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Zentrum fur TechnomathematikFachbereich 03Mathematik / Informatik

Das Falten-und-Schneiden Problem

Kristian Bredies

Uttendorf, 14. Februar 2005

InhaltEinleitung

OrigamiDas Falten-und-Schneiden Problem

Mathematische AnalyseFlaches OrigamiLokale EigenschaftenFaltbarkeit

Konstruktion einer L osungLokale FaltmusterZusammensetzen der Teillosungen

Literatur

Origami – Die Kunst des Papierfaltens

Im klassischen Origami werden komplexe Figuren aus einemeinzigen quadratischen Blatt Papier gefaltet.

Zur Geschichte des Origami

OrigamiAus den japanischen Worten oru – falten und kami – Papier.

Japan: 6. Jahrhundert; schriftliche Aufzeichnungen erstEnde 18. Jahrhundert; einfache Figuren

Spanien: 12. Jahrhundert; geometrische Figuren

Popular geworden als Kunstform erst ab 1950 durchYoshizawa Akira, ab dann Entwicklung komplexer Figuren.

Erweiterung: Falten und Schneiden

BeobachtungZusammenfalten eines Blattes Papier und anschließendesDurchschneiden entlang einer Linie gibt ebene Figuren.

FrageLassen sich auf diese Weise beliebige polygonale Figurenerzeugen?

Mathematische Analyse

Origami laßt sich mathematisch auf verschiedenen Ebenenuntersuchen. Zum Beispiel:

I Geometrische Konstruktion durch Papierfalten.I Formalisierung des Papierfaltens durch Huzitas Axiome;

Losung von Gleichungen dritten Grades damit moglich(Winkeldrittelung, Verdoppelung des Wurfelinhalts)[Huzita 1992]

I Graphentheoretische Untersuchung der Faltmuster.I Untersuchung der Faltmuster (Lokale Eigenschaften,

Faltbarkeit); Origamidesign durch Baume. [Hull 1994,Lang 1996]

Mathematische Beschreibung

Praktische AnnahmeWenn man das Faltmuster einer Figurkennt, kann man sie auch falten.

I Identifizierung von fertig gefaltetenFiguren mit deren Faltmuster.

DefinitionEin Faltmuster (N, E , ϕ) sei gegeben durch einen endlichenplanaren Graphen (N, E) in [0, 1]2 und eine Winkelfunktionϕ : E → [−π, π]. Ist das Faltmuster faltbar, so definiert es einOrigami. Nimmt ϕ nur die Werte ±π an, so ist das Origamiflach.

Lokale EigenschaftenSei (N, E , ϕ) ein flaches Origami. Wahle einn ∈ N im Inneren von [0, 1]2 und betrachtealle Kanten K ⊂ E , die mit n verbunden sind.

Eine Talfalte ist eine Kante k , mit ϕ(k) = π,eine Bergfalte eine Kante k mit ϕ(k) = −π.

Satz von MaekawaSei V die Anzahl der Talfalten und M die Anzahl derBergfalten. Dann gilt:

|M − V | = 2 .

Der Satz von Maekawa – BeweisBetrachte einen “hochgeklappten” Knoten imzusammengefaltetem Origami.

I Das Wegschneiden des Knotens enthulltein zusammengefaltetes Polygon.

I Tal- bzw. Bergfalten entsprechen innerenWinkel 2π bzw. 0, also ist derGesamtwinkel 2πV .

I Das Polygon ist ein M + V = n–Eck,d.h. der Gesamtwinkel ist (n − 2)π.Also folgt M − V = 2.

Analog folgt bei “heruntergeklappten” KnotenV −M = 2.

Der Satz von Maekawa – Folgerungen

I Jeder innere Knoten hat eine geradeAnzahl von Kanten.Betrachtet man alle Randknoten alseinen Knoten, so gilt das auch furdiesen.

I Damit ist der Graph ein Euler-Graph.Also kann man die Flachen desGraphen zweifarben.

An einer Zweifarbung lassen sich dieSeiten im gefalteten Origamiidentifizieren.

