Results in MathematicsVol. 21 (1992)

0378-6218/92/040355-13$1.50+0,20/0(c) 1992 Birkhauser Ver lag, Basel

K.onstruktion von Translationen in sch.aeh alfinen Oeometf'ienmit Hilfe sch.ach affine r Relative

Andreas Kopp

EinJeitung

In Arnold [4J wud erne syno nyme Algebra1slerung der in Sperner [5] eingefilh rten echwechaffinen Oeometrlen (vgl. Definition 1.2) durcb elne xt esee zwelsteillg er Relatlve (sog.scbwach affin e Reiatlve , vgl. Definition 1.3) angegeben (siebe dazu auch Arnold [2J, [3] ).

Synonym bedeulet dabei , daB zwel Zuordnungsverfahren von der Klesse der ecbwech affln enGeometrlen zur Klasse der sc::hwach affln en Relative und umgekehrt extstterea, wobei dieHlnterelnandeuusfiihrung der belden Verfahren jewens zur Ausgangsstruktur zun1ckfuhrt. Inder vorliegenden Arbelt wtrd untersucht , welche Bedingungen ein schwach affin es RelatlverfQllen muB, damit die Menge der Translatlonen der zugeh6rlgen schwach affinen Geome­trie eine transtuv auf der Punktmeng e operi erend e Oruppe bildet. Unter elner Translat ionetcer schwach aUlnen Oeometrle vers teben wtr elne fixpunktfrele Dilatation, die elneParallelk.luse von Oeraden a1s Fixgeradenschar besitz! (zentraJe Translatlon en 1m Sinne vonAndre [I)).

Der synonyme Zusammenhang zwischen den sc::hwach affln en Oeometri en und den sc::hwaehafflnen Relatlven gestatt el ee, die Begrlffe Dilatation und Translation einer ecbwech affin enOeometrle in der Sprache der sehwach affinen Relative zu definieren . Die Arbeit mit dreeenBegrlUen wtrd dano sowob! von der geometrlschen Heuri.stlk als aueh von der formalalgebraisehen Heurlsik der Relative untentutzt.

1m enten Paragraphen dieser Albeit wird zunich.!t der Begr lff des z enuume ernes sehwachaIfinen Relativs als Oberbegrlff fur die Dliatalionen eingefOhrt. Das Ze ntrum besteht eusallen Abbildungen der Punktmenge des Relativs in aich, die, wenn man sie als blnueRelatlon en auUaBt, bezOgllch des Relatlonenprodukts mit allen ReJatlon en des Relatlvsvertausehbar sind. Die blJektiven Elemenle des Zentrums werden als Dllatatlonen des sehwach

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affinen Relallvs bezelchnel. Sic erwetsen slch in del zugeb Orlgcn schwach airmen Geometricala Inzidenztreue Bijektlcnen auf der Punktmenge, die jeee Oerade g luf cine zu g pualleleOerade abbllden. Ole Dilatation en etnes schwaeh airinen Relatlvs splegeln aLso gcnau denklMSlsehcn Begriff del' DU.tation etcee (schWllCh) aWnen Geometric wieder. Aueh delBegriff Translation 1.IB1 51th lelchl In del Sprache der schwach ailmen Relative dcflnleren(vgl. Definition l .tO, Satz 1.11).

Bekanntllcb bl cine &fnoe Geometric gcnau dann IranslalionatrllIl:lltlv, wean In Ihr de,

ldeine arfine Satz von De.sargues gill. Es wild daher bel der Kowtruktion von Translatlone nIn schwach afflnen Relallvcn danu! anlr.ommen, tin dem klelnen aflinen S.tz von Desarguesentsprechendes Zusatzaxiom zu find en . Da die Sprachc der zwebtelligen Relative zur Formu­!lerong elnfacher Rechenregela fQ.r geometris<:he ScbUeBungssllze DIehl geelgnel enehelnl(alehe aueh Arnold [4]), erweltern wlr die Spraehe, lndem wit im zwelren Paragraphen ausden Relallonen etaee ecbwech afflnen Relal1vs 3Og. 2X2-slelllge Reiati onen auf derOrundmenge abiellen. In Paragraph drei wltd mJtteb dieser 2x2-sleIllgen Relatlonen dasZusatz.axlom (R8) fOl lIChwa<:h affine Relative angegeben, das zusammen mil der Para1lelo­grammschlieBunpbedingung (R7) und gewlMen Relchhaltlgke llllbedIngungen die Trawlatlons­Iransil lvllli der lIChwa<:h affln en Oeomelrle gewlhrlebtet.

1. ZweilteIIige sdwach affine Relative

1.1 Bczcieh.w.gcD.

(a) Ist 'P erne beUeblge Menge, so bezejchnen wit lhre Potenzmenge mil Pot('P). BlnlreRetallonen auf 'P sind Elemenle von Pot(S)) x 'P). lsi 0: e Pot(S)) x 'P) c ine Relation, 30verwenden wit ansteUe von (X, y) e 0: aueh die Sehreibwebe XO:Y.

(b) Sind X, J8 e Pot('P x 'P) ewet blnlre Relationen, so verstebeu wit unt er demRelatfonmprodukr von K und J8 die wte Iolgt deflnlerte Retallon X 0 J8:

X(K 0 J8)Y :.. 3Ze 'P: XllZ A ZJZlY.

