kontrol sistemleri tasarımımakted.org.tr/wp-content/uploads/kaynaklar/kontrol_bep/... ·...

Kontrol Sistemleri Tasarımı

Prof. Dr. B ülent E. Platin

Sistem Dinami ği ve Kontrol Çalı ştayı31 Ağustos – 02 Eylül 2016

Kök Yer E ğrisi ile Kontrolc ü Tasarımı

Sistem Dinami ği ve Kontrol Çalı ştayı31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 1/45

Kontrol Sistemlerinde Tasarım İsterleri – Zaman Yanıtı

Baskın KÇK’lar sanal eksenden uzakta

Kısa yerleşme zamanı

Baskın KÇK’lar gerçek eksenden uzakta ve/veya KÇS’ler sanal eksene yakın

Hızlı ilk yanıt, kısa yükselme ve aşma zamanı

KÇK’ların tümü gerçek eksenin üzerinde

Salınımsız yanıt

Geçici rejim Yanıtı

KÇK’ların tümü s–düzleminin solunda

Zamanla durağanlaşan basamak yanıtı

Kararlılık

Yüksek tip numarası ve/veya büyük değerli hata katsayısı

Sıfır ya da küçük kalıcı hataKalıcı Rejim Yanıtı

Küçük aşma

Kapalı Çevrim Sistemin Zaman Yanıtı Özellikleri

Baskın KÇK’lar küçük eğimli sönümleme doğrusu üzerinde

AÇTF / KÇTF İsterlerÖzellik




Kontrol Sistemlerinde Tasarım İsterleri – Zaman YanıtıBaskın kapalı çevrim kutupları:Sanal eksene diğer kutuplardan en az 4–5 kez yakın olan ve yakınında kapalı çevrim sıfırı bulunmayan KÇK’lar.

Ana Sonuç:Kalıcı rejim başarımı dışındaki zaman yanıtı özelliklerini baskın kapalı çevrim kutuplarının s–düzlemindeki konumları belirlemektedir.

Dolayısıyla,

– AÇTF’in tip numarası kalıcı rejim isterlerini sağlamalıdır.– KYE’nin baskın kolları s–düzleminin arzulanan bölgelerinden geçmelidir.

– Bu bölgedeki baskın kol üzerindeki AÇ kazanç değerleri kalıcı rejim isterlerinisağlamalıdır.

Eğer bu 3 koşulun hepsi sağlanıyorsa, çözüm uygun kazançlı bir P-kontrolcüdür.

Bu ko şullardan bir ya da bir kaçı sa ğlanm ıyorsa ne yapılmalıdır?

KÖK YER EĞRİSİNİN BASKIN KOLLARI KUTUP VE SIFIR EKLENEREK DEĞİŞTİRİLMEL İDİR


Kök Yer E ğrilerini Yeniden ŞekillendirmeKutup Eklemenin Etkisi



Kök Yer E ğrilerini Yeniden Şekillendirme

Kutup Eklemenin Etkileri:

• Kol ve asimtot sayısı artar.

• Kutup-sıfır kütle merkezi eklenen kutuba doğru kayar.

• Kollar sağa doğru bükülürler.

• Göreceli kararlılık azalır.

• Hatta sistem kararsız bile olabilir.



Kök Yer E ğrilerini Yeniden ŞekillendirmeSıfır Eklemenin Etkisi



Kök Yer E ğrilerini Yeniden ŞekillendirmeSıfır Eklemenin Etkileri:

• Asimtot sayısı azalır.

• Kutup-sıfır kütle merkezi eklenen sıfırın aksi yönüne doğru kayar.

• Kollar sola doğru bükülür.

• Göreceli kararlılık iyileşebilir.

• Kararsız bir sistem kararlı hale getirilebilir.



PD (Oransal + Türevsel) Kontrolcü TasarımıPD-Kontrolcü:

Burada

Kp: Oransal kazanç

Kd: Türevsel kazanç

Td: Türev zamanı

z : PD-kontrolcünün sıfırı

Td = Kd / Kp

z = – 1 / Td = – Kp / Kd

PD-kontrolcü ile eklenen sıfırın açısal katkısı (θs) pozitiftir.

z)(sK1)s(TKsKK(s)G ddpdpc −=+=+=


0–Kp/Kd

Im

Re

s1

θs


PD (Oransal + Türevsel) Kontrolcü Tasarımı

KÇ sistemin arzulanan s1 kutup konumunda, bu pozitif θz açısal katkı, kompanseedilmemiş sistemin AÇTF’nin s1 noktasındaki G(s1)H(s1) açısını açı koşulunu sağlayacak şekilde dengelemelidir.

arg[Gc(s1)G(s1)H(s1)] = ±(2k+1)180° ; k = 0, 1, 2, .....

