kristina flanjak - mathos.unios.hr

Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Kristina Flanjak

Ekstremi funkcija vise varijabli- primjena

Diplomski rad

Osijek, 2012.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Kristina Flanjak

Ekstremi funkcija vise varijabli- primjena

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Kresimir Burazin

Osijek, 2012.

Sadrzaj

Uvod 4

1 Funkcije vise varijabli 5

1.1 Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Ekstremi funkcija vise varijabli 11

2.1 Ekstremi funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Prakticni optimizacijski problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Ostvarivanje maksimalnog profita . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 Problem minimalnog troska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.3 Primjene u drustvenim i humanistickim znanostima . . . . . . . 26

2.2.4 Primjena u matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Uvjetni ekstremi 31

3.1 Lagrangeova metoda za odredivanje uvjetnih ekstrema . . . . . . . . . 31

3.2 Znacajnost Lagrangeovih multiplikatora . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Primjena Lagrangeove metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.1 Funkcija proizvodnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.2 Problem minimalnog troska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.3 Primjena u matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.4 Ostale primjene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Literatura 51

Sazetak 53

Summary 54

Zivotopis 55

Uvod

U matematici minimum i maksimum, ili jednom rijecju ekstrem, opisuju mini-

malnu, odnosno maksimalnu vrijednost neke funkcije. U ovom radu osvrnut cemo se

na nacine odredivanja ekstremnih vrijednosti funkcija s vise varijabli i njihovu primjenu

u razlicitim znanostima, ali i svakodnevnom zivotu. Znamo da se problem odredivanja

ekstrema za funkcije jedne varijable rjesava pomocu derivacija. U ovom radu cemo

vidjeti da se analogan problem za funkcije vise varijabli rjesava pomocu parcijalnih

derivacija.

U prvom poglavlju navest cemo osnovne pojmove koji su nam potrebni u radu. Na

samom pocetku uvodimo pojam funkcije vise varijabli i njenu neprekidnost. Definirat

cemo parcijalnu derivaciju i drugi diferencijal funkcije vise varijabli pomocu cega cemo

odredivati ekstreme funkcije. Takoder cemo iskazati neke osnovne teoreme na koje

cemo se pozivati u daljnjem radu.

U drugom poglavlju cemo govoriti o ekstremima funkcija vise varijabli, kao i o uvje-

tima za postojanje ekstrema. Vidjet cemo da postoje dvije vrste uvjeta za postojanje

lokalnog ekstrema u nekoj tocki: uvjet kojeg ispunjava svaka tocka u kojoj funkcija ima

ekstrem i uvjet koji znaci da funkcija u nekoj tocki ima ekstrem cim je on ispunjen. Na

samom kraju poglavlja cemo vidjeti kako primijeniti iskazane nuzne i dovoljne uvjete

te pronaci ekstreme zadanih funkcija. Iako se sami postupci cine formalni, vidjet cemo

da nam njihova upotreba daje vrlo korisne informacije u stvarnosti te da nam mate-

maticki izvod jamci tocnost zakljucaka uz uvjet da su pretpostavke tocne.

Ponekad je potrebno odrediti tocku ekstrema neke funkcije uz neki uvjet kojim se

ogranicava skup tocaka domene koje zelimo uzeti u obzir. Takve ekstreme nazivamo

uvjetnim ekstremima i o njima cemo govoriti u trecem poglavlju. Uvjeti su obicno dani

u obliku jednadzbe i u vecini problema nije ih moguce rijesiti supstitucijom. Uvodi se

tzv. Lagrangeova funkcija s pripadnim koeficijentom λ koji nazivamo Lagrangeov mul-

tiplikator. Moguci ekstremi polazne funkcije traze se medu stacionarnim tockama La-

grangeove funkcije. U navedenim primjenama vidjet cemo da se karakter stacionarne

tocke lako odreduje pomocu drugih parcijalnih derivacija Lagrangeove funkcije. Na

kraju poglavlja cemo navesti korisne primjene trazenja esktrema uz dano ogranicenje.

4

1 FUNKCIJE VISE VARIJABLI 5

1 Funkcije vise varijabli

1.1 Osnovni pojmovi

Prije proucavanja ekstrema funkcija vise varijabli potrebno je definirati neke osnovne

pojmove koje cemo koristiti, poput funkcije vise varijabli, otvorenog skupa, neprekid-

nosti, itd.

Definicija 1.1 Svaku funkciju f : Ω → R, definiranu na domeni Ω ⊆ Rn, nazivamo

realna funkcija n nezavisnih varijabli.

Definicija 1.2 Norma na prostoru Rn je svaka funkcija || || : Rn → R koja zadovo-

ljava sljedeca svojstva:

(N1) ||P || ≥ 0, P ∈ Rn

(N2) ||P || = 0 ⇐⇒ P = 0

(N3) ||λP || = |λ| ||P ||, λ ∈ R, P ∈ Rn

(N4) ||P +Q|| ≤ ||P ||+ ||Q||, P, Q ∈ Rn.

Definicija 1.3 Za tocku P0 ∈ Rn i r > 0 skup

K(P0, r) :=P = (x1, ..., xn) : ||P − P0|| < r

⊆ Rn

zovemo otvorenom kuglom oko P0 radijusa r.

Definicija 1.4 Za skup Ω ⊆ Rn kazemo da je otvoren skup u Rn ako za svaku tocku

P0 ∈ Ω postoji broj r > 0 takav da je K(P0, r) ⊆ Ω.

Definicija 1.5 Neka je Ω otvoreni skup u Rn, za funkciju f : Ω → R kazemo da je

neprekidna u tocki P0 ∈ Ω, ako

(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀P ∈ Ω) ||P − P0|| < δ ⇒ |f(P )− f(P0)| < ε .

Funkcija f neprekidna je na skupu Ω ako je neprekidna u svakoj tocki iz Ω. Za funkciju

f kazemo da je klase C na Ω ako je ona neprekidna na Ω, pisemo f ∈ C(Ω).

U radu ce se koristiti i pojam parcijalne derivacije funkcije vise varijabli te cemo i njih

definirati, no prije toga cemo definirati limes funkcije vise varijabli.


Definicija 1.6 Neka je Ω otvoreni skup u Rn, tocka P0 ∈ Rn te neka je f : Ω → R.

Za l ∈ R kazemo da je limes funkcije f u tocki P0 ako vrijedi:

(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀P ∈ Ω) (0 < ||P − P0|| < δ ⇒ |f(P )− l| < ε).

Pisemo: limP→P0

f(P ) = l.

Definicija 1.7 Neka je Ω otvoreni skup u Rn, f : Ω → R i P0 = (x01, ..., x0n) ∈ Ω te

neka je i ∈ 1, ...., n. Za fiksni i kazemo da funkcija f ima parcijalnu derivaciju po

i− toj varijabli ukoliko postoji

limxi→x0i

f(x01, x02, ..., x

0i−1, xi, x

0i+1..., x

0n)− f(x01, x

02, ..., x

0i , ..., x

0n)

xi − x0i. (1)

Tada taj limes zovemo parcijalna derivacija funkcije f po i− toj varijabli u tocki P0 i

oznacavamo s ∂f∂xi

(P0), ∂xif(P0), ∂if(P0), f′xi

(P0).

Definicija 1.8 Neka je Ω ⊆ Rn otvoreni skup,a f : Ω → R i P0 = (x01, ..., x0n) ∈ Ω.

Kazemo da je funkcija f diferencijabilna u tocki P0 ako postoji linearan operator

A : Rn → R takav da vrijedi

limH→0

f(P0 +H)− f(P0)− A(H)

||H||= 0.

Linearni operator A tada zovemo diferencijal funkcije f u tocki P0 i pisemo

A = Df(P0).

Preslikavanje f je diferencijabilno na Ω ako je diferencijabilno u svakoj tocki P0 ∈ Ω.

Neka je Ω ⊆ Rn, a f : Ω → R preslikavanje diferencijabilno u tocki P0 ∈ Ω. Za

diferencijal Df(P0) : Rn → R postoji jedinstveni vektor (a1, ..., an) ∈ Rn takav da je

Df(P0)(H) =n∑i=1

aihi, H = (h1, ..., hn) ∈ Rn, (2)

pa su a1, ..., an jedinstveno odredeni realni brojevi takvi da je

limH→0

f(P0 +H)− f(P0)−n∑i=1

aihi

||H||= 0.

Specijalno, za H = hej, gdje su e1, ..., en vektori standardne ortonormirane baze u Rn,

vrijedi

limh→0

f(P0 + hej)− f(P0)− ajh|h|

= 0,


odakle, promatrajuci jednostrane limese limh→0+

i limh→0−

, zakljucujemo da je

aj = limh→0

f(P0 + hej)− f(P0)

|h|,

tj. koordinate vektora kojim je reprezentiran diferencijal Df(P0) su upravo parcijalne

derivacije ∂jf(P0) funkcije f u tocki P0.

Dakle, ako je funkcija f diferencijabilna u tocki P0 ∈ Ω, onda postoje parcijalne deri-

vacije po svim varijablama i vrijedi

Df(P0)(H) =n∑i=1

∂if(P0)hi, H ∈ Rn.

Napomena 1. Primijetimo da su brojevi (a1, ..., an) koji su jednoznacno odredeni

linearnim funkcionalom Rn → R kao u (2) zapravo vrijednosti tog funkcionala na

vektorima standardne baze u Rn, tj. u ovom slucaju vrijedi

∂jf(P0) = aj = Df(P0)(ej).

Neka je L(Rn,R) vektorski prostor linearnih funkcionala na Rn, tj. dualni prostor od

Rn, a dx1, ..., dxn ∈ L(Rn,R) su vektori dualne baze s obzirom na standardnu bazu

e1, ..., en. Dakle, dxi(H) = hi za svaku tocku H = (h1, ..., hn). Tada za diferencijal

Df(P0) funkcije f : Ω→ R imamo

Df(P0) =n∑i=1

∂if(P0)dxi. (3)

Buduci da su vektorski prostori L(Rn,R) i Rn izomorfni, diferencijalu Df(P0) s obzi-

rom na standardnu bazu u Rn mozemo pridruziti njegovu matricu, tj. vektor

(∂1f(P0), ∂2f(P0), ..., ∂nf(P0)) koji se naziva gradijent funkcije f u tocki P0 i

oznacava se s gradf(P0) ili ∇f(P0). Veza izmedu gradijenta i diferencijala funkcije

dana je s

Df(P0)(H) = (∇f(P0)|H), H ∈ Rn,

gdje (·|·) oznacava standardni skalarni produkt na Rn.

Definicija 1.9 Neka je A ⊆ Ω skup svih tocaka P ∈ Ω u kojima postoji parcijalna de-

rivacija fxi po varijabli xi. Funkciju fxi : A→ R zovemo parcijalna derivacija funkcije

f u tocki P0 i ta funkcija je opet funkcija od n varijabli koja moze imati svoje par-

cijalne derivacije. Parcijalnu derivaciju po varijabli xj funkcije fxi zovemo parcijalna

derivacija drugog reda funkcije f u tocki P0 po varijablama xi i xj i oznacavamo

∂2f

∂xi∂xj(P0).

Analogno se uvode i parcijalne derivacije viseg reda funkcije f .


Za parcijalne derivacije drugog reda koristit cemo i oznake: f ′′xixj(P0), ∂i∂jf(P0).

Definicija 1.10 Za preslikavanje f : Ω ⊆ Rn → R kazemo da je diferencijabilno klase

Cm i pisemo f ∈ Cm(Ω), ako postoje sve parcijalne derivacije reda ≤ m u svakoj tocki

iz Ω i ukoliko su one neprekidne na Ω.

Ako je preslikavanje f : Ω ⊆ Rn → R diferencijabilno u svakoj tocki iz skupa Ω, tada

Df mozemo shvatiti kao preslikavanje Df : Ω→ L(Rn,R). Ako je to preslikavanje dife-

rencijabilno u tocki P0, pripadni diferencijal D(Df)(P0) : Rn → L(Rn,R) oznacavamo

s D2f(P0) i zovemo drugi diferencijal preslikavanja f u tocki P0 ∈ Ω. Ako D2f(P )

postoji za svaki P ∈ Ω, imamo preslikavanje D2f : Ω→ L(Rn,L(Rn,R)).

Vektorski prostor L(Rn,L(Rn,R)) svih linearnih operatora s Rn u L(Rn,R) prirodno

je izomorfan vektorskom prostoru bilinearnih funkcionala BL(Rn×Rn,R), tj. prostoru

preslikavanja B : Rn×Rn → R koja su linearna u svakoj varijabli. Taj prirodni izomor-

fizam definira se na sljedeci nacin: svakom linearnom operatoru b ∈ L(Rn,L(Rn,R))

pridruzimo bilinearni operator B := β(b) : Rn × Rn → R definiran s

B(H,K) := (b(H))(K), H,K ∈ Rn.