(e) Die zu eln er Relation 0: Invtrl~ Relation wird mil 0: bezeiehnet: XO:Y :.. YO:X.

(d) Unter dem N adrlH!rt ldt etner Relatlon 0: bezQgllcb eln es Punkte;, A E 'P verstebe c wir

die Menge AO: :. IX E 'P I AO:X).

(c) Abblldungen a: 'P ..... .IJl werden In dlese r Arbelt gemiB XaY :4* Xe • Y ab blnlreRelationen aufgefaBt und kllnnen als sotcae dureh des Relatlonenprodukt mit and erenRelallon en auf .IJl verknOpft werden. Die Identtsche Abblldung Id"P wlrd dllbe i mil derOleichheitMelatlon 0 : . leX, X) I X E "PI auf 'P Ident lffziert .

1.1 Deflllilioll.

(a) Unter eraer sdtwadl aft/flO! Ckomtt rlt verstehen wir e ln Quadrupel ("P, ~, E , n>

Kopp 357

bestehend aus

1. eteee Menge I)) • lA, B, C, .. .1 :I: 0 von 'Punkten",

2. ein er Menge 0 • la, b, e, ...1 C Pot(l))) von "Oeraden',

l . der mengentheorenseheu Elementbeziehung al.! "Inzidenuelatlon",

4. elner 'ParaileJenrelation" I c Pot(0 X 0),

filr du die folgenden Axlome gelten:

(At ) (Exbttm WId Elndtutlgkdt de' VtTbl~BtTlldtll)

Zu je zwel versehledenen Punkten A, B e sP e:xbllert geneu etne Oeradeg e 0 mit der ElgelUChaft A, B Eg. Dlese Gerade w1rd mil gAB bezelehnet.

(Al) Auf jeder Oeraden g E 0 lIegen mlndeatens ewet versebledene Punkte A, B e .!J'.(Al) Die Para1lelenrelatlon B lst erne Aqul~enuelatlon auf t!l.

(A4) (Euklldlldtu PllrlllltltnpOltulat)Zu jedem Punkt A E sp und jeder Oer aden g E 0 ex1sllert genau eln e Oeradeg' E (!)mIl A E g'undg'" g.

(b) Eine schwach affin e Oeometrle (.!J', 0 , E, II) w1rd a1s afflM Gtomttrlt bezel chnet, wennsle 2.usaAt:zlleh zu (AI) - (A4) noeh d&'l folgende AxIom (AS) edOllt:

(A S) (Ex b ttm porlll1tlahnllchtT Drelecb)

Sind A, B, C e .!J' dre ! paarwebe verscbiedene Pun kte und sind N , B' E .!J' zwe! vet­schledene Punkte mit gAB I gA'B' , so glbt es efnen von A' und B' versehiedenen

Punkt C' E sp mit gAC I gA'e' und gBC n 8B'C' .

1.3 DenallloD.

(_) Wit epreeb en von elne m sdrMxh ll/flrttrl Rtllltiv (SP, R), wenn gegeb en sind :

1. elne Menge sP • {A, B, c, ..J * 0 ,

2. erne Meng e R • (X, 18, (t, . . J C Pot(1)) )( 1))) \ {!ZIJ von blnlren Relatlonen mitC .. I(X, X) 1 X E SPI e R ,

und wenn die folgenden Axlome gelten:

(Rt ) Zu je ewer (nleht notwend lg verse hledenen) P unkten A, B E .!J' gibl es genau ern eRelallon II e R mit A<tB. m ese Relation wird mil II • AD bezeichnet.

(Rl) Die Relatlonen eus R sind llnbtotal, d. h. 2.U jedem (t e R und jedem A E I)) glbtes eln B el)) mil AilS.

(R3) Ole Relallone~ aus R sind symmetrlseh, d. h. jede Relati on <t E R bt mil Ihrer Inver-sen Relation II Identbch.

(R4) Fllr jede.s II E R gilt II 0 (t C II u C .

(b) Eln schwaeh affln es Relatlv (1)) , R) witd a1s afflnu Rdlllfv bezelchn et, wenn In Ihm an­stelle de.s AxIoms (Rl) sogar das stlrkere AxIom (Rl ' ) gill:

(Rl ' ) (Homogmllallrtgtl)

VA,B,CER: AC c AD 0 BC.

358 Kc pp

DaB aus (Rl ') tatdchllch das Axiom (R2) folgt, ergtbt alch folgendermaBen : Jede Relation1( E R lst nlehl leer, ale IiBt 51eh daher Bach (Rt ) fOr geeignete A, 8 E S)) In del FormX .. AB echre tbeu . Mit (Rt) und (Rl') folgl 0 .. AA c AB o SA. FlIt jeden PunktX E l):l folgl daraw wegen (X, X) e f:) die Exbtenz von Y E l)) mit X(AB)Y, d. b. XlIY.

Ole Menge R \ In) wird 1m folgcnden mit R' abgekOnt. h i esp, 0 , E, D> cine ecbwach

affine Geometric, so erhAlt man durch Anwendung des Iolg en den mit "G';' beeeiebeetenverrenrene eln echwech affin es Relallv (SJ), R) .. : (.IJ', 0 , E, U)or.:

Fllr jedes g E 0 deflnleren wtr cine blnlre Relation ( 8) auf 'P gemlB

VA E .I)) VBE l):l: A (S)B :* A * B " gAB U g.

