УДК 519.272

КОНТРМОНОТОННЫЕ СИСТЕМЫ В АНАЛИЗЕ СТРУКТУРЫ МНОГОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

МУЛЛАТ И. Э .

(Таллин)

Ставится задача выделения сгущений в многомерном пространстве \ измерений на основе векторного критерия качества. Для поиска реше­ний используется специальная параметризация функций, при которой с увеличением значений параметров значение функций во всей области определения уменьшается.,

1. Введение

Анализ структуры распределения плотности измерений в тг-мерном пространстве — традиционная тематика исследований в таких приклад­ных областях, как планирование эксперимента [1], анализ изображений [2], анализ принятия решений [3], распознавание образов [4] и т. д.

На содержательном уровне структура распределения обычно представ­ляется совокупностью сгущений, которые иногда называются также мо­дами [5]. Анализ подобной структуры, если не явно, то косвенно, почти всегда сводится к вариационной задаче оптимизации — максимизации какого-либо скалярного критерия качества, оценивающего выделяемые сгущения. Вместо скалярного в данной работе используется векторный критерий, а в основу понятия оптимальности положено так называемое равновесное состояние в смысле Нэша [6].

Правомерность подхода с позиции состояния равновесия к анализу структуры распределения плотности измерений в тг-мерном пространстве объясняется тем, что здесь по существу происходит замена одной много­мерной многими «почти одномерными» задачами в проекциях на оси координат. На каждой оси сгущение выделяется так, что оси «увязы­ваются» между собой строго определенным образом: сгущение на данной оси нельзя «сдвинуть в сторону» без какого-либо ухудшения сгущения на других осях в смысле рассматриваемого критерия при условии, что эти другие уже фиксированы.

Преимущество предложенного подхода не исчерпывается указанной «технической подробностью» замены одного многомерного пространства одномерными проекциями. Дело в том, что состояние равновесия, выде­ляемое при помощи используемого векторного критерия, параметризиру-ется так называемыми порогами, которые задают уровни плотности сгу­щений. По крайней мере в некоторых частных случаях состояние равно­весия как решение системы уравнений можно аналитически выразить в форме функций порогов и тем самым полностью обозреть выделяемые сгущения в спектре возможных уровней плотности.

Предлагаемая теория выделения сгущений плотности измерений в тг-мерном пространстве излагается в двух частях. В первой части (раз­дел 2) теория не выходит за рамки обычно применяемых представлений о функциях многих переменных и заканчивается записью системы урав-

167

нений —той самой, решение которой в форме функций порогов позволя­ет обозреть выделяемые сгущения. Во второй части (раздел 3) теория оперирует уже более богатым классом измеримых функций, определен­н ы х посредством класса множеств, представимых на осях координат не более чем счетной совокупностью объединений или пересечений сегмен­тов, В целом конструкция, описанная в этой части, суть так называемой общей контрмонотонной системы; фактически в этих же терминах изло­жена и первая часть о многопараметрических контрмонотонных системах (частный случай).

По форме основной результат второй части ничем не отличается от записи системы уравнений первой части: существенное отличие заклю­чено в пространстве допустимых решений. Если в системе уравнений первой части решение—числовой вектор, то во второй — это уже набор измеримых множеств, заключающих в себе искомые сгущения плотности измерений. Набор измеримых множеств, будучи решением системы урав­нений, служит неподвижной точкой особого рода отображения подмно­жеств многомерного пространства. Указанная особенность используется в итеративной процедуре поиска решений.

2. Контрмонотонные системы над семейством параметров

Монотонная система здесь представляется сначала однопараметри-яеским, а затем многопар&метрическим семейством функций, определен­ных на действительной оси. Подобное представление является частным случаем более общей монотонной системы, описываемой в следующем разделе.

