konfiguracija upravljanja sa negativnom povratnom …elektron.tmf.bg.ac.rs/aup/oaup/tekst/materijal...

IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM

KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA

SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM - ZATVORENO REGULACIONO KOLO -

U uvodnom delu smo definisali osnovne konfiguracije koje se koriste u cilju upravljanja procesima i koje se međusobno razlikuju po načinu povezivanja ulaza i izlaza iz procesnog sistema. Sigurno najčešće korišćena konfiguracija sistema upravljanja je ona koja je šematski prikazana na slici 4.1. i koja se naziva konfiguracija upravljanja sa negativnom povratnom spregom. Kod ove konfiguracije se upravljačko dejstvo na proces zasniva na odstupanju izmerene veličine izlaza kojim treba upravljati od njegove zadate vrednosti. Reč negativna u nazivu ove konfiguracije označava da se povratno dejstvo (povratna sprega) izlaza na ulaz uvodi sa negativnim znakom, kako je prikazano na slici 4.1.

Upravljanje pomoću ove konfiguracije se vrlo često naziva regulacija, a sama konfiguracija upravljanja se naziva zatvoreno regulaciono kolo. Izlaznu promenljivu kojom treba upravljati u tom slučaju zovemo regulisana promenljiva, dok upravljačke, odnosno manipulativne ulazne promenljive nazivamo regulacionim promenljivim. Prema cilju koji treba da ostvari zatvoreno regulaciono kolo, razlikujemo dva osnovna tipa regulacije: - programsku regulaciju, koja treba da ostvari da regulisani izlaz prati zadatu promenu željene vrednosti, odnosno postavne tačke; - stabilizacionu regulaciju, koja za cilj ima otklanjanje dejstva spoljašnjih poremećaja koji sistem izvode iz željenog stacionarnog stanja.

Slika 4.1. Šematski prikaz upravljačke konfiguracije sa negativnom povratnom spregom


4.1. OSNOVNI ELEMENTI I BLOK DIJAGRAM ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA Da bi se ostvarilo upravljanje nekim procesom pomoću zatvorenog regulacionog kola, neophodno je najpre odabrati izlaze koje treba regulisati da bi se ostvario željeni rad procesa. Sledeći korak je izbor najpogodnijih manipulativnih, odnosno regulacionih promenljivih koje se mogu jednostavno po želji menjati i pomoću kojih se efikasno može delovati na proces. Osnovni element regulacionog kola naravno predstavlja sam proces sa svojim ulaznim i izlaznim promenljivim i statičkim i dinamičkim karakteristikama. Kada su odabrane regulisane i regulacione promenljive, neophodno je ostvariti merenje izlaza koje treba regulisati. Zbog toga je drugi neophodan element zatvorenog regulacionog kola merni element-transmiter koji vrši prevođenje datog regulisanog izlaza u pogodan signal kojim se informacija o njegovoj veličini može dalje prenositi i obrađivati. Kada je izlazna veličina koju treba regulisati pomoću mernog elementa izmerena i pretvorena u signal određene vrste, njena vrednost se poredi sa željenjom vrednošću, koja je najčešće dobijena prethodnom projektovanjem i optimizacijom procesa na osnovu tehnoekonomske analize. Razlika željene i izmerene vrednosti izlaza se naziva greška, a deo sistema u kome se vrši ovo poređenje naziva se detektor greške. Signal greške se, u posebno projektovanom elementu regulacionog kola, koji se naziva regulator, obrađuje, po nekom odabranom matematičkom zakonu, dajući na izlazu informaciju sadržanu u upravljačkom signalu, o tome kako treba promeniti odabranu regulacionu promenljivu da bi se izlaz doveo, odnosno vratio na željenu vrednost. Detektor greške i regulator zajedno čine regulacioni mehanizam. Da bi se na osnovu informacije sadržane u izlaznom signalu iz regulatora izvršilo povratno dejstvo na proces, neophodan je i poslednji element zatvorenog regulacionog kola koji se naziva izvršni element i pomoću koga se, na osnovu izlaznog signala iz regulatora menja odabrana regulaciona promenljiva tako da se greška smanji, odnosno eliminiše. Kao što smo naveli u trećem delu, pri regulaciji postrojenja procesne industrije, kao regulacione promenljive se u ogromnoj većini slučajeva koriste neki od ulaznih ili izlaznih protoka iz sistema. Kao izvršni elementi kojima se ovi protoci podešavaju na željeni način, najčešće se koriste regulacioni ventili ili ređe, regulacione crpke. U okviru ove knjige ćemo se uglavnom baviti samo regulacijom najjednostavnijih sistema sa jednom regulisanom i jednom regulacionom promenljivom (SISO sistemi). Grubi blok dijagram zatvorenog regulacionog kola koji prikazuje osnovne elemente i njihove međusobne veze, prikazan je na slici 4.1-1.

Na ovoj slici su korišćene sledeće oznake za promenljive u sistemu: x - postavna tačka, odnosno željena vrednost regulisanog izlaza y - regulisani izlaz ym - izmerena vrednost regulisanog izlaza ε=x-ym - greška p - upravljački signal m - manipulativna, odnosno regulaciona promenljiva l - spoljašnji poremećaj - promenljiva opterećenja.

Slika 4.1-1. Opšti blok dijagram zatvorenog regulacionog kola


Proces, merni element i izvršni element ne zavise od vrste konfiguracije upravljanja, tako da sve ono što je o ovim elementima rečeno u trećem delu knjige važi i u slučaju kada ovi elementi vrše svoju funkciju u zatvorenom regulacionom kolu. Međutim, tip uređaja koji se koristi kao regulator direktno zavisi od odabrane konfiguracije upravljanja, tako da ćemo u ovom delu knjige veliku pažnju pokloniti prikazu osnovnih tipova regulatora koji se koriste u zatvorenom regulacionom kolu, a zatim i izboru i projektovanju regulatora za ovu konfiguraciju upravljanja. 4.2. REGULATOR U ZATVORENOM REGULACIONOM KOLU Kao što smo naveli u poglavlju 4.1., regulator je onaj element regulacionog kola koji se nalazi između mernog instrumenta kao izvora informacija o procesu i izvršnog elemetna kojim se vrši povratno dejstvo na proces. Ulaz u regulator predstavlja signal greške, odnosno razlika između zadate i izmerene vrednosti izlaza:

Izlaz iz regulatora p(t) predstavlja upravljački signal na osnovu koga izvršni element menja odabranu manipulativnu promenljivu, čime se vrši povratno dejstvo na proces. Najvažniji deo sinteze zatvorenog regulacionog kola sastoji se u pravilnom izboru matematičke zavisnosti izlaza i ulaza:

Fizička realizacija konstruktivnih karakteristika regulatora se izvodi tako da dobijeni uređaj zadovoljava tu odabranu matematičku zavisnost, odnosno da ima tačno definisane dinamičke karakteristike. Pri tome, regulator može biti realizovan kao mehanički, pneumatski, hidraulički, analogni ili digitalni elektronski uređaj, ili se kao regulator može koristiti digitalni računar koji je programiran na željeni način. U procesnoj industriji se najčešće koriste pneumatski i električni regulatori. O fizičkoj realizaciji pneumatskih i elektronskih regulatora će biti reči nešto kasnije, a sada ćemo se zadržati na dinamičkim karakteristikama regulatora. 4.2.1 Osnovni tipovi regularora u zatvorenom regulacionom kolu U sistemima upravljanja sa negativnom povratnom spregom se koriste četiri osnovna tipa konvencionalnih regulatora: proporcionalni, proporcionalno-integralni, proporcionalno-diferencijalni i proporcionalno-integralno-diferencijalni. 4.2.1.1. Proporcionalni (P) regulator Proporcionalni regulator vrši samo pojačavanje ulaznog signala (signala greške), dajući izlazni signal (upravljački signal) koji je proporcionalan ulaznom:

Konstanta proporcionalnosti Kc se naziva pojačanje regulatora. Očigledno je da su statičke i dinamičke karakteristike proporcionalnog regulatora identične. Proporcionalni regulator jednostavno služi da pojača signal greške, ostvarujući tako dovoljno veliki upravljački signal kojim se može proizvesti dejstvo na proces. Umesto pojačanja regulatora, za definisanje P regulatora se često koristi opseg proporcionalnosti koji predstavlja grešku (izraženu procentom opsega izmerene izlazne promenljive) koja izaziva puni hod ventila, od potpuno otvorenog do potpuno zatvorenog. 4.2.1.2. Proporcionalno-integralni (PI) regulator Kod proporcionalno-integralnog regulatora, pored pojačavanja signala greške vrši i njegovo integrisanje u toku vremena. Njegova dinamička karakteristika se uobičajeno prikazuje u sledećem obliku:

(t)y - x(t) = (t) mε (4.2-1)

(t))( F = p(t) ε (4.2-2)

(t) K = p(t) c ε (4.2-3)


Kao što se vidi, PI regulator je definisan sa dva parametra: pojačanjem Kc i konstantom τi koja ima dimenzije vremena i naziva se integralno vreme. Prvi član na desnoj strani jednačine (4.2-4) se često naziva proporcionalno dejstvo, a drugi, integralno dejstvo. Fizičko značenje integralnog vremena PI regulatora će biti jasnije ako razmotrimo odziv PI regulatora na stepenastu promenu signala greške, prikazanu na slici 4.2-1. Pri stepenastoj promeni greške na ulazu u PI regulator, kao rezultat proporcionalne akcije dobiće se takođe stepenasta funkcija Kcε, prikazana punom tankom linijom označenom sa P na slici 4.2-1. Istovremeno, integralna akcija će kao rezultat dati linearnu funkciju, prikazanu tankom punom linijom označenom sa I. Ukupno dejstvo regulatora će biti zbir ova dva dejstva i prikazano je debljom punom linijom označenom sa PI. Integralno vreme τi PI regulatora je ono vreme posle koga su vrednosti proporcionalnog i integralnog dejstva izjednačene, tako da je ukupan izlaz iz regulatora jednak dvostrukoj vrednosti proporcionalnog dejstva. Osnovna karakteristika PI regulatora je da zbog svog integralnog dela daje na izlazu značajan upravljački signal čak i za vrlo male apsolutne vrednosti greške, ukoliko se te greške dugo zadržavaju. Na taj način PI regulator otklanja sistematske greške, odnosno greške stacionarnog stanja. S druge strane, upravo zbog svoje karakteristike da daje značajan upravljački signal (što rezultuje značajnim odstupanjem položaja izvršnog elementa od onog koji odgovara projektovanom stacionarnom stanju) i pri malim vrednostima greške, PI regulator često može da smanji brzinu odziva zatvorenog regulacionog kola. 4.2.1.3. Proporcionalno-diferencijalni (PD) regulator Ovaj tip regulatora, pored pojačavanja, vrši i diferenciranje signala greške. Dinamička karakteristika PD regulatora se obično prikazuje u sledećem obliku:

PD regulator takođe ima dva parametra: pojačanje Kc i diferencijalno vreme τd. Dejstvo PD regulatora se najjednostavnije može ilustrovati na osnovu njegovog odziva na linearnu promenu ulazne funkcije greške ε(t) sa koeficijentom pravca 1, koji je prikazan na Slici 4.2-2. Pri ovakvoj promeni ulaznog signala greške, proporcionalno dejsvo daje takođe linearan odziv sa nagibom Kc (tanka puna linija označena sa P, na slici 4.2-2.), dok diferencijalno dejstvo rezultuje stepenastim izlazom čija je amplituda Kcτd (tanka puna linija označena sa D). Ukupan odziv PD regulatora predstavlja zbir obih efekata i prikazan je debljom punom linijom PD. Od trenutka t=0 pa nadalje, izlaz koji daje diferencijalna akcija je konstantan, dok se odziv proporcionalnog dela regulatora povećava sa vremenom. Za t=τd, odzivi proporcionalnog i diferencijalnog dejstva PD regulatora na linearnu promenu ulazne greške postaju identični. Zbog diferencijalnog dela u dinamičkoj karakteristici, PD regulator na neki način vrši predviđanje budućih vrednosti greške (na osnovu linearne interpolacije po tangenti), što svakako predstavlja prednost. Međutim, ova osobina PD regulatora postaje nedostatak u slučajevima kada se javljaju brze promene signala greške ili ako u sistemu postoje značajni šumovi, jer ih diferencijalna akcija jako pojačava. Treba se podsetiti da nije moguća fizička realizacija elementa koji bi imao dinamičku karakteristiku definisanu jednačinom (4.2-5). Ova jednačina daje idealnu dinamičku karakteristiku proporcionalno-

∫ετ+ε= dttKtKtp

i

cc )()()( (4.2-4)