Al3 Relatlonenm enge R des echwecb airinen Relatlvs setzen wir

R :_ (g) I g E (!J) u (ClI.

bt umgekehrt (SP, R ) ein sehwach &ffmes Relativ, so erhlll man dureh Anwen dung desfolgenden mil ' r' bezetchne ten verrebeens erne schwach affin e o ecmeete (.IJ). 0 , E, U) ..:(.ll', R)r :

AI.! Oeradenmenge seteen wir 0 : s lA(l;!; u 0 ) I A e "P f\ It e R-I. Die Para.J.lelenrela­tion II wird Iolgendermaflen defl nlerl:

VAE"P VB e "P VlIe R- \f0eR- : A(lI U Cl) II B(0 u Cl) :~ 11 " m.Die oben genannlen Verfahren « und r stlflen etn en synonymen Zusammenhang zwischenden schwacb affloen Oeometrien und den schwaeh affln en Re lanve u In dem Slon e, daB die

HintereinanderausfQhrung der belden Verfahren Jewell! zur Ausgangsstruktu r zW'Oek!i1b.r1. d.h. ea gilt stets

("P. /!I , E, U)«r '" ("P, /!I , E, n und ("P , R)r o: .. ("P, R).

Ferner 1,,1 ("P, /!I, e . U) gen au dann erne affine Oeometrie, wenn (IP, 0, e, n« eln af­fines Relativ bt. Die afflnen Oeo melrlen und die affinen Relative werden a150 dureh dieVerlahren « und r ebenh lls synonym aufeinander bezog en . FOr die Bewelse dteseeAussagen verwelse n wlr auf Arnold [4] .

1.4 DeflnUloD. Ea se t ("P, R) em 3Cbwaeh efflnee Relettv, dann helflt die Menge

.3(')), R) : = {a: "p ..... "P I VlteR: It 0 a " a 0 It)

des Zcrtnnn von ("P , R).

I. S S. t%. FOr [edes Element 0 des Zentrurns .3( fJ) , R) etnes xhwaeb affinen Relatlvs ge ltendie Aussagen :

(1.1) VAE SP VB e "P 'tit eR: AltB .. (AD)It(Bo ).

(1.2) Die Abbilduog a lsi inJektiv .

Beweb. Es eeleu 0 e .3(1)), R ), A, Be l)) und It e R. Aus Al;!;B folgl mit C : - BaA(1t 0 a)C. Da a e .3{l)), R), gilt A{a 0 It )C. Es glbt also D e .IJ) mil AaD und DIIC. naa eln e Abbildung lsi, muB D .. AD gelten, und wlr erbalten (Aa) II(Ba). Olll nun A * B, so

l a pp 359

folgt far It :_ AB * £) mJl (Rl) It n D _ ¢ und damlt Ao * 80 , abo bt 0 inJekliv.seaee wit nun (Aa)<t(80) voreus, so erhalten wit A(o 0 <t)(80), abo auch A(<t 0 0)(80).

Es gtbt abo E e sp mil AilE und Eo - 80. DI 0 InJektiv bl, muB E _ 8 gelt eu und wit

erhalten AIlB.

1.6 HllfuatL lsi (SP. R) eln schwach afflnes Relatlv uud sind At' ~ e sP, sowte

It ' I~ e R mil Xt * X2, so glll

VXesp VYESP: X, Y E At l t n ~X~ ~ X = Y.

Bcwcu. AUlI (R3) und der Definition de.s Reletlonenprodukts folgt X(XI 0 Xt)Y fib'I - t , 2. Mil (R4) e rbelten wit daraUll X(lt u D )Y fl1r I - 1, 2. Die Annahme X * Yweree daher nacb (Rl ) auf den Wldenprucb II - XY - X~ fl1bren.

1.7 Sat2.. Es se tee (SP , R ) eln scbwach afflnes Relallv mit IR"I ~ 2 und 01' " a e .B(ll', R ).

Olbl es dann zwel veesch tede ne Punkle AI ' ~ e I» mit Alot - At02 und ~Ol - A202,

so gill 0t - o~.

Beweu. Wir ze lgeu zun!ch"t XOl - Xo~ fib' elle X e lJl \ fAt ' A~' mil AtX * At~.Dazu setten wit J! :,. AI~' .181 : - AIX und 02 : - A2X. Wegen (R3) gilt die AUMIlgc

(At ' ~) e .I8t 0 0~. F&.lb IlIt - 1lI~, so folgl wegen (R4), (Rl ) und At * A~ 1m Wlder­apruch zur Wahl von X .181 - J!. Daher muB Jllt * .182 gelten. Mit BI : - Atot - Alo~ ,

1- 1, 2. erhalten wit aUll (1.1) Xol' X02 e 8 tlll tn 8~0~ und mit HUfMatz 1.6 folgl die

8 eb auptung.

Es sei nun X e 'P \ fAt' A2, mit At X - At~' Wegen IR'I ~ 2 und (Rl) glbl ea elnen

Punkt e e 'P \ {AI ' ~I mJt Ale * AtA,. FOr dleses e lst Cot - Co, berelts bewiesenuod XO

t- Xo, folgl nun wte oben mit e eastelle von A2.