Рассматривается однопараметрическое семейство функций я (х; h), определенных на действительной оси, h — параметр. Для определенности отдельный экземпляр я из указанного семейства считается интегрируе­мой по х и дифференцируемой по h функцией. Семейство функций л, на­зывается контрмонотонным, если оно подчинено условию: для любой пары величин I и g, таких, что Kg, выполняется неравенство \.

п(х; 1)>п(х; g)

для любого х. s

Схема задания многопараметрического семейства функций я сводится к следующему. Вместо одной функции я рассматривается вектор-функ­ция я=<Я1, я 2 , . . . , я„>, каждая /-я компонента которой — экземпляр функ­ции, зависящей уже от п параметров hu h2l..., hn, т. е. я,=я 3(#; hu fe2,... p.., Условие контрмонотонности для любой пары векторов Z = * = < Z i , . . . , Z n > и g=<gi , . . . ,£ n >, таких, что k<gk ( Л = 1 , 2 , . . . ,7г), записы­вается в виде гг неравенств

ttj(x; lu Z2, . . . , ln)>nj(x; gu g 2 , . . . , gn).

Заметим, что данное условие строго определенным образом связывает покомпонентное частичное упорядочение вектор-параметров с семейством вектор-функций.

Особое место в работе уделено случаю так называемого развязанного многопараметрического семейства функций я. Семейство называется развязанным, если /-я компонента экземпляра вектор-функции я не зави­сит от /-й компоненты вектора параметров h т. е. от hjt Следовательно, \ экземпляр функции я развязанного многопараметрического семейства за­писывается в форме щ (х; hu . . . ,/V-ь hj+i,..., hn) ( / = 1 , . . . , n).

Вернемся теперь к исходной задаче анализа многомодального эмпи­рического распределения в многомерном пространстве. Исследуем сна­чала случай одной оси (одномерное распределение). 168

Пусть р (х) — плотность распределения точек на оси х. В качестве контрмонотонного семейства я можно выбрать, например, функции п(х; h)=p(x)h. Несложно убедиться, что условие контрмонотонности выполнено.

Рассмотрим следующую вариационную задачу. Требуется по задан­ному извне порогу и0 максимизировать функционал

+л

П(к)= J [n(x;h)-u°]dx. —h

Очевидно, что при малом h величина 11(h) мала из-за узости области интегрирования, а при большом h — из-за условия контрмонотонности. Следовательно, значение max П (h) обязательно достигается при некото-

h ром конечном h° не равном нулю.

Легко заметить, что если р (х) — одномодальная функция плотности распределения с математическим ожиданием, равным нулю, максимиза­ция функционала 11(h) означает выделение интервала на оси х, соответ­ствующего концентрации плотности р(х). Если же р(х) имеет более сложный вид, то максимум 11(h) задает интервал, в котором сосредоточе­на «существенная» в определенном смысле часть плотности распределе­ния р(х).

Непосредственно из вида функционала 11(h) выводится следующее необходимое условие локального максимума (равенство нулю производ­ной по h): —11(h) = 0 и л и в развернутой форме в виде уравнения

dh

(1) n(-h;h)+n(h;h)+[ П\Х;У)Л dx=2u\ —h

Среди корней данного уравнения обязательно присутствует тот, на котором достигается глобальный максимум 11(h). Тем самым проблема поиска точек центрального сгущения плотности на одной оси в терминах контрмонотонного семейства функций исчерпывается.

Для поиска центральных сгущений многомерного распределения в пространстве тг измерений воспользуемся понятием многопараметрического контрмонотонного семейства функций я. Пусть семейство функций я в векторной форме представлено, скажем, в виде Uj(x; hu ..., hn) =Pj(x)h

?