Obratno, bilinearnom funkcionalu B ∈ BL(Rn × Rn,R) pridruzit cemo linearan ope-

rator λ(B) =: b ∈ L(Rn,L(Rn,R)) definiran s

(b(H))(K) := B(H,K), H,K ∈ Rn.

Lako se pokazuje da je β : L(Rn,L(Rn,R))→ BL(Rn×Rn,R) izomorfizam vektorskih

prostora s inverzom λ. Identificiramo li izomorfizmom β te vektorske prostore, mozemo

drugi diferencijal interpretirati kao bilinearni funkcional.

Za preslikavanje f : Ω ⊆ Rn → R koje je diferencijabilno na Ω, prema formuli (3), je

Df(P0) =n∑i=1

∂if(P0)dx1, P0 ∈ Ω, gdje su dxi ∈ L(Rn,R) vektori dualne baze prostora

Rn, stoga imamo:

D2f(P0)(H) = (D(Df)(P0))(H) =n∑i=1

D(∂if)(P0)(H)dxi =

=n∑i=1

( n∑j=1

∂j∂if(P0)hj

)dxi, H ∈ Rn.

Ako funkcional D2f(P0)(H) ∈ L(Rn,R) primijenimo na K ∈ Rn, dobivamo

((D2f)(P0)(H))(K) =n∑i=1

n∑j=1

∂j∂if(P0)hjki.


Ako drugi diferencijal promatramo kao bilinearan funkcional, imamo:

D2f(P0)(H,K) =n∑i=1

n∑j=1

∂j∂if(P0)hjki.

Teorem 1.1 (Schwarzov teorem) Neka je f : Ω ⊆ Rn → R funkcija klase C2 na

Ω. Tada je

∂i∂jf(P ) = ∂j∂if(P )

za sve i, j = 1, ..., n i P ∈ Ω.

Dakle, za f ∈ C2(Ω) drugi je diferencijal funkcije f simetrican bilinearan funkcional,

tj. vrijedi

D2f(P )(H,K) = D2f(P )(K,H), H,K ∈ Rn.

Sada cemo opisati jos jedan nacin gledanja na drugi diferencijal.

Neka je B : Rn × Rn → R bilinearan funkcional, tada je s

k(H) := B(H,H), H ∈ Rn

definirana neprekidna funkcija k : Rn → R za koju vrijedi

k(H +K) + k(H −K) = 2k(H) + 2k(K), H,K ∈ Rn. (4)

Za neprekidnu funkciju k za koju vrijedi (4) kazemo da je kvadratni funkcional na Rn.

Ako u (4) stavimo H = K = 0, mozemo zakljuciti da za svaki kvadratni funkcional

vrijedi

k(0) = 0.

Za H = 0 iz (4) imamo

k(−K) = k(K), K ∈ Rn.

Dakle, svakom je bilinearnom funkcionalu B : Rn × Rn → R pridruzen kvadratni

funkcional κ(B) := k : Rn → R formulom

(κ(B))(H) := B(H,H). (5)

Prethodna razmatranja mozemo primijeniti na drugi diferencijal funkcije f : Ω → Rklase C2. Prema Schwarzovom teoremu, drugi diferencijal D2f(P0) : Rn × Rn → R je

simetrican bilineran funkcional. Pridruzeni kvadratni funkcional je κ(D2f(P0)) kojeg


cemo takoder oznacavati s D2f(P0). Tada je D2f(P0) : Rn → R kvadratni funkcional,

a zbog (5) vrijedi

D2f(P0)(H) =n∑

i,j=1

∂i∂jf(P0)hihj, H ∈ Rn,

tj. D2f(P0) je (simetricna) kvadratna forma na Rn.

Oznacimo li s dxi ∈ L(Rn,R), i = 1, ..., n, linearne funkcionale definirane s dxi(H) = hi,

mozemo pisati

D2f(P0) =n∑

i,j=1

∂i∂jf(P0)dxidxj

gdje je dxidxj obican produkt realnih funkcija, tj.

dxidxj(H) = dxi(H)dxj(H) = hihj, H ∈ Rn.

Sada cemo navesti jos dva teorema koja ce nam biti potrebna u daljnjem radu:

Teorem 1.2 (Taylorov teorem srednje vrijednosti) Neka je Ω ⊆ Rn otvoren

skup, f : Ω→ R funkcija klase Ck+1(Ω) i [P0, P ] ⊆ Ω. Tada postoji λ ∈ 〈0, 1〉 tako da

vrijedi

f(P ) = f(P0) +k∑j=1

1

j!Djf(P0)(P − P0) +

1

(k + 1)!Dk+1f(P0 + λ(P − P0))(P − P0)

Polinom f(P0) +k∑j=1

1

j!Djf(P0)(P − P0) zove se Taylorov polinom stupnja k funkcije

f .

Teorem 1.3 (Teorem o implicitnoj funkciji) Neka je F : Ω→ R realna funkcija

klase C1 na otvorenom skupu Ω ⊆ Rn+1 = Rn × R a tocka Q0 = (x01, ..., x0n, y0) =

(P0, y0) ⊆ Ω takva da je F (Q0) = 0 i ∂n+1F (Q0) 6= 0. Tada postoji okolina U ⊆ Rn

oko tocke P0 i postoji jedinstvena neprekidna funkcija f : U → R takva da je f(P0) = y0

i F (P, f(P )) = 0 za sve P ∈ U . Stovise, funkcija f je diferencijabilna klase C1 i vrijedi

∂if(P ) = − ∂iF (P, f(P ))

∂n+1F (P, f(P )), P ∈ U, i = 1, ..., n.

2 EKSTREMI FUNKCIJA VISE VARIJABLI 11

2 Ekstremi funkcija vise varijabli

2.1 Ekstremi funkcije

Prije samog opisivanja postupka pronalazenja ekstrema fukcija vise varijabli definirat

cemo pojmove lokalnog ekstrema i stacionarnih tocaka i navesti nuzan i dovoljan uvjet

za postojanje lokalnog ekstrema funkcije.

Definicija 2.1 Neka je Ω ⊆ Rn otvoren skup. Kazemo da funkcija f : Ω → R ima

lokalni minimum u tocki P0 ∈ Ω ako postoji okolina K(P0, r) ⊆ Ω takva da

(∀P ∈ K(P0, r)\P0) (f(P ) ≥ f(P0)),

odnosno funkcija f u P0 ∈ Ω ima lokalni maksimum ako vrijedi:

(∀P ∈ K(P0, r)\P0) (f(P ) ≤ f(P0)).

Vrijednosti f(P0) nazivamo minimumom, odnosno maksimumom funkcije f na skupu

Ω.

Ako u prethodnim definicijama vrijede stroge nejednakosti radi se o strogom lokalnom

minimumu, odnosno o strogom lokalnom maksimumu. Takoder, ukoliko u prethodnoj

definiciji vrijede sljedece nejednakosti

f(P ) ≥ f(P0),

f(P ) ≤ f(P0),

za svaku tocku P ∈ Ω, tada funkcija f u tocki P0 ima globalni minimum, odnosno

globalni maksimum. Lokalne minimume i maksimume funkcije f nazivamo lokalni

ekstremi funkcije f , a globalne minimume i maksimume nazivamo globalni ekstremi

funkcije f .

Definicija 2.2 Neka je Ω ⊆ Rn otvoren skup i neka je f : Ω → R diferencijabilna

funkcija. Za tocku P0 ∈ Ω kazemo da je stacionarna ili kriticna tocka funkcije f ako

vrijedi:

∂if(P0) = 0, i = 1, 2, ..., n.


Teorem 2.1 (Nuzan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema)

Ako je P0 ∈ Ω ⊆ Rn tocka lokalnog ekstrema diferencijabilne funkcije f : Ω→ R, onda

je P0 stacionarna tocka funkcije f , tj. vrijedi:

∂if(P0) = 0, i = 1, 2, ..., n.

Dokaz:

Ako f ima u P0 lokalni minimum, onda ∀i = 1, 2, .., n i restrikcija

ϕi : xi 7→ f(x01, x02, ..., x

0i−1, xi, x

0i+1..., x

0n)

funkcije f na pravac kroz P0 odreden i − tim koordinatnim vektorom, ima u tocki x0ilokalni minumum. Kako je ϕi funkcija jedne varijable, vrijedi da je ϕ′i(x

0i ) = 0. Ako za

neki indeks i postoji parcijalna derivacija od f po varijabli xi u tocki P0 onda vrijedi

ϕ′i(x0i ) = ∂if(P0). Zakljucujemo

∂if(P0) = 0, i = 1, 2, ..., n.

Analogno se zakljucuje u slucaju lokalnog maksimuma.

Napomena 2. Prilikom trazenja lokalnog ekstrema funkcije prethodni teorem cemo

koristiti ”unatrag”, tj. za pronalazenje ekstrema funkcije prvo cemo odrediti staci-

onarne tocke te funkcije.

Kod funkcija vise varijabli ne mora se dogoditi da je svaka stacionarna tocka ili lokalni

maksimum ili lokalni minimum, ona moze biti i tzv. sedlasta tocka (tocka infleksije).

Stoga, da bismo odredili lokalni ekstrem funkcije vise varijabli, nije dovoljno samo

naci stacionarne tocke, potrebno je promatrati i drugi diferencijal. No prije definira-

nja dovoljnih uvjeta za postojanje ekstrema, definirat cemo neke pojmove vezane za

kvadratne forme, tj. za funkcije q : Rn → R oblika

q(H) =n∑

i,j=1

aijhihj, H ∈ Rn,

gdje su aij ∈ R dani brojevi.

Definicija 2.3 Neka je q : Rn → R kvadratna forma.

(a) q je pozitivno definitna ako je q(H) > 0, za svaki H ∈ Rn\0.q je negativno definitna ako je q(H) < 0, za svaki H ∈ Rn\0.


(b) q je pozitivno semidefinitna ako je q(H) ≥ 0, za sve H ∈ Rn.

q je negativno semidefinitna ako je q(H) ≤ 0, za sve H ∈ Rn.

(c) q je indefinitna ako nije niti pozitivno, niti negativno semidefinitna, tj. prima i

pozitivne i negativne vrijednosti.

Teorem 2.2 (Dovoljan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema)

Neka je Ω ∈ Rn otvoren skup, f : Ω → R diferencijabilna funkcije klase C2 i neka je

P0 ∈ Ω stacionarna tocka funkcije f . Vrijedi:

(i) Ako je D2f(P0) pozitivno definitna kvadratna forma, onda f ima u tocki P0 strogi

lokalni minimum.

(ii) Ako je D2f(P0) negativno definitna kvadratna forma, onda f ima u tocki P0 strogi

lokalni maksimum.

(iii) Ako je D2f(P0) indefinitna kvadratna forma, onda f u tocki P0 nema lokalni

ekstrem, tj. P0 je sedlasta tocka funkcije f .

Dokaz:

Kako je f ∈ C2(Ω) i Df(P0) = 0 po Taylorovu teoremu za svaki P iz neke okoline

tocke P0 postoji ϑP ∈ 〈0, 1〉 takav da je

f(P )− f(P0) =1

2

n∑i,j=1

∂i∂jf(P0 + ϑP (P − P0))(xi − x0i )(xj − x0j), (6)

gdje su x0i komponente tocke P0, a xi komponente tocke P = P0 +H.

Oznacimo

aij := ∂i∂jf(P0),

rij(P ) := ∂i∂jf(P0 + ϑP (P − P0))− ∂i∂jf(P0).

Za P 6= P0 neka je yi :=xi−x0i||P−P0|| , i = 1, 2, ..., n. Tada je |yi| ≤ 1 i

n∑i=1

y2i = 1.

Uvrstimo li to sve u (6) dobivamo

f(P )− f(P0) =||P − P0||2

2

( n∑i,j=1

aijyiyj +n∑

i,j=1

rij(P )yiyj

). (7)


(i) Neka je D2f(P0), tj. funkcija (y1, ..., yn) 7→n∑

i,j=1

aijyiyj, pozitivno definitna kva-

dratna forma. To je neprekidna funkcija pa ona na jedinicnoj sferi

Sn−1 := (y1, ..., yn) :n∑i=1

y2i = 1 poprima minimum. Oznacimo taj minimum s ε.

Zbog pozitivne definitnosti drugog diferencijala je ε > 0. Kako je f ∈ C2(Ω), to je

limP→P0

rij(P ) = 0 pa postoji okolina U oko P0 takva da je |rij(P )| < εn2 za sve P ∈ U .