1.8 DeffnlUon. & sci ('P, R) eln scbw.ch afflne.s a eieuv. Die surJektiven Elemente desZentrum.s .B(l}). R) helBen Dllata,lonm von (I». R ). Die Menge aller Dilatatlonen von ("P, R )

witd mil .tl('P. R) bezelchnel.

1.9 Sat2.. Elne surJeklive Abbildung 0: "P -+ "P der Puntlmenge ere ee schwach affinen

Relatlw ('P, R) auf sich bl genau dan~ elne Dilatation , wenn sre die Eigenschaft (1.1 )be.sltzt.

Beweu. DaB jede Dllalallon die Eigenschaft (1.1) bealtzt , wurde in Satz I.S bewtesen . E.!se t abo 0 e lne surJekllve Abblldung mil (1.1) . Filr beliebige a: e R und X, Y E 'P folgtdann all! X(a: 0 o)Y die Exbtenz von Z e "P mil XIlZ uod ZC - Y. Mit (1.1 ) schlleB en

wtr (Xo)a:(Zo), abo X(o 0 Il )Y. Damlt gilt zunlclul a: 0 0 C oo It . Aus X(o 0 Il )Y foIgt(Xo)IlY. Da 0 surjektiv bt, glbl es Z e "J' mit ZC '"' Y. also (Xo)Il (ZC). Mit (1.1) erhaltenwIr X<tZ uod ZCY , abo X(lJ 0 a)Y . Damll gilt auch a 0 a: c Il 0 a.

Aus den bebnnlen Recheuregeln fib' du Relatlonenprodukl und die 8ildung der raversen

e lner Relalion folgl , daB (.8('P,R), 0) e lne Halbgruppe und (.D(JP. R), 0) eine Oruppe bl.

360 Kopp

Ublleherwcbe veestebt man unlet' elner Dilatation elner affln cn oder schwach afflnen Geome­tric erne BIJektlon der Punktmeogc auf steh, bel der Jede Oerade 8 punktwetse auf cin e zug parallele Oerade abgeblldel wild. lat a cine Dilatation etaee schwach affln cn Relatlvs("P, R) 1m Sinne von DeHnillon 1.8, so buitzl a bezilgllch der schwach aWnen Geometrle('P, R)7 .. {JP, l.!I. e , I} ereee Eigemchaft, denn man prilfl lelcht nach , daB fill [edeOerade g : _ A(I U (1) e l.!I gilt 80 II: (Ao)(1 U 0). Wit zelgen 1m folgend en , daB JedeDIlatation a etaer schwach affin en Geometric (.1)). l.!I, E, R) bezugll eh des zugeh6rlgenschwach efftnen Relallvs ("P, R) .. ('p, l.!I, E, 1)0: die Eigenschaft (1.1) bultzt und dehernach Satz 1.9 cine nU_talion von (SP, 0 , e, a)a. 1st. Ausaage (1.1) Lsi elcher flchllg fUra; .. C . Es scieD daher A, B e sP und a; E Re. Dann folgt aus AlBA, 8 E g ; - A{a; u Cl). DI go R g, gilt 80' .. C(<t U 0 ) f(lr ete C E JP. Well (t u 0nach (RJ) und (R. ) cine Aqulvalenuelallon bt und wegen Ao E go, gillgo '" (Ao')(ct u 0), also (Ao)(Q; U O)(Bo). Aus Al,tB folgt A * B und Ao * Be, dahermuB (Ao')Q;(Bo) gelten. Wlrd nun umgekehrt (Ao)ll(Bo) vc reusgeeetzt, 30 gilt e tne rsetu

(gAB)o - 8j:Aa)(Ba) - (Ao)«(t U 0 ).

Andecer.seits folgl aus (gAB)o M gAB auch

{gAB)o - (Ao)(AB U 0).

Da K cine Aqulvalenuelatlon bl, echllt man AB - II, abo AQ:B.

1.10 Deft.UloD. Blne Dilatation T etaee schwach affln en Relativs (JP, R) helBt TronrtOJlon

von (1)), R) , wenn gilt

(1.3) 3l,tER : T c It.

Die Menge aller Translatlonen von (JP, R) wlrd mil 1:(1)), R) bezefchnet .

1.11 SatL Elne Dilatation T * 0 - IdJP e tnes schwaeh affinen Relatlvs (I)) , R) lsi genaudann cine TranaJatIon, wean T flxpunktfce l lsi und In (Il' , R)T :- ('P, ~, E , I) diefolgende Aussage gill:

(1.4) 3ge0: Vg'E(!I: g' U g .. g'T C g' .

Beweb. (a) Zunlchst sci C * T EI:(JP, R). Dann gibt C.5 Q; E R mil T c It . WegenT * C folgl mit (Rl) (t * C , also bl T flxpunktfcel. Fllr e taea belleblg gew!hlten PunktA E JP lst g : - A(Q; U C ) E (!I. & sci nun s ' II g und Xe g'. Dann gilt g' .. X(1t U C)und aus XT(XT) foigl XQ;(XT), also XT E g'.