где й= jjH feft, а р^(х) — проекция многомерного распределения на ось /, h=l

В указанном случае качество выделяемого центрального сгущения оцени­вается многомерным (векторным) критерием П=<Пи . . . , Яп>, где

Ч

(2) ЯДА^Ла, . . . Ж ) = J [n(x\hu ... ,hn)—u3]dx, -*/

щ — компонента соответствующего многомерного вектора порогов щ зада­ваемого извне: и=(ии и2,..., ипУ. Разумеется, что так же, как и в одно­мерном случае, пользоваться данным функционалом имеет смысл лишь для распределений р3(х) с математическим ожиданием, равным нулю.

Коль скоро качество выделяемого сгущения оценивается векторным критерием, требуется из известных [7] принципов векторной оптимизации отобрать приемлемый. При этом желательно одновременно указать и спо­соб нахождения экстремальной точки в пространстве параметров. Оказы­вается, что для так называемого оптимального по Нэшу состояния рав­новесия существует простой способ поиска решений по крайней мере в развязанном семействе контрмонотонных функций я.

im

Ситуация равновесия (точка Нэша) в пространстве параметров / г = = </&!,..., кпУ с критериями Д, определяется как такая точка /г*= = < / V , h2,..., hn*y, что для каждого / выполняется неравенство

при любом значении h$. Другими словами, ситуация равновесна, если на одной оси / нет разумных оснований в смысле критерия Я, сдвинуться по параметру hj при условии, что на остальных осях величины / V зафикси­рованы, кФ].

Очевидно, необходимое условие на точку Наша в пространстве пара­метров (так же, как и в одномерном случае) состоит в равенстве нулю

Ь частных производных, т. е. в выполнимости п равенств— Щ ( /V, , hn*) = 0 .

дщ . . - . . ¥

Достаточным является выполнимость п неравенств — - Я Д / г Д h2% . . . , / г п *)< dh?

< 0 .

Важно, однако, что необходимое условие (равенства) приобретает для развязанного семейства контрмонотонных функций более простой вид, чем это имеет место в общем случае. Действительно, в силу развязанности семейства я частная производная дП/dhj тождественно равна нулю и си­стема уравнений (см. (1) по аналогии) относительно искомой точки h* сводится к виду

(3) -Jtj (-А*; hu ..., htd-u hj+u ..., hn) +

+Jtj (.%,;' hu / V i , h j + l l . . . , hn) =2u5.

При этом достаточное условие для любого решения h* уравнений (3) выполняется автоматически.

В заключение выпишем систему уравнений для двух частных случаев развязанного семейства контрмонотонных функций я.

1. Пусть щ(х; / г £ , . . . , • fcj-i, fej+i,..., hn)=pj(x)G-h', где G=hi+h2+ . . . .+ /г п . Тогда система уравнений (3) сводится к виду

2. В качестве щ(х; А 4 , . . . , /Vj-i, hj+u ..., hn) можно принять функцию

Pi(х)(х)*2... pHi(х)h^pj+i(x)h^ ... pn(x)h\

Система уравнений (3) для поиска решения — ситуация равновесия h* (точка Нэша) — записывается следующим образом:

Р(~h)/р,{-h)hi+p(fy)/р,(hi)н>=2щ ( / = 1 , . . . , п),

где р(х) =Pi(x)hl>pz(x)h2. ..pn(x)hn — произведение одномерных плотностей. Выскажем, наконец, важное замечание, касающееся вектора порогож

и=(ии и2,.. .\ипУ. Несложно сообразить, что каждая компонента h* си­туации равновесия Л* является функцией порогов и h* представляется век­тор-функцией порогов в форме h*=h*(uu и2,... ,ип). Если решение си­стемы уравнений (3) удастся выразить аналитически, то тем самым от­крываются богатые возможности обозрения ситуации равновесия в прост­ранстве параметров и, как следствие, возможность выбора «приемлемого» сгущения в спектре имеющихся плотностей измерений в многомерном пространстве порогов. Аналогичный подход можно применить, если реше­ния уравнения (3) отыскиваются численными методами.

