1

3. ПРЕСМЕТКА НА КРОВ НА КУЌА СО ТРИГОНОМЕТРИЈА

Цел: Учениците/студентите да се запознаат со равенки за пресметка на:

агли, периметар, плоштина, волумен на триаголна призма, како од теоретски

аспект, така и со примена на ИКТ со помош на динамичкиот софтвер за

математика Геогебра.

3.1 Поставување на проблемот

Кровот на мојата куќа ќе биде едноставен двоен навален кров (сл.1).

Растојанието од предниот до задниот дел на куќата е 10м. Куќата е 30м широка .

сл.1 Скица на кров на куќа

A. Полесно прашање. Сакам кровот да биде 4м висок, а врвот да биде директно

над катот на точка 6м од предниот дел на куќата. Најди ги сите димензии на

триаголникот на кровот вклучувајќи ги и аглите. Најди го периметарот и

плоштината на триаголникот на кровот. Најди го волуменот на кровот.

Заден дел на

куќата Преден дел на

куќата

10м

30м

2

Цртеж за A (сл.2):

сл.2 Триаголник на кров - А

3.2 Упатство за наставникот

Во наставната содржина по Математика од 5-то до 7-мо одделение,

учениците детално се запознаваат со дефиниција, елементи, периметар и

плоштина на геометриски фигури во рамнина (рамнински фигури). Делот од

геометријата кој ги изучува рамнинските фигури се нарекува рамнинска

геометрија (планиметрија). Така за отсечки мериме само должина, односно тие

се определени со една димензија, додека еден правоаголник е наполно

определен со неговите должина и ширина, односно тој има две димензии и

претставува дводимензионална фигура. Значи рамнинската геометрија ги изучува

дводимензионалните фигури. Од друга страна, светот во кој живееме сигурно не е

дводимензионален. На пример за еден квадар мериме должина, ширина и висина

односно тој е тридимензионална фигура. Исто така, столот на кој седиме или

клупата на која пишуваме не може да се опишат во дводимензионален свет. Затоа

велиме дека светот во кој живееме е тридимензионален простор, а објектите кои

не опкружуваат се тридимензионални. Тие најчесто се нарекуваат просторни

фигури или кратко тела. Делот од геометријата што ги изучува просторните

објекти се вика просторна геометрија (стереометрија). Проблемот кој овде се

разгледува решава проблематика од тридимензионален простор.

Уште во 4-то одделение учениците се сретнуваат со поимот геометриско

тело (коцка, квадар, пирамида, цилиндар, конус и топка), а веќе во 5-то одделение

со формулите за пресметка на плоштина и волумен на некои од нив.

Познато е дека: Рабесто геометриско тело ограничено со два

складни и паралелни многуаголници и толку паралелограми колку што

имаат страни многуаголниците се вика призма.

3

Кровот на куќа чии димензии треба да ги пресметаме е триаголна призма со

два складни триаголници и три правоаголници кои имаат еднаква една страна.

Во главата 2. Анализирање на триаголници се запознавме со страни, агли

периметар и плоштина на триаголник. Ова ќе го искористиме за решавање на

проблемот на пресметка на кров на куќа.

Зададени димензии:

� Растојанието од предниот до задниот дел на куќата е 10м. Тоа ќе биде

основата на триаголникот на кровот с = ������ = 10м (сл.3). � Ширината на куќата односно кровот е 30м. Ова растојание ќе го означиме

со d=30м. � Висината на кровот, т.е на триаголникот е h=��=4м. � Врвот треба да биде директно над катот на точка 6м од предниот дел на

куќата. Ова растојание ќе го означиме со c' = ������ = 6м.

сл.3 Скица на кров на куќа - А

Димензиите означени со зелена боја се зададените димензии во поставувањето на проблемот.

3.2.1.1 Решение ("рачно") Цел: Учениците да го решат проблемот А, да ги најдат сите димензии на триаголникот на кровот вклучувајќи ги и аглите, периметарот и плоштината на триаголникот на кровот и волуменот на кровот.

• Најди ја должина на страните на триаголникот на кровот.

4

Во дефинирањето на задачата е познато растојанието на врвот на кровот од предниот дел на куќата (означено со c'). Растојанието с" = �� = с – c' =10-6=4м.

Значи познати се должините на основата и висината на триаголникот ���. За наоѓање на останатите две страни на триаголникот на кровот се користи Питагоровата теорема.