Der Satz von Kawasaki

Bezeichne α1, . . . , α2n die sortierten Winkelzwischen den Kanten. Dann gilt

α1 + α3 + . . . α2n−1 = α2 + α4 + . . . + α2n = π .

Beweis.Im zusammengefalteten Origami wechselt beijeder Falte das Vorzeichen im Winkel, also

α1 − α2 + α3 − . . .− α2n = 0 und naturlich

α1 + α2 + α3 + . . . + α2n = 2π .

Daraus folgt das Obige.

Der Satz von Kawasaki

Bezeichne α1, . . . , α2n die sortierten Winkelzwischen den Kanten. Dann gilt

α1 + α3 + . . . α2n−1 = α2 + α4 + . . . + α2n = π .

Beweis.Im zusammengefalteten Origami wechselt beijeder Falte das Vorzeichen im Winkel, also

α1 − α2 + α3 − . . .− α2n = 0 und naturlich

α1 + α2 + α3 + . . . + α2n = 2π .

Daraus folgt das Obige.

Faltbarkeit

I Man kann zeigen, daß die Aussage vom Satz vonKawasaki hinreichend fur lokale Faltbarkeit ist.

I Es existieren jedoch Faltmuster, die den Satzen vonMaekawa und Kawasaki genugen und nicht globalfaltbar sind.

I Fur Spezialfalle existieren Aussagen bezuglich globalerFaltbarkeit, der allgemeine Fall ist jedoch offen.

Faltbarkeit

Zuruck zum Falten-und-Schneiden ProblemEs existieren zwei Strategien fur die Losung des Problems.

1. “Strichmannchenkonstruktion”, erlaubt dasAusschneiden baumartiger Figuren. [Demaine, 1998]

2. Konstruktion durch Scheibenpackung, allgemeineLosung. [Demaine et. al, 2001]

ScheibenpackungsalgorithmusI Erstellen eines Drei- und VierecksgittersI Konstruktion von lokalen FaltmusternI Zuweisen der Berg- und TalfaltenI Verbreitern des Polygons

Das Drei- und VierecksgitterBezeichne R den Rand des Papiersund P das auszuschneidenePolygon.

I Setze in jeden Eckpunkt von P(und R) eine Kreisscheibe, sodaß sich keine Scheibenuberschneiden.

I Fulle die Lucken so auf, daß sie3 oder 4 Kreisscheibenberuhren.

I Erstelle daraus ein Drei- undVierecksgitter.

Konstruktion lokaler FaltmusterIdeeFalte jedes Drei- und Viereck so, daß deren Rand auf einerLinie liegt.

I Jede entsprechende Falte mußsenkrecht auf dem Rand stehen.

I Randknoten mussen zum Gitterpassen.

I Der Satz von Kawasaki soll erfulltsein.

Ergibt sich durch die Schnitte der Kreisemit P.

Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:

Vierecke:

Wie ergibt dies das Gewunschte?

I Die “Molekule” lassen sich nachoben oder unten falten.

I Falte sie also so, daß:I Innerhalb von P zeigt nach

obenI Außerhalb von P zeigt nach

I P selbst wird nicht gefaltet undergibt eine Linie.

Kann man dies uberhaupt falten?

Faltungsalgorithmus:

I Erstelle Kantenbaum TE

I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand

I Konstruiere dualen Molekulbaum TM

I Schneide entlang TE

I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen

Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE

Der letzte Schliff

Bei dem jetzigen Muster landet P zwar auf einer Linie, alleinneren Kanten beruhren sie jedoch.

I Verbreitert man P so, daß alle Merkmale erhaltenbleiben, dann landen die inneren Kanten wirklich ober-und unterhalb der Schnittlinie.

Jetzt kann man Falten und Schneiden.

Der letzte Schliff

Literatur

I Thomas Hull. On the mathematics of flat origamis.Congressus Numerantium 100 (1994) 215–224.

I Marshall Bern, Erik Demaine, David Eppstein and BarryHayes. A disk-packing algorithm for an origami magictrick. Proc. 3rd Int. Meet. Origami Science (2001).

I Robert Lang. A computational algorithm for origamidesign. Proc. 12th ACM Symp. Comp. Geometry (1996)98–105.

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