(b) Nun sel T cine flxpunktlcel e Dilatation und g .. A(1l U 0 ) E {1} mit

Vg' E{1}: g' R g .. g 'T C g'.

Wir zeigen T ell, d. h. XQ;(XT) fOr aile X E 1)). Fllr g' :_ X(1l U C ) gUt g' n g, alsog'T C g'. Daraus folgl X(lt U C )(XT) und well T keinen Flxpunkl besltzt, muB XIl(XT)gelten.

SalZ 1.11 zelgt, daB auch dec bier elngef(lhrte Translatlonsbegriff mil dec abneb en DeflnllionObeceI.nstlmml

Kopp 361

1.11 SaIL Es eeten (1)), R) ern schwach affines Relatlv mit IR-I 1 2 und "r- T;1 E 1:.(1)), R) .

Olbt es dann eteee Punkt A E I)) mil ATt - AT;1' 50 gilt T1 - T;1'

Beweb. Es sel B :- AT! _ AT2 und 1 :_ AB. Wegen JR-l 2! 2 glM es X E I)) mit

X * A und m :- AX * I . Es gill Tt , T;1 C X, also XX(X\) und XX(XT;1)' Aus (1.1) folglBm(XT

1) und Bm(XT;l)' Mit Hllfssatz 1.6 uhalten wir XT

t- XT1 und IUS Satz 1.7 folgl die

Behauptung.

2 . 2x2-atellige ReladoneD

1st I)) etee belleblge Menge, 50 setaee wtr fQr alle Xl' Xl E "

(Xt ' xi :- (~~) und (~~)t :_ (Xt' X;1)'

scwte (SP x I)))t : - I(Xt

, xl I (Xt

' Xl) e sP x 1)). Die blnlren Reletioueu auf (I)) )( ,,)1,abo die Elemenle von Pol«1)) x 1)))1 x (I)) x 1)))\ werd ee a.b 2x2-tttltlgt RtfatlOflt1l auf"bezetchnet. Ferner veretnberen wir fQr X C I)) x " und ,18 C (I)) )( I)){

I' ,X :- I (Xl ' Xl) I (Xl ' 'S) E X} C (SP x 1))),

",' . l(~:)1 I (~: ) E"') c 'l' x 'l'

Dill Relane ne nprcdu kt f\lr blnlre Relatlonen ilbertrlgt slch in natilrllcher w etse auf Tell ­meogeo von (.I)) x 1)))1, Indem man fOl X, Ql c (I)) X .1)))1 X 0 18 :_ (Xl 0 ml)1 selzt. Zuzwel vorgegebene n blnAren Relallonen X, m el)) x .I)) deflnleren wir elne 2x2-slelllge

Relallon Xm auf .I)) geml6 der Fesl!elzung

(2. 1) ( ~~ )IIll(~~ ) :.. (X t , V t ) , (Xl' Yl ) E 1'0 1\ (X t , Xl)' (Y t , Yl) E m .

Rs gilt offenbar sle ts X.0 C Ill' x Illi . lst Ql symmetrlsch, so gill

(2.2) (~~)XIB(~~) .. (~:)Xlll(~:)Sind I und III symmetrbc h, so 1,,1 auch Xm symmelrisch .

1 .1 DdloUloD. Es eelen MI, M2 Mengen und 2( c M1 X M;;j'

Ca) X helat Ilnk.rtotal~ Rtla tlon IVl'I M. nadI M2, wean gUI

VXE Mt

3YE M): (X, Y) E X.

(t.) X helBI ftmJr.tlONJI~ Rtlatlon IVl'I M1

nadI M 2' wenn gilt

VXEMt VYE M2 VZE M1: (X, Y) E I' " (X, Z) E X. Y - Z.

362 Kopp

Offenbar bt • C Mt X M2 genau dann cine Abblldung von M1 nach M2, wenn 1[ linbtotal

uod funktlonal bt. 1st X eine Tellmcngc von (M1 x M/. so wollen wlr X Iinkstota! bzw.funk-Ilonal Dennen, wenn xl dlese Eigenschaft besltzt. FUr die Koxutruktlon vonTransl,Uonen In scbwaeb afrmen Ocometrlen werden 51ch spe:rJelle 2x2-lItellige Reteuonen

und daraus abgeleitete blnAre Relatloncn ala nOtzllch erwelseu, die wir 1m folgendcnelnfilhren wclleu wollen .

1.2 SatL Es eelen (SP, R) etn schwacb affines RelaUv uod . , 0 E R. Dann gelten (llr

die gemlS (2.1) definlerten 2X2-stelligen Relationen 1'0 uod 1l5. die folgenden Au.uagen:

(2.3) 1 0 '" ~ ~ X * m.

(2.4 ) (~)l[m(~~) .. (~~)01(~:)Dew-cia . (2.3) folgl aus (2.1). (2.4) gill, well nach (Rt ) fllr X '" 0 sogar X n as • ¢ gllt.

2.3 Satz. In elnem schwach afflnen Relatl v ('P, R) 1st die Menge

filr alle A, B e JP uod X E Reine funklionale Relation vo n A . nach a• .BeYels. Die 10 (2.S) deflnlerte Menge 151 offenslch tlich TeUmenge von (AX x EX)t. Aus

folgt wegeu (2.3) X * AB und wegen (2.1) Y, Z E 811' n X(AB). Mit Hilfasatz 1.6 e rglbt~ieh deraus Y • Z.