� � � � ��� � ��� = ��� � �� =���� � ���= ��� =����7.2м7.2м7.2м7.2м����

� � � �� � �� � � �� = ��� � �� =���� � ���= ��� =����5.7м5.7м5.7м5.7м����

• Најди ја големината на аглите на триаголникот на кровот.���� Нека α е аголот при темето А, β е аголот при темето В, γ е аголот при темето С. Со користење дефиниција за синус и логаритамска таблица наоѓаме:

����"#$ % � �

�

��������������

�

&.����0.��0.��0.��0.55555�5�5�5�од�каде�следува����α���33.7α���33.7α���33.7α���33.7°°°°����

"#$ 4 � ��

���������������

�

�.&���0.��0.��0.��0.7�7�7�7�од�каде�следува����β��45β��45β��45β��45°°°°����

Бидејќи во секој триаголник збирот на аглите е 180°, третиот агол е:

���� ������������γγγγ��180°���180°���180°���180°�----����(α���β)���180°�(α���β)���180°�(α���β)���180°�(α���β)���180°�----����78787878....7°�101.3°7°�101.3°7°�101.3°7°�101.3°����

• Најди го периметарот и плоштината на триаголникот.��������

Lt��a���b���c����Lt��a���b���c����Lt��a���b���c����Lt��a���b���c����7.27.27.27.2��������5.75.75.75.7������������10101010������������22.922.922.922.9���

Pt��Pt��Pt��Pt����D�

���������������������

�ED�

�������������20�20�20�20�м� ����

• Најди го волуменот на кровот.��������

����������������������������������������������������������������������������Vk��Vk��Vk��Vk������HI D J���������E D �E��������600�600�600�600�м� ����

***************************************************�������

5

3.2.1.2 Конструкција1: Kонструкција во Геогебра Krov_na _Kukja Resenie A1.ggb

Цел: Учениците да направат конструкција на кров на куќа во Геогебра со

зададените должини на страните, со проекција од тридимензионален во

дводимензионален простор и да го решат проблемот А.

Претставување на тридимензионални објекти во рамнина се извршува со

користење на паралелна и ортогонална проекција (која се изучува во 8-мо

одделение на основното образование). Кровот на куќа кој е тридимензионален

објект ќе го проектираме во дводимензионален простор (сл.4).

сл.4 Конструкција на кров на куќа со Геогебра - А

Конструкцијата на триаголник со основа од 4см и висина од 3см, како и на

триаголник со произволна должина на основата и висината во Геогебра е

објаснета во главата 2. Анализа на триаголници.

6

Најпрво да конструираме кров на куќа со димензии зададени во

дефиницијата на проблемот.

• Означи точка А(0,0) – точка во координатниот почеток.

• Ширината на кровот треба да биде 10м. Затоа означи точка В на x - оската со координати (10,0). За прецизно означување на точката В, внесуваме формула В = А+(10,0) во полето Внес во левиот долен дел на Геогебра прозорецот. За подобра прегледност на конструкцијата смени го изгледот на координатниот систем со десен клик на Површината за цртање, а потоа избери ја опцијата Површина за цртање... или избери мени Опции -> Површина за цртање. На екранот се добива дијалог прозорец како на сл.5.

сл.5 Прозорец за Површина за цртање

Кликни на јазичето хОска за промена на х-координатната оска. Во полето Растојание внеси 1 за чекорот на броевите на х-координатната оска, а во полето мин: -2 и макс: 24 за границите во кои се менуваат броевите на х-координатната оска. Кликни на јазичето уОска за промена на у-координатната оска. Во полето Растојание внеси 5 за чекорот на броевите на у-координатната оска, а во полето мин: -10 и макс: 42 за границите во кои се менуваат броевите на у-координатната оска.

7

Изгледот на Површината за цртање може да се менува и со алатката Поместување на површината за цртање од лентата со алатки. Кликни на алатката, потоа на површината за цртање и користи го копчето за лизгање на глувчето за промена на изгледот на површината за цртање.

• Сакам врвот да биде директно над катот на точка 6м од предниот дел на куќата. Означи точка Н на х - оската со координати (6,0). Кликни на алатката

Нова точка и на х – оската во точка со координати (6,0) или внеси H=(6,0) во полето Внес.

