elementov.

Materialni parametri, dimenzije in obremenitve:

E = 200000 MPa, = 0,3 L = 600 mm (MKE), p = 0 = 50000 MPa

Tabela 1: premeri in položaji središč lukenj.

Slika 7: računski primer.

Slika 8: (a) izračunani rezultati za premik točke P1 in (b) za premik točke P2.

i Di (mm) xi (mm) yi (mm) 1 10 32 13 2 10 20 23 3 10 -19 13 4 10 -14 -15 5 10 14 -6

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 9: (a) izračunani rezultati za premik točke P3 in (b) konture v deformiranem stanju.

4 Zaključek

Na slikah 8 in 9 so prikazani rezultati za premike točk P1, P2 in P3 v odvisnosti od števila členov n v neskončni vrsti (enačba (14)), ki jih upoštevamo pri preračunu. Vidimo lahko, da dobimo že pri majhnem številu členov ( 3n ) dobro ujemanje med rezultati analize po metodi končnih elementov in rezultati, izračunanimi po metodi elastičnih multipolov.

MKE predstavlja enega enostavnejših in najverjetneje najbolj razširjeni pristop, po katerem lahko izračunamo deformacije ploskovnih elementov z različnimi nehomogenostmi (npr. luknjami). Pomanjkljivost MKE z ozirom na metodo elastičnih multipolov je v tem, da ne nudi vpogleda v fizikalne razloge nastanka deformacij in deformacijskih vzorcev. Poleg tega je metoda elastičnih multipolov računsko precej manj zahtevna, saj kot edine neznanke v tvorjenem sistemu linearnih enačb nastopajo velikosti induciranih elastičnih nabojev multipolov v posameznih luknjah. Število neznank je tako več redov velikosti nižje kot število neznank v vozliščih končnih elementov, ki so potrebni za dovolj kvalitetno diskretizacijo geometrije takšnih struktur.

Literatura

[1] G. Librandi, M. Moshe, Y. Lahini, K. Bertoldi, Porous mechanical metamaterials as interacting elastic charges, ArXiv: 1709.00328, 2017.

[2] M. Moshe, E. Sharon, R. Kupferman, Elastic interactions between two-dimensional geometric defects, Physical Review E 92, 6, 062403, 2015.

[3] J.H. Michell, On the direct determination of stress in an elastic solid, with application to the theory of plates, Proceedings of the London Mathematical Society, 100-124, 1899.

[4] S. Sarkar, M. Čebron, M. Brojan, A. Košmrlj, Elastic multipole method for describing deformation of 2D solid structures – Part I, članek oddan v pregled za objavo.

[5] J.R. Barber, Elasticity, Solid Mechanics and Its Applications, Springer, 2010.

Vpliv vključkov vodika in dušika v matrici na toplotno prevodnost amorfnega nanoporoznega ogljika

Matevž Frajnkovič1, Aisha Kermiche1, Žiga Časar2, Amanda Fujii1, Ivan Catton1,Laurent Pilon1,*

Influence of Hydrogenation and Nitrogenation on Thermal Conductivity of Amorphous Nanoporous Carbon

Povzetek. Predstavljena študija preiskuje vpliv poroznosti, vključkov vodika, in vključkov dušika na toplotno prevodnost nanoporoznega amorfnega ogljika. Toplotna prevodnost čiste nanoporozne amorfne ogljikove matrice, kot tudi matrice z vključki vodika, in vključki dušika je bila uspešno napovedana s pomočjo ravnovesnih simulacij molekularne dinamike in Green-Kubo metode. Nanoporoznost v amorfni strukturi je bila modelirana tako, da se je bila iz sredine strukture odstranjena sferična regija. Premer pore je variiral med 9.76 in 26.0 Å, kar sovpada z variiranjem poroznosti med 5 in 40 %. Adaptive intermolecular reactive empirical bond order (AIREBO) funkcija potenciala je bila uporabljena pri modeliranju ogljik-ogljik in ogljik-vodik atomarnih interakcij v strukturi z vključki vodika. Za modeliranje ogljik-ogljik in ogljik-dušik atomarnih interakcij v strukturi z vključki dušika, je bila uporabljena Tersoffova funkcija potenciala.Vsebnost vodika in dušika v matrici z vključki je bila 20 at. %. Kot je bilo pričakovano, se je efektivna toplotna prevodnost zmanjšala, ko se je poroznost povečevala. Pri vseh obravnavanih poroznostih so vključki vodika povečali efektivno toplotno prevodnost, vključki dušika pa so jo zmanjšali.

Abstract. This study aims to investigate the effect of porosity, hydrogenation, and nitrogenation on the thermal conductivity of nanoporous amorphous carbon. The thermal conductivity of pure, hydrogenated, and nitrogenated nanoporous amorphous carbon was predicted using equilibrium molecular dynamics simulations and the Green-Kubo method. Nanoporous amorphous carbon was simulated by removing a spherical region of atoms from an amorphous carbon matrix. Pore diameter varied between 9.76 and 26.0 Å, and porosity ranged from 5 to 40 %. The adaptive intermolecular reactive empirical bond order (AIREBO) potential was used to model carbon-carbon and carbon-hydrogen atomic interaction in hydrogenated structure. The Tersoff potential was used to model carbon-carbon and carbon-nitrogen interactions in nitrogenated structure. Nitrogen and hydrogen

1 University of California, Los Angeles, Henry Samueli School of Engineering and Applied Science, Department of Mechanical and Aerospace Engineering, 420 Westwood Plaza, Los Angeles, CA 900952 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor* Corresponding author. Phone: +1 (310)206-5598, Fax: +1 (310)206-2302, Email: pilon@seas.ucla.edu

Kuhljevi dnevi 2018

- -

content of doped structures was 20 at. %. As expected the effective thermal conductivity decreased with increasing porosity. Hydrogenation was found to increase thermal conductivity of nanoporous amorphous carbon, while nitrogenation decreased it, for any given porosity.

1 MotivacijaOgljikove spojine so ključni materiali v sodobni inženirski praksi. Uporabljajo se v elektrotehničnih aplikacijah, kot na primer v super kondenzatorjih [1-3] pa vse do trdih prevlek za orodja in strojne elemente [4]. Nanoporozni amorfni ogljik je, zahvaljujoč njegovi visoki električni prevodnosti, veliki notranji površini, in relativno nizki ceni, eden izmed najbolj uporabljanih materialov za izdelavo elektrod v super kondenzatorjih [5-7]. Posledica procesa izdelave takšnih elektrod, so vključki vodika v ogljikovi matrici [8]. Po drugi strani, pa se ogljikova matrica včasih dopira z različnimi elementi z namenom izboljšave mehanskih in termičnih lastnosti. Eden izmed takšnih elementov je dušik, ki ogljikovi matrici znatno poveča trdoto in jo naredi bolj odporno na praske [9]. Odvisno od velikosti dopirnih elementov, se spreminja tudi toplotna prevodnost materiala [10]. Že znano je, da imajo bolj porozni materiali manjšo toplotno prevodnost [11, 12]. Predstavljena študija numerično analizira trende spreminjanja toplotne prevodnosti nanoporoznega amorfnega ogljika, z vključki vodika, ter z vključki dušika za različno vrednost poroznosti matrice.

2 Numerični modelSpreminjanje toplotne prevodnosti je simulirano z ravnovesnimi simulacijami molekularne dinamike. V simulacijah tega tipa se rešujejo Newtonove enačbe gibanja za vsak individualen atom v strukturi [13]. Najprej je definirana kristalna atomska struktura. Struktura je nato segreta na visoko temperaturo, in izredno hitro ohlajena. Rezultat tega procesa je metastabilna amorfna struktura. Potem je iz sredine strukture odstranjena pora želenega premera, kar rezultira v želeni poroznosti strukture. Posledica tega je manjše število atomov v sistemih z večjo poroznostjo. Volumen je v vseh simulacijah enak. Vsakemu individualnemu delcu je predpisan tip oz. vrsta atoma. Interakcije med atomi so modelirane z empiričnimi funkcijami potencialov, ki se lahko uporabljajo za določanje toplotne prevodnosti materialov. Pomembno je izpostaviti, da vse funkcije potencialov niso primerne za modeliranje interakcij med atomi vseh elementov. Različne funkcije potencialov so bile razvite za specifične elemente in kombinacije elementov. Slika 1 prikazuje posamezne pod-korake grajenja amorfne nanoporozne strukture. Skrajno leva slika prikazuje kristalno strukturo, na skrajno desni strani pa je prikazana amorfna porozna struktura. Vsak primer je bil simuliran 7 krat z enakimi vhodnimi parametri. Sam proces segrevanja in izredno hitrega hlajenja tako rezultira v različni razporeditvi atomov v vsaki simulaciji. Na tak način je zagotovljena statistična reprezentativnost raziskave.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 1: Posamezni pod-koraki grajenja amorfne nanoporozne strukture

V tej numerični študiji sta uporabljeni dve različni funkciji potenciala. AIREBO (Adaptive Intermolecular Reactive Empirical Bond Order) funkcija potenciala je uporabljena za modeliranje vodik-ogljik in ogljik-ogljik vezi v strukturah z vključki vodika [14]. AIREBO funkcija potenciala je definirana kot [14]

(1)

kjer je REBO (Reactive Empirical Bond Order) potencial, predstavlja Lennard-Jonesove medatomske interakcije, in upošteva torzijske interakcije.

Za modeliranje dušik-ogljik in ogljik-ogljik vezi v strukturah z vključki dušika je uporabljena Tersoffova funkcija potenciala, ki je definirana kot [15,16]

(2)

kjer je gladilna funkcija, je odbojni potencial, je privlačni potencial,omejuje interakcije s prvim sosedom, je merilo urejenosti vezi, in je razdalja med

i-tim in j-tim atomom..

V ravnotežnih simulacijah molekularne dinamike je toplotna prevodnost sistema povezana z avtokorelacijsko funkcijo toplotnega toka (Heat Current Autocorrelation Function - HCACF) preko Green- Kubo metode [17]

(3)

kjer je volumen sistema, je boltzmannova konstanta, je temperatura sistema, inje maksimalen potreben korelacijski čas, da vrednost HCACF postane nična.predstavlja avtokorelacijsko funkcijo toplotnega toka, HCACF. V izrazu za HCACF predstavlja toplotni tok, ki je definiran kot [18]

(4)

kjer predstavlja čas, predstavlja pozicijo i-tega atoma, in predstavlja energijo atoma. Vliteraturi predlagan maksimalni korelacijski čas za tovrstne simulacije je [13]. Predlagan čas je dovolj dolg, da HCACF zavzame nično vrednost.

Kuhljevi dnevi 2018

- 4 -

3 Rezultati in diskusijaAmorfna nanoporozna ogljikova struktura brez vključkov vodika ali ogljika je bila simulirana z uporabo AIREBO kot tudi Tersoffove funkcije potenciala, z namenom primerjave med potencialoma. Slika 2 prikazuje razmerje med efektivno toplotno prevodnostjo in toplotno prevodnostjo neporozne matrice za obe različni funkciji potenciala, v odvisnosti od poroznosti. Gostota neporozne amorfne ogljikove matrice , je g/cm3 [13]. Gostota je odvisna odštevila atomov v neporoznem sistemu in velikosti sistema.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

c = 2.05 g/cm3, AIREBO

c = 2.05 g/cm3, Tersoff

Nor

mal

ized

ther

mal

con

duct

ivity

, kef

f/kef

f,0(-

)

Porosity, fv (%)

Slika 2: Razmerje efektivne toplotne prevodnosti in toplotne prevodnosti matrice, kot funkcija poroznosti za AIREBO in Tersoffovo funkciji potenciala

Iz slike 2 je razvidno, da tako AIREBO, kot tudi Tersoffova funkciji potenciala predvidita podobno zmanjšanje toplotne prevodnosti z večanjem poroznosti.

Slika 3 prikazuje efektivno toplotno prevodnost čistega in dopiranega nanoporoznega amorfnega ogljika, kot funkcija poroznosti za 20 at. % vodika in dušika, in gostoto ogljikove matrice g/cm3 [13].

Kuhljevi dnevi 2018

- -

0 10 20 30 400

1

2

3

4c=2.05 g/cm3, 0 at. % H, AIREBO

c=2.05 g/cm3, 20 at. % H, AIREBO

The

rmal

con

duct

ivity

, kef

f (W/m

K)

Porosity, fv (%)0 5 10 15 20 25 30

0

1

2

3

4

c = 2.05 g/cm3, Tersoff

c = 2.05 g/cm3, 20 at.% N, Tersoff

The

rmal

con

duct

ivity

, kef

f (W/m

K)

Porosity, fv (%)

Slika 3: Efektivna toplotna prevodnosti čistega in dopiranega nanoporoznega amorfnega ogljika, kot funkcija poroznosti za 20 at. % vodika in dušika, in gostoto ogljikove matrice

g/cm3 [13].

Iz slike 3 a) je razvidno, da se je v primerjavi z matrico brez vključkov, efektivna toplotna prevodnost matrice z vključki vodika znatno povečala. Iz slike 3 b) pa je razvidno, da se je v primerjavi z matrico brez vključkov, efektivna toplotna prevodnost matrice z vključki dušika zmanjšala. Obe trditvi držita za vse simulirane poroznosti.

Slika 4 prikazuje razmerje efektivnih toplotnih prevodnosti nanoporoznega amorfnega ogljika, ki vsebuje 20 at. % dopirnega elementa, in čistega nanoporoznega amorfnega ogljika, v odvisnosti od poroznosti.

0 5 10 15 20 25 30 35 400.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

keff (20% H)/keff (0% H)

k eff(2

0 at

. % H

)/kef

f(0 a

t. %

H)

Porosity, fv (%)0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

keff (10% N)/keff (0% N)

keff (20% N)/keff (0% N)

k eff(2

0 at

. % N

)/kef

f(0 a

t. %

N)

Porosity, fv (%)

Slika 4: Razmerje efektivnih toplotnih prevodnosti nanoporoznega amorfnega ogljika, ki vsebuje 20 at. % dopirnega elementa, in čistega nanoporoznega amorfnega ogljika, v

odvisnosti od poroznosti.

a) b)

a) b)

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Iz slike 4 je razvidno da efektivna toplotna prevodnost nanoporoznega amorfnega ogljika z vključki vodika v povprečju poveča za 40 %. Efektivna toplotna prevodnost nanoporoznega amorfnega ogljika pa se v povprečju zmanjša za okrog 15 %.

Iz nadaljnje analize rezultatov se lahko sklepa, da je sprememba toplotne prevodnosti zaradivključkov vodika in dušika neodvisna od spremembe toplotne prevodnosti zaradi večanja poroznosti. Efektivna toplotna prevodnost se lahko torej izrazi kot produkt dveh neodvisnih funkcij ene spremenljvke.

(5)

kjer je toplotna prevodnost neporozne amorfne ogljikove matrice, kot funkcijavsebnosti dopirnega elementa, pa je funkcija poroznosti.

4 ZaključekIzvedena je bila analiza vpliva različnih funkcij potencialov, ki je potrdila, da je Tersoffovafunkcija potenciala primerna za uporabo pri napovedovanju trendov vpliva poroznosti na efektivno toplotno prevodnost. Strukture z vključki vodika so bile simulirane z uporabo AIREBO funkcije potenciala. V omenjenih strukturah je bilo opaženo znatno povečanje efektivne toplotne prevodnosti za vse simulirane poroznosti. Strukture z vključki dušika so bile simulirane z uporabo Tersoffove funkcije potenciala. Pri slednjih je bilo opaženo zmanjšanje efektivne toplotne prevodnosti. Rezultati kažejo, da je efektivno toplotno prevodnost analiziranih struktur mogoče izraziti kot produkt dveh neodvisnih funkcij poroznosti in koncentracije dopirnega elementa.

5 Literatura[1] A. Jänes, H. Kurig, and E. Lust, "Characterisation of activated nanoporous carbon for supercapacitor electrode materials", Carbon, vol. 45, no. 6, pp. 1226-1233, 2007.

[2] S. R. S. Prabaharan, R. Vimala, and Z. Zainal, "Nanostructured mesoporous carbon as electrodes for supercapacitors", Journal of Power Sources, vol. 161, no. 1, pp. 730-736, 2006.

[3] R. K. Dash, G. Yushin, and Y. Gogotsi, "Synthesis, structure and porosity analysis of microporous and mesoporous carbon derived from zirconium carbide", Microporous and Mesoporous Materials, vol. 86, no. 13, pp. 50-57, 2005.

[4] A. Wienss, M. Neuhäuser, H. H. Schneider, G. Persch-Schuy, J. Windeln, T. Witke, U. Hartmann, "Mechanical properties of d.c. magnetron-sputtered and pulsed vacuum arc deposited ultra-thin nitrogenated carbon coatings", Diamond and Related Materials, Vol. 10, no. 3-7, pp. 1024-1029, 2001.

[5] A. G. Pandolfo and A. F. Hollenkamp, "Carbon properties and their role in supercapacitors", Journal of Power Sources, vol. 157, no. 1, pp. 11-27, 2006.

[6] R. Kötz and M. Carlen, "Principles and applications of electrochemical capacitors", Electrochimica Acta, vol. 45, no. 15-16, pp. 2483-2498, 2000.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

[7] S. R. S. Prabaharan, R. Vimala, and Z. Zainal, "Nanostructured mesoporous carbon as electrodes for supercapacitors", Journal of Power Sources, vol. 161, no. 1, pp. 730-736, 2006.

[8] D. Ba, Z. Lin, "Amorphous Hydrogenated Carbon Nanofilm", Handbook of Performability Engineering, Springer, London, 2008.

[9] W-C. Chan, B. Zhou, Y-W Chung, "Synthesis, composition, surface roughness and mechanical properties of thin nitrogenated carbon films", Journal of Vacuum Science & Technology, A 16, pp. 1907-1911, 1998.

[10] D. W. Callister, D. G. Rethwisch, Materials Science and engineering: An Introduction, Wiley, 2014.

[11] X. Lu, O. Nilsson, J. Fricke, and R. W. Pekala, "Thermal and electrical conductivity of monolithic carbon aerogels", Journal of Applied Physics, vol. 73, no. 2, pp. 581-584, 1993.

[12] V. Bock, O. Nilsson, J. Blumm, and J. Fricke, "Thermal properties of carbon aerogels", Journal of Non-Crystalline Solids, vol. 185, no. 3, pp. 233-239, 1995.

[13] A. M. K. Fujii, "Effect of Nanoporosity on the Thermal Conductivity of Amorphous Carbon", Master’s thesis, UCLA, 2014.

[14] S. J. Stuart, A. B. Tutein, and J. A. Harrison, "A reactive potential for hydrocarbons with intermolecular interactions", The Journal of Chemical Physics, vol. 112, no. 14, pp. 6472-6486, 2000.

[15] J. Tersoff, “New empirical approach for the structure and energy of covalent systems”, Physical Review B, vol. 37, 6991–7000, 1988.

[16] J. Tersoff, “Empirical interatomic potential for carbon, with applications to amorphous carbon”, Physical Review Letters, vol. 61, no. 25, pp. 2879, 1988.

[17] D. Frenkel and B. Smit, Understanding Molecular Simulation From Algorithms to Applications, Academic Press, San Diego, CA, 2nd edition, 2002.

[18] D. A. McQuarrie, Statistical mechanics, University Science Books, Sausilito, 2000.

Kuhljevi dnevi 201

- -

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Modeliranje susenja sfericnih delcev z metodo robnihelementov

Timi Gomboc1, Matjaz Hribersek1, Matej Zadravec1, Jure Ravnik1, Jurij Iljaz1

Modeling of spherical particle drying with Boundary ElementMethod

Povzetek. Susenje poroznih delcev je zelo pogost proces, ki ga srecamo v razlicnih industrijskih pa-

nugah, kot so prehrambena, kemijska in farmacevtska industrija. Zelo pogosto poteka taksno susenje

v razprsilnih susilnikih, kjer pa imamo opravka z velikim stevilom delcev. Simuliranje taksnih pro-

cesov nam predstavlja oviro ravno zaradi velikega stevila delcev, kar privede do dolgih racunskih

casov. V prispevku je obravnavan razvoj 1D modela za prenos toplote v delcu na osnovi metode

robnih elementov ter izvedena analiza numericne natancnosti za razlicne casovne korake in razlicne

velikosti kvadratnih elementov mreze. Cilj dela je pohitritev prej razvitega modela tristopenjskega

susenja delca.

Abstract. Drying of porous particles is very often used process in food, chemical and pharmace-

utical industry. This application is often used in spray drying process, where we have to deal with

a lot of particles. Numerical simulation of such processes is very complex, because we deal with a

lot of particles and this leads to very large computational time. In present work we develop the 3D-

axisymmetrical model for heat transfer in the spherical porous particle which is based on Boundary

Elements Method and analysis of numerical accuracy has been done. The main goal of this work is

to speed up numerical calculation of the earlier developed three stage drying model.

1 Uvod

Susenje vlaznih snovi predstavlja eno najstarejsih in tudi najpogostejsih procesnih tehnik, ki

se uporablja na sirokem podrocju industrije, kot je na primer prehrambena, kemijska in farma-

cevtska industrija. Pri susenju obravnavamo izredno zapletene fizikalne procese, ki obsegajo

vezan vecfazni prenos toplote, snovi in gibalne kolicine. Zaradi tega ostaja susenje se dandanes

zelo zahtevno in zanimivo raziskovalno podroce, kjer se mocno prepletajo prakticne izkusnje,

eksperimenti in numericno modeliranje.

1 Univerza v Mariboru; Fakulteta za strojnistvo

Kuhljevi dnevi 2018

Izkusnje nam kazejo, da je iz kapljevitih suspenzij pametno lociti trdno snov zaradi boljsih la-

stnosti suhe snovi v primerjavi z kapljevino. V danih primerih je smotrno uporabiti proces kot

je na primer razprsilnega susenja, kjer pride do locitve kapljevite in trdne faze.

Proces susenja delca lahko obravnavamo v vecih stopnjah. Prve prispevke iz podrocja vecfaznega

razprsilnega susenja poroznih delcev zasledimo v letu 1995 in sicer avtor David Levy-Hevroni

[1] obravnava vecfani tok zraka ter suspenzije premog-voda. V prispevku je susenje delca

obravnavano v dveh stopnjah in sicer je v prvi stopnji proces odvisen od stanja okolice, v drugi

stopnji, pa se meja med mokrim jedrom in suho skorjo pomakne v notranjost delca. Naslednje

objave iz podrocja razprsilnega susenja so se nanasale na prenos toplote v delcu in posledicno na

razpad delcev [2],[3]. Pri tem je avtor M. Mezhericher s sodelavci preuceval vpliv temperature

susilnega plina na temperaturo delca in razpad delcea. Do razpada delcev prihaja po koncani

prvi stopnji susenja, ko je povrsina delca ze suha, jedro pa ostaja se mokro, proces susenja pa

se pomakne v notranjost delca. Enaka zasedba avtorjev je pozneje preucevala se vpliv tempe-

rature stene susilnika na stopnjo osusenosti delcev [4]. Izkaze se, da temperatura stene vpliva

na se ne osusene delce, ki se znajdejo v danem mejnem obmocju, saj prihaja na tem obmocju

do sprijemanja delcev. Med zadnjimi objavami avtor Sagadin [5] nadgradi dvostopenjski model

razprsilega susenja s tretjo stopnjo susenja, kjer v tretji fazi poteka odstranjevnje vlage vezane v

kristalih delca. V prvi in tretji stopnji susenja se pojavijo samo algebrajske enacbe, medtem ko

je v drugi stopnji susenja, ko se susilna fronta premakne v notranjost delca treba resiti prevod

toplote in prenos snovi po delcu, ki ga modeliramo z diferencialnima modeloma prenosa toplote

in snovi, ki ga je avtor resil numericno z uporabo metode koncnih razlik.

Ker imamo pri modeliranju susenja delcev znotraj aplikacije kot je na primer razprsilni susilnik

opravka z velikim stevilom delcev, postane preracun taksnega procesa racunsko zelo zahteven.

Iz navedenega razloga vsi tezimo k razvoju modelov, ki so racusnko oz. casovno najmanj

potratni ter dajejo dovolj natancne rezultate. V danem prispevku je obravnavan razvoj modela za

izracun prevoda toplote v sfericnem delcu na osnovi Metode robnih elementov (MRE). Razvit

model bo uporabljen za preracun druge stopnje susenja delca v tristopenjskem modelu. Prav

tako je bila narejena analiza numericne natancnosti razvitega modela.

2 Vodilne enacbe

Kot ze opisano v uvodu se bomo tukaj omejili le na drugo stopnjo susenja poroznega delca

krogelne oblike, pri cemer bomo zakon ohranitve energije oziroma temperature delca resili z

metodo robnih elementov. V tem delu so opisane vodilne enacbe, ki diktirajo kinetiko susenje

delca v drugi stopnji, pri cemer obmocje resevanja zajema tako mokro jedro kot suho skorjo.

Na sliki 1 je prikazan delec pri razlicnih casih skozi drugo stopnjo susenja oziroma dinamika

spreminjanja podrocja mokrega jedra in suhe skorje.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Slika 1 : Potek susenja poroznega delca skozi drugo fazo susenja. Rdeca barva oznacuje suho

obmocje in modra barva mokro obmocje. Z t0 je oznacen zacetni cas susenja v drugi stopnji, z

tk pa koncni cas.

Osnova za izracun kinetike susenja v drugi stopnji je zapis energijske enacbe za mokro in

suho podrocje, pri cemer imamo le prevod toplote brez notranjih izvorov ali ponorov toplote

v obmocju, pri cemer pa obstaja ponor toplote na medfazni meji, ki ga podamo z medfaznim

robnim pogojem. Tako se zakon o ohranitvi energije za obe podrocji zapise kot

ρc∂T∂t

= �∇(

λ�∇T)

(1)

pri cemer je �∇ nabla operator, c specificna toplotna kapaciteta, λ toplotna prevodnost, T tem-

peratura in t cas. Za resitev nestacionarnega prevoda toplote v delcu moramo upostevati se

robne in medfazne pogoje. Vpliv segrevanja ali ohlajanja delca opisemo z Robinovim robnim

pogojem na povrsini delca r = Rd oziroma

�q = kcr∂Tcr

∂r= h · (Tg −Tcr), (2)

pri cemer je h koeficient toplotne prestopnosti in Tg temperatura plina ali zraka dalec stran

od delca. Za popolni opis prenosa toplote pa je potrebno dodati se medfazni robni pogoj, na

medfazni povrsini r = Ri(t), kjer poteka uparjanje vlage in sicer

Twc = Tcr, kcr∂Tcr

∂r= kwc

∂Twc

∂r+h f g

mv

Ai(3)

pri cemer je h f g specificna izparilna toplota, Ai = 4πR2i je medfazna povrsina, mv je efektivni

masni tok vodne pare, in Rd polmer delca. Z indeksom wc oznacimo mokro obmocje delca

in z indeksom cr suho obmocje delca. Prvi medfazni pogoj pomeni, da sta temperaturi enaki,

torej da ne pride do temperaturnega skoka, medtem ko drugi pogoj uposteva uparjanje vode na

medfazni povrsini oziroma hlajenje mokrega jedra.

Potrebno je podati se izracun masnega toka vodne pare, ki temelji na spodaj zapisani enacbi, ki

je bila izpeljana s strani avtorja M. Mezhericher [6].

mv =− 8πεβDv,crMw pg

Rn (Tcr,s +Twc,s)

RdRi

Rd −Ri· ln

⎡⎣ pg − pv,i

pg −(

Rn4πMwhdR2

pmv +

pv,∞Tg

)Tp,s

⎤⎦ , (4)

- -

Kuhljevi dnevi 2018

pri cemer ε predstavlja poroznost delca, p tlak, Mw molekulsko maso vode, Rn splosno plinsko

konstanto, pg tlak susilnega plina, Rd radij delca, Dv,cr koeficient difuzije v suhi skorji, Tp,s tem-

peratura delca na medfazni povrsini, pv,i parcialni tlak nasicenja vodne pare na povrsini delca in

hd koeficient snovne prestopnosti. Kot je moc opaziti iz podanega matematicnega modela, le-ta

ne zajema prenosa vlage skozi suho skorjo direktno ampak posredno. Prenos vlage oziroma

masni pretok vode pri susenju je dolocen z enostransko Stefanovo difuzijo, tako je kinetika

susenja pogojena le s temperaturo delca in pa dodanimi robnimi pogoji, kot je temperatura in

vlaznost plina.

3 Metoda robnih elementov

Za resevanje nestacionarnega prenosa toplote v delcu je bila uporabljena metoda robnih elemen-

tov (MRE), pri cemer smo predpostavili da je temperatura delca odvisna le od radialne razdalje,

torej neodvisna od obeh kotov sfericnega koordinatnega sistema. Enacba prenosa toplote (1) je

bila obravnavana kot Poissonova enacba, ki je zapisana kot

�∇2u = b, (5)

pri cemer je �∇2 (·) Laplaceov operator, u spremenljivka polja, v nasem primeru predstavlja

temperaturo, in b nehomogeni del. Za Poissonovo enacbo se MRE z uporabo Greenove druge

identitete zapise kot

c(ξ) ·u(ξ)+∫

Γu(R j)q∗ (ξ,R j)dΓ+

∫Ω

b(r j)u∗ (ξ,r j)dΩ =∫

Γq(R j)u∗ (ξ,R j)dΓ (6)

pri cemer je c koeficient, Γ rob obmocja resevanja, Ω obmocje resevanja, ξ polozaj oziroma

radij izvorne tocke in r j polozaj poljubne tocke znotraj ombomcja resevanja in R j polozaj po-

ljubne tocje na robu obmocja. Kot osnovna resitev u∗ (ξ,r j) je bila uporabljena ellipticna ali

Laplaceova osnovna resitev, ki se skupaj z normalnim odvodom zapise kot

u∗ (ξ,r j) =1

4πd, q∗ (ξ,R j) = �∇u∗�n (7)

pri cemer je d razdalja od izvorne tocke ξ do poljubne tocke r j in�n vektor normale . Povrsinska

integrala v enacbi (6) sta za sfericno povrsino analiticno resljiva in sicer ker je vrednost spre-

menljivke u oziroma q po povrsini konstantna, ju lahko izpostavimo in dobimo

∫Γ

q∗ (ξ,R j)dΓ = 0,∫

Γu∗ (ξ,R j)dΓ = R2

Γ/ξ ξ > RΓ

∫Γ

q∗ (ξ,R j)dΓ =−1,∫

Γu∗ (ξ,R j)dΓ = RΓ ξ < RΓ

∫Γ

q∗ (ξ,R j)dΓ =−0.5,∫

Γu∗ (ξ,R j)dΓ = RΓ ξ = RΓ (8)

pri cemer je ξ polozaj izvorne tocke in RΓ polmer povrsine, ki jo integriramo. Zal pa za en-

krat nismo nasli analiticne resitve volumskega integrala∫

Ω bu∗ (ξ,r j)dΩ, zaradi cesar smo se

morali posluziti numericnega integriranja. Pri tem smo volumen obmocja resevanja razdelili

- -

Kuhljevi dnevi 2018

na vec sfericnih elementov (u=u(r)), pri cemer smo uporabili kvadratno interpolacijo za vecjo

numericno natancnost razvite sheme. Tako se integral po volumnu zapise

∫Ω

bu∗ (ξ,r j)dΩ = b1

∫Ω

Φ1u∗ (ξ,r j)dΩ+b2

∫Ω

Φ2u∗ (ξ,r j)dΩ+b3

∫Ω

Φ3u∗ (ξ,r j)dΩ (9)

pri cemer je bi vrednost koeficienta b v vozliscu i ter Φi uporabljena interpolacijska funkcija.

Za numericno integracijo osnovne resitve po volumnu oziroma∫

Ω Φiu∗dΩ smo uporabili Simp-

sonovo integracijo. Tako ce postavimo izvorno tocko v vsako vozlisce racunske mreze, ki opise

geometrijo obmocja resevanja dobimo sistem linearnih enacb, ki jo lahko zapisemo kot

[H]{u}= [G]{q}+[S]{b} , (10)

pri cemer so [H], [G] in [S] matrike, {u} predstavlja vektor spremenljivke u v vozliscih, {q}vektor normalnih odvodov in {b} vektor nehomogenega clena b.

V obravnavanem primeru je tako sedaj potrebno zapisati enacbo (1) v obliko Poissonove enacbe

(5), ki se z uporabo aproksimacije casovnega odvoda in uporabe implicitne sheme zapise kot

�∇2Tt =1

a· ∂T

∂t=

1

a· Tt −Tt−1

Δt, (11)

pri cemer je a toplotna difuzivnost, Δt casovni korak in indeks t casovni korak. Tako se sistem

enacb (13) lahko za energijsko enacbo (1) zapise kot([H]− 1

a ·dt[S]

){Tt}= [G]{q}− 1

a ·Δt[S]{Tt−1} . (12)

Tako lahko sedaj zapisemo sistem (12) za obe obmocji ter ju resimo ob upostevanju robnih ter

medfaznih pogojev. Tako dobimo globalni sistem linearnih enacb, ki nam podaja temperaturni

profil znotraj susenega delca, in sicer za vsak casovni korak. Zaradi spreminjanja polozaja

medfazne meje je potrebno matrike v enacbi (13) dolociti na novo za vsak casovni korak, kar

je nekoliko racunsko zahtevno, vendar sta matriki [H] in [G] analiticno dolocljivi, za katerih

izracun ne potrebujemo veliko casa. Tako je bil na osnovi novega temperaturnega polja znotraj

casovnega koraka dolocen novi masni pretok vode in s tem tudi nov polozaj medfazne povrsine

po enacbi

Rt = Rt−1 − Δt ·mvεRodw4πR2

i0(13)

V podani enacbi Rt−1 predstavlja premer medfazne povrsine v prejsnjem casovnem koraku, εporoznost delca, Rodw gostoto vode in Δt casovni korak numericnega izracuna. Tako je bila

razvita numericna shema na osnovi MRE za opis casovnega prenosa toplote v drugi stopnji

susenja sfericnega delca, za katerega je predpostavljena osnosimetricnost.