Böylece, kompanse edilmiş sistemin AÇTF’i olan Gc(s)G(s)H(s) kullanılarak oluşturulan yeni kök yer eğrisinin baskın kolu sola kayarak s1′den geçebilecektir.

PD kontrolcü, kalıcı rejim açısından, tip numarasında herhangi bir değişiklik oluşturmaz.

Ancak, PD-kontrolcü aracılığıyla sola kaydırılan kök yer eğrisinin baskın kolundaki tasarım noktası orijinden daha uzakta olduğu için n > m olan OLTF’ler için daha yüksek kazanç değerleri kullanılmasına izin verecektir. Bu da kalıcı rejimde daha büyük hata katsayıları yaratarak kalıcı hatanın azalmasını sağlamaktır.

Kazançtaki bu iyileşmeyi genlik koşulunu kullanarak görmek mümkündür:

Kp = 1 / |Tds1+1||G(s1)H(s1)|



K = 5

PD (Oransal + Türevsel) Kontrolcü TasarımıÖrnek:

Transfer fonksiyonu yanda verilen birimgeri beslemeli H(s) ≡ 1 bir sistemi düşünelim.

Birincil önceliğimiz en fazla 0.5π saniyelik tepe zamanı olsun. İkincil isterler ise 2 saniyelik %2’lik yerleşme zamanı ve ζ = 0.707’lik sönümleme oranı olsun.

a) P-kontrolcü ile birincil isterlerinsağlanabildiğini ama ikincil isterlerinsağlanamadığını gösterin.

b) İsterlerin üçünü de sağlayan uygunbir kontrolcü tasarlayın.

Çözüm:

a)

b)

2)s(s1

G(s)+

=

XX0–1

Im(s)

Re(s)

s–düzlemi

–2

2ωω

π

2π

ω

πt d

ddp =→=→=

j2

2ωd =

s1ζ = 0.707doğrusu

2ωω

42

ω

4t n

nns =ζ→

ζ=→

ζ=

ts=

2

doğrusu

ζωn = 2


s2


XX0–1

Im(s)

Re(s)

s–düzlemi

–2

j2

2ωd =

s2

ζ = 0.707doğrusu

ts=

2

doğrusu

PD (Oransal + Türevsel) Kontrolcü TasarımıÖrnek:b) Arzulanan KÇ kutup yeri: –2+j2

Dolayısıyla, kök yer eğrisinin üst kolu arzulanan KÇ kutup noktasından geçecek şekilde sola bükülmelidir.

Kompanse edilmemiş sistemin s2’deki toplam açısal katkısı –225°’dir.

Kompanse edilmiş sistemin yök yer eğrisinin s2’den geçebilmesi için +45°’lik bir katkıya gerek vardır. Bu da sıfırı z = –4 olan bit PD-kontrolcüile sağlanabilir. → Kp / Kd = 4 → Kp = 4 Kd

Ek olarak, genlik koşulu kullanılırsa:

Kd|s2 + 4| = |s2||s2 +2| → Kd(2 ) = (2 )(2) → Kd = 2 → Kp = 8

Gc(s) = 8 + 2s

2 2


← Daha büyük orantısal kazanç kullanımına dikkat!


Step Responses of P- and PD-Controlled Systems

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

P-kontrolcü

PD kontrolcü


Ek getiriler:Aşma azaldıYükselme zamanı kısaldı

P- ve PD-kontrolcü ile Denetlendiğinde Sistemin Basamak yanıtları

Zaman (saniye)

Gen

lik


PD (Oransal + Türevsel) Kontrolcü TasarımıPD-kontrolcü uygulamasındaki 3 büyük sorun:1. Türev alma işlemi anlamına gelen s-terimi içermesi nedeniyle PD-kontrolcülerin

fiziksel olarak gerçekleştirilmesinde sorun vardır. Bu sorunu çözmenin 2 yolu bulunmaktadır:

a) Türev alma işlemini yaklaşık gerçekleştirmek.b) Çıktının kendisinin yanında türevini de ölçerek geri besleme bilgisine dahil

etmek. – Ek algılama elemanlarının kullanımını gerektirir. Örneğin, mekanik sistemlerde konum ve hız geri beslemenin birlikte kullanımı.

2. Referans girdisinde basamak değişimler olması durumunda PD-kontrolcüler s-terimi nedeniyle darbeli komutlar üretirler. Bu sorunu çözmenin 3 yolu bulunmaktadır:

a) Referans girdideki basamak değişiklerini dar rampalar şeklinde vermek.b) P-kontrolcünün çıkışında genlik limiti kullanmak.c) 1b

3. PD-kontrolcünün s-terimi algılayıcı gürültüsünü daha da abartılı hale getirir. Bu sorunu çözmenin 2 yolu vardır:

a) Algılayıcının ürettiği gürültülü ölçme sinyalini temizlemek için alçak geçirgen süzgeç kullanmak.

b) Gürültü düzeyi daha az daha iyi bir algılayıcı kullanmak.



PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü TasarımıPI-Kontrolcü:

Burada

Kp: Orantısal kazanç

Ki: İntegral kazanç

Ti: İntegral zamanı

z : PI-kontrolcünün sıfırı

Td = Kp / Ki

z = – 1 / Ti = – Ki / Kp

PI-kontrolcü ile eklenen sıfırın ve kutubun net açısal katkısı (θs – θk) negatiftir.

s

z)(sK

s1)s(TK

sK

K(s)G piiipc

−=+=+=


-Ki/Kp0

Re

Ims1

θs θk


PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü TasarımıKÇ sistemin arzulanan s1 kutup konumunda, bu negatif θs – θk açısal katkı, kompanse edilmemiş sistemin AÇTF’nin s1 noktasındaki G(s1)H(s1) açısını açıkoşulunu sağlayacak şekilde dengelemelidir.

arg[Gc(s1)G(s1)H(s1)] = ±(2k+1)180° ; k = 0, 1, 2, .....

Böylece, kompanse edilmiş sistemin AÇTF’i olan Gc(s)G(s)H(s) kullanılarak oluşturulan yeni kök yer eğrisinin baskın kolu sağa kayarak s1′den geçecektir.

Baskın koldaki bu sağa yönelim istenen bir gelişme değildir.

Ama, PI-kontrolcünün orijindeki kutubu aracılığıyla sistemin tip numarası artacak ve kapalı çevrim sistemin kalıcı rejim başarımı düzelecektir.

Dolayısıyla, PI-kontrolcüler, kapalı çevrim sistem yanıtının geçici rejimindeki olumsuz değişikliklerin kabul edilebilir düzeyde küçük tutulması kaydıyla kalıcırejim başarımının geliştirilmesi amacıyla kullanılabilir.

Geçici rejimdeki bu olumsuz etkileri en az düzeyde tutabilmek için PI-kontrolcünün açısal katkısının küçük olması gerekmektedir. Bu da eklenen sıfırın orijine eklenen kutuba yakın konumlandırılmasıyla elde edilebilir.



Im

s-düzlemiRe0–5–10

xx

PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü TasarımıÖrnek:

Transfer fonksiyonu yanda verilen birimgeri beslemeli H(s) ≡ 1 bir sistemi düşünelim.

Kapalı çevrim sistemin rampa girdileri sıfır kalıcı rejim hatası ile izlemesi istenmektedir.

İkincil ister, arzulanan kapalı çevrim kutupların –5 ± j5 olarak konumlandırılmasıdır.

Eğer bu mümkün değilse, o zaman

i) yerleşme zamanının % 5 uzamasına izin verilebilir(kapalı çevrim kutuplar sanal eksene yaklaşabilir) ama

ii) sönümleme oranı (ζ = 0.707) olarak sabit kalmalıdır (kapalıçevrim kutuplar ζ = 0.707 sönümleme doğrusu üzerinde orijine doğru kaydırılmalıdır).

10)s(s1

G(s)+

=

→ Tip 2 AÇTF gerekmekte → PI-kontrolcü kullanılmalı!

İstenen kapalıçevrim kutup

konumus1 = –5+j5(K = 50)

j5

ζ = 0.707 sönümleme doğrusu

PI-kontrolcüyle kapalı çevrim kutubun yeni

konumus2 = –4.75+j4.75


(0.05)(5)=0.25


Im


xx

PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü TasarımıÖrnek:Bu tür probleminin çözümünde ilk adım PI-kontrolcünün sıfırının (z = –Ki/Kp) konumunu bulmaktır.

Bu işlem, arzulanan kapalıçevrim kutubun yeni konumu olan s2’de açı koşulunu uygulayarak gerçekleştirilir:

İstenen kapalıçevrim kutup

konumus1 = –5+j5(K = 50)

j5PI-kontrolcüyle kapalı çevrim kutubun yeni

konumus2 = –4.75+j4.75

°=−+−−°

180 )arg(s210)arg(sz)arg(s135

2

θ

2

θ

2

ks

43421443442143421

°=− 90 θθ ks

Son ifade, p = –10 ve z’den s2‘ye doğru çizilen doğruların birbirine dik olduğunu işaret etmektedir. Bu genelleştirilecek bir kural olmayıp, yalnızca geri kalan kutup ve sıfırlardan s2’ye çizilecek doğruların gerçek eksenle yaptığı açıların toplamlarının 180°’den 90° kadar farklı olması durumunda geçerlidir.