• Висината на кровот т.е триаголникот на кровот е 4м. Точката С треба да има х - координата еднаква на х координатата на точката Н и у - координата 4, колку што е висината на триаголникот. Во полето Внес внеси: C=(x(H),4). Имињата на точките може да се менуваат со десен клик на името на точката во Алгебарскиот прозорец (или во Површината за цртање), и избирање на опцијата Карактеристики и јазичето Основно. Новото име се внесува во полето Име. Координатите на точките може да се менуваат со двоен клик на името на точката во Алгебарскиот прозорец, или со десен клик на името на точката во Алгебарскиот прозорец (или во Површината за цртање), и избирање на опцијата Карактеристики, каде во полето Вредност се внесуваат новите координати.

• Кликни на алатката Многуаголник, и на секоја од точките А, В и С за да го нацрташ триаголникот ABC. Страните означи ги со а, b и c (со двоен клик на отсечката во Површината за цртање или името на отсечката во Алгебарскиот прозорец, во отворениот прозорец кликни на опцијата Карактеристики и во јазичето Основно и полето Име внеси го новото име за секоја од отсечките).

• Кликни на алатката Отсечка меѓу две точки и на секоја од точките за

да нацрташ отсечка h=M (сл.6).

8

сл.6 Паѓачко мени за алатка Отсечка меѓу две точки

• Со алатката Агол означи ги аглите на триаголникот АВС. (α аголот при темето А, β аголот при темето В, γ аголот при темето С). За означување на

аголот α при темето А, кликни на алатката Агол, а потоа на точките B, A и C (насока во правец на стрелките на часовникот). Со ова го конструиравме триаголникот на кровот (сл.7). Идентичен треба да биде триаголникот на другата страна на кровот.

9

сл.7 Триаголник АВС - А

Сега ќе го нацртаме и останатиот дел. Заради подобра перцепција, цртањето ќе биде во 2D простор, кровот ќе го набљудуваме од птичја перспектива и ќе користиме паралелна проекција за да ги нацртаме триаголниците во нивната природна големина. Секако, подобра претстава би имале доколку кровот се црта во тридимензионален простор. Најновата верзија на Геогебра го овозможува претставувањето на објектите во 3D простор.

• Да го нацртаме другиот триаголник. Прво внеси три точки A1, B1 и C1. х - координатите на овие точки, треба да бидат исти со х – координатите на точките A, B и C, соодветно. y – координатите на точките A1 и B1 треба да се еднакви со зададената ширина на куќата од 30м, додека пак y – координатата на точката C1 ќе биде збир од ширината на куќата – 30м и вината на кровот – 4м, т.е. 34м. Во полето Внес внеси: А1(0,30), B1=(10,30), C1=(6,4+30) Притоа постои можност точките да ги означиме (односно внесиме) како независни објекти, со директно внесување на нивните координати или како зависни објекти, т.е. објекти чии координати зависат од координатите на

10

точките A, B и C, соодветно. Вториот случај ќе го примениме во следната Геогебра конструкција, па затоа сега ја користиме првата можност.

Со алатката Многуаголник, нацртај го триаголникот A1B1C1. Страните на триаголникот означи ги со а1, b1 и c1.

• Сега нацртај отсечка d=��� со должина 30м (колку што е ширината на

куќата). За цртање на отсечка користи ја алатката Отсечка меѓу две точки.

• Со истата алатка нацртај две нови отсечки d1 = ��� = d2 = ��� = 30м.

Користи ја алатката Пресек на два објекти за да ја означиш пресечната точка Н1 на d1 и c1. Кликни на алатката и на точката на пресек на двете отсечки. Триаголниците ABC и А1B1C1 се складни триаголници. Од конструкцијата

се гледа дека ��� = ���� = 30м.

• Во Алгебарскиот прозорец смени го името на двата триаголници од многуаголник1 и многуаголник2 во ABC и A1B1C1. Апликацијата Геогебра веднаш ја прикажува плоштината на триаголниците во

Алгебарскиот прозорец. H�� = H����� = 20м� (сл.8).

сл.8 Кров на куќа: Складни триаголници АВС и А1В1С1 - А

11

Значи станува збор за складни и паралелни триаголници со иста плоштина што и беше целта на конструкцијата.

• Нацртај две отсечки, с' со должина од 6м колку што е растојанието на врвот

на кровот од предниот дел на куќата и с" = �� = с – c' =10-6=4м.