4 Racunski primer ter analiza numericne natancnosti

Analiza numericne natancnosti je bila narejena za primer susenja delca premera Rd = 200 μmin konstantne robne pogoje in sicer je temperatura susilnega plina (zrak) znasala Tg = 450K,

absolutna vlaznost je bila Xg = 0,02 kg/kg in relativna hitrost delca Ud = 1 m/s.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Za analizo smo uporabili 6 razlicnih casovnih korakov in sicer 0,05s, 0,01s, 0,005s, 0,001s,

0,0005s in 0,0001s, pri tem so bile uporabljene stiri razlicne velikosti elementov racunske

mreze, tako je bil najvecji element velik 20μm, vmesni velikosti sta bili 10μm in 5μm in naj-

manjsi element 2,5μm.

Na sliki 2 je prikazano potovanje susilne fronte (medfazne povrsine, med ze osusenim po-

drocjem in mokrim podrocjem) v odvisnosti od casa susenja za velikost elementov mreze 5 μmin razlicne casovne korake. Vidimo lahko, da nam veliki casovni koraki, kot sta npr. 0,05 s in

0,01 s ne dajejo dovolj natancnih rezultatov. Vrednost pri ostalih casovnih korakih pa se dokaj

priblizajo ena do druge. Zavedati se moramo, da nam zelo mali casovni koraki, dajejo najbolj

natancne rezultate, vendar pa postanejo racunski casi bistveno daljsi. Podobne rezultate kot so

prikazani na sliki 2 smo dobili tudi v primeru, ko smo uporabili ostale velikosti elemetov mreze.

Dani rezultati nam kazejo, na primernost uporabe posameznega casovnega koraka.

Slika 2 : Zmanjsevanje medfazne povrsine po casu za razlicne casovne korake in velikost ele-

mentov 5 μm.

Slika 3 : Vlaznost in temperatura delca po koncanem susenju za razlicne pogoje.

Drugi stopnji susenja sledi tretja stopnja susenja, v kateri rabimo kot vhodni podatek povprecno

temperaturo delca in koncno vlaznost delca, ki ju prenesemo iz druge stopnje susenja. Ravno

zaradi tega je pomembno, da prenesemo cim bolj tocne vrednosti in poskrbimo, da je napaka

- -

Kuhljevi dnevi 2018

numericnega izracuna cim manjsa. Na sliki 3 so prikazane vrednosti koncne vlaznosti in pov-

precne temperature delca v drugi stopnji susenja. Iz tabele je lepo razvidno kako vplivata iz-

brana parametra (casovni korak in velikost elementa mreze) na koncni rezultat.

Slika 4 prikazuje temperaturni profil po polmeru delca pri casu susenja 0,1 s in 0,5 s za razlicne

velikosti elementov mreze in casovni korak 0,001 s.

Slika 4 : Temperaturni profil po polmeru delca ob casu susenja 0,1 s in 0,5 s.

Nicla na grafu pomeni sredino delca, medtem ko vrednost 100 predstavlja polmer delca oz.

povrsino delca. Vidimo lahko da ima v zacetni fazi susenja izbira velikosti elementov mreze

velik vplin na rezultat, saj vrednosti precej odstopajo med seboj. Proti koncu susenja delca

v drugi stopnji pri casu 0,5 s odstopa samo se rezultat, kjer je bila uporabljena najbolj groba

mreza (velikost elementa 20 μm), medtem ko se rezultati ostalih treh mrezah povsem zblizajo.

Glede na rezultate preracunov in narejene primerjave smo za nadalnje delo izbrali casovni korak

0,001 s in velikost elementa 5 μm. Na sliki 5 je prikazana porazdelitev temperature po delcu in

polozaj medfazne povrsine pri stirih razlicnih casih za izbrane numericne parametre. Vidimo

lahko, da se po casu medfazna povrsina zmansuje, kar pomeni, da se delec susi. S tem se

zmanjsuje mokro obmocje in povecuje suho obmocje delca, prav tako pa se skozi cas zvisuje

temperatura delca.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Slika 5 : Porazdelitev temperature po delcu z izbranimi numericnimi parametri.

5 Zakljucek

Izpeljan in predstavljen je bil model za obravnavo prevoda toplote v delcu sfericne oblike na

osnovi Metode robnih elementov. V podanem racunskem modelu nam najvec casa vzame nu-

mericna integracija po volumnu, zato bo delo v prihodnje usmerjeno v iskanje analiticne resitve.

V tem primeru bi se namrec znebili numericne integracije in s tem prihranili dosti racunskega

casa. Tako bi taksen razvit model bil primeren za uporabo v sklopljenem numericnem izracunu

z racunalnisko dinamiko tekocin (RDT).

6 Literatura in citati

Literatura

[1] D. Levi-Hevroni, A. Levy, I. Borde, Mathematical modeling of drying of liquid/solid slur-ries in steady state one-dimesional flow, Drying technology, 1995.

[2] M.Mezhericher, A. Levy, I. Borde, Heat and mass transfer of single droplet/wet particledrying, Chemical Engineering Science, 2008.

[3] M.Mezhericher, A. Levy, I. Borde, Modelling of particle breakage during drying, Chemical

Engineering and Processing, 2008.

[4] M.Mezhericher, A. Levy, I. Borde, Three-dimensional modelling of pneumatic drying pro-cess, Powder Technology, 2010.

[5] G. Sagadin, M. Hribersek, A multistage Spray Drying Model for Zeolite 4A-Water Suspen-sions in a Counter-Current Spray Dryer, International Journal of Heat and Mass Transfer,

2017.

[6] M.Mezhericher, A. Levy, I. Borde, Modelling of particle breakage during drying, Chemical

Engineering and Processing, 2008.

- -

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Vpliv rekonstrukcije geometrije na napetostna stanja v optimiranih nosilnih delih

B. Harl1, M. Kegl1, J. Predan1 in N. Gubeljak1

Influence of geometry reconstruction on stress fields within optimized load-carrying parts

Povzetek. Prispevek obravnava problematiko rekonstrukcije geometrije nosilnih konstrukcijskih delov, katerih oblika je bila dobljena z uporabo optimizacije topologije. Rezultat topološke optimizacije je namreč triangulirana mreža površja optimalnega dela. V mnogih primerih je potrebno to površino predelati v parametrični CAD model, kar vedno vnese geometrijske napake. Na ustreznem numeričnem zgledu je v prispevku pokazano, da lahko te napake hitro pripeljejo do drastičnega povečanja napetosti, kar lahko v precejšnji meri izniči sicer dober rezultat optimizacije.

Abstract. The paper discusses the problem of geometry reconstruction of load-carrying structural parts, whose shape was obtained by engaging topology optimization. Namely, the result of topology optimization is a triangulated boundary surface of the optimal part. In many cases this surface needs to be brought back into a parametric CADmodel, which is always accompanied by geometrical errors. On a suitable numerical example it is shown that these errors may quickly result in a drastic increase of stresses, which may notably annihilate an otherwise good optimization result.

1 Uvod

Optimizacija topologije vse pogosteje postaja nujni sestavni del projektiranja nosilnih konstrukcijskih delov. Na ta način lahko namreč konstrukcijski del oblikujemo tako, da so ob predpisanem volumnu napetosti v nosilnem delu na najnižjih možnih nivojih, hkrati pa na oblikovanih površinah ni več nobenih koncentracij napetosti. Tak del izkazuje odličen razmernik med nosilnostjo in težo ter dobro odpornost napram pojavu razpoke pri cikličnih obremenitvah.

1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Rezultat optimizacije topologije je prostorska ploskev, oziroma natančneje, triangulirano površje optimiranega dela. Ta triangulirana ploskev je lahko kot rezultat uporabljena neposredno, in sicer v primeru, da želimo optimiran del izdelati s pomočjo dodajnih tehnologij, oziroma 3D tiskanja. Vendar pa je v inženirski praksi mnogo bolj običajno, da se ta ploskev uporabi za izdelavo novega parametričnega CAD modela optimiranega dela. V tem prispevku bomo ta postopek imenovali rekonstrukcija geometrije.

Rekonstrukcija geometrije vsekakor ni enostaven proces, slika 1. Pri tem si lahko pomagamo z različnimi pristopi, kot je na primer reševanje ustreznih inverznih problemov (ang. reverse engineering) vendar se praviloma ne moremo izogniti tudi precejšnji meri ročnega modeliranja. Kakorkoli, geometrija rekonstruiranega modela vedno nekoliko odstopa od geometrije originalnega optimiranega dela. Napake, ki jih pri tem naredimo so lahko sicer iz geometrijskega stališča videti nepomembne, vendar pa bi bilo hitro sklepanje o njihovi neškodljivosti preuranjeno. Iz področja optimizacije oblike namreč poznamo primere, ko lahko napetosti precej narastejo tudi pri rahli variaciji geometrije, ki je sicer videti dokaj nepomembna.

Slika 1: Geometrija optimiranega dela je lahko precej komplicirana in težavna za rekonstrukcijo

Lep primer takšne situacije je plošča z eliptično oziroma krožno odprtino na sredini[1], slika 2. Plošča je obremenjena z enakomernima a različnima obremenitvama po zunanjihrobovih. Če v tem primeru namreč eliptično odprtino, ki je analitično optimalna, zamenjamo s krožno, se izkaže, da maksimalne napetosti na konturi odprtine narastejo za približno 55 %. Takšno povečanje, ki se lepo odraža tudi v veliki spremembi konfiguracijskih sil [2], lahko pomeni ogromno razliko za življenjsko dobo ciklično obremenjenega dela.

Da bi iz tega področja pridobili več izkušenj, smo pripravili ustrezen zgled in izdelali numerično študijo, ki naj bi pokazala, kaj približno lahko pričakujemo, kadar geometrijo optimiranega dela rekonstruiramo in pri tem vnesemo večje ali manjše napake.

Struktura prispevka je naslednja: v poglavju 2 je predstavljen testni zgled; v poglavjih 3 in 4 so opisane optimalne in rekonstruirane geometrije; rezultati analiz in diskusija pa so podani v poglavju 5.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 2: Ena četrtina plošče z odprtino ter diagram poteka napetosti po robu odprtine za eliptično in krožno konturo

2 Testni zgled

Za testni zgled smo si zamislili podporni element, sestavljen iz ravne in krožne pasnice ter vertikalne stojine, ki mora prenašati večino vertikalne obremenitve, slika 3. Stojina, ki bo predmet optimizacije, predstavlja kvazi-ravninsko regijo, kar bo poenostavilo geometrijsko rekonstrukcijo in opazovanje napetosti na rezanih površinah.

Slika 3: Podporni element; optimizacijska domena je le stojina

Podporni element je na zgornji strani centralno podprt, s spodnje strani pa je obremenjen z enakomernim tlakom; velikost obremenitve za našo študijo ni pomembna. CAD model tega primera je bil narejen s programskim paketom PTC® Creo® [3], MKE model pa vsebuje približno en milijon končnih elementov (linearnih tetraedrov).

Optimizacijskadomena - stojina

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Predmet optimizacije bo torej le stojina, kar pomeni, da bo možno dobljeno geometrijo relativno enostavno rekonstruirati. Hkrati pa bo relativno enostavno tudi odčitavanje maksimalnih napetosti. Pričakujemo torej lahko, da bo na tem zgledu vpliv variacij geometrije lepo viden.

3 Optimalne geometrije testnega zgleda

Optimizacija topologije testnega zgleda je bila izvedena s programskim paketom CAESS ProTOp® [4]. Izračunali smo več situacij, ki so se razlikovale po deležu odvzetega materiala stojine, in sicer: 20 %, 30 %, …, 80 %.

Slika 4: Optimalna topologija za 50 % volumski delež stojine; napetostna skala: 500 MPa

Eden izmed izračunanih rezultatov, in sicer za 50 % volumski delež stojine, je prikazan na sliki 4. Napetostna skala je nastavljena na 500 MPa max.

4 Rekonstruirane geometrije testnega zgleda

Na osnovi rezultatov optimizacije smo izdelali 4 variante rekonstrukcij geometrije, ki nekako ilustrirajo v praksi najpogosteje uporabljene tehnike. Te variante so naslednje, slika 5:

A: Za izrez materiala so uporabljene samo krožnice; njihova velikost in lega jeizbrana tako, da predstavljajo včrtane kroge za odprtine ene od optimalnih stojin.B: Za izrez materiala so uporabljene samo elipse; njihova velikost in lega je izbranatako, da vizualno čim lepše sledijo odprtinam ene od optimalnih stojin.C: Izrez materiala je narejen ročno tako, da uporabljene krivulje čim bolj sledijodejanski obliki ene od optimalnih stojin.D: Izrez materiala je narejen ročno tako, da uporabljene krivulje približno sledijodejanski obliki ene od optimalnih stojin, in hkrati zrcalijo tipične posledice ali prevečagresivnega glajenja površin ali pa avtomatične predelave triangulirane površine vCAD model (pretirano zaokroževanje kontur).

Varianta D je narejena tako, da simulira rezultat, ki se največkrat pojavi pri predelavi triangulirane površine v CAD model. Ta postopek pogosto najprej precej zmanjša število vozlišč in trikotnikov na obravnavanem površju, nato pa preostala vozlišča uporabi za kontrolne točke ploskev narejenih iz B-zlepkov. V tem procesu se ravne povezave materiala praviloma odebelijo na obeh krajnih koncih in zožijo na sredini. Ta efekt je precej podoben uporabi pretirano agresivnih postopkov glajenja površin.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 5: Rekonstruirane geometrije A, B, C in D; napetostna skala: 500 MPa

5 Rezultati in diskusija

Vse rekonstruirane geometrije smo zaradi lažje primerjave analizirali kar z istim programom, kot smo ga uporabili za optimizacijo. Ker nas zanima vpliv variacije geometrije optimiranih kontur, bomo v primerjavah opazovali napetosti na konturah odprtin v stojini. Pri tem bomo z izrazom referenčna napetost označili maksimalno von Misesovo napetost, izračunano vzdolž kontur vseh odprtin v stojini.

Slika 6: Detajl geometrije B; opazne so nizke povprečne napetosti s koncentracijami

Najprej si oglejmo detajl geometrije B, slika 6, ki dobro ilustrira enega od problemov pri rekonstrukciji: kljub relativno nizkim nivojem napetosti, imamo na konturah odprtin prisotne koncentracije napetosti. Če bo takšen del ciklično obremenjevan, bo to zelo znižalo njegovo življenjsko dobo, saj lahko prisotne koncentracije hitro povzročijo iniciacijo razpoke.

Te koncentracije napetosti so na žalost relativno visoke. Diagram na sliki 7 prikazuje njihove izračunane vrednosti za vse optimirane in vse rekonstruirane geometrije.

C

A

B

D

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 7: Referenčne napetosti vseh optimiranih (krivulja) in 4 rekonstruiranih geometrij

Vidimo lahko, da je seveda najbolje če rekonstruirana geometrija čim bolj sledi optimalni (prirastek napetosti 40 %). Vpliv pretiranega zaokroževanja je očitno lahko precej kritičen, saj izračunan prirastek napetosti znaša že slabih 70 %. Očitno pa je najslabše, če se rekonstrukcije geometrije lotimo kar z uporabo sicer zelo priljubljenih geometrijskih objektov kot sta krožnica in elipsa. Prirastka napetosti tukaj znašata kar več kot 100 %.

ZaključekRezultat optimizacije topologije nosilnih delov je vedno triangulirano površje, ki ga inženirji običajno predelujejo v CAD modele. Praktične izkušnje kažejo, da se ta postopek pogosto jemlje precej zlahka, predvsem v smislu odstopanja končne geometrije od optimirane. V prispevku je na ustreznem zgledu pokazano, da bi morala biti rekonstrukcija geometrije narejena zelo skrbno, saj lahko sicer hitro izničimo precejšen delež truda vloženega v optimizacijo.

Literatura

[1] KEGL, M. Shape optimal design of structures: an efficient shape representation concept.International journal for numerical methods in engineering, 2000, 49:1571-1588.

[2] FISCHER, F.D., SIMHA, N.K., PREDAN, J.,SCHÖNGRUNDNER, R., KOLEDNIK, O. On configurational forces at boundaries in fracture mechanics. International Journal of Fracture, 2012, 174:61-74.

[3] https://www.ptc.com/en/products/cad/3d-design [4] https://caess.eu/site/Software.html

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Virtualna ziroskopska kamera

Jan Kalin1

Virtual Gyroscopic Camera

Povzetek. Video kamera, ki je fiksno pritrjena na motorno kolo, se v ovinkih nagiba skupaj

z okvirjem motornega kolesa. Skladno s tem se horizont na posnetem videu nagiba v nasprotno

smer. Leta 2010 je bila na MotoGP motornih kolesih predstavljena ziroskopska kamera. S pomocjo

ziroskopov, pospeskomerov in servo motorja se kamero v realnem casu ohranja v horizontalnem

polozaju in s tem omogoci bolj dinamicen pogled na dirko. V clanku je predstavljena virtualna

ziroskopska kamera, kjer se podatki s senzorjev zajemajo loceno od videa, med post-procesiranjem

pa se ju zdruzi in reproducira delovanje ziroskopske kamere. Ker so podatki na voljo za celotno

obdobje trajanja videa, so mozni dodatki k videu, ki pri fizicni ziroskopski kameri niso, na primer,

risanje projicirane poti motornega kolesa in simulacija efekta zamegljenega perifernega vida.

Abstract. When a video camera is rigidly mounted on a motorcycle, the camera rolls with the

motorcycle frame in corners. In the resulting videos the horizon tilts to the opposite side. In 2010

a self-leveling gyroscopic camera was introduced on MotoGP motorcycles. Through the use of

gyroscopes, accelerometers, GPS receiver and a servo motor, the camera is kept level in real-time,

providing a more dynamic view of the race. This article describes a virtual gyroscopic camera,

where the sensor data is recorded separately from the video and, during post-processing, the video

and the sensor data are combined to duplicate the effect of the gyroscopic camera. Since the data

is available for the entire duration of the video, one can add features not possible with the physical

gyroscopic camera, such as drawing the projected path of the motorcycle and simulating the effect

of blurry peripheral vision.

1 Uvod

Zgodovina kamer na MotoGP motornih kolesih za zivi prenos slike sega nazaj v 1985, ko je

Randi Mamola dirkal s prvo kamero pritrjeno na tanku za gorivo [1]. Ker je bila kamera fiksno

pritrjena, je mogel video samo nepopolno prikazovati dirko z dirkacevega stalisca.

Motorno kolo v se ovinku nagne v notrajnost ovinka, horizont na videu pa se zavrti za isti kot

v nasprotno smer. V nasprotju s tem pa glava dirkaca in s tem tudi njegov pogled ostaneta

pretezno horizontalna, saj to omogoca boljso orientacijo v prostoru.

1 ZAG Ljubljana

Kuhljevi dnevi 2018

1.1 Ziroskopska kamera

Leta 2010 je Valentino Rossi dirkal s prvo ziroskopsko kamero [2]. V ohisju kamere so vgrajeni

ziroskop, pospeskomeri in GPS sprejemnik [3]. Z obdelanimi kinematicnimi podatki iz senzor-

jev se v realnem casu krmili servomotor, ki vrti skupek lec in CCD senzorja okoli vzdolzne osi

tako, da ostane horizont na sliki vedno vodoraven.

Taksna kamera naredi posnetke bolj privlacne, vendar vsebuje premicne dele, pritrditev na mo-

torno kolo je omejena na nekaj lokacij, vsaj na zacetku pa je bila tudi javnosti nedostopna.

1.2 Virtualna ziroskopska kamera

V nasprotju s tem so bile v tistem casu ze na voljo relativno poceni in dostopne t.i. “action

cams”, majhne, zmogljive kamere, ki pa so vsebovale samo video senzorje. Hkrati so se vse

bolj uveljavljali zmogljivi pametni telefoni, ki so povecini vsebovali pospeskomere, ziroskope

in GPS sprejemnike.

Leta 2013 je avtor v prostem casu zacel z razvojem t.i. virtualne ziroskopske kamere. Namesto

krmiljenja v realnem casu se pri tem pristopu podatke shranjuje loceno od videa — kamera

zajema video, pametni telefon pa ostale podatke. Rotacijo slike se opravi pri poznejsi obdelavi

videa.

Pri fizicni ziroskopski kameri so vsako sliko v videu, posneto ob casu ts, podatki na voljo samo

za case t <= ts. Pomembna prednost virtualne ziroskopske kamere je, da so podatki na voljo za

celotno trajanje posnetka. Ob casu ts so potemtakem na voljo tudi podatki za case t > ts, ki so “v

prihodnosti” glede na sliko. To odpre moznosti, kot so izrisovanje projicirane poti motornega

kolesa na video, ter simulacija efekta zamegljenega perifernega vida.

1.3 Strojna in programska oprema

Za zajem videa je bila izbrana kamera GoPro Hero3+ Black Edition. Video posnetki so bili

zajeti z locljivostjo 1920× 1440 pri 25 slikah na sekundo. Zorni kot pri tej locljivosti je 94°

vertikalno, 123° horizontalno in 149° po diagonali.

Za zajem podatkov je bil uporabljen Android pametni telefon HTC One Mini. Naprava meri

kotne hitrosti okoli treh osi, pospeske v treh oseh ter sprejema GPS podatke.

Android programska oprema je bila razvita v programskem jeziku Java, ostala progamska

oprema pa v programskem jeziku Python.

2 Stabilizacija horizonta

Prvi del razvoja je bil posvecen stabilizaciji horizonta, ki se v grobem deli na tri faze.

2.1 Sinhronzacija podatkov

Zdruziti je potrebno podatke z dveh fizicno locenih naprav. Med poskusi se je izkazalo, da

je potrebno oba toka podatkov sinhronizirati z najvec 110

s zamika, ce naj ne pride do motece

zakasnitve ali prehitevanja poravnave horizonta.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Izbrana kamera ima vgrajeno WiFi dostopno tocko in API preko katerega je mozno kontrolirati

kamero. Vendar v Google Play Store ni bilo na voljo ustrezne aplikacije, ki bi hkrati zajemala

podatke in prozila zajemanje kamere.

Prvi korak je bil razvoj aplikacije GoPro GPS [4], katere javna verzija omogoca prozenje in

ustavljanje snemanja s pomocjo GPS sprejemnika. Prozenje je mozno na osnovi lokacije ali pa

se snemanje zacne nad doloceno hitrostjo in ustavi pod to hitrostjo.

Razvojna verzija aplikacije omogoca tudi zajemanje podatkov iz senzorjev in zapisovanje v

datoteko, v katero se zapisujejo tudi trenutki zacetka in konca snemanja. Tako je moc sinhroni-

zirati video in podatke z zamikom znotraj zahtevane tolerance.

2.2 Dolocanje nagiba motornega kolesa

Android naprava in kamera sta fiksno pritrjeni na motor in se gibljeta skupaj z njim. Svetovne

kolicine so merjene v koordinatnem sistemu, kjer os x kaze v smer voznje motornega kolesa, os

z je pravokotna na zemeljsko povrsino in kaze navpicno gor, os y pa kaze v levo glede na smer

voznje.

Telesne kolicine, oznacene s crticami, so merjene v koordinatnem sistemu pritrjenem na okvir

motornega kolesa z izhodiscem na mestu Android naprave. Os x′ je vzporedna z osjo x, os z′

kaze navpicno gor grede na telo, os y′ pa kaze v levo glede na smer voznje.

Izracunati zelimo svetovni nagib ϕ motornega kolesa okoli svetovne vzdolzne osi x. Ker sta si

osi x in x′ vzporedni, lahko nagib izracunamo s casovnim integralom kotne hitrosti okoli osi x′,ϕ =

∫ϕ′ dt. Rabili bomo tudi kotno hitrost ψ′ okoli telesne z′ osi.

Pri izracunih je treba upostevati, da so merjene kotne hitrosti lahko obremejene s konstantno

napako, ki pri integraciji prinese s casom linearno narascajoco ali padajoco komponento. Te

komponente in efektov drugih napak meritev se resimo tako, da poiscemo kvazistacionarna

stanja, v katerih se motorno kolo giblje premocrtno in kvecjemu pospesuje ali zavira, ne spre-

minja pa smeri. Izracunane kote naklona v teh stanjih vzamemo kot korekcijske vrednosti in od

integriranega kota naklona odstejmo odsekoma linearno funkcijo med temi stanji.

2.2.1 Dolocanje kvazistacionarnega stanja s pospeski

Prvotni nacrt je bil uporabiti telesno vertikalno komponento pospeska za dolocanje kvazista-

cionarnega stanja. Pri voznji naravnost je kratkotrajno povprecje pospeska v smeri z′ enako

−1g. V ovinku pa se teza motorja in centrifugalna sila vektorsko sestejeta v telesno vertikalno

komponento, katere vrednost je tedaj manjsa (bolj negativna) od −1g v telesnem koordinatnem

sistemu.

Zal so pospeskomeri v uporabljeni Android napravi za to neprimerni. Pri programiranju de-

lovanja MEMS pospeskomerov je mozno dolociti obmocje delovanja [5]. Na izbrani Android

napravi je bilo iz rezultatov meritev razvidno, da je bilo izbrano obmocje ±2g, saj nobena

izmerjena vrednost ni presegala teh meja.

Uporabljeno motorno kolo ima enocilindrski motor, ki povzroca izrazite vibracije celotnega

motornega kolesa. Merjeni pospeski pri spreminjanju obratov motorja v mirovanju so se raz-

tezali po celotnem obmocju ±2g. Ko k temu pristejemo −1g teznostega pospeska, je dovolj

- -

Kuhljevi dnevi 2018

veliko stevilo vrednosti zunaj obmocja delovanja pospeskomera, da so meritve popolnoma ne-

uporabne.

2.2.2 Dolocanje kvazistacionarnega stanja s kotnimi hitrostmi

Slika 1: Primer meritve kotnih hitrosti

Druga moznost je uporaba kotnih hitrosti ϕ′ in ψ′ (okoli osi x′ in z′). Ce sta dovolj majhni,

se motorno kolo ne nagiba, niti ni v ovinku. Zgornji graf na sliki 1 prikazuje primer merjenih

kotnih hitrosti, poglajenih s Savitzky-Golay filtrom [6]. Z rjavo so narisani intervali, kjer sta

absolutni vrednosti obeh kotni hitrosti pod 2°/s.

Na spodnjem grafu na sliki 1 je z modro narisan nekorigiran integral kotne hitrosti, z rjavo

pa odsekoma linearna korekcijska funkcija. V prikazanem primeru so vrednosti te funkcije

relativno majhne, v drugih primerih pa dosegajo tudi vrednosti 30° in vec.

Z zeleno je narisan korigiran integral, ki predstavlja iskani nagib motornega kolesa ϕ. Z rotacijo

slike za isti kot v nasprotno smer dosezemo zeljeno poravnavo horizonta.

2.3 Obdelava videa

Poleg rotacije je treba sliko tudi obrezati, drugace bi bili manjkajoci vogali slike motece crni.

Z obrezovanjem se zmanjsa zorni kot, vendar to ne vpliva kriticno na koncni rezultat, saj je

izvorni zorni kot zelo sirok. V najslabsem primeru, pri nagibu 53° in pri ohranitvi razmerja

slike 4×3, se zorni kot zmanjsa na 3/5, oziroma na 89° po diagonali slike, kar ustreza precej

sirokokotnemu objektivu z ekvivalentno 35mm zariscno razdaljo 18mm [7].

Za rotacijo slike in risanje na sliko je bila uporabljena knjiznica OpenCV [8]. Ker knjiznica ne

omogoca obdelave zvoka, je bila za zdruzitev obdelane slike in izvornega zvoka uporabljena

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Slika 2: Potek obdelave

zunanja aplikacija FFmpeg [9]. Potek obdelave je prikazan na sliki 2. Python skripa rotatevi-deo.py poskrbi za pravilen pretok podatkov in za klic ffmpeg.exe z ustreznimi parametri.

Slika 3: Originalna (levo) in rotirana (desno) slika

Na sliki 3 sta primera originalne in rotirane slike. Kamera je bila pritrjena na spodnji kriz

vilic, kajti na uporabljenem motornem kolesu je tezko najti drugo mesto, kjer vibracije ne bi

povzrocile “plavanja” slike. Na desni sliki je razvidno zmanjsanje zornega kota, horizont pa je

poravnan.

3 Risanje projicirane poti

Pri virtualni ziroskopski kameri so pri post-procesiranju na voljo podatki za celotno trajanje

videa, kar nam omogoca risanje projicirane poti.

3.1 Racun bodoce pozicije motornega kolesa

Izbremo prirastek casa Δt do katerega bomo za sliko ob casu tS izracunali pot motornega ko-

lesa in to pot narisali na sliko. Ta prirastek ne sme biti prevelik, drugace napake meritev in

preprostost uporabljenih izracunov povzrocijo vecja odstopanja izracunane in dejanske poti. Z

vrednostmi Δt do priblizno 3s so na testnem sistemu odstopanja sprejemljivo majhna.

Koordinatni sistem za ta racun postavimo tako, da je izhodisce v sredini rotirane slike. Os xkaze v sliko, osi y in z pa proti levemu in zgornjemu robu slike. Za vsak trenutek t ∈ [tS, tS +Δt]

- -

Kuhljevi dnevi 2018

izracunamo α =∫ t

tSψ′

cosϕ dt, trenutni kot med vektorjem hitrosti (lezecim v ravnini x− y) in osjo

x.

Izraz (x,y) =(∫ t

tS vcosαdt,∫ t

tS vsinαdt), kjer je v skalarna GPS hitrost, poda koordinati tocke

v kateri se ob casu t nahaja motorno kolo glede na trenutno sliko. Ce za posamezno sliko za

vse case med tS in tS +Δt izracunamo koordinate tock, tocke narisemo na sliko, ta postopek pa

ponovimo za vsako sliko, se bo na videu dinamicno izrisovala projicirana pot motornega kolesa.

3.2 Umerjanje optike

Koordinati tocke (x,y) sta podani v “realnem svetu”. Da bi tocko lahko narisali na sliko, je

potrebno umeriti opticni del — dolociti kateri piksel na sliki ustreza tocki.

3.3 Rezultati

Slika 4: Projicirana pot motornega kolesa

Na sliki 4 sta dva primera projicirane poti. Na levi sliki je na vsake 0.25s narisana crta, katere

zgornje krajisce je v osi kamere v tistem trenutku, spodnje krajisce pa se dotika tal. Spodnja

krajisca so med seboj povezana in nakazujejo pot koles po cestiscu. Barve poti nakazujejo

vzdolzno dinamiko: zeleno pospesevanje, rdece zaviranje in rumeno konstantno hitrost.

Na desni sliki pa je projicirana pot sestavljena iz paralelogramov visine 1.8m in sirine 0.8m,

ki predstavljajo tipicne meje narisa motorista na motornem kolesu. Na tej sliki sta tudi vidna

hitrost (levi kazalnik) in prikaz dinamicnega stanja vozila (desni kazalnik). Na tem kazalniku

rumena tocka prikazuje sile, ki delujejo na motorno kolo — v navpicni smeri na sliki pospesek in

pojemek, v vodoravni smeri na sliki pa precno, centripetalno silo. Z rumeno crtico in stevilom je

nakazan svetovni naklon motorja, z modro-zeleno crtico in stevilom pa dinamicni kot, dolocen

z radijem ovinka in hitrostjo motornega kolesa, ϕD = arctan v2

Rg .

4 Simulacija vida

Pogost problem pri voznikih zacetnikih (tudi voznikih avtomobila) je osredotocanje pogleda

na tocko blizu vozila, namesto na tocko, ki je 3 – 4s oddaljena od vozila. Poleg krajsega

- -

Kuhljevi dnevi 2018

razpolozljivega casa med zaznavo problema in trenutkom, ko vozilo doseze lokacijo problema,

je poslabsana tudi sama zaznava problema.

Slika 5: Locljivost cloveskega ocesa v 1/(locna minuta)

Locljivost cloveskega ocesa namrec strmo pada s kotom med opazovanim predmetom in opticno

osjo [10], kot kaze slika 5. Vrednosti prebrane z grafa so bile prenesene v tabelo, slabsa

locljivost pa simulirana s spremembo parametra σ Gaussovega filtra za zameglitev slike. Vre-

dnost je bila najmanjsa v srediscni tocki pogleda, proti robu pa je narascala v obratnem soraz-

merju z locljivostjo.

Slika 6: Primer zamegljenega vida

Na sliki 6 je predstavljena primerjava med pogledom s srediscno tocko pogleda 1s (levo) in

4s (desno) pred motornim kolesom. Kolesarja, oznacena z rumenim krogom, sta na desni sliki

vidna. Na levi sliki pa sta samo zmazek, ki se skrije v ozadju. V tem primeru sta kolesarja jasno

vidna sele 1.2s kasneje. Pri hitrosti 80km/h pomeni to okoli 25m manj prostora za reakcijo.