170

3.' Контрмонотонные системы над семейством сегментов

Многопараметрическое семейство контрмонотонных функций, приме­ненных для целей анализа многомерных распределений, имеет, к сожале­нию, один существенный недостаток. Вообще говоря, ничем нельзя гаран­тировать выделение однородных сгущений распределений в проекции на оси /, поскольку в сегменте [ — h h h3] могут оказаться несколько разли­чающихся мод. В то же время иногда желательно выделение мод путем указания всего семейства сегментов, в которых каждая мода содержится в отдельности. Предложенная ниже конструкция расширяет возможности решения подобной задачи, естественным образом дополняя контрмонотон­ные системы предыдущего раздела.

Итак, на числовой оси рассматриваются подмножества, представляе­мые не более чем счетной совокупностью операций объединения, пересе­чения и разности сегментов. Класс всех таких множеств обозначается через В, а каждый представитель — множество Я<=В (называемое в даль­нейшем ^-множеством) различается от подобных ему множеств с точно­стью до длины jx (до меры ноль). Множество L совпадает с G (L=G), если мера симметрической разности GAL равна нулю (\iGAL=0); множе­ство L включено в G (L^G) по мере JLI, если выполнено \xG\L=0. Мера на числовой оси, будучи аддитивной функцией множеств (длиной), опреде­ляется посредством предельного перехода длин множеств в совокупности объединений, пересечений и разностей сегментов, составляющих В-мно-жество. Далее теоретико-множественные операции над В-множествамй будут пониматься с точностью до меры ноль. Согласно принятому согла­шению, все В-множества меры ноль не различаются.

Каждому В-множеству Я поставим в соответствие неотрицательную функцию п(х; Я) , измеримую по Борелю (или просто измеримую), с об­ластью определения на числовой оси 1. Другими словами, по сравнению с однопараметрическим семейством контрмонотонных функций предыду­щего раздела понятие параметра h обобщается: параметр расширяется до В-множества Я. Семейство измеримых функций я, так же, как и ранее, будем называть коитрмонотонным, если оно подчинено условию: для лю­бой пары множеств L и G, таких, что L^G, выполняется неравенство

л(х; L)>7t(x; G)

для любого х. Схема задания многопараметрического семейства функций аналогична

уже рассмотренной. Вместо скалярной функции я задается вектор-функ­ция я=<Я1, я 2 , . . . , яп>, каждая у-я компонента которой — экземпляр функ­ции, зависящей уже от п параметров Ни Я 2 , . . . , Нп (В-множеств), т. е. Ttj—Tijix; Ни ..., Я п ) . Условие контрмонотонности вновь сводится к тому, что для любой пары векторов (упорядоченных наборов В-множеств) вида L=<LU ..., Ln> и G=<GU . . . , Gn>, таких, что Lh^Gh (&=1, 2 , . . . , тг), вы­полняется тг неравенств2

7ij(x\ L i , — ,Ln)>7tj(x; Gi,—, Gn).

Данные неравенства строго определенным образом связывают частич­ное упорядочение наборов В-множеств с семейством вектор-функций я.

В случае развязанного семейства контрмонотонных функций, когда /-я компонента экземпляра вектор-функции я не зависит от параметра Я,-, В-множества на /-й оси определения функции nh эта компонента щ век­тор-функции я записывается как я^=я^(^; Ни Я 2 , . . . , Я п ) .

4 Функция я (х; Н) измерима по Борелю, если для любого числового порога »° множество всех тех я числовой оси, для которых п(х; Н)>и°, измеримо: {х: я(х; Н)>и0} есть В-множество.

2 Здесь х — точка на оси /. Этот факт используется везде без какого-либо на­поминания.

171

Обратимся теперь, повторяя порядок изложения раздела 1, к исходной задаче анализа структуры многомодального эмпирического распределения в многомерном пространстве. Исследуем сначала случай одномерного рас­пределения.