1.4 SatL In elne m ecbwecb afflnen Relatlv ('P, R) ~Ind die folgenden Aussegen Iqulvalenl:

(a) Fl1r aile A, E E 'P und aile X E R mil AB * X sind die Relatlon en (A, E, Xl linb­total von A1I' naeh 8X.

(b) Ffir aile 18, « E R gilt JB 0 « ,. l,t 0 lB.

Beyels. ZUnlcMI eel (a) voeausgeee tzt und Ill, a; E R mit .Q! * l,t selen vorgegeben. AusX(.Q! 0 l,t)Y folgt fQr geelgnetes Z E 'P X.Q!Z und Zl,tY. Naeh (a) 151 die Re lallon(Z, X, l,tl IInbtotaJ von za; nacb xe. Daher glbt ee V E sp mit (Y, V)t E [Z, X, Itl,

also Xuv und VIlI Y. Damll b t JB 0 l,t c It 0 J8 gezelgl. Die umgekehrte Inkluslon folgtanalog.

Nun ge lte (b) und es sereu A, E E J)), X E R mil AB * X gegeben. FUr jee ee X E A1I'gilt X(X 0 AB)8 , abo naeh (b) euch X(AB 0 I )B. Es glbt also Y E l)) mil X(AB)Y un dYIB. Daraus folgt (X, Y)t E [A, B, Xl.

Kopp

3. K.ODltruttlOD VOD TraDsiatlonen

363

1m folge odeo se tzen wit versus, daB in einem schwach affinen Relativ ('P, R) zusltz1ieh zu(Rl) • (R4) ncch die folgenden Zusatzaxiome (RS) - (R7) gelten:

(RS) Zu jedem II e R' uod jedem A e 'P glbt es H, C e "p mil B * C und H, C e All .

(R6) Die Menge R' beaitzt mtnees tens zwel verschtedene Elemente.

(R7) FQr alle X, IB e R gill X 0 IB ,. IB 0 X.

Die Axiome (RS) und (R6) sind Reicbbaltlgkeltafcrderungen und bedeuten ffir die schwaehaffin e Oeometrie ('P, R)7 ledlglleh, daB auf jeder Oeraden mlndest ens drel verscbledenePunkte lIegen , bzw. daB (lJ), R)7 mlndestens zwel nlehl parallele Oeraden besltzl. Aus derOilltlgkell von (RS) und (R6) Iolgt , daB die Menge R' sogar mlndestens vier verschledeneElemeote besitzt. Das Axiom (R7) gil l in ('P, R ) genau dann, wenn eteh In ('P, R )7 aileParall elogramm e schlie6en, d. h. wenn zu je drel veesehreeecec Punkteu A, B, eE l» mit

gAB * gAC stets ein Punkt 0 * A, B, C exisllert, sodaB gAB D &en und gAC n goo gilt.Axiom (R7) Iolgt lelcbt aua (R3) und der Homogenltltsregel (R2') , sodaB (R7) entbebrllcb1st, wenn (.1», R ) ein affines Relatlv lsI.

w esec tuee fill die beabalehligle Konstrulr.llon von 'rrensteue nen in elnem schwach alflnenRelatlv (.1», R ) lsi die OQltlglr.elt etaes wenereu ZusatzaxiOtIl3:

(R8) Fiir aile A, B, C E 'P und aile .B e R mit AC * 3 gilt

3. 1 S.I:r: . Das AxIom (R8) 1st lqulvalenl zu

(R8') Piir aile AI' Al , 8 1, 8 2 E sp und aile X, IB, 3 e R gilt

(~~) (X30 IB3)(:J A AIBI * 3.. (~)(AIBl)3(:~)-Be.ela. ZunAchat gelte (R8). Wegen (2.4) ~nnen wit wte folgt schlieBe n:

(~~ )(X.B 0 OJ3)(:~)

(A,)X(e,)A 2 .B C2

364 l app

3.:1 BUI...tz. Sind I , 21 e /t.. mit I .. 21 und a; E It. O1\t a: n (ll 0 2 ) *' 0, 30 folgt

0: € It.· undll *' 0: *' Jl5.

Be.eb. AIlS It n (I 0 0 ) *' 0 Ic lgt rOr gee jgnete A, B, C e JP AO:C, AlB und BIBC.Wire a: • £) . so bllte man A • C und damll wege n (Rt ) und (RJ) ll' • 0 . Ole An nahme0: • I fOhn wegec (R4) auf (B, C) e • 0 II: • I 0 I c X u O. Oaraus wilrde mil (Rt)1m Wldenpruch :Eur Voraussetzung 0 • J( oder Jll • £) folgen . Anal og IIB I ,Ieh Q: • ewtderlegen.

3. 3 HlIf...t:L EI setee 3. I , 0 , 11:, II e R und AI ' ~, Bl, B2, c . , C2, X, Y, Z e JPmil 8 1C

t.. .3 geg eben. Oill danD remu

(~)z.3(::) • (::) '".3(~) • (~ )4.3 (~: ) • ( ~:).,.3(~) ,30 folll daBus Y • Z.