V realnosti so seveda razmere bolj kompleksne, periferni vid je, na primer, bolj obcutljiv na

premike. Zato lahko gledamo na ta primer zgolj kot na ilustracijo ene izmed posledic slabo

izbrane tocke pogleda.

- 7 -

Kuhljevi dnevi 2018

5 Zakljucek

Ogledali smo si razvoj in rezultate uporabe kompleta programov za virtualno ziroskopsko ka-

mero.

Nekaj moznih izboljsav je: a) Uporaba kvaternionov za racun kotov iz kotnih hitrosti, kajti pre-

prosti pristop ne deluje najbolje v dinamicno zahtevnih okoljih, kot so serpentine — horizont

vcasih ostane neporavnan do naslednje serpentine v drugo smer; b) Sinhronizacija videa in po-

datkov brez uporabe posebne aplikacije in WiFi dostopa do kamere, kar bi lahko bilo izvedljivo

s sinhronizacijo zvoka, zajetega na kameri in Android napravi; c) Izboljsanje uporabniskega

vmesnika, ki je trenutno mesanica rocnega kopiranja datotek s kamere in Android naprave ter

Python skript, ki se poganjajo iz ukazne vrstice. Zaradi pomanjkanja resursov in komercialnega

interesa pa je malo verjetno, da se bo razvoj nadaljeval.

Nekateri izmed videov, iz katerih so bile zajete slike v clanku, so na voljo na spletnem naslovu

https://www.youtube.com/playlist?list=PL9aufGfR6BEqyhb2JGJTDVjjESf0efpMN

Literatura

[1] MotoGP News, MotoGP Celebrates 30 Years of Onboard Race Camera Tech-nology, spletna stran https://www.motorcyclistonline.com/motogp-racing-celebrates-30-

years-onboard-camera-technology-dorna-sports-board-cam, 2015

[2] B. Cope, Rossi Debuts Gyroscopic Onboard Camera, spletna stran

https://www.visordown.com/news/racing/moto-gp/rossi-debuts-gyroscopic-onboard-

camera, 2010

[3] Dareware Labs, The MotoGP Gyro Camera — Quick Glance, spletna stran

http://darewarelabs.com/the-motogp-gyro-camera/, 2015

[4] J. Kalin, GoPro GPS, spletna stran

https://play.google.com/store/apps/details?id=si.kalin.goprogps, 2014

[5] STMicroelectronics, MEMS digital output motion sensor ultra low-power high perfor-mance 3-axes ”nano”accelerometer, doc ID 15094 Rev 3, STMicroelectronics, 2009

[6] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T., Vetterling, B. P. Flannery, Numerical Recipes: TheArt of Scientific Computing. Third Edition, Cambridge University Press, 2007

[7] Wikipedia contributors, Angle of view — Wikipedia, The Free Encyclopedia, spletna stran

https://en.wikipedia.org/wiki/Angle of view, 2018

[8] OpenCV (Open Source Computer Vision Library), spletna stran https://opencv.org/, 2018

[9] FFmpeg — A complete, cross-platform solution to record, convert and stream audio andvideo, spletna stran https://www.ffmpeg.org/, 2018

[10] Th. Wertheim, translated by I. L. Dunsky, Peripheral Visual Acuity, American Journal of

Optometry & Physiological Optics, Vol. 57, No. 12, pp. 915-924, American Academy of

Optometry, 1980

- -

SLOVENSKO DRUTVO ZA MEHANIKO

SREANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Efektivne elasticne lastnosti periodicnega materiala stetragonalno simetrijo

George Mejak1

Effective linear elastic properties of materials with periodicmicrostructure with tetragonal symmetry

Povzetek. Obravnavan je izracun efektivnih elasticnih modulov periodicnega materiala s tetrago-

nalno simetrijo s pomocjo metode homogene lastne deformacije. Ugotovljeno je, da pri majhnem

odstopanju deformacije od njene povprecne vrednosti metoda konvergira. Metoda je uporabljena na

primeru periodicne mikrostrukture s kuboidnim vkljuckom.

Abstract. Homogeneous eigenstrain approximation of the effective elastic moduli of periodic

materials with tetragonal symmetry is studied. It is proved that the approximation is convergent

if fluctuations of the strain around its average value converges to zero. Viability of the method is

illustrated on the microstructure with a cuboidal inclusion.

1 Uvod

Sodobna tehnologija, naprimer prostorsko tiskanje, omogoca izdelavo materialov, pravimo jim

metamateriali, ki jih v naravi ne najdemo. Posebni razred teh metamaterialov so materiali s

periodicno tankostensko strukturo. Za dolocene strukture imajo ti materiali nenavadne fizikalne

lastnosti, kot so naprimer negativni lomni kolicnik ali negativna dielektricnost in magnetna

permeabilnost [1]. V ta razred spadajo tudi materiali z negativnim Poissonovim kolicnikom.

Pri konstrukciji teh materialov pa moramo poleg iskanja zeljene fizikalne lastnosti paziti tudi

na konstrukcijsko trdnost. Osnova njene trdnosti je poznavaje efektivnih elasticnih modulov.

Te lahko dolocimo s pomocjo periodicne homogenizacije, ki pa zahteva numericno resevanje

sistema robnih nalog. Za tankostensko strukturo potrebujemo fino diskretizacijo, ki pa ima

veliko racunsko zahtevnost. Zato je na mestu iskanje enostavnejse in se vedno dovolj natancne

aproksimacije izracuna efektivnih lastnosti.

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko

Kuhljevi dnevi 2018

V [2] in [3] smo porocali, da je taka enostavna in dovolj tocna aproksimacija aproksimacija s

homogeno lastno deformacijo. Za primer kubicne simetrije smo tudi izpeljali aproksimacijo v

obliki zaprte formule in na primerih pokazali, da kvaliteta aproksimacije narasca s tanjsanjem

debeline stene tankostenske strukture. V tem prispevku bomo rezultat razsirili na mikrostruk-

turo s tetragonalno simetrijo in dokazali izrek, ki zagotavlja kdaj je metoda homogene lastne

deformacije dobra aproksimacija.

V prispevku bomo prvo na kratko predstavili metodo homogene lastne deformacije in dokazali

zgoraj omenjeni izrek. Nato se bomo osredotocili na strukturo s kuboidnim vkljuckom v kubo-

idni osnovni celici. Vpeljali bomo algebro tenzorjev cetrtega reda s tetragonalno simetrijo in z

njeno pomocjo reducirali Fourierovo reprezentacijo Eshelbyjevega tenzorja na sumiranje stirih

vrst. Prispevek bomo zakljucili s konkretnim primerom.

2 Homogena lastna deformacija

Izhodisce metode, ki je obsirnejse predstavljena v [3] in [4] je enacba enakovredne lastne de-

formacije za ε∗ ∈ Sim2, ki se glasi 2

C(x) : (e′+ eb) =C

0:(

e′+ eb− ε∗

). (1)

Tu je Sim2 prostor simetricnih tenzorjev drugega reda nad R3, e

b∈ Sim2 predpisan infinite-

zimalni deformacijski tenzor, C = C(x) pa je elasticni tenzor definiran na enotski celici Y =[−a1π,a1π]× [−a2π,a2π]× [−a3π,a3π], ki je unija vkljucka Yi in matrike Y0 = Y \Yi. Privzeli

bomo, da je C izotropicen ter odsekoma konstanten z vrednostjo Ci

na Yi in C0

na Y0 in da je

C0

pozitivno definiten. Enacbi (1) je prirejena robna naloga: najdi u′, da je

divC0

:(

e′ − ε∗)= 0 v Y in

⟨e′⟩= 0. (2)

Naloga (2) je linearna v ε∗. Potemtakem obstaja linearni operator S tako, da je e′ = Sε∗. Ope-

ratorju pravimo Eshelbyjev operator. Njegova norma je omejena s kvocientom najvecje z naj-

manjso lastno vrednostjo C0, ‖S ‖ ≤ γ max

0 /γ min0 . S kombinacijo (1) in (2) dobimo enacbo

ε∗ = C :(

Sε∗+ eb

)na Yi, (3)

kjer je C = C−10

:(

C0−C

). Enacbi (3) pravimo enacba ekvivalentne lastne deformacije.

Enacba je linearna v eb, zato je njena resitev ε∗ dana z ε∗ = Z e

b, kjer je Z linearen opera-

tor. Iz (3) potem sledi, da na Yi velja e = C−1Z e

b. Ta formula dani makro deformaciji e

bpredpise vrednost deformacije e na vkljuckih.

2 Tenzorje prvega, drugega in cetrtega reda bomo oznacevali z a, a and A. Enotski tenzor drugega reda je i, enotski

simetricni tenzor cetrtega reda pa I.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

2.1 Linearni efektivni elasticni moduli

Efektivni elasticen tenzor Cef

povezuje povprecno napetost s povprecno deformacijo. Znano je,

da je potem efektivni elasticni tenzor dan s formulo

Cef=C

0+ f

(C

i−C

0

): A =C

0:(

I − f C : A), (4)

kjer je f = |Yi |/ |Y | volumenski delez vkljucka, A pa je tenzor koncentracije, ki povezuje

povprecno deformacijo na vkljuckih s povrecno deformacijo na enotski celici,⟨

e⟩

i= A : e

b.

Tako dobimo

Cef=C

0:(I − f 〈Z 〉i

). (5)

Vidimo, da je efektivni elasticni tenzor natanko dolocen z resitvijo enacbe ekvivalentne lastne

deformacije (3).

V [4] je dokazano, da resitev ekvivalentne lastne deformacije minimizira funkcional

I(ε∗) =1

2

∫Yi

ω(y)ε∗ : C0

:((C)−1 : ε∗ −S : ε∗ −2e

b

)dy. (6)

na prostoru s kvadratom sumabilnih simetricnih tenzorjev drugega reda L2(Sym2) na Yi. Tu je

ω(y) = 1, ce je C0> C

iin ω(y) = −1 za C

0< C

i. Funkcija ω zagotavlja, da je funkcional

pozitivno definiten. Ker v prispevku iscemo enostavno obliko aproksimacije, funkcional ome-

jimo na prostor homogenih simetricnih tenzorjev drugega reda. Pripadajoca Euler–Lagrangeeva

enacba je

eb= (C)−1 : ε∗

0−⟨

Sε∗0

⟩i. (7)

Njeno resitev zapisemo v obliki ε∗0= Z : e

b, efektivni elasticni tenzor pa aproksimiramo s

Cef=C

0:(I − f Z

). (8)

Poskusimo sedaj oceniti napako aproksimacije. Za dano makro deformacijo eb

je

(Cef−C

ef) : e

b= f C

0:(⟨

ε∗⟩

i− ε∗

0

)=

f|Yi |C

0:

∫Yi

(ε∗(y)− ε∗

0

)dy, (9)

kjer sta ε∗ in ε∗0

resitvi (3) in (7) za dani eb. Potem

∣∣∣(Cef−C

ef) : e

b

∣∣∣≤ f∣∣∣C

0

∣∣∣√|Yi |∥∥∥ε∗ − ε∗

0

∥∥∥ . (10)

Tu smo z |• | zapisali 3 normo na prostoru tenzorjev cetrtega reda, ki jo porodi Frobeniusova

norma na Sym2, z ‖•‖ pa L2 normo tenzorjev Sym2 definiranih na Yi. Dokazimo sedaj, da je∥∥∥ε∗ − ε∗0

∥∥∥≤C∥∥∥ε∗ −

⟨ε∗⟩

i

∥∥∥ za neko konstanto C neodvisno od f . Res, definirajmo

a(η∗,ε∗) =1

2

∫Yi

ω(y)ε∗ : C0

:((C)−1 : ε∗ −S : ε∗

)dy, b(η∗) =

∫Yi

η∗ : C0

: eb

dy. (11)

3 Tu in v nadaljevanju doloca pomen simbola |• | njegov argument. Ce je argument mnozica, je to volumen

mnozice, ce je tenzor, je njegova norma.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Potem I(ε∗) = a(ε∗,ε∗)−b(ε∗), resitvi ε∗ in ε∗0

pa zadoscata variacijskima enacbama

a(η∗,ε∗) = b(η∗) za vsak η∗, a(η∗0,ε∗

0) = b(η∗

0) za vsak η∗

0. (12)

Tu je η∗ ∈ L2(Sym2), η∗0∈ Sym2 pa je homogeni tenzor. Iz (12) potem sledi a(ε∗ −ε∗

0,η∗

0) = 0

in po krajsem racunu za η∗0= ε∗

0−⟨

ε∗⟩

i

a(ε∗ −⟨

ε∗⟩

i,ε∗ −

⟨ε∗⟩

i) = a(ε∗ − ε∗

0,ε∗ − ε∗

0)+a(ε∗

0−⟨

ε∗⟩

i,ε∗

0−⟨

ε∗⟩

i) (13)

Upostevajmo sedaj, da je forma a pozitivno definitna [4]. Potem

γ∥∥∥ε∗ − ε∗

0

∥∥∥2

≤ a(ε∗ − ε∗0,ε∗ − ε∗

0)≤ a(ε∗ −

⟨ε∗⟩

i,ε∗ −

⟨ε∗⟩

i)≤C

∥∥∥ε∗ −⟨

ε∗⟩

i

∥∥∥2

, (14)

kjer je γ najmansa lastna vrednost tnezorja ωC0

:

((C

0−C

i

)−1 −C−10

): C

0, konstanta C pa

je po (2) in (12) oblike c2∣∣∣C

0

∣∣∣, kjer je konstanta c neodvisna od koncentracije f . Vstavimo

(14) v (10). Tako dobimo

∣∣∣(Cef−C

ef) : e

b

∣∣∣≤ c f∣∣∣C

0

∣∣∣3/2

√γ |Yi |

∥∥∥ε∗ −⟨

ε∗⟩

i

∥∥∥=C√

f∥∥∥ε∗ −

⟨ε∗⟩

i

∥∥∥ , (15)

kjer smo s C zapisali konstantno, ki je odvisna samo od C0

in Ci

in |Y |. Iz (12) sledi, da je∥∥∥ε∗∥∥∥≤C f , in tako ∣∣∣C

ef−C

ef

∣∣∣≤C f√

f . (16)

Vidimo, da je pri majhni koncentraciji aproksimacija s homogeno lastno deformacijo reda f 3/2.

Za tankostenske strukture, ko je f blizu maksimalne koncentracije, ocena (16) nic ne pove. V

tem primeru aproksimacijo ocenimo z dodatno predpostavko na fluktuacijo deformacije.

Iz (3) sledi

ε∗ −⟨

ε∗⟩

i= C :

(Sε∗ −

⟨Sε∗

⟩i

)= C :

(e′ −⟨

e′⟩

i

). (17)

Zapisimo fluktuacijo e′ na Yi v obliki e′ =⟨

e′⟩

i+o. Potem∣∣∣C

ef−C

ef

∣∣∣≤C√

f∥∥o

∥∥ . (18)

Dokazali smo, ce je fluktuacija o majhna in gre s f → f0 proti nic, potem efektivni moduli

homogene aproksimacije lastne deformacije konvergirajo pri f → f0. Tu je lahko f0 katerakoli

vrednost na intervalu [0,1]. V [5] je bilo ugotovljeno, da je za kubicno, oktetno in kubicno–

oketetno strukturo fluktuacija deformacije majhna, zato, kot je bilo pokazano v [2], homogena

aproksimacija lastne deformacije zagotovlja dobro aproksimacijo efektivnih lastnosti.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

3 Kuboidni vkljucek

Omejili se bomo na enotsko celico z a1 = a2 in kuboidni vkljucek Yi = [−a1δ1π,a1δ1π]×[−a2δ1π,a2δ1π]× [−a3δ3π,a3δ3π], ki je postavljen srediscno in vzporedno s celico. Pri tej

geometriji ima struktura tetragonalno simetrijo T , ki jo generirajo rotacije za kot π/2 okrog

osi z in rotaciji za π okrog osi x in y. Pripadajoci prostor simetricnih tenzorjev cetrtega reda s

simetrijo v prvem in drugem paru indeksov oznacimo z T4. Prostor je sedem razsezen, njegovo

bazo pa sestavljajo tenzorji Ek, k = 1, . . .7 izbrani tako, da je

E11111

= 1, E21122

= 1, E31133

= 1, E41212

= 1, E51313

= 1, E63311

= 1, E73333

= 1. (19)

Velja opozoriti, da tenzorji iz T4 nimajo glavne simetrije, simetrije prvega in drugega parov

indeksov. Zato v bazi nastopata E3 in E6. Glavni simetriji smo se odrekli zato, ker je Eshelbyjev

tenzor brez nje. Prostor T4 identificiramo s sedmerico njegovih komponent. Produktu na T4

pripada produkt sedmeric

A : B ≡ a.b = (a1b1 +a2b2 +a3b6,a2b1 +a1b2 +a3b6,

(a1 +a2)b3 +a3b7,2a4b4,2a5b5,a6 (b1 +b2)+a7b6,2a6b3 +a7b7) . (20)

Vidimo, da produkt ni komutativen, ker T4 nima glavne simetrije. Enota je tenzor s kompo-

nentami i = (1,0,0, 12, 1

2,0,1). Izkaze se, da ima dani tenzor levi inverz natanko takrat, ko ima

desni. Potemtakem sta levi in desni inverz enaka is sta dana s formulo

A−1 ≡ a−1 =

(a1a7 −a3a6

(a1 −a2)((a1 +a2)a7 −2a3a6),

a3a6 −a2a7

(a1 −a2)((a1 +a2)a7 −2a3a6),

a3

2a3a6 − (a1 +a2)a7,

1

4a4,

1

4a5,

a6

2a3a6 − (a1 +a2)a7,

a1 +a2

(a1 +a2)a7 −2a3a6

)(21)

pri pogoju a1 = a2, a4 = 0, a5 = 0, 2a3a6 = (a1 +a2)a7.

Fourierovi koeficienti karakteristicne funkcje χ(Yi) vkljucka so za m = 0 enaki

c(m) =1

|Y |∫

Yχ(Yi)e−im·a·y dy =

sin(πδ1m1)sin(πδ2m2)sin(πδ3m3)

π3m1m2m3. (22)

Tu smo z m oznacili trojico (m1,m2,m3), z a pa diagonalno matriko z elementi ai, i = 1,2,3.

Formula (22) velja tudi v limiti, ko niso vsi indeksi m enaki nic. Resitev naloge (2) je

e(x) = Sε∗ = ∑|m | =0

K(m) : ε∗(m)eim·a·x, (23)

kjer je

K(m) =2

|m |2 m⊗ i⊗m+ν

1−ν· 1

|m |2 m⊗m⊗ i− 1

1−ν· 1

|m |4 m⊗m⊗m⊗m. (24)

m-ta amplituda Eshelbyjevega tenzorja, glej [3]. Tu je ν Poissonov kolicnik matrike, ε∗(m) pa

je Fourierov koeficient lastne deformacije ε∗. Vidimo, da K(m) nima glavne simetrije. Iz (24)

sledi, da je⟨Sε∗

0

⟩i=

⟨∑

|m | =0

c(m)K(m) : ε∗0eim·a·x

⟩i

=1

f ∑|m | =0

c(m)2K(m) : ε∗0= S

0: ε∗

0. (25)

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Tu smo upostevali, da je c(m) = c(−m). Za vsako rotacijo Q ∈ T je c(Qm) = c(m). Potem je

S0=

1

f ∑|m | =0

c(m)2K(m), (26)

kjer je

K(m) =1

|T | ∑Q∈T

K(Qm)≡ k (27)

tetragonalna simetrizacija tenzorja K(m). Direktni racun pokaze, da je

k =1

1−νa+

ν1−ν

b, (28)

kjer sta a in b neodvisna materialnih parametrov za katere velja a4 = a1 + 2a2 + a3, a6 = a3,

a7 = −a1 − a2 − 5a3 + 2a5 ter b2 = −b1, b3 = −b1, b4 = b1, b7 = −b6, b5 = b1/2− b6/2.

Neodvisni koeficienti so tako a1, a2, a3, a5, b1 in b6, ki jih lahko zapisemo v obliki

a1 = s1+2s2+2s3, a2 =−s2, a3 =−s3, a5 =1

2(s1+s2+s3+s4), b1 =−s5, b2 = s6,

kjer je

s1 =m4

1

π6(m2

1 +m22 +m2

3

)2, s2 =

m21m2

2

π6(m2

1 +m22 +m2

3

)2,

s3 =m2

1m23

π6(m2

1 +m22 +m2

3

)2, s4 =

m43

π6(m2

1 +m22 +m2

3

)2,

s5 =m2

1

π6(m2

1 +m22 +m2

3

) , s6 =m2

3

π6(m2

1 +m22 +m2

3

) . (29)

Kot vidimo iz (26) moramo sesteti vrste

βk = βk(δ1,δ2,δ3) = ∑|m | =0

sk(m)c(m)2, k = 1, . . . ,6. (30)

Iz simetrij koeficientov c(m) in sk vidimo, da velja β3(δ1,δ2,δ3)= β2(δ1,δ3,δ2), β4(δ1,δ2,δ3)=β1(δ3,δ2,δ1), β6(δ1,δ2,δ3) = β5(δ3,δ2,δ1). Sesteti moramo tako stiri vrste. Vrste βk niso ele-

mentarne, zato jih aproksimiramo s koncnimi vsotami. Ker je konvergenca relativno pocasna,

velja |βk | ≤ (m1m2m3)−2, je potrebno za vsak par δ1 in δ3, sedaj upostevamo, da je δ2 = δ1,

sesteti veliko stevilo clenov. Z uporabo izreka o residuemu [6] pa lahko trojno sumacijo nado-

mestimo z dvojno. Izkaze se, da je tako dobljena dvojna vrsta zelo hitro konvergentna.

Po sumaciji vrst βk tako dobimo iz (26) Eshelbyjev tenzor

S0≡ S0 = (S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7). (31)

Ker K(m) nima glavne simetrije, jo nima niti S0. Od tod sledi, da je nima niti Z in niti C

ef. Po

drugi strani pa jo po (5) ima Cef

. Odstopanje od glavne simetrije je tako lahko mera kvalitete

aproksimacije.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

4 Efektivne lastnosti

Z uporabo tetragonalne algebre (20–21) in (31) dobimo aproksimacijo Cef

v zaprti obliki. For-

mule so precej obsezne, zato zaradi pomanjkanja prostora zapisimo samo strizna modula v

brezdimenzijskem zapisu glede na strizni modul matrike

μr13 = 1+

f 2(μr −1)(ν−1)

f (ν−1)− (μr −1)(−β5ν−β6ν+β1 +β2 +β3 +β4),

μr23 = 1+

f 2(μ−1)(ν−1)

f (ν−1)−2(μ−1)(−β5ν+β1 +β3), (32)

kjer je μr kvocient striznih modulov vkljucka in matrike, ν pa je Possonov kolicnik matrike.

4.1 Numericni primer

Obravnavali bomo dva primera, palicni izotropicni kuboidni vkljucek dimenzije δ1 = δ2 = 0.1z Ei = 70GPa, νi = 0.2 v matriki dimenzije a1 = a2 = a3 z Em = 3GPa, νm = 0.35 in kuboidno

votlino δ1 = δ2 = 0.95 v matriki dimenzije a1 = a2 = a3 z νm = 0.4. V prvem primeru za

δ3 ∈ [0,1] koncentracija f tece od 0 do 0.01, v drugem primeru pa je f ∈ [0.81225,0.9025] za

δ3 ∈ [0.9,1]. Prvi primer modelira periodicni kompozit z vlaknasto mikrostrukturo, drugi pa

tankostensko strukturo.

0.002 0.004 0.006 0.008 0.0103.03.13.23.33.43.53.63.7

0.000 0.002 0.004 0.006 0.0080.0

0.5

1.0

1.5

Slika 1 : Kuboidni vkljucek; levo : dimenzijska Youngova modula E1(+) in E3(×), desno

relativna napaka E1, E3 in μ13(◦) v odvisnosti od koncentracije f .

Efektivne module aproksimirane s homogeno lastno deformacijo bomo primerjali z efektivnimi

moduli, ki smo jih izracunali s homogenizacijo z uporabo koncnih elementov [3], [7]. Primer-

jave izracunov so dane v slikah 1 in 2. Na sliki 1 vidimo, da relativna napaka z f → 0 gre hitreje

kot linearno proti nic, kar se lepo ujema z oceno (16). Opazimo tudi, da se napaka zmanjsuje

tudi pri f → 0.01 in da je vecja za Youngov modul E3 v smeri osi z kot za Youngov modul E1

v smeri x. Podoben sklep velja tudi za ostale module. Na osnovi te primerjave zakljucujemo,

da je aproksimacija s homogeno lastno deformacijo dobra aproksimacija, njene formule v za-

prti obliki pa omogocajo v primerjavi z ostalimi metodami hiter in enostaven izracun efektivnih

modulov.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

0.82 0.84 0.86 0.88

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.82 0.84 0.86 0.880

1

2

3

4

5

Slika 2 : Kuboidna votlina; levo : brezdimenzijska Youngova modula E1(+) in E3(×), desno

relativna napaka E1, E3 in μ13(◦) v odvisnosti od koncentracije f .

Na sliki 2 je podana primerjava za kuboidno votlino. Sedaj napaka aproksimacije monotono

pada z f , ko gre ta proti maksimalni koncentraciji. To je v skladu (18) in ugotovitvijo [5], de-

jansko samo za kockasto votlino, da je deformacija v tankostenski matriki zelo blizu homogeni

deformaciji. Tu velja opozoriti, da smo strogo gledano (18) izpeljali pri predpostavki, da je Ci

pozitivno definiten, kar v primeru votline ni. Vendar z limito Ci→ 0 lahko posplosimo (18)

tudi na ta primer. Primerjava v sliki 2 je samo do f = 0.893, saj je za se vecje koncentracije

stena pretanka za diskrtizacijo na koncne elemente. Na podlagi slike 2 zakljucujemo, da je tudi

v primeru kuboidne votline aproksimacija s homogeno lastno deformacijo dobra. Omenimo, da

ja aproksimacija se boljsa za tankostenski kompozit s kuboidnim vkljuckom.

Literatura

[1] F. Capolino, Theory and Phenomena of Metamaterials, CRC Press, 2009.

[2] G. Mejak, Efektivne elasticne lastnosti periodicnega materiala z oktetno mikrostrukturo,

Kuhljevi dnevi 2017, 65–72, 2017.

[3] G. Mejak, High concentration ratio approximation of linear effective properties of materi-als with cubic inclusions, Coupled Systems Mechanics, 7, 61 – 77, 2018.

[4] G. Mejak, Variational formulation of the equivalent eigenstrain method with an applicationto a problem with radial eigenstrains’, Int. J. Solids Struct., 51, 1601–1616, 2014.

[5] J. B. Berger, H. N. G. Wadle in R. M. McMeeking, Mechanical metamaterials at thetheoretical limit of isotropic elastic stiffness, Nature, 543, 533–537, 2017.

[6] P. Henrici, Applied and Computational Complex Analysis - Vol 1: Power Series, Integra-tion, Conformal Mapping, Location of Zeros, Wiley, New York, 1977.

[7] G. Mejak, Izracun efektivnih elasticnih lastnosti kubicne strukture, Kuhljevi dnevi 2015,

105–122, 2015.

- -

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Inverzna določitev parametrov materialnega modela duktilne poškodbe

Branko Nečemer1, Matej Borovinšek2, Tomaž Rodič3, Lovre Krstulović-Opara4inMatej Vesenjak5

Inverse determination of the ductile damage material model parameters

Povzetek. V prispevku je predstavljen inverzni postopek za določanje konstitutivnih parametrov modela duktilne poškodbe. Na podlagi eksperimentalno izvedenih kvazi-statičnih nateznih preizkusov je bil izveden inverzen postopek določitve materialnih parametrov numeričnega modela z uporabo optimizacije. Optimizacija je izvedena sprimerjavo odziva numeričnega modela in eksperimenta v diagramu sila-pomika. Razlika obeh krivulj je služila kot namenska funkcija optimizacije z genetskim algoritmom za določitev materialnih parametrov numeričnega modela nateznega preizkusa. V študiji je predstavljena uporabna računska metodologija za natančno določitev materialnihparametrov, ki se lahko uporabijo za nadaljnje numerične simulacije širjenja poškodb pri modelih z različnimi geometrijami in kvazi-statičnem režimu obremenjevanja.

Abstract. The paper presents an inverse process for determining the Ductile Damageconstitutive parameters. Based on the experimental quasi-static tensile tests an inverse process for determining the material parameters of the numerical model was performed byoptimization. The optimization is performed by comparing the numerical and experimental results in the force-displacement diagram. The difference between both curves has been applied as the optimization objective function in the genetic algorithm to determine the tensile material parameters of the computational model. In the study is presented a useful computational methodology for an exact determination of the ductile damage parameters,

1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Slovenija.2 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Slovenija.3 Univerza v Ljubljani, Naravoslovnotehniška fakulteta, Slovenija.4 Univerza v Splitu, Fakulteta za elektrotehniko, strojništvo in ladjedelništvo v Splitu, Hrvaška.5 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Slovenija.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

which can be used for further numerical simulations of the damage propagation in models with different geometries and at quasi-static loading regime.

1 Uvod

V inženirski praksi poteka intenziven razvoj na področju eksperimentalne karakterizacije mehanskih lastnosti materialov. Potreba po poenostavitvi napovedovanja loma oz. poškodbe materiala je v inženirski praksi zelo pogosta. V te namene so bili razviti številni materialni modeli, ki opisujejo poškodbo oz. lom. Lom je lokalna ločitev predmeta ali materiala, ki je posledica vplivov napetosti in deformacije. Odvisno od pogojev je lahko proces loma krhek ali duktilni. Za krhek lom je značilno hitro razmnoževanje razpok brez večje plastične deformacije, za kar je potrebna nizka deformacijska energija, ki se nabira in kopiči v materialu. V primeru duktilnega loma poznamo dve kategorije poškodbe [1]:

prazne nukleacije in modeli rasti (upoštevajo mikromehanizem poškodbe,vendar so posledica fenomenoloških podob, kot so razne poenostavitve),empirični modeli (temeljijo neposredno na osnovi fenomenologije).

Mikromehanski in izključno empirični pristop uporabljata parametre kumulativnega stanjapoškodbe. Poškodba se povečuje na osnovi plastične deformacije, pri približevanju njeni kritični vrednosti pa kaže na lokalno odpoved materiala. Uporaba le-teh nakazuje, da je od mikromehanske ali čisto empirične osnove materialnih modelov za duktilne poškodbe bolj pomembno število parametrov za umerjanje in validacijo eksperimentov. Več parametrični materialni modeli, ki boljše opišejo materialno dogajanje, zahtevajo več poskusov in so dražji. Materialni modeli duktilne poškodbe temeljijo na odvisnosti dejanskega plastičnega odziva, v našem primeru nateznega preizkusa. Kot je navedeno zgoraj, je kopičenje energije, ki je potrebna za poškodbo materiala, nadzirana s strani plastične deformacije. Če plastični odziv ni odvisen od poškodb, je model razvrščen kot nespremenjen. V nasprotnem primeru se imenuje povezani model duktilne poškodbe ali model plastične poškodbe. Modeli, ki opisujejo plastično poškodbo, so v splošnem natančnejši vendar je njihovo kalibriranje običajno bolj zahtevno. Glavna prednost modelov, v katerih plastični odziv ni odvisen od poškodb, je možnost kalibriranja plastičnega odziva in meritev poškodbe posebej. Modele duktilneodpovedi, ki so zajeti v programskem paketu Abaqus, je mogoče opredeliti kot izključno empirične modele. Vsi uporabljajo enostavna merila za določene vrste materialov in posebne pogoje obremenitve. Proces optimizacije teh modelov je sestavljen iz dveh faz (slika 1):

kalibriranje linearno-elastičnega in plastičnega dela krivulje (a- d');kalibriranje parametrov za razvoj poškodbe (b-d).

Slika 1: Odziv materiala pri nateznem preizkusu [1]

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Razvoj poškodbe na tovrstnih materialnih modelih predstavlja postopno izgubo materialne togosti v lokalni materialni točki. Začne se šele z začetkom poškodb, ki se počasi približuje kritični vrednosti. Ko je kritična vrednost dosežena, material popolnoma izgubi togost, kar vodi do porušitve oz. odpovedi materiala.

2 Materialni model duktilne poškodbeMaterialni model duktilne poškodbe temelji na fenomenološkem kriteriju za napovedovanje pojava poškodb zaradi nukleacije, rasti in koalescence praznin. Kriterij za začetek loma je izpolnjen, ko je izpolnjen pogoj:

V enačbi (1) predstavlja spremenljivko stanja monotonosti krivulj s plastično deformacijo. Če je parameter enak 0, pomeni, da je material nepoškodovan, v primeru, da je parameter enak 1, pa je gradivo popolnoma poškodovano. Model temelji na predpostavki, da je plastična deformacija pri nastanku loma funkcijatriaksialnosti

V enačbi (2) predstavlja hidrostatično napetost in primerjalno von Mises napetost.Prvi korak pri umerjanju poškodbenih parametrov je identifikacija kritičnega podaljšanja nateznega preizkušanca. Pri tem podaljšanju lahko opazimo močno znižanje eksperimentalnega poteka krivulje, ki kaže na začetek loma (točka c na sliki 1).Analiza po metodi končnih elementov omogoča razvoj napetosti in deformacije vkritičnih točkah, ki omogočajo ocenjevanje merila [2] v odvisnosti od .Parametri, ki pomembno vplivajo na duktilno poškodbo in so zajeti v materialnem modelu, so: plastična deformacija, triaksialnost napetosti, deformacijska hitrost in temperaturni vpliv, ki v tej študiji ni bil upoštevan. Materialni model, ki opisuje duktilni lom, je v našem primeru sestavljen iz dveh delov, in sicer: (i) začetek poškodbe (točka, pri kateri se prične togost gradiva zmanjševati) in (ii) končna porušitev (točka,pri kateri pride do odpovedi gradiva). Prvi del oz. iniciacija poškodbe je izražena zlomno deformacijo (točka c na sliki 1), triaksialnostjo napetosti in deformacijsko hitrostjo. Drugi del oz. končna porušitev je določena s parametrom, ki opisuje končno odpoved gradiva (točka d na sliki 1). Od teh štirih parametrov sta vrednosti parametra triaksialnosti napetosti in deformacijske hitrosti znana, medtem ko sta ostala dva parametra določena z inverznim postopkom.Parameter triaksialnosti napetosti je določen na podlagi definicije mehanikekontinuuma in znaša 0,33, medtem ko deformacijska hitrost za kvazi-statičen režim obremenjevanja znaša 0,001 s-1.