Zbog |yi| ≤ 1 za P ∈ U\P0, vrijedi

|n∑

i,j=1

rij(P )yiyj| ≤n∑

i,j=1

|rij(P )||yi||yj| ≤n∑

i,j=1

|rij(P )| <n∑

i,j=1

ε

n2= ε.

Sada iz (7) imamo da je izraz

n∑i,j=1

rij(P )yiyj +n∑

i,j=1

aijyiyj > 0,

pa za svaki P ∈ U\P0 vrijedi f(P ) > f(P0), tj. f ima u P0 strogi lokalni minumum.

(ii) Ako je drugi diferencijal D2f(P0) negativno definitna kvadratna forma, tada je

−D2f(P0) = D2(−f)(P0) pozitivno definitna pa prema (i) zakljucujemo da funkcija−fima u P0 strogi lokalni minimum, odakle slijedi da f ima u P0 strogi lokalni maksimum.

(iii) Neka jeD2f(P0) indefinitna kvadratna forma. Tada postoje vektoriH ′ = (h′1, ..., h′n)

i H ′′ = (h′′1, ..., h′′n) takvi da je

∑i,j

aijh′ih′j > 0 i

∑i,j

aijh′′i h′′j < 0. Za t ∈ R neka je

P ′t = P0 + tH ′, P ′′t = P0 + tH ′′.

Tada je, uz oznake kao na pocetku teorema, yi =th′i|t|||H′|| pa je y′iy

′j = 1

||H′||2h′ih′j. Uvr-

stimo li to u (6) dobivamo

f(P ′t)− f(P0) =t2

2

(∑i,j

aijh′ih′j +∑i,j

rij(P′t)h′ih′j

). (8)

Kako je limt→0

rij(P′t) = 0, to je za dovoljno malene t drugi sumand u zagradi po apsolutnoj

vrijednosti manji od prvog (koji je pozitivan realan broj neovisan o t) pa je f(P ′t) >

f(P0). Kako se za svaku okolinu U tocke P0 moze uzeti t tako malen da je P ′t ∈ U ,

zakljucujemo da f u P0 nema lokalni maksimum.

Analogno, polazeci od tocke P ′′t , zakljucujemo da f nema u P0 niti lokalni minimum,

cime je teorem dokazan.


Slika 1: Graf funkcije f(x) = x2 + y2 koja postize

lokalni minimum u tocki (0,0)

Slika 2: Graf funkcije f(x) = −x2 − y2 koja postize

lokalni maksimum u tocki (0,0)

Slika 3: Graf funkcije f(x) = x2 − y2

gdje je tocka (0,0) sedlasta tocka

Napomena 3. Primijetimo da teorem nista ne govori o slucaju kada je D2f(P0) samo

semidefinitna kvadratna forma. Tada drugi diferencijal ne daje dovoljno informacija pa


su potrebna druga sredstva kako bismo utvrdili je li stacionarna tocka tocka lokalnog

maksimuma ili minimuma. No tu je situacija slozenija nego za funkcije jedne varijable

i tim metodama se u ovom radu necemo baviti.

Da bi se Teorem 2.2. mogao upotrijebiti, potrebno je imati kriterij kako ustanoviti

kakva je kvadratna forma s obzirom na definitnost. Jedan od kriterija koji se moze

koristiti dan je sljedecim teoremom:

Teorem 2.3 (Sylvesterov kriterij)

Neka je q(t1, ..., tn) =∑i,j

aijtitj (simetricna) kvadratna forma i oznacimo redom de-

terminante

α1 := a11, α2 :=

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ , ..., αn :=

∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1n...

...an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣ .(i) q je pozitivno definitna kvadratna forma ako i samo ako je αi > 0 za sve i =

1, 2, ..., n.

(ii) q je negativno definitna kvadratna forma ako i samo ako je α1 < 0, α2 > 0,

α3 < 0, α4 > 0,...

(iii) q je indefinitna kvadratna forma ako su sve determinante αi razlicite od nule i

ne javlja se niti jedan od prethodna dva slucaja.

Dokaz:

Dokaz cemo raditi za n=2, (simetricna) kvadratna forma dviju varijabli q : R2 → R je

oblika

q(x1, x2) = a11x21 + 2a12x1x2 + a22x

22.

Neka je (O; e1, e2) pravokutni koordinatni sustav u ravnini, a (e1, e2) ortonormirana

baza, tada za kvadratnu formu vrijedi

q(x1, x2) = Ax · x,

gdje je x = x1e1 + x2e2, a linearni operator A u bazi (e1, e2) zadan je matricom

A =

[a11 a12a21 a22

].

Neka su λ1, λ2 ∈ R svojstvene vrijednosti matrice A, tada vrijedi:

λ1 · λ2 = detA = a11a22 − a212 i λ1 + λ2 = TrA = a11 + a22.


(i) Neka je q(x1, x2) pozitivno definitna kvadratna forma, tj. q(x1, x2) > 0 za svaki

(x1, x2) ∈ R2\0, 0.

Tada svojstvene vrijednosti matrice A, λ1 i λ2 moraju biti pozitivne, iz cega slijedi da

je detA > 0. Nadalje, iz toga slijedi

a11a22 − a212 > 0 ⇒ a11a22 > a212 ≥ 0, tj. a11a22 > 0.

Sada imamo da su a11 i a22 razliciti od nule i moraju biti istog predznaka. Taj predznak

iz

TrA = a11 + a22 = λ1 + λ2 > 0

mora biti pozitivan, konacno

α1 = a11 > 0 i α2 = detA > 0.

Obratno, ako je α1 = a11 > 0 i α2 = detA > 0 primijetimo da zbog detA > 0 vrijedi

a11a22 > a212 ≥ 0, tj. a11a22 > 0, sto znaci da su a11 i a22 istog predznaka. Kako je po

pretpostavci a11 > 0 slijedi da je i a22 > 0.

Zbog detA = λ1 · λ2 > 0 slijedi da su λ1 i λ2 razliciti od nule te da su istog predznaka.

Taj predznak zbog

λ1 + λ2 = TrA = a11 + a22 > 0

mora biti pozitivan. Konacno, imamo da su svojstvene vrijednosti matrice A pozitivne

sto znaci da je matrica pozitivno definitna, kao i pridruzena kvadratna forma q(y1, y2).

(ii) Dokaz ove tvrdnje moze se pokazati na slican nacin kao u prethodnom slucaju.

(iii) U slucaju n=2, q je indefinitna kvadratna forma ako i samo ako je α2 = detA < 0.

Neka je q(x1, x2) indefinitna kvadratna forma. Tada svojstvene vrijednosti pridruzene

matrice A moraju biti razlicite od nule i suprotnog predznaka, iz cega zakljucujemo da

je detA = λ1λ2 < 0.

Obratno, neka je α2 = detA < 0. Iz detA = λ1λ2 < 0 slijedi da λ1 i λ2 moraju biti

razliciti od nule i suprotnog predznaka. Zakljucujemo da je matrica A indefinitna kao

i pridruzena kvadratna forma.

Dovoljni uvjeti za postojanje lokalnog ekstrema funkcije vise varijabli mogu se provje-

riti i preko Sylvesterovog kriterija. U slucaju funkcije s 2 ili 3 varijable relativno je

jednostavno prikazati drugi diferencijal kao kvadratnu formu, pridruziti mu simetricnu


matricu i odrediti sve subdeterminante, no u slucaju vise varijabli postupak je tezi i

kompliciraniji.

Postupak trazenja ekstrema funkcije dvije varijable

Neka je f(x, y) funkcija dvije varijable klase C2, drugi diferencijal funkcije f mozemo

promatrati kao kvadratnu formu i dovoljne uvjete provjeriti pomocu Sylvesterovog

kriterija, tada se postupak trazenja ekstrema funkcije dvije varijable svodi na sljedeca

4 koraka:

1. Naci stacionarne tocke zadane funkcije f(x, y), tj. uredene parove realnih brojeva

(x0, y0) takve da je

f ′x = 0 i f ′y = 0.

2. Naci sljedece parcijalne derivacije funkcije f(x, y):

f ′′xx, f ′′xy, f ′′yy.

3. Izracunati vrijednost drugih parcijalnih derivacija u svakoj stacionarnoj tocki

(x0, y0).

4. Promatrati funkciju

d(x0, y0) = f ′′xx(x0, y0)f′′yy(x0, y0)− [f ′′xy(x0, y0)]

2.

i) Ako je d > 0 i f ′′xx(x0, y0) > 0, tada f u tocki (x0, y0) ima lokalni minimum.

ii) Ako je d > 0 i f ′′xx(x0, y0) < 0, tada f u tocki (x0, y0) ima lokalni maksimum.

iii) Ako je d < 0, tada je (x0, y0) sedlasta tocka.

iv) Ako je d = 0, tada je ovaj postupak nedostatan te tocka (x0, y0) moze biti ili

tocka lokalnog minimuma ili sedlasta tocka. Za odluku o ekstremu za promatranu

tocku treba vrsiti posebna ispitivanja koja se u ovom radu ne spominju.

Prije nego prijedemo na samu primjenu postupka trazenja ekstrema, osvrnut cemo se

na moguce lokalne i globalne minimume, odnosno maksimume, tj. vezu medu njima.

Ako je skup Ω na kojemu promatramo danu funkciju zatvoren i ogranicen i funkcija f

neprekidna, onda prema Weierstrassovom teoremu postoji globalni ekstrem P0 funkcije

f . Stoga imamo dva slucaja: ili je P0 u unutrasnjosti skupa S pa je on i lokalni

ekstrem, ili je P0 na rubu skupa S. Zato je, da bismo nasli globalni ekstrem takve

funkcije, dovoljno provjeriti sve lokalne ekstreme i vidjeti sto se dogada s funkcijom

na rubu skupa. Prema [13] lokalni ekstrem je ujedno i globalni, ako imamo jedan od

sljedeca dva slucaja:


1. Funkcija koju maksimiziramo je strogo konkavna, tj. vrijedi da je drugi difrencijal

u svakoj tocki skupa Ω negativno definitna kvadratna forma.

2. Funkcija koju minimiziramo je strogo konveksna, tj. vrijedi da je drugi difrencijal

u svakoj tocki skupa Ω pozitivno definitna kvadratna forma.

2.2 Prakticni optimizacijski problemi

Na prakticne optimizacijske probleme u kojima je potrebno odrediti minimum ili mak-

simum vrijednosti neke odredene funkcije nailazimo svakodnevno, posebno u ekonomiji.

Neki od problema su: ostvarivanje maksimalnog profita, minimalan utrosak resursa,

minimalan utrosak energije, problem minimalne udaljenosti, konstrukcije, itd. U ovom

poglavlju cemo promotriti probleme u kojima rjesenje nalazimo pomocu ispitivanja

predznaka druge derivacije, osvrnut cemo se na neke od problema koji se cesto javljaju

u ekonomiji te u prirodnim i drustvenim znanostima.

2.2.1 Ostvarivanje maksimalnog profita

U sljedeca dva primjera promotriti cemo problem ostvarivanja maksimalnog profita.

Primjer 1. Formiranje cijena

Trgovina u ponudi ima 2 vrste likera od visnje. Jedna marka likera potjece od lokalnog

proizvodaca i trgovac ju nabavlja po cijeni od 30 kuna po litri, dok drugu marku likera

proizvodi dobro poznati nacionalni proizvodac i nabavna cijena tog likera je 40 kuna

po litri. Potraznja jedne vrste likera ovisi o cijeni one druge vrste. Ako cijena likera

lokalnog proizvodaca raste dok je cijena likera nacionalnog proizvodaca konstantna,

smanjuje se potraznja za likerom lokalnog proizvodaca, a potraznja za likerom nacional-

nog proizvodaca se povecava. Slicno, ako cijena likera nacionalnog proizvodaca raste

dok je cijena likera lokalnog proizvodaca konstantna, smanjuje se potraznja za likerom

nacionalnog proizvodaca, a potraznja za likerom lokalnog proizvodaca se povecava. Po-

traznja jednog proizvoda cesto se modelira funkcijom f(x, y) = c+ ax+ by, gdje su x

i y cijene dva konkurentna proizvoda, c je ocekivana prodaja proizvoda, dok su a i b

koeficijenti koji se odreduju iskustveno. Neka je x cijena likera lokalnog proizvodaca i

y cijena likera nacionalnog proizvodaca, tada trgovac u promatranoj trgovini na osnovi

dosadasnje prodaje procjenjuje da ce potraznja likera lokalnog proizvodaca biti

q1(x, y) = 70− 5x+ 4y,


gdje q1 predstavlja broj prodanih boca likera lokalnog proizvodaca u jednom tjednu.

Potraznju likera nacionalnog proizvodaca trgovac procjenjuje s

q2(x, y) = 80 + 6x− 7y,

gdje q2 predstavlja broj prodanih boca likera nacionalnog proizvodaca u jednom tjednu.