Пусть р (х) — плотность распределения точек на оси х. Выберем в ка­честве контрмонотонного семейства функций я функции вида я (х; Я) —

^p&)F{H\ где F(Я) = J p(x)dx- вероятность попадания случайной: вели­

чины в В-множество при распределении плотности вероятности по закону р(х). Очевидно, что условие контрмонотонности выполнено.

Рассмотрим вариационную задачу. Требуется по заданному извне по­рогу и0 (0^и°<1) максимизировать функционал

Интеграл здесь понимается в смысле Лебега по мере jx, где, как уже отмечалось, [х — длина В-множество на оси х.

Очевидно, величина Я (Я) как функция длины \х (меры множества Я) сначала возрастает, а затем при {хЯ->°о обращается в ноль ввиду условия контрмонотонности семейства функций я. Следовательно, значение max Я (Я) обязательно достигается на некотором В-множестве конечной

меры fx (см. аналогичное утверждение в разделе 1). Непосредственно из вида функционала Я (Я) невозможно столь про­

сто вывести какое-либо условие максимума по сравнению с подобным же условием предыдущего раздела (уравнение (1)) . Для этого потребовалось бы разработать понятие «виртуального перемещения» от В-множества Я к близкому в каком-то смысле множеству Н с тем, чтобы определить не­обходимое условие максимума. В силу сказанного случай одномерного распределения опускается из дальнейшего рассмотрения. Тем не менее, как это будет показано ниже, для многомерного распределения существу­ют средства, позволяющие отыскать В-множество, доставляющее макси­мум функционала Я (Я) по крайней мере в случае развязанного семейства контрмонотонных функций.

Как и в предыдущем разделе, оценим качество выделяемого централь­ного сгущения многомерным (векторным) критерием Я=<Я 1 , Я 2 , . . . ,Я П >:

где щ — координата соответствующего многомерного вектора порогов и, задаваемого извне; и=(ии к 2 , и п У .

Здесь следует обратить внимание на то, что по сравнению с аналогич­ным многомерным критерием раздела 1 данный функционал уже имеет смысл для произвольного распределения, а не только для центрированно­го условием равенства математического ожидания нулю. Желаемое сгу­щение в многомерном пространстве будем опять искать в виде ситуации равновесия по векторному критерию Я=<Я 4 , Я 2 , Я п > . Сгущением счи­тается набор В-множеств Я*=<Я1*, Я 2 * , . . . , Яп*>, такой, что для каждо­го / выполняется неравенство

В развязанном семействе контрмонотонных функций оказывается воз­можным (так же, как это оказалось в многопараметрическом случае, см. уравнение (3)) отыскать ситуацию равновесия. Ситуации равновесия

н

. . . , Я 3 - 1 ? Hh Hj+i1. . . , Нп*) <

<Щ(НГ,'...,Вп<) ( / = 1 , . . . , п).

472

отыскиваются при помощи специальной техники отображений В-мяо-жешв на числовых осях.

Определим следующий тип отображений В-множеств на числовых осях:

\Г,(Н,)={х: щ(х\ Н3)>щ}, где щ — порог, присутствующий в выражении для функционала Пд

( / = 1 , 2, . . . , т г ) . В векторном виде определенные п отображений записы­ваются единообразно в форме

V(H) = {x:n(x; Н)>и}.

Здесь # = # i X # 2 X . . . ХЯ П — прямое произведение множеств Н3. Назо­вем неподвижной точкой отображения V(H) множество Я% для которого выполняется равенство V (#*) =Я*.

