konsep operasi bilangan pecahan melalui garis …
TRANSCRIPT
p-ISSN: 2086-4280 Suwarto e-ISSN: 2527-8827
Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika 327
Volume 7, Nomor 3, September 2018 Copyright © 2018 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
KONSEP OPERASI BILANGAN PECAHAN MELALUI GARIS BILANGAN
Suwarto
Jurusan Sistem Informasi, STMIK Raharja Tangerang Jl. Jendral Sudirman No 40 Modernland, Tangerang
Artikel diterima: 8 Juni 2018, direvisi: 28 Agustus 2018, diterbitkan: 30 September 2018
Abstrak Dalam pembelajaran operasi bilangan pecahan masalah yang sering timbul yaitu kesulitan siswa dalam menyelesaikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Tujuan dari penulisan makalah ini adalah; (1) memahami konsep pecahan menggunakan garis bilangan untuk, (2) memahami konsep operasi pecahan (penjumlahan pengurangan, perkalian dan
pembagian menggunakan garis bilangan. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk
,
untuk a, b merupakan bilangan bulat dan b ≠0. Metode yang digunakan adalah menyajikan bilangan pecahan dalan garis bilangan. Dengan pendekatan garis bilangan diharapkan dapat membantu para guru dalam merancang proses belajar mengajar pada materi pecahan. Kata Kunci: bilangan pecahan, konsep, pemahaman
Abstract (Fraction Numbers Operation Concept through Number Line) In learning to operate fractions, the problem that often arises is the difficulty of students in completing the addition, subtraction, multiplication and division operations. The purpose of writing this paper is; (1) understand the concept of fractions using number lines to, (2) understand the concept of fraction operations (sum of subtraction, multiplication and division using number lines. Fraction numbers are shaped numbers
, for a, b is an integer and b ≠ 0. used
is to present fractions in the number line, with the number line approach expected to help teachers in designing the teaching and learning process in fraction material. Keyword: fractions, concepts, understanding
http://journal.institutpendidikan.ac.id/index.php/mosharafa
328 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
Volume 7, Nomor 3, September 2018 Copyright © 2018 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
I. PENDAHULUAN
Pecahan adalah salah satu topik
penting bagi siswa sebagai dasar
mempelajari aljabar dan yang lainnya,
namun pada kenyataanya masih banyak
yang belum memahaminya (Yulianingsih
dkk., 2018). Kurangnya pemahaman
terhadap konsep pecahan, desimal dan
persen akan berpengaruh terhadap siswa
dalam mengembangkan pengetahuan
penalaran proposional dan topik-topik
aljabar maupun probabilitas (Behr, dkk.,
2015).
Oleh karena itu sangat penting bagi
setiap guru matematika untuk dapat
mengajarkan konsep pecahan dengan
baik, menyampaikan pecahan sebagai
sesuatu yang menarik, dengan
menunjukan contoh konkrit, serta memiliki
kesungguhan untuk membantu siswa
dalam memahami konsep dan aplikasi
pecahan secara mendalam. Berbagai
penelitian telah menemukan bahwa anak-
anak mengalami kesulitan memahami
pecahan dan desimal (Bright, dkk., 2015).
Siswa sekolah dasar atau sekolah
menengah pertama, agar dapat benar-
benar memahami konsep pecahan maka
mereka harus dapat melihat pecahan
dalam berbagai bentuk, menurut Nelson
(2014), bilangan pecahan dapat dibagi
menjadi tiga konsep dasar. antara lain
pertama dapat dipahami pecahan dengan
makna (part to-whole concept) bagian dari
keseluruhan, bentuk dari bilangan
pecahan
, b merupakan bilangan
penyebut dengan posisi di bawah
memberi makna banyaknya bagian yang
sama dari suatu keseluruhan, dan a adalah
pembilang berada di atas menunjukan
banyaknya bilangan bagian yang
dimaksudkan.
Makna yang kedua dapat dipahami
sebagai makna (ration concept) konsep
perbandingan, pecahan dapat
dipergunakan untuk membandingkan
suatu jumlah, semisalnya umur Andi
(setengah) dari umur kakanya, jika
kakaknya berumur 20 (dua puluh) tahun,
maka umur Andi adalah 10 (sepuluh)
tahun.
Makna ketiga dapat dipahami sebagai
makna (division concept) konsep
pembagian, sebagai mana suatu contoh
seorang anak memiliki 10 (sepuluh)
teman, pada suatu kesempatan dia
memiliki 5 (lima) potong roti, bagaimana
anak tersebut dapat memberikan dengan
rata teman-temannya roti, maka yang
dapat dilakukan anak tersebut adalah
membagi 5 (lima) roti kepada 10 (sepuluh)
temannya atau ( 5:10 =
), dengan kata
lain setiap teman-teman dari anak
tersebut mendapatkan
(setengah) roti.