Kako trgovac treba formirati cijene pojedine marke likera kako bi ostvario maksimalan

profit od prodaje likera od visnje?

Rjesenje:

Vrijedi: (Ukupanprofit

)=

(Profit od prodajelokalnog proizvodaca

)+

(Profit od prodaje

nacionalnog proizvodaca

).

Ukupna tjedna zarada prodaje likera od visnje dana je funkcijom:

f(x, y) =

broj prodanih

litaralokalnog

proizvodaca

·

zarada politri

lokanogproizvodaca

+

broj prodanih

litaranacionalnogproizvodaca

·

zarada politri

nacionalnogproizvodaca

,

iz cega slijedi:

f(x, y) = (70− 5x+ 4y) · (x− 30) + (80 + 6x− 7y) · (y − 40)= −5x2 + 10xy − 20x− 7y2 + 240y − 5300.

Parcijalne derivacije:

f ′x = −10x+ 10y − 20 i f ′y = 10x− 14y + 240.

Izjednacimo parcijalne derivacije s nulom i dobijemo sustav jednadzbi:

−x+ y = 25x− 7y = −120.

Rjesenje gornjeg sustava jednadzbi je x = 53 i y = 55. Dakle, jedina stacionarna tocka

je tocka (53, 55).

Sada racunamo druge parcijalne derivacije kako bismo odredili je li ta tocka lokalni

ekstrem:

f ′′xx(x, y) = −10,

f ′′yy(x, y) = −14,

f ′′xy(x, y) = 10.


Racunamo vrijednost funkcije

d(x, y) = f ′′xx(x, y)f ′′yy(x, y)− [f ′′xy(x, y)]2

u stacionarnoj tocki. Slijedi

d(53, 55) = 40 > 0 i f ′′xx(53, 55) = −10 < 0.

Dakle, tocka (53, 55) je tocka lokalnog maksimuma pa zakljucujemo da trgovac os-

tvaruje maksimalan profit ako liker lokalnog proizvodaca prodaje za 53 kune, a liker

nacionalnog proizvodaca za 55 kuna po litri.

Zbog stroge konkavnosti promatrane funkcije tocka (53,55) ujedno je i tocka globalnog

maksimuma.

Primjer 2. Raspodjela troskova

Odredena tvrtka uvodi novi proizvod na trziste cija ce prodajna cijena biti 150 kuna,

a trosak proizvodnje samog proizvoda je 50 kuna. Tvrtka ce potrositi x tisuca kuna na

razvoj i y tisuca kuna na promociju proizvoda. Dobit od prodaje proizvoda moze se

izraziti kao funkcija dvije varijable f(x, y). U slucaju da nema ulaganja u razvoj i pro-

mociju proizvoda, tvrtka ne moze ocekivati dobit za proizvodnju novog proizvoda dok

rastom ulaganja u razvoj i promociju raste i dobit. Dobit tvrtke takoder ovisi o karak-

teristikama trzista i potrosaca te ona ne moze rasti neograniceno. Konzultantska tvrtka

koja se bavi procjenom prodaje na temelju dosadasnjih iskustava u lansiranju novih

proizvoda procjenjuje da ce tvrtka prodati 320yy+2

+ 160xx+4

proizvoda. Koliko proizvodac

treba potrositi na razvoj i promociju proizvoda da bi ostvario maksimalnu mogucu

dobit?

Rjesenje:

Vrijedi:

(Ukupanprofit

)=

Brojprodanihproizvoda

· ( Cijenaproizvoda

− Trosakproizvodnje

)−

Cijena razvojai promocijeproizvoda

.

f(x, y) =(320yy+2

+ 160xx+4

)· (150− 50)− (x+ y)

= 3200yy+2

+ 1600xx+4− x− y.

Parcijalne derivacije su:

f ′x =6400

(x+ 4)2− 1 i f ′y =

6400

(y + 2)2− 1.


Izjednacimo parcijalne derivacije s nulom i dobijemo sustav jednadzbi:

(x+ 4)2 = 6400(y + 2)2 = 6400.

Rjesenje gornjeg sustava jednadzbi je

x1 = 76, y1 = 78,

x2 = −84, y2 = −82.

Kako x i y predstavljaju potrosnju proizvodaca na razvoj i promociju proizvoda, pro-

matramo samo njihove pozitivne vrijednosti.

Racunamo druge parcijalne derivacije:

f ′′xx(x, y) = − 12800

(x+ 4)3,

f ′′yy(x, y) = − 12800

(y + 2)3,

f ′′xy(x, y) = 0.

Vrijednost funkcije d(x, y) u stacionarnoj tocki je

d(76, 78) =128002

806> 0 i f ′′xx(76, 78) = −12800

803< 0.

Tocka (76,78) je tocka lokalnog maksimuma pa zakljucujemo da proizvodac treba po-

trositi 76 000 kn na razvoj i 78 000 kn na promociju proizvoda kako bi ostvario mak-

simalnu dobit.

Druga parcijalna derivacija f ′′xx(x, y) funkcije f uvijek ce biti negativna jer je x uvijek

pozitivan, pa je funkcija f strogo konkavna te je lokalni maksimum ujedno i globalni.

2.2.2 Problem minimalnog troska

Primjer 1. Minimizacija potrosnje materijala - Konstrukcija

Kojih dimenzija treba biti pravokutna kutija volumena 32m2 da utrosak materijala za

njenu konstrukciju bude minimalan ako je poznato da se kutija radi od tri razlicita

materijala: cijena materijala za strane je 1 kn po m2, za dno 3 kn po m2, a za vrh 5

kn po m2?


Rjesenje:

Promatramo kvadar dimenzija x, y, z

Cijenu izrade kutije dobit cemo zbrajanjem cijena materijala za dno, bocne strane i

vrh. Cijena pojedinog dijela dobiva se mnozenjem njegove povrsine (u m2) s cijenom

po jedinici povrsine.(Ukupnitrosak

)=

(Trosakstrana

)+

(Trosakdna

)+

(Trosakvrha

).(

Ukupnitrosak

)= Pdna · 3 kune+ Pstrana · 1 kuna+ Pvrha · 5 kuna,

iz cega dobivamo funkciju troska:

f(x, y, z) = 3xy + (2xy + 2yz) · 1 + 5xy.

Dobivena funkcija troska je funkcija tri varijable, no one nisu medusobno nezavisne,

ukoliko za duljinu i sirinu baze izaberemo neke brojeve x i y, time je odredena i visina

kutije kako bi ona bila zadanog obujma. Buduci da obujam iznosi 32m2, iz xyz = 32m2

izrazimo z = 32xy

i to uvrstimo u funkciju troska koja je sada funkcija dvije varijable i

glasi

f(x, y) = 8xy +64

x+

64

y.

Sada je nas zadatak odrediti minimum gornje funkcije, sto radimo prema vec odredenom

postupku za odredivanje ekstrema funkcije. Parcijalne derivacije su

f ′x = 8y − 64

x2i f ′y = 8x− 64

y2.

Parcijalne derivacije izjednacimo s nulom i dobijemo sustav jednadzbi s dvije nepozna-

nice

8y − 64x2

= 08x− 64

y2= 0

cije je rjesenje: x0 = 2, y0 = 2 (promatramo samo pozitivna rjesenja jer x i y

oznacavaju duljine duzina stranica kvadra).


f ′′xx(x, y) =128

x3,


f ′′yy(x, y) =128

y3,

f ′′xy(x, y) = 8,


d(2, 2) = 192 > 0 i f ′′xx(2, 2) = 16 > 0.

Tocka (2,2) je tocka lokalnog minimuma, sada jos trebamo izracunati vrijednost nepoz-

nanice z = 8.

Dakle, promatrani kvadar treba biti duljine i sirine 2 m te visine 8 m.

Iz uvjeta zadatka rjesenja x, y i z moraju biti pozitivna, pa je stoga promatrana funkcija

strogo konveksna te je tocka (2,2) ujedno i tocka globalnog minimuma.

Primjer 2. Problem minimalne udaljenosti

Vlasnik neke tvrtke zeli sagraditi skladiste tako da suma svih udaljenosti od skladista

do 4 podruznice njegove tvrtke bude najmanja. Ako na mapu pravokutnog oblika

ucrtamo koordinatni sustav, tocke (-5,0), (1,7), (9,0) i (0,-8) predstavljaju lokacije po-

druznica. U kojoj tocki S(a,b) treba graditi skladiste kako bi udaljenost do podruznica

bila minimalna?

Rjesenje:

Suma udaljenosti od tocke S do tocaka A, B, C i D koje predstavljaju lokacije po-

druznica je dana s

d =√

(a+ 5)2 + b2 +√

(a− 1)2 + (b− 7)2 +√

(a− 9)2 + b2 +√

(a− 9)2 + b2.

Minimizacija gornjeg izraza je komplicirana, stoga cemo mi promatrati aproksimaciju

gornjeg izraza, tj. sumu kvadrata udaljenosti, pa je funkcija koju minimiziramo oblika

S(a, b) = [(a+ 5)2 + b2] + [(a− 1)2 + (b− 7)2] + [(a− 9)2 + b2] + [(a− 9)2 + b2].

Parcijalne derivacije su

S ′a = 8a− 10 i S ′b = 8b+ 2.

Parcijalne derivacije izjednacimo s nulom i dobijemo sustav jednadzbi s dvije nepozna-

nice

8a− 10 = 08b+ 2 = 0,

cije je rjesenje: a = 54

, b = −14.


Druge parcijalne derivacije su:

S ′′aa(a, b) = 8,

S ′′bb(a, b) = 8,

S ′′ab(a, b) = 0.

Vrijednost funkcije d(a, b) u stacionarnoj tocki je

d(5

4,−1

4) = 64 > 0 i S ′′aa(

5

4,−1

4) = 8 > 0.

Tocka (54,−1

4) je tocka lokalnog minimuma. Takoder, tocka (5

4,−1

4) je i tocka globalnog

minimuma zbog stroge konveksnosti promatrane funkcije.

Skladiste treba graditi na lokaciji (54,−1

4) kako bi se postigla najmanja udaljenost do

podruznica i time ostvarili najmanji troskovi.

U zadatku smo pretpostavili da su sve podruznice jednako vazne, no sto ako jedna od

podruznica posluje bolje od drugih te je u tu podruznicu potrebno vrsiti dostavu 4

puta dnevno, dok se u ostale podruznice dostava vrsi jednom dnevno?

Pretpostavit cemo da se dostava vrsi 4 puta dnevno do podruznice B i funkciju S

definiramo na sljedeci nacin:

S(a, b) = [(a+ 5)2 + b2] + 4 · [(a− 1)2 + (b− 7)2] + [(a− 9)2 + b2] + [a2 + (b+ 8)2]

te sada treba minimizirati navedenu funkciju.

Parcijalne derivacije su:

S ′a = 14a− 16 i S ′b = 14b− 40.

Parcijalne derivacije izjednacimo s nulom i dobivamo sustav jednadzbi s dvije nepoz-

nanice cije je rjesenje: a = 87

, b = 207

.


S ′′aa(a, b) = 14,

S ′′bb(a, b) = 14,

S ′′ab(a, b) = 0.

Vrijednost funkcije d(a, b) u stacionarnoj tocki je

d(8

7,20

7) =

160

49> 0 i S ′′aa(

8

7,20

7) = 14 > 0.

Tocka (87, 20

7) je tocka lokalnog minimuma. Takoder, tocka (8

7, 20

7) je i tocka globalnog

minimuma zbog stroge konveksnosti promatrane funkcije.

Dakle, ukoliko je podruznica B najvaznija za dostavu, skladiste treba graditi na lokaciji

(54,−1

4) kako bi se ostvarili najmanji troskovi.


2.2.3 Primjene u drustvenim i humanistickim znanostima

Na primjene pronalazenja maksimalnih i najmanjih vrijednosti neke funkcije mozemo

naici u svakodnevnim situacijama kada je potrebno odrediti socijalni ucinak nekog

objekta, ucinak raznih simulacija, rezultate nekih eksperimenata, itd. Primjer 1.

Primjena u bioloskim znanostima

Genetika je znanost koja se bavi genima i varijacijama gena kod zivih organizama. Ge-

neticka struktura populacije odredena je udjelom alela1 u ukupnom genetickom mate-

rijalu promatrane populacije. Vecina organizama ima dva seta kromosoma, na svakom

kromosomu se nalazi kopija jednog gena i jednog alela. Ako su aleli jednaki, organizam

je homozigotan, a ako su aleli razliciti, organizam je heterozigotan. Hardy-Weinbergov

geneticki zakon ravnoteze predstavlja temeljni koncept populacijske genetike i pomocu

nje se odreduje ocekivani broj homozigota i heterozigota na lokusu2 koji ima dva alela.

