KOORDINAT TERHADAP SUATU BASISTeorema 1.5.1Misalkan {v1, v2, . . ., vn} adalah basis pada ruang vektor V. Maka untuk setiap w V adalah bentuk khusus dari skalar a1, a2, . . . , an dimana w = a1v1 + a2v2 + . . . + anvnBukti:Karena {v1, v2, . . ., vn} adalah basis dari V, maka setiap anggota w V adalah kombinasi linear dari v1, v2, . . ., vn. Bentuk skalar khusus a1, a2, . . . , an diperoleh dari Lemma 1.3.7.

Definisi 1.5.2Basis terurut {v1, v2, . . ., vn} dari ruang vektor V adalah basis V yang unsur-unsurnya tercantum dalam urutan tertentu. Andaikan {v1, v2, . . ., vn} adalah basis terurut pada V dan w V. Dapat dikatakan {a1, a2, . . . , an} adalah koordinat w terhadap {v1, v2, . . ., vn} jika w = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn. Ini berdasarkan teorema 1.5.1 merupakan ketentuan dari bentuk khusus dari skalar a1, a2, . . . , an. Biasanya basis terurut tersebut dinamakan dengan B = {v1, v2, . . ., vn} dan vektor koordinat w = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn, sehingga:(w)B =Contoh: Tentukan koordinat vektor v = terhadap basis B = Solusi: Koordinat v terhadap B adalah vektor B = yang memenuhia1 = Sehingga penyelesaiannya dapat dilakukan OBE dengan menjadikan matriks eselon baris tereduksi dengan langkah-langkah sebagai berikut: b2 b1 b2 b3 b1 b3 dan b2 + b3 Didapatkan solusi persamaan ini adalah a1 = - , a2 = , a3 = , sehingga diperoleh:B = Perhatikan, bahwa urutan vektor di basis sangat menentukan koordinat. JikaB' =maka koordinat v terhadap B adalahB = Teorema 1.5.4Misalkan B = {v1, v2, . . ., vn} menjadi urutan basis dari Fn. Himpunan A dengan matriks ( v1, v2 . . . vn) dimana A adalah matriks yang kolom-kolom koordinat vektornya di B. Maka A adalah invers dan untuk setiap v Fn. Ditulis (v)B = A-1vBukti:Misalkan v FnUntuk menemukan koordinat v terhadap B, kita harus memecahkan persamaan v = X1v1 + X2v2 + . . . + Xnvn dengan X1, X2, . . . , Xn F. Dimana definisi perkalian matriks sama dengan memecahkan persamaan AX = v. Karena persamaan ini selalu memiliki solusi khusus (B adalah basis dari Fn), maka dari Teorema 0.6.9 (tentang invers matriks) A adalah invers. Solusi untuk sistem persamaan adalah A-1v, yang menurut definisi adalah vektor kolom (v)B. Terbukti.

Teorema 1.5.5Andaikan B = {v1, v2, . . ., vn} adalah basis terurut dari n-dimensi ruang vektor V. Misalkan w1, w2 V adalah vektor, maka:(w1 + w2)B = ( w1)B + ( w2)BDan k F, maka:( kw1)B = k( w1)B Bukti:Nyatakan: w1 = a1v1 + . . . + anvn w2 = b1v1 + . . . + bnvnSehingga: (w1)B = dan (w2)B = Karena w1 + w2 adalah kombinasi linear maka w1 + w2 = ( a1 + b1) v1 + . . . + ( an + bn) vn, diperoleh: (w1 + w2)B = Sama dengan kw1 = k a1v1 + . . . + kanvn, sehingga ( kw1)B = k( w1)B . Terbukti.