Slika 4.2-1. Odziv PI regulatora na stepenastu promenu greške

Slika 4.2-2. Odziv PD regulatora na jediničnu linearnu promenu greške

dttdKtKtp dcc)()()( ε

τ+ε= (4.2-5)


diferencijalnog regulatora, dok stvarni regulatori imaju dinamičke karakteristike koje teže ovoj idealnoj. O dinamičkim karakteristikama realnih regulatora će biti reči u poglavlju 4.5.2.. Takođe treba naglasiti da je korišćenje proporcionalno-diferencijalnog regulatora vrlo retko, jer on za razliku od PI regulatora ne otklanja statičku, odnosno grešku stacionarnog stanja. Mnogo je češće korišćenje regulatora koji ima sva tri dejstva. 4.2.1.4. Proporcionalno-integralno-diferencijalni (PID) regulator Ovo je najsloženiji tip regulatora koji se koristi u sistemima automatske regulacije. On vrši pojačavanje, integraljenje i diferenciranje greške, odnosno ima sve tri akcije: proporcionalnu, integralnu i diferencijalnu. Dinamička karakteristika PID regulatora se najčešće prikazuje jednačinom:

Ovaj regulator ima osobine i PI i PD regulatora i u principu omogućava najbolju regulaciju. Značenje pojačanja Kc, integralnog vremena τi i diferencijalnog vremena τd je isto kao kod P, PI i PD regulatora. Naravno, ne samo što je konstrukcija PID regulatora najsloženija, već njegovo korišćenje zahteva od operatera najviše znanja i veštine, jer za dobar rad regulacionog kola treba pravilno odabrati tri parametra: pojačanje regulatora Kc, integralno vreme τi i diferencijalno vreme τd. Očigledno je da se pri velikim vrednostima integralnog vremena (τi64) PID regulator svodi na PD regulator, dok se za vrlo male vrednosti diferencijalnog vremena (τd60) svodi na PI regulator. Pored ova četiri tipa regulatora koji se koriste u sistemima automatske regulacije procesa, ponekad se koristi i dvopoložani (engleski ON-OFF) regulator kod koga izlaz može da ima smo dve vrednosti, od kojih jedna odgovara potpuno otvorenom a druga potpuno zatvorenom regulacionom ventilu. Ovaj regulator je vrlo jednostavan i ne koristi se često za regulaciju u postrojenjima hemijske industrije. Dvopoložajni regulator se može posmatrati kao proporcionalni regulator vrlo velikog pojačanja, odnosno opsega proporcionalnosti koji je približno jednak nuli. Sva četiri osnovna tipa regulatora (P, PI, PD i PID) su linearni elementi, dok je dvopoložajni regulator nelinearan. 4.2.2. Prenosne funkcije regulatora u zatvorenom regulacionom kolu Primenom Laplasove transformacije na jednačine (4.2-3) do (4.2-6) kojima su definisane dinamičke karakteristike regulatora, i nalaženjem odnosa Laplasovih transformacija izlaznog signala iz regulatora i ulaznog signala greške, dobijaju se sledeće prenosne funkcije: - za proporcionalni regulator:

- za proporcionalno-integralni regulator:

- za proporcionalno-diferencijalni regulator:

- Za proporcionalno-integralno-diferencijalni regulator:

∫ε

τ+ετ

+ε=dt

tdKdttKtKtp dci

cc

)()()()( (4.2-6)

K = (s)

P(s) = (s)G cPc, ε (4.2-7)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τε s1 + 1 K =

(s)P(s) = (s)G

icPIc, (4.2-8)

s) + (1 K = (s)

P(s) = (s)G dcPDc, τε

(4.2-9)


Za PID regulator se često koristi nešto drugačiji oblik prenosne funkcije:

koja PID regulator prikazuje kao rednu vezu PI i PD regulatora. Zbog toga se za ovaj regulator koristi i naziv kaskadni regulator. Prenosna funkcija prikazana jednačinom (4.2-11) se može razviti u oblik:

koji je identičan sa prenosnom funkcijom prikazanom jednačinom (4.2-11), osim što su parametri Kc, τi i τd drugačije definisani. 4.2.3. Frekventne karakteristike regulatora u zatvorenom regulacionom kolu Kao i prenosne funkcije, frekventne karakteristike predstavlaju vrlo pogodan oblik prikazivanja dinamičkih karakteristika pojedinih elemenata, omogućujući jednostavno dobijanje i analizu dinamičkih karakteristika ukupnog sistema. U cilju dobijanja frekventnih karakteristika ukupnog regulacionog sistema, neophodno nam je poznavanje frekventnih karakteristika regulatora povratne sprege. Najjednostavniji način dobijanja frekventnih karakteristika je zamena s sa jω u odgovarajućim prenosnim funkcijama. U nastavku ćemo prikazati frekventne karakteristike pojedinih regulatora. 4.2.3.1. Frekventne karakteristike P regulatora Zamenom s sa jω u prenosnoj funkciji definisanoj jednačinom (4.2-7) dobija se frekventna prenosna funkcija P regulatora:

Realni i imaginarni deo ove frekventne prenosne funkcije su:

a odgovarajuća amplitudna i fazna karakteristika:

Nikvistov dijagram P regulatora je prikazan na slici 4.2-5., a Bodeovi dijagrami na slici 4.2-6. Može se lako zaključiti da je P regulator zapravo proporcionalni element, tako da su ovi rezultati identični sa onima prikazanim na slici 2.8-4. u poglavlju 2.8.4.1.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

τε s +

s1 + 1 K =

(s)P(s) = (s)G d

icPIDc, (4.2-10)

s) + (1 s

1 + 1 K = (s)G di

cPID,c τ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

′′

′′ (4.2-11)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

τττ

ττττ

ττ′′

′

′′′

′′′′′ s

/ +1 +

)s/ +(1 + 1 )/ + (1 K = (s)G

id

d

idi

didcPID,c (4.2-12)

K = )(jG cPc, ω (4.2-13)

Slika 4.2-5. Nikvistov dijagram P regulatora

0 = ))(jGIm( ,K = ))(jGRe( Pc,cPc, ωω

0 = )( ,K = )(AR Pc,cPc, ωφω (4.2-15)


4.2.3.2. Frekventne karakteristike PI regulatora Zamenom s sa jω u prenosnoj funkciji PI regulatora, definisanoj jednačinom (4.2-8), dobija se sledeća kompleksna funkcija fekvence:

čiji su realni i imaginarni deo:

i moduo (amplitudna karakteristika) i argument (fazna karakteristika):

Slika 4.2-6. Bodeovi dijagrami P regulatora

Slika 4.2-7. Nikvistov dijagram PI regulatora

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ωτ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωτ

ω j1 - 1 K = j

1 + 1 K = )(Gi

ci

cPIc, (4.2-16)

ωτω

ω

i

cPIc,

cPIc,

K- = ))(jGIm(

K = ))(jGRe( (4.2-17)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ωτ

ωφ

ωτω

iPIc,

2i

cPIc,

1 - = )(

)(1 + 1 K = )(AR

arctan (4.2-18)

Slika 4.2-8. Bodeovi dijagrami PI regulatora


Grafički prikaz frekventnih karakteristika PI regulatora u Nikvistovom i Bodeovim dijagramima dat je na slikama 4.2-7. i 4.2-8. Može se uočiti da integralno dejstvo kod PI regulatora dolazi do izražaja pri niskim frekvencijama (za spore promene greške), dok se pri visokim frekvencijama on praktično ponaša kao proporcionalni. 4.2.3.3. Frekventne karakteristike PD regulatora Frekventna karakteristika PD regulatora se dobija u obliku sledeće kompleksne funkcije frekvencije:

Iz ovog izraza se direktno mogu odrediti realni i imaginarni deo frekventne prenosne funkcije:

na osnovu kojih se dobijaju sledeći izrazi za amplitudnu i faznu karakteristiku PD regulatora:

Nikvistov dijagram PD regulatora je prikazan na slici 4.2-9, a Bodeovi dijagrami na slici 4.2-10.

Kao što se može videti sa Bodeovih i Nikvistovog dijagrama, diferencijalno dejstvo postaje značajno pri visokom vrednostima frekvencije, dok se pri niskim frekvencijama (pri sporim promenama funkcije greške) PD regulator ponaša kao proporcionalni. Takođe treba primetiti da PD regulator daje pozitivnu faznu karakteristiku, što bi značilo da kod ovog sistema izlaz prednjači ispred ulaza. Ovo su, naravno, frekventne karakteristike idealnog PD regulatora, koji ima istu prenosnu funkciju (pa time i frekventne karakteristike) kao idealni diferencijalni element koji smo definisali u poglavljima 2.3.6.1. i 2.8.4.6. 4.2.3.4. Frekventne karakteristike PID regulatora PID regulator je najsloženiji od svih konvencionalnih regulatora povratne sprege, pa shodno tome, ima i najsloženiju prenosnu funkciju i frekventnu karakteristiku, koja se dobija u sledećem obliku:

Slika 4.2-9. Nikvistov dijagram PD regulatora

j) + (1 K = )(jG dcPDc, ωτω (4.2-19)

( )( ) ωτ=ω

=ω

dcPDc

cPDc

KjGKjG

)(Im)(Re

,

, (4.2-20)

)( = ,)(+1 K = )(AR dPDc,2

dcPDc, ωτφωτω arctan (4.2-21)

Slika 4.2-10. Bodeovi dijagrami proporcionalno-diferencijalnog regulatora

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωτ

ωτω j +

j1 + 1 K = )(jG d

icPIDc, (4.2-22)


Realni i imaginarni deo ove kompleksne funkcije su:

a odgovarajuća ampitudna i fazna karakteristika:

Grafički prikaz ovih frekventnih karakteristika je dat na slici 4.2-11. u obliku Nikvistovog i na slici 4.2-12. u obliku Bodeovih dijagrama. Bodeovi dijagrami na ovoj slici odgovaraju slučaju kada je integralno vreme veće od diferencijalnog, što je uobičajeno (konkretne vrednosti koje odgovaraju ovom dijagramu su τi=2 i τd=0.5). Sa slike 4.2-12. se može videti da se PID regulator ponaša kao PI u oblasti niske frekvencije, dok se u oblasti visoke frekvencije ponaša kao PD regulator.

4.3. DINAMIKA ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA U prethodnim poglavljima smo definisali osnovne elemente i strukturu zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom spregom. Kao što smo naveli, zatvoreno regulaciono kolo treba da obezbedi: 1. održavanje izlaza na konstantnoj vrednosti definisanoj postavnom tačkom, pri poremećaju nekog od ulaza koji se ne može po želji menjati, odnosno pri promeni promenljive opterećenja (slučaj stabilizacione regulacije); 2. vremensku promenu izlaza na željeni način, definisan promenom postavne tačke (slučaj programske regulacije). I u jednom i u drugom slučaju, nije moguće postići cilj regulacije trenutno, već je potrebno određeno vreme da se otkloni dejstvo poremećaja, odnosno da izlaz dostigne željenu promenu. Projektovanje regulacionog kola se sastoji u pravilnom izboru svih elemenata regulacionog kola, a naročito u izboru tipa i parametara regulatora, tako da zatvoreno regulaciono kolo zadovolji dva osnovna zahteva:

Slika 4.2-11. Nikvistov dijagram PID regulatora

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ωτ

ωτω

ω

1 - K = ))(jG( Im

K = ))(jG( Re

idcPIDc,

cPIDc,

(4.2-23)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωτ

ωτωφ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωτ

ωτω

idPIDc,

id

2

cPIDc,

1 - = )(

1 - + 1 K = )(AR

arctan

(4.2-24)

Slika 4.2-12. Bodeovi dijagrami PID regulatora


stabilnost i brz odziv. Problemima stabilnosti zatvorenog regulacionog kola će se baviti sledeće poglavlje, dok ćemo u ovom pokušati da sagledamo osnovne činjenice vezane za dinamiku i odziv sistema zatvorenog kola. 4.3.1. Blok dijagram i prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola Ako posmatramo jednostavan proces sa dve ulazne promenljive: jednom manipulativnom m i jednom promenljivom opterećenja l i sa jednim regulisanim izlazom, najjednostavnije zatvoreno regulaciono kolo se može prikazati blok dijagramom datim na slici 4.3-1.

U ovom blok dijagramu su korišćene sledeće oznake signala: X - Laplasova transformacija promene postavne tačke L - Laplasova transformacija promene opterećenja (poremećaja) Y - Laplasova transformacija promene izlazne (regulisane) promenljive ε - Laplasova transformacija funkcije greške M - Laplasova transformacija promene manipulativne promenljive P - Laplasova transformacija promene upravljačkog signala Ym- Laplasova transformacija promene izmerene veličine izaza i prenosnih funkcija: Gp - prenosna funkcija procesa u odnosu na regulacionu promenljivu (Y/M) Gpl - prenosna funkcija procesa u odnosu na promenljivu opterećenja (Y/L) Gm - prenosna funkcija mernog elementa Gc - prenosna funkcija regulatora Gv - prenosna funkcija izvršnog elementa Treba primetiti da su za potpuno definisanje dinamičkih karakteristika procesa potrebne dve prenosne funkcije, u odnosu na manipulativnu promenljivu M i u odnosu na promenljivu opterećenja L. Uobičajeno je definisanje dva tipa prenosnih funkcija koje se odnose na zatvoreno regulaciono kolo. Prvi tip, koji se naziva prenosna funkcija otvorenog kola i najčešće se označava sa G(s), predstavlja proizvod prenosnih funkcija svih elemenata koji se nalaze u zatvorenoj konturi regulacionog kola:

Ova prenosna funkcija, koja odgovara sistemu zatvorenog kola koji bi na bilo kom mestu bio "otvoren", se vrlo mnogo koristi pri analizi zatvorenog regulacionog kola.