θk

θs

zx



gibibeklendiği4542.14 θ

(0.90476)tan θ

5.254.75

tan θ

4.75104.75

tan θ

k

1-k

1-k

1-k

°<°==

=

−=

Im


xx

PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü TasarımıÖrnek:

θk açısının bulunuşu:İstenen kapalıçevrim kutup

konumus1 = –5+j5(K = 50)


konumus2 = –4.75+j4.75

Dolayısıyla, θs açısı θs – θk = 90° den 132.14° olarak bulunur.

z’nin değeri, z’den s2’ye çizilen vektörün açısı kullanılarak bulunur:

z

θk

θs

x

0.451.1054.75

4.75)tan(132.14

4.754.75

KK

zz4.75

4.75 tanθ

1.105

p

is −=+−=

°−−=−=→

−−=

−=44 344 21



Im

s-planeRe0–5–10

xx

PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü TasarımıÖrnek:Kp’nin değeri genlik koşulu kullanılarak bulunur: İstenen kapalı

çevrim kutup konumu

s1 = –5+j5(K = 50)


konumus2 = –4.75+j4.75

Buradan, Ki‘nin değeri Ki = (0.45)(50) = 22.5 olarak bulunur.

Dolayısıyla, tasarlanan kontrolcünün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi olacaktır.

z

θp

θz

x

5049.9K

0.45j4.754.75

10j4.754.75j4.754.75K

zs

10ssK

p

6.41

7.08(6.72)

2

p

2

2

2

2p

2

≅=

++−++−⋅+−

=

−+⋅

=

4444 34444 21

444 8444 7644 844 76

s1)22.5(2.22s

s0.45)50(s

s22.5

50(s)Gc

+=+=+=




–0.497’deki 3. KÇ kutubun sistem üzerindeki etkisi –0.45’teki KÇsıfırı nedeniyle ihmal edilebilir.


0 1 2 3 40

1

2

3

4Ramp Responses of P- and PI- Controlled Systems

Time (sec)

Am

plit

ud

e

Input

P

PI


P- ve PI-kontrolcü ile Denetlendi ğinde Sistemin Rampa yanıtları

Zaman (saniye)

Gen

lik

Girdi


PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü Tasarımıİntegral Birikim/Kurma (Windup):

PI-Kontrolcü uygulamasındaki başlıca sorundur.

Özellikle referans değerlerindeki ani değişimler sonucu kontrolcü girişindeki hata bilgisindeki artış, bu hatanın integralinin alınması ile kontrolcü çıktısının çok büyük değerlere erişmesine ve bu çıktının kumanda bilgisi olarak kullanıldığı eyleyicileri ve bunların sürücülerinin doyma değerlerine erişmesine ve sistemin doğrusal olmayan davranışlar (genellikle aşırı aşmalar) sergilemesine neden olur.

İki integral birikim önleyici (anti-windup) düzenleme örneği:



PID (Oransal + İntegral + Türevsel) Kontrolcü TasarımıPID-Kontrolcü:

Burada,

Kp: Oransal kazanç

Kd: Türevsel Kazanç

Ki: İntegral Kazanç

z1,z2: PID-kontrolcünün sıfırları

s)z)(sz(sK

s

KsKsKsK

sK

K(s)G 21dip2

dd

ipc

−−=++

=++=

Im

s-düzlemi

Re0z2z1

xoo

Im

s-düzlemi

Re0

z2

z1

x

o

o



PID (Oransal + İntegral + Türevsel) Kontrolcü TasarımıPID-Kontrolcü:

Bu kontrolcü, sistemin hem sürekli rejim hem de geçici rejim davranışınıiyileştirmek için kullanılır.

Kp, Ki, ve Kd, parametreleri bu kontrolcünün tasarımında 3 farklı başarım isterinin sağlanması için gerekli serbestlik derecesini sağlar.

Orijindeki kutup ve sıfırlardan biri kontrolcünün PI kısmını, diğer sıfır ise PDkısmını oluşturur.

Kontrolcünün PI etkisiyle ilgili sıfır, kök yer eğrilerinin baskın kolunu sağa çok fazla kaydırmamak için orijine yakın seçilir.

Kontrolcünün ikinci sıfırı ise, kök yer eğrisinin baskın kolunu PD etkisiyle yeterince sola bükmek amacıyla o kolun solunda bir konuma yerleştirilir.

PID kontrolcünün bir başka amaçlı kullanımı, sanal eksene istenmedik şekilde yakın karmaşık kutupları olan sistemlerde, bu kutupların sistem üzerindeki etkilerini bastırmak içindir. Bu amaçla, PID-kontrolcünün sıfırları bu kutuplara olabildiğince yakın yerleştirilir. Böylece, aralarında kısa ama baskın olmayan bir kök yer eğrisi kolu oluşturulur.



PID Kontrolcülerin Analitik TasarımıBuradaki amaç, PID-kontrolcünün Kp, Ki ve Kd parametrelerini ayarlayarak AÇTF’siG(s)H(s) olan kompanse edilmemiş bir sistemin kapalı çevrim baskın kutuplarının istenen bir konuma s1 yerleştirilmesidir.