Be.ela. Aus deD Voraussetzungen folgl

(:~) (• .3 0 1I .3) (~~ ).Wegen Bt Ct * .6 b l (RB') anwendbar und es eralbt de b

(:~)({BICl).6 0 1).6)(~}AIlS 0 .6 * 0 Colgt mit (2.3) BIX • e * .6 lind noehmallge Anwendung VOD (Ra') lIefert

(::)'".3mOamit gill {X, Y)t, (X, Z)t e [Bl , B2, mJ lind mil Satz 2.3 folgl Y • Z.

3.4 Satz. Ea sel (lJI, If) de sehWKh afflnes geteuv, In dem die AxIome (Rt) - (R8)gelten. Ferner selen At, ~ e lJI mil .6 :. At~ * O. Die ge m18

(3.1) , ' ,- U (~, )(Z.3 0 '".3)ll',0€R - ..

luf 'P def lnlene blnlre Relation b l eine Transl ation von ('P, R). die At luf ~ abbildel.

Be-ela. (a) Wit ulgen zunlchsl., daB r linbtolll bl. Zu Jedem je dem X e 'P bt abo etaY e 'P eu flnden, eodaB XtY gUl

I. F"'" A,X • .3 (- A,"oj.Wit setz.en 1 : - AIX. wegen (R7) lind Satz 2.4 bt [A", ~, I ) lInb tow von Al l: .oath~I. Daher glbl es Y e l)) mil

Kopp 365

Mit 121 : - ..c folgl XT¥.

2. Fall: AIX - .6.Nach (R6) ecdstlert X e R- mil X :I: .3 und nach (Rl) gibl es 8 1 E 'P mit AI8 1 - X. FUr121 ; '" 8 tX gilt nach Hilf:l.satz 3.2 121 e R- und 121 * .6, denn (8 1, X) e 121 n (X 0 .3).Nach 5a12 2.4 e:xi!tieren 8 2 e 'P mit (8 t , 8/ E [At' Al , Xl und Y E 'P mit (X, y )t E[8t, 8 2, 121]. Offenbar gllt XTY.

(b) Um zu zelgen , daB T funktional bl, eeten X, ¥ , Z e "p mit XT¥ und XTZ gegeben . E3e:xi!lieren 8ho X, 18, a:, .n E R mit

(3.2) (~~)(X.B 0 18.3)(~) A(~)(a:.3 0 .n.3)(~).1. Fall: AIX * .3.Mil (R8') folgl aus (3.2) (X, Y)t, (X, Z)I E (At ' A 2, At~J und mit Satz 2.3 foigl ¥ ;: Z.

2. FaU: AtX '" ,8.

Nach (3.2) glbt ee 8 t , 8z' CI' Cz e lJ) mil

(~)X3(::) , (::)"3m ' (~:}·3(~:) , (~:}"3(~)Ollt 8 t Ct :I: .3, 50 folgt Y '" Z soforl eue Hllfwtz 3.3. Wir betrachten daher 1m folgenden

nur noch den Fall BICI '" .3. Nach (RS) glbt es ein en Punkt 0 1 E sp mit 0t E AtX und

0 1 * Bt · Oa X.3 * 0, muB nach (2.3) I * .3 gelten. Nacb Satz 2.4 gibt Co! also O2 e JPmit (Ot' n/ E (At' A 2, Xl. Fur die Relalion W :;: D1X gill nach Hilfwtz 3.2

W * n, X, .3, denn Co! gilt X :I: iJ, well die Annahme X '" fJ auf (At' ~)t18.6 (X, Y)tund welter auf 18 - AtX '" .3 fUhrt, wu eln wldersprueh zu (2.3) lst. Da .6 * £) und(Dt' X) e W n (I 0 .6) gilt , b l HlIfwtz 3.2 tab5.chlich anwendbar. Satz 2.4 Helen nun

auch ein U e 'P mil (01, O/W.3(X' U)t. Iasgesemt haben wir damll

(3.3) (~)X3(~:) , (~:)W3(~).

(3.4) (~~)1(.3(:~) A (:~)Ql.3(~)'

(3.5) (~}.3(~:) , (~:)"3(nWegen BtDt '" 1( :I: .3 folgl eus (3.3) und (3.4) mit HUfwtz 3.3 Y = U. Ande rerseits gilt

(01, Cl) E DICt n (DtBI 0 B1CI) .. DICt n (X 0 .3). Mil Hilfwtz 3.2 folgl DICt * .3und mit (3.3), (3.5) und Hllfssatz 3.3 erhalten wir Z _ U " Y.

(e) Nach (a) und (b) bl die in (J .l) deflnterte Relation T elne Abblldung von Jj) nacb 'P.Dtese AUMBge bl offenbar auch richtig far die Relation T', die entateht, wenn man In (3. 1)At und ~ verteuscbt. wegec (2.2) bl T' die zu T invers e Relation 1, aha muB T eineBIJektion auf 'P aetn. serer man In (3.1) X .. 18 .. iJ , so folgl A

1TA2.(d) Es blelbt nceb IU zelgen, daB T etee Translation ist. Da offensichtllch T, T C .3 gill,

blelbt nllCh Satz 1.9 nur noch die Omt.ig.keit von (1.1) zu i1berpnlfen . Dezu beweb eu wlr

366 l opp

zunlch.!1 fOl alIe A., B e JP und aile It E R·

(3.6) AllB .. (Ar)I(ST).