Na pojedinom lokusu moze se realizirati samo jedan genotip3. Ako promatramo ljudski

organizam i lokus za odredivanje krvne grupe pojedinca, imamo tri alela, oznaceni kao

A, B i O, koji odreduju cetiri krvne grupe covjeka: A, B, O i AB. Neka su p, q i

r omjeri, tj. frekvencije4 alela A, B i O. Tada je po Hardy-Weinbergovom zakonu

ravnoteze o ucestalosti gena u populaciji omjer pojedinaca u populaciji koji nose 2

razlicita alela dan funkcijom P = 2pq + 2pr + 2rq. Koja je najveca vrijednost funkcije

P?

Rjesenje:

Da bismo odredili maksimalnu vrijednost zadane funkcije moramo provjeriti ima li

funkcija maksimum za neke vrijednosti p, q i r.

Iz p+ q + r = 1 cemo izraziti r = 1− p− q i tada imamo funkciju oblika

P (p, q) = 2p+ 2q − 2p2 − 2pq − 2q2.

Parcijalne derivacije su

P ′p = −4p− 2q + 2 i P ′q = −4q − 2p+ 2.

Parcijalne derivacije izjednacimo s nulom i dobivamo sustav jednadzbi s dvije nepoz-

nanice

−4p− 2q + 2 = 0−4q − 2p+ 2 = 0,

1razlicite varijante gena2specificna lokacija gena na kromosomu3skup svih gena koji odreduju tocno odredeno svojstvo nekog organizma4broj pojedinog alela/ ukupan broj alela, vrijedi da je suma svih frekvencija alela jednaka jedan


cije je rjesenje: p = q = 13.


P ′′pp = −4,

P ′′qq = −4,

P ′′pq = −2.

Vrijednost funkcije d(p, q) u stacionarnoj tocki je

d(1

3,1

3) = 12 > 0 i P ′′pp(

1

3,1

3) = −4 < 0.

Tocka (13, 13) je tocka lokalnog maksimuma, a zbog stroge konkavnosti funkcije P to je

i tocka globalnog maksimuma, sto znaci da ako je p = 13

i q = 13

imamo maksimalnu

vrijednost promatrane funkcije.

Racunamo r = 13

i sada mozemo izracunati maksimalnu vrijednost funkcije

P = 2pq + 2pr + 2rq =2

3.

Zakljucujemo da je maksimalan broj pojedinaca u populaciji koji nose dva razlicita

alela dvije trecine od ukupnog broja populacije.

Primjer 2.

Luka, Matej i Iva sudjeluju u stafetnoj utrci. Luka ide kroz gustu sumu do ruba

rijeke gdje ce stafetnu palicu preuzeti Matej i veslati do suprotne obale. Na obali

palicu preuzima Iva koja trci cestom uz rijeku do cilja. Smjer trcanja prikazan je na

prilozenoj slici. Timovi moraju poceti na tocki S i zavrsiti na mjestu tocke F , ali

clanove tima mogu postaviti na bilo koje mjesto uz obalu rijeke i na bilo koje mjesto

na cesti uz rijeku. Pretpostavimo da Luka moze ici kroz sumu brzinom√

2 km/h, da

ce Matej veslati brzinom 2 km/h i da ce Iva trcati brzinom od√

6 km/h. Na kojem

mjestu trebaju cekati Matej i Iva kako bi tim zavrsio utrku u najkracem vremenu?


Slika 4. Plan stafetne utrke

Rjesenje:

Ovaj problem cemo rijesiti promatrajuci kvadratnu udaljenost od pocetne do krajnje

tocke i uzimajuci u obzir brzinu kretanja pojedinog clana tima. Mjesta na kojima ce

cekati Matej i Iva cemo oznaciti s A i B. S obzirom na sliku prilozenu uz zadatak koor-

dinate tocke A su (x, 1.2), a tocke B (x+y, 3.7). Kako bismo odredili koordinate tocaka

A i B tako da utrka zavrsi u najkracem vremenu, funkciju koju trebamo minimizirati

cemo definirati kao funkciju vremena

T (x, y) =d2(S,A)

2+d2(A,B)

4+d2(B,F )

6.

Uvrstavajuci zadano imamo funkciju:

T (x, y) = 0.67x2 − 1.43x+ 0.33xy + 0.42y2 − 1.43y + 5.36.

Navedenu funkciju parcijalno deriviramo i parcijalne derivacije izjednacimo s nulom te

imamo sljedeci sustav jednadzbi

1.34x+ 0.33y − 1.43 = 00.84y + 0.33x− 1.43 = 0,

cije je rjesenje x = 0.71 i y = 1.44.


T ′′xx = 1.34,

T ′′yy = 0.84,

T ′′xy = 0.33.


d(0.71, 1.44) = 1.02 > 0 i T ′′xx(0.71, 1.44) = 1.34 > 0.


Tocka (0.71, 1.44) je tocka lokalnog minimuma pa uvrstavajuci vrijednosti u funkciju

dobijemo da bi tim Luke, Mateja i Ive utrku mogao zavrsiti za 3,83 sata ukoliko Matej

bude cekao na mjestu tocke A s koordinatama (0.71, 1.2), a Iva na mjestu tocke B s

koordinatama (2.15, 3.7).

Zbog stroge konveksnosti promatrane funkcije zakljucujemo da je tocka (0.71, 1.44)

ujedno i tocka globalnog minimuma.

2.2.4 Primjena u matematici

Kroz dosad navedene primjere vidjeli smo primjenu matematike, tj. trazenja ekstrema

funkcije, na rjesavanje problema i procjene u raznim znanostima kao i svakodnevnom

zivotu. Isto naravno mozemo primijeniti i unutar same matematike te cemo se kratko

osvrnuti i na jedan od problemskih zadataka koji se rjesavaju pronalazenjem esktrema

funkcije.

Primjer 1. Primjena u teoriji brojeva

Nadite tri pozitivna broja cija je suma jednaka 100 i ciji je produkt maksimalan.

Rjesenje:

Brojeve koje trazimo oznacit cemo sa x, y i z te cemo definirati funkciju

f(x, y, z) = xyz.

Iz uvjeta je suma trazenih brojeva jednaka sto, imamo x + y + z = 100 odakle cemo

izraziti z = 100− x− y.

Sada trebamo maksimizirati funkciju

f(x, y) = 100xy − x2y − xy2.

Racunamo parcijalne derivacije i izjednacimo ih s nulom te imamo sustav jednadzbi

100y − 2xy − y2 = 0100x− x2 − 2xy = 0,

cije je rjesenje x1 = 40 i y1 = 20 te x2 = 0 i y2 = −100. U zadatku se traze pozitivni

brojevi, stoga cemo uzeti u obzir samo rjesenja x1 i y1.


f ′′xx = −2y,

f ′′yy = −2x,


f ′′xy = 100− 2x− 2y.


d(20, 40) = 2800 > 0 i f ′′xx(20, 40) = −40 < 0.

Dakle, tocka (20, 40) je tocka lokalnog maksimuma, racunamo vrijednost nepoznanice

z = 40.

Konacno, trazeni brojevi su 20,40 i 40.

3 UVJETNI EKSTREMI 31

3 Uvjetni ekstremi

U ovom poglavlju cemo promatrati odredivanje ekstrema funkcije uz dano ogranicenje

ili uvjet, tj. trazit cemo tocku ekstrema funkcije uz neki uvjet (ili skup uvjeta) kojim se

ogranicava skup tocaka domene koje mozemo uzeti u obzir. Prije svega cemo definirati

pojam uvjetnog ekstrema te nakon toga opisati postupak trazenja uvjetnog ekstrema

pomocu Lagrangeove metode.

Definicija 3.1 Neka je Ω ⊆ Rn otvoren skup i neka je f neprekidna na Ω te neka je

S ⊆ Ω. Ekstrem funkcije f|S : S → R nazivamo uvjetni ekstrem funkcije f s obzirom

na skup S.

Skup S cesto je zadan sa

S =P ∈ Ω : g1(P ) = 0, g2(P ) = 0, ..., gm(P ) = 0

,

gdje su gi ∈ C(Ω), i = 1, ...,m, m < n, dane funkcije. Tada govorimo o uvjetnom

ekstremu funkcije f uz uvjete g1(P ) = 0, g2(P ) = 0, ..., gm(P ) = 0.

3.1 Lagrangeova metoda za odredivanje uvjetnih ekstrema

U praksi mnogi optimizacijski problemi imaju zadana neka ogranicenja ili uvjete na

vrijednosti koje se mogu koristiti kako bismo nasli optimalno rjesenje. Takvi uvjeti

cesto mogu zakomplicirati trazenje optimalnog rjesenja koje se moze javiti na nekoj

od rubnih tocaka domene funkcije. U nekima od prethodnih primjera takve smo pro-

bleme rjesavali metodom supstitucije, odnosno eliminirali smo jednu od nepoznanica i

time polazni problem sveli na racunanje bezuvjetnih ekstrema funkcije vise varijabli.

Eliminacija jedne od nepoznanica moze biti komplicirana ili cak nemoguca. Alterna-

tivnu metodu, koju cemo prouciti u ovom poglavlju, nazivamo Lagrangeova metoda

ili metoda Lagrangeovih multiplikatora pomocu koje se takvi problemi mogu rijesiti

bez eliminacije nepoznanica. Kao i za trazenje ”obicnih” (bezuvjetnih) ekstrema funk-

cija vise varijabli potrebno je formulirati nuzne i dovoljne uvjete za trazenje uvjetnih

ekstrema funkcije vise varijabli.


Teorem 3.1 (Nuzni uvjeti u slucaju jednog uvjeta)

Neka je Ω ⊆ Rn otvoren skup, neka su f, g : Ω→ R funkcije klase C1 i neka je zadan

skup S = P ∈ Ω : g(P ) = 0 te neka vrijedi ∇g(P ) 6= 0, za svaki P ∈ S. Ako je

P0 ∈ S tocka lokalnog ekstrema za f|S, onda postoji λ ∈ R sa svojstvom:

∇f(P0) = λ∇g(P0).

Koordinatno zapisan, uvjet iz teorema glasi:

∂if(P0) = λ∂ig(P0), i = 1, 2, ..., n.

Dokaz

Dokaz cemo raditi za n=2, na slican nacin teorem se moze dokazati i za n > 2.

Kako je∇g(x, y) 6= 0 bez smanjenja opcenitosti smijemo pretpostaviti da je g′y(P0) 6= 0,

P0 = (x0, y0). Primjenom teorema o implicitnoj funkciji dobivamo otvoreni interval

I ⊆ R takav da je x0 ∈ I i diferencijabilnu funkciju ϕ : I → R sa svojstvima

ϕ(x0) = y0, g(x, ϕ(x)) = 0, x ∈ I.

Pritom je

ϕ′(x) = −g′x(x, ϕ(x))

g′y(x, ϕ(x)), x ∈ I. (9)

Sada je jasno da je tocka (x0, y0) tocka lokalnog uvjetnog ekstrema za funkciju f uz

uvjet g(x, y) = 0 ako i samo ako je x0 tocka lokalnog ekstrema za funkciju f : I → Rdefiniranu s f(x) = f(x, ϕ(x)).

Nadalje, kako je funkcija f funkcija klase C1, zakljucujemo da i funkcija f ima ne-

prekidnu prvu derivaciju na intervalu I. Upotrebom pravila za derivaciju kompozicije

funkcija vise varijabli dobivamo da za sve x ∈ I vrijedi

f ′(x) = f ′x(x, ϕ(x)) + f ′y(x, ϕ(x))ϕ′(x) = 0.

Ovu jednakost, uvazavajuci formulu (9) i uvrstavajuci x = x0, mozemo zapisati kao

f ′x(x0, y0)− f ′y(x0, y0)g′x(x0, y0)

g′y(x0, y0)= 0.

Ako realan broj λ definiramo sa λ :=f ′y(x0,y0)

g′y(x0,y0), vrijedi

f ′x(x0, y0) = λg′x(x0, y0).


Mnozeci gornju jednakost s g′y(x0, y0) dobivamo:

f ′y(x0, y0) =f ′x(x0, y0)

g′x(x0, y0)g′y(x0, y0),

sto je ekvivalentno jednakosti:

f ′y(x0, y0) = λg′y(x0, y0).

Time smo dokazali da vrijedi

∇f(P0) = λ∇g(P0).

Problem trazenja ekstrema funkcije uz dane uvjete najcesce se rjesava uvodenjem La-

grangeove funkcije

F (x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn)− λg(x1, x2, ..., xn),

gdje je λ konstantna varijabla koju nazivamo Lagrangeovim multiplikatorom.