Membagi suatu benda menjadi
beberapa bagian adalah suatu cara untuk
dapat memahami konsep pecahan, dalam
hal ini adalah pembilang dan penyebut.
Memahami pecahan tidak hanya
mengenali bahwa
adalah dua bagian
yang diambil dari suatu bentuk yang dibagi
menjadi tiga bagian. Pecahan memiliki
berbagai bentuk dan dapat dipahami
p-ISSN: 2086-4280 Suwarto e-ISSN: 2527-8827
Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika 329
Volume 7, Nomor 3, September 2018 Copyright © 2018 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
melalui pengertian area, kuantitas, atau
pada garis bilangan. Garis bilangan
“number line” merupakan suatu gambar
garis lurus yang menggambarkan bilangan
tertentu pada setiap titiknya dan setiap
bilangan merujuk pada titik-titik tertentu
(Stewart, Redlin, & Watson, 2008).
Pada garis bilangan setiap titik-titik
tertentu yang menunjukan ukuran sama,
misalkan dari 0 (nol) bergerser ke kanan
samapai dengan 1 (satu), seterunya 2
(dua) dan seterusnya sampai tanpa batas,
setiap jarak titik-titik tersebut menunjukan
ukuran sama.
Siswa kadang-kadang mengalami
kesulitan memahami pecahan pada
diagram garis bilangan. Ketika menemukan
pecahan pada diagram garis nomor,
mereka mungkin menggunakan pecahan
bagian dari garis bilangan yang
ditunjukkan pada diagram. Misalnya,
menunjukkan angka 3 ketika diminta
untuk menunjukkan
pada diagram garis
angka yang ditandai dari 0 (nol) hingga 4
(empat).
Garis bilangan memperkuat analogi
antara pecahan dan bilangan bulat. Sama
seperti bilangan 5 (lima) adalah titik pada
garis bilangan yang dicapai dengan
menandai 5 (lima) kali panjang interval
unit dari 0 (nol), jadi
adalah titik yang
diperoleh dengan cara yang sama
menggunakan interval yang berbeda
sebagai satuan dasar panjang, yaitu
interval dari 0 hingga
Tujuan dari penulisan makalah ini
adalah; (1) memahami konsep pecahan
menggunakan garis bilangan untuk, (2)
memahami konsep operasi pecahan
(penjumlahan pengurangan, perkalian dan
pembagian menggunakan garis bilangan.
Tujuan ini sejalan dengan penelitian
Afriansyah (2017), pada penelitiannya
model garis bilangan dapat membantu
siswa paham konsep pecahan.
II. KAJIAN TEORI
Bilangan yang berbentuk
, dimana a
dan b merupakan bilangan bulat dengan
syarat b ≠ 0, a disebut pembilang dan b
disebut penyebut dinamakan bilangan
pecahan (Keedy, 2013). Menurut Kieren
(dalam Clarke, dkk., 2008) mengemukakan
bahwa bilangan pecahan menunjukan
berbagai pengertian, misalnya:
(1) Menunjukan berapa banyak bagian
keseluruhan dari hasil bagi, sedangkan
angka yang berada di atas disebut
pembilang yang mendefinisikan berapa
banyak bagian dari hasil pembagian.
Misalnya
artinya adalah menentukan
nilai 1 (satu) yang dibagi menjadi 2 (dua)
bagian yang sama.Bentuk pecahan yang
bermakna bagian dari keseluruhan hasil
bagi merupakan pemahaman pecahan
yang paling umum dan cenderung menjadi
pemahaman yang pertama ditemui di
sekolah dasar.
(2) Pecahan dapat didigunakan sebagai
metode untuk membandingkan ukuran,
atau dapat mewakili ukuran kuantitas
terhadap suatu unit kuantitas itu. Pecahan
dapat digunakan untuk memberikan
informasi seberapa banyak bagian dari
http://journal.institutpendidikan.ac.id/index.php/mosharafa
330 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
Volume 7, Nomor 3, September 2018 Copyright © 2018 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
suatu kelompok tertentu. Contohnya jika
di suatu kelas terdapat 30 siswa dan 6
siswa tidak hadir, maka menyatakan
banyaknya bagian siswa yang tidak hadir di
kelas tersebut adalah
.