Aşağıdaki tanımları kullanarak,

ve

tasarım denklemleri aşağıdaki şekilde yazılabilir:

Bu denklemler, PID ile kontrol edilmiş bir sistemin dominant KÇ kutubununarzulanan s1 noktasından geçmesi için gerekli koşullar kullanılarak türetilmiştir.

Bu iki denklem içinde 3 adet bilinmeyen (Kp,Ki,Kd kazançları) olduğu için bu kazançlardan birisi ek bir tasarım koşulunu (kalıcı rejim başarımı gibi) sağlamak üzere seçilebilir.

jβ11 ess = jψ

11p11p e))H(s(sG))H(s(sG =

1

i

11pp s

cosβ2K

sinβ))H(s(sG

ψ)sin(βK −+−=

2

1

i

11p1d

s

K

sinβ))H(s(sGs

sinψK +=

Bu denklemler, uygun kazançlarısıfırlayarak PI ve PD-kontrolcülerin tasarımında da kullanılabilir:

PD-kontrolcü için Kd = 0PI-kontrolcü için Ki = 0



PID Kontrolcülerin Analitik TasarımıEğer s1 noktası negatif gerçek eksen üzerinde seçilmişse, tasarım denklemleri aşağıdaki genlik koşulunu ifade eden tek denkleme indirgenir:

Örnek:

AÇTF aşağıdaki gibi olan bir sistem için

hedeflenen kapalı çevrim kutup konumu

s1,2 = –4 ± j 4

şeklinde tanımlanmıştır.

Bu istere ek olarak, basamak girişi için sıfır kalıcı hata ve rampa girişi için %10 dinamik hata oluşması istenmektedir.

Sıfır kalıcı hata için kompanse edilmiş sistemin tip numarası “1” olmalıdır.

Tüm bu koşulları sağlamak üzere uygun bir PID-kontrolcü kullanılmalıdır.

))H(s(sG

sKsKsK

11p

1i1p

21d =++

2)1)(s(s1

G(s)H(s)++

=



PID Kontrolcülerin Analitik TasarımıÖrnek:

→

→

Dolayısıyla, tasarım denklemleri aşağıdaki gibi yazılır.

% 10 dinamik hata koşulu kullanılırsa,

→ Ki = 20 → Kp = 35 and Kd = 5.63

°=+−== j135jβ11 e24j44ess °== 135βand24s1

°−=+−+−

== j243.4jψ11p11p e

510

1j4)2j4)(3(

1e))H(s(sG))H(s(sG

°−=== 243.4ψand0.0447510

1))H(s(sG 11p

ii

p 0.25K30.0124

cos1352K

)sin1355(1/10

)243.4sin(135K +=°−

°°−°−=

i2i

d 0.0313K4.999)2(4

K

sin1355)(1/1024

)243.4sin(K +=+

°°−=

101

/2K1

i

=

s5.58)0.637)(s5.63(s

s2035s5.63s

s20

5.63s35(s)G2

c

++=++=++=



PID Kontrolcülerin Analitik TasarımıÖrnek:

Bu PID kontrolcü sisteme aşağıdaki AÇ (ve KÇ) sıfırları ekler.

z1 = –0.637 PI etkisiyle ilgili sıfır

z2 = –5.58 PD etkisiyle ilgili sıfır

Bu sıfırlar kapalı çevrim transfer fonksiyonunun da sıfırları olur.

Kapalı çevrim kutupları p1,2 = –4 ± j4 ve p3 = –0.625 olarak elde edilir.

p3 = –0.625 kutubu ilk görünüşte rahatsızlık verici olabilir. Ama, bu kutubun sistem yanıtındaki etkisi –0.637’deki sıfır nedeniyle çok önemli değildir.

Sistemin P-kontrolcüyle ve PID kontrolcüyle kontrol edilmiş durumlarına karşılık gelen basamak yanıtları bir sonraki yansıda verilmiştir.

s5.58)0.637)(s5.63(s

s2035s5.63s

s20

5.63s35(s)G2

c

++=++=++=




Basamak Yaniti

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zaman (saniye)

Çik

ti

PID kontrolcüyle kompanseKompanse edilmemis sistem

Basamak Yanıtı

Zaman (saniye)

Çık

tı

PID Kontrolcü ile denetimP Kontrolcü ile denetim


İlerlemeli Kontrolcü Tasarımıİlerlemeli Kontrolcü:

Bu kontrolcünün sıfırı orijine kutubundandaha yakındır.

Dolayısıyla, ilerlemeli kontrolcünün açısalnet katkısı (θs – θk) pozitiftir.

Bu nedenle, bu kontrolcünün etkisi PD-kontrolcüye benzerdir. Sistemin geçici rejim davranışını düzeltmek üzere baskın kapalı çevrim kutuplarını sola doğru kaydırır.

PD-kontrolcüde belirlenecek 2 katsayı varken, bu kontrolcüde belirlenecek 3 katsayı (Kc, T, α) vardır. Bu da daha fazla serbestlik derecenin olduğu anlamına gelir.