Slika 4.3-1. Blok dijagram zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom spregom

(s)G (s)G (s)G (s)G = G(s) mpvc (4.3-1)


Drugi tip prenosne funkcije koji se može definisati kod zatvorenog regulacionog kola je prava prenosna funkcija zatvorenog kola, koju ćemo označavati sa W(s). Zapravo, za sistem prikazan blok dijagramom na slici 4.3-1. mogu se definisati dve prenosne funkcije zatvorenog kola: jedna u odnosu na promenu postavne tačke (Y/X) i druga u odnosu na promenu opterećenja (Y/L). Svođenjam blok dijagrama prikazanog na slici 4.3-1., on se može transformisati u jednostavan oblik prikazan na slici 4.3-2. Izrazi za prenosne funkcije zatvorenog kola se dobijaju jednostavno, korišćenjem pravila o svođenju blok dijagrama negativne povratne sprege koje smo izveli u poglavlju 2.4.3. Prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na postavnu tačku je:

a prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na promenljivu opterećenja:

Treba primetiti da su imenioci obe prenosne funkcije zatvorenog kola identični. Ukoliko prenosne funkcije svih elemenata u zatvorenom kolu imaju oblik odnosa dva polinoma po s, imenilac prenosne funkcije zatvorenog kola se svodi na polinom po s. Ovaj polinom predstavlja karakteristični polinom, dok jednačina:

predstavlja karakterističnu jednačinu zatvorenog regulacionog kola. 4.3.2. Vremenski odzivi zatvorenog regulacionog kola U cilju što bojeg sagledavanja uticaja tipa i parametara regulatora na dinamiku zatvorenog regulacionog kola, potražićemo odzive nekih jednostavnih sistema zatvorenog regulacionog kola, prikazanog blok dijagramom na slici 4.3-1., na stepenastu promenu postavne tačke ili promenljive opterećenja. 4.3.2.1. Uticaj proporcionalnog regulatora na odziv zatvorenog kola Najpre ćemo na nekoliko jednostavnih primera ispitati uticaj P regulatora na dinamiku zatvorenog regulacionog kola, tražeći odzive zatvorenog kola sa P regulatorom na stepenastu promenu postavne tačke ili opterećenja. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i P regulatorom na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke. Posmatraćemo jednostavno regulaciono kolo u kome je proces prvog reda vezan sa proporcionalnim regulatorom, dok se dinamičke karakteristike mernog i izvršnog elementa mogu zanemariti:

i u kome se postavna tačka menja u obliku Hevisajdove funkcije, dok se promenljiva opterećenja ne menja:

lika 4.3-2. Ekvivalentni blok dijagram zatvorenog regulacionog kola

G(s) + 1(s)G (s)G (s)G =

(s)G (s)G (s)G (s)G + 1(s)G (s)G (s)G =

X(s)Y(s) = (s)W pvc

mpvc

pvcX (4.3-2)

G(s) + 1(s)G =

(s)G (s)G (s)G (s)G + 1(s)G =

L(s)Y(s) = (s)W pl

mpvc

plL (4.3-3)

0 = (s)G (s)G (s)G (s)G + 1 = G(s) + 1 mpvc (4.3-4)

1 = (s)G 1, = (s)G ,K = (s)G ,1+s

K = (s)G mvccp

pp

τ (4.3-5)

0 = L(s) ,s1 = X(s)


Prenosna funkcija zatvorenog kola u odnosu na postavnu tačku je u ovom slučaju:

Očigledno je da i prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola odgovara sistemu prvog reda. Deljenjem brojioca i imenioca ove prenosne funkcije sa (1+KcKp), dobija se standardni oblik prenosne funkcije prvog reda:

Na osnovu jednačine (4.3-7) može se zaključiti da proces prvog reda u zatvorenom regulacionom kolu sa P regulatorom zadržava dinamičke karakteristike sistema prvog reda, ali sa nekim novim, ekvivalentnim vrednostima pojačanja i vremenske konstante:

Očigledno je da je ekvivalentna vrednost vremenske konstante zatvorenog kola manja od vremenske konstante samog procesa:

što znači da zatvoreno regulaciono kolo sa P regulatorom ubrzava odziv sistema. Odziv ovog zatvorenog regulacionog kola na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke ima poznati oblik koji važi za sistem prvog reda:

Na slici 4.3-3. su prikazani odzivi zatvorenog regulacionog sa procesom prvog reda i P regulatorom za tri vrednosti pojačanja regulatora (za Kp=2 i τp=5 min). Na osnovu ove slike se mogu izvesti dva osnovna zaključka: 1. Odziv zatvorenog regulacionog kola je brži od odziva samog procesa i brzina odziva se povećava sa povećanjem pojačnja regulatora Kc. 2. Kada sistem dođe u novo stacionarno stanje (kada t64) izlaz nije jednak vrednosti postavne tačke. Odstupanje izlaza u stacionarnom stanju od postavne tačke je karakteristično za regulaciju sa P regulatorom i naziva se greška stacionarnog stanja (GSS) (engleski offset). Definiše se na sledeći način:

i za slučaj koji posmatramo iznosi:

Očigledno je da se pri povećanju pojačanja regulatora greška stacionarnog stanja smanjuje, kao i vremenska konstanta zat-vorenog kola, tako da bi granični slučaj bio:

K K+1+sK K =

1+sK K + 1

1+sK K

= (s)G (s)G (s)G (s)G + 1

(s)G (s)G (s)G = X(s)Y(s) = (s)W

pcp

pc

p

pc

p

pc

mpvc

pvcX

ττ

τ (4.3-6)

1 + sK =

1 + sK K + 1

K K + 1K K

= (s)We

e

pc

p

pc

pc

Xττ

(4.3-7)

K K + 1 = ,

K K + 1K K = K

pc

pe

pc

pce

ττ (4.3-8)

ττ pe < (4.3-9)

Slika 4.3-3. Odziv regulacionog kola sa procesom prvog reda i P regulatorom na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke

)e - (1 K = y(t) e/ -te

τ (4.3-10)

|x(t) - y(t)| = GSSt ∞→lim (4.3-11)

K K + 11 = K - 1 = GSS

pce (4.3-12)

0 1),K( 0GSS K eec →τ→→∞→ _


što znači da bi pri beskonačno velikom pojačanju regulatora izlaz idealno pratio promenu postavne tačke. NAPOMENA: Vrednost greške stacionarnog stanja se najjednostavnije može dobiti direktno iz Laplasovog domena primenom teoreme o krajnjoj vrednosti. U tom slučaju nije neophodno nalaženje inverzne Laplasove transformacije. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i P regulatorom na jediničnu stepenastu promenu opterećenja. Posmatraćemo regulacioni problem za sistem koji je definisan u prethodnom primeru. Uzećemo najjednostavniji slučaj kod koga je:

Prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na promenljivu opterećenja je:

Ovo je opet prenosna funkcija prvog reda koja se može prikazati u standardnom obliku:

Treba primetiti da je vremenska konstanta zatvorenog kola identična kao u prethodnom primeru, dok je pojačanje zatvorenog kola manje od pojačanja samog procesa:

Odziv na jediničnu stepenastu promenu opterećenja se dobija u obliku:

i grafički je prikazan na slici 4.3-4., za tri vrednosti pojačanja regulatora i parametre procesa Kp=2, τp=5 min. Greška stacionarnog stanja u ovom slučaju iznosi:

I u slučaju stepenaste promene opterećenja, greška stacionarnog stanja se smanjuje sa povećanjem pojačanja regulatora, dok se brzina odziva povećava (vremenska konstanta τe se smanjuje sa povećanjem Kc). Za Kc64 regulacija bi bila idealna, što znači da se izlazna promenljiva y ne bi uopšte promenila uprkos stepenastoj promeni opterećenja. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom drugog reda i P regulatorom na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke. U ovom slučaju posmatramo zatvoreno regulaciono kolo čiji su elementi definisani sledećim prenosnim funkcijama:

1 + sK = (s)G = (s)G

p

pppl

τ (4.3-13)

K K+ 1 + sK =

1 + sK K + 1

1 + sK

= (s)G (s)G (s)G (s)G + 1

(s)G = L(s)Y(s) = (s)W

pcp

p

p

pc

p

p

mpvc

plL

ττ

τ (4.3-14)

1 + sK =

1 + sK K + 1

K K + 1K

= (s)We

e

pc

p

pc

p

Lττ

(4.3-15)

Slika 4.3-4. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i P regulatorom na stepenastu promenu opterećenja

K K + 1K = K ,

K K + 1 =

pc

pe

pc

pe

ττ (4.3-16)

)e - (1 K = y(t) e/ -te

τ (4.3-17)

pc

pe KK

KKGSS

+==

1 (4.3-18)


dok su ulazi u regulaciono kolo:

Očigledno je da ovo zatvoreno regulaciono kolo takođe predstavlja sistem drugog reda, koji se, deljenjem brojioca i imenioca poslednjeg izraza u jednačini (4.3-20) sa (1+KcKp) može prikazati standardnim oblikom prenosnom funkcije:

Ekvivalentni dinamički parametri zatvorenog kola Ke, τe i ξe su sledeće funkcije parametara procesa i pojačanja regulatora:

Treba primetiti da su vrednosti vremenske konstante i faktora prigušenja zatvorenog kola manje od vrednosti odgovarajućih parametara samog procesa i da se njihove vrednosti smanjuju sa povećanjem pojačanja regulatora Kc. U graničnom slučaju će biti:

Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom drugog reda i P regulatorom, na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke, će naravno zavisiti od vrednosti koeficijenta prigušenja ξe, kako smo prikazali u poglavlju 2.7.2. koje se odnosilo na odziv sistema drugog reda: (a) Za ξe>1 (Kc<(ξp

2-1)/Kp) dobija se previše prigušen odziv:

(b) Za ξe=1 (Kc=(ξp2-1)/Kp) dobija se ktiti;no prigušen odziv:

(c) Za ξe<1 (Kc>(ξp2-1)/Kp) dobija se nedovoljno prigušen sistem:

1 = (s)G = (s)G ,K = (s)G ,1 + s 2 + s

K = (s)G mvccp

2p

pp ξττ

(4.3-19)

0 = L(s) ,s1 = X(s)

K K + 1 + s2 + sK K =

1 + s2 + sK K + 1

1 + s2 + sK K

= (s)G (s)G (s)G (s)G + 1

(s)G (s)G (s)G = Wpcpp

22p

pc

pp22

p

pc

pp22

p

pc

mpvc

pvcX

ξττξττ

ξττ (4.3-20)

1 + s 2 + s K =

1 + sK K + 1

2 + s

K K + 1

K K + 1K K

= (s)Wee

2e2

e

pc

pp2

pc

2p

pc

pc

Xξττξττ

(4.3-21)

K K + 1 = ,

K K + 1 = ,

K K + 1K K = K

pc

pe

pc

pe

pc

pce

ξξτ

τ (4.3-22)

0 0, 1, K : K eeec →ξ→τ→∞→ (4.3-23)

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

τ

ξξ

ξ

ξξ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

τ

ξξ

ξ

ξξt

)1-+(-

1- 2

1-- + t

)1--(-

1- 2

1-+ - 1 K = y(t)

e

2ee

2e

2ee

e

2ee

2e

2ee

e expexp (4.3-24)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

τ e t+1 - 1 K = y(t) et/-

ee (4.3-25)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ξξ

τ

ξ

ξτξ

-1+t

-1 e

-11 - 1 K = y(t)

e

2e

e

2et/-

2e

eee arctansin (4.3-26)


NAPOMENA: Pošto je ξe<ξp i Kc>0, slučajevi (a) i (b) su mogući samo ako je proces koji se nalazi u zatvorenom kolu previše prigušen (ξp>1). Na osnovu sva tri izraza za odziv, može se zaključiti da će se i u ovom slučaju javiti greška stacionarnog stanja koja iznosi:

Na slici 4.3-5. je prikazan odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom drugog reda i P regulatorom na stepenstou promenu postavne tačke, za pet različitih vrednosti pojačanja regulatora. Konkretni parametri procesa za koje je dobijena slika 4.3-5. su: Kp=1, τp=2 min, ξp=2. ZAKLJUČAK: Na osnovu prethodnih primera odziva jednostavnih regulacionih kola sa P regulatorom, mogu se izvesti sledeći zaključci: 1. prisustvo P regulatora ne menja red sistema; 2. zatvoreno regulaciono kolo sa P regulatorom ima brži odziv od sistema bez regulacije; brzina odziva se povećava sa povećanjem pojačanja regulatora; 3. pri korišćenju P regulatora javlja se greška stacionarnog stanja, koja se smanjuje sa povećanjem pojačanja regulatora; 4. kod regulacije sistema drugog reda pomoću P regulatora, koeficijent prigušenja i period oscilovanja se smanjuju. Ove vrednosti opadaju sa povećanjem pojačanja regulatora. 4.3.2.2. Uticaj idealnog PI regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola Da bi došli do zaključaka o ulozi PI regulatora u zatvorenom regulacionom kolu, izvešćemo izraze za odziv najjednostavnijeg regulacionog kola sa procesom prvog reda na stepenastu promenu postavne tačke i opterećenja. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke. Kao i u većini prethodnih primera, pretpostavićemo da se dinamičke karakteristike mernog i izvršnog elementa mogu zanemariti, tako da su prenosne funkcije kojima su definisani elementi regulacionog kola koje posmatramo:

Posmatraćemo najpre ponašanje ovog sistema kada se postavna tačka menja u obliku jedinične stepenaste funkcije, dok promenljiva opterećenja ostaje nepromenjena:

Prenosna funkcija ovako definisanog zatvorenog regulacionog kola će biti:

Desna strana jednačine (4.3-37) se može transformisati u oblik:

Slika 4.3-5. Steprenasti odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom drugog reda i P regulatorom

K K + 11 = K - 1 = GSS

pce (4.3-27)

1 = (s)G = (s)G ,1 + s

K = (s)G , s1 + 1 K = (s)G vm

p

pp

icc

τ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

(4.3-36)

0 = L(s) ,s1 = X(s)

1 + sK

s1 + 1 K + 1

1 + sK

s1 + 1 K

= (s)G (s)G (s)G (s)G + 1

(s)G (s)G (s)G = X(s)Y(s) = (s)W

p

p

ic

p

p

ic

mpvc

pvcX

τ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

τ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ (4.3-37)


koji odgovara prenosnoj funkciji sistema drugog reda, koja se deljenjem brojioca i imenioca sa KcKp može svesti na standardni oblik:

Efektivna vremenska konstanta i efektivni koeficijent prigušenja koji odgovaraju zatvorenom regulacionom kolu koje posmatramo su definisani na sledeći način:

Analizom izraza definisanih jednačinom (4.3-40), može se zaključiti da se efektivna vremenska konstanta povećava sa povećanjem vrednosti integralnog vremena i smanjuje sa povećanjem pojačanja PI regulatora, dok se efektivni koeficijent prigušenja povećava sa povećanjem i integralnog vremena i pojačanja PI regulatora. Nalaženje inverzne Laplasove transformacije izraza za izlaz u Laplasovom domenu:

se može izvršiti na analogan način kao u prethodnom primeru. I u ovom slučaju bi se dobili različiti oblici inverzne Laplasove transformacije, zavisno od toga da li je ξe>0, =0 ili <0. Daćemo samo oblik koji se dobija za nedovoljno prigušen odziv, jer je to slučaj koji se najčešće javlja u praksi:

kada t64 dobija se:

tako da je greška stacionarnog stanja:

K K + )K K + (1 + s s K K + K K =

1) + s( K K + s 1) + s( s) + (1 K K = (s)W

pcpci2

ip

ipcpc

ipcip

ipcX

ττττ

ττττ (4.3-38)

1 + s 2 + s s + 1 =

1 + sK K

1 + 1 + s K K

s + 1 = (s)Wee

22e

i

pci

2

pc

ip

iX

τξττ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ

τττ (4.3-39)

K KK K + 1

21 = ,

K K

= pc

pc

p

ie

pc

ipe

ττξττ

τ (4.3-40)

1) + s 2 + s ( s s + 1 = (s)W X(s) = Y(s)

ee22

e

iX

τξττ (4.3-41)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ξξ

τ

ξ

ξ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

τ

ξ

ξτ

τ τξτξ

- 1 + t

- 1

- 1e - 1 + t

-1 e

- 1 = y(t)

e

2e

e

2e

2e

/ t-

e

2e/ t-

2ee

iee

ee arctansinsin (4.3-42)

1 = y(t) tlim

∞→ (4.3-43)

0lim =∞→

|x(t) - y(t)| = GSSt

(4.3-44)


Uticaj parametara PI regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda prikazan je na slikama 4.3-8. (uticaj pojačanja regulatora) i 4.3-9. (uticaj integralnog vremena).Slika 4.3-8. je dobijena za sledeće vrednosti parametara: Kp=1, τp=1 min, τi=0.2 min, dok slika 4.3-9. odgovara parametrima Kp=1, τp=1 min, Kc=1. Sa slike 4.3-8. se može videti da se sa povećanjem pojačanja PI regulatora povećava brzina odziva zatvorenog regulacionog kola, smanjuje period oscilovanja i sistem se brže smiruje uz manje prekoračenje odziva (što odgovara povećanju koeficijenta prigušenja ξe do koga dolazi pri povećanju pojačanja regulatora, u slučaju kada je KcKp>1). Rezultati prikazani na slici 4.3-9. pokazuju da se sa povećanjem integralnog vremena PI regulatora smanjuje brzina odziva sistema, povećava period oscilovanja i smanjuje oscilatornost sistema, uz manje prekoračanje odziva. Obe slike pokazuju da se pomoću PI regulatora eliminiše greška stacionarnog stanja. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom na jediničnu stepenastu promenu opterećenja. Sistem koji posmatramo je identičan onom iz prethodnog primera, samo u ovom slučaju analiziramo odziv na stepenastu promenu opterećenja. Usvojićemo da je:

Prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na promenljivu opterećenja je:

Kada se izraz na desnoj strani jednačine (4.3-46), koji predstavlja prenosnu funkciju sistema drugog reda, prikaže u standardnom obliku, dobija se:

Efektivna vremenska konstanta τe i efektivni koeficijent prigušenja ξe u ovom izrazu su identični sa onim definisanim u prethodnom primeru (jednačina 4.3-40). Odziv ovog zatvorenog regulacionog kola na jediničnu stepenastu promenu opterećenja se dobija nalaženjem inverezne Laplasove transformacije desne strane jednačine (4.3-47):

Slika 4.3-8. Uticaj pojačanja regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke

Slika 4.3-9. Uticaj integralnog vremena na odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke

1 + sK = (s)G = (s)G

p

pppl

τ (4.3-45)

1 + sK

s1 + 1 K + 1

1 + sK

= (s)G (s)G (s)G (s)G + 1

(s)G = L(s)Y(s) = (s)W

p

p

ic

p

p

mpvc

plL

τ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

τ (4.3-46)

1 + s 2 + s

sK =

1 + sK K

1 + 1 + s K K

sK = (s)(s)W

ee22

e

c

i

pci

2

pc

ip

c

i

Lτξτ

τ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ

ττ

τ

(4.3-47)


Oblik inverzne Laplasove transformacije i u ovom slučaju zavisi od vrednosti efektivnog koeficijenta prigušenja ξe. Oblik koji se dobija za slučaj ξe<1, koji se najčešće javlja u realnim sistemima sa PI regulatorom je:

Očigledno je da će i u ovom slučaju greška stacionarnog stanja biti jednaka nuli:

Odzivi zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom na jediničnu stepenastu promenu opterećenja, za vrednosti parametara: Kp=1, τp=1 min, τi=0.2 min i tri vrednosti pojačanja PI regulatora, prikazani su na slici 4.3-10. Na slici 4.3-11. su prikazani odzivi za slučaj Kp=1, τp=1 min, Kc=1 i tri različite vrednosti integralnog vremena.

Rezultati prikazani na slikama 4.3-10. i 4.3-11. potvrđuju zaključke koje smo izveli u prethodnom primeru. ZAKLJUČAK: Na osnovu odziva zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom koje smo izveli u ovom poglavlju, mogu se izvesti sledeći generalni zaključci o najznačajnijim aspektima uticaja idealnog PI regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola: 1. prisustvo PI regulatora povećava red sistema za jedan; 2. prisustvo PI regulatora eliminiše grešku stacionarnog stanja; 3. sa povećanjem pojačanja PI regulatora povećava se brzina odziva, i smanjuje se period oscilovanja zatvorenog kola; za KcKp>1 koeficijent prigušenja se povećava sa povećanjem Kc, dok za KcKp<0 ξe opada sa povećanjem Kc; 4. sa povećanjem vrednosti integralnog vremena dolazi do povećanja perioda oscilovanja odziva i povećanja koeficijenta prigušenja. 4.3.2.3. Uticaj idealnog PD regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola I u ovom slučaju ćemo pokušati da izvučemo zaključke o uticaju PD regulatora na dinamiku zatvorenog regulacionog kola na jednostavnom primeru procesa prvog reda sa mernim instrumentom i izvršnim elementom čija se dinamika može zanemariti. Posmatraćemo odziv na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke i opterećenja.

12/)()()( 22 +τξ+τ

τ==

ssKsLsWsY

eee

ciL (4.3-48)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

τ

ξ

ξτ

τ τξ t - 1

e - 1

K/ = y(t)e

2e/ t -

2ee

ci ee sin (4.3-49)

0 = 0 - 0 = | y(t) - x(t)| = GSSt ∞→lim (4.3-50)

Slika 4.3-11. Uticaj integralnog vremena na odziv zatvorenog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom na jediničnu stepenastu promenu opterećenja

Slika 4.3-10. Uticaj pojačanja PI regulatora na odziv zatvorenog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom na jediničnu stepenastu promenu opterećenja


Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke. U ovom slučaju su prenosne funkcije elemenata kola i ulazne promenljive definisane na sledeći način:

Prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na postavnu tačku je:

Očigledno je da zatvoreno regulaciono kolo sa procesom prvog reda i PD regulatoraom takođe predstavlja sistem prvog reda koji se može prikazati prenosnom funkcijom u standardnom obliku:

Konstante Ke1 i Ke2 i efektivna vremenska konstanta τe su definisane na sledeći način:

Odziv zatvorenog regulacionog kola za procesom prvog reda i PD regulatorom se dobija inverznom Laplasovom transformacijom izraza za izlaz:

Nalaženjem inverzne Laplasove transformacije izraza na desnoj strani jednačine (4.3-55), dobija se odziv u vremenskom domenu:

Grafički prikaz odziva ovog zatvorenog regulacionog kola dat je na slici 4.3-12. za nekoliko vrednosti pojačanja PD regulatora (za Kp=1, τp=5 min, τd=0.2 min) i na slici 4.3-13., za nekoliko vrednosti diferencijalnog vremena (za Kp=1, τp=5 min i Kc=5). Na osnovu slika 4.3-12. i 4.3-13. i jednačine (4.3-56) može se pokazati da se u zatvorenom regulacionom kolu sa PD regulatorom javlja greška stacionarnog stanja:

koja je identična sa onom koja se javlja kod regulacionog kola sa P regulatorom. S druge strane, efektivna vremenska konstanta regulacionog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom, definisana jednačinom (4.3-55) je veća od odgovarajuće efektivne vremenske konstante koja se dobija sa P regulatorom, definisane jednačinom (4.3.8):

Ovo znači da dodavanje diferencijalne akcije usporava odziv. Sa slika 4.3-12. i 4.3-13. se vidi da odziv zatvorenog regulacionog kola sa PD regulatorom na stepenastu promenu postavne tačke ne počinje od nule, već od neke konačne vrednosti, što je direktna posledica diferencijalnog dejstva regulatora. Odsečak na ordinati zavisi od pojačanja regulatora i diferencijalnog vremena i raste i sa povećanjem Kc i

0 = L(s) ,s1 = X(s) 1, = (s)G = (s)G ,

1 + sK = (s)G s), + (1 K = (s)G mv

p

ppdcc

ττ (4.3-51)

s) + (1 K + 1 + s s) + (1 K K =

1 + sK s) + (1 K + 1

1 + sK s) + (1 K

= (s)G (s)G + 1

(s)G (s)G = X(s)Y(s) = (s)W

dcp

dpc

p

pdc

p

pdc

pc

pcX

τττ

ττ

ττ

(4.3-52)

1 + s sK +K =

1 + sK K + 1

K K +

sK K + 1 K K +

K K + 1K K

= (s)We

ee

pc

dpcp

pc

dpc

pc

pc

Xτττ

τ

21 (4.3-53)

K K + 1 K K +

= ,K K + 1 K K = K ,

K K + 1K K = K

pc

dpcpe

pc

dpce

pc

pce

τττ

τ21 (4.3-54)

1 + sK +

1) + s( sK = (s)W X(s) = Y(s)

e

e

e

eX

ττ21 (4.3-55)

( ) eee te

e

ee

t

e

ete eKKKeKeKty τ−τ−τ−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

τ+=

τ+−= /

12

1/2/

1 1)( (4.3-56)

pcpc

pcet KKKK

KKKtytxGSS

+=

+−=−=−=

∞→ 11

111)()(lim 1 (4.3-57)

K K + 1 >

K K + 1 K K +

pc

p

pc

dpcp τττ (4.3-58)


sa povećanjem τd. Odziv koji zatim sledi se ubrzva sa povećanjem pojačanja regulatora i usporava sa povećanjem diferencijalnog vremena.

Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jediničnu stepenastu promenu opterećenja. Analogno kao u prethodnim primerima, može se izvesti prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola čji su elementi:

u odnosu na promenljivu opterećenja:

Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom je prikazan na slikama 4.3-14. (za Kp=1, τp=5 min, τd=0.2 min i tri vrednosti pojačanja regualatora) i 4.3-15. (za Kp=1, τp=5 min, Kc=5 i tri vrednosti diferencijalnog vremena). Kriva za τd=0 na slici 4.3-14. odgovara sistemu sa P regulatorom.