(3) Dalam sifat kebalikan dari operasi
bilangan pecahan memberi makna bahwa
sebarapa banyak secara keseluruhan dan
berapa banyak bagian yang hilang, contoh
adalah
, ini memberikan makna bahwa
ada 3 (tiga) dari 4 (empat) bagian yang
sama, namun 1 (satu) dari 4 (empat)
bagian tidak dihitung.
(4) Pecahan menunjukan hasil bagi
(pembagian), bentuk
memiliki makna
operasi pembagian atau hasil bagi,
misalnya
. Makna pembagian
dapat dikembangkan dalam hal pembagian
yang setara, misalnya menentukan berapa
banyak roti yang dapat diperoleh seorang
anak jika tiga roti dibagi antara lima anak.
(5) Pecahan dapat digunakan sebagai
operator, ini mengandung makna bahwa
pecahan dapat digunakan untuk
mengecilkan atau memperbesar angka,
misalnya
dan
.
Siswa sering terjadi mengalami
ketidakpahaman terhadap konsep operasi
perkalian, yaitu mengartikan perkalian
selalu menunjukan hasil semakin besar
dan pembagian selalu menunjukan hasil
semakin kecil. Namun dengan
menggunakan pecahan sebagai operator
dapat membatu siswa terhadap
ketidakpahaman tersebut.
III. PEMBAHASAN
A. Konsep Bilangan Pecahan
Memahami pecahan
sebagai
banyaknya benda yang dibentuk oleh 1
bagian jika keseluruhan bagian menjadi b
bagian yang sama, memahami pecahan
dengan bentuk
sebagai ukuran
banyaknya benda yang dibentuk oleh
bagian-bagian dari ukuran
.(Carpenter,
dkk., 2013) Memahami pecahan sebagai
angka yang terdapat pada garis bilangan,
kita dapat memaknai bahwa angka
pecahan dapat diwakili oleh diagram garis
bilangan. Pemahaman terhadap konsep
pecahan dapat dihubungkan dengan garis
bilangan, agar mempermudah siswa dalam
memahaminya (Burns, 2010).
Pada pemahaman konsep pecahan
menggunakan garis bilangan, siswa
dianggap sudah memahami pengertian
garis bilangan, dimana garis bilangan
adalah suatu ruas garis yang diberi
nomor/angka pada ruas garis bilangan
tersebut. Dari pengertian ini akan
difokuskan pemberian area/bagian dengan
memberikan angka dari garis bilangan
untuk membagi jarak yang sama dari 0
sampai 1. Misalnya akan menunjukan
bilangan pecahan
dengan garis bilangan,
caranya adalah siswa wajib memahami
jarak yang sama pada garis bilangan
menjadi 4 bagian, maka setiap bagian
memiliki ukuran
dari 0 sampai 1. Lebih
jelasnya dapat diperhatikan gambar garis
bilangan berikut:
p-ISSN: 2086-4280 Suwarto e-ISSN: 2527-8827
Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika 331
Volume 7, Nomor 3, September 2018 Copyright © 2018 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
Gambar 1. Garis bilangan membagi 4 bagian
Kemudian setelah konsep pecahan
tersebut dapat dipahami, dapat
dikembangkan untuk memahami yang
mewakili
pada garis bilangan. Kita
dapat menyebutkan bahwa
sebagai nilai
identitas, sehingga
, artinya
bahwa yang mewakili angka
pada garis
bilangan adalah dengan cara
memberitanda angka
setelah angka 0
sampai dengan 2 kali bagian. Untuk yang
mewakili angka
pada garis bilangan
adalah dengan cara memberi tanda angka
setelah angka 0 sampai dengan 3 kali
bagian, atau dapat ditunjukan
menggunakan
.
Penjelasan tersebut dapat dilihat pada
gambar garis bilanganberikut ini:
Gambar 2. Garis bilangan pecahan
Contoh lain untuk menunjukkan
bilangan pecahan dengan cara berbeda
namun maksudnya sama, dengan garis
bilangan, misalnya dapat diperhatikan
pada gambar berikut:
Gambar 3. Menunjukkan 3 bagian yang sama
Gambar tersebut menunjukan
pengertian bahwa satu bagian dapat
ditunjukan menjadian tiga bagian yang
ada, dalam hal ini kita menunjukkan
bentuk bilangan
. Kemudian konsep
pecahan yang dalam contoh tersebut
adalah bilangan
, kita akan
menunjukannya dalam garis bilangan.
Gambar 4. Garis bilangan
Bentuk pecahan
pada diagram garis
bilangan dengan mendefinisikan interval
dari 0 sampai 1 sebagai bagian
keseluruhan dan membagi menjadi 3
bagian yang sama. Dapat diketahui bahwa
setiap bagian memiliki ukuran
dan bagian
berikutnya yang didasarkan pada 0
menempatkan angka
pada garis
bilangan.