(1)

(2)

Kuhljevi dnevi 2018

- -

3 Eksperimentalni natezni preizkus

Natezni preizkušanci so bili izdelani iz aluminijeve zlitine z oznako Al7075-T651. Dimenzije preizkušanca so podane na sliki 2. Preizkušanci so bili izrezani z vodnim curkom iz 3 mm debele pločevine.

Slika 2: Dimenzije nateznega preizkušanca

Kvazi-statični natezni preizkusi so bili izvedeni na nateznem trgalnem stroju INSTRON 8801. Preizkušanci so bili obremenjeni s kontrolo pomika. Pomik je bil merjen z ekstenziometrom na vratu oz. merilnem delu nateznega preizkušanca. Da je bil dosežen reprezentativni vzorec nateznih preizkusov, je bilo izvedenih pet nateznih preizkusov. Na sliki 3 so podani kvazi-statični odzivi nateznih preizkušancev.

Slika 3: Kvazi-statični odziv nateznih preizkušancev

Iz vseh petih eksperimentalnih izmerjenih odzivov je bil izračunan povprečni odziv poteka sile v odvisnosti od pomika, ki je bil uporabljen za inverzno določitev osnovnih kot tudi materialnih parametrov duktilne poškodbe.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 1 2 3 4 5

Sila

[N

]

Pomik [mm]

Natezni preizkušanec 1Natezni preizkušanec 2Natezni preizkušanec 3Natezni preizkušanec 4Natezni preizkušanec 5

Kuhljevi dnevi 2018

- -

4 Numerični modelNumerični model nateznega preizkusa je bil zgrajen v programskem paketu Abaqus. Geometrija numeričnega modela je modelirana poenostavljeno in je prikazana na sliki 4.

Slika 4: Geometrija numeričnega modela

Za mreženje geometrije nateznega preizkušanca so bili uporabljeni kvadratni površinski končni elementi tipa CPS4R z linearno interpolacijo in globalno velikostjo 0,15 mm. Geometrija je bila, na podlagi konvergenčne analize, zamrežena z 32.367 končnimi elementi.

4.1 Materialni model

Osnovni material nateznega preizkušanca je bil opisan z bilinearnim materialnim modelom zupoštevanjem kinematičnega utrjevanja. V začetku izgradnje numeričnega modela so bile v bilinearnem materialnem modelu predpisane okvirne vrednosti osnovnih materialnih parametrov. Dejanski parametri so bili kasneje določeni z inverznim postopkom na podlagi eksperimentalnega odziva. V prvi fazi, ko so se najprej inverzno določevali osnovni materialniparametri nateznega preizkušanca, materialni model duktilne poškodbe ni bil uporabljen vnumeričnem modelu. Materialni model duktilne poškodbe, ki opisuje poškodbo materiala je bil uporabljen v drugi fazi, ko so se inverzno določevali parametri, ki opisujejo poškodbomateriala (poglavje 2).

4.2 Robni pogoji

Vpetje nateznega preizkušanca je predpisano v referenčni točki (točka A, slika 4). Referenčna točka je preko sklopa ("Coupling") povezana na levi rob nateznega preizkušanca in imaomejeno gibanje v x- in y-osi, ter rotacijo okrog z-osi. Obremenitev v obliki pomika je v y-osi predpisana na desni rob nateznega preizkušanca in znaša 6 mm (slika 4).

4.3 Izpis in priprava numeričnih podatkov za optimizacijoZa optimizacijo materialnih parametrov je bilo potrebno pripraviti izpis nekaterih numeričnih rezultatov. V numeričnem modelu se sila izpisuje v referenčni toči oz. v točki vpetja nateznega preizkušanca. Da lahko neposredno primerjamo eksperimentalno izmerjen pomik, ki je bil merjen na merilni dolžini ekstenziometra, se je pomik v numeričnem modelu izračunal na

Kuhljevi dnevi 2018

- -

podlagi pomikov dveh točk in sicer pomika točke C (slika 4) in točke B (slika 4). Na podlagi izračunanega pomika, ki je podan kot razlika pomikov obeh točk, in sile (merjene v referenčni točki) je računski model pripravljen za inverzno določitev materialnih parametrov.

5 Inverzni problem

Zasnovan je bil inverzni problem za iskanje konstitutivnih parametrov materiala preizkušanca [3], [4]:

V enačbi (3) predstavlja vektor vhodnih (projektnih) spremenljivk, vektor pa odziv sistema. Prostor vsake projektne spremenljivke je bil omejen na interval med najmanjšo in največjo dovoljeno vrednostjo (4).

Glavni cilj namenske funkcije je izračunani odziv, ki je čim bliže ciljnemu odzivu. Eksperimentalno dobljeni signal predstavlja ciljni odziv, numerična simulacija pa izračunan odziv. Ocena razlike numeričnega in eksperimentalnega signala je bila zapisana kot funkcija najmanjših kvadratov [4]:

V enačbi (5) predstavlja vrednost eksperimentalnega odziva v i-tem pomiku, vrednostnumeričnega odziva v i-tem pomiku in število primerjalnih točk, ki so zajete v optimizaciji.Kot zapisano v uvodu, je bil proces optimizacije razdeljen na dve fazi. V prvi fazi je bilo na podlagi eksperimentalnega odziva potrebno določiti osnovne materialne parametre, in sicermodul elastičnosti, mejo plastičnosti in natezno trdnost, ki jo material doseže pri navidezni100 % specifični deformaciji. V drugi fazi, ko so bili osnovni materialni parametri znani, stabila na podlagi eksperimentalnega odziva določena parametra materialnega modela duktilne poškodbe.

5.1 Postopek optimizacije

Za optimizacijo je bil uporabljen genetski algoritem, ki sestoji iz sledečih vhodnih podatkov:kontrolni parametri, projektne spremenljivke in funkcija odstopanja signala [5]. Vrednostiuporabljenih kontrolnih parametrov so podane v tabeli 1.

Tabela 1: Kontrolni parametri

Velikost populacije[/]

Število generacij[/]

Stopnja mutacije[%]

Stopnja križanja[%]

100 10 5 80

V prvi fazi optimizacije so se inverzno določevali trije materialni parametri in sicer modul elastičnosti , meja plastičnosti in natezna trdnost , v drugi fazi pa parameter, ki opisujeiniciacijo poškodbe in parameter, ki opisuje porušitev . V tabelah 2 in 3 so zapisaneprojektne spremenljivke ter vrednosti mej intervalov, znotraj katerih je bila iskana optimalnarešitev.

(3)

(4)

(5)

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Tabela 2: Optimizacijski parametri v prvi fazi

Optimizacijski parametri Spodnja meja Zgornja meja69.000 72.000

500 6001.500 2.000

Tabela 3: Optimizacijski parametri v drugi fazi

Optimizacijska parametra Spodnja meja Zgornja meja0 0,10 0,5

V optimizaciji materialnih parametrov sta se primerjala eksperimentalni potek sile v odvisnosti od pomika z numerično pridobljenim odzivom. Ciljna funkcija je bila opredeljena s pomočjo eksperimentalno izmerjene krivulje v skladu z enačbo (5), cilj optimizacije pa je bil zmanjšati vrednost namenske funkcije . Optimizacija je bila izvedena s pomočjo programa OptiMax[6].

6 Rezultati in diskusija

Inverzna določitev konstitutivnih parametrov je bila izvedena s 1000 numeričnimi simulacijami (za vsako fazo posebej). Optimalne vrednosti dobljenih rešitev obeh faz optimizacije so podane v tabeli 4. Vrednost namenske funkcije ujemanja numeričnega odziva z eksperimentalnim znaša , kar predstavlja 6,95 % odstopanja od povprečne sile.

Tabela 4: Optimalne rešitve inverznega določevanja materialnih parametrov numeričnega modela nateznega preizkušanca

71.284 549,4 1.785,5 0,0766 0,2408 6,95

Na sliki 5 je prikazana primerjava eksperimentalnih in numeričnih rezultatov, slednji so bilidoločeni z uporabo optimalnih materialnih parametrov. Iz slike 5 je razvidno zelo dobro ujemanje plastičnega dela materialne krivulje, med tem ko pride ob porušitvi do manjšegaodstopanja. Odstopanje numeričnega odziva od eksperimentalnega je posledica numeričnega izračuna. Linearno zmanjševanje togosti je posledica napetostnega-deformacijskega stanja v končnih elementih. Napetost se zaradi numeričnega izračuna postopoma povečuje od roba proti notranjosti vratu nateznega preizkušanca. S tem ko se napetost povečuje, je v posameznih končnih elementih hitreje izpolnjen kriterij za iniciacijo poškodbe. Zato se v numeričnem modelu, ko dosežemo prag iniciacije poškodbe togost nosilnega preseka, ki je diskretiziran skončnimi elementi linearno zmanjšuje, kar je razvidno iz slike 5.Dobljeni optimalni materialni parametri materialnega modela duktilne poškodbe veljajo le zakvadratne površinske končne elemente tipa CPS4R z linearno interpolacijo, in globalno

Kuhljevi dnevi 2018

- -

velikostjo 0,15 mm, saj je izbran materialni model odvisen od globalne velikosti ter tipa končnih elementov.

Slika 5: Primerjava signalov

Na sliki 6 je prikazano pretrganje nateznega preizkušanca računskega modela in eksperimenta.

Slika 6: Porušitev nateznega preizkušanca: a) računalniška simulacija in b) eksperiment

7 ZaključekV prispevku je predstavljen celoten postopek inverznega določanja nateznih konstitutivnih parametrov numeričnega materialnega modela. Na osnovi metode končnih elementov je v programskem paketu Abaqus zgrajen numerični model nateznega preizkusa, medtem ko je bil za optimizacijski postopek uporabljen prosto dostopen program OptiMax. Za iskanje optimalnih rešitev je bil uporabljen genetski algoritem. Glavni namen predstavljene študije je uporabna računska metodologija za natančno določitev materialnih parametrov, ki se lahko uporabijo za nadaljnje numerične simulacije širjenja poškodb v različnih geometrijskih modelih pri kvazi-statičnem režimu obremenjevanja.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 1 2 3 4 5

Sila

[N

]

Pomik [mm]

Eksperimentalni odziv

Numerični odziv

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Zahvala

Prispevek je nastal v okviru temeljnega raziskovalnega projekta J2-8186 z naslovom "Razvoj večnamenskih avksetičnih celičnih struktur" in v okviru raziskovalnega programa P2-063 z naslovom "Konstruiranje celičnih struktur", ki ju financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije "ARRS".

Literatura

[1] J. Ruzicka, M. Spaniel, and A. Prantl, ‘Identification of Ductile Damage Parameters in the Abaqus’, Bull. Appl. …, vol. 8, no. 32, pp. 89–92, 2013.

[2] ‘Abaqus Online Documentation’. Version 6.14. Dosegljivo na: https://www.sharcnet.ca/Software/Abaqus/6.14.2/v6.14/books/hhp/default.htm?startat=pt01ch01.html,[Datum dostopa: 22.8.2018].

[3] R.C. Aster, B. Borchers, C.H. Thurber, ‘Parameter Estimation and Inverse Problems’. Elsevier, 2013.

[4] B. Nečemer , M. Borovinšek , A. Belšak , Z. Ren, ‘Inverzna določitev dinamičnih materialnih parametrov preizkušancev na podlagi meritev s Split-Hopkinsonovim preizkuševališčem’, Kuhljevi dnevi, Dobrna, 2017.

[5] M. Mitchell, ‘An Introduction to Genetic Algorithms, A Bradford Book The MIT Press’. Cambridge, Massachusetts, London, 1999.

[6] M. Borovinšek, ‘OptiMax-Online Users Manual’. Version 0.6.4. Dosegljivo na: http://lace.fs.uni-mb.si/wordpress/borovinsek/wp-content/uploads/sites/6/2017/01/Optimax-USERS-MANUAL-v0.6.3.pdf, [Datum dostopa: 22.8.2018].

Kuhljevi dnevi 201

- -

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Dual SPHysics simulacije T-oblikovanega sotočja kanalov z deročim tokom

Gorazd Novak1, Gašper Rak1, Matjaž Četina1, Dušan Žagar1

Dual SPHysics simulations of T-shaped confluence of channels with supercritical flow

Povzetek. Dual SPHysics je novejši odprtokodni program za tridimenzionalne (3D) simulacije vodnega toka po metodi hidrodinamike zglajenih delcev (angl. Smoothed particle hydrodynamics, SPH). Uporabili smo ga za simulacijo eksperimenta, izvedenega na fizičnem hidravličnem modelu, pri katerem je bila z uporabo laserskega skeniranja izmerjena topografija vodne gladine na sotočju dveh deročih tokov. V prispevku predstavljamo nekaj ključnih ugotovitev, pridobljenih med umerjanjem numeričnega modela. Rezultati simulacij kažejo, da je Dual SPHysics dovolj natančno, z uporabo grafične kartice pa tudi dovolj hitro orodje za zelo zahtevne 3D simulacije turbulentnihtokov s prosto gladino.

Abstract. Dual SPHysics is a recent open-source code for three-dimensional (3D) simulations of water flow using smoothed particle hydrodynamics (SPH). This code wasemployed to simulate an experiment, performed on a physical hydraulic model, where a laser scanning method was used to measure the water surface topography at the confluenceof two supercritical inflows. Presented are some of the findings, obtained during the calibration of the numerical model. Results of the simulations indicate that Dual SPHysicsis adequately accurate and – when run on graphical processing unit – an adequately fast tool for simulating very demanding 3D cases of turbulent free-surface flows.

1 Uvod

Na področju računalniške dinamike tekočin se ob uveljavljenih mrežnih metodah čedalje bolj uveljavlja brezmrežna Lagrangeova metoda hidrodinamike zglajenih delcev (SPH). Pri SPH se kontinuum diskretizira z delci, ki so materialne točke (ne pa npr. kroglice določenega premera). Začetno razdaljo med točkovnimi delci označuje parameter dp. Diskretizirane

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Navier – Stokes enačbe so lokalno integrirane na lokaciji vsakega izmed teh delcev upoštevajoč fizikalne lastnosti sosednjih delcev. Za račun interakcije med delci skrbi t.i. jedrna funkcija (angl. smoothing kernel), ta pa je razmerje med vrednostjo dp in velikostjo območja, v katerega so zajeti sosednji delci..Ker tekočino simulira z delci, je SPH primernejša za obravnavo tistih vrst toka s prosto gladino, kjer nastopajo hitre oz. velike spremembe gladin in hitrosti. Med najbolj značilnimi primeri uporabe SPH so simulacije različnih porušitev manjših vodnih akumulacij [5] in pojavov interakcije med valovi in obalnimi objekti [2]. Eden od hidravličnih problemov, kjer nastopajo izrazite spremembe gladin in hitrosti, je sotočje deročih tokov, ki se lahko pojavlja v naravnih vodotokih in v različnih odvodnih sistemih (npr. kanalizaciji). Za takšna sotočja je značilno, da je lahko višina nastalega stoječega vala pri večjih Froudovih številih celo za velikostni razred večja od globin dotokov, poleg tega pa setam pojavlja izrazita turbulenca toka (Slika 1b). Izhodišče tu predstavljene raziskave je predpostavka, da je táko sotočje možno dovolj dobro simulirati z metodo SPH in da zaovrednotenje rezultatov simulacij T-oblikovanega sotočja lahko uporabimo meritve s fizičnega modela, kjer je bila topografija vodne gladine izmerjena z laserskim skeniranjem.

2 Meritve

Za umerjanje numeričnega modela SPH smo uporabili natančne in obširne meritve gladin s fizičnega modela sotočja T oblike (Slika 1a).

Slika 1: Sotočje deročih tokov na fizičnem modelu: (a) shema modela, (b) turbulenca na sotočju (oboje vir: [6]).

Omejili smo se na izmerjeni primer, za katerega obstaja največ meritev. Glavni parametri tega primera (širina kanala B, globina dotoka h, povprečna hitrost dotoka v, Froudovo število Fr)so navedeni v Tabeli 1.

Tabela 1: Parametri umeritvenega primera. Indeks g oz. s označuje glavni oz. stranski kanal.

Oblika B [m] h [m] v [m/s] Fr [-]T oba po 0,5 oba po 0,02 vg = 3,55 m/s; vs = 2,66 m/s Frg = 8; Frs = 6

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Čeprav so bile med eksperimentom izmerjene tudi fluktuacije gladin, smo se omejili na povprečne vrednosti. Primerjavo smo izvedli v prečnih prerezih x = 0, 25, 50, 100, 150 in 190 cm ter v vzdolžnih prerezih y = 10, 25 in 40 cm, pri čemer je x = 0 začetek sotočja, y = 0 pa desna stena glavnega kanala. V nadaljevanju so podane primerjave vzdolžnih prerezov v osikanala (y = 25 cm).

3 Simulacije

Numerični model sotočja je bil vzpostavljen z uporabniškim vmesnikom Design SPHysics, ki deluje kot makro v odprtokodnem orodju FreeCAD, račun pa je bil izveden s programom Dual SPHysics ver. 4.0. Potek vzpostavitve opazovanih razmer je prikazan na zaporedju izsekov animacije (Slika 2).

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 2: Izseki animacije rezultatov za čase 0 in 0,5 s (zgornja vrsta), 1 in 2 s (druga vrsta), 4in 6 s (tretja vrsta), 8 in 10 s (spodnja vrsta).

Dual SPHysics omogoča zelo širok spekter simulacij, ne pa (še) tudi takšnih, kjer zgornji robni pogoj predstavlja dotok, spodnji robni pogoj pa iztok iz obravnavanega odseka. Tej pomanjkljivosti se do neke mere lahko izognemo z uporabo periodičnega robnega pogoja (kolikor delcev zapusti domeno na dolvodnem koncu, toliko se jih vrne gorvodno), ali pa tako, da delcem tekočine predpišemo začetno hitrost. V obravnavanem primeru periodičnega robnega pogoja ni mogoče uporabiti, ker se tok z dolvodnega konca lahko vrne le na eno gorvodno lokacijo, zato smo glavni in stranski dotok modelirali kot podolgovati, ozki in plitvi vodni telesi (48,5 × 0,5 × 0,02 m), ki sprva ležita na dnu kanalov (debelina ostenja je 3 cm), gorvodno od sotočja. Sotočje je na začetku suho, že s prvim računskim korakom pa se obe vodni telesi na vtokih začneta gibati s predpisano hitrostjo (tj. 3,55 oz. 2,66 m/s) in po približno 0,6 s (za naravo) zadeneta drug v drugega. Da bi primerjali povprečne gladine po ustalitvi razmer, posamezna simulacija predstavlja 12 s dogajanja na modelu, v analizi pa upoštevamo povprečje vseh rezultatov med 8. in 10. sekundo. Za zagotavljanje stalnega dotoka mora biti vodno telo dolgo vsaj t × v, zaradi česar smo uporabili približno 50 m dolga dotočna kanala. Odtočni del je enakih dimenzij kot na fizičnem modelu, konča pa se z odprtim robom, preko katerega delci prosto odtekajo iz domene.

Podobno kot nabor možnih simulacij je zelo široka tudi izbira parametrov simulacije. Med glavnimi so: razdalja med delci (dp), natančnost interakcije med delci (enojna, dvojna), časovna shema (Verlet, simplektična [angl. symplectic]), jedrna funkcija (Wendland, kubična) in način upoštevanja viskoznosti (umetna viskoznost α). Dual SPHysics uporablja eksplicitno integracijsko shemo, ki potrebni časovni korak izračunava in prilagaja sproti na podlagi Courant – Friedrichs – Lewy (CFL) pogoja. Med nastavitvami parametrov simulacije uporabnik sicer lahko določi začetni in najmanjši časovni korak, a tega nismo storili, ker je zavoljo stabilnosti računa bolj smiselno pustiti prednastavljeno možnost.

Kot je opisano v točkah 3.1 do 3.3, smo se pri umerjanju omejili na določitev vpliva parametrov dp, viskoznosti α in natančnosti izračuna interakcije.

3.1 Vpliv parametra dp

Razdalja med delci dp je eden ključnih parametrov metode SPH. Manjša dp načeloma pomenivečjo natančnost, a se odraža tudi v hitrem povečevanju skupnega števila delcev in zato tudi skupnega računskega časa, kot je prikazano v tabeli 2.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Tabela 2: Število delcev in računski časi za različne dp.

dp [mm] število delcev računski čas [h]10 5.343.508 0,707 15.579.768 2,666 23.420.196 5,58

Optimalno vrednost dp je treba izbrati na podlagi umerjanja, saj se je izkazalo, da manjša dpne pomeni nujno boljšega ujemanja z izmerjeno gladino (Slika 3). Na slikah 4 in 5 so prikazani rezultati simulacij z dp = 7 mm.

3.2 Vpliv parametra α

Viskoznost se v modelu Dual SPHysics podaja na dva načina: (1) znotraj sheme umetne viskoznosti [4] podamo vrednost α, ali (2) znotraj sheme »Laminar + SPS« podamo vrednost kinematične viskoznosti. Pri obeh pristopih je treba izbrati še vrednost koeficienta viskoznosti ob ostenju. Ta prispevek se omejuje na prvi pristop. Z raziskavami valov v kanalih [1] je bilo pokazano, da najprimernejša vrednost koeficienta znaša α = 0,01. Poleg priporočene smo simulirali še izrazito večjo in izrazito manjšo vrednost koeficienta, in sicer α = 1 in α = 0,0001.Večja viskoznost skladno s pričakovanji povzroča bolj zglajeno gladino, manjša vrednost α pa bolj vzvalovano gladino, kot je prikazano na sliki 4.

Slika 3: Vpliv dp na izračunani potek gladin.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 4: Vpliv α na izračunani potek gladin.

Izkazalo se je, da priporočena vrednost α = 0,01 izmed vseh treh daje najboljše rezultate. To je do neke mere pričakovano, saj sotočje predstavlja primer toka oz. stoječega vala v kanalu (spomnimo, da je bila ta priporočena vrednost določena na eksperimentih valov v kanalu).

3.3 Vpliv natančnosti interakcije med delciSimulacije deročega sotočja zaradi izrazite dinamike zahtevajo veliko resolucijo, tj. majhno vrednost dp. Zaradi opisane potrebe po dolgih dotočnih kanalih je računska domena (cca. 50 ×50 m) velika v primerjavi z razdaljo dp (7 mm), take simulacije pa pogosto terjajo t.i. dvojno natančnost izračuna interakcije med delci [3]. Dvojna natančnost izrazito podaljša računski čas. V obravnavanem primeru je bilo za enako simulacijo pri dvojni natančnosti potrebno 2,3–krat več časa kot pri enojni (razmerje 6,2 h / 2,66 h), vendar pa rezultati niso bili izrazito boljši,saj so izračunani poteki gladin pri enojni ali dvojni natančnosti zelo podobni, kot je prikazano na sliki 5.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 5: Vpliv natančnosti izračuna interakcije med delci.

4 Zaključki

Na podlagi prikazanih primerjav lahko zaključimo naslednje:1) Program Dual SPHysics je hitro in zadovoljivo natančno orodje za simulacije izrazito

turbulentnih tokov s prosto gladino, kakršno je sotočje deročih tokov. Določenaodstopanja med prerezi gladin obstajajo, a so sprejemljiva, zlasti če upoštevamo, dagre za izrazito dinamičen 3D pojav z velikimi hitrostmi toka. Poleg tega so bileizmerjene gladine pridobljene s povprečenjem prek fluktuacij, simulirane pa spovprečenjem modelnih rezultatov znotraj dveh sekund.

2) Zmanjševanje razdalje dp, ki zelo poveča število delcev in s tem podaljša računski čas,ne daje nujno boljših rezultatov.

3) V literaturi priporočena vrednost koeficienta viskoznosti α = 0,01 se je izkazala zanajboljšo izbiro. Večji koeficient α povzroča bolj zglajeno gladino, manjši pa boljvzvalovano, a slednja ni nujno bližje poteku izmerjenih prerezov.

4) Dvojna natančnost izračuna interakcije med delci terja izrazito več računskega časa, ane prinaša nujno boljšega ujemanja z merjenimi vrednostmi gladin.

5) SPH simulacije sotočja deročih tokov, umerjene na izmerjeno topografijo gladin,predstavljajo novost, ki jo bomo v nadaljnjem delu razširili na obravnavo drugačeoblikovanih sotočij (npr. sotočja y-oblike).

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Literatura

[1] C. Altomare, T. Suzuki, J.M. Domínguez, A. Barreiro, A.J.C. Crespo, M. Gómez-Gesteira, Numerical wave dynamics using Lagrangian approach: wave generation andpassive & active wave absorption, Proceedings of the 10th SPHERIC InternationalWorkshop, Parma, Italy, 2015.

[2] A.J.C. Crespo, C. Altomare, J.M. Domínguez, T. Suzuki, T. Verwaest, M. Gómez-Gesteira, SPH modelling in coastal engineering, E-proceedings of the 36th IAHR World Congress, 28 June – 3 July 2015, The Hague, the Netherlands, 2015.

[3] J.M. Domínguez, A.J.C. Crespo, M. Gómez-Gesteira, Simulating more than 1 billion SPH particles using GPU hardware acceleration, Proceedings of the 8th SPHERIC International Workshop, Trondheim, Norway, 2013.

[4] J.J. Monaghan, Smoothed particle hydrodynamics, Annual Review of Astronomy andAstrophysics, 30, 543- 574, 1992.

[5] G. Novak, G. Rak, M. Četina, D. Žagar, Uporaba programa Dual SPHysics za 3D simulacije porušitve vodnega stolpca – primerjava računskih časov procesorjev in grafične kartice, Acta hydrotechnica 30/53, 97-105, 2017.

[6] G. Rak, M. Hočevar, F. Steinman, Construction of water surface topography using LIDAR data, Strojniški vestnik, v tisku, doi: 10.5545/sv-jme.2017.4619, 2018.

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

_________________________________1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo2 Georgia Institute of Technology, School of Materials Science and Engineering, Atlanta, ZDA

Eksperimentalno in računalniško balistično testiranje plošč iz titana ter aluminija

N. Novak1, M. Vesenjak1, G. Kennedy2, N. Thadhani2 in Z. Ren1

Experimental and computational ballistic testing of titanium and aluminium plates

Povzetek. Izvedeno je bilo eksperimentalno balistično testiranje plošč debeline 3 mm iz dveh različnih materialov (aluminij 7075-T651 in titan Ti-Gr.37) s standardnim cilindričnim izstrelkom za simuliranje udarca delcev (fragmentov) nastalih pri eksplozijah.Rezultati eksperimentov so bili uporabljeni za validacijo računalniških modelov v programu LS-DYNA. Na podlagi razvitih in validiranih računalniških modelov plošč je bilo z računalniškimi simulacijami analizirano balistično obnašanje kompozitne sendvič strukture s testiranimi ploščami in sredico iz avksetične celične strukture.

Abstract. The performance of 3 mm thick plates made of aluminium 7075-T651 and titanium Ti-Gr.37 alloy was evaluated with experimental ballistic testing using standard Fragment Simulating Projectile (FSP). The results of experimental testing were used for validation of computational models in LS-DYNA. The developed and validated computational models were used for further analysis and evaluation of the ballistic behaviour of composite sandwich panel made of tested plates and auxetic cellular core.

1 Uvod

Izboljšana balistična zaščita ljudi, vozil in objektov je v današnjih časih zelo pomembna, zato na tem področju potekajo številne raziskave. Raziskovalni napredek je razviden iz vedno večje uporabe sodobnih metamaterialov v praktičnih aplikacijah balističnih zaščitnih elementov. Za konstruiranje zaščitnih elementov in njihovih sestavnih delov je nujna uporaba računalniških simulacij, tako za razvoj in optimizacijo osnovnih metamaterialov, kot tudi celotnih kompozitnih elementov. Računalniške simulacije omogočajo natančnejši vpogled v deformacijsko obnašanje materiala na vsej dimenzijskih nivojih, prav tako pa iz ekonomskega vidika prihranijo tudi čas in denar v fazi razvoja. Uporabljeni računalniški modeli pa morajo biti ustrezno verificirani in validirani, česar ne moremo izvesti brez eksperimentalnih testiranj.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Trenutno je največja pozornost namenjena povečani zaščiti pred vplivom eksplozij. Vpliv eksplozij na okolico lahko v glavnem delimo na dva dela: i) vpliv udarnega eksplozijskegavala in ii) vpliv delcev (fragmentov) ustvarjenih pri eksploziji, ki se z veliko hitrostjo premikajo v vplivnem območju detonacije eksploziva. Delci pri eksplozijah so v večini primerov kovinski in lahko udarijo v oviro (npr. konstrukcijo, objekt) z veliko hitrostjo, kar lahko povzroči preboj ovire in posledično nevarnost za živa bitja in predmete za njimi. Za zaščito pred izstrelki in eksplozijami se v današnjih časih večinoma uporabljajo kompozitne plošče, ki so sestavljene iz dveh ali več različnih materialov in nudijo višje sposobnosti absorpcije energije pri udarcu. Zelo pogosto so kot sredice teh materialov uporabljene različne celične strukture, saj imajo le te veliko specifično sposobnost absorpcije energije glede na njihovo maso [1]. Posebna skupina celičnih struktur so avksetične strukture, ki imajo povečano sposobnost absorpcije energije v primerjavi s konvencionalnimi celičnimi strukturami zaradi svojih posebnih lastnosti [2], [3]. Edinstveno deformacijsko obnašanje teh struktur oziroma metamaterialov lahko izboljša lastnosti v mnogih različnih aplikacijah na področjih balistične zaščite in zaščite pred udarci, kar lahko še dodatno izboljšamo z izbiro gradirane poroznosti[4]. Študije na področju balističnega obremenjevanja kompozitnih plošč z avksetično sredico so zelo omejene in zato je potrebno ovrednotiti omenjene teoretične koncepte s pomočjo računalniških simulacij in eksperimentov.

V tem delu so bile določene balistične hitrosti (najnižja hitrost pri kateri projektil še prebije ploščo) in deformacijsko obnašanje titanove ter aluminijaste pločevine z balističnimi eksperimenti. Na podlagi eksperimentalnih rezultatov so bili validirani računalniški modeli, ki so služili za nadaljnjo balistično študijo obnašanja kompozitnih struktur z avksetično sredico.

2 Eksperimentalno testiranje plošč

2.1 Natezni preizkusi

Natezni preizkusi osnovnega materiala prekrivnih plošč sendvič struktur so bili izvedeni na univerzalnem preizkuševalnem stroju INSTRON 8801. Izvedba testov je bila potrebna le zapločevino iz aluminija 7075 – T651, saj so bili materialni podatki za titanovo pločevino Ti-Gr. 37 razvidni iz certifikata materiala.

Natezni preizkušanci iz pločevine z debelino 3 mm so bili izdelani po standardu DIN 50125. Hitrost pomika čeljusti preizkuševalnega stroja je bila v primeru kvazi-statičnega testiranja 0,1 mm/s in v primeru dinamičnega testiranja 284 mm/s. Bistvenih razlik med odzivom materiala pri obeh hitrostih obremenjevanja ni bilo opaziti.

2.2 Balistično testiranje

Balistično testiranje plošč iz titana in aluminija dimenzij 100 mm x 100 mm x 3 mm je bilo izvedeno na Georgia Institute of Technology, ZDA. Uporabljen je bil zračni top (angl. gas gun), ki je sestavljen iz pospeševalnega mehanizma, cevi in ciljne komore. Iz ciljne komore je med eksperimenti izčrpan zrak (delni vakuum), z namenom zmanjšanja vpliva upora zraka med letom izstrelka. Dogajanje med eksperimentom je bilo posneto s hitro kamero MEMRECAM GX-8, hitrost izstrelka pa je bila merjena z dvema laserjema pred izstopom iz pospeševalne cevi. Tipični tlaki v pospeševalnem mehanizmu so znašali: 11 barov za hitrost izstrelka 208 m/s in 21 barov za hitrost izstrelka 284 m/s. Uporabljeni izstrelki so bili standardni izstrelki za testiranje delcev, ki nastanejo pri detonaciji granat (angl. Fragment

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Simulating Projectile – FSP) [5]. Izdelani so bili iz jekla 4340, premera 7,52 mm in mase 2,85g. Po izvedbi več kot 40 eksperimentov sta bili določeni balistični hitrosti, tj. najnižje hitrostipri kateri izstrelek prebije material, za oba obravnavana materiala, ki sta znašali: 285 m/s za titan Ti-Gr. 37 in 208 m/s za aluminij 7075 – T651. Deformirani preizkušanci po testiranju pri balistični hitrosti in hitrosti manjši od le-te so prikazani na slikah od 3.2 do 3.5.