Прво со алатката Нормала нацртај права е која минува низ В1 и е

нормална на х-координатнта оска (кликни на алаката Нормала, на точката В1 и на х-координатнта оска). Со истата алатка на ист начин

нацртај права f која минува низ �1�1�1�1 и е нормална на отсечката с.

Означи точка D на y-координатната оска. Со алатката Нормала нацртај права g која минува низ точката D и е нормална на правата f. Со алатката

Пресек на два објекти најди ја пресечната точка Е на правите f и g.

Отсечката NO означи ја со c'. Сега означи точка F на y-координатната оска. Нацртај права ј која минува низ точката F и е нормална на правата f. Пресечната точка на правите f и j е точка G, а пресечната точка на правите е и j е точка I. Отсечката PQ означи ја со c".

• Во полето Внес внеси формула Lt��a���b���c�Lt��a���b���c�Lt��a���b���c�Lt��a���b���c�����за периметарот на триаголникот АВС.��������

• Во полето Внес внеси формула Pt��Pt��Pt��Pt����D�

������за плоштината на триаголникот

АВС. ��������

• Во полето Внес внеси формула Vk�Vk�Vk�Vk� PtPtPtPtDd�d�d�d�����за волуменот на кровот на куќата. Вредностите на периметарот и плоштината на триаголникот и волуменот

на кровот на куќата може да се видат во Алгебарскиот прозорец на Геогебра (сл.9).

12

сл.9 Кров на куќа: Резултатите се во Алгебарскиот прозорец - А

3.2.1.3. Конструкција1: Заклучок

Конструкцијата на кров на куќа со проекција од тридимензионален во

дводимензионален простор, обработена во глава 3.2.1.2 Конструкција1: Kонструкција во Геогебра е во координатен систем во кој темето А на

триаголникот на кровот е поставено во координатниот почеток, а темето В на х -

координатната оска. Геогебра овозможува при цртање на отсечка (со алатка

Отсечка меѓу две точки) или триаголник (со алатка Многуаголник), веднаш

да се прикаже должината на отсечката односно должините на страните на

триаголникот во Алгебарскиот прозорец или Површината за цртање. Така, без

користење на математички формули (т.е. Питагорова теорема за пресметување

на страните на триаголникот на кровот), учениците може да ја добијат должината

на сите страни на триаголникот и кровот, чија вредност се прикажува во

Алгебарскиот прозорец или Површината за цртање. Исто така, при означување на

13

агол (со алатка Агол), големината на аголот се прикажува во Алгебарскиот

прозорец или Површината за цртање, додека при "рачно" одредување на

големината на аглите учениците треба да користат логаритамска таблица. Со

внесување на формули за периметар и плоштина на триаголник, и волумен на

призма, во Алгебарскиот прозорец се добиваат вредностите на бараните

величини.

Конструкција на кров на куќа во Геогебра им овозможува на учениците да ги

проверат своите "рачно" добиени вредности со вредностите во Алгебарскиот

прозорец на Геогебра.

***************************************************�

Користејќи ја претходната конструкција ќе направиме нова Геогебра конструкција со користење на лизгачи, за промена на зададените должини на кровот.

3.2.1.4 Конструкција2: Kонструкција со лизгачи во Геогебра

Krov_na _Kukja Resenie A2.ggb

Цел: Учениците да направат конструкција со лизгачи на кров на куќа во

Геогебра со произволни должини на страните, со проекција од тридимензионален

во дводимензионален простор и да го решат проблемот А, т.е. да ја набљудуваат

и анализираат промената на периметарот и плоштината на триаголникот како и

волуменот на кровот, во зависност од промената на координатите на точките, а со

тоа и страните на кровот на куќата.

За воопштување на проблематиката ќе направиме конструкција за кров на

куќа во Геогебра, во која ќе постои можност за промена на димензиите на кровот,

т.е.:

� Растојанието од предниот до задниот дел на куќата (во задачата е 10м) � Ширината на куќата (30м) � Висината на кровот (4м) � Растојанието на врвот на кровот од предниот дел на куќата (6м)

Постапката на конструкција е иста како и во Krov_na _Kukja Resenie

A1.ggb. Наместо фиксни броеви, координатите на точките треба да добијат вредности кои ќе се менуваат со помош на лизгачи. Промените се во рамките на дефиниран интервал (минимална до максимална вредност со одреден чекор).