Slika 4.3-13. Uticaj diferencijalnog vremena na odziv zatvorenog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke

Slika 4.3-12. Uticaj pojačanja regulatora na odziv zatvorenog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke

1 = (s)G = (s)G ,1 + s

K = (s)G = (s)G s), + (1 K = (s)G mvp

pppldcc

ττ (4.3-59)

1 + sK =

1 + sK K + 1

K K + K K + 1

K

=

1 + sK s) + (1 K + 1

1 + sK

= L(s)Y(s) = (s)W

e

e

pc

dpcp

pc

p

p

pdc

p

p

Lτττ

ττ

τ (4.3-60)

)e - (1 K = y(t) e/ -te

τ (4.3-55)

Slika 4.3-14. Uticaj pojačanja regulatora na odziv zatvorenog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jediničnu stepenastu promenu opterećenja

Slika 4.3-15. Uticaj diferencijalnog vremena na odziv zatvorenog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jediničnu stepenastu promenu opterećenja


Na osnovu ovih rezultata mogu se izvesti isti zaključci kao u prethodnom primeru: u zatvorenom regulacionom kolu sa PD regulatorom se javlja greška stacionarnog stanja koja je identična kao kod sistema sa P regulatorom, dok je efektivna vremenska konstanta veća nego kod sistema sa P regulatorom i povećava se sa povećanjem diferencijalnog vremena. ZAKLJUČAK: Na osnovu analize odziva jednostavnog zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke i opterećenja, mogu se izvesti sledeći opšti zaključci o uticaju idealnog PD regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola: 1. PD regulator ne menja red sistema; 2. u zatvorenom regulacionom kolu sa PD regulatorom se javlja greška stacionarnog stanja koja je identična kao kod sistema sa P regulatorom (za istu vrednost pojačanja regulatora); 3. odziv zatvorenog regulacionog kola sa PD regulatorom na jedniničnu stepenastu promenu postavne tačke ne počinje od nule već od konačne pozitivne vrednosti (Ke2/τe) koja se povećava sa povećanjem Kc i τd; 4. efektivna vremenska konstanta zatvorenog regulacionog kola sa PD regulatorom je veća od odgovarajuće efektivne vremenske konstante sa P regulatorom, zbog čega je odziv sistema sa PD regulatorom sporiji od odziva odgovarajućeg sistema sa P regulatorom (za isto pojačanje regulatora). Najveći značaj uvođenja diferencijalne akcije je u povećavanju stabilnosti zatvorenog regulacionog kola, što će biti ilustrovano u sledećem poglavlju. Na taj način, iako direktno usporava odziv, dodavanje diferencijalne akcije indirektno dovodi do bržih odziva zatvorenog kola, jer omogućuje korišćenje većih pojačanja regulatora, što rezultuje bržim odzivom. 4.3.2.4. Uticaj idealnog PID regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola Analiza uticaja PID regulatora na dinamiku zatvorenog regulacionog kola je dosta složena jer se javljaju tri promenljiva parametra regulatora (Kc, τi i τd) koji se mogu podešavati i na taj način uticati na odziv zatvorenog kola. Zaključci koji su izvedeni u prethodnim primerima o uticaju proporcionalne, integralne i diferencijalne akcije na odziv zatvorenog regulacionog kola, u principu važe i u ovom slučaju. Dinamiku zatvorenog regulacionog kola sa PID regulatorom ćemo prikazati samo na najjednostavnijem primeru odziva sistema sa procesom prvog reda na jediničnu stepenastu promenu opterećenja. Odziv zatvorenog regulacionog kola sa PID regulatorom i procesom prvog reda, na jediničnu stepenastu promenu opterećenja. U ovom slučaju su elementi regulacionog kola definisani sledećim prenosnim funkcijama:

Prenosna funkcija ovog zatvorenog regulacionog kola u odnosu na promenljivu opterećenja će biti:

Efektivna vremenska konstanta i efektivni koeficijent prigušenja ovog sistema su sledeće složene funkcije parametara procesa i regulatora:

Odziv na jediničnu stepenastu promenu opterećenja se dobija inverznom Laplasovom transformacijom

1 = (s) G = (s)G ,1 + s

K = (s)G = (s)G , s + s1 + 1 K = (s)G mv

p

pppld

icc

τ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

τ(4.3-62)

1 + sK s +

s1 + 1 K + 1

1 + sK

= L(s)Y(s) = (s)W

p

pd

ic

p

p

L

τ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

τ

τ (4.3-63) 1 + s 2 + s

sK/ = 1 + s

K KK K + 1 + s +

K K

sK = (s)W

ee22

e

ci

pc

pci

2di

pc

ip

c

i

Lτξτ

τ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ

ττ

τ

(4.3-64)

τττ

ττξττ

τττ

dpc

p

i

pc

pc

epc

pciedi

pc

ipe

+ K K

K K

K K + 1

21 =

21

K KK K + 1

= , + K K

= (4.3-65)


izraza:

U slučaju kada je ξe<1 (koji se najčešće javlja u praksi), dobija se vremenski odziv u sledećem obliku:

Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PID regulatorom je grafički prikazan na slikama 4.3-16. (za Kp=1, τp=1 min, τi=0.2 min, τd=0.1 min i tri vrednosti pojačanja regulatora), 4.3-17. (za Kp=1, τp=1 min, Kc=1, τd=0.1 min i tri vrednosti integralnog vremena) i 4.3-18. (za Kp=1, τp=1 min, Kc=1, τi=0.2 min i tri vrednosti diferencijalnog vremena). Sa slika 4.3-16. do 4.3-18. se može uočiti da odziv zatvorenog regulacionog kola sa PID regulatorom ima karakteristike i sistema sa PI i i sistema sa PD regulatorom:

- brzina odziva se povećava sa povećanjem pojačanja regulatora i smanjuje se sa povećanjem integralnog i diferencijalnog vremena.

Odziv zatvorenog regulacionog kola sa PID regulatorom i procesom prvog reda na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke nećemo izvoditi, već ćemo samo analizirati prenosnu funkciju ovog sistema:

Ova prenosna funkcija naravno opet opisuje sistem drugog reda sa efektivnom vremenskom konstantom

12/

12/1

22

22

+ s + s K =

+ s + s

sK s

= Y(s)

eee

ci

eee

ci

τξττ

τξττ

(4.3-66)

Slika 4.3-16. Uticaj pojačanja PID regulatora na odziv zatvorenog kola sa procesom prvog reda na stepenastu promenu opterećenja

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

τ

ξ

ξτ

τ τξ t -1

e -1 K

= y(t)e

2e / t -

2eec

i ee sin (4.3-67)

0 = y(t) = GSStlim

∞→ (4.3-68)

Slika 4.3-17. Uticaj integralnog vremena PID regulatora na odziv zatvorenog kola sa procesom prvog reda na stepenastu promenu opterećenja

Slika 4.3-18. Uticaj diferencijalnog vremena PID regulatora na odziv zatvorenog kola sa procesom prvog reda na stepenastu promenu opterećenja

1 + sK s +

s1 + 1 K + 1

1 + sK s +

s1 + 1 K

= X(s)Y(s) = (s)W

p

pd

ic

p

pd

ic

X

τ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

τ

τ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

τ (4.3-69) 1 + s 2 + s

1 + s + s = 1 + s

K KK K + 1 + s +

K K

1 + s + s = (s)Wee

22e

i2

di

pc

pci

2di

pc

ip

i2

diX

τξττττ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ

τττττ (4.3-70)


i efektivnim koeficijentom prigušenja koji su identični onima definisanim jednačinom (4.3-65). Nalaženje inverzne Laplasove transformacije je u ovom slučaju nešto složenije nego u prethodnom primeru, pa ga nećemo izvoditi. I bez nalaženja vremenskog odziva, korišćenjem teoreme o krajnjoj vrednosti, može se pokazati da je greška stacionarnog stanja jednaka nuli:

pa je:

ZAKLJUČAK: Na osnovu svega iznetog u ovom poglavlju, možemo izvesti sledeće generalne zaključke o uticaju idealnog PID regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola: 1. prisustvo PID regulatora povećava red sistema za 1; 2. PID regulator uklanja grešku stacionarnog stanja; 3. povećanje pojačanja regulatora povećava brzinu odziva, smanjuje period oscilovanja i doprinosi bržem smirivanju odziva; 4. povećanje integralnog vremena povećava period oscilovanja i koeficijent prigušenja; 5. povećanje diferencijalnog vremena smanjuje brzinu odziva zatvorenog kola. 4.4. ANALIZA STABILNOSTI ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA Prilikom sinteze zatvorenog regulacionog kola i izbora tipa i parametara regulatora povratne sprege, jedan od najvažnijih zahteva je onaj koji se odnosi na stabilnost sistema. Većina objekata upravljanja koji se javljaju u procesnoj industriji su stabilni u otvorenom kolu, ali uz nepravilan izbor parametara regulatora zatvoreno regulaciono kolo može da postane nestabilno. Sa druge strane, proces koji je nestabilan se pravilnim izborom regulatora može stabilizovati. Zbog toga će analizi stabilnosti zatvorenog regulacionog kola biti posvećeno čitavo ovo poglavlje. 4.4.1. Definicija stabilnosti i osnovni uslov stabilnosti Za sistem kažemo da je stabilan ukoliko se za svaku ograničenu promenu ulaza dobija ograničena promena izlaza iz sistema. S druge strane, ukoliko se za ograničenu promenu ulaza dobija neograničena promena izlazne promenljive, za sistem kažemo da je nestabilan. Na slici 4.4-1.(a) su šematski prikazani primeri odziva tri stabilna sistema, dok su na slici 4.4-1.(b) prikazani primeri odziva nestabilnih sistema.

Posmatraćemo linearni sistem n-tog reda sa nagomilanim parametrima koji se može prikazati prenosnom funkcijom:

1 = 1 + s 2 + s

1 + s + s = (s)W = (s)W s1 s = Y(s) s = y(t)

ee22

e

i2

di

0sX

0sX

0s0st τξττττ

→→→→∞→limlimlimlimlim (4.3-71)

0 = 1 - 1 = | y(t) - x(t) | = OFFSETtlim

∞→ (4.3-72)

Slika 4.4-1. Odzivi stabilnih (a) i nestabilnih sistema (b)


i potražiti njegov odziv na jediničnu stepenastu promenu ulaza, koja predstavlja ograničenu funkciju između 0 i 1. Kao što smo naveli u poglavlju 2.2.2., vrednosti z1, z2,...,zm su nule sistema, dok su vrednosti p1, p2,..., pn polovi sistema. Treba se podsetiti da je imenilac prenosne funkcije identičan sa karakterističnim polinomom sistema, tako da su polovi sistema identični sa korenima karakteristične jednačine sistema. Da bi se nasla inverzna Laplasova transformacija izlaza:

treba izvršiti razvijanje izraza na desnoj strani ove jednačine u zbir parcijalnih razlomaka:

Ukoliko su svi koreni karakteristične jednačine sistema p1, p2,..., pn realni i različiti, inverzna Laplasova transformacija će se dobiti u obliku:

Da bi funkcija kojom je definisan izlaz bila ograničena, neophodno je da svi članovi na desnoj strani jednačine (4.4-4) budu ograničeni, a to će biti ispunjeno samo ako su svi polovi sistema, odnosno svi koreni karakteristične jednačine p1, p2,..., pn negativni. Ukoliko se u prenosnoj funkciji sistema jedan pol pi ponavlja r puta, u izrazu za izlaz će se od članova u kojima se pojavljuje taj pol dobiti sledeći član:

Ovaj član će takođe biti ograničen ako i samo ako je pi<0. Ukoliko u prenosnoj funkciji sistema postoji par konjugovano kompleksnih polova:

u izrazu za vremenski odziv će se pojaviti član oblika:

Ovaj član će biti ograničen ako i samo ako je realni deo konjugovano komleksnih polova α<0. Na osnovu svega napred iznetog, može se definisati osnovni uslov stabilanosti linearnog sistema: Potreban i dovoljan uslov da je linearan sistem stabilan je da su svi realni koreni karakteristične jednačine negativni, a da kompleksni koreni imaju negativan realni deo.