3 Računalniške simulacije osnovnega materiala

3.1 Geometrija in robni pogoji

3.1.1 Natezni preizkus

Računalniški model nateznega preizkusa v programu LS-DYNA je služil za validacijo materialnega modela aluminijaste plošče. Računalniški model je bil diskretiziran s 351.921linearnimi volumskimi končnimi elementi enake značilne velikosti kot so bili v nadalje uporabljeni pri simulacijah balističnega obremenjevanja. Ustreznost velikosti elementov je bila določena s predhodnimi občutljivostnimi analizami. Pomiki, pridobljeni z računalniškimi simulacijami, so bili določeni v vozliščih na mestih, kjer je bil merjen tudi pomik zekstenziometrom med eksperimenti.

3.1.2 Balistično obremenjevanje

Pri računalniškem modelu balističnega obremenjevanja so bili za plošči uporabljeni materialni parametri določeni pri eksperimentu in nato validirani z računalniškim modelom (aluminij), ter podatki o meji tečenja, natezni trdnosti in deformaciji pri porušitvi iz certifikata v primeru titanovih plošč. Projektil je bil modeliran s togim nedeformabilnim materialnim modelom, sajje iz rezultatov eksperimentov razvidno, da se projektil med prebijanjem plošče ne deformira. Uporabljen je bil četrtinski simetrijski model (slika 3.1), katerega upravičenost uporabe je bila dodatno potrjena s simulacijami polovične simetrije, ki je ustrezala robnim pogojem eksperimenta.

Slika 3.1: Robni pogoji pri balističnem obremenjevanju ploščeNumerični model je bil verificiran na osnovi opazovanja pravilnosti obnašanja preboja in stabilnosti kontakta (*CONTACT_ERODING_SURFACE_TO_SURFACE), na podlagi

fiksno vpetje

sim. y

sim. x predpisana začetna

hitrost

Kuhljevi dnevi 2018

- -

česar je bila izvedena tudi analiza pravilnosti uporabljene mreže. Mreža končnih elementov je sestavljena iz 623.413 linearnih volumskih končnih elementov in je prikazana na sliki 3.1.

3.2 Validacija materialnih modelov

Na osnovi eksperimentalnih rezultatov enoosnega nateznega preizkusa so bili določeni materialni parametri osnovnega materialnega modela aluminijaste plošče, Tabela 1. Parametrac in P Cowper-Symondsevega materialnega modela [6], ki določata potek utrjevanja materialapri različnih deformacijskih hitrostih, sta bila določena na osnovi inverznih računalniških simulacij balističnih testiranj aluminijaste plošče in eksperimentalno določene balističnehitrosti 208 m/s. Pri tej hitrosti izstrelka so bili validirani materialni parametri Cowper-Symondsovega materialnega modela, ki so prikazani v tabeli 1. Kot je razvidno iz slik 3.2 in 3.3 je ujemanje med eksperimenti in računalniškimi simulacijami za obravnavane obremenitvene primere zelo dobro.

Slika 3.2: Rezultati balističnega testiranja aluminijaste plošče pri začetni hitrosti izstrelka 208 m/s

Slika 3.3: Rezultati balističnega testiranja aluminšijaste plošče pri začetni hitrosti izstrelka 206 m/s

Tabela 1: Materialni parametri aluminijaste plošče 7075-T651

Gostota

[kg/m3]

Modul elastičnosti

[MPa]

Poissonovorazmerje

[-]

Napetost tečenja [MPa]

Natezna trdnost [MPa]

Pl.deformacija

prinatezni trdnosti

[-]

Cowper-Symonds parametra

C[1/s]

p[-]

2810 67200 0,33 350 645 0,143 8000 8

Kuhljevi dnevi 2018

- -

V primeru titanovih plošč so bili uporabljeni materialni podatki na podlagi certifikata materiala, kjer sta podani napetosti tečenja in napetost ter deformacija pri porušitvi. Z uporaboomenjenih podatkov in primerjave balističnih hitrosti sta bila nato določena parametraCowper-Symondsovega materialnega modela, tabela 2. Tudi v primeru titanovih plošč je opazno dobro ujemanje med eksperimentom in računalniško simulacijo (sliki 3.4 in 3.5).

Slika 3.4: Rezultati balističnega testiranja titanove plošče pri začetni hitrosti izstrelka275 m/s

Slika 3.5: Rezultati balističnega testiranja titanove plošče pri začetni hitrosti izstrelka285 m/s

Tabela 2: Materialni parametri titanove plošče Ti-Gr.37

Gostota

[kg/m3]

Modul elastičnosti

[MPa]

Poissonovorazmerje

[-]

Napetost tečenja [MPa]

Natezna trdnost [MPa]

Pl.deformacija

prinatezni trdnosti

[-]

Cowper-Symonds parametra

C[1/s] p [-]

4510 105000 0,3 365 599 0,33 100 11,5

Kuhljevi dnevi 2018

- -

4 Balistične računalniške simulacije avksetične sendvič strukture

Na podlagi uspešne validacije materialnih modelov aluminijevih in titanovih prekrivnih plošč so bile izvedene še računalniške simulacije obremenjevanja avksetičnih sendvič struktur(kompozitov), ki so sestavljene iz titanovih prekrivnih plošč debeline 3 mm in avksetične celične strukture kot sredice.

4.1 Geometrija modela in robni pogoji

Geometrija računalniškega modela je prikazana na sliki 4.1, robni pogoji pa so popolnoma enaki robni pogojem pri analizi obremenjevanja plošč (slika 3.1).

Slika 4.1: Računalniški model za balistično obremenjevanje avksetične sendvič strukture

Za sredico sendvič strukture (debelina 25 mm) je uporabljena kiralna avksetična celična struktura z debelino medceličnih povezav 1 mm in poroznostjo 85 %, katere geometrija je predstavljena v predhodnem delu [7]. Materialni parametri računalniškega modela avksetične strukture so bili določeni z validacijo na podlagi testiranja različnih geometrij avksetičnih struktur (izdelanih po enakem proizvodnem postopku kot v tem delu) pri različnih obremenitvenih hitrostih [8].

4.2 Rezultati računalniških simulacij

Na sliki 4.2 je prikazan potek spreminjanja hitrosti izstrelka med prebojem titanove plošče in sendvič strukture pri začetni hitrosti 300 m/s. Razvidno je, da uporaba sendvič strukture zviša potrebno hitrost za predrtje prve plošče in s tem v obravnavanem primeru povzroči zaustavitev izstrelka.

Zvišanje hitrosti potrebne za preboj zgornje plošče (vsaj 15 m/s) je pričakovano, vendar bi lahko bilo še večje, kar je predvsem posledica majhne elastične deformacije prekrivne plošče pred predrtjem. Večja elastična deformacija bi omogočala deformacijo avksetične strukture na širšem območju in posledično učinkovitejšo absorpcijo energijeavksetične sredice.

zgornja prekrivna

plošča

spodnja prekrivna

plošča

izstrelek

avksetična celična

struktura

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 4.2: Potek hitrosti izstrelka pri obremenjevanju avksetične sendvič strukture

5 Zaključki

V prispevku je obravnavano balistično testiranje plošč iz titanove in aluminijeve zlitine. Plošče so bile obremenjene s projektilom za simuliranje delcev nastalih pri eksplozijah granat.Testiranje je bilo podprto s kvazi-statičnim in dinamičnim enoosnim nateznim testiranjemosnovnega materiala, ki je služilo za določitev osnovnih materialnih parametrov računalniških modelov. Računalniška modela obremenjevanja plošč iz titanove in aluminijeve zlitine sta bila uspešno verificirana in validirana na osnovi enoosnih nateznih preizkusov ter primerjave balističnih hitrosti določenih z eksperimentom ter računalniškimi simulacijami.

V nadaljevanju je bil na osnovi validiranih računalniških modelov plošč razvitračunalniški model balističnega obremenjevanja sendvič strukture, kjer je bila kot sredica med dvema ploščama uporabljena avksetična celična struktura. Dokazano je bilo da uporaba sendvič strukture poveča balistično hitrost, pri kateri projektil penetrira skozi zgornjo ploščo sendvič strukture, v primerjavi s polno ploščo enakih dimenzij kot so prekrivne plošče v sendvič strukturi. Balistična hitrost se je povečala zgolj za 5 %, kar je posledica lokalneobremenitve zgornje plošče. Zgornja plošča se ne deformira na večjem območju, kar bi zobsežnejšo deformacijo avksetične strukture prispevalo k učinkovitejši absorpciji energije. To je možno delno rešiti s še bolj duktilnim materialom prekrivnih plošč, kot je obravnavana titanova zlitina, vendar je ob tem potrebno upoštevati tudi dejstvo, da se pri tako visokih hitrostih obremenitve material deformira drugače kot pri statični obremenitvi.

Zahvala

Prispevek je nastal v okviru temeljnega raziskovalnega projekta J2-8186 z naslovom "Razvoj večnamenskih avksetičnih celičnih struktur", raziskovalnega programa P2-0063 z naslovom

0

50

100

150

200

250

300

0 0.05 0.1 0.15 0.2

Hitr

ost i

zstre

lka

[m/s]

Čas [ms]

Sendvič struktura

Plošča (Ti-Gr.37)

Kuhljevi dnevi 2018

- -

"Konstruiranje celičnih struktur" ter bilateralnega projekta BI-US-16-17/047 "Response Characterisation of Advanced Metallic Cellular Materials Under Dynamic High Strain-rateImpact Loading", ki jih financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije "ARRS".

Literatura

[1] D. Lehmhus, M. Vesenjak, S. de Schampheleire, and T. Fiedler, “From stochastic foam to designed structure: Balancing cost and performance of cellular metals,” Materials (Basel)., vol. 10, no. 922, 2017.

[2] K. L. Alderson, A. Fitzgerald, and K. . Evans, “The strain dependent indentation resilience of auxetic microporous polyethylene,” J. Mater. Sci., vol. 35, no. 16, pp. 4039–4047, 2000.

[3] N. Novak, M. Vesenjak, and Z. Ren, “Auxetic cellular materials - a Review,” Strojniški Vestn. - J. Mech. Eng., vol. 62, no. 9, pp. 485–493, 2016.

[4] N. Novak, M. Vesenjak, and Z. Ren, “Computational Simulation and Optimization of Functionally Graded Auxetic Structures Made From Inverted Tetrapods,” Phys. Status Solidi B, vol. 254, no. 12, 2017.

[5] U.S. and A. R. Laboratory, MIL-DTL-46593B DETAIL SPECIFICATION PROJECTILE, CALIBERS .22, .30, .50, AND 20MM FRAGMENT-SIMULATING.2006.

[6] J. Hallquist, LS-DYNA® theory manual. Livermore, California: Livermore Software Technology Corporation, 2006.

[7] F. Warmuth, F. Osmanlic, and L. Adler, “Fabrication and characterisation of a fully auxetic 3D lattice structure via selective electron beam melting,” Smart Mater. Struct.,vol. 26, p. 8, 2017.

[8] N. Novak, M. Vesenjak, L. Krstulović-Opara, and Z. Ren, “Mechanical characterisation of auxetic cellular structures built from inverted tetrapods,” Compos. Struct., vol. 196, pp. 96–107, 2018.

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Celostna analiza lesenega strešnega nosilca s spremenljivovišino v požaru

R. Pecenko1

A comprehensive study of the roof tapered timber beam in fire

Povzetek.V clanku prikazujemo odzivni nacin projektiranja požarne odpornosti lepljenega lesenega nosilca

s spremenljivo višino, ki je del nosilne strešne konstrukcije športne dvorane Dravograd. Celotno

požarno analiza razdelimo v tri faze. V prvi fazi s programom Fire Dynamics Simulator dolocimo

razvoj toplote in dima po dvorani ter casovni potek temperature zraka v okolici nosilcev. Na podlagi

povezanega toplotno-vlažnostnega modela nato v drugi fazi analize dolocimo razporeditev tempe-

rature po precnem prerezu nosilca. V zadnjem delu analize pa z mehanskim modelom dolocimo

požarno odpornost in odziv nosilca v požaru.

Abstract. The paper presents performance based design to determine fire resistance of tapered

glulam beam, part of the sports hall roof structure located in Dravograd. Fire analysis is divided

in three phases. In the first phase, Fire Dynamics Simulator is used to determine heat and smoke

development within the hall. In addition, the time development of the air temperature around the

beams during the fire is calculated. Based on the coupled hygro-thermal model, the distribution of

temperature over beam cross-section is evaluated in the second phase. In the last phase, mechanical

model is used to determine the resistance and response of glulam timber beam exposed to fire.

1 Uvod

Obicajni inženirski pristop za dolocanje požarne odpornosti lepljenih nosilcev temelji na poe-

nostavljenih racunskih metodah, ki jih podaja EN 1995-1-2 [1]. Kljub veliki uporabi teh metod,

pa je njihova pomanjkljivost, da so primerne samo za nominalne požarne krivulje kakršno pred-

stavlja standardna ISO krivulja. Kot vemo, pa je obnašanje in širjenje požara zelo negotov

pojav, zato ISO krivulja ne zajema vseh možnih požarnih scenarijev. Z uvedbo naprednega,

odzivnega nacina projektiranja, ki temelji na uporabi naprednih racunskih modelov lahko ana-

liziramo odziv lesenega lepljenega nosilca v pogojih naravnega požara, kakršnega ISO krivulja

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Gradbeništvo in Geodezijo

Kuhljevi dnevi 2018

težko opiše in s tem dobimo realnejši odziv nosilca v pogojih požara. Napredni racunski modeli

za tovrstne analize so vedno bolj natancni in temeljijo na temeljitem fizikalnem in kemicnem

opisu problema.

V prispevku prikazujemo odzivni nacin projektiranja lesenega nosilca izpostavljenega požaru,

pri cemer celotno napredno analizo razdelimo v tri faze. V prvi fazi modeliramo razvoj po-

žara z racunskim orodjem Fire Dynamics Simulator [2], ki temelji na teoriji dinamike tekocin.

V drugi fazi dolocimo temperaturno polje precnega prereza nosilca, kjer uporabimo nedavno

razviti model za povezan prenos toplote in vlage [3]. V modelu so upoštevani vsi bistveni fe-

nomeni znacilni pri obnašanju lesa pri povišanih temperaturah, to so, Soretov efekt, sorpcija ter

njen vpliv na razvoj temperatur, konvekcijski prenos zaradi gibanja plinov znotraj lesenih por,

oglenenje lesa ter drugi. V zadnji fazi na podlagi geometrijsko tocnega in materialno nelinear-

nega modela linijskega nosilca dolocimo odziv ter odpornost lesenega nosilca v požaru.

2 Opis obravnavnega strešnega nosilca

Obravnavamo lesen nosilec s spremenljivo višino, ki sestavlja primarno nosilno konstrukcijo

športne dvorane Dravograd [4]. Nosilec je razpona 28.3 m, konstante širine 0.2 m, višine ob

podporah 2.0 m ter temenske višine 2.28 m (slika 1). Grajen iz lesa kvalitete GL28c za kate-

rega karakteristicni modul elasticnosti ter upogibna trdnost znašata E0,k = 1260 kN/cm2 ter fm,k

= 2.8 kN/cm2. Karakteristicne vrednosti obtežb, ki delujejo na strešno konstrukcijo so nasle-

dnje: stalna obtežba gk = 1.3 kN/m2, vetrna obtežba wk = 0.8 kN/m2, obtežba snega sk = 1.3

kN/m2. Linijska zvezna obtežba pri požarnem projektnem stanju, ki deluje na nosilec, znaša

qEd,fi = 8.424 kN/m. Pri tem upoštevamo sneg kot glavno spremenljivo obtežbo, razdalja med

primarnimi lesenimi nosilci pa je enaka 5.4 m.

Slika 1 : Prikaz obravnavnega nosilca (slika ni v razmerju)

3 Opis naprednega racunskega modela

Požarna analiza je razdeljena v tri faze. Kot smo že omenili, za dolocitev razvoja ter širjenja

dima in toplote po prostoru, v prvem delu uporabimo napredni racunski program Fire Dynamics

simulator [2]. Ta del analize je potreben za oceno temperature na površini nosilcev, ki služi kot

vhodni podatek za drugi del, tj. toplotno-vlažnostno analizo, kjer ocenimo potek temperature

- -

Kuhljevi dnevi 2018

znotraj nosilcev. V tretjem delu analiziramo mehanski odziv nosilcev ob socasnem delovanju

mehanske ter požarne obtežbe.

3.1 Racun razvoja požara s programskim orodjem FDS

Program FDS [2] omogoca izracun širjenja toplote in dima po prostoru med požarom in temelji

na reševanju Navier-Stokesovih enacb za toplotne tokove nizkih hitrosti. Za privzeti nacin ra-

cuna turbulentnih tokov FDS uporablja poenostavljene Large Eddy simulacije (LES). Osnovna

ideja LES je zmanjšanje racunskega casa na podlagi izlocitve majhnih turbulenc, ki so obicajno

najzahtevnejše pri reševanju tovrstnih problemov, vendar ne bistveno vplivajo na globalno gi-

banje plinov v prostoru. Poleg prenosa toplote s konvekcijo, FDS upošteva tudi prenos toplote

z radiacijo in sicer na osnovi modela radiacije idealnega plina (t.i. “gray gas model”). Za re-

ševanje osnovnega sistema enacb, FDS uporablja metodo koncnih diferenc, kjer je racunsko

obmocje potrebno diskretizirati s pravokotno 3D mrežo.

Za izracun razvoja požara, je potrebno podati vir požara ter kolicino sprošcene toplote med po-

žarom. V programu FDS tako vsakemu gorljivemu elementu znotraj prostora predpišemo hitrost

sprošcanja toplote (HRR) ter temperaturo vžiga elementa. Lahko pa uporabimo še enostavnejši

pristop, kjer HRR celotnega prostora predpišemo t.i. “vent” elementu, ki je primeren za defi-

niranje posebnih robnih pogojev na trdno površino v prostoru. Za dolocitev hitrosti sprošcanje

toplote moramo poznati naslednje parametre: RHR f[kW/m2

]- maksimalna hitrost sprošcanja

toplote na enoto površine, tα [s] - cas za dosego 1 MW požara, q f ,d[MJ/m2

]- maksimalna

gostota požarne obtežbe ter A f i - maksimalna površina požara.

3.2 Model za povezan prenos toplote in vlage

Za analizo povezanega prenosa toplote in vlage po precnem prerezu nosilca uporabimo model

razvit v [3]. V modelu je povezan prenos toplote in vlage opisan s sistemom kontinuitetnih

enacb za ohranitev mase in energije. Kontinuitetne enacbe za opis prenosa vezane vode, vodne

pare in zraka so naslednje:

∂cb

∂ t+∇ ·Jb = c,

∂ (εgρv)

∂ t+∇ ·Jv =−c,

∂ (εgρa)

∂ t+∇ ·Ja = 0, (1)

kjer cb predstavlja koncentracijo vezane vode, ρv in ρa sta koncentraciji vodne pare in zraka,

εg pa je poroznost lesa. Z Ji (i = b,v,a) oznacujemo masni tok posameznega medija, stopnjo

sorpcije pa oznacujemo s c in predstavlja izmenjavo mase zaradi spremembe agregatnega stanja

vezane vode v vodno paro ali obratno. Enacbo za ohranitev energije zapišemo kot:(ρC

) ∂T∂ t

= ∇ · (k∇T )−(

ρCv)

∇T −ΔHsc, (2)

kjer T predstavlja temperaturo, k je matrika, ki v diagonalnih clenih vsebuje koeficiente toplotne

prevodnosti lesa za razlicne smeri, ΔHs je latentna toplota sorpcije, clen ρC oznacuje specificno

toploto lesa, ρCv pa predstavlja prenos toplote zaradi konvekcije plinov.

Konstitucijski zakoni, s katerimi opišemo masni tok vezane vode, vodne pare in zraka ter sorp-

cijo so podrobneje prikazani v [3]. Enacbe (1)–(2) skupaj z robnimi in zacetnimi pogoji rešimo

z metodo koncnih elementov. Razvoj numericnega modela z metodo koncnih elementov je

natancnejše prikazan v [3].

- -

Kuhljevi dnevi 2018

3.3 Mehanski model

V tem poglavju prikazujemo racunski model za dolocitev obnašanja lesenega nosilca s spremen-

ljivo višino, ki je podvržen hkratnemu delovanju mehanske ter požarne obtežbe. Deformiranje

nosilca je opisano s kinematicno tocnim Reissnerjevim modelom nosilca [5], kjer upoštevamo

vpliv membranske, upogibne ter strižne deformacije na deformiranje nosilca. Izracun napeto-

stnega in deformacijska stanje nosilca v požaru opravimo z inkrementno-iteracijsko metodo,

pri cemer celoten cas požara razdelimo na casovne intervale[ti−1 ti

]. Osnovni sistem enacb,

s katerim opišemo deformiranje nosilca sestavljajo kinematicne, ravnotežne in konstitucijske

enacbe, ki jih zapišemo:

X ′+u′ − (1+ ε)cosϕ − γ sinϕ = 0, R′X + pX = 0 Nc =

∫A(x)

σ (Dm,T )dA

Z′+w′+(1+ ε)sinϕ − γ cosϕ = 0, R′Z + pZ = 0 Mc =

∫A(x)

zσ (Dm,T )dA

ϕ ′ −κ = 0. M′Y − (1+ ε)Q+ Qc = GAsγ,γN +mY = 0

(3)

V zgornjih enacbah ()′ predstavlja odvod po x. ε , γ , κ predstavljajo t.i. deformacijske kolicine

in sicer specificno spremembo dolžine in psevdoukrivljenost referencne osi nosilca ter strižno

deformacijo. S kinematicnimi kolicinami u, w in ϕ oznacujemo pomika referencne osi nosilca

v x in z smeri ter zasuk precnega prereza nosilca. RX in RZ sta komponenti ravnotežne osne sile

N in precne sile Q, MY je ravnotežni moment, px, pz in my pa predstavljajo komponente kon-

servativne linijske obtežbe in linijskega momenta, ki delujeta na nosilec. Konstitucijski kolicini

Nc in Mc sta odvisni od izbranega materialnega modela, ki je definiran z zvezo med normalno

napetostjo σ(Dm,T ) in mehansko deformacijo Dm. Upoštevamo linearno zvezo v nategu ter

bi-linearno zvezo v tlaku. Osnovni parametri s katerimi opišemo to zvezo so: mejna elasticna

deformacija, modul elasticnosti in trdnost lesa v tlaku (c) in nategu (t), pri sobni (T 0) in pri

povišanih temperaturah (T ) (Di, j, Ei, j in fi, j pri cemer i = c, t; j = T 0,T ), modul utrditve v

tlaku pri sobni in povišani temperaturi Ec,p, j ( j = T 0,T ), mejna trdnost lesa fc,p, plasticna de-

formacija lesa Dc,p. Zmanjšanje trdnosti in modula elasticnosti lesa pri povišanih temperaturah

upoštevamo skladno s SIST EN 1995-1-2 [1]. Za izracun konstitucijske precne sile Qc predpo-

stavimo poenostavljeno zvezo, odvisno od strižnega modula G, strižnega prereza As ter strižne

deformacije.

Sistem osnovnih enacb lesenega nosilca skupaj z robnimi pogoji rešimo z metodo koncnih ele-

mentov. Pri tem uporabimo deformacijski koncni element, ki temelji na interpolaciji deforma-

cijskih kolicin [6]. Osnovne enacbe za metodo koncnih elementov izpeljemo na podlagi mo-

dificiranega principa virtualnega dela. Sistem Euler-Lagrangevih enacb rešimo z Newtonovo

inkrementno-iteracijsko metodo.

4 Racunski primer

4.1 Razvoj požara po prostoru

Na sliki 2a prikazujemo geometrijo športne dvorane, ki jo podamo v program FDS. Dvorano

modeliramo kot en požarni sektor z dimenzijami širina/dolžina/višina= 29.7× 44.7× 9.05 m.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Celoten prostor diskretiziramo s šestimi mrežami, s cimer omogocimo hitrejši paralelni racun.

Osnovna velikost mreže znaša 0.6×0.6×0.6 m, za vecjo natancno rezultatov pa velikost mreže

na obmocju kjer predpišemo razvoj požara zgostimo na 0.3×0.3×0.3 m.

Dvorana je grajena in sestavljena iz razlicnih materialov. V simulaciji upoštevamo naslednje

podatke: stene, 300 mm beton [2]; tla, 300 mm beton in 20 mm lesena obloga [2]; streha,

sendvic panel 20 mm les, 220 mm toplotna izolacija, 20 mm les [2]; tribune, 10 mm polipropilen

[8]; Okno, 5 mm steklo [7], nosilci, 200 mm les [2].

S stališca dolocanja požarne odpornosti in odziva lesenih strešnih nosilcev, je v tem delu ana-

lize najpomembnejši podatek, razvoj temperature na površini nosilcev. Zato v FDS podamo

merilnike adiabatne temperature na površini nosilca (AST, “adiabatic surface tempeture”), ki

predstavljajo merilnike temperature na površini popolnega izolatorja.

V programu FDS upoštevamo osem razlicnih požarnih scenarijev, vendar v prispevku prikazu-

jemo samo rezultate merodajnih dveh scenarijev, pri katerih dobimo najbolj neugoden razvoj

temperatur na površini nosilcev. V obeh scenarijih vir požara podamo na eno izmed tribun.

Ker je razdalja med tribunami velika, dodatno predpostavimo, da se požar na sosednje tri-

bune ne širi. V požarnem scenariju S1 razvoj požara omejimo na spodnjo sredinsko tribuno

(slika 2a), celotno sprošcanje toplote pa predpišemo petim “vent” elementom, ki se nahajajo

na obmocju sedišc tribune, njihova skupna površina je enaka Afi = 44.55 m2. V primeru ko

modeliramo z “vent” elementi velja, da se predpisana hitrost sprošcanja toplote pricne sprošcati

po celotnem elementu hkrati. Upoštevamo hiter razvoj požara (tα = 150 s), najvecja hitrost

sprošcanja toplote na enoto površine znaša RHRf = 500 kW/m2, izracunana požarna obtežba

je qf,d = 255 MJ/m2. V scenariju S2, razvoj požara predpišemo zgornji sredinski tribuni (slika

Slika 2 : a) Model športne dvorane b) Razvoj najvecje adiabatne temperature na površini no-

silcev N4 in N5 c) Ovojnice maksimalnih adiabatnih temperatur na površini nosilcev N4 in

N5

2a), vendar v tem primeru omogocimo da se ogenj po tribuni širi. V ta namen gorljivi del tri-

bun opredelimo z ustrezno debelino ter materialnimi lastnostmi polipropilena, upoštevamo pa

temperaturni kriterij za širjenje ognja po tribuni in sicer Tvžig = 200◦C. Podatki za hitrost spro-

šcanja toplote na gorljivih elementih je enak kot v scenariju S1, razlika je v velikosti gorljive

površine, ki je v tem primeru enaka površini vseh aktivnih celic, ki gorijo. Celica se aktivira, ko

temperatura celice na površini tribune doseže temperaturo vžiga Tvžig. To pomeni, da je velikost

- -

Kuhljevi dnevi 2018

gorljive površine enaka: Afi = na × 0.09 m2, kjer na predstavlja število aktivnih celic, 0.09 m2

pa površino ene celice.

Na sliki 2b prikazujemo razvoj maksimalne adiabatne temperature na površini nosilcev. Naj-

višje temperature zabeležimo na nosilcu N4 pri scenariju S1 ter nosilcu N5 pri scenariju S2. Na

površini nosilca N4 je najvišja adiabatna temperatura dosežena po približno 14 minutah požara

in znaša 1000◦C. Na površini nosilca N5 najvišja temperatura doseže 1100◦C po 8 minutah po-

žara. Ker se temperatura vzdolž nosilcev spreminja, tvorimo ovojnice najvecjih temperatur, ki

jih prikazujemo na sliki 2c. Ovojnice izracunamo na vsake 0.3 m vzdolž nosilca, prikazujemo

pa jih samo do x = 9 m, ker od tam naprej ni vec temperaturne spremembe. Kot je pricako-

vano, najvecje adiabatne temperature nastopijo nad tribunami, t.j. na mestu kjer predpišemo

sprošcanje toplote.

4.2 Toplotno-vlažnostna analiza

Adiabatne temperature na površini nosilca dolocene v prvem delu analize uporabimo kot robni

pogoj pri toplotno-vlažnostni analizi. Ker se temperatura vzdolž nosilca spreminja, razdelimo

nosilec na vec polj (slika 3), katerim predpišemo razlicno temperaturo na površini nosilca. Tako

za nosilec N4 opravimo 11 toplotno-vlažnostnih analiz, za nosilec N5 pa 6 analiz.

Slika 3 : Razpored temperaturnih polj vzdolž nosilcev a) N4 in b) N5

Toplotne lastnosti lesa pri toplotno-vlažnostni analizi so izbrane skladno z [1]. Osnovni podatki,

ki jih upoštevamo pri izracunu pa so naslednji: ρv,0 = 9 g/m3, cb,0 = 45.6 kg/m3, Pg,0 = 0.1 MPa,

m0 = 12 %, ρ0 = 460 kg/m3, ε = 0.8, αc = 35 W/m2K. Precni prerez nosilca diskretiziramo s

štiri-vozlišcnimi koncnimi elementi, pri cemer velikost enega elementa znaša 2.5×2.5 mm2.

Na sliki 4 prikazujemo razpored temperature po precnem prerezu nosilca N4, ki je izvrednoten

pri x = 4.35 m, kar pomeni, da za robni pogoj upoštevamo temperaturno polje T5. Zaradi

vecje preglednosti so rezultati podani samo do z = 200 mm. Temperaturna skala je omejena na

300◦C, z razlogom, da dolocimo debelino zoglenele plasti (Togl = 300◦C). Prerez zacne ogleneti

pri casu t = 9.5 minute, najvecja debelina 10.5 mm pa je dosežena pri t = 15.5 minut. Ker je

oglenenje nepovraten proces, debelina zoglenele plasti ostane 10.5 mm tudi v fazi ohlajanja.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Slika 4 : Razporeditev temperature po precnem prerezu nosilca N4 pri x = 4.35 m.

4.3 Mehanska analiza

Pri mehanski analizi nosilec N4 modeliramo s 35 linijskimi koncnimi elementi, nosilec N5 pa s

32 elementi. Podatki, ki jih uporabimo za konstitucijski zakon lesa so naslednji: Et,T0 = Ec,T0 =1260 kN/cm2, ft,T0 = fc,T0 = 2.8 kN/cm2, Dt,T0 = Dc,T0 = 0.0022, Dc,p = 0.035, Dt,p = 0.018,

Ec,p,T0 = Et,p,T0 = 50 kN/cm2.

Na podlagi mehanske analize ugotovimo, da za celoten cas požarne izpostavljenosti ne pride do

porušitve nosilca. Razvoj navpicnega pomika na sredini razpona nosilcev N4 in N5 je predsta-

vljen na sliki 5a. Najvecji pomik nosilca N4 znaša 38.6 mm, medtem ko so rahlo vecji povesi

zabeleženi za nosilec N5. Najvecja pomika se od zacetnih razlikujeta samo za 5.8 mm (N4) in

8.7 mm (N5). To nakazuje, da je vpliv požara za predvidena požarna scenarija na konstrukcijo

majhen.

Slika 5 : a) Razvoj pomika na sredini razpona nosilca b) Razporeditev napetosti po precnem

prerezu nosilca

Razporeditev napetosti po precnem prerezu nosilca N4 podamo na sliki 5b. Napetosti so podane

na mestu najvišje temperature (x = 4.35 m) in na mestu najvecje obremenitve (x = 12.15 m),kjer najvecje napetosti znašajo 0.58 kN/cm2 v tlaku in 0.64 kN/cm2 v nategu. Kot je razvidno,

je nivo napetosti precej manjši v primerjavi s trdnostjo lesa pri sobni temperaturi ( ft,T0 = fc,T0 =

- -

Kuhljevi dnevi 2018

2.8 kN/cm2), iz cesar lahko sklepamo, da sta nosilca N4 in N5 sposobna prevzeti bistveno vecjo

mehansko in požarno obtežbo. Na sliki 5b je tudi razlocno opazna prerazporeditev napetosti za

cas t > 0. Pri casih t = 15 in t = 20 minut se najvecje napetosti pojavijo v notranjem delu

precnega prereza, kjer dvig temperatur ni prisoten. Na delu precnega prereza nosilca, kjer pride

do dviga temperatur, tj. bližje izpostavljenemu robu, pa so napetosti nižje, saj so omejene s

temperaturno odvisno trdnostjo lesa. Poleg tega, so napetosti na delu zoglenelega precnega

prereza enake nic, saj zoglenel sloj nima trdnostnih karakteristik.

5 Zakljucek

V prispevku smo prikazali odzivni pristop projektiranja lesenega lepljenega nosilca s spremen-

ljivo višino izpostavljenega požaru. Celotno požarno analizo smo razdelili v tri faze. V prvi

fazi smo s programom FDS dolocili širjenje toplote in dima po prostoru ter razvoj temperatur

na površini lesenega nosilca. S toplotno-vlažnostno analizo smo nato v drugi fazi izracunali raz-

poreditev temperatur po precnem prerezu nosilca za merodajna požarna scenarija. V zadnjem

delu analize pa smo na podlagi mehanskega modela dolocili še odziv ter odpornost nosilca v

požaru. Analiza je pokazala, da do porušitve nosilca ne pride v nobenem izmed obravnavanih

požarnih scenarijev. Sklepamo tudi, da je nosilec sposoben prevzeti bistveno vecjo požarno

obtežbo.