1. Fall : It • ,3.

Es gill (AT)TA /I, A.BB A 81(8'r), abo (AT)(.B 0 .3 0 .8)(8'1). ZwelmaHge Anwendung von(R4) IIdert CAr)(S u C)(8T). Bs gilt .a * £:I, abo A * B. Da T blJektiv bt, folgl mit (Rt)

(AT).8(BT).

2. Fall: a: * .8.AIlS AlA • A,B • .a warde 1m Widerspruch zur Vorau.uel2ung AB • e: • .a oder AS ­II • 0 Colgen. Wlr :tetzen deher c. B. d. A. AlA * .8 vcreus. Aus (3.1) und (RS') (olgt Indlesem Fall (A, AT)' e [At' ~, AlA] uDd IU3 Satz 2.3 und S.tz 2.4 fo1g1 die ExDtenzcines elndeutlg bestlmmlcn C E $)) mit (B, e )t E lA, AT, It). Bs gill daher

(~)(A,A)3(Z') A (Z').3(~)Verglelch mIt (J.I) zelgt, daB C • 8r gelten muS, wore-us (AT)lt(BT) folgt.

DamJt lsi (3.6) bewresen. Wegco del' Bemerkung In (e) lsi (3.6) luch (111 T richllg, wcrausfOr T die Impllkallon (AT)<t{BT) .. AltO folgt.

3.5 Sat%.. In Jedcm .schwach alrln en Relatlv PP, R) , das den Zusatzaxiomen (RS) - (R8)genilgt, gelten die Auuagen

(a) Zu je zwet Punkten A, B e l' exbtien geaeu etee Translation 1 e 1:-(1)), R) mit ATB.

(b) I[.(.IJ), R) ist etae Unlergruppe von ll(I)), R) .

HeweR. Auuage (a) folgt aUll Satz 1.12 und Satz 3.4. Da aus T el:{.IJ), R) offenbar aucbT e C(l)), R) folgt , isl ffir den Nachweis von (b) nur ncch zu aelgeu, daB f\1r alle

Tt, 12 e C("P, R) gilt 11 0 12 e 1:-(')), R) . Dazu eel At e "P beUeblg vcrgegeben. Mit

~ : - All1 und A) :- ~T2 - At(1 1 0 12) folgt l US (1.3) und (Rt )

(3.7) 1t c At~ - : 1{ 1\ 12 C ~A) : : 0 .

Well Rt mlndestens vier verschtedene Elemente enlhllt, glbt es etne Relation .8 e R· mit

.8 * I, Il, AlA) und nach (R2) existlen Bt e JJ) mil AtB t .. .8. Setzt man B2 : - Bl11und B) : - B212 - B

t(11 0 12), so erhlll man mit (1.1) und (3.7)

(~:)13(~:) A (~)"3(~:) 'und aus (R8') folgt (A), B/ e [At' Bt , AtA)]. Nacb (a) c.xi5t1ert e rne Transl ation 1) mil

IAtT)A). Es gill 1) C At A) , abo wegen (1.1 ) auch (A), Btl) e [At' Bt , At A)]' Damll gillAl(Tt 0 12) " A1T) und Bt(1 t 0 12) '" BtT), und wegen 11 0 T2, 1) e .8(1)), R) folgl aUllSail. 1.7 Tl 0 T2 .. T) e 1:.(1)), R) .

3.6 Sat!; . Eln sch'forlCh affln es Relatlv (1)), R ), In dem die Auuagen (a) und (b) vonSail. 3.5 gelten, erfillli die Axlome (R7) und (R8).

BeweR. Wlr zelgen zunlchsl (R7). Es seten X, .l8 e R. Aus X(X 0 .lB)Y folgt die Existenzvon Z E JJ) mit XIZ und Z.I8Y. Es se l 1 E 1[.(1)), R) mit ZTY. Es gilt T C 0 und mit

Kopp 367

Z' : - XT folgt aus (1.1) X0Z' und Z' KY, abo X(1ll 0 K)Y.

Nun beweuen wir dll3 zu (R8) IqulvaJente Axiom (R8' ). Dazu ,elen X, Ill, .3 E R uod

At' ~, Bt' B2, CI, C2 E .sp gegeben mil A1BI * .3 uod

Die Translatlonen Tl' T2 seten dutch Al TICt

uod C1T2

B1 be5timmt Weg en (1.1) und (1.3)It t tgilt dann (Cl' C2), (Ct , ~Tl ) E [AI' ~, Xl und (BI, Bl) , (BI, C1Tl ) E [C

t, c, 21,

abo nach San 2.3 Cl • ~Tl und Bl

• C1

Tl

• ~(Tl 0 Tl

) . FTh' die dutch A1T3

B1

def lnlerte Transl ation T3 gUt wegen der Elndeutlgkeltsaussage In Satz 3.5 (a ) und well

t (lp , R) e lne Oruppe bt 13 - TI 0 Tl , abo ~T3B2' woraus

(~)(AIBl).3(:~)folgt.

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Unlversi llt-Oesamthochscbule-Dubburg

Faehbereleh 11 - Mathematik

D-4100 Dubburg 1

Eingegangen em 07. Ianuar 1991