Deriviramo li parcijalno funkciju F po svim varijablama i parcijalne derivacije iz-

jednacimo s nulom, dobit cemo nuzne uvjete iz prethodnog teorema, pri cemu pos-

ljednja jednadzba dobivena izjednacavanjem s nulom parcijalne derivacije funkcije F

po varijabli λ daje uvjet g(x1, ..., xn) = 0.

Sustav jednadzbi koji dobijemo parcijalnim deriviranjem funkcije F po svim varija-

blama i izjednacavanjem tih parcijalnih derivacija s nulom:

f ′x1(x1, x2, ..., xn) = λg′x1(x1, x2, ..., xn),...

f ′xn(x1, x2, ..., xn) = λg′xn(x1, x2, ..., xn),g(x1, x2, ..., xn) = 0,

nazivamo Lagrangeov sustav jednadzbi.

U praksi se moze dogoditi da je potrebno odrediti ekstrem funkcije uz vise danih uvjeta

pa cemo sljedecim teoremom iskazati nuzne uvjete u tom slucaju:

Teorem 3.2 (Nuzni uvjeti u slucaju vise uvjeta)

Neka je Ω ⊆ Rn otvoren skup, neka su f, g1, ..., gm : Ω → R funkcije klase C1, pri

cemu je m < n. Nadalje, neka je S = P ∈ Ω : gi(P ) = 0, i = 1, ...,m te neka

je ∇g1(P ), ...,∇gm(P ) linerano nezavisan skup za svaki P ∈ S. Ako je P0 tocka

lokalnog ekstrema za f|S, onda postoje brojevi λ1, ..., λm ∈ R takvi da vrijedi

∇f(P0) =m∑i=1

λi∇gi(P0).


I u ovom slucaju mozemo definirati Lagrangeovu funkciju

F (x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm) = f(x1, x2, ..., xn)−m∑j=1

λjgj(x1, x2, ..., xn),

i nuzne uvjete dobiti parcijalnim deriviranjem funkcije F po svim varijablama i iz-

jednacavajuci sve parcijalne derivacije s nulom.

Rjesavanjem sustava jednadzbi iz uvjeta Teorema 3.1. dobit cemo tocku koja moze i

ne mora biti ekstrem funkcije f uz dano ogranicenje g. Pomocu Lagrangeove funkcije

opisat cemo postupak kako odrediti karakter te tocke. Sljedeca razmatranja cemo iz-

vesti u dimenziji n = 2. Pretpostavimo da su f, g : Ω ⊆ R2 → R funkcije klase C2,

neka je S = (x, y) ∈ Ω : g(x, y) = 0 te neka vrijedi ∇g(x, y) 6= 0, za svaki (x, y) ∈ S.

Trazimo lokalne ekstreme funkcije f uz uvjet g(x, y) = 0. Definiramo Lagrangeovu

funkciju

F (x, y, λ) = f(x, y)− λg(x, y).

Pretpostavimo da smo rjesavanjem Lagrangeovog sustava jednadzbi

f ′x(x, y) = λg′x(x, y),

f ′y(x, y) = λg′y(x, y),

g(x, y) = 0,

dobili kriticnu tocku (x0, y0) ∈ S i neka je λ0 pripadna vrijednost Lagrangeovog mul-

tiplikatora. U dokazu Teorema 3.1. pokazali smo da je tocka (x0, y0) tocka lokalnog

uvjetnog ekstrema za funkciju f uz uvjet g(x, y) = 0 ako i samo ako je x0 tocka lokalnog

ekstrema za funkciju f : I → R definiranu s f(x) = f(x, ϕ(x)). Sada, da bismo odredili

karakter kriticne tocke, preostaje izracunati f ′′(x0), sto mozemo jer smo pretpostavili

da su f i g funkcije klase C2.

Prvo cemo odrediti ϕ′′(x0). Iz Teorema 3.1. znamo da vrijedi

ϕ′(x) = −g′x(x, ϕ(x))

g′y(x, ϕ(x)),

odakle za x = x0 primjenom pravila za derivaciju kompozicije funkcija vise varijabli

imamo:


ϕ′′(x0) = −[g′′xx(x0, y0) + g′′xy(x0, y0)ϕ

′(x0)]g′y(x0, y0)−

g′y(x0, y0)2

−g′x(x0, y0)[g′′yx(x0, y0) + g′′yy(x0, y0)ϕ′(x0)]

g′y(x0, y0)2

,

sto se nakon sredivanja moze zapisati kao

ϕ′′(x0) = − 1

g′y(x0, y0)

[g′′xx(x0, y0) + 2g′′xy(x0, y0)ϕ

′(x0) + g′′yy(x0, y0)ϕ′(x0)

2].

Iz Teorema 3.1. takoder znamo da vrijedi

f ′(x) = f ′x(x, ϕ(x)) + f ′y(x, ϕ(x))ϕ′(x),

odakle se jos jednim deriviranjem i uvrstavajuci x = x0 dobiva:

f ′′(x0) = f ′′xx(x0, y0) + f ′′xy(x0, y0)ϕ′(x0) + f ′′yx(x0, y0)ϕ

′(x0)+

+f ′′yy(x0, y0)ϕ′(x0)

2 + f ′y(x0, y0)ϕ′′(x0),

sto se nakon sredivanja i uvrstavanjem izraza za ϕ′′(x0) moze zapisati kao

f ′′(x0) = f ′′xx(x0, y0) + 2f ′′xy(x0, y0)ϕ′(x0) + f ′′yy(x0, y0)ϕ

′(x0)2−

−f ′y(x0, y0)

g′y(x0, y0)[g′′xx(x0, y0) + 2g′′xy(x0, y0)ϕ

′(x0) + g′′yy(x0, y0)ϕ′(x0)

2].

Moze se pokazati da vrijedi

f ′′(x0) = − 1

(g′y(x0, y0))2

∣∣∣∣∣∣0 g′x(x0, y0) g′y(x0, y0)

g′x(x0, y0) F ′′xx(x0, y0, λ0) F ′′xy(x0, y0, λ0)g′y(x0, y0) F ′′yx(x0, y0, λ0) F ′′yy(x0, y0, λ0)

∣∣∣∣∣∣ . (10)

Poznavajuci dovoljne uvjete ekstrema za funkciju jedne varijable, slijedi sljedeci teorem:

Teorem 3.3 (Dovoljni uvjeti)

Neka je Ω ⊆ R2 otvoren skup, neka su f, g : Ω → R funkcije klase C2, i neka je

S = P ∈ Ω : g(P ) = 0. Dodatno neka je P0 = (x0, y0) ∈ S rjesenje Lagrangeovog

sustava jednadzbi i λ0 ∈ R vrijednost Lagrangeovog multiplikatora pripadne Lagrangeove

funkcije F (x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y). Ako za funkciju f ′′(x0) danu izrazom (10)

vrijedi

a) f ′′(x0) > 0, tada funkcija f(x,y) ima lokalni uvjetni minimim u tocki P0 uz uvjet

g(x,y)=0;


b) f ′′(x0) < 0, tada funkcija f(x,y) ima lokalni uvjetni maksimum u tocki P0 uz uvjet

g(x,y)=0.

Napomena: Uocimo da je u izrazu (10) determinanta koju racunamo determinanta

Hessove matrice drugih parcijalnih derivacija Lagrangeove funkcije. Ta je matrica po

Schwarzovom teoremu simetricna, sto nas vodi do sljedece, jednostavnije formulacije

dovoljnih uvjeta: neka trojka (x0, y0, λ0) zadovoljava uvjet Teorema 3.1. i neka je

H =

0 g′x(x0, y0) g′y(x0, y0)g′x(x0, y0) F ′′xx(x0, y0, λ0) F ′′xy(x0, y0, λ0)g′y(x0, y0) F ′′yx(x0, y0, λ0) F ′′yy(x0, y0, λ0)

. (11)

Ako je

1. det H > 0, funkcija f(x,y) ima lokalni uvjetni maksimum u tocki (x0, y0),

2. det H < 0, funkcija f(x,y) ima lokalni uvjetni minimum u tocki (x0, y0).

Lagrangeova metoda u slucaju funkcije s dvije varijable te jednim uvjetom

U ovom slucaju postupak trazenja minimalne, tj. maksimalne vrijednosti funkcije

svodi se na sljedeca dva koraka:

1. Rijesiti jednadzbe

f ′x(x, y) = λg′x(x, y),

f ′y(x, y) = λg′y(x, y),

g(x, y) = 0.

2. Izracunati vrijednosti det H u svim tockama nadenim u prvom koraku, gdje je

H definirana s (11).

3.2 Znacajnost Lagrangeovih multiplikatora

U vecini problemskih zadataka, trazenje uvjetnog lokalnog ekstrema pomocu Lagran-

geove metode ne zahtijeva odredivanje vrijednosti Lagrangeovog multiplikatora λ. No

u nekim problemima je dobro izracunati vrijednost λ, koja ima korisnu interpretaciju,

pogotovo u ekonomiji.


Geometrijska interpretacija Lagrangeovog multiplikatora

Neka su dane funkcije f(x, y) i g(x, y), mi trebamo pronaci ekstremne vrijednosti funk-

cije f uz uvjet (ogranicenje) oblika g(x, y) = k, gdje je k ∈ R konstanta. Drugim

rijecima, trazimo ekstremne vrijednosti funkcije f(x, y) kada je tocka (x, y) ogranicena

uvjetom da lezi na razini krivulje g(x, y) = k. Slika 5 prikazuje tu krivulju zajedno s

nekoliko nivo-krivulja f(x, y) = ci, i = 1, ..., 5.

Slika 5: Krivulje funkcija f(x, y) = c i g(x, y) = k

Da bismo pronasli maksimalnu vrijednost funkcije f uz uvjet g(x, y) = k, treba pronaci

najvecu vrijednost od c takvu da nivo-krivulja f(x, y) = c sijece krivulju g(x, y) = k.

Iz Slike 5. vidimo da se to dogada kada se te dvije krivulje dodiruju, tj. kada imaju

zajednicku tangentu (u suprotnom bi se vrijednost od c i dalje povecavala). Dakle,

normale krivulja f(x, y) = c i g(x, y) = k u tocki (x0, y0) su identicne, sto znaci da su

njihovi gradijent vektori paralelni, odnosno vrijedi

∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0),

za neki skalar λ.

Lagrangeov multiplikator je prema tome faktor proporcionalnosti, odnosno stopa pro-

mjene optimalne vrijednosti s obzirom na promjene u ogranicenju.

Ekonomska interpretacija Lagrangeovog multiplikatora

Neka je f(x, y), funkcija koju treba maksimizirati uz uvjet g(x, y) = k, te neka je

definirana Lagrangeova funkcija

F (x, y, λ) = f(x, y)− λ(g(x, y)− k).


Neka je f ∗ maksimum funkcije f(x, y) uz uvjet g(x, y) = k. Pokazat cemo da vrijednost

Lagrangeovog multiplikatora predstavlja povecanje maksimalne vrijednosti promatrane

funkcije u odnosu na povecanje konstante k za jednu jedinicu, tj. da vrijedi:

λ =df ∗

dk.

Tocka uvjetnog ekstrema funkcije f uz uvjet g(x, y) = k moze se zapisati u ovisnosti o

konstanti k kao x∗(k) i y∗(k) pa se maksimalna vrijednost funkcije f(x, y) postize kada

uvrstimo te vrijednosti:

f ∗(k) = f(x∗(k), y∗(k)).

Ako gornji izraz deriviramo po k dobivamo

df ∗

dk= f ′x

dx∗

dk+ f ′y

dy∗

dk.

Parcijalno derivirajuci Lagrangeovu funkciju F (x, y, λ) i izjednacavanjem tih parcijal-

nih derivacija s nulom, dobit cemo sustav jednadzbi cija su rjesenja x i y dana s

f ′x − λg′x = 0,

f ′y − λg′y = 0.

Rjesavanjem nuznih uvjeta za fx i fy te uvrstavajuci ta rjesenja u gornju derivaciju

imamodf ∗

dk= λ

(g′xdx∗

dk+ g′y

dy∗

dk

). (12)

Takoder, znamo da uvjet mora zadovoljavati jednadzbu

g(x∗(k), y∗(k)) = k.

Ukoliko gornji izraz deriviramo po k dobit cemo

g′xdx∗

dk+ g′y

dy∗

dk= 1.

Uvrstavajuci dobiveno rjesenje u (12) imamo zeljeni rezultat:

df ∗

dk= λ.

S ekonomske strane gledista, uz pronalazenje optimalne vrijednosti promatranog pro-

blema uz dano ogranicenje, bitno je i dobiti informacije o tome koliko se rjesenja razli-

kuju kada se mijenjaju parametari promatranog problema. Dobiveni rezultat pokazuje

granicnu korisnost dodatne jedinice, tako se λ ekonomski interpretira kao granicna ko-

risnost dohotka ili granicna produktivnost i na taj nacin predstavlja mjeru vrijednosti

resursa u problemu maksimizacije uz ogranicenje.