14

• Во претходната конструкција, зададено беше растојанието од предниот до задниот дел на куќата (основа на триаголникот АВС, с=10м). Сега сакаме тоа растојание да се менува во рамките на одреден интервал.

Ја користиме алатката за лизгач Лизгач, за да нацртаме лизгач за основата c на триаголникот. Кликнуваме на алатката за лизгач, а потоа на Површината за цртање, со што се отвора прозорец за лизгач (сл.10). Во полето Име го внесуваме името на лизгачот lc (лизгач за основата на триаголникот т.е. растојанието од предниот до задниот дел на куќата), а во другите полиња минималната и максималната вредност на основата и чекорот на промена на вредноста на основата.

сл.10 Прозорец за алатката Лизгач - А

Внесуваме минимална вредност 10, максимална вредност 20, чекор 1.

Овие внесени вредности се произволни. (Можиш да внесиш вредности по твој избор).

• Со десен клик на името на лизгачот во Алгебарскиот прозорец или на лизгачот во Површината за цртање и на опцијата Карактериситики, а потоа на јазичето Основно, и опцијата Анимирај, се добива ефект на движење и може да се набљудува промената на х - координатата на точката В, односно должината на основата на триаголникот во веќе зададените рамки. Значи со десен клик на името на лизгачот во Алгебарскиот прозорец или на лизгачот во Површината за цртање и на опцијата Карактериситики, а потоа на јазичето Лизгач, на екран се добива дијалог прозорец (сл.11) во кој може да се одберат односно менуваат карактеристиките на лизгачот.

сл.11 Прозорец за опција Карактеристики, јазиче Лизгач

Одбираме Хоризонтален

• Со истата алатка, внесуваме три нови лизгачи:

� lc' – растојание на врвот на кровот од предниот дел на куќата (интервал: мин:0, макс:10, чекор:1). Максималната вредност на половина од максималната вредност на

� lh – висината на кровот(интервал: мин:1, макс:15, чекор:1)

� ld – ширина на куќата(интервал: мин:15, макс:60, чекор:1)

• Сега треба да ги промениме координатите на сите точки на кровот, така што кога лизгачот добива друга вредност, ќе се менуваат координатите на точките, а со тоа и димензиите на кровот. Постапката на конструкција е иста со претходната.

- Точка A (0,0)

- В (lc,0) – точката лежи на хдобива моменталната вредност на лизгачот растојанието од предниот до задниот дел на куќата)координата е 0

- Н (lc',0) – точката лежи на хдобива моменталната вредност на лизгачот растојанието на врвот на кровот од предниот дел на куќата), координата е 0

Прозорец за опција Карактеристики, јазиче Лизгач

Хоризонтален лизгач со анимација Расте.

Со истата алатка, внесуваме три нови лизгачи:

растојание на врвот на кровот од предниот дел на куќата (интервал: мин:0, макс:10, чекор:1). Максималната вредност на половина од максималната вредност на lc.

висината на кровот (интервал: мин:1, макс:15, чекор:1)

ширина на куќата (интервал: мин:15, макс:60, чекор:1)

Сега треба да ги промениме координатите на сите точки на кровот, така што кога лизгачот добива друга вредност, ќе се менуваат координатите на точките, а со тоа и димензиите на кровот. Постапката на конструкција е иста со претходната.

0,0) – фиксна точка.

точката лежи на х-координатнта оска, х-координатата ја добива моменталната вредност на лизгачот lcрастојанието од предниот до задниот дел на куќата)координата е 0.

точката лежи на х-координатнта оска, х-координатата ја добива моменталната вредност на лизгачот lc'растојанието на врвот на кровот од предниот дел на куќата), координата е 0.

15

Прозорец за опција Карактеристики, јазиче Лизгач - А

растојание на врвот на кровот од предниот дел на куќата (интервал: мин:0, макс:10, чекор:1). Максималната вредност на lc' е

Сега треба да ги промениме координатите на сите точки на кровот, така што кога лизгачот добива друга вредност, ќе се менуваат координатите на точките, а со тоа и димензиите на кровот. Постапката на конструкција е

координатата ја lc (лизгач за

растојанието од предниот до задниот дел на куќата), y-

координатата ја lc' (лизгач за

растојанието на врвот на кровот од предниот дел на куќата), y-

16

- С (x(H), lh) – со промена на на х-координатата на точката Н, ќе

се менува х-координатата на точката С за иста вредност (затоа х - координатата на С ја добива вредноста на х-координатата на Н), а y-координата ја добива вредноста на лизгачот lh (лизгач за висината на кровот).