1αT / 1

1/Tpz

α0;pszs

α

KαTs1Ts1

K(s)G ccc <

−−==<

−−⋅=

++=

θk

θs

s1

p 0 Re

Im

z



İlerlemeli Kontrolcü Tasarımıİlerlemeli Kontrolcü Tasarım Adımları:

1. P-kontrolcü kullanılmış sistem için kök yer eğrisi çizilir.

2. Geçici rejim isterleri kullanılarak kapalı çevrim sistemin baskın kutubunun s-düzlemindeki istenen s1 konumu P-kontrolcü kullanılmış sistemin baskın kolunun solunda olacak şekilde seçilir.

3. P-kontrolcü kullanılmış sistemin s = s1’deki 180°’den olan açı farklılığıΦ = 180° – arg[G(s1)H(s1)] > 0

olarak hesaplanır. Bu fark ilerlemeli kontrolcü tarafından sağlanacaktır.

4. İlerlemeli kontrolcünün kutup ve sıfırının konumları (ya da T ve α), s1’de bu açıfarkını kapatacak şekilde seçilir.

Eğer bu Φ açısı çok büyükse, birden fazla ilerlemeli kontrolcü kullanılabilir.

Verilen bir Φ açısını kapatmak üzere ilerlemeli kontrolcünün kutup ve sıfırının konumları için bir çok seçenek vardır.



İlerlemeli Kontrolcü Tasarımıİlerlemeli Kontrolcü Tasarım Adımları:

Bu kontrolcünün kurup ve sıfırlarının konumları için bir çok seçenek arasında α(dolayısıyla Kc) için en büyük (1’e en yakın) değer verenini bulmak üzere aşağıdaki geometrik yapı kullanılır.

Şekilde, PA gerçek eksene paralel ve PB de PA ve PO arasındaki βaçısının açı ortayıdır.

Bu şekilde sinüs teoremi kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilir:

β

P (s1)

0 Re

Im

C B D

A

φ/2φ/2

)/2]sin[(β)/2]sin[(β

sODT1

1 φ+φ−==

)/2]sin[(β)/2]sin[(β

sOCαT1

1 φ−φ+==



İlerlemeli Kontrolcü TasarımıÖrnek:

İleri besleme yolundaki transfer fonksiyonu aşağıda verilen birim geri beslemeli, H(s) ≡ 1, bir kontrol sistemini düşünelim.

Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtında % 20 aşma (Mp) ve 4 saniye %2’lik yerleşme zamanı (ts) hedeflenmektedir. Bu isterler kullanılarak,

Dolayısıyla, baskın kapalı çevrim kutup konumları aşağıdaki gibi bulunur.

s1 = 2.193 ej117,1° = –1 + j1.952

180°’den olan açı farkı:

Φ = 180° – arg[Gp(s1)H(s1)] = 180° – 126.9° = 53.1°

5)1)(ss(s1

G(s)++

=

( ) ( )oo 117.1(0.456)cos180β0.456

π/0.21

1

π/M1

1ζ 1

22p

=−=→=+

=+

= −

1nnn

s s2.1930.456

1ω1

44

ζω4ζω

4t ===→==→==



İlerlemeli Kontrolcü TasarımıÖrnek:

Tasarım denklemleri aracılığıyla T ve α bulunur.

Genlik koşulu yardımıyla Kc bulunur.

Böylece ilerlemeli kontrolcünün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır.

Bu kontrolcüyle, kapalı çevrim kutuplar: p1,2 = –1 ± j1.952, p3 = –1.27, p4 = –6.86

Bu kontrolcüyle elde edilen kök yer eğrileri bir sonraki yansıda verilmiştir.

0.858T 1.166)/2]53.1sin[(117.1)/2]53.1sin[(117.1

2.193T1 =→=

°+°°−°=

0.283α 0.243αT 4.123)/2]53.1sin[(117.1)/2]53.1sin[(117.1

2.193αT1 =→=→=

°−°°+°=

10.141.166s

4.123s5s1ss0.283K

1

1111c =

++++

⋅=

4.123s1.166s

35.830.243s10.858s1

10.14(s)Gc ++=

++=



-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 0.180.360.520.660.78

0.180.360.520.660.78

1234567

X: -0.9998Y: 1.952

X: -0.9998Y: -1.952

X: -6.857Y: 0

X: -1.266Y: 0

Root Locus of Lead Compensated System

Real Axis

Imag

Axi

s

KÇ baskın kutuplar


İlerlemeli Kontrolcüyle Denetlenmiş Sistemin Yer Kök Eğrisi

Gerçek Eksen

San

al E

ksen


Gecikmeli Kontrolcü TasarımıGecikmeli Kontrolcü:

Bu kontrolcünün kutubu orijine sıfırındandaha yakındır.