3.3 Primjena Lagrangeove metode

3.3.1 Funkcija proizvodnje

Primjer 1.

Funkcija proizvodnje nekog proizvoda pokazuje odnos kolicine utroska varijabilnog in-

puta i najvece moguce proizvodnje pri toj kolicini inputa pri cemu se pretpostavlja da

je utrosak svih ostalih inputa nepromijenjen. Kolicina proizvoda izravno je ovisna o

kolicini utroska inputa, najveca kolicina proizvoda koja se moze dobiti utroskom pro-

matranog inputa, bez promjene ostalih inputa, naziva se maksimalni proizvod. Jedna

od vrlo vaznih funkcija proizvodnje koja se javlja u ekonomiji je tzv. Cobb-Douglasova

funkcija proizvodnje. To je funkcija koja nam daje ovisnost kolicine proizvodnje nekog

proizvoda o ulozenom radu i kapitalu. Ova funkcija je oblika

Q = Q(L,K) = A · Lα ·K1−α,

gdje je A pozitivna konstanta koja oznacava tehnoloski napredak, a 0 < α < 1 je

dani parametar, L oznacava ulozene jedinice rada , a K ulozene jedinice kapitala. Ako

trosak jedinice rada oznacimo s m, a trosak jedinice kapitala s n i proizvodac moze

potrositi p dolara na proizvodnju odredenog proizvoda, tada je trosak proizvodnje dan

funkcijom C(L,K) = mL + nK = p. Pokazimo da se maksimalna proizvodnja javlja

kada je

L =αp

mi K =

(1− α)p

n.

Rjesenje:

Trebamo naci maksimum funkcije Q(L,K) = ALαK1−α uz uvjet C(L,K) = mL +

nK = p. Definiramo Lagrangeovu funkciju

F (L,K, λ) = ALαK1−α − λ(mL+ nK − p).

Rjesavamo Lagrangeov sustav jednadzbi pripadne Lagrangeove jednadzbe

αALα−1K1−α = λm,

(1− α)ALαK−α = λn,

mL+ nK = p.

Iz prve dvije jednadzbe dobijemo da vrijedi

λ =αALα−1K1−α

mi λ =

(1− α)ALαK−α

n.


Izjednacavajuci ta dva izraza po K dobijemo:

K =(1− α)m

nαL−1.

Uvrstavajuci dobiveno u trecu jednadzbu imamo

L =αp

m.

Sada, za K vrijedi

K =(1− α)p

n.

Potrebno je provjeriti je li dobivena tocka tocka maksimuma, pa racunajuci determi-

nantu matrice drugih parcijalnih derivacija Lagrangeove funkcije imamo

detH =nm2A

αp

( αn

(1− α)m

)α,

sto je vece od nula s obzirom da su m, n, p, α i A pozitivni brojevi. Zakljucujemo da

se maksimalna proizvodnja javlja kada je

L =αp

mi K =

(1− α)p

n.

Primjer 2.

Promatrat cemo Cobb- Douglasovu funkciju proizodnje

Q(L,K) = A · Lα ·K1−α.

Pretpostavimo da je proizvodnja konstantna, tj. vrijedi A · Lα ·K1−α = Q, gdje je Q

konstanta. Koje vrijednosti od L i K minimiziraju funkciju troska

C(L,K) = mL+ nK?

Rjesenje:

Treba pronaci vrijednosti od L i K koje minimiziraju funkciju troska C(L,K) = mL+

nK uz uvjet ALαK1−α = Q. Lagrangeov sustav jednadzbi glasi

m = λαALα−1K1−α,

n = λ(1− α)ALαK−α,

ALαK1−α = Q.


Iz prve dvije jednadzbe izrazimo λ i izjednacavajuci ta dva izraza imamo

K =(1− α)m

αnL−1,

nakon sto dobiveni izraz za K uvrstimo u trecu jednadzbu, dobijemo da vrijedi

L =Q

A

( αn

(1− α)m

)1−α.

Sada, za K imamo da vrijedi

K =Q

A

((1− α)m

αn

)α.

Racunamo

detH = −(2α2 + 1)(1− α)A2Q

m

( αn

(1− α)m

)2α+1

,

kako su m, n, p, α i A pozitivni, slijedi da je detH < 0, pa zakljucujemo da se minimalna

vrijednost troska javlja kada vrijedi

L =Q

A

( αn

(1− α)m

)1−αi K =

Q

A

((1− α)m

αn

)α.

Primjer 3.

Istrazivacki odjel neke tvrtke dosao je do sljedece Cobb-Douglasove funkcije proizvodnje

za odredeni proizvod

N(x, y) = 50x0.8y0.2,

gdje je x broj utrosenih jedinica rada i y broj utrosenih jedinica kapitala potrebnih

za proizvodnju N(x, y) jedinica proizvoda. Trosak za svaku jedinicu rada je 40 kuna,

a za svaku jedinicu kapitala 80 kuna. Ako je za proizvodnju proizvoda namijenjeno

400000 kuna, utvrdite kako taj iznos treba biti rasporeden izmedu rada i kapitala da

bi se ostvarila maksimalna proizvodnja i odredite maksimalnu proizvodnju. Utvrdite

granicnu produktivnost po osnovi novca za taj slucaj i procijenite povecanje proizvod-

nje slijedom povecanja iznosa sredstava za dodatnih 50000 kuna.

Rjesenje:

Ukupni trosak koristenja x jedinica rada i y jedinica kapitala je 40x + 80y, pa je

ogranicenje na iznos od 400000 kuna

40x+ 80y = 400000.


Dakle, trebamo maksimizirati funkciju N(x, y) = 50x0.8y0.2 s obzirom na C(x, y) =

40x+ 80y − 400000.

Kako smo u Primjeru 1. zakljucili da se maksimalna proizvodnja javlja kada su

L =αp

mi K =

(1− α)p

n,

lako cemo odrediti vrijdnosti od x i y uvrstavajuci zadane vrijednosti za m = 40,

n = 80, p = 400000 i α = 0.8.

x =αp

m= 8000 i

y =(1− α)p

n= 1000.

Dakle, tocka (8000, 1000) je tocka lokalnog uvjetnog maksimuma funkcije N(x, y), a

maksimalna vrijednost te funkcije, odnosno maksimalna proizvodnja uz dane uvjete je

priblizno 263963.196 jedinica proizvoda.

Granicna produktivnost po osnovi novca vrijednost je Lagrangeovog multiplikatora,

λ = 0.6598, koja nam govori o tome koliko se povecava produktivnost za svaku dodatnu

ulozenu novcanu jedinicu. Povecanje sredstava za 50000 kn rezultiralo bi povecanjem

proizvodnje za priblizno 0.6598 · 50000 = 32990 jedinica.

3.3.2 Problem minimalnog troska

Primjer 1.

Neka tvrtka proizvodi dva proizvoda. Pretpostavimo da se proizvodnja moze prikazati

funkcijom P (x, y). Tvrtka proizvodi x jedinica jednog proizvoda s troskom proizvodnje

c1 po jedinici proizvoda i y jedinica drugog proizvoda s troskom proizvodnje c2 po

jedinici proizvoda. Ogranicenje budzeta je konstanta dana s

B = c1x+ c2y,

te je potrebno odrediti minimalni trosak proizvodnje uz dano ogranicenje budzeta.

Pomocu Lagrangeove metode pronaci cemo vrijednost parametra λ u ovisnosti o P ′x,

P ′y, c1 i c2. Jednadzba koja se dobije kao rezultat vrijedi za svaku funkciju proizvodnje

P i naziva se zakon granicne proizvodnje.

Rjesenje:

S P (x, y) cemo oznaciti funkciju koju trebamo minimizirati s obzirom na uvjet g(x, y) =


c1x+ c2y −B. Pripadna Lagrangeova funkcija je

F (x, y, λ) = P (x, y)− λ(c1x+ c2y −B).

Lagrangeov sustav jednadzbi je

P ′x = λc1,

P ′y = λc2,

c1x+ c2y = B.

Iz prve dvije jednadzbe izrazimo λ, pa imamo

λ =P ′xc1

=P ′yc2.

Zakljucujemo da se minimalni trosak javlja kada vrijedi

P ′xc1

=P ′yc2,

te se navedena jednakost naziva zakon granicne proizvodnje.

Primjer 2.

Tvrtka proizvodi x komada televizora modela A i y komada televizora modela B tjedno,

uz trosak (u kunama) od

C(x, y) = 6x2 + 12y2.

Ako je (slijedom troskova isporuke) x+ y = 90, koliko televizora svakog modela treba

proizvesti tjedno kako bi se trosak minimizirao? Koliki je minimalni trosak?

Rjesenje:

Trebamo minimizirati funkciju C(x, y) = 6x2 + 12y2 uz uvjet g(x, y) = x + y − 90.

Pripadna Lagrangeova funkcija je

F (x, y, λ) = 6x2 + 12y2 − λ(x+ y − 90).


12x = λ,

24y = λ,

x+ y = 90.

Iz prve dvije jednadzbe izrazimo λ, pa izjednacavajuci dobivene izraze imamo

12x = 24y,


sto uvrstavamo u trecu jednadzbu i kao rezultat imamo x = 60 i y = 30. Racunamo

det H:

detH = −36 < 0,

pa je tocka (60, 30) tocka lokalnog uvjetnog minimuma te je minimalan trosak pro-

izvodnje C(x, y) = 32400 kn uz proizvodnju 60 modela televizora modela A tjedno i

30 modela televizora modela B.

Vrijednost Lagrangeovog multiplikatora je λ = 720, sto znaci da bi se povecanjem

troskova isporuke televizora za jednu kunu, trosak proizvodnje povecao za 720 kuna.

3.3.3 Primjena u matematici

Primjer 1.

Dokazite da je trokut s maksimalnom povrsinom i danim opsegom O jednakostranican.

Rjesenje:

Neka je O dani opseg trokuta, za povrsinu trokuta cemo koristiti Heronovu formulu :

P =√s(s− a)(s− b)(s− c),

gdje je s poluopseg trokuta, s = O2

, a a, b i c su duljine stranica trokuta. Dakle,

trazimo vrijednosti duljina stranica trokuta za koje je povrsina P maksimalna uz uvjet

g(a, b, c) = a+ b+ c = O. Pripadna Lagrangeova funkcija je

F (a, b, c, λ) =√s(s− a)(s− b)(s− c)− λ(a+ b+ c−O).


− s(s− b)(s− c)2√s(s− a)(s− b)(s− c)

= λ,

− s(s− a)(s− c)2√s(s− a)(s− b)(s− c)

= λ,

− s(s− a)(s− b)2√s(s− a)(s− b)(s− c)

= λ,

a+ b+ c = O.

Iz prve dvije jednadzbe dobit cemo

(s− c)(a− b) = 0.


Ako je s− c = 0, tada je s = c i tada bi povrsina trokuta bila P = 0, sto nije moguce,

pa je a− b = 0, odnosno a = b.

Analogno, iz druge i trece jednadzbe, dobit cemo b = c. Dakle, vrijedi a = b = c = O3

,

cime smo dokazali da je trokut jednakostranican. Vrijedi:

Pmax = s2√

3

9.

Primjer 2.

Ravnina x+y+2z = 2 sijece paraboloid z = x2 +y2 u elipsi. Pronadite tocku na elipsi

koja je najdalja i tocku koja je najbliza ishodistu.

Rjesenje:

Jednadzba elipse glasi : x2+y2+z2 . Ovdje nam se javlja problem trazenja minimuma,

odnosno maksimuma funkcije uz dva uvjeta, x + y + 2z = 2 i z = x2 + y2. Pripadna

Lagrangeova jednadzba je

F (x, y, z, λ1, λ2) = x2 + y2 + z2 − λ1(x+ y + 2z − 2)− λ2(x2 + y2 − z).


2x = λ1 + 2xλ2,

2y = λ1 + 2yλ2,

2z = 2λ1 − λ2,

x+ y + 2z = 2,

x2 + y2 − z = 0.

Iz prve dvije jednadzbe imamo

λ1 = 2x(1− λ2) i λ1 = 2y(1− λ2).

Ako izjednacimo ta dva izraza imamo

(1− λ2)(2x− 2y) = 0.

Ako je (1−λ2) = 0, tada je λ2 = 1 i λ1 = 0, uvrstavanjem dobivenog u trecu jednadzbu

slijedi da je z = −12, sto ne moze biti jer iz uvjeta z = x2 + y2, z mora biti pozitivan.

Stoga je (2x− 2y) = 0, odakle imamo x = y.


Uvrstavanjem x = y u cetvrtu i petu jednadzbu imamo sustav od dvije jednadzbe s

dvije nepoznanice

2x+ 2z = 2,

2x2 − z = 0.