Теорема 1. Для развязанного семейства контрмонотонных функций я неподвижная точка отображения V(H) порождает ситуацию равновесия по векторному критерию П=<Пи ... , Я п>. Доказательство теоремы про­стое. Действительно, вследствие независимости тс3 ОТ параметра Н, вид

функции п3(х; ЯД . . . , Н^\, Я ^ , , . . . , Нп) не зависит от Н3. Кроме того, множество Я*==Я1*ХЯ2*Х . . . ХНп* в проекции на ось / вырезает множе­ство Я / , состоящее исключительно из всех точек я, для которых яД#; Я / ) > >щ Нз*—{х: щ(х; Н?)>щ}. Теперь уже очевидно, что при любом H3t от­личном от Я / , значение функционала ЯДЯД. . . , Я,, Яп*) при фикси­рованных множествах Hh* {кФ]) может оказаться разве лишь меньше ве­личины Яд-(ЯД . . . , Я / , . . . , Нп*).

Таким образом, представляет интерес найти неподвижные точки по­строенных отображений В-множеств.

4. Методы нахождения состояния равновесия для развязанных семейств контрмонотонных функций

Далее существенно используется свойство контрмонотонности функ­ции я. С целью облегчения восприятия формулировок и утверждений ниже используется язык диаграмм, отражающих структуру отношений в строящихся отображениях В-множеств, а именно знаком обозначает­ся отношение «множество Х 4 включено во множество Х 2ж Х^Х2.

Все диаграммы отношений между В-множествами основываются на следующем утверждении: из отношения Х^Х2 вытекает (как следствие условия контрмонотонности функций я), что V(Xi)^-V(X2).

Пусть теперь отображению V подвергается исходное пространство Tf-осей, на которых определены функции я,- (/=1, 2 , . . . , п). После того как получен образ V(W), вновь производится отображение F, прообразом ко­торого служит В-множество V(W), т. е. рассматривается образ VZ(W) и т . д. Указанным образом строится цепочка В-множеств W, V(W), "P(FF),. . . , которая названа центральным рядом контрмонотонной си­стемы.

Непосредственно из высказанного выше утверждения выводится сле­дующая диаграмма включений В-множеств центрального ряда:

W *-V (W) ~*V2 (W)«- V3 (W) - » F 4 (W) « - F 5 (W)...

Т I Г J т Из диаграммы видно, что в центральном ряде существуют две монотон­

ные цепочки В-множеств: одна сужающаяся, а другая расширяющаяся. Монотонно сужающаяся цепочка В-множеств — это последовательность T24W)^Vi{W)^-... с четными степенями отображения V. Монотонно

возрастающая цепочка — это последовательность У (W) ->F3 (W) -> -*~V5(W) . . . с нечетными степенями отображения F.

Известно [8], что монотонно убывающие (возрастающие) цепочки в классе S-множеств всегда сходятся в пределе к множествам того же класса/Так, пределом множеств V2h(W) с четными индексами служит

пересечение L=()V2h(W), а пределом множеств Vzh~l(W) с нечетными

индексами — объединение G=[] V24"1 (W). '.' • k=i

Теорема 2. Для центрального ряда контрмонотонных систем всегда справедливо включение L^G предельного В-множества L четных степеней отображения V (X) в предельное В-множество G нечетных степеней того же отображения. Утверждение теоремы непосредственно выводится из диаграммы включений центрального ряда.

Продолжим теперь временно оставленное в стороне обсуждение задачи поиска неподвижной точки отображения В-множеств, которое, согласно теореме 1, порождает ситуацию равновесия по векторному критерию П, В контрмонотонных системах, как правило, справедливо строгое включе­ние L^G предельных В-множеств в формулировке теоремы 2. Равенство L=G означало бы, что центральный ряд сходится в пределе к единствен­ному множеству — неподвижной точке. Ввиду исключительности равенст­ва L=G ниже приводится «более уточненная» процедура, которая уже в ряде случаев, представляющих практический интерес, приводит к желае­мому результату — решению уравнения V(X) =Х.