Dolayısıyla, gecikmeli kontrolcününaçısal net katkısı (θs – θk) negatiftir.

Bu kontrolcü PI-kontrolcünün daha esnekbir sürümü olarak düşünülebilir; çünkü,kontrolcü kutubu orijin gibi sabit bir noktayerine istenen bir yere yerleştirilebilmektedir.

Gecikmeli kontrolcü, kapalı çevrim bir sistemin sürekli rejim performansını tip numarasını yükseltmeden iyileştirmek istenen durumlarda kullanılmaktadır.

1αT / 1

1/Tpz

α;pszs

α

KαTs1Ts1

K(s)G ccc >

−−==

−−⋅=

++=

θs

θk

s1

z 0 Re

Im

p



Gecikmeli Kontrolcü TasarımıGecikmeli Kontrolcü:

Gecikmeli kontrolcünün kök yer eğrisi üzerinde önemli değişikler yapmasınıönlemek için bu kontrolcünün açısal katkısının kısıtlı (en fazla 5°-6°) olması istenir.

Bunu sağlamak için bu kontrolcünün kutup ve sıfırı orijin civarında birbirine yakın olarak yerleştirilir. Bu sayede, kapalı çevrim kutupları kendi özgün konumlarından çok az yer değiştirirler. Böylece, kapalı çevrim sistemin geçici davranışı temel olarak aynı kalır.

Bu şekilde yerleştirilmiş kutup ve sıfır olması durumunda, gecikmeli kontrolcünün baskın kapalı çevrim kutup noktasındaki (s1) genliği aşağıdaki gibi yazılır.

Bu ifade, Kc kazancının sistemin geçici rejim karakteristiğini değiştirmeden α (>1) kat arttırılabileceği anlamına gelir.

Dolayısıyla, Kc kazancındaki her artış ilgili hata katsayısında benzer bir artış ve sonunda kalıcı rejim hatasında benzer oranda bir azalış sağlayacaktır; yani, kalıcırejim davranışında bir iyileşme olacaktır.

α

Kpszs

α

K)(sG c

1

1c1c ≅

−−⋅=



Gecikmeli Kontrolcü TasarımıGecikmeli Kontrolcü Tasarım Adımları:1. P-kontrolcü kullanılmış sistem için kök yer eğrisi çizilir.2. Geçici rejim isterleri kullanılarak kapalı çevrim sistemin baskın kutubunun s-

düzlemindeki s1 konumu kök yer eğrisinin baskın kolunun üstünde seçilir.3. s = s1’deki genlik koşulunu kullanarak açık çevrim kazancı bulunur ve ilgili hata

katsayısı hesaplanır.4. Kalıcı hata isteri kullanılarak bu hata katsayısında yapılması gerekli olan

arttırma saptanır ve α bu değer olarak alınır.5. Gecikmeli kontrolcü sıfırının konumu sanal eksene s1’den en az 5 kat daha

yakın olacak şekilde seçilir.6. Gecikmeli kontrolcü kutubunun konumu sanal eksene sıfırından α kat daha

yakın olacak şekilde seçilir.7. Gecikmeli kontrolcü kullanılan sistemin kök yer eğrisi çizilir.8. Hedeflenen baskın kapalı çevrim kutup bu yeni KYE eğrisi üzerinde bulunur.9. Kc değeri bu yeni baskın kapalı çevrim kutupta genlik koşulu kullanılarak

bulunur.10.Eğer bulunan Kc değeri yeterince büyük bir hata katsayısı vermiyorsa, 6

numaralı adıma daha büyük bir α değeriyle gidilir.→ Birden çok iterasyon gerekebilir.



Gecikmeli Kontrolcü TasarımıÖrnek:

İleri besleme yolundaki transfer fonksiyonu aşağıda verilen birim geri beslemeli, H(s) ≡ 1, bir kontrol sistemini düşünelim:

Geçici rejim isteri ζ = 0.45 şeklinde verilmiş olsun.

Buna karşı gelen baskın kapalı çevrim kutubu aşağıdaki gibi bulunur.

s1 = –0.4039+j0.8016 = 0.8976 ej116,74°

P-kontrolcü kullanıldığında, bu noktaya karşın gelen kazanç genlik koşulu kullanılarak aşağıdaki gibi bulunur.

Kalıcı rejim isteri ilgili (hız) hata katsayısının 10 kat artırılmasını gerektiriyor olsun.Bu ister, α = 10 olmasını gerektirmektedir.