)p-)...(sp-(s )p-(s)z-)...(sz-(s )z-(s K =

X(s)Y(s) = G(s)

n21

m21 (4.4-1)

)p-)...(sp-(s )p-(s)z-)...(sz-(s )z-(s K

s1 = G(s) X(s) = Y(s)

n21

m21 (4.4-2)

p-sW + ... +

p-sC +

p-sB +

sA = Y(s)

n21

(4.4-3)

e W + ... + e C + e B + A = y(t) tptptp n21 (4.4-4)

e ) t c + ... + t c + t c + c( = y t p rr

2321i

i (4.4-5)

ω±α j = p 1+jj,

t) d + t d( e = y 21t

1+jj, ωωα sincos (4.4-6)


Pošto su koreni karakteristične jednačine u opštem slučaju kompleksni, kao i Laplasova promenljiva s, oni se vrlo često prikazuju u kompleksnoj s-ravni, u kojoj je apscisa definisana kao realni deo, a ordinata kao imaginarni deo. U tom kontekstu možemo reći da je sistem stabilan ukoliko su svi koreni karakteristične jednačine smešteni levo od imaginarne ose (odnosno, ako se nalaze u levoj poluravni kompleksne s-ravni), dok je sistem nestabilan ukoliko postoji bar jedan koren karakteristične jednačine desno od imaginarne ose (u desnoj poluravni kompleksne s-ravni). Ukoliko se neki koren karakteristične jednačine nalazi na imaginarnoj osi, a svi ostali u levoj poluravni, kažemo da je sistem na granici stabilnosti. Kompleksna s-ravan sa definisanim oblastima stabilnosti odnosno nestabilnosti, prikazana je na slici 4.4-2. Fizičko značenje sistema na granici stabilnosti bi moglo da se definiše na sledeći način: ako sistem za neke konačne promene ulaza daje konačne promene izlaza, dok pri drugim konačnim promenama ulaza daje neograničen izlaz, kažemo da je to sistem na granici stabilnosti. Karakteristični primeri ovakvih sistema su kapacitivni element (koji daje konačan izlaz za sinusnu promenu ulaza, dok za stepenastu promenu izlaza daje beskonačan izlaz) i sistem drugog reda, kod koga je koeficijent prigušenja ξ=0 (ovaj sistem daje ograničenu promenu izlaza za stepenastu ulaznu promenu i za sinusne ulazne promene svih frekvencija osim sopstvene frekvencije tog sistema, dok za sinusnu promenu sa sopstvenom frekvencijom daje beskonačnu promenu izlaza). Oba ova sistema imaju korene karakteristične jednačine na imaginarnoj osi. 4.4.2. Stabilnost zatvorenog regulacionog kola Ispitivanje stabilnosti sistema se, dakle, svodi na ispitivanje korena karakteristične jednačine, odnosno znaka njihovih realnih delova. Kao što smo pokazali u poglavlju 4.3.1., imenilac prenosne funkcije zatvorenog regulacionog kola je 1+G(s), a karakteristična jednačina zatvorenog regulacionog kola se dobija u obliku:

G(s) je prenosna funkcija otvorenog kola, odnosno proizvod prenosnih funkcija svih elemenata koji se nalaze u zatvorenoj konturi. Prenosna funkcija otvorenog kola u sebi sadrži i prenosnu funkciju regulatora, koja zavisi od tipa i vrednosti parametara regulatora. Promena parametara regulatora izaziva promenu karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola i njenih korena, pa tako utiče i na njegovu stabilnost. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola se zato obično svodi na definisanje opsega parametara regulatora (najčešće pojačanja regulatora) u kojem je sistem stabilan. Zatvoreno regulaciono kolo najčešće predstavlja sistem višeg reda i nalaženje korena karakteristične jednačine i ispitivanje njihovog znaka nije jednostavno problem. Zbog toga je razvijen niz metoda za ispitivanje stabilanosti sistema pomoću kojih se indirektno dolazi do podataka o stabilnosti sistema. U ovom poglavlju će biti prikazane najpoznatije i najčešće korišćene metode ispitivanja stabilnosti sistema: Rut-Huvicov (Routh-Hurwitz) kriterijum, postupak crtanja dijagrama položaja korena karakteristične jednačine (kriterijumi u Laplasovom domenu) i Nikvistov i Bodeov kriterijum stabilnosti (kriterijumi u frekventnom domenu). 4.4.3. Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti

Slika 4.4-2. Oblasti stabilanosti i nestabilanosti u kompleksnoj s-ravni

0 = G(s) + 1 (4.4-7)


Ovaj kriterijum stabilnosti se može primeniti na bilo koji sistem, pa tako i na zatvoreno regulaciono kolo. Da bi se primenio Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti, neophodno je levu stranu karakteristične jednačine sistema prikazati u obliku polinoma po s:

Zbog ovoga se sistemi koji sadrže mrtvo vreme u principu ne mogu ispitivati korišćenjem ovog kriterijuma, osim ako se ne izvrši aproksimacija prenosne funkcije mrtvog vremena kako je to opisano u poglavlju 2.3.5.2. Ispitivanje stabilnosti sistema pomoću Rut-Hurvicovog kriterijuma se sastoji iz dva testa: TEST 1: Ispituju se koeficijenti karakterističnog polinoma a0, a1,..., an. Ukoliko svi koeficijenti karakterističnog polinoma nisu istog znaka, sistem je sigurno nestabilan. To znači da je potreban uslov da bi sistem bio stabilan da svi koeficijenti karakterističnog polinoma budu istog znaka. Dovoljan uslov se definiše na osnovu drugog testa, koji se primenjuje ukoliko je ispunjen potreban uslov za stabilnost. TEST 2: Formira se tzv. Rutova šema, koja ima sledeći oblik:

I II III IV

1 2 3 4 . . .

n+1

a0 a1 b1 c1 . . .

w1

a2 a3 b2 c2 . . .

w2

a4 a5 b3 c3

a6 . . . a7 . . .

Elementi koji se unose u prvu i drugu vrstu Rutove šeme su koeficijenti karakteristične jednačine (4.4-8). Elementi u sledećim redovima se računaju po sledećoj šemi:

Kada se na ovaj način potpuno popuni Rutova šema, analiziraju se elementi u njenoj prvoj koloni. Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti glasi: Sistem je stabilan ako nema promene znaka elemenata u prvoj koloni Rutove šeme. Ukoliko svi elementi prve kolone Rutove šeme nisu istog znaka (neki su pozitivni, a neki negativni) sistem je nestabilan. Ukoliko je neki element prve kolone Rutove šeme jednak nuli, a ostali su istog znaka, sistem je na granici stabilnosti. Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti se može primeniti na bilo koji sistem za koji je poznata karakteristična jednačina, ukoliko se ona može prikazati u obliku jednačine (4.4-8). Podaci koji se dobijaju primenom ovog kriterijuma stabilnosti govore o apsolutnoj stabilnosti sistema: sistem je stabilan ili ne, ali ne govore ništa o njegovoj relativnoj stabilnosti. PRIMER 4.4-1. Ispitivanje stabilnosti sistema korišćenjem Rut-Hurvicovog ktiterijuma

0 = a + sa+ ... + s a + s a n1-n1-n

1n

0 (4.4-8)

.... ,c

c b - b c = d

... ,b

b a - a b = c ,b

b a - a b = c

... ,a

a a - a a = b ,a

a a - a a = b

1

21211

1

31512

1

21311

1

50412

1

30211

(4.4-9)


Radi ilustracije načina popunjavanja Rutove šeme najpre ćemo ispitati stabilnost sistema čija je karakteristična jednačina:

Koeficijenti karakterističnog polinoma:

su svi pozitivni, tako da se mora sastaviti Rutova šema da bi se došlo do zaključka o stabilnosti sistema.

Da bi se popunila Rutova šema, neophodno je izračunati sledeće elemente: Rutova šema će sada biti:

I II III IV

1 2 3 4 5

1 3

11/3 26/11

2

5 4 2 0 0

2 0 0

0

Analizom elemenata prve kolone Rutove šeme, vidi se da su svi pozitivni, što znači da je sistem sa ovom karakterističnom jednačinom stabilan. Analiza stabilnosti se najčešće koristi da bi se odredili parametri regulatora zatvorenog regulacionog kola za koje je sistem stabilan. Ovo će biti ilustrovano u sledećem primeru. PRIMER 4.4-2. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i P regulatorom, korišćenjem Rut-Hurvicove metode U ovom primeru ćemo ispitati za koje vrednosti pojačanja proporcionalnog regulatora će biti stabilno zatvoreno regulaciono sa procesom trećeg reda:

I P regulatorom. Usvojićemo da se dinamičke karakteristike mernog i izvršnog elementa mogu zanemariti. REŠENJE:

0 = 2 + s4 + s 5 + s 3 + s 234

2 = a 4, = a 5, = a 3, = a 1, = a 53210

0 = e 0, = d 2, =

1126

x0311 - x2

1126

= c

c b - b c = d 0, = c ,1122 =

311

3x2 - x2311

= b

b a - a b = c

0 = b 2, = 3

1x0 - 3x2 = a

a a - a a = b ,311 =

31x4 - 3x5 =

aa a - a a = b

121

212112

1

21311

31

50412

1

30211

)1 + (s1/8 = (s)G 3p


Blok dijagram zatvorenog regulacionog kola čiju stabilnost treba ispitati je prikazan na slici P-4.4.2. Karakteristična jednačina ovog zatvorenog kola je:

Ova jednačina se može prikazati u obliku:

koji je analogan jednačini (4.4-8), uz napomenu da su koeficijenti ove jednačine:

Svi ovi koeficijenti su pozitivni za bilo koje pojačanje regulatora (pojačanje regulatora Kc je uvek pozitivno), tako da prvi test Rut-Hurvicovog kriterijuma stabilnosti ne daje odgovor o stabilnosti zatvorenog regulacionog kola. Da bi se primenio drugi test Rut-Hurvicovog kriterijuma, izračunavamo koeficijente Rutove šeme i formiramo samu šemu:

I II III

1 2 3 4

1 3

(8-Kc/8)/3 (1+Kc/8)

3 (1+Kc/8)

0 0

0 0

Analizom elemenata prve kolone Rutove šeme, očigledno je da je jedini član koji može postati negativan član b1, tako da se uslov da sistem bude stabilan svodi na:

Možemo reći da će posmatrano regulaciono kolo biti: - stabilno za Kc<64 - na granici stabilnosti za Kc=64 - nestabilno za Kc>64. Vrednost pojačanja regulatora pri kojoj je zatvoreno regulaciono kolo na granici stabilnosti, naziva se krajnje pojačanje i najčešće se označava sa Ku. U našem primeru je krajnje pojačanje:

4.4.4. Metoda geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine zatvorenog kola Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti, čije smo korišćenje prikazali, daje samo informaciju o tome da li je sistem stabilan ili ne, odnosno da li su svi koreni karakteristične jednačine smešteni u levoj poluravni kompleksne s-ravni ili postoje koreni i u desnoj poluravni. Međutim, položaj korena karakteristične

Slika P-4.4.2. Blok dijagram zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i P regulatorom

0 = )1+(s

1/8 K + 1 3c

0 = 8K + 1 + s3 + s 3 + s c23

8K + 1 = a ,3 = a ,3 = a ,1 = a c

3210

0 = d ,0 = c ,8K + 1 =

bb a - a b = c

0 =b ,3

/8K - 8 = 3

/8)K + 1x(1 - 3x3 = a

a a - a a = b

12c

1

21311

2cc

1

30211

64 < K 0 > 3

/8 K - 8 = b cc

1 ⇒

64 = Ku


jednačine pored stabilnosti sistema određuje i druge bitne karakteristike sistema, od kojih su najvažnije: - ako su svi koreni karakteristične jednačine realni (leže na Re-osi kompleksne s-ravni) sistem će biti previše ili kritično prigušen; - ako postoji par konjugovano kompleksnih korena karakteristične jednačine (koji leže van Re-ose) sistem će biti nedovoljno prigušen i davaće oscilatoran odziv; - što su koreni karakteristične jednačine dalje od Im-ose (u levoj poluravni), sistem je brži, jer ovim korenima odgovaraju male vremenske konstante; - koreni karakteristične jednačine koji su najbliži Im-osi odgovaraju najsporijem stupnju procesa i zbog toga određuju ukupnu brzinu odziva sistema. Ovi koreni se nazivaju dominantni koreni; - što su kompleksni koreni karakteristične jednačine dalje od Re-ose (imaju veći imaginarni deo) sistem je manje prigušen. Na slici 4.4-3. su prikazani kompleksni koreni karakteristične jednačine nedovoljno prigušenog sistema drugog reda:

u kompleksnoj s-ravni. Lako se može uočiti da je odstojanje korena od koordinatnog početka jednako sopstvenoj frekvenciji ωn, odnosno recipročnoj vrednosti vremenske konstante sistema τ:

dok je kosinus ugla φ jednak koeficijentu prigušenja ξ:

Zbog toga je u kompleksnoj s-ravni moguće definisati sistem linija mreže koji čine: poluprave koje polaze iz koordinatnog početka, koje predstav-ljaju linije konstantnog koeficijenta prigušenja, i krugovi sa centrom u koordinatnom početku, koji predstav-ljaju linije konstantne vrednosti vre-menske konstante. Na osnovu svega ovoga se može zaključiti da je poznavanje položaja korena karakteristične jedanačine od izuzetnog značaja ne samo za ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola, već i za dobijanje informacija o njegovom dinamičkom odzivu (oscilatornosti, brzini odziva i slično.). Zbog toga se, kao jedna od najefikasnijih metoda za analizu zatvorenog regulacionog kola uopšte, i stabilnosti zatvorenog regulacionog kola posebno, koristi metoda geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine koja se naziva i metoda dijagrama položaja korena karakteristične jednačine. Ova metoda se zasniva na grafičkom prikazivanju svih korena karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola:

za vrednosti pojačanja regulatora od nule do beskonačno. Sam dijagram se dobija kao skup linija u s-ravni, od kojih svaka predstavlja po jedan koren karakteristične jednačine, za vrednosti pojačanja regulatora od 0 do 4. Ove linije se često nazivaju grane i njihov broj je jednak broju korena karakteristične jednačine. To, s druge strane znači da je broj grana u dijagramu položaja korena identičan sa brojem polova sistema, odnosno sa redom sistema. Kada se dobije kompletan dijagram kojim su definisani svi koreni karakteristične jednačine za Kc od 0 do