1
1
1
http://journal.institutpendidikan.ac.id/index.php/mosharafa
332 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
Volume 7, Nomor 3, September 2018 Copyright © 2018 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
B. Konsep Operasi Bilangan Pecahan
Pada bagian ini akan dibahas beberapa
operasi pada bilangan pecahan, operasi
bilangan pecahan yang dimaksud adalah
operasi penjumlahan, pengurangan,
perkalian dan pembagian. Khusus untuk
operasi perkalian dan pembagian akan
digunakan pendekatan konsep luas,
sedangkan untuk operasi penjumlahan dan
pengurangan akan digunakan pendekatan
konsep garis bilangan.
1. Penjumlahan
Pada operasi penjumlahan bilangan
pecahan kita dapat memahami sebagai
bagian yang digabungkan dari bagian
keseluruhan yang sama. Bagian
keseluruhan yang sama akan dikenal
sebagai penyebut. Bentuk perubahan
pecahan menjadi jumlah dengan penyebut
yang sama dapat digunakan dengan
berbagai cara. Berikut akan ditunjukan
bentuk penjumlahan dengan penyebut
yang sama, yaitu untuk
. Dalam
garis bilangan operasi tersebut dapat
digambarkan seperti:
Gambar 5. Proses Penjumlahan pada Garis Bilangan
Contoh lain pada operasi penjulahan
bilangan pecahan dengan penyebut yang
berbeda, misalnya
.
Gambar 6. Garis Bilangan Menyamakan Penyebut
Terlihat dari gambar garis bilangan
tersebut bahwa
dan
sehingga
penyelesaian dari
adalah
.
Dari gambar 3 dapat kita lihat bahwa
penjumlahan pada bilangan pecahan
merupakan hasil jumlah dari dua bilangan
dengan pembagian bilangan yang sama,
atau dengan kata lain, jika
maka
sama dengan
.
2. Pengurangan
Pada operasi pengurangan bilangan
pecahan kita dapat memahami sebagai
bagian yang dipisahkan dari bagian
keseluruhan yang sama. Bagian
keseluruhan yang sama akan dikenal
sebagai penyebut. Contoh pemahaman
konsep operasi pengurangan pada
bilangan pecah, misalnya
, pada
1
p-ISSN: 2086-4280 Suwarto e-ISSN: 2527-8827
Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika 333
Volume 7, Nomor 3, September 2018 Copyright © 2018 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
contoh ini untuk lebih memahami dapat
digunakan bantuan garis bilangan
sebagaimana terlihat pada gambar
berikut:
Gambar 7. Garis Bilangan Menyamakan Penyebut
Terlihat dari gambar garis bilangan
tersebut bahwa
dan
sehingga
penyelesaian dari
adalah
.
Dari gambar 4 dapat kita lihat bahwa
pengurangan pada bilangan pecah
merupakan hasil selisih dari dua bilangan
dengan pembagian bilangan yang sama,
atau dengan kata lain, jika
maka
sama dengan
.
3. Perkalian
Contoh memahami operasi perkalian
bilangan pecahan, misalnya
, untuk
menyelesaikan operasi perkalian bilangan
pecahan dapat dilakukan dengan bantuan
seperti terlihat pada gambar berikut:
Gambar 8. Konsep operasi perkalian
Dari gambar di atas dapat kita tentukan
luas daerah ABCD dan AEFG, sehingga luas
daerah tersebut adalah: luas ABCD adalah
atau luas ABCD bisa ditentukan (2 x 4)
satuan luas, sedangkan luas AEFG adalah
= (1 x 1), atau dapat juga ditentukan
(3 x 5) satuan luas, sehingga penyelesaian
Secara umum penyelesaian bilangan
pecahan dapat dilakukan dengan aturan;
jika a, b, c, d adalah bilangan bulat, c ≠ 0
dan d≠0, maka
.
4. Pembagian
Pemahaman konsep operasi pembagian
bilangan pecahan, contoh
, dalam
penyelesaian operasi pembagian
bilanngan pecahan perlu diingat bahwa
pembagian merupakan kebalikan dari
perkalian, sehingga bentuk
dapat
0
0 0 0
4
𝐀 𝐁
𝐂 𝐃
𝐄
𝐅 𝐆
http://journal.institutpendidikan.ac.id/index.php/mosharafa
334 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
Volume 7, Nomor 3, September 2018 Copyright © 2018 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
diartikan sebagai
, jika kedua ruas
dikalikan dengan
, maka mengahasilkan
persamaan (
, kemudian
jika diberlakukan sifat assosiatif pada
operasi perkalian akan menghasilkan
persamaan
, nilai n dapat
ditentukan
. Kesimpulan yang bisa
didapat adalah jika
maka akan
sama dengan
dan
.