Literatura

[1] EN 1995-1-2: 2005 Evrokod 5: Projektiranje lesenih konstrukcij - 1-2. del: Splošna pravila

- Projektiranje požarnovarnih konstrukcij.

[2] Fire Dynamics Simulator (FDS) and SmokeView (SMV). http://firemodels.github.io/fds-

smv (Pridobljeno: 13.7.2013).

[3] R. Pecenko, S. Svensson, T. Hozjan, 2015, Modelling heat and moisture transfer in timberexposed to fire, Int J Heat Mass Transfer, 87, 598–605.

[4] GiiP d.o.o., 2011, Vecnamenska dvorana ŠPIC D, Nacrt gradbenih konstrukcij.

[5] E. Reissner, On one-dimensional finite-strain beam theory: the plane problem, J. Appl.

Math. Phys. 23, 795–804, 1972.

[6] I. Planinc, 1998, Racun kriticnih tock konstrukcij s kvadraticno konvergentnimi metodami,Doktorska disertacija, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Odde-

lek za gradbeništvo: 83 str.

[7] D. Drysdale, 1998, An introduction to fire dynamics - 2nd edition, Chichester, John Wiley

& Sons, 451 str.

[8] J. Hietaniemi, E. Mikkola, 2010, Design Fires for Fire Safety Engineering, VTT Working

Papers 139, VTT Technical Research Centre of Finland, 101 str.

- -

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Nelinearna nihanja harmonično vzbujenega viskoelastičnega nosilca s tlačno aksialno obremenitvijo

Rudolf Pušenjak1 in Anatolij Nikonov2

Nonlinear vibration of harmonically excited viscoelastic beam with compressive axial load

Povzetek. Nihanja nelinearnih dinamičnih sistemov, za katere je značilen periodični, aperiodični ali celo kaotični značaj, predstavljajo velik raziskovalni izziv zaradi teoretičnih dosežkov in številnih primerov uporabe v praksi. Metoda, ki omogoča izračun približnih analitičnih rešitev dinamičnih sistemov z velikimi nelinearnostmi je metoda koračnega harmonskega ravnovesja (MKHR). V tem prispevku MKHR uporabljamo za analizo upogibnih nihanj viskoelastičnega nosilca z zunanjim harmoničnim vzbujanjem, ki je hkrati podvržen tlačni aksialni sili. V ta namen vpeljemo v vodilno enačbo upogibnih nihanj nosilca faktor dušenja. V prispevku je prikazano, da lahko s predlagano metodo brez težav obravnavamo upogibna nihanja obojestransko členkasto vpetega nosilca ne glede na to, ali je aksialna obremenitev v podkritičnem ali nadkritičnem področju, oziroma je enaka Eulerjevi kritični aksialni sili. Izvedena je verifikacija rezultatov osnovne resonance nosilca s pomočjo numerične integracije vodilne enačbe z uporabo metode Runge-Kutta. Primerjava izkazuje dobro ujemanje pri stabilnih vejah resonančne krivulje, vendar pa popolno nezmožnost numeričnega izračuna nestabilnih vej. Sposobnost MKHR, da lahko vselej izračuna tako stabilne kot nestabilne veje rešitev, je očitna prednost MKHR pred numerično integracijo po metodi Runge-Kutta.

Abstract. Vibration of nonlinear dynamical systems, which can exhibit periodic, aperiodic and even chaotic oscillation pattern, represents a great research challenge due to the theoretical achievements and numerous practical applications. The method, which offers computation of approximate analytical solutions of dynamical systems with strong nonlinearities is the incremental harmonic balance (IHB) method. In this paper, IHB method is used for the analysis of the buckling phenomenon of the hinged-hinged viscoelastic beam, which is excited by the external harmonic force and in the same time subjected to the compressive axial loading. In order to discover the viscoelastic behaviour of the beam, the damping factor is introduced. In the paper is shown that the proposed IHB method successfully computes nonlinear periodic transversal bending vibration irrespective of the extent of the compressive axial loading. The verification of computed results in the case of fundamental resonance of the beam is made by comparing results of numerical integration of the governing NDE by means of Runge-Kutta method. The results agree very well for stable branches of resonance curve, however Runge-Kutta method is unable to compute solutions

1 Fakulteta za industrijski inženiring Novo mesto, Šegova ulica 112, Novo mesto2 Fakulteta za industrijski inženiring Novo mesto, Šegova ulica 112. Novo mesto

Kuhljevi dnevi 2018

- -

for unstable branches. This demonstrates the advance of the IHB method, which can compute stable as well as unstable solutions without any difficulties.

1 Uvod

Nelinearne vibracije nosilcev vzbujajo veliko zanimanje na različnih tehničnih področjih in so predmet številnih raziskav. Zahteve po izboljšanih lastnostih konstrukcijskih elementov so čedalje večje predvsem zaradi številnih aplikacij v tehnologiji in komponentah, ki se uporabljajo v strojništvu. Številne konstrukcije, med katere spadajo listi rotorjev pri helikopterjih, antene vesoljskih plovil, fleksibilni sateliti, letalska krila, robotske roke, stolpnice, mostovi z velikim razponom, lahko modeliramo kot elemente, podobne nosilcem. Problem prečnih upogibnih nihanj nosilcev je pri številnih avtorjih kot so Sedighi in Reza [6], Freno in Cizmas [2] ter mnogi drugi, postavljen v obliki nelinearne parcialne (integro)-diferencialne enačbe gibanja s pripadajočimi robnimi pogoji. Za reševanje vodilne nelinearne parcialne diferencialne enačbe prečnih upogibnih nihanj nosilca obstajajo različni, tako analitični kot numerični postopki, s katerimi lahko izvedemo natančno analizo vibracij z namenom, da bi bolje razumeli naravo nihanj teh struktur. V tem članku bomo spoznali, da lahko z izbiro metode za izračun približnih analitičnih rešitev ugotavljamo splošno veljavne zakonitosti, česar nam numerične metode ne omogočajo, ker dobljene rešitve veljajo le v posameznih primerih. Izbor približnih analitičnih metod je razmeroma obsežen: asimptotične metode, ki temeljijo na uporabi potenčnih vrst so praviloma omejene na probleme s šibkimi nelinearnostmi [4], metoda harmonskega ravnovesja (MHR) in metoda koračnega harmonskega ravnovesja (MKHR) kot njena izboljšana različica pa omogočata tudi reševanje nelinearnih problemov z velikimi nelinearnostmi. MHR in MKHR temeljita na okrnjenih Fourierjevih vrstah, pri čemer je MKHR razvita v varianto, ki s spreminjanjem prostih parametrov omogoča analizo razvejitev [5]. V tem članku bomo MKHR razvili v obliko, ki je primerna za analizo vibracij viskoelastičnega nosilca z obojestranskim členkastim vpetjem.Zaradi številnih aplikacij uvajanja polimernih materialov v tehniki, so se začele razvijati raziskave nelinearnih nihanj viskoelastičnih nosilcev [1,3]. Večina dosedanjih analitičnih študij je bila omejena na linearni model, medtem ko so bili za raziskave nelinearnih nihanj viskoelastičnih nosilcev uporabljeni numerični pristopi. Sedanja raziskava je namenjena analitični študiji osno obremenjenega viskoelastičnega nosilca. Dobljeni rezultati za osnovno resonanco nosilca so preverjeni s primerjavo rezultatov numerične integracije vodilne enačbe z uporabo metode Runge-Kutta.

2 Prečna upogibna nihanja nosilca z obojestransko členkastim vpetjem

V tem članku obravnavamo prečna upogibna nihanja nosilca z obojestransko členkastim vpetjem. Upogibno deformacijo nosilca prikazuje slika 1, kjer x označuje spremenljivo razdaljo, ki jo merimo od levega konca nedeformiranega nosilca. Pomike v prečni smeri označimo z w(x,t). Nosilec je na obeh koncih obremenjen s tlačno osno silo in obenem podvržen zunanjemu harmoničnemu vzbujanju P(x,t), ki je krajevno porazdeljeno in tako odvisno od prostorske koordinate x in časa t.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 1: Upogibno nihanje nosilca z obojestranskim členkastim vpetjem z zunanjim harmoničnim vzbujanjem in aksialno obremenitvijo.

Vzemimo homogen in izotropni viskoelastični nosilec dolžine L. Prečni prerez, moment vztrajnosti in gostota materiala nosilca so ustrezno označeni z A, I in ρ. Nelinearne gibalne enačbe so izpeljane v tem delu na osnovi Newtonovega drugega zakona gibanja z uporabo Kelvin-Voigtovega reološkega modela materiala, ki popisuje disipacijo energije v viskoelastičnem nosilcu. Če upoštevamo le deformacije viskoelastičnega nosilca v prečni smeri, ki ustrezajo upogibnim nihanjem nosilca, lahko konstitutivno enačbo izrazimo na naslednji način:

, , (1)kjer je E modul elastičnosti materiala, je viskoznost dušilca v Kelvin-Voigtovem reološkem modelu, oz. faktor dušenja za viskoelastični nosilec, je aksialna napetost, ustrezna aksialna deformacija nosilca, w pa so pomiki nosilca v prečni smeri. Upogibni moment viskoelastičnega nosilca je povezan z ustreznimi pomiki s pomočjo enačbe [3]:

. (2)

Z uporabo Newtonovega drugega zakona o gibanju nosilca v prečni smeri, z upoštevanjem obremenitvene tlačne osne sile , zunanjega harmoničnega vzbujanja P(x,t) ter vstavljanjem enačb (1) in (2) v enačbo gibanja , izpeljemo vodilno nelinearno parcialno diferencialno enačbo majhnih pomikov v prečni smeri w(x,t), v kateri zanemarimo longitudinalno gibanje nosilca:

2 22 4 2 2 5 3

2 4 2 4 23 2 ,2

w w w w w w w w wA EI AE A I A P x tx x x t xt x x x t x t

,(3)

skupaj s pripadajočimi robnimi pogoji v točkah vpetja: 2 2

2 2

0, ,0, , 0, 0

w t w L tw t w L t

x x. (4)

Analizo upogibnih nihanj nosilca si poenostavimo s tem, da predpostavimo simetrično krajevno porazdelitev vzbujanja P(x,t) glede na koordinato x=½L. S tem lahko predvidevamo, da nosilec niha po prvem načinu nihanja, pri čemer tako vzbujanje P(x,t) kot upogibna deformacija w(x,t) zavzameta sinusno obliko v odvisnosti od koordinate x. Poleg tega predpostavimo še, da se vzbujanje P(x,t) s časom spreminja po kosinusnem zakonu. Z

Kuhljevi dnevi 2018

- -

upoštevanjem krajevne porazdelitve in časovnih sprememb lahko rešitev enačbe (3) iščemo z nastavkom:

, cos sin , , sinx xP x t p t w x t u tL L

. (5.a,b)

Če nastavka (5.a,b) vstavimo v enačbo (3), izvedemo separacijo spremenljivk, integriramo posamezne člene enačbe (3) v mejah od x=0 do x=L in upoštevamo še robne pogoje (4), izpeljemo naslednjo enačbo časovnega poteka upogibnih nihanj nosilca u(t):

22

2 2 24 42 3d d 1

d 24 4 4dcosu u

tt

EI L pI Eu u u tA AL A L L

. (6)

Enolična rešitev problema upogibnih nihanj (3) zahteva razen izpolnitve štirih robnih pogojev (4) še izpolnitev dveh začetnih pogojev pri enačbi (6). Ker nas v nadaljevanju ne zanima prehodna, temveč le ustaljena periodična rešitev, začetnih pogojev za enačbo (6) ni potrebno predpisati.

3 Metoda koračnega harmonskega ravnovesja (MKHR) za upogibna nihanja nosilcev

Metoda koračnega harmonskega ravnovesja (MKHR) je metoda, ki se v splošnem uporablja za iskanje ustaljenih periodičnih in skoraj periodičnih rešitev nelinearnih sistemov z več prostostnimi stopnjami [5]. V tem članku jo bomo priredili tako, da bo ustrezala obravnavi upogibnih nihanj nosilcev, ki jih lahko opišemo z enačbo (6). V MKHR najprej uvedemo novo, brezdimenzijsko časovno spremenljivko =μt, kjer je μsubharmonski faktor. Subharmonski faktor ima vrednost μ=1, če obravnavamo osnovno ali superharmonično resonanco in je nek ulomek v primeru subharmoničnih resonanc. Z uvedbo nove časovne spremenljivke moramo zamenjati običajna časovna odvoda upogibnih deformacij z diferencialnima operatorjema:

2 22 2

2 2d d d dd dd d

, tt(7)

s čemer preide diferencialna enačba (6) v enačbo:

22

2 2 24 42 2 2 3d d 1

d 24 4 4dcosu u

EI L pI Eu u uA AL A L L

, (8)

ki jo lahko z MKHR rešujemo. Prvi korak pri implementaciji MKHR je uporaba Newton-Raphsonovega iterativnega postopka. V Newton-Raphsonovem iterativnem postopku izhajamo iz nekega začetnega (ali poskusnega) stanja u(), , η, p, da bi z dodajanjem prirastkov u(), , η , p izračunali novo stanje:

,

,

,

.

nov

nov

nov

nov

u u u

p p p

(9)

Prirastki , η , p predstavljajo pomembno dopolnitev MKHR v primerjavi z MHR. S pomočjo teh prirastkov lahko avtomatiziramo sledenje vej resonančnih krivulj in izvajamo raziskave razvejitev [5]. Ker iščemo ustaljeno periodično rešitev, jo izrazimo v obliki

Kuhljevi dnevi 2018

Fourierjeve vrste. Teoretično bi vrsta morala vsebovati neskončno mnogo členov, vendar jo zaradi omejitev, ki jih določa zmogljivost računalnika (razpoložljivi prostor v pomnilniku, omejitev časa računanja, itd.), v praksi okrnemo in obdržimo le končno, vseeno pa dovolj veliko število členov N. Če obravnavamo osnovno resonanco, pri kateri je μ=1, se sodi harmoniki zaradi kubičnih nelinearnosti v enačbi (8) ne razvijejo, zato lahko periodično rešitev izrazimo v obliki:

1T

1 1

1T

1 1

cos 2 1 sin 2 1 ,

cos , cos 2 1 , sin , , sin 2 1 , , , a , , , ,

cos 2 1 sin 2 1 ,

, , a , , , ,

Nk k

k

N NN

k kk

N N

u a k b k

N N a b b

u a k b k

a b b

T a

T a

T a

a

T1, , , a , , , ,T1 N N1, ,1, , a , , ,, , a , , ,1 11, ,11i is , , , scos , s , , s, s, s ,2 1 i icos sin , , sin, sin, si

T ,N N1, ,1b b, ,1aa b b11, ,11

(10)

V enačbi (10) okrnjeno Fourierjevo vrsto predstavimo s skalarnim matričnim produktom T∙ a,kjer je T matrika harmoničnih funkcij, ki ustrezajo posameznim harmonikom vrste, a je stolpni vektor Fourierjevih koeficientov, a pa stolpni vektor prirastkov Fourierjevih koeficientov v Newton-Raphsonovem iterativnem postopku. Z zgornjim indeksom T je označena transpozicija vektorja oziroma matrike. Drugi korak v MKHR predstavlja Galerkinov postopek. V Galerkinovem postopku uvrstimo enačbe (9) in (10) v enačbo (8), ločimo izraze v prirastkih od izrazov z začetno rešitvijo tako, da obdržimo samo izraze prvega reda v prirastkih, izraze v prirastkih vektorja Fourierjevih koeficientov a obdržimo na levi strani enačbe, vse druge izraze pa prenesemo na njeno desno stran. Nato obe strani premultipliciramo z variacijo rešitve v matrični obliki u = ((Ta))T = (Ta)T=aTTT in nazadnje še na obeh straneh integriramo na spremenljivko v mejah od 0 do 2. S tem dobimo variacijsko enačbo:

22

22

2 2 24 4 T 42 T T 2 2 T T T T Td d 31-

5-

24 4 4 4d0

2 T T1

0

42 T T 2 2 d14d0

d2 dd

1 cos

EI LI EAL L A L L

p p dA

IAL

T T

T

Ta T a T T a a T a a T T a T a

a T

a T2 2 2 4

T T T Td 1d 24 4

2 4 22 2T T 2 T T T T T T1 12 4 40 0

d

d d d2 d dd dd

EI L EA L L

I IA AL L

Ta T T a a T T a T a

T T Ta T a T T a a a T a T T a a

(11)

Ker je variacija vektorja Fourierjevih koeficientov aT poljubna, smemo variacijsko enačbo(11) s tem vektorjem okrajšati, s čemer dobimo linearno matrično algebrajsko enačbo za neznani vektor prirastkov Fourierjevih koeficientov a:

H a R F U V , (12) kjer je

22

2 2 24 4 T 42 T 2 2 T T T T Td d 31d 24 4 4 4d0

d2 dd

EI LI EAL L A L L

T T TH T a T T a a T a a T T a T (13)

tangentna matrika,

22

2 2 24 42 T 2 2 T T T Td d1 1d 24 4 4d0

cos dEI Lp I E

A AL A L LT TR T a T T a a T T a T a

(14)

je vektor ostankov (rezidualni vektor),

Kuhljevi dnevi 2018

- -

2 T1

0cos

p dA

F T , (15)

je vektor prirastka amplitude harmonične vzbujevalne sile, U in V pa sta gradientna vektorja: 2 4 22 2T 2 T T T T T1 1

2 4 40 0

d d d2 d , d .d dd

I IA AL L

T T TU T a T T a a V T a T T a a . (16)

Z enačbami (12)-(16) je rešitev problema upogibnih vibracij nosilca po metodi MKHR popolnoma opisana. Če predpostavimo, da iščemo rešitev enačbe (12) pri fiksnih vrednostih vzbujevalne amplitude p in parametrov ter η, so pripadajoči inkrementi p, F, in ηenaki nič. V tem primeru dobimo eksaktno rešitev enačbe (12), ko je vektor ostankov enak nič, R=0. Pri reševanju nelinearnih problemov z MKHR je na splošno to redek primer in se zato zadovoljimo s tem, da postane norma vektorja R v Newton-Raphsonovem iterativnem postopku dovolj majhna, Rtol , kjer tol pomeni predpisano toleranco.

3.1 Približna analitična rešitev za osnovno resonanco nosilca z MKHR

Za osnovno resonanco viskoelastičnega nosilca z obojestranskim členkastim vpetjem lahko z MKHR dobimo približno analitično rešitev. Zaradi osnovne resonance je μ=1, rešitev pa poiščemo z nastavkom (10), v katerem Fourierjevo vrsto okrnemo na en sam harmonski člen,

T1 1 1 1cos sin , cos , sin , , ,u a b a bT a T a 1 1cos sin ,u a b T a T

1 1, ,a ba

Eksaktna rešitev enačbe R=0 se v tem primeru glasi: 44 2

2 2 2 2 211 1 1 1 1 144 2 4

44 22 2 2 2 211 1 1 1 1 144 2 4

3 ,8

3 0.8

pE I Ia b a a b bA A AL A L L

E I Ia b b a b aA AL A L L

(17)

Če uvedemo amplitudo U z relacijo U2=a12+b1

2, dobimo z nekaj pretvarjanja enačb (17) naslednji amplitudno-frekvenčni odziv osnovne resonance viskoelastičnega nosilca:

2 2 24 2 42 2 2 23 1

8 44 2 4 2 2pE I IU U U

A AL AL L A. (18)

Rešitev je splošna in velja za poljubno velikost tlačne aksialne obremenitve Γ. Z drugimi besedami to pomeni, da lahko s pomočjo enačbe (18) konstruiramo resonančno krivuljo osnovne resonance viskoelastičnega nosilca ne glede na to, ali je tlačno obremenjen z aksialno

silo, ki je manjša, enaka ali večja od kritične Eulerjeve aksialne sile 2

2EI

L. Pomembni

lastnosti rešitve (18) sta, da omogočata izračun stabilnih in nestabilnih vej resonančnih krivuljin analizo nelinearnih nihanj pri velikih nelinearnostih. V izpeljavi enačbe (18) namreč nismo

zahtevali majhnih vrednosti kubične nelinearnosti nosilca 4

312 4

E uL

, pa tudi ne majhnega

viskoznega dušenja nosilca 4

24

dd

I uuA tL

, kar je običajna zahteva v perturbacijskih

metodah, denimo v Razširjeni Lindstedt-Poincarejevi metodi z več časovnimi skalami [4].

Kuhljevi dnevi 2018

- -

4 Rezultati in razprava

Verifikacijo dobljenih rezultatov lahko izvedemo s pomočjo numerične integracije enačbe (6) po metodi Runge-Kutta, ki jo prikazuje slika 2. V diagramu je prikazan potek resonančnihkrivulj osnovne resonance viskoelastičnega nosilca za podkritično tlačno osno silo

2 20.95 /EI L , Eulerjevo kritično osno silo 2 2/EI L in za nadkritično osno silo2 21.05 /EI L . V izračunih resonančnih krivulj so uporabljene vrednosti parametrov:

masna gostota ρ=1200 kg/m3, modul elastičnosti E=3000 MPa, faktor dušenja η=0.25 MPa∙s, dolžina nosilca L=0.3 m, višina nosilca h=1 cm, debelina nosilca b= 3 cm in amplituda harmonične vzbujevalne sile p=1 N/m. Polno izvlečena krivulja je dobljena po MKHR na osnovi enačbe (18) ter primerjana z rezultati po metodi Runge- Kutta, ki so prikazani s krožci in trikotniki. Rezultati kažejo zelo dobro ujemanje na celotnem frekvenčnem področju, razen pri nizkih frekvencah, kar je posledica obstoja visokih harmonikov v tem frekvenčnem področju, ki v enačbi (18) zaradi okrnitve Fourierjeve vrste niso upoštevani.

Slika 2: Osnovne resonance viskoelastičnega nosilca s podkritično, kritično in nadkritično tlačno osno silo izračunane po MKHR (──) in po metodi Runge-Kutta (o o o , ∆ ∆ ∆).

Podrobnejši pregled diagrama na sliki 2 pokaže, da z metodo Runge-Kutta ne moremo izračunati nestabilne veje. Vzrok za to so numerični podatki, ki vsebujejo numerični šum, posledica katerega je neizbežen preskok na (zgornjo ali spodnjo) stabilno vejo. Analiza stabilnosti je izčrpno obravnavana v [5], v tem članku pa je zaradi omejenega obsega ne moremo vključiti.Družino resonančnih krivulj osnovne resonance viskoelastičnega nosilca za različne vrednosti faktorja dušenja η=10 Pa∙s, η=0.25 MPa∙s, η=0.5 MPa∙s in η=1 MPa∙s, ki je obremenjen s kritično osno silo 2 2/EI L prikazuje slika 3. Iz slike je razvidno, da se amplitude

resonančnih vrhov z naraščajočim faktorjem dušenja η manjšajo, njihova lega na frekvenčni osi pa pomika k nižjim frekvencam. Značilni pojav skoka iz zgornje veje na spodnjo vejo, ki mu v resonančni krivulji ustrezajo tri realne rešitve enačbe (18) pri izbrani frekvenci ω,opazimo na sliki 3 pri prvih treh izbranih vrednostih faktorja dušenja. Pojav skoka pa na sliki 3 ni več prisoten pri vrednosti faktorja dušenja η=1 MPa∙s, kjer ima enačba (18) na vsem frekvenčnem območju eno samo realno rešitev.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 3: Družina krivulj osnovne resonance viskoelastičnega nosilca pri kritični tlačni osni sili ter različnih vrednostih faktorja dušenja η.

5 Zaključek

Izvedba natančne nelinearne analize nihanj nosilcev je zahtevna naloga ne le zaradi narave nelinearnosti, temveč tudi zaradi vključitve materialnih lastnosti viskoelastičnih nosilcev in različnih režimov vedenja, ko je nosilec harmonično vzbujan, poleg tega pa še tlačno obremenjen z osno silo. V članku smo za reševanje teh problemov predstavili MKHR in s primerjavo prikazali dobro ujemanje z rezultati numerične integracije po metodi Runge-Kutta,hkrati pa tudi omejitev te metode v primerjavi z MKHR. Kot sklep lahko povzamemo, da je MKHR zanesljiva analitična metoda, ki enako dobro deluje tako v podkritičnem, kritičnem ali nadkritičnem območju tlačne osne obremenitve viskoelastičnega nosilca. Še več, analitična rešitev, dobljena z MKHR omogoča, da spoznamo določene zakonitosti v pogledu stabilnosti,ki jih predvsem z uporabo numeričnih metod ne bi mogli dognati.

Literatura

[1] L. Q. Chen, X. D. Yang, Steady state response of axially moving viscoelastic beams with pulsating speed: comparison of two nonlinear models. International Journal of Solids and Structures, 42, 37-50, 2005.

[2] B. A. Freno, P. G. A. Cizmas, An investigation into the significance of the non-linear terms in the equations of motion for a cantilevered beam. International Journal of Non-Linear Mechanics, 47(3), 84–95, 2012.

[3] M.H. Ghayesh, F. Alijani, M.A. Darabi, An analytical solution for nonlinear dynamics of a viscoelastic beam-heavy mass system. Journal of Mechanical Science and Technology, 25 (8), 1915-1923, 2011.

[4] R. R. Pušenjak, Extended Lindstedt-Poincare method for non-stationary resonances of dynamical systems with cubic nonlinearities. J. Sound and Vib., 314, 194–216, 2008.

[5] R. R. Pušenjak, M. M. Oblak, Incremental harmonic balance method with multiple time variables for dynamical systems with cubic nonlinearities. Int. J. Numer. Methods Eng., 59(2), 255-292, 2004.

[6] H.M. Sedighi, A. Reza, High precise analysis of lateral vibration of quantic nonlinear beam. Latin American Journal of Solids and Structures, 10, 441 – 452, 2013.

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo

Meritve poteka vodne gladine turbulentnega dvofaznega toka z uporabo laserskega skeniranja

Gašper Rak1, Marko Hočevar2, Urban Pavlovčič2, Franci Steinman1

Water surface profile measurements of turbulent two-phase flow using laser scanning

Povzetek. Lasersko skeniranje, ki omogoča zajem podatkov z veliko prostorsko in časovno resolucijo, je danes široko uporabljena merilna metoda. V članku je prikazana uporabnost merilne metode za določitev poteka vodne gladine pri izrazito tridimenzionalnih tokovnih razmerah valovanja in pojavu turbulentnega dvofaznega toka.Zaradi hitre spremenljivosti vodne gladine in pojava razpenjenega oz. dvofaznega toka merilne metode, ki se običajno uporabljajo v hidrotehniki, niso primerne za zajem topografije vodne gladine z veliko prostorsko in časovno ločljivostjo. Merilna metoda, ki sicer velja za manj primerno ali celo neuporabno za meritve površine vodnih teles, je bila uspešno uporabljena za meritve vodne gladine dinamičnega, razburkanega dvofaznega vodnega toka.

Abstract. Laser scanning enable data acquisition with high spatial and time resolution and it is nowadays widely used. The article presents usefulness of laser scanning as measurement method for acquisition of water surface profile for distinctively three-dimensional flow conditions of standing waves and occurrence of turbulent two-phase flow. Due to the fast water surface dynamics and the phenomenon of foamed or two-phase flow, the measurement methods typically used in hydro engineering are not suitable for capturing complex water surface topography with high temporal and spatial resolution. The measurement method, which is considered less suitable or even useless for measurements of water body surfaces, was successfully used for water surface measurements of dynamic, turbulent, two-phase water flow.

1 Uvod

V hidravličnem inženirstvu so za merjenje gladin še vedno najpogosteje uporabljene klasične merilne metode, kot so uporovna sonda, piezometri, ostna merila, ultrazvočni merilniki itd.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Omenjene metode dajejo natančne rezultate ob primernih tokovnih razmerah (mirna vodna gladina oz. počasna dinamika, brez škropljenja ipd.), ne omogočajo pa meritev globine vode pri hitro spremenljivih vrednostih in tudi ne pri dvofaznem toku. Slabost vseh omenjenih metod, s katerimi se izvajajo točkovne meritve, ki je tudi vodila k iskanju novih merilnih metod, je tudi nemoč izvedbe meritev s hkratno veliko prostorsko in časovno ločljivostjo sočasno oziroma vsaj v dovolj majhnih časovno sprejemljivih intervalih. To je predvsem pomembno pri kompleksni vodni gladini z veliko dinamiko in v primerih, kjer je cilj zajem stanja in dinamike gladine celotnega prečnega prereza ali meritve (povprečja in dinamike) topografije na območju obravnave. Primer takšnih tokovnih razmer je na sliki 1.

Slika 1: Tokovne razmere na sotočju dveh deročih vodnih tokov (levo pogled dolvodno, desno pogled proti toku).

V zadnjih letih so že bili objavljeni rezultati nekaterih raziskav pri katerih so za meritve časovno spremenljive vodne gladine uporabili lasersko skeniranje. Različne raziskovalne skupine so metodo uporabile za laboratorijske meritve potovanja valov v kanalu ([1], [2], [3]).Zaradi zrcalne narave vodne gladine pride do odboja žarka, ki se vrne na sprejemnik laserskega skenerja, le, če laserski žarek zadene vodno gladino pod pravim kotom oziroma kotom 0°. V primeru zrcalnega odboja pri žarku, ki zadene vodno površino pod večjim kotom, prihaja do odboja pod enakim kotom v smeri stran od laserskega skenerja, zaradi česar ni povratnega žarka, ki bi ga sprejemnik lahko zaznal. Do nepovratnega signala lahko pride tudi zaradi popolne disipacije energije žarka pri stiku z objektom ali pri nadaljevanju poti skozi vodno telo. Laserski skener pa lahko prejme povratni signal v primeru, če žarek zadene delec (suspendirani delci, mehurčki, dno) na oz. v vodnem telesu. V ta namen so zgoraj omenjene raziskovalne skupine uporabile dodatek za povečanje kalnosti vode in s tem poskušale izboljšati odbojnost, povečati število odbitih signalov in tako tudi število dejanskih meritev na območju vodne gladine. Kljub uspešnim meritvam nekaterih avtorjev, ki so s svojimi poskusi potrdili uporabnost metode ob dodajanju delcev za izboljšanje odbojnosti, pa je treba poudariti, da pri eksperimentalni hidravliki, zaradi občutljivih elementov preizkuševališč, kot so črpalke

Kuhljevi dnevi 2018

- -

in merilna oprema neposredno na cevovodih ter velikih količin vode v sistemu, dodajanje delcev pogosto ni mogoče. Pri pregledu nam dostopne literature pa nismo zasledili, da bi bilo lasersko skeniranje uporabljeno na primerih s čisto vodo v laboratorijskih ali terenskih meritvah. Zato je bil cilj naše raziskave preveritev uporabnosti laserskega skeniranja pri merjenju gladine čiste vode in merilna negotovost, ki jo je pri tem mogoče doseči.

2 Eksperimentalna postaja in merilna oprema

Eksperimentalno delo smo opravili v hidravličnem laboratoriju Fakultete za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani. Meritve so bile razdeljene v dva sklopa. V prvem smo izvedli analizo delovanja naprave, umerjanje in verifikacijo rezultatov pri različnih, vendar enostavnih pogojih z mirno gladino in z možnostjo natančne določitve referenčnih vrednosti. Rezultati tega sklopa tu niso podrobneje podani, so pa na voljo v drugem članku [4]. V drugem sklopu smo lasersko skeniranje uporabili za meritve stoječega valovanja na sotočju pri deročem toku, kjer se pojavlja izrazita nestacionarna, 3D vodna gladina.

2.1 Merilna oprema

Pri meritvah smo uporabili dva 2D laserska skenerja, zato smo meritve izvajali po posameznih prečnih prerezih, iz njih rekonstruirali potek vodne gladine v posameznem prečnem prerezu, iz njih pa tudi topografijo vodne gladine preko celotnega območja meritev. V preizkus smo vključili dve napravi proizvajalca SICK, obe namenjeni industrijski uporabi, in sicer laserski skener LMS400 in LMS511 (slika 2).

Slika 2: Meritve so bile izvedene z laserskima skenerjema proizvajalca SICK.

Napravi delujeta v bližnji infrardeči svetlobi valovne dolžine λ=905 nm (LMS511) oziroma v vidni rdeči svetlobi valovne dolžine λ=650 nm (LMS400). Na stiku s površino se del svetlobe absorbira, del razprši v okolico in del odbije nazaj proti sprejemniku. Razdaljo se ob poznavanju hitrosti potovanja svetlobe določi na podlagi časa potovanja svetlobe do ovire in nazaj. Medtem, ko je laserski skener LMS511 namenjen merjenju objektov na večjih razdaljah, je LMS400 predvsem za notranjo uporabo, kjer razdalje ne presegajo 7 m. Temu sorazmerni sta tudi sistematična in statistična napaka, ki so bistveno manjše pri LMS400. Glede na to, da je v raziskavi šlo za laboratorijske meritve, merilni doseg ni predstavljal omejitvenega faktorja, pomembno pa bi napaka meritev lahko vpliva na rezultate. Pomembna razlika je tudi pri

Kuhljevi dnevi 2018

- -

frekvenci skeniranja, saj ima LMS511 možnost izbire frekvence skeniranja 25 - 100 Hz in kotne resolucije 0.1667° do 1. 0°, LMS400 pa med 270 - 500 Hz in kotni resoluciji 0.1° do 1.0°. Pri tem niso mogoče vse kombinacije. Z večanjem frekvence snemanja se namreč zmanjšuje možnost izbire večje kotne resolucije. Pri LMS511 je pri frekvenci 100 Hz možna največja kotna resolucija 0.67°. Pri LMS400 je pri mogoče meritve z zadostno stopnjo natančnosti pri kotni resoluciji 0.2° doseči tudi še pri 290 Hz oziroma 500 Hz pri kotni resoluciji 0.4°.