ξω±ωξ

ωξ

ω

2nn1/2

n2n

2 -1 j - = s ,1 + s 2 + s

1 = G(s)

τωωξξω

1 = = ) ( + )-1 ( n2

n22

n (4.4-10)

Slika 4.4-3. Prikaz korena karakteristične jednačine nedovoljno prigušenog sistema drugog reda u kompleksnoj s-ravni

ξωωξφ = = n

ncos (4.4-11)

0=G(s)+1 (4.4-12)


4, njegovom analizom se može utvrditi: 1. Za koje vrednosti pojačanja regulatora Kc je zatvoreno regulaciono kolo stabilno, za koje je nestabilno, a za koje na granici stabilnosti. Pri tome, ako čitav dijagram leži u levoj poluravni kompleksne s-ravni, zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno za svaku vrednost pojačanja regulatora; ukoliko je jedna kompletna grana dijagrama u desnoj poluravni, sistem je nestabilan za svako pojačanje regulatora; ukoliko neke od grana seku imaginarnu osu, sistem će biti stabilan za vrednosti pojačanja regulatora koje odgovaraju delu dijagrama levo od imaginarne ose, a nestabilan za vrednosti Kc koje odgovaraju delu dijagrama u desnoj poluravni, dok će Kc koje odgovara preseku sa Im-osom predstavljati krajnje pojačanje. 2. Da li je sistem oscilatoran ili ne, odnosno za koje vrednosti pojačanja regulatora će se dobiti oscilatorni odzivi zatvorenog regulacionog kola. Delovi dijagrama položaja korena koji pripadaju Re-osi odgovaraju realnim korenima karakteristične jednačine, dok delovi koji leže van Re-ose predstavljaju konjugovano-kompleksne korene karakteristične jednačine koji kao rezultat daju oscilatoran odziv. Pošto se kompleksni koreni jednačine uvek javljaju u paru, dijagram položaja korena je simetričan u odnosu na apscisu (svakoj grani iznad Re-ose odgovara simetrična,"konjugovana" grana ispod Re-ose). 3. Koji koreni karakteristične jednačine su dominantni. Naime koreni karakteristične jednačine koji pripadaju granama koje su najbliže Im-osi će imati dominantan uticaj na odziv sistema. Na osnovu dijagrama položaja korena se može dobiti i kompletan prelazni odziv zatvorenog regulacionog kola. Osnovne karakteristike dijagrama položaja korena 1. Broj grana, početak i kraj grana u dijagramu položaja korena Ako se prenosna funkcija otvorenog kola prikaže u obliku:

(z1, z2,..., zm su nule, a p1, p2,..., pn polovi otvorenog kola, dok je K pojačanje otvorenog kola koje u sebi sadrži pojačanje regulatora Kc), karakteristična jednačina zatvorenog kola sa negativnom povratnom spregom se u tom slučaju može prikazati jednačinom:

odnosno:

Pošto je n$m, ova jednačina je n-tog stepena, što znači da je broj korena karakteristične jednačine, odnosno broj grana u dijagramu jednak broju polova otvorenog kola. S druge strane, kada je Kc=0 (K=0), koreni karakteristične jednačine zatvorenog kola su identični sa polovima otvorenog kola, dok se za Kc64 (K64) koreni karakteristične jednačine poklapaju sa nulama otvorenog kola. Zbog toga kažemo da grane polaze iz polova, a završavaju se u nulama otvorenog kola. Ukoliko je broj polova veći od broja nula (n>m), u dijagramu postoji (n-m) grana koje se asimptotski približavaju ka (n-m) asimptota kada Kc64. 2. Realni i konjugovano-kompleksni koreni Za sve sisteme drugog i višeg reda, koreni karakteristične jednačine mogu biti realni i/ili konjugovano kompleksni. Pri tome, par realnih korena pri porastu pojačanja regulatora može da predje u par konjugovano-kompleksnih korena (tačka razdvajanja) ili obrnuto (tačka spajanja). Pošto se konjugovano-kompleksni koreni uvek javljaju u paru (2 korena sa istim realnim delom i imaginarnim delovima koji su suprotnog znaka), čitav dijagram mora da bude simetričan u odnosu na reanu osu (svakoj kompleksnoj grani iznad Re ose odgovara simetrična kompleksna grana ispod Re ose). 3. Preseci grana sa imaginarnom osom: Preseci grana sa imaginarnom osom odgovaraju onim rešenjima karakteristične jednačine koja leže na imaginarnoj osi, odnosno koja su čisti imaginarni brojevi. Ako se karakteristična jednačina zatvorenog regulacionog kola, definisana jednačinom (4.4-12), odnosno (4.4-14) prikaže u obliku:

mn ,)p-(s ... )p-(s )p-(s)z-(s ... )z-(s )z-(s K =

D(s)N(s) K = G(s)

n21

m21 ≥ (4.4-13)

0 = )p-(s ... )p-(s )p-(s)z-(s ... )z-(s )z-(s K + 1

n21

m21 (4.4-14)

0 = )z-(s ... )z-(s )z-(s K + )p-(s ... )p-(s )p-(s m21n21 (4.4-15)


i ako se u ovoj jednačini zameni s sa jω, dobija se sistem od dve realne

jednačine:0

0

55

331

44

22

=−ω+ω−ω

=−ω+ω−

−−−

−−

L

L

nnn

nnn

aaa

aaa (4.4-21)

Rešavanjem ovog sistema jednačina dobijaju se vrednosti ω kojima su definisane tačke u kojima grane seku imaginarnu osu i vrednosti pojačanja regulatora koje im odgovaraju. Treba primetiti da su koeficijenti a0, a1,..., an funkcije pojačanja regulatora Kc. Preseci grana sa imaginarnom osom odgovaraju korenima karakteristične jednačine za koje je zatvoreno regulaciono kolo na granici stabilnosti. Pojačanje regulatora koje odgovara tom slučaju naziva se krajnje pojačanje i označava sa Ku. Vrednost odsečaka na Im-osi ω nazivaju se krajnje ili kritične frekvencije, i najčešće se označavaju sa ω0 ili ωu, dok odgovarajuća pojačanja regulatora predstavljaju krajnja pojačanja sistema. Ovim tačkama je definisano zatvoreno regulaciono kolo koje je na granici stabilnosti, koje je karakterisano neprigušenim oscilatornim odzivom sa konstantnom amplitudom. Frekvencija oscilovanja zatvorenog regulacionog kola na granici stabilnosti je jednaka kritičnoj frekvenciji. 4.4.4.2. Primeri: Uticaj tipa i parametara regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola, korišćenjem metode geometrijskog mesta korena Opšte razmatranje uticaja tipa i parametara regulatora na izgled dijagrama položaja korena bi bilo prilično komplikovano. Zbog toga ćemo, umesto teorijske analize, zaključke o uticaju tipa i parametara regulatora na stabilnost sistema izvesti na osnovu crtanja dijagrama položaja korena za nekoliko konkretnih primera. U svim ovim primerima, biće analizirana zatvorena regulaciona kola čiji je objekat upravljanja kaskada od tri identična izotermna reaktora sa idealnim mešanjem, čiji smo dinamički model izveli u primeru 2.7-6. i koji smo koristili u primeru 4.4-2. Ovaj proces je trećeg reda. Biće skicirani dijagrami položaja korena za regulacione sisteme sa P, PI i PID regulatorom i različitim vrednostima integralnog i diferencijalnog vremena regulatora. Na osnovu njihove analize i poređenja, biće izvedeni zaključci o uticaju tipa i parametara regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola. PRIMER 4.4-3. Dijagram položaja korena karakteristične jedančine zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i P regulatorom Treba skicirati dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom spregom i P regulatorom, za sistem koji smo definisali u primeru 4.4-2. (slika P-4.4.2.). Prenosna funkciju otvorenog kola je:

a karakteristična jednačina:

odnosno:

0 = a + sa + s a + ... + s a + s a n1-n2

2-n1-n

1n

0 (4.4-20)

Slika P-4.4.3. Dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i P regulatorom

)1+(s1/8 K = G(s) 3c

0 = )1+(s

1/8 K + 1 3c

0 = 8K + 1 + s3 + s 3 + s c23


Ovaj sistem je trećeg reda, ima tri pola p1=p2=p3=-1 i nema nula. Dijagram položaja korena za ovaj sistem prikazan je na slici P-4.4.3. Kao što se vidi sa slike, dijagram se sastoji od 3 grane koje polaze iz trostrukog pola -1. Jedna grana pripada realnoj osi, a druge dve su konjugovano-kompleksne. To znači da za svako pojačanje regulatora veće od nule, karakteristična jednačiina zatvorenog regulacionog kola ima jedan realan koren i par konjugovano-kompleksnih korena, pri čemu su nonjugovano-komplekni koreni dominantni. Konjugovano-kompleksne grane seku imaginarnu osu za:

73.1,64 0 =ω== uc KK Na osnovu izračunatih vrednosti je skiciran približni dijagram položaja korena koji je prikazan na slici P-4.4.3. Analizom ovog dijagrama se može videti da je zatvoreno regulaciono kolo koje se razmatra: - stabilno za Kc<64 - nestabilno za Kc>64. Odziv ovog zatvorenog kola će biti oscilatoran za svako Kc, jer postoje dve grane koje su za svako pojačanje regulatora van realne ose. PRIMER 4.4.4. Dijagram položaja korena karakteristične jedančine za zatvoreno regulaciono kolo sa procesom trećeg reda i PI regulatorom Skicirati dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom spregom, definisanog u primerima 4.4-2. i 4.4-3., za slučaj kada se umesto P koristi PI regulator. Vrednost integralnog vremena je: (a) τi=3.03 min; (b) τb=0.8 min. Prenosna funkcija PI regulatora je:

a prenosna funkcija otvorenog kola:

- Karakteristična jednačina zatvorenog kola:

0 = 8

K + s8K + 1 + s 3 + s 3 + s 0 =

)1 + (s s1/ + s

8K + 1

i

cc2343ic

τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇔τ (P-4.4.4-2)

Ovaj sistem je četvrtog reda, pa će dijagram imati četiri grane koje polaze iz polova: p1=0, p2=p3=p4=-1. Sistem ima 1 nulu otvorenog kola čija vrednost zavisi od integralnog vremena.

s1/ + s K =

s1 + 1 K = (s)G i

ci

ccτ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

)1+(s s1/ + s

8K = G(s) 3

ic τ (P-4.4.4-1)


SLUČAJ (a) - τi=3.03 min - Nula sistema je z1=-0.33

Skica dijagrama položaja korena ovog zatvorenog regulacionog kola data je na slici P-4.4.4-1. ZRK za svako pojačanje regulatora ima 2 realna i 2 konjugovano-kompleksna korena. Za mala pojačanja regulatora dominantan je realni koren, dok su za veće vrednosti Kc dominantni konjugovano-kompleksni koreni. Kompleksne grane seku imaginarnu osu jednom, i ovom preseku odgovaraju sledeće vrednosti krajnjeg pojačanja i kritične frekvencije:

minrad/47.1,9.43 0 =ω=uK Na osnovu ovih rezultata se može zaključiti da je zatvoreno regulaciono kolo: - stabilno za Kc<43.9 - nestabilno za Kc>43.9. Treba uočiti da je vrednost krajnjeg pojačanja manja u slučaju PI regulacije nego za sistem sa P regulacijom. Na osnovu ovog primera bi se moglo zaključiti da dodavanje integralne akcije smanjuje stabilnost sistema. SLUČAJ (b): τi=0.8 min - Nula sistema je z1=-1.25 Skica dijagrama položaja korena ovog zatvorenog regulacionog kola data je na slici P-4.4.4-2. Za mala pojačanja regulatora ZRK ima 2 realna (jedan polazi iz pola 0, a drugi iz trostrukog pola -1) i 2 konjugovano-kompleksna korena (koji polaze iz trostrukog pola -1), pri čemu su dominantni realni koreni. Izmedju polova 0 i -1 u tački s=-0.306, koja odgovara pojačanuju Kc=0.867, postoji tačka razdvajanja. Za Kc>0.867 realni koreni postaju konjugovano kompleksni, i ovaj par korena je dominantan. Izmedju pola -1 i -4 nalazi se tačka spajanja s=-1.36, koja odgovara vrednosti Kc=4.615, za koju 2 kompleksna korena postaju realni. Pri tome konjugovano-kompleksni koreni bliži realnoj osi ostaju dominantni. Kompleksne grane seku imaginarnu osu jednom, i ovom preseku odgovaraju sledeće vrednosti krajnjeg pojačanja i kritične frekvencije:

minrad/897.0,3.11 0 =ω=uK Na osnovu ovih rezultata se može zaključiti da je zatvoreno regulaciono kolo: - stabilno za Kc<11.3 - nestabilno za Kc>11.3. Ako se ova vrednost krajnjeg pojačanja uporedi sa slučajem pod (a), može se uočiti da se stabilnost sistema sa PI regulatorom smanjuje sa smanjenjem integralnog vremena. PRIMER 4.4-5. Dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola sa procesom treceg reda i PID regulatorom Skicirati dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola definisanog u prethodnim primerima, za slučaj PID regulacije.