Rjesavanjem gornjeg sustava jednadzbi imamo x1 = 12

i x2 = −1. Racunanjem vrijed-

nosti za y i z dobit cemo dvije tocke:(

12, 12, 12

)i (−1,−1, 2).

Kako smo trazili ekstrem funkcije na zatvorenom i ogranicenom skupu te je funkcija

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 neprekidna na tom skupu, znamo da ta funkcija f mora

postici svoj minimum i maksimum, stoga je dovoljno izracunati vrijednost funkcije

f u dobivenim tockama kako bismo odredili koja je od te dvije tocke lokalni uvjetni

maksimum, a koja minimum. Za tocku(

12, 12, 12

), vrijednost funkcije je f(x, y, z) = 3

4,

dok je u tocki (−1,−1, 2) vrijednost funkcije f(x, y, z) = 6. Zakljucujemo da je tocka(12, 12, 12

)tocka lokalnog uvjetnog minimuma, odnosno ta je tocka najbliza ishodistu,

a tocka (−1,−1, 2) je tocka lokalnog uvjetnog maksimuma te je ona najudaljenija od

ishodista.

3.3.4 Ostale primjene

Primjer 1.

Geometrijska optika je grana fizike koja proucava zakone sirenja i odbijanja svjetlosti.

Jedan od osnovnih predmeta proucavanja geometrijske optike je lom ili refrakcija svje-

tlosti do koje dolazi kada zraka svjetlosti prelazi iz jednog sredstva u drugo. Prema

Fermatovom principu refleskije svjetlost ide od jedne tocke do druge putem za koji je

potrebno najkrace vrijeme. Uvazavajuci taj princip, pokazite da vrijedi Snellov zakon

loma svjetlosti koji glasiv1

sin θ1=

v2sin θ2

,

gdje je θ1 kut upada, θ2 kut refleksije, a v1 i v2 brzine svjetlosti u prvom i drugom

sredstvu kroz koje prolazi svjetlost.


Slika 6. Lom svjetlosti

Rjesenje:

Neka zraka svjetlosti putuje iz tocke A u tocku B kao na Slici 6. Vrijedi d(A,B) =

d(A,O) + d(O,B). Iz trigonometrije pravokutnog trokuta znamo da vrijedi

d(A,O) =a

cos θ1i d(O,B) =

b

cos θ2.

Vremena t1 i t2 kojima zraka svjetlosti putuje iz tocke A u tocku O, i iz tocke O u

tocku B su

t1 =d(A,O)

v1=

a

v1 cos θ1i t2 =

d(O,B)

v2=

b

v2 cos θ2.

Ukupno vrijeme koje je potrebno da zraka svjetlosti dode iz tocke A u tocku B je

t =a

v1 cos θ1+

b

v2 cos θ2.

Takoder, sa slike mozemo izracunati i vrijednost konstante k:

k = a tg θ1 + b tg θ2.

Dakle, trebamo minimizirati funkciju t(θ1, θ2) = av1 cos θ1

+ bv2 cos θ2

s obzirom na uvjet

g(θ1, θ2) = a tg θ1 + b tg θ2 − k.

Pripadna Lagrangeova funkcija je

F (θ1, θ2) =a

v1 cos θ1+

b

v2 cos θ2− λ(a tg θ1 + b tg θ2 − k).


a sin θ1v1 cos2 θ1

=aλ

cos2 θ1,

b sin θ2v2 cos2 θ2

=bλ

cos2 θ2,

a tg θ1 + b tg θ2 = k.


Iz prve dvije jednadzbe racunamo λ pa imamo

λ =sin θ1v1

i λ =sin θ2v2

.

Izjednacavanjem ta dva izraza dobivamo

v2 sin θ1 = v1 sin θ2,

cime smo pokazali da vrijedi Snellov zakon loma svjetlosti.

Primjer 2.

U psihologiji i medicini povrsina tijela je izmjerena ili izracunata povrsina ljudskog

tijela. Povrsina tijela jedno je od cesce koristenih mjerila u medicini za odredivanje

terapija, doza lijekova, itd. Jedna od formula za izracunavanje povrsine tijela je

S(T, V ) = 0.0072T 0.425V 0.725,

gdje je T tezina u kilogramima, a V visina u centimetrima. Pretpostavimo da se u

kratkom vremenskom periodu Marijina tezina prilagodava njenom rastu, tako da je

T +V = 160. S ovim uvjetom, koja tezina i visina ce maksimizirati povrsinu Marijinog

tijela?

Rjesenje:

Minimiziramo danu funkciju S(T,V) s obzirom na uvjet T + V = 160. Pripadna

Lagrangeova jednadzba je

F (T, V, λ) = 0.0072T 0.425V 0.725 − λ(T + V − 160).

Lagrangeov sustav jednadzbi glasi

0, 0031T−0.575V 0.725 = λ,

0, 0031T 0.425V −0.275 = λ,

T + V = 160.

Izjednacavanjem prve dvije jednadzbe dobijemo

V = 1, 6774T,

i uvrstavanjem dobivenog u trecu jednadzbu imamo T = 59, 7595 ≈ 60 i V = 100, 2405 ≈100.


Kako bismo provjerili je li dobiveno rjesenje maksimum racunamo determinantu ma-

trice drugih parcijalnih derivacija Lagrangeove funkcije,

detH = 0, 0121 > 0.

Dakle, dobiveno rjesenje je lokalni uvjetni maksimum i maksimalna povrsina tijela je

1, 563m2.

Uz dani uvjet, Marija bi trebala imati 60 kg i biti visoka 100 cm kako bi se povrsina

njenog tijela maksimizirala.

Primjer 3.

Postanski ured zahtijeva da zbroj duzine i bocnog opsega pravokutne kutije za slanje

paketa ne prelazi 108 inca. Koje su dimenzije (po volumenu) najvece kutije koje

zadovoljavaju postavljena ogranicenja?

Rjesenje:

Slika 7. Pravokutna kutija

Postanski paket mozemo prikazati pomocu kvadra, kao na Slici 7., gdje x oznacava

duljinu paketa, a y i z oznacavaju sirinu i visinu paketa. Prema tome, opseg paketa je

2y + 2z, dok je volumen V = xyz = 108 te se problem zadatka svodi na minimizaciju

funkcije f(x, y, z) = xyz uz uvjet g(x, y, z) = x+ 2y+ 2z−108. Pripadna Lagrangeova

funkcija je

F (x, y, z, λ) = xyz − λ(x+ 2y + 2z − 108).


yz = λ,

xz = 2λ,

xy = 2λ,

x+ 2y + 2z = 108.


Iz prve dvije jednadzbe imamo λ = yz, uvrstavajuci to u drugu i trecu jednadzbu

imamo

xz = 2yz

xy = 2yz.

Kako su po uvjetima zadatka y i z pozitivni brojevi, gornje dvije jednadzbe mozemo

dijeliti sa z, odnosno s y, odakle imamo x = 2y i x = 2z. Izjednacavajuci dobiveno

imamo y = z, uvrstavajuci to u x + 2y + 2z = 108 dobijemo z = 18 = y. Sada

mozemo izracunati i vrijednost trece varijable, x = 36. Da bismo provjerili je li to

tocka maksimuma racunamo det H:

detH = 576 > 0,

pa je tocka (36, 18, 18) tocka lokalnog uvjetnog maksimuma.

LITERATURA 51

Literatura

[1] S. UNGAR, Matematicka analiza u Rn, Tehnicka knjiga, Zagreb, 2005.

[2] L.D. HOFFMAN, G.L. BRADLEY, Calculus for business, economics and the

social and life sciences, McGraw-Hill companies, 2004.

[3] T.M. APOSTOL, Calculus, Multi Variable Calculus and Linear Algebra, with

Applications to Differential Equations and Probability, Xerox corporation, USA,

1969.

[4] S.O. HOCKETT, M. STERNSTEIN, Applied calculus agoals approach, D. Van

Nostrand company

[5] T. SENBA, T. SUZUKI, Applied Analysis - Mathematical Methods in Natural

Science, Imperial College Press, London, 2004.

[6] R.A. BARNETT, M.R. ZIEGLER, K.E. BYLEEN, Primjenjena matematika za

poslovanje, ekonomiju, znanosti o zivom svijeru i humanisticke znanosti, MATE

d.o.o., Zagreb, 2006.

[7] M.L. BITTINGER,D.J. ELLENBIGEN, S.A. SURGENT, Calculus and its

applications, Thomson Brooks/Cole, Belmont, 2008.

[8] J. STEWART, Calculus - early transcendentals, Pearson Education, Inc., Boston,

2008.

[9] R. LARSON, B.H. EDWARDS, Multivariable calculus, Brooks/Cole Cengage

learning, Belmont, 2010.

[10] S.T. TAN, Multivariable calculus, Brooks/Cole Cengage learning, Belmont, 2010.

[11] S. WANER, S.R. COSTENOBLE, Finite Mathematics and Applied Calculus,

Brooks/Cole Cengage learning, Boston, 2011.

LITERATURA 52

[12] Funkcija vise variabli, V.V.R, Ekonomski fakultet, Zagreb

http://web.efzg.hr/dok//mat/svlah//difrac2.pdf,

[13] A. Weerapana, Multivariate static optimization

http://www.wellesley.edu/Economics/weerapana/econ300/econ300pdf/lecture 300-08.pdf

[14] A. Belullo, Mikroekonomski temelji makroekonomije

http://www.scribd.com/doc/73675467/8/Lokalna-i-globalna-rjesenja,

[15] I. SLAPNICAR, Matematika 2, Split, 2008

http://lavica.fesb.hr/mat2/PDF/predavanja.pdf

[16] B. Jadrijevic, Funkcije vise varijabli III (ekstremi)

http://www.fesb.hr/ borka/files/m2-pred12.pdf

[17] B.A. McCarl, T.H. Spreen, Applied mathematical programming using algebraic

systems, Chapter 12

http://agecon2.tamu.edu/people/faculty/mccarl-bruce/mccspr/new12.pdf

[18] S. Suljagic, Ekstremi funkcija vise varijabli

http://www.grad.unizg.hr/nastava/matematika/mat2/node8.html

[19] R. Scitovski, I. Kuzmanovic, Z. Tomljanovic, Linearni operatori u ravnini

http://www.mathos.hr/geometrija/Materijali/Geo 2.pdf

[20] J. Sohinger, Maksimizacija korisnosti i funkcija potraznje

web.efzg.hr/dok//EPO/jsohinger//Predavanje 3.ppt

[21] R. Gil, Optimization

http://people.ucsc.edu/ rgil/Optimization.pdf

Sazetak

Problemi minimizacije i maksimizacije spadaju u najvaznije prakticne i teoretske pro-

bleme. Smisao je da se odrede vrijednosti argumenata u kojima neka funkcija postize

svoju najmanju ili najvecu vrijednost (lokalno ili globalno). U prvom poglavlju na-

veli smo osnovne pojmove koje smo koristili u radu. O samom postupku pronalazenja

ekstrema funkcija vise varijabli govorili smo u drugom poglavlju. U trecem poglavlju

vidjeli smo da lako mozemo odrediti i ekstrem funkcije uz dane uvjete, i takav ekstrem

nazivamo uvjetnim ekstremom. Kroz drugo i trece poglavlje vidjeli smo i korisne pri-

mjene trazenja ekstrema u ekonomiji, svakodnevnom zivotu te u nekim humanistickim

i drustvenim znanostima.

53

Summary

Minimization and maximization problems are some of the most important practical

and theoretical problems. The goal is to find the values of inputs in which a function

achieves its minimum or maximum value (locally or globally). In the first chapter

we have listed the basic definitions and concepts that we used in this paper. In the

second chapter we have seen the procedure of finding (local) extremes of functions

of several variables. In the third chapter we have seen that we can easily determine

the extreme of the function under given conditions, and such an extreme is called the

constrained extreme. Through the second and the third chapter we have also seen

some useful applications of finding the extremes in the economy, the daily life and in

some humanities and social sciences.

54

Zivotopis

Rodena sam 7. kolovoza 1985. godine u Osijeku. Osnovnu skolu ”Retfala” u Osijeku

upisala sam u rujnu 1992. godine. U rujnu 2000. godine upisala sam I. gimnaziju u

Osijeku. U srpnju 2004. godine upisujem preddiplomski studij matematike na Odjelu

za matematiku, a sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike upisujem u

listopadu 2008. godine.

Od svibnja 2005. godine do lipnja 2006. godine radila sam u restoranu brze prehrane

McDonalds, a od lipnja 2006. godine do listopada 2011. godine u Kontaktnom centru

T-coma u Osijeku.

55

kristina flanjak - mathos.unios.hr

Documents