Secara umum penyelesaian pembagian
bilangan pecahan dapat diselesaikan
dengan aturan; untuk sembarang bilangan
pecahan
dan
dimana
maka
berlaku
.
IV. PENUTUP
Pemahaman terhadap konsep bilangan
pecahan beserta operasinya dapat
dilakukan menggunakan berbagai
pendekatan. Salah satu pendekatan yang
digunakan dalam makalah ini adalah garis
bilangan. Dengan pendekatan garis
bilangan diharapkan dapat membantu
para guru dalam merancang proses belajar
mengajar pada materi pecahan.
Akhirnya, penulis berharap kesulitan-
kesulitan yang dihadapi oleh para siswa
dalam memahami konsep pecahan dapat
teratasi dengan baik. Siswa tidak hanya
tahu bilangan pecahan yang berbentuk
,
dimana a dan b bilangan bulat dan b ≠0,
namun makna dari bilangan pecahan
dapat dipahami dengan baik, sehingga
kemudian mampu dalam penyelesaian
permasalahan aplikatif terkait pecahan
maupun bentuk decimal.
DAFTAR PUSTAKA
Afriansyah, E. A. (2017). Desain Lintasan Pembelajaran Pecahan melalui Pendekatan Realistic Mathematics Education. Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika 6 (3), 464-474.
Burns, M. (2010). Teaching arithmetic: Lessons for introducing fractions, grades 4–5. Sausalito, CA: Math Solutions Publications.
Behr, M., Wachsmuth, I., & Post, T. (2015). Construct a sum: A measure of children’s understanding of fraction size. Journal for Research in Mathematics Education, 16 (2), 120–131.
Carpenter, T., Fennema, E., & Romberg, T. (2013). Rational numbers: An integration of research (pp. 1–11). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
Clarke, D. M., Roche, A., & Mitchell, A. (2008). Ten practical, research-based tips for making fractions come alive (and make sense) in the middle years. Mathematics Teaching in the Middle School, 13(7), 373–380.
Keddy, M. L. (2013). Essential Mathematics. Fifth ed. Addition Westley Publishing Inc.
Lamon, S. (2012). Teaching fractions and ratios for understanding: Essential content knowledge and instructional strategies.New York, NY: Taylor & Francis Group.
McNamara, J., & Shaughnessy, M. M. (2010). Beyond pizzas andpies: 10 essential strategies for supporting fraction sense (grades 3–5). Sausalito, CA: Math Solutions Publications.
p-ISSN: 2086-4280 Suwarto e-ISSN: 2527-8827
Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika 335
Volume 7, Nomor 3, September 2018 Copyright © 2018 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
Nelson, A. B. B. & Nelson, T. (2014). Mathematics for Elementary Teachers. New York: Mc. Graw Hill Compay.
Stewart, J. B., Redlin, L., & Watson, S. (2008). College Algebra. Brooks Cole.
Suwarto. (2018). Analisis Kesulitan Belajar Operasi Hitung Pada Siswa Kelas Satu Sekolah Dasar. Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika, 7 (2), 285-294.
Thomas, C. (2010). Fraction competency and algebra success. [Online]. Retrieved from http://etd.lsu.edu/docs/available/etd-08242010140559/unrestricted/corettathesisaug24.pdf
Wong, M. & Evans, D. (2008). Fractions as
a measure. In M. Goos, R. Brown, & K.
Makar (Eds.). Proceedings of the 31st
Annual Conference of the
Mathematics Education Research
Group of Australasia, Adelaide, 28
June-1 July 2008. MERGA.
Yulianingsih, A., Febrian, Dwinata, A.
(2018). Analisis Kesalhan konsep
pecahan pada siswa kelas VII A SMP
Negeri 13 Satu Atap Tanjungpinang.
Mosharafa: Jurnal Pendidikan
Matematika, 7 (2), 199-206.
RIWAYAT HIDUP PENULIS
Suwarto, M.Pd.
Lahir di Kebumen, 16 April
1978. Dosen Tetap Jurusan
Sistem Informasi STMIK
Raharja-Tangerang.
http://journal.institutpendidikan.ac.id/index.php/mosharafa
336 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
Volume 7, Nomor 3, September 2018 Copyright © 2018 Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika
This page is intentionally left blank