Процедура решения уравнения V(X)=X. Осуществляется рекурсив­ное порождение цепочки В-множеств H0l Ни . . . согласно следующему пра­вилу. Пусть в цепочке уже порождено множество Hk (множество Н0 — лю­бое В-множество конечной меры). Воспользовавшись отображением V (X), образуем следующие В-множества:

F [ F 2 № ) U F № ) ] , V[V(Hk)mh], V[V(Hh)[}Hk], V[V2(Hk)nV(Hk)h

которые по порядку обозначаются через L2, Gh, Lk, Gk

z. В силу контрмоно­тонности семейства функций к оказывается, что Lk

2 — подмножество Ghf

a Lh — подмножество Gk

2. Отобрав любое Ал из условия Lk

2<=^Ak<=Gk, а за­тем Bh из аналогичного условия LAc:Bfec=Gft

2

7 положим следующее за Hk

множество Hh+l в строящемся ряду В-множеств равным AkUBk: Hk+i=^ =Ah\)Bk. Выбор множеств Ak и Bh можно, например, осуществить по пра­вилам отображений в классе В-множеств, а именно:

Наложенные на Ak и Bk условия окажутся при этом выполненными. Теорема 3. Для того чтобы в ряду множеств V{Hh) существовало пре­

дельное множество V(H*) при fe->°o, которое при этом оказалось бы реше­нием уравнения V{X)=X, достаточно выполнения двух условий:

а) l im fxG f e \L f e

2 =0, ft-*- оо

б) l i m nGk

2\Lh=0. h-*-co

Ход доказательства ^егко усматривается из следующих ниже диаграмм

174

включений — следствий свойства контрмонотонности функций я, а именно:

A . y 2 № ) - 4 2 - > G f t - F № ) ,

Б. V(Hk)+-Lk-+Gk

2+-V2(Hk). Диаграммы А и Б приводят к заключению о справедливости двух це­

почек: 1. У 2 ( Я А ) \ У ( Я , ) - У 2 ( Я , ) \ С ^ 2 \ ^ , 2. У ( Я , ) \ У 2 ( Я , ) - 7 ( Я , ) \ & 2 ^ Л ^ 2 .

Первая цепочка приводит к заключению, что для предельного множе­ства Я* ряда Я 0 , Я 4 , . . . выполняется равенство \iV2(Hk)\V(H*)=0, т. е. V (Н*) ^V2 (Н*); вторая цепочка —к противоположному соотношению: V2(H*)^V(H*). Таким образом, У (Я*) — решение уравнения V(X) = ==Х:V(V(H*))=V{H*). Разумеется, условия теоремы достаточны для су­ществования решения уравнения V(X)—X и их отсутствие отнюдь не от­рицает какого-либо иного способа поиска решений, если таковые вообще имеются.Ведь не исключено, что решений Я* уравнения V(X)=X может и не оказаться.

ЛИТЕРАТУРА

1. Финни Д. Введение в теорию планирования экспериментов. М.: Наука, 1970. 2. Розенфелъд А. Распознавание образов и обработка изображений с помощью вы­

числительных машин. М.: Мир, 1972. 3. Фишберн 77. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978. 4 Айзерман М. А., Браверман Э. М., Розоноэр Л. И. Метод потенциальных функций

в теории обучения машин. М.: Наука, 1970. 5. Распознавание образов в социальных исследованиях: Сб. статей/Под ред. Заго-

руйко Н. Г., Заславской Т. И. Новосибирск: СО А Н СССР, 1968. 6. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971. 7. Becker G. М., McClintock С. G. Behavioral Decision Theory.—Annual Review of

Psychology, v. 18. Stanford (California), 1967. 8. Шилов Г. E., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная. М.: Наука, 1967.

Поступила в редакцию 9.VI.1980

COUNTER-MONOTONE S Y S T E M S IN A N A L Y S I S O F MULTIDIMENSIONAL DISTRIBUTION S T R U C T U R E

MULLAT I. Б.

The problem is stated of identifying condensations in a multidimensional space of measurements by using a vector-valued performance criterion. Solution are sought through a function parametrization whereby the values of functions decrease in the entire domain against the parameter values.

175