- А1 (0, ld) – точката лежи на y-координатнта оска, х- координатата е 0, y - координата ја добива моменталната вредност на лизгачот ld (лизгач за ширината на куќата).

- В1 (х(В), ld) – со промена на х-координатата на точката B, ќе се менува х-координатата на точката В1 за иста вредност (затоа х – координатата на В1 ја добива вредноста на х - координатата на В), а y-координата ја добива вредноста на лизгачот ld (лизгач за ширината на куќата).

- Н1 (х(Н), ld) – промената на х-координатата на точката Н, значи промена на х-координатата на точката Н1 за иста вредност, (затоа х координатата на Н1 ја добива вредноста на х - координатата на Н), а y-координата ја добива вредноста на лизгачот ld (лизгач за ширината на куќата).

- С1 (х(С), ld + lh) – промена на х-координатата на точката C,

значи промена на х-координатата на точката C1 за иста вредност, (затоа х – координатата на C1 ја добива вредноста на х - координатата на C), а y-координата ја добива вредноста на збирот на лизгачот ld (лизгач за ширината на куќата) и lh (лизгач

за висината на кровот), со цел растојанието ��� да биде еднакво на ширината на куќата.

Тестирање на конструкцијата: Со движење на лизгачите се менуваат должините на страните на кровот. Со промена на бројот – вредноста на лизгачите, се добиваат различни должини на страните и аглите на триаголникот, периметарот и плоштината на триаголникот и волуменот на кровот (сл.12).

17

сл.12 Кров на куќа со различни должини на страните (лизгачите) - А

3.2.1.5 Конструкција2: Заклучок

� Со поставување на лизгачите на одреден број, соодветен на зададените влезни големини, учениците може да ги проверат своите "рачно" добиени резултати со резултатите во Алгебарскиот прозорец на Геогебра.

� При "рачно" решавање на проблемот и конструкција на кров на куќа на хартија или табла, потребно е експериментирање односно пресметки со голем број на влезни величини за да се набљудува промената на големината на периметарот и плоштината на триаголникот, како и волуменот на кровот. Тоа на учениците им одзема драгоцен труд и време за голем број на пресметки.

� Конструкција со лизгачи во Геогебра им овозможува на учениците да "експериментираат" сo различни должини на страните на триаголникот и призмата со движење на лизгачите. Со воведување на лизгачи за промена на координатите на точките, а со тоа и должините на станите на призмата, учениците може да набљудуваат како се менува големината на периметарот и плоштината на триаголникот, како и волуменот на кровот. Може да се

18

набљудуваат голем број на комбинации: да се фиксира вредноста/бројот на еден лизгач и да се набљудува промената на големината на периметарот и плоштината на триаголникот, како и волуменот на кровот во зависност од промента на вредноста/бројот на останатите лизгачи, да се фиксира вредноста/бројот на два лизгач и да се набљудува промената на големината на периметарот и плоштината на триаголникот, како и волуменот на кровот во зависност од промента на вредноста/бројот на останатите лизгачи и.т.н.

Пр1.

Во случај кога lc- должината на основата на триаголникот, lh - висината на триаголник и ld- ширината на призмата се фиксни броеви, со зголемување на бројот lc'-растојанието на врвот на кровот од предниот дел на куќата, плоштината на триаголникот и волуменот на призмата не се менуваат, но се намалува периметарот на триаголникот на кровот .

Во случај кога lc'=0 – триаголникот на кровот е правоаголен, периметарот на триаголникот има максимална вредност (сл.13а). Во случај кога lc'=10 – триаголникот на кровот е остроаголен и рамнокрак, периметарот на триаголникот има минимална вредност (сл.13б).

19

сл.13 Кров на куќа – А

Промена на периметарот на кровот во зависност од c'

Пр2.

Во случај кога се зголемува вредноста/бројот на еден од лизгачите lc- должината на основата на триаголникот, lh-висината на триаголник или ld-ширината на призмата, а вредноста на останатите лизгачи е фиксна се зголемува периметарот и плоштината на триаголникот и волуменот на призмата.

а)

б)