Ker verifikacija laserske merilne metode ni mogla biti izvedena s klasično merilno tehniko,smo referenčne vrednosti določili z analizo slikovnih sekvenc. Nihanje vodne gladine je bilo snemano s hitro kamero, za določitev absolutnih vrednosti pa je v vodni tok bila postavljena tanka kovinska letvica z merilom, katere vpliv pri danih tokovnih razmerah lahko zanemarimo. Vodna gladina je bila tik ob merilu, zaradi lažje kasnejše obdelave slik, predvsem pa zaradi večje ločljivosti, osvetljena z laserskim snopom. Za osvetlitev je bil uporabljen laser z močjo 5 mW in valovno dolžino 710 nm. Uporabljena je bila hitra kamera Casio EX-F1 s snemanjem vodne gladine s frekvenco 60 posnetkov na sekundo in ločljivostjo 1920 x 1080 slikovnih točk. Video posnetki dolžine 10 sekund smo nato obdelali z lastnim algoritmom za določitev srednje vrednosti in fluktuacij gladine.

2.2 Modela sotočja

Meritve smo izvedli na modelu sotočja pri deročem režimu vodnega toka. Podroben opis modela sotočja z 90° kotom med osema glavnega kanala in stranskega dotoka je bil že podan v drugih člankih ([4], [5]), zato tu podajamo le glavne lastnosti. Dolžini dotokov z deročim tokom sta bili za glavni kanal in stranski kanal enaki, in sicer 1 m, da so bili na začetku sotočja doseženi enaki dotočni pogoji. Dolžina glavnega odtočnega kanala, merjena dolvodno od sotočja, je bila 4,5 m. Celotno ostenje kanalov je bilo izdelano iz steklenih plošč z minimalnim številom stikov, da se je v največji meri zmanjšal vpliv hrapavosti na tokovne razmere.

Slika 3: Model sotočja deročih tokov.

Model je prikazan na sliki 1, kjer so glavni elementi oštevilčeni: 1 – dovodni cevovod opremljen z zasunom in elektromagnetnim merilnikom pretoka; 2 – tlačna posoda z nastavljivo

Kuhljevi dnevi 2018

- -

višino vtoka na model; 3 – glavni kanal; 4 – stranski kanal; 5 – okvirna konstrukcija z merilnim mostom za montažo merilne opreme in možnostjo njenega natančnega pozicioniranja ; 6 –laserski skener; 7 – prost odtok na koncu modela.

3 Rezultati

Prečni potek vodne gladine v posameznem prerezu je bil zajet s 6000 skeni in 350 meritvami v posameznem skenu (frekvenca skeniranja je bila 269,8 Hz; kotna ločljivost skeniranja 0,2°; kotni razpon meritev pa 70°; tj. skupaj torej 2.100.000 točk na prerez). Poleg izmerjene razdalje za posamezni oddani signal je bila zajeta tudi intenziteta odboja. Na podlagi intenzitete odboja je bilo mogoče pri obdelavi izločati izmerjen odboj na kapljicah ali mehurčkih, globlje potopljenih v vodnem telesu. Te meritve so imele, zaradi sipanja svetlobe in disipacije energije pri potovanju skozi vodo, namreč bistveno manjšo jakost povratnega signala. Na sliki 4 so s turkizno barvo obarvane točke z jakostjo odboja pod pragom, z zeleno pa točke z jakostjo odboja nad pragom, pri čimer je bila vrednost praga določena v postopku verifikacije [5]. Iz slike je razvidno, da prihaja do odboja z nizko intenziteto na globoko potopljenih mehurčkih in kapljicah nad vodno gladino, kjer se zaradi velikih hitrosti vodnega toka pojavlja tudi škropljenje. Prav tako je razvidno, da se večina meritev z intenziteto nad pragom pojavlja v območju nihanja vodne gladino, kot je bilo določeno z meritvami s hitro kamero in referenčnim merilnim trakom, potopljenim v vodni tok. Tako je mogoče sklepati, da je na podlagi meritev z laserskem skeniranje mogoče razmeroma natančno določiti tudi fluktuacije gladine.

Slika 4: Oblak točk meritev v izbranem prečnem prerezu in izvrednoten potek vodne gladine.

Primerjava rezultatov izmerjenih prečnih prerezov poteka vodne gladine z obema laserskima skenerjema pokaže, da oba pravilno orišeta prečni potek gladine (slika 5). Vendar pa gladine izvrednotene iz surovih podatkov, kjer so upoštevane vse meritve, kažejo na prenizke gladine oziroma globine vode. Z upoštevanjem zgolj točk z jakostjo odbitega signala nad vrednostjo praga, pa je ujemanje gladine, predvsem določene z LMS400, in srednje vrednosti, določene z obdelavo slik hitre kamere, zelo dobro. Sekvence slik hitre kamere tudi kažejo veliko vertikalno dinamiko vodne gladine (na slikah 4 in 5 je nihanje prikazano z intervalom odstopanja od srednje vrednosti). Na odsekih z največjo vertikalno dinamiko gladine se

Kuhljevi dnevi 2018

- -

pojavljajo nihanja tudi do ± 50 mm. Pri prečnih prerezih z veliko vertikalno dinamiko so pri meritvah odstopanja meritev s laserskim skenerjem LMS400 glede na referenčne do ±15 mm, pri prerezih z nekoliko manjšo vertikalno dinamiko pa večinoma pod ±5 mm. Tudi pri LMS511 meritvah se s korekcijo gladine približamo referenčnim vrednostim, kljub temu pa so izkazane gladine prenizke. Poleg slabše merilne negotovosti, ima LMS511 bistveno večji odtis snopa signala na mestu, kjer signal zadene površino (pri merjenih razdaljah je širina snopa cca 20 mm), kar pri močno razgibani vodni gladini prav tako lahko vpliva na točnost izmerjenega poteka gladine.

Slika 5: Vodna gladina v izbranem prečnem prerezu, dobljena iz meritev z obema laserskima skenerjema (brez in s filtriranjem meritev z jakostjo odboja).

Iz srednjega poteka gladine v posameznih prerezih na območju meritev smo lahko konstruiralirazgibano ploskev izmerjene topografije vodne gladine celotnega območja, predstavljena iz ploskvic v obliki 3D mrežnih modelov (slika 6). Na sliki 6 so na levi so prikazane tudi vertikalne porazdelitve filtriranih izmerjenih odbojev v dveh sosednjih prerezih in desno še na merilnem območju konstruirani mrežni model gladinske ploskve, na podlagi srednjih vrednosti gladine.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 6: Izmerjena oblaka točk v dveh zaporednih prečnih prerezih in konstruiranatopografija vodne gladine stoječega valovanja z obdelavo meritev z laserskim skeniranjem.

Sestava 3D mrežnega modela celotnega območja obravnave omogoča prikaz dinamične topografije vodne gladine na sotočju in s tem nadaljnje obdelave ter analize oblike stoječih valov (npr. lokacije in velikosti konic valov), v odvisnosti od vhodnih parametrov glavnega oz. stranskega dotoka, kar je bilo v nadaljevanju poskusov sistematično spreminjano.

4 Zaključki Nesporno široka uporabnost laserskega skeniranja se kaže predvsem pri meritvah trdnih teles.Nekateri avtorji so s svojimi poskusi, a z dodajanjem delcev v vodo za izboljšanje odbojnosti, že potrdili uporabnost laserske metode tudi pri meritvah potovanja in preoblikovanja vodnih valov, kjer pa gre večinoma za počasnejšo dinamiko pojava kot v našem primeru. Dodatno vrednost tej merilni metodi dajejo tudi rezultati naše raziskave, saj kažejo, da je tudi pri modelnih raziskavah s čisto vodo učinkovita za zajem poteka vodne gladine z veliko časovno spremenljivostjo, katere dinamike sicer s klasičnimi meritvami ni mogoče zadovoljivo zajeti. Na podlagi prikazanih rezultatov analize lahko izpostavimo naslednje ugotovitve:

1) Merilna metoda omogoča natančen zajem vodne gladine tudi v primerih, kjer drugekontaktne in brezkontaktne merilne metode ne dajejo zadovoljivih rezultatov (primočno nehomogenem in nestacionarnem toku).

2) Z laserskim skeniranjem je mogoče zajeti topografijo vodne gladine kompleksnihprimerov s turbulentnim tokom in močno vertikalno ter horizontalno dinamiko, insicer z veliko časovno in krajevno ločljivostjo.

3) Pomembna prednost laserskega skeniranja predstavlja robustnost merilne metode zrazmeroma enostavno obdelavo podatkov iz laserskega sprejemnika.

4) Obdelava surovega oblaka točk odboja omogoča analizo in ovrednotenje fluktuacijevodne gladine, saj je dinamika pomika laserskega žarka po prečnem prerezu bistvenovečja od dinamike sprememb gladine.

5) Obdelava surovega oblaka točk meritev omogoča konstruiranje topografije vodnegladine, nadaljnje analize tokovnih razmer in določitev glavnih struktur vodnega toka.

Literatura

[1] M.J. Allis, W.L. Peirson, M.L. Banner, Application of LIDAR as a measurement tool for waves, Proceedings of the Twenty-first International Offshore and Polar Engineering Conference, Maui, Hawaii, 19--24, 2011.

[2] C.E. Blenkingsopp, I.L. Turner, M.J. Allis, W.L. Peirson, L.E. Garden, Application of LiDAR technology for measurement of time-varying free-surface profiles in a laboratory wave flume, Coastal Engineering, 68, 1--5, 2012.

[3] M. Streicher, B. Hofland, R.C. Lindenbergh, Laser Ranging for Monitoring Water Waves in the new Deltares Delta Flume, ISPRS Annals of the Photogrammetry, Remote Sensing and Spatial Information Sciences 2, 5, 271--276, 2013.

[4] G. Rak, M. Hočevar, F. Steinman, Measuring water surface topography using laser scanning, Flow measurements and instrumentation, 56, 35--44, 2017.

[5] G. Rak, M. Hočevar, F. Steinman, Construction of water surface topography using LIDAR data, Strojniški vestnik, v tisku, doi: 10.5545/sv-jme.2017.4619, 2018.

Kuhljevi dnevi 201

- -

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SREEANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Vecobmocna metoda robnih elementov za kompleksnefraktalne geometrije

Matjaz Ramsak1

Vecobmocna metoda robnih elementov za kompleksnefraktalne geometrije

Povzetek. V clanku predstavljamo ucinkovito 2D vecobmocno metodo robnih elementov (MRE)

za resitev tokovno vrtincnih enacb laminarnega toka. Numericni primer je fraktalna geometrija

Kochove snezinke, ki vsebuje tisoc vogalov in sto recirkulacijskih obmocij za Reynoldsova stevila

od 1e-6 do 100. Poleg geometrijske samopodobnosti, ki je osnovna lastnost fraktalov, smo dobili

tudi tokovno samopodobnost.

Abstract. This paper demonstrates the highly efficient 2D multidomain Boundary Element Method

(BEM) for solving stream functionvorticity equations on fractal geometry containing a thousand

corners and a hundred recirculation zones. The numerical example is an intricate fractal geometry

of the Koch snowflake solved in a large variation of Reynolds number values ranging from 1e-6 to

100. The flow pattern self-similarity is obtained, equivalent to fractal geometry similarity.

1 Uvod

Problem vogalov je v MRE tako star kot je stara sama metoda. Na to temo je napisano mnogo

clankov. Omenimo pregledni clanek iz letosnjega leta [1], kar potrjuje, da je problem vogalov

aktualen se danes. Problem vogalov v predstavljeni MRE je resen z mesanimi robnimi elementi,

ki smo jih na Kuhljevih dnevih ze veckrat predstavili.

Naslednji problem pri uporabi vrtincne vodilne enacbe je odsotnost Diricletovih robnih pogojev.

Na to temo priporocamo pregledni clanek [2]. Vecina del na to temo isce ustrezno aproksimacijo

robne vrtincnosti iz porazdelitve tokovne funkcije v blizini roba. Obstaja pa integralna metoda

dolocitve robnih vrtincnosti [2], ki je se posebej primerna za MRE. Namrec, v vodilni enacbi

za tokovno funkcijo sta znana Diricletov in Neumanov robni pogoj, ki predstavlja tangencialno

1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojnistvo

Kuhljevi dnevi 2018

hitrost na steni. Tako iz robnih enacb tokovne funkcije implicitno izracunamo robne vrtincnosti,

ki ustrezajo pogoju ohranitve mase v obmocju [3].

Namen prispevka je predstaviti kompleksni primer geometrije, ki bi lahko sluzil kot vzorcni

(Benchmark) primer.

Po uvodu bomo zapisali vodilne enacbe. Numericni algoritem MRE ne bomo posebej predsta-

vljali, saj je detajlno predstavljen v [3] in [4]. Glavnino prispevka predstavlja numericni primer.

Na koncu so predstavljeni zakljucki.

Vstop: �v = (1,0)

ψ = yω = 0

Izstop:∂ψ∂n = 0∂ω∂n = 0

Prosti tok: �v = (1,0)

ψ = y∂ψ∂n = 1

ω: implicitni izr.

Stena: �v = (0,0); ψ = 0,∂ψ∂n = 0; ω: implicitni izr.

��

xy

Tekocina: Re = 1∗1ν

Slika 1 : Geometrija in robni pogoji. Velikost obmocja je (1.0, 0.9) v x in y smeri.

2 Vodilne enacbe

Prenosna enacba tokovne funkcije (ψ) zapisemo kot

∇2ψ =−ω (1)

in vrtincnosti (ω)∂ω∂t

+∂(vxω)

∂x+

∂(vyω)∂y

=1

Re∇2ω , (2)

kjer z vx oznacimo hitrost v x smeri, ki jo izracunamo kot vx = ∂ψ/∂y in vy kot vy = −∂ψ/∂x.

Na stenah poznamo Diricletove robne pogoje tokovne funkcije in njen odvod, ki predstavlja

tangencialno hitrost. Za vrtincnost ni direktnega robnega pogoja, kot smo omenili ze v uvodu.

Racunski postopek je sledeci.

1. Izbira zacetnih vrednosti tokovne funkcije in vrtincnosti.

2. Zacetek novega casovnega koraka.

3. Zacetek notranjih iteracij.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Najredkejsa N=47,000

Najgostejsa N=457,000

Slika 2 : Uporabljene mreze. Z vecanjem gostote se stevilo vozlisc na izstopu veca na 90, 180,

226 in 300. Stevilo vozlisc na najmanjsem elementu Kochove snezinke se veca na 3, 3, 5 in 7

za gostejso mrezo.

4. Resitev tokovne enacbe.

(4.1) Podrelaksacija novih tokovnih vrednosti.

(4.2) Podrelaksacija robnih vrtincnosti.

(4.3) Dolocitev novih hitrosti kot gradient tokovne enacbe.

5. Resitev vrtincne enacbe.

(5.1) Podrelaksacija novih vrtincnosti.

6. Ce konvergencni kriterij notranje zanke ni dosezen, pojdi na 3.

7. Ce konvergencni kriterij casovne zanke ni dosezen, pojdi na 2.

8. Konec.

V primeru casovno ustaljenega izracuna, ena izmed zank postane nepotrebna.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Redka Gosta Gostejsa

Slika 3 : Kvalitativna primerjava tokovnega detajla v odvisnosti od mreze.

1e−014

1e−012

1e−010

1e−008

1e−006

0.0001

0.01

1

100

0 200 400 600 800 1000

Kon

verg

enca

vrti

nčno

sti

Število iteracijskih korakov

robne vrt. URF=0.1robne vrt. URF=0.01

robne vrt. URF=0.001

−30

−20

−10

0

10

20

30

0 50 100 150 200

AV

G (K

och

vrtinčn

ost)

Število iteracijskih korakov

robne vrt. URF=0.1robne vrt. URF=0.01

robne vrt. URF=0.001

−2.88−2.86−2.84−2.82−2.8−2.78−2.76−2.74−2.72−2.7−2.68

900 920 940 960 980 1000

Slika 4 : Konvergenca vrtincnosti (levo) in povprecne vrtincnosti na steni Kochove snezinke

(AVG(KochVrt) (desno) v odvisnosti od podrelaksacije robnih vrtincnosti (rvURF). za (Re = 1

in redko mrezo).

3 Numericni primer

Racunsko obmocje je del Kochove snezinke, kot je prikazano na sliki 1. Fraktalna oblika v

tem clanku je definirana do 5-te stopnje, pri cemer 0-ta stopnja oziroma red predstavlja zacetni

element, ki je ravna crta dolzine 1. Pri vsaki naslednji stopnji element razdelimo na 4 nove

elemente dolzine 1/3 zacetnega elementa. Na ta nacin se dolzina roba poveca za faktor 4/3 pri

vsaki naslednji stopnji. Koncna dolzina snezinke 5-te stopnje je torej (4/3)5 = 4.214. Sesta-

vljena je iz 45 = 1024 osnovnih elementov dolzine (1/3)5 = 0.004. Robni pogoji in definicija

Reynoldsovega stevila so prikazani na sliki 1.

Zanima nas ustaljeno stanje. Racunamo z zelo dolgim casovnim korakom vrednosti 1e16.

V tem primeru je potrebna precejsna podrelaksacija vseh treh vrednosti: tokovne funkcije

(tocka 4.1 v racunskem postopku), robnih vrtincnosti (tocka 4.2) in obmocnih vrtincnosti (5.1).

Konvergenca vrtincnosti je prikazana na sliki 4 za variacijo podrelaksacije robnih vrtincnosti

(rvURF), ki se je izkazala za kljucno za doseganje konvergence pri visjih Re stevilih. Kljub

- -

Kuhljevi dnevi 2018

1e−007

1e−006

1e−005

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0 200 400 600 800 1000

Kon

verg

enca

vrti

nčno

sti

Število iteracijskih korakov

Re=1Re=50

Re=100

1e−007

1e−006

1e−005

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0 200 400 600 800 1000Število iteracijskih korakov

Redka mrežaSrednja mreža

Gosta mrežaGostejša mreža

Slika 5 : Konvergenca vrtincnosti v odvisnosti od Re stevila (levo) in gostote mreze (desno) za

rvURF=0.01.

hitrejsi konvergenci za rvURF=0.1 izberemo vrednost 0.01 pri cemer ostaneta ostali dve podre-

laksaciji 0.1.

Za oceno natancnosti rezultatov smo izbrali dva integralna parametra. Prvi je povprecna to-

kovna funkcija na izstopu AVG(IzTok), ki predstavlja izpolnitev ohranitvenega zakona mase.

Drugi je povprecna vrtincnost na steni snezinke AVG(KochVrt), ki fizikalno predstavlja hi-

dravlicni upor toka. Slednji med iterativnem postopku resevanja enacb v primeru rvURF=0.1

najbolj oscilira v skladu z nihanji konvergence, slika 4. Za manjse vrednosti podrelaksacije se

nihanja zadusijo. Dobimo manjse oscilacije, pocasnejso konvergenco integralnih vrednosti in

daljsi racunski cas.

Zanimiva je konvergenca vrtincnosti v odvisnosti od Re stevila prikazana na sliki 5. Razlikuje

se samo v zacetnem delu do 200 iteracije, kjer je pri Re=100 znatno pocasnejsa. Vzrok je v

formiranju primarnega vrtinca za oviro, ki je pri Re=100 znatno vecji kot pri ostalih stevilih. V

koncnem stadiju konvergence, le ta ni vec odvisna od Re, saj se formirajo manjsi vrtinci, ki so

tudi precej neodvisni od Re stevila.

Sledi analiza obcutljivosti na mrezo. Obravnavamo stiri gostote mrez, slika 2. Vzpodbudno

je, da je konvergenca podobna za vse gostote mrez, slika 5. Kvalitativna primerjava detajla

z najmanjso recirkulacijo je prikazana na sliki 3. Oblika in vrednosti tokovnih funkcij (torej

barva) osrednjega vrtinca je zelo podobna za vse tri mreze. Opazna je le znatna sprememba

tokovnega polja na desni strani detajla pri redki mrezi. Slednje je se bolj ocitno iz kvantitativne

primerjave v tabeli 1. Pri prehodu na najgostejso mrezo se vrednost AVG(KochVrt) spremeni

za 0.75%. Malenkost vecje je odstopanje najgostejse mreze pri AVG(IzTok) in sicer 1.00%. Na

podlagi te analize ocenjujemo natancnost numericne resitve na 1%.

V tabeli 1 je prikazan tudi vpliv zaostritve konvergencnega kriterija iz 1e-4 na 1e-6 na obe

integralni vrednosti. AVG(IzTok) se spremeni za manj od 0.01%, medtem ko je AVG(KochVrt)

obcutljivejsi in se spremeni za 0.38% pri najredkejsi in 0.08% pri najgostejsi mrezi. Ce bi zeleli

privarcevati polovico racunskega casa, bi smeli izracun ustaviti ze pri konvergencnem kriteriju

1e-4.

Odvisnost obeh povprecnih vrednosti od vrednosti Re stevila je prikazana v tabeli 2. Medtem,

- -

Kuhljevi dnevi 2018

ime mreze redka srednja gosta gostejsa

Stevilo vozlisc [*1000] 47 92 231 457

Vozlisca na Koch elementu 3 3 5 7

Vozlisca na izstopu 90 180 226 300

Rezultati za konvergenco do 1e-4

Stevilo iteracij 450 420 459 470

CPU [h] (1 procesor) 7 18 49 176

AVG(KochVrt) -2.861 -2.772 -2.679 -2.660

AVG(IzTok) 0.3157 0.3025 0.3008 0.2978

Rezultati za konvergenco do 1e-6

Stevilo iteracij 940 880 955 940

CPU [h] (1 procesor) 14 36 100 351

AVG(KochVrt) -2.872 -2.779 -2.682 -2.662

Sprem. glede na 1e-4[%] 0.38 0.25 0.11 0.08

Sprem. na redkejso mr.[%] - 3.35 3.62 0.75

AVG(IzTok) 0.3157 0.3025 0.3008 0.2978

Sprem. glede na 1e-4[%] <0.01 <0.01 <0.01 <0.01

Sprem. na redkejso mr.[%] - 4.36 0.57 1.00Tabela 1 : Obcutljivost integralnih vrednosti glede na mrezo in konvergencni kriterij.

Reynoldsovo stevilo 1e-6 1e-3 1 10 50 100

AVG(KochVrt) -2.756 -2.716 -2.682 -2.777 -3.209 -3.629

AVG(IzTok) 0.3032 0.3013 0.3008 0.2943 0.2991 0.3004Tabela 2 : Povprecna vrednost tokovne funkcije na izstopu AVG(IzTok) in povprecne vr-

tincnosti na Kochovi snezinki AVG(KochVrt) v odvisnosti od vrednosti Re stevila za gosto

mrezo.

ko je AVG(IzTok) priblizno konstantna, se AVG(KochVrt) z vecanjem Re stevila veca. Za-

nimivo je, da se le ta malenkost veca tudi z manjsanjem Re na 1e-3 in 1e-6, cesar ne znamo

pojasniti.

Namen prispevka je prikazati samopodobnost tokovnega polja, slika 6. Geometrijska podob-

nost med izvorno sliko na levi strani slike in povecanima obmocjema Zoom1 in Zoom2 na desni

strani je ocitna. Prav tako je ocitna tudi podobnost tokovnega polja. Z vecanjem vrednosti Re

stevila se simetricnost glede na levo in desno stranjo snezinke rusi vsled vecanja recirkulacij-

skega obmocja za snezinko. Samopodobnost tokovnega polja je lepo prikazana na sliki 7, kjer

smo prikazali analogijo s stopnjo oziroma redom Kochove snezinke. Najvecji vrtinec na sliki

oznacen s stevilko 1, je prvega reda. Sledita dva manjsa vrtinca drugega reda (2). Nato 4 vrtinci

3. reda, ki so posebej povecani z namenom prikazati njihovo podobnost v obliki in vrednosti

tokovne funkcije (barvi). Sledi mnogo najmanjsih vrtincev 4. reda.

Slika 6 prikazuje tudi kaskado vrtincev v obmocju 1. Najvecji vrtinec 1, poganja v nasprotni

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Re = 1

Re = 100

Slika 6 : Samopodobnost tokovnega polja.

smeri vrtece sekundarne vrtince 2- in 4-. V tem primeru se kaskada vrtincev zakljuci.

4 Zakljucek

Uspesno smo nadgradili postopek za resitev potencialnih problemov [3] za resitev laminarnega

toka v kompleksnih geometrijah. Konvergenca je relativno hitra in gladka ter neodvisna od Re

stevila in gostote mreze. Definirali smo dva integralna parametra za oceno natancnosti resitve:

povprecna vrednost tokovne funkcije na izstopu, ki predstavlja ohranitev mase in povprecna

vrtincnost na steni Kochove snezinke, ki predstavlja hidravlicni upor. Oba integralna parametra

z gostoto mrez konvergirata, pri cemer je napaka med najgostejsima mrezama manj kot 1%,

kar je tudi ocena natancnosti numericne resitve. Na koncu prispevka smo podali spremembo

povprecno vrednost vrtincnosti na steni Kochove snezinke z narascanjem vrednosti Re stevila,

ki tudi narasca. V prihodnosti bi verjetno morali izracunati se gostejso mrezo, ce bi zeleli primer

predstaviti kot vzorcni (Benchmark).

Literatura

[1] H. Zheng, Z. Nie, C. Li, A package program for corner issue in bem, Engineering Analysis

with Boundary Elements 91 (2018) 92 – 102.

[2] M. Napolitano, G. Pascazio, L. Quartapelle, A review of vorticity conditions in the numeri-

cal solution of the ξ−ψ equations, Computers & Fluids 28 (2) (1999) 139 – 185.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Slika 7 : Samopodobnost vrtincev za Re = 100. Red vrtincev ali velikost smo oznacili s

stevilkami. Minus znak pomeni rotacijo v nasprotni smeri urinega kazalca. Podobnost obmocja

1 in 2 je lepo razvidna.

[3] M. Ramsak, L. Skerget, A highly efficient multidomain BEM for multimillion subdomains,

Engineering Analysis with Boundary Elements 43 (2014) 76 – 85.

[4] M. Ramsak, Conjugate heat transfer of backward-facing step flow: A benchmark problem

revisited, International Journal of Heat and Mass Transfer 84 (2015) 791 – 799.

- -

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Razvoj naprave za razvrščanje lesa po trdnosti

Tamara Šuligoj1, Barbara Fortuna1, Mitja Plos1, Goran Turk1

Development of Timber Strength Grading Machine

Povzetek. V prispevku je obravnavan problem razvrščanja konstrukcijskega lesa v trdnostne razrede po standardu EN 14081. Podrobneje je opisan strojni način razvrščanja lesa. Predstavljen je postopek določanja predhodnih nastavitev naprave STIG za strojno razvrščanje slovenske smreke in jelke.

Abstract. In this work the problem of grading timber into strength classes according to EN 14081 is addressed. Machine grading is described in detail. The procedure to obtain the settings for Slovenian spruce and fir grading machine STIG are presented.

1 Uvod

V državah Evropske unije urejajo področje razvrščanja konstrukcijskega lesa harmonizirani standardi EN 14081 [1, 4], ki opredeljujejo strojno in vizualno razvrščanje lesa. Les je glede na njegove mehanske lastnosti razvrščen v trdnostne razrede. Natančnost poznavanja mehanskih karakteristik lesa je zaradi njegove anizotropnosti in nehomogenosti manjša kot pri ostalih gradbenih materialih. Posledično so leseni objekti pogosto pretirano predimenzionirani [9]. Za oceno trdnostnih karakteristik lesenih elementov se vedno bolj uveljavlja strojno razvrščanje, ki je bolj učinkovito in zanesljivo od vizualnega, poleg tega omogoča razvrščanje v višje razrede. Za napravo STIG smo pripravili programsko opremo in nastavitve za strojno razvrščanje lesa.

2 Trdnostni razredi

Masivni les, ki se uporablja v nosilnih gradbenih konstrukcijah se razvršča v trdnostne razrede,določene v standardu SIST EN 338 [2]. Za posamezen razred so definirane mehanske lastnosti lesa, ki vplivajo na odločilne zahteve za objekte, v katere bo element vgrajen. Les iglavcev se razvršča v 12 trdnostnih razredov, označenih s črko C: »Conifers«, les listavcev v 14 razredov, označenih s črko D: »Deciduous«. Poleg omenjenih razredov, ki so pripravljeni za upogibne preizkuse se les razvršča še v 18 razredov označenih s črko CT: : »Conifers Tension«. Za

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo

Kuhljevi dnevi 2018

- -

razvrstitev v določen trdnostni razred mora les izpolnjevati minimalne zahteve tega razreda glede karakterističnih vrednosti trdnosti, gostote in modula elastičnosti [5].

3 Razvrščanje

Zakonodaja narekuje, da mora biti vsak leseni element, namenjen vgrajevanju v objekt,uvrščen v ustrezni trdnostni razred in označen z oznako CE, ki dokazuje da je bil izdelek ocenjen ter da izpolnjuje vse zahteve EU glede varnosti. Harmoniziran evropski standard SIST EN 14081-1 dopušča dve možnosti razvrščanja lesa, in sicer vizualno in strojno.

3.1 Vizualno razvrščanjeVizualno razvrščanje v trdnostne razrede je najstarejši in najbolj razširjen način razvrščanja lesa. Les se lahko razvršča na podlagi kriterijev vizualnega razvrščanja (širina letnic, naklon vlaken, vključki skorje, grčavost, lisičavost) po enem izmed nacionalnih standardov, ki jih podaja standard EN 1912 [3]. Poleg relativno slabe povezave vizualnih karakteristik z dejansko trdnostjo, je tako razvrščanje tudi subjektivno in zamudno. Pomanjkljivost vizualnega razvrščanja predstavlja tudi omejitev najvišjega trdnostnega razreda, v katerega je dovoljeno les razvrstiti. S strojnim razvrščanjem lahko konstrukcijski les razvrščamo v višje trdnostne razrede.

3.2 Strojno razvrščanjeNaprave za strojno razvrščanje razvrstijo les v trdnostni razred na podlagi izmerjene ene ali več indikativnih lastnosti (ang. indicating property - IP). Naprave te količine merijo z različnimi nedestruktivnimi metodami (ultrazvočna metoda, metoda z rentgenskim pregledom, metoda vzdolžnega nihanja, ipd). Standard SIST EN 14081 razlikuje dva osnovna načina strojnega razvrščanja: sistem s sprotnim preverjanjem nastavitev (ang. output controlled system) in sistem z enkratno predhodno nastavitvijo naprave (ang. machine controlled system). Pri določanju nastavitev naprave so bistvenega pomena odločilne in indikativne lastnosti terpovezava med njimi. Odločilne lastnosti zajemajo naslednje mehanske lastnosti lesa: elastičnimodul, gostoto in trdnost. Indikativne lastnosti so lastnosti, ki jih izmeri naprava. Na podlagi spodnjih mejnih vrednosti indikativne lastnosti se določi trdnostni razred posameznega kosa lesa. Te meje predstavljajo nastavitve naprave. V splošnem je izbor indikativne lastnostipoljuben, pomembno pa je, da ta količina v čim boljši korelaciji z odločilnimi lastnostmi lesa, ki so rezultat postopka razvrščanja v kombinacijo trdnostnih razredov. V Evropi je za namen strojnega razvrščanja lesa na voljo omejen izbor akreditiranih naprav, s katerimi lahkoocenimo kakovost konstrukcijskega lesa [6]. Nastavitve naprave so omejene na vrsto lesa in rastišče. Da lahko konstrukcijski les, razvrščen z napravo, označimo z oznako CE, mora biti predhodno nastavitev naprave potrjena s strani Evropskega komiteja za standardizacijo (CEN) TC124/WG2/TG1. Po omenjenem postopku je bila aprila 2018 potrjena naprava STIG za strojno razvrščanje slovenskega konstrukcijskega smrekovega lesa v trdnostne razrede.

4 STIG

STIG je prenosna naprava za strojno razvrščanje slovenske smreke in jelke (Picea abies in Abies alba), razvita v sodelovanju treh organizacij (FGG, ZAG in ILKON). Naprava deluje na osnovi metode vzdolžnega nihanja. Za indikativno lastnost je bil izbran dinamični modul elastičnosti vzdolžnega nihanja. Način delovanja je shematično prikazan na Sliki 1.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Slika 1: Shema razvrščanja.

4.1 Metoda vzdolžnega nihanjaMetoda vzdolžnega nihanja povezuje lastne frekvence preizkušanca z dinamičnim modulom elastičnosti. Z udarcem kladiva kos lesa vzbudimo v vzdolžno nihanje. Poznamo več načinov,s katerimi lahko merimo vzbujeno nihanje, in sicer neposredno s piezoelektričnimi senzorji, laserskimi senzorji ter posredno z mikrofonom, ki zaznava nihanje zraka. Na slednji način deluje tudi naprava STIG.Opazujemo nihanje lesa, ki mu določimo lastno frekvenco nihanja f. Valovna dolžina λ prve nihajne oblike je enaka dvakratni dolžini l preizkušanca, saj je ta prostoležeč in v smeri nihanja ni podprt. Hitrost širjenja valovanja v preizkušancu izračunamo po enačbi = f = f,dinamični elastični modul Edyn pa po enačbi (1).