5)1)(ss(s1

G(s)++

=

4.183K

5j0.80160.40391j0.80160.4039j0.80160.4039K

5s1ssK 111

=++−++−+−=

++=

Bulunuşu basit bir işlem değil!



j2.24 (K = 30)

(K = 0.107)

ζ = 0.45

İstenen baskın KÇ kutup konumu–0.4039+j0.8016

(K = 4.183)

63.26°


P-kontrolcü ile Denetlenen Sistemin Yer Kök Eğrisi

Gerçek Eksen

San

al E

ksen



Kontrolcü sıfırının konumunu seçelim:

Buradan kontrolcünün kutup konumunu bulalım:

p = z/α = –0.08/10 = –0.008 → αT = 125

Dolayısıyla, gecikmeli kontrolcünün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır:

Geçici rejim isteri olan ζ = 0.45’i sağlamak için baskın kapalı çevrim kutup konumu ζ = 0.45 sönümleme doğrusu üzerinde ve yeni açık çevrim transfer fonksiyonu Gc(s)G(s) için açı koşulunu sağlayan s2 = –0.371+j0.737 (ωn = 0.825 < 0.8976)olarak, diğer iki kapalı çevrim kutupları ise –5.18 ve –0.0881 olarak bulunur.

Orijine çok yakın olan –0.0881’deki kapalı çevrim kutubunun sistem davranışıüzerindeki etkisi, gecikmeli kontrolcü tarafından –0.08 konumuna eklenen sıfır nedeniyle, ihmal edilebilir düzeydedir.

12.5T 0.080.4039/5)/5Re(sz 1 =→−≅−=≈

0.008s0.08s

10K

125s112.5s1

K(s)G ccc +

+⋅=++=





Gecikmeli Kontrolcü ile Denetlenmi ş Sistemin Kök Yer E ğrisi

Gerçek eksen

San

al E

ksen

San

al E

ksen

Gerçek eksen



Gecikmeli kontrolcünün kazanç Kc değeri genlik koşulu kullanılarak aşağıdaki şekilde bulunur.

Dolayısıyla, kazançtaki gerçek artmaKc/K = 38.85/4.183 = 9.29

dır. Bu da istenen 10 kat’dan % 7.1 daha azdır.Problemin α için 10’dan daha büyük (10.7 ?) bir değer seçerek yeniden çözümüiçin itetratif bir sürecin ilk adımıdır. Çünkü böyle bir seçim, kazancın 10 kat yükselmesini garanti etmeyecektir ve çözümün tekrarlanması gerekecektir.

Bu problemi, aşağıdaki tasarım isterleri için analitik tasarım denklemlerini kullanarak çözelim.• Hız hata katsayısındaki artma tamı-tamına 10 olsun. → Kc = 41.83• Baskın kapalı çevrim kutup konumu s3 = –0.390+j0.774 olsun.

Bu konumda ζ = 0.45 sağlanmaktadır. Ayrıca, |s3| = ωn = 0.867 konumu s1(ωn = 0.898) noktasına s2 (ωn = 0.825) noktasından daha yakın olduğundansağlanması daha zor bir isterdir.

38.850.08s/0.008s5s1ss10K 22222c =++++=




Çözüm:

Bu değerler analitik tasarım denklerinde kullanılırsa:

α = 10.31

ve

oo

116.75β&0.867s0.867ej0.7740.390s 3j116.75

3 ==⇒=+−=

o

o

178.03ψ&10.48))H(s(sGK

10.48e5)1)(s(s41.83/s))H(s(sGK

33pc

j178.0333333pc

−==→

=++= −

27.6)178.03.48)sin((0.867)(10

)178.0316.7510.48sin(1)sin(116.75

sinψ))H(s(sGKs

ψ)sin(β))H(s(sGKsinβT

33pc3

33pc =−

++=−+

=o

ooo

284.6)178.030.867sin(

)16.7510.48sin(1)178.03sin(116.75sinψs

sinβ))H(s(sGKψ)sin(βαT

3

33pc =−−+−=

−++

=o

ooo

0.00351s0.0362s

4.06284.6s127.6s1

41.83(s)Gc ++=

++=



İlerlemeli-Gecikmeli Kontrolcü TasarımıEğer kapalı çevrim sistemin hem geçici rejim hem de kalıcı rejim yanıtında bazıiyileştirmeler isteniyorsa, hem ilerlemeli hem de gecikmeli kontrolcü beraber kullanılmalıdır.

Bu tür bir kontrolcünün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir.

1β,1α0,sβT1

sT1sαT1

sT1K(s)G

2

2

1

1cc ><<

++⋅

++=

• α ve T1 parametreleri kontrolcünün ilerlemeli kısmıyla ilgilidir ve sistemin istenen bir dominant kapalı çevrim kutup noktasında geçici rejim yanıtıyla ilgili isterleri karşılamak üzere seçilir.

• β ve T2 parametreleri ise, kontrolcünün gecikmeli kısmıyla ilgilidir ve Kc ile birlikte sistemin kalıcı rejim yanıtıyla ilgili isteri sağlamak üzere seçilir.



Sorularınız

kontrol sistemleri tasarımımakted.org.tr/wp-content/uploads/kaynaklar/kontrol_bep/... ·...

Documents