222 4 flvEdyn , (1)

kjer je ρ predpostavljena gostota lesa.

4.2 Program

Naprava STIG je sestavljena iz osnovne računalniške opreme, to je iz osebnega računalnika z nameščenim operacijskim sistemom Windows 7 ali novejšo različico okenskega operacijskega sistema ter programom, ki je bil napisan za namen merjenja dinamičnega modula elastičnosti po principu metode širjenja vzdolžnega nihanja. Odziv elementa na sunkovit udarec je zajet skardioidnim mikrofonom i456, proizvajalca MicW, ki je priključen na računalnik. Za zapis zvoka je uporabljena frekvenca vzorčenja fs = 1/T je 44.1 kHz in 16 bitni zapis. Čas opazovanja oziroma snemanja t znaša 3 s. Programska oprema je spisana v programskem jeziku Python. Program preko mikrofona zajame zvočni posnetek in dobljene vrednosti zapiše v formatu wav (ang. »Waveform Audio File Format«), ki je standardni format za zvočne datoteke v okolju Windows. Oblika podatkov, v kateri lahko prikažemo zvezni signal, je zapis posameznih diskretnih signalov v obliki vektorjev. Z diskretno Fourierjevo transformacijo iz

Kuhljevi dnevi 2018

- -

N vzorcev časovne funkcije {x(0), x(1),…, x(N – 1)} izračunamo N komponent frekvenčne funkcije po enačbi (2).

NnkjN

nenxkX

21

0, za k = 0, 1, 2,…, N – 1 (2)

Koeficienti so kompleksna števila, zanima nas le realni del, ki vsebuje podatke o amplitudi nihanja [10]. V frekvenčni domeni z uporabo ustreznih filtrov selektivno izločimo motilne frekvence. Po ukazu za začetek snemanja imamo na voljo 3 sekunde, v katerih moramo z udarcem kladiva vzbuditi vzdolžno nihanje preizkušanca. Morebitni stalno prisotni hrup program izloči tako, da opazuje začetno časovno območje brez aktivnosti in čas takoj po udarcu. Za oba intervala s Fourierjevo transformacijo določimo pripadajoča frekvenčna spektra. Dejanski signal obravnavamo kot vsoto čistega signala neodvisnega hrupa, kot (3):

fDfSfY , (3)

kjer so Y( f ), S( f ) in D( f ) Fourierieve transformacije vzorčenega dejanskega signala,»čistega« signala in naključnega »hrupa«. Spekter “hrupa” odštejemo od spektra “skupnega signala”, da dobimo čim bolj “čist” spekter, ki ustreza odzivu lesa na vzbujanje in tako prikaže lastne nihajne frekvence preizkušanca [7].V testnih primerih so se največje razlike pojavljale v nizkofrekvenčnem območju do 200 Hz.V pomoč pri izločanju neželenih frekvenc nam je bilo tudi dejstvo, da lahko predvidimo, vkaterih frekvenčnih pasovih pričakujemo vrednosti, ki opisujejo lastne nihajne oblike. Pogosto je šum zastopan ravno v spodnjem delu spektra signala, zato smo lahko v celoti izločili frekvence nižje od 250 Hz, pri čemer smo pazili, da je zajeta spodnja meja, pri kateri bo zaznana prva nihajna oblika preizkušanca. Iz enačbe (1) je razvidno, da za 4 m dolg smrekov element s predpostavljeno gostoto in dinamičnim elastičnim modulom (minimalne vrednosti, da smo v območju nižjih frekvenc na varni strani), ni presežena vrednost 450 Hz. V intervalu kjer pričakujemo največjo vrednost amplitude, ki ustreza prvi nihajni obliki, iščemomaksimalno amplitudo in pripadajočo frekvenco. Enako naredimo za območji, kjer se pojavita vrhova, ki ustrezata drugi in tretji nihajni obliki. Pri zaznavanju osnovne in višjih harmonskih oblik smo, poleg pričakovanega intervala, upoštevali tudi razmerje med njimi, saj so višje nihajne oblike večkratniki prve lastne frekvence nihanja. S tem smo izločili morebitne maksimume v spektru, ki niso posledica vzdolžnega nihanja preizkušanca. Upoštevani so večkratniki s 5-odstotno toleranco. Po določitvi prve lastne nihajne frekvence, njeno vrednost uporabimo za izračun dinamičnega modula elastičnosti. Ta je odvisen tudi od vsebnosti vlage, gostote in dolžine deske. Gostota lesa je podana kot konstantna vrednost ρfix = 460 kg/m3 za smreko. Ostale podatke uporabnik ročno vnese v grafični vmesnik.Na podlagi izračunanega elastičnega modula in izbire kombinacije razredov (nastavitve K1, K2, K3, K4), v katere razvrščamo les, se izpiše rezultat v obliki dinamičnega modula elastičnosti in trdnostnega razreda preizkušanca (npr. C18 do C40).

4.3 Opis vzorca

Mehanske lastnosti so bile določene na 1020 elementih (preizkušancih) lesa smreke in jelke (Picea abies in Abies Alba). Da bi bila zagotovljeno čimbolj reprezentativno vzorčenje, je bila hlodovina odvzeta iz štirih rastišč na območju Slovenije. Zbiranje hlodovine je potekalo v

Kuhljevi dnevi 2018

- -

obdobju med 8. 10. 2008 in 30. 1. 2009. Nominalna dolžina hlodov je znašala 4 m, povprečni premer pa 32 cm. Iz vsakega hloda je bil izžagan po en element, na katerem je bila izmerjenavlažnost in določena povprečna gostota lesa. Neposredno pred porušnimi preiskavami je bil vsak element preiskan z napravo oziroma napravami, saj so bili v okviru projekta Gradewood[8] vsi elementi nedestruktivno preizkušeni z vrsto naprav za razvrščanje različnih evropskih proizvajalcev. Vsebnost vlage v lesu je bila v času merjenja z napravo približno enaka kot v času porušnih preiskav.

4.4 Določanje nastavitev

4.4.1 Porušne preiskavePorušne preiskave so bile izvedene na Zavodu za gradbeništvo Slovenije. Testi so bili izvedeni v skladu z zahtevami standarda EN 408. Za vsak posamezni preizkušanec je bil iz izmerjenega globalnega elastičnega modula izračunan lokalni modul elastičnosti po enačbi (4):

, (4)

kjer je Ei elastični modul i-tega preizkušanca.Karakteristična vrednost modula elastičnosti E0,mean se nato izračuna po enačbi (5):

, (5)

kjer je E0,mean povprečna vrednost modula elastičnosti izračunana po predpisih standarda EN 14081-2 in n število preizkušancev.

4.4.2 Optimalno razvrščanjePri razvrščanju lesa je pomembno, da se zavedamo, da posamezni deski ne moremo enolično določiti trdnostnega razreda. Razvrščanje se namreč izvaja na nivoju večjega števila desk zato so tudi njihove trdnostne lastnosti določene z izvrednotenjem karakterističnih vrednosti danega paketa desk. Posamezno desko je tako mogoče razvrstiti v različne trdnostne razrede, odvisno od izbrane kombinacije trdnostnih razredov, v katere želimo razvrščati in od lastnosti ostalih desk, ki jih istočasno razvrščamo. Prvi korak pri izpeljavi nastavitev je torej izbor trdnostnih razredov ali kombinacije teh. Smiselno je, da se izbere tista kombinacija, pri kateri so deske razvrščene kar se da enakomerno ter, da so vanjo vključeni razredi, ki so na trgu zaželeni. Zato smo se odločili, da pripravimo nastavitve za naslednje kombinacije trdnostnih razredov:

- K1: C40 – C24, - K2: C35 – C18, - K3: C30 – C18, - K4: C24.

Kombinacije, kot so na primer C24 – C18 ali C30 – C24, niso primerne, ker je razlika medrazredi premajhna in se pogosto zgodi, da v nižji razred ne moremo razporediti zadostnega števila elementov. Na osnovi izmerjenih mehanskih lastnostih desk, je te potrebno razvrstiti v optimalne razrede izbrane kombinacije trdnostnih razredov. Optimalni trdnostni razred predstavlja najvišji možni trdnostni razred (v izbrani kombinaciji), v katerega je lahko deska razvrščena glede na izmerjeno trdnost, elastični modul in gostoto. Rezultati optimalnega razvrščanja za vzorec slovenske smreke in jelke je prikazan v Tabeli 1.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

Tabela 1: Karakteristične vrednosti mehanskih lastnosti obravnavnih elementov.

Kombi-nacija

trdnost-nih

razredov

Trdnostni razredi Optimalna razvrstitev po EN 14081-2

Zahteve standarda EN 14081-2 in EN 338

f0.05

[N/mm2]Emean

[N/mm2]ρ0.05

[kg/m3]n

Delež[%]

f0.05

[N/mm2]Emean

[N/mm2]ρ0.05

[kg/m3]

K1C40 40.0 13700 406 550 53.9 40.0 13300 400C24 24.4 10500 377 340 33.3 24.0 10500 350

Ostanek / / / 130 12.7

K2C35 35.0 12900 395 730 71.6 35.0 12400 390C24 24.0 10500 368 151 14.8 24.0 10500 350

Ostanek / / / 139 13.6

K3C30 30.0 12400 385 873 85.6 30.0 11400 380C18 18.2 8710 340 142 13.9 18.0 8550 320

Ostanek / / / 5 0.5

K4C24 24.0 12000 388 999 97.9 24.0 10500 350

Ostanek / / / 21 2.1

4.4.3 Določanje IPZ napravo izmerjene lastne nihajne frekvence desk smo uporabili pri računu dinamičnega modula elastičnosti. Pri tem smo gostoto in tudi končno vrednost dinamičnega modula korigirali na referenčno vlažnost 12 %. Vsak odstotek odstopanja dejanske vsebnosti vlage v lesu od referenčne vlažnosti se odraža v 0,5 % spremembe gostote in v 1 % spremembe MOEdyn

(Enačbe 6, 7 in 8).

, (6)

, (7)

, (8)

kjer je MOEdyn,adj korigirani dinamični modul elastičnosti, MC [%] dejanska vsebnost vlage preizkušanca, izražena v %.

Deske smo razvrstili glede na vrednosti dinamičnega modula elastičnosti (Indicative Property).Določili smo maksimalno število desk, za katere so karakteristične vrednosti odločilnih

Kuhljevi dnevi 2018

- -

lastnosti še ustrezne za izbrani trdnostni razred. Deske so bile tako razvrščene v svoje dodeljene razrede. Na osnovi razvrstitve v optimalne in dodeljene razrede smo pripravili frekvenčne in cenovne matrike (Tabla 2 in 3). Z matrikami se dokazuje ustrezna varnost, so pa tudi pokazatelj učinkovitosti naprave. Na diagonali frekvenčne matrike je prikazano število desk, ki so bile z napravo pravilno razvrščene in je bil dodeljeni razred enak optimalnemu. Nad diagonalo so prikazane deske, ki so bile podcenjene in so bile po optimalnem razvrščanju uvrščene v višji trdnostni razred, kot z uporabo naprave (konservativnost naprave). Pod diagonalo pa so deske, katerim je bila trdnost precenjena. Iz frekvenčne matrike se nato določi cenovna matrika. Zaradi zagotavljanja ustrezne varnosti standard omejuje vrednosti faktorjev v cenovni matriki. Vrednost faktorjev je odvisna od velikosti napake naprave. Če je deska z napravo razvrščena v razred C40 namesto v razred C24, je faktor večji, kot če bi bila deska z napravo razvrščena v razred C35. Če je vrednost v cenovni matriki pri precenjenih deskah (pod diagonalo) večja od 0.2, moramo nastavitve naprave popraviti, tako da pade ta vrednost pod 0.2. V tabeli 3 vidimo, da je največja vrednost za precenjene deska v cenovni matriki enaka 0.09 in ustreza zahtevam standarda.

Tabela 2: Primer frekvenčne matrike (kombinacija C40 – C24).

C40-C24Dodeljeni razred

C40 C24 Reject Total

Opt

imal

ni

razr

ed

C40 97 447 6 550C24 4 290 46 340

Ostanek 0 57 73 130Skupaj 101 794 125 1020

Tabela 3: Primer cenovne matrike (kombinacija C40 – C24).

C40-C24Dodeljeni razred

C40 C24 Reject

Opt

imal

nira

zred

C40 0.00 0.47 0.09

C24 0.09 0.00 0.37

Ostanek 0.00 0.08 0.00

Ob pripravi poročila, ki je bila osnova za obravnavo na sestanku delovne skupine TG1 (TC124/WG2/TG1) smo morali pripraviti, obravnavati in primerjati različne podvzorce, s čemer smo dokazovali, da nastavitve niso plod naključja. Po posebnem standardiziranem postopku smo morali dokazati tudi ponovljivost naprave, zato smo na istih približno 300 deskah v različnih pogojih merili z napravo STIG in primerjali rezultate. Tudi ta test je naprava uspešno opravila.

Kuhljevi dnevi 2018

- -

5 Zaključek

V delu je predstavljen strojni način razvrščanja konstrukcijskega lesa v trdnostne razrede. Razvidno je, da ima strojno razvrščanje številne prednosti pred vizualnim razvrščanjem lesa –zanesljivost, hitrost in možnost razvrščanja v višje trdnostne razrede. Na osnovi izmerjenih mehanskih lastnostih desk in njihove razvrstitve v optimalne razrede izbrane kombinacije razredov, so bile pripravljene nastavitve in programska oprema za napravo STIG za strojno razvrščanje lesa. STIG je prva slovenska potrjena naprava in predstavlja cenovno ugodno rešitev za razdrobljeno slovensko lesno predelovalno industrijo, ki težje ekonomsko upraviči nakup dragih naprav tujih proizvajalcev. Verjamemo, da je razvoj naprave za razvrščanje lesa STIG eden izmed pomembnih korakov pri ponovnem in nadaljnjem zagonu gozdarske in lesarske industrije na Slovenskem.

Literatura

[1] C 92/139 Commission communication in the framework of the implementation of Regultation (EU) No 305/2011 of the European Parliament and of the Couincil laying down harmonised conditions for the marketing of construction products and repealingCouncil Directive 89/106/EEC,Publication of titels and references of harmonised standards under Union harmonisation legalisation, Official Journal of the European Union, 2018/C 092/06.

[2] EN 338:2016 Konstrukcijski les – Trdnostni razredi, Evropski komite za standardizacijo, Bruselj, 2016.

[3] EN 1912:2012/AC:2013 Konstrukcijski les – Trdnostni razredi – Določitev trdnostnih razredov na podlagi vizualnega razvrščanja in vrste lesa, Evropski komite za standardizacijo, Bruselj, 2013.

[4] EN 14081-1:2016 Lesene konstrukcije - Razvrščanje konstrukcijskega lesa pravokotnega prečnega prereza po trdnosti - 1. del: Splošne zahteve, Evropski komite za standardizacijo, Bruselj, 2016.

[5] B. Fortuna, Določitev nastavitev naprav za razvrščanje lesa v trdnostne razrede.Magistrsko delo. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo,2015.

[6] M. Plos, Razvrščanje konstrukcijskega lesa v različne kombinacije trdnostnih razredov.Diplomska naloga. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, 2012.

[7] J. G. Proakis, D. G. Manolakis, Digital Signal Processing. Principles, Algorithms, andApplications. Third Edition, ZDA, 1996.

[8] A. Ranta-Maunus, J. K. Denzler, P. Stapel, Strength of European timber, Part 2,Properties of spruce and pine tested in Gradewood project, VTT Working Papers 179, VTT Technical Research Centre of Finland, Finska, 2011.

[9] J. Srpčič, Les za gradbene konstrukcije. Lesena gradnja v Sloveniji, 2009.[10]B. Zupančič, Modeliranje in obdelava signalov, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za

elektrotehniko, 2011.

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2018

Modelno posodabljanje s hitro kamero

Klemen Zaletelj1, Janko Slavic1, Miha Boltezar1

Model updating based on high-speed camera measurements

Povzetek. Numericne simulacije so velik del inzenirskega dela, saj omogocajo hitro napoved odziva

strukture. Ce zelimo rezultatom simulacije zaupati, moramo zgraditi numericni model, ki je fizikalno

podoben realni strukturi. Parametrov, ki dolocajo strukturo, navadno ne poznamo natancno, zato je

bilo za njihovo identifikacijo razvito modelno posodabljanje. Modelno posodabljanje je v povezavi

z uporabo pospeskomerov znano ze dlje casa, medtem ko se v zadnjem obdobju uveljavlja pristop

s pomocjo hitre kamere. Hitra kamera omogoca zajemanje vecje kolicine prostorskih informacij v

zelo kratkem casu. V prispevku je prikazano posodabljanje na podlagi uporabe lastnih frekvenc,

uporabi lastnih frekvenc ter lastnih oblik dobljenih s pospeskomerom in lastnih frekvenc ter oblik

dobljenih s hitro kamero. Pokazali smo, da z uporabo kamere lahko bolj natancno posodobimo

model, kjer spreminjamo veliko stevilo parametrov.

Abstract. Numerical simulations are frequently used in engineering mechanic, as they enable

prediction of the structure response. If the results of the simulation are to be trusted, the numerical

models need to be validated. Some parameters that define the structure are usually not known, so

model updating has been developed to identify them. Model updating with the use of accelerometers

has been known for a long time, while in the recent period, the approach with the use of high-speed

camera has been applied. The camera allows us to capture more spatial information in a very short

period of time. This article presents model updating based on the use of natural frequencies, the use

of natural frequencies, and mode shapes obtained using the accelerometer and natural frequencies,

as well as the mode shapes obtained with the high-speed camera. It was shown that with the use of

the camera the model can be updated more accurately, where a large number of parameters are being

changed.

1 Uvod

Dostopnost in zmogljivost racunalnikov je vzrok za veliko stevilo numericnih simulacij s pomo-

cjo koncnih elementov, ki se odvijajo v svetu. Velik del racunalniske moci je namenjen predvi-

devanju odziva realne strukture, saj tako prihranimo cas in sredstva. Taksne simulacije nimajo

1 LADISK, Fakulteta za strojnistvo - Univerza v Ljubljani

Kuhljevi dnevi 2018

veliko veljave, ce model, na katerem opravljamo numericne izracune, ne vsebuje pravilnih di-

menzij in stevilnih drugih parametrov. Za dolocitev teh parametrov je bilo razvito modelno

posodabljanje na podlagi koncnih elementov, lepo opisano v knjigi Friswell in Mottershead [1].

Modelno posodabljanje je dobro poznano, hkrati pa klasicni pristop (s pomocjo pospeskomerov)

k posodabljanju predstavlja dolocene tezave, saj na taksen nacin dobimo zelo omejeno stevilo

prostorskih informacij. Z namenom odpravljanja te tezave so se v zadnjih letih zaceli razvijati

novi pristopi merjenja. Rohe [2] je uporabil sistem laserjev, s katerimi je meril pomike v vo-

zliscih mreze numericnega modela, Wang s sodelavci [3] pa je za posodabljanje uporabila hitro

kamero v povezavi s korelacijo digitalnih slik (ang. Digital Image Correlation - DIC [4]).

V tem delu bomo predstavili uporabo modelnega posodabljanja s pomocjo hitre kamere na

podlagi opticnega toka (ang. Optical Flow), ki ga je za dolocanje pomikov objekta, posnetega s

hitro kamero, predstavil Javh s sodelavci [5]. Ker vsak slikovni element predstavlja eno merilno

mesto, dobimo veliko stevilo prostorskih informacij, ki jih lahko uporabimo v postopku poso-

dabljanja. Meritve s hitro kamero so zelo sumne, zato je Javh s sodelavci [6] predlagal mesan

pristop k dolocanju lastnih vrednosti in lastnih oblik strukture. Uporabili bomo pospeskomer

za dolocanje lastnih vrednosti in na podlagi meritev s hitro kamero dolocili lastne oblike.

2 Modelno posodabljanje - teoreticno izhodisce

Ena izmed metod posodabljanja numericnega modela temelji na iterativnem manjsanju napake

med eksperimentalno dobljenimi rezultati in numericno analizo. Rezultati v nasem primeru vse-

bujejo lastne frekvence in lastne oblike obravnavane strukture. Te podatke zapisemo v merilni

vektor zm in vektor predvidenih (izracunanih) vrednosti z:

zTm = (λm,1,φT

m,1,λm,2,φTm,2, . . . ,λm,r,φT

m,r). (1)

λm,i je i-ta merjena lastna vrednost in φm, i je i-ti merjeni lastni vektor. Na enak nacin zapisemo

vektor z.

Zelimo zmanjsati razliko med posameznimi elementi v zm in z. To storimo s pomocjo kazen-

ske funkcije, ki je definirana kot Taylorjeva vrsta z dvema clenoma. Tako dobimo linearno

aproksimacijo:

δz = S j δθ, (2)

kjer je:

δθ = θ j+1 −θ j (3)

δz = zm − z j. (4)

S j predstavlja obcutljivostno matriko, vektor θ j vsebuje izboljsane parametre v j-ti iteraciji,

vektor θ j+1 pa vrednosti po trenutni iteraciji, vrednosti, ki jih iscemo. z j je vektor predvidenih

vrednosti v j-ti iteraciji.

Cilj posodabljanja je izracun θ j+1, dokler δθ ni zadovoljivo majhen. Stevilo parametrov, ki

jih zelimo posodabljati in stevilo elementov δz nista skoraj nikoli enaki, zato imamo lahko

ne-dolocen sistem (vec neznank oz. parametrov kot enacb) ali pre-dolocen sistem (vec enacb

- -

Kuhljevi dnevi 2018

kot neznank). Da lahko v teh primerih izracunamo posodobljene parametre, moramo uporabiti

psevdo-inverzno matriko, ki je za X definirana:

X+ = (XT X)−1 XT . (5)

Enacbo (2) lahko nato zapisemo:

θ j+1 = θ j +S+j δz. (6)

Pri merjenju bolj natancno dolocimo lastne frekvence kot lastne vektorje, zato lahko elemente

δz, ki se nanasajo na lastne frekvence, pomnozimo z utezjo in tako v postopku posodabljanja

damo tem podatkom vecjo veljavo.

3 Klasicni pristop k modelnem posodabljanju

Pri modalnem posodabljanju je prisotna uporaba pospeskomerov, ki jih za dolocitev lastnih

oblik prestavljamo po strukturi. Tako za vsako meritev dobimo frekvencno prenosno funkcijo v

eni izmed tock na strukturi. Uporabili smo nosilec, ki ima na sredini zarezo, globoko 7 mm in

siroko 1 mm. Nosilec obesili na vrvici in tako simulirali prosto-prosto vpetje. Zareza povzroci

znizanje upogibne togosti in spremeni lastne oblike. Nosilec je prikazan na sliki 1. Za boljsi

prikaz delovanja posodabljanja smo uporabili nekoliko napacen numericni model, dodali smo

mu maso, ki je v resnici ni. Tako se lastne oblike pred posodabljanjem in po posodabljanju bolj

razlikujejo.

Slika 1 : Uporabljen nosilec s pritrjenim pospeskomerom in prikazana zareza.

Pospeskomer nam omogoca zelo dobro dolocanje lastnih frekvenc in nizko mero suma, a je

merjenje na velikem stevilu mest zelo zamudno ali pa v nekaterih primerih nemogoce, ker

pospeskomera ne moremo pritrditi. Posledica je, da imamo relativno malo podatkov o lastnih

oblikah merjene strukture. Posodabljanje numericnega modela je mogoce brez uporabe lastnih

oblik, a so ti rezultati, kot bo prikazano v nadaljevanju, slabsi.

Tabela 1 prikazuje lastne frekvence nosilca z zarezo, izracunane s pomocjo numericne simula-

cije. V modelu smo uporabili priblizke upogibne togosti (EI), kjer smo predpostavili, da ima

material modul elasticnosti E = 210000 MPa in da ima nosilec presek 15×30 mm. V numericni

analizi smo uporabili 100 koncnih elementov Euler-Bernoullijevega nosilca.

V postopku posodabljanja smo uporabili prve tri lastne frekvence. Rezultati posodabljanja so

prikazani v tabeli 2. Opazimo, da razlika med prvimi tremi izracunanimi in eksperimentalno

- -

Kuhljevi dnevi 2018

dolocenimi lastnimi frekvencami pade na nic, pri visjih treh frekvencah pa se padec razlike

giblje med 20 in 45 %.

Tabela 1 : Lastne frekvence [Hz] nosilca pred posodabljanjem.

# Lastna frekvenca - fn, z

1 316,87

2 873,49

3 1712,46

4 2831,08

5 4230,0

6 5910,04

Tabela 2 : Primerjava rezultatov [Hz] - uporaba lastnih frekvenc.

# Eksperimentalno - fe Posodobljeno - fn,pos | fe − fn, pos| | fe − fn, z|1 267,5 267,5 0,0 31,9

2 846,5 846,5 0,0 162,9

3 1511,0 1511,0 0,0 252,3

4 2692,5 2348,7 343,8 746,8

5 3647,0 3831,3 184,31 691,4

6 5462,5 5253,7 208,81 1156,3

Tabela 3 : Primerjava rezultatov [Hz] - uporaba lastnih frekvenc in oblik.

# Eksperimentalno - fe Posodobljeno - fn,pos | fe − fn, pos| | fe − fn, z|1 267,5 267,5 0,0 31,9

2 846,5 846,5 0,0 162,9

3 1511,0 1511,0 0,0 252,3

4 2692,5 2560,3 132,23 746,8

5 3647,0 3859,8 212,75 691,4

6 5462,5 5397,6 64,92 1156,3

Rezultate posodabljanja lahko izboljsamo tako, da v merilni vektor vkljucimo lastne oblike

in tako povecamo stevilo enacb v sistemu. Merilo za ujemanje lastnih oblik nam predstavlja

vrednost MAC [7], ki poda stopnjo korelacije med dvema lastnima oblikama:

MACj,k =|φT

m, j φa,k|2(φT

a,k φa,k)(φTm, j φm, j)

, (7)

kjer indeks m predstavlja merjeno lastno obliko, a pa analiticno izracunano. Vrednost MAC =1

pomeni popolno korelacijo med oblikama, 0 pa pomeni, da korelacije ni. Za vse kombina-

cije lastnih oblik izracunamo vrednosti MAC in jih zapisemo v matriko MAC. Enotska ma-

trika pomeni popolno korelacijo med merjenimi in numericnimi lastnimi oblikami. Za oblike

- -

Kuhljevi dnevi 2018

izracunane z zacetnimi priblizki parametrov je MAC matrika prikazana na sliki 2. Lastne fre-

kvence, posodobljene na podlagi prvih treh lastnih frekvenc in prvih treh lastnih oblik, so pri-

kazane v tabeli 3. Opazimo, da razlika med izmerjenimi in izracunanimi prvimi tremi lastnimi

frekvencami pade podobno kot v prejsnjem primeru, pri visjih frekvencah pa se padec razlike

giblje med 5 in 30 %. Posodobljena MAC matrika je prikazana na sliki 3, kjer vidimo, da je

korelacija med prvimi tremi pripadajocimi lastnimi oblikami vecja kot na sliki 2. Na sliki 4 in

5 vidimo, da so si lastne oblike res bolj sorodne po posodabljanju. Ker opazujemo le podobnost

oblik, na slikah ni prikazanih merskih enot.

Posodabljali smo upogibno togost vsakega izmed 100 koncnih elementov, kar pomeni, da je

stevilo parametrov vecje od stevila enacb, ki jih uporabljamo za posodabljanje. Da bi izboljsali

rezultat, ki ga vidimo na sliki 3, moramo uporabiti vec enacb, torej vecje stevilo merjenih mest

na strukturi. Veliko stevilo merjenih tock enostavno dosezemo s pomocjo hitre kamere.

Slika 2 : MAC matrika pred posodablja-

njem numericnega modela.

Slika 3 : MAC matrika po posodabljanju

numericnega modela.

Slika 4 : Primerjava normiranih lastnih

oblik pred posodabljanjem.

Slika 5 : Primerjava normiranih lastnih

oblik po posodabljanju.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

4 Pristop s hitro kamero

Za razliko od klasicnega pristopa, pri meritvah uporabimo hitro kamero, s katero posnamemo

nihanje strukture. Vsak slikovni element na sliki kamere predstavlja merjeno mesto, saj lahko s

pomocjo razlicnih metod (na primer [5]) zelo natancno dolocimo pomike elementov. Casovna

vrsta pomikov predstavlja nase meritve.

Slika 6 : Frekvencna prenosna funkcija, posneta s kamero in s pospeskomerom.

Slika 7 : Postavitev eksperimenta.

- -

Kuhljevi dnevi 2018

Slika 8 : MAC matrika pred posodablja-

njem numericnega modela.

Slika 9 : MAC matrika po posodabljanju

numericnega modela.

Slika 10 : Primerjava normiranih lastnih

oblik pred posodabljanjem.

Slika 11 : Primerjava normiranih lastnih

oblik po posodabljanju.

Tezava merjenja s hitro kamero je, da so dobljeni rezultati zelo sumni. V nizjem frekvencnem

prostoru lastne frekvence se lahko razlocimo, nivo suma pa preseze vrhove frekvencne prenosne

funkcije (FRF - slika 6) pri visjih frekvencah. Kljub sumu pa na tistih mestih ostaja informacija

o lastnih oblikah.

Poleg velikega stevila merilnih mest, hitra kamera omogoca nespremenjeno strukturo za me-

ritve na vsakem izmed mest, saj vse meritve zajamemo hkrati. Ko meritve opravljamo s po-

speskomerom, za vsako tocko na strukturi le-to nekoliko spremenimo s premikanjem zaznavala.

Opazimo, da ima vsak izmed pristopov prednosti in slabosti, zato je smiselno uporabiti kombini-

ran pristop [6], kjer uporabimo lastne frekvence, dobljene na podlagi meritev s pospeskomerom

in lastne oblike na podlagi meritev s kamero.

Na sliki 8 vidimo, da ni velike korelacije med merjenimi in numericnimi lastnimi oblikami

(podobno kot na sliki 2), medtem ko po posodabljanju dobimo zelo dobro korelacijo tudi za

- -

Kuhljevi dnevi 2018

visje lastne oblike (slika 9). Rezultat lahko opazujemo tudi na slikah 10 in 11, kjer je razvidno,

da se posodobljene lastne oblike zelo dobro prilegajo merjenim. Na slikah 10 in 11 je zaradi

preglednosti prikazano vsako peto vozlisce numericnega modela.

5 Zakljucki

V prvem delu smo na kratko predstavili teorijo iterativnega posodabljanja parametrov numeri-

cnega modela. Najprej smo za postopek posodabljanja uporabili klasicni pristop s pospeskome-

rom, kjer smo v merilni vektor vstavili prve tri lastne frekvence. Te smo tudi uspesno poso-

dobili, medtem ko so se visje le malo priblizale izmerjenim. Da bi izboljsali rezultat, smo v

merilni vektor dodali prve tri lastne oblike, izmerjene v devetih tockah. Rezultati posodabljanja

so tokrat boljsi, visje lastne frekvence so se bolj priblizale izmerjenim, a smo opazili, da se visje

lastne oblike ne prilegajo.

Ker smo uporabili 100 koncnih elementov in posodabljali upogibno togost vsakega izmed njih,

je stevilo parametrov vecje od stevilo enacb v postopku posodabljanja. Da bi povecali stevilo

enacb, smo uporabili hitro kamero in tako dobili lastne oblike izmerjene v vsakem izmed vozlisc

koncnih elementov. Opazili smo, da tak pristop prinese boljse rezultate, saj se tako tudi visje

lastne oblike dobro ujemajo.

Literatura

[1] M. T. Friswell, J. E. Mottershead. Finite Element Model Updating in Structural Dynamics.Kluwer Academic Publishers, 1995.

[2] D. P. Rohe. Using High-Resolution Measurements to Update Finite Element SubstructureModels.

[3] W. Wang, J. E. Mottershead, A. Ihle, T. Siebert, H. Reinhard Schubach. Finite element mo-del updating from full-field vibration measurement using digital image correlation. Journal

of Sound and Vibration, 330(8), 1599—1620, 2011.

[4] W. H. Peters, W. F. Ranson, M. A. Sutton, T. C. Chu, J. Anderson. Application Of DigitalCorrelation Methods To Rigid Body Mechanics. Optical Engineering, 22(6), 1983.

[5] J. Javh, J. Slavic, M. Boltezar. The subpixel resolution of optical-flow-based modal ana-lysis. Mechanical Systems and Signal Processing, 88, 89–99, 2017.

[6] J. Javh, J. Slavic, M. Boltezar. ”High frequency modal identification on noisy high-speedcamera data. Mechanical Systems and Signal Processing, 98, 344–351, 2018.

[7] R. J. Allemang. The modal assurance criterion–twenty years of use and abuse. Sound and

vibration, 37(8), 14–23, 2003.

- -

CIP - Katalozni zapis o publikaciji

Narodna in univerzitetna knjiznica, Ljubljana

531/532(082)

KUHLJEVI dnevi (2018 ; Lasko)

Zbornik del / Kuhljevi dnevi 2018, Lasko, 27.-28. september 2018 ;

uredila Dejan Zupan, Tomaz Hozjan.

- Ljubljana : Slovensko drustvo za mehaniko, 2018

ISBN 978-961-93859-3-7

1. Zupan, Dejan, mehanik

296400384

8201

ISBN 978-961-93859-3-7

Slovensko društvo

za mehaniko

9 789619 385937