Slika P-4.4.4-1. Dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i PI regulatorom za τi=3.03 min

Slika P-4.4.4-2. Dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i PI regulatorom za τi=0.8 min


Vrednosti integralnog i diferencijalnog vremena su: (a) τi=3.03 min, τd=0.4 min; (b) τi=0.8 min, τd=0.4 min; (c) τi=0.8 min, τd=0.2 min. REŠENJE: Najpre ćemo izvesti zavisnosti koje važe za sva tri slučaja ((a), (b) i (c)): Prenosna funkcija PID regulatora je:

a prenosna funkcija otvorenog kola:

Ovaj sistem je četvrtog reda, pa će dijagram imati četiri grane koje polaze iz polova: p1=0, p2=p3=p4=-1. Sistem ima 2 nule, koe se dobijaju kao rešenja jednačine:

- Karakteristična jednačina zatvorenog kola je:

SLUČAJ (a): τi=3.03 min, τd=0.4 min - Nule: z1=-2.11, z2=-0.39 - Centar gravitacije asimptota: γ=-0.25

s 1 + s1 + s

K = s + s1 + 1 K = (s)G did

2

dcdi

ccττττ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

τ

)1+(s s 1 + s1 + s

8 K = G(s) 3

did

2

dc ττττ (P-4.4.5-1)

2 4 - 1 1-

= z : 0 = 1 + s1 + s di

2dd

1,2did

2 τττ±

ττττ

(P-4.4.5-2)

0 = 8

K + s8K + 1 + s 8

K + 3 + s 3 + s 0 = )1 + (s s

1 + s1 + s

8 K + 1

i

cc2dc343

did

2

dc

τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ⇔ττττ

(P-4.4.5-3)


Približni dijagram položaja svih korena karakteristične jednačine je dat na slici P-4.4.5-1. Dijagram ima četiri grane, od kojih dve leže na realnoj osi, a dve su konjugovano kompleksne za svaku vrednost pojačanja regulatora. Za manje vrednosti pojačanja realni koren koji pripada intervalu (-0.39,0) će biti dominantan, dok za velika pojačanja kompleksni koreni postaju dominantni. Ceo dijagram smešten sa leve strane imaginarne ose (nema preseka grana sa Im osom). Kao posledicica toga, ZRK je stabilno za svako pojačanje ovog PID regulatora. Treba primetiti da je vrednost integralnog vremena u ovom primeru identična sa onom u primeru 4.4-4(a), za koji smo dobili da je sistem stabilan samo za Kc<43.9. Očigledno je da dodavanje diferencijalnog dejstva regulatoru povećava stabilnost sistema. SLUČAJ (b): τi=0.8 min, τd=0.4 min Nule otvorenog kola su u ovom slučaju kompleksne: z1=-1.25+1.25j, z2=-1.25-1.25j; Približni dijagram položaja korena za ovaj slučaj prikazan je na slici P-4.4.5-2. Za mala pojačanja regulatora karakteristična jednačina ZRK ima 2 realna korena koji polaze iz polova 0 i -1, i 2 konjugovano-kompleksna korena koji polaze iz trostrukog pola -1, pri čemu su dominantni realni koreni. Izmedju 0 i -1 nalazi se tačka razdvajanja s=-0.29, kojoj odgovara Kc=0.84. Za Kc>0.84 i dominantni koreni postaju konjugovano-kompleksni. Grane koje odgovaraju dominantnim korenima seku Im osu 2 puta i ovim presecima odgovaraju sledeće vrednosti:

05.2,07.95206.1,93.26

012

011

=ω==ω=

u

u

KK

Dijagram prikazan na slici P-4.4.5-2 pokazuje da je ZRK sa ovim vrednostima integralnog i diferencijalnog vremena: - stabilan za Kc<26.93 ili Kc>95.07 - na granici stabilnosti za Kc=26.93 i Kc=95.07 - nestabilan za Kc0(26.93,95.07). Poređenje ovih rezultata sa rezultatima dobijenim pod (a) pokazuje da smanjenje integralnog vremena PID regulatora utiče na smanjenje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola. Ovo zatvoreno regulaciono kolo je primer sistema sa uslovnom stabilnošću, kod kojih se pri povećanju pojačanja regulatora više puta menja stabilnost sistema. Ovakvo ponašanje može da se javi kod sistema koji pored polova, imaju i nule otvorenog kola. SLUČAJ (c) - τi=0.8 min, τd=0.2 min

Slika P-4.4.5-1. Dijagram položaja korena karakteristične jednačine regulacionog kola sa procesom trećeg reda i PID regulatorom (τi=3.03, τd=0.4)



Nule otvorenog kola su za ovaj slučaj: z1=z2=-2. Približni dijagram položaja korena prikazan je na slici P-4.4.5-3. Za mala pojačanja regulatora ZRK opet ima jedan par realnih i jedan par kompleksnih korena, pri čemu su realni koreni dominantni. Tačka s=-0.63, kojoj odgovara Kc=0.365, je tačka razdvajanja, posle koje dominantni koreni postaju takodje konjugovano-kompleksni. Dominantne grane seku Im osu jednom, i tom preseku odgovara:

97.0,61.14 0 =ω=uK Na osnovu slike i ovih rezultata možemo zaključiti da je zatvoreno regulaciono kolo: - stabilno za Kc<14.61 - nestabilno za Kc>14.61. Poređenjem ovih rezultata sa onim dobijenim u ovom primeru pod (b) može se lako zaključiti da se stabilnost zatvorenog kola sa PID regulatorom povećava sa povećanjem diferencijalnog vremena τd. DISKUSIJA: Na osnovu rezultata dobijenih u primerima 4.4-3. do 4.4-5. koji se svi odnose na zatvoreno regulaciono kolo za regulaciju sistema trećeg reda koji je stabilan u otvorenom kolu, napravljen je pregled koji je dat u Tabeli P-4.4. Tabela P-4.4. Pregled uticaja tipa i parametara regulatora na stabilnost yatvorenog regulacionog kola Tip regulatora τi i τd Ku ω0 Oblast stabilnosti P - 64 1.73 Kc<64

τi=3.03 43.9 1.47 Kc<43.9 PI τi=0.8 11.3 0.897 Kc<11.3 τi=3.03, τd=0.4 - - œ Kc τi=0.8, τd=0.4 26.93, 95.07 1.206, 2.05 Kc<26.96, Kc>95.07

PID

τi=0.8, τd=0.2 14.61 0.97 Kc<14.61 Na osnovu ovog pregleda i dijagrama prikayanih u primerima 4.4-3 do 4.4-5, mogu se izvesti sledeći zaključci: 1. Zatvoreno regulaciono kolo sa P regulatorom (primer 4.4-3.) je sistem trećeg reda i stabilno je za pojačanja regulatora manja od vrednosti krajnjeg pojačanja (u našem slučaju 64) i nestabilno za veće vrednosti pojačanja regulatora. 2. Dodavanjem integralne akcije (primer 4.4-3.), sistemu se dodaje jedan pol u koordinatnom početku i jedna nula, što rezultuje povećanjem reda sistema (a time i broja grana u dijagramu položaja korena). Sistem je opet stabilan za pojačanja manja od krajnjeg pojačanja, a nestabilan za Kc veće od Ku. Vrednost krajnjeg pojačanja se smanjuje u odnosu na sistem sa P regulacijom, što znači da se stabilnost zatvorenog kola smanjuje sa dodatkom integralne akcije. Poređenjem rezultata dobijenih za dve vrednosti integralnog vremena, vidi se da se stabilnost regulacionog kola smanjuje sa smanjenjem vrednosti integralnog vremena (smanjuje se vrednost krajnjeg pojačanja). Takođe treba primetiti da se sa smanjenjem τi smanjuje i vrednost krajnje frekvencije. 3. Dodatak diferencijalne akcije (primer 4.4-5.) rezultuje dodavanjem još jedne nule sistemu. Pri tome se povećava stabilnost zatvorenog kola. U primeru 4.4-5. su analizirana tri slučaja: jedan pri kome se dobija apsolutno stabilan sistem (nema preseka sa Im-osom), drugi pri kome se javlja sistem sa uslovnom stabilnošću (kompleksne grane seku Im-osu po dva puta, pri čemu sistem prvo prelazi iz stabilne u nestabilu oblast, a zatim ponovo prelazi u stabilnu oblast), i treći u kome se javlja po jedan presek kompleksnih grana sa Im-osom, pri čemu sistem iz stabilne prelazi u nestabilnu oblast. U prva



dva slučaja, asimptote se nalaze u stabilnoj oblasti, dok se u trećem slučaju nalaze u nestabilnoj oblasti. Treba primetiti da se kod PID regulatora vrednost krajnjeg pojačanja povećava sa povećanjem vrednosti integralnog vremena τi i diferencijalnog vremena τd. Na osnovu čitave ove analize, moguće je izvesti i generalne zaključke o uticaju tipa i parametara regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola: GENERALNI ZAKLJUČCI: 1. Dodavanjem integralne akcije smanjuje se stabilnost zatvorenog regulacionog kola. 2. Dodavanjem diferencijalne akcije povećava se stabilnost zatvorenog regulacionog kola. 3. Smanjenjem integralnog vremena PI ili PID regulatora, smanjuje se stabilnost zatvorenog regulacionog kola. 4. Povećanjem diferencijalnog vremena, povećava se stabilnost zatvorenog regulacionog kola. U svim prethodnim primerima posmatrali smo sistem koji je stabilan u otvorenom kolu i analizirali smo korene karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola za vrednosti pojačanja regulatora od 0 do 4 i uslove da zatvoreno regulaciono kolo bude stabilno. Ova analiza se najčešće koristi za pravilan izbor pojačanja regulatora. Ovo je najčešći slučaj koji se javlja u realnim sistemima. Međutim, neki od sistema kojima treba upravljati su sami po sebi nestabilni i analiza stabilnosti zatvorenog regulacionog kola treba da nam da odgovor na pitanje kako odabrati regulator tako da ovaj sistem postane stabilan. Zato ćemo u sledećem poglavlju, metodom geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine izvršiti analizu nekoliko jednostavnih sistema koji sadrže nestabilni element u otvorenom kolu. 4.4.4.3. Analiza stabilnosti zatvorenog regulacionog kola koje sadrži nestabilni element Stabilizacija nestabilnog procesa je jednan od najtežih i najinteresantnijih problema vezanih za automatsko upravljanje procesima. Jedan od tipičnih potencijalno nestabilnih procesa koji se javljaju u hemijskoj industriji je neizotermni reaktor. Analizu sistema uglavnom vršimo na osnovu njihovih linearizovanih dinamičkih modela. Sistem će biti nestabilan u otvorenom kolu ako ima bar jedan pol koji ima pozitivan realni deo. Analizu ovakvih sistema ćemo ilustrovati na najjednostavnijim primerima procesa prvog, drugog i trećeg reda sa P regulatorom. PRIMER 4.4-6. Analiza stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa nestabilnim procesom prvog reda i P regulatorom Najjednostavniji slučaj zatvorenog regulacionog kola sa nestabilnim procesom je prikazan na slici P-4.4.6-1. Prenosna funkcija otvorenog kola ovog sistema je:

Slika P-4.4.6-1. Zatvoreno regulaciono kolo sa nestabilnim procesom prvog reda i P regulatorom

1 - sK K = G(s)

p

pcτ

(P-4.4.6-1)


Ovo je, naravno sistem prvog reda, sa jednim pozitivnim polom:

i bez nula. Karakteristična jednačina zatvorenog regulacionog kola je jednačina prvog stepena:

čiji je koren funkcija pojačanja regulatora:

Ovaj koren karakteristične jednačine je uvek realan i biće negativan (što odgovara stabilnom zatvorenom regulacionom kolu) ako je ispunjen uslov:

Dijagram položaja korena karakteristične jednačine ovog zatvorenog kola je vrlo jednostavan (sastoji se samo od jedne grane) i prikazan je na slici P-4.4.6-2. U ovom slučaju imamo sistem koji je nestabilan u otvorenom kolu, ali se izborom dovoljno velike vrednosti pojačanja regulatora (veće od krajnjeg pojačanja Ku=1/Kp) može dobiti stabilno zatvoreno regulaciono kolo. PRIMER 4.4-8. Analiza stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa nestabilnim procesom trećeg reda sa jednim pozitivnim polom i P regulatorom U ovom slučaju posmatramo zatvoreno regulaciono kolo sa negativnom povratnom spregom i P regulatorom u kome je proces sistem trećeg reda koji ima jedan pozitivan pol:

Prenosna funkcija otvorenog kola je:

a karakteristična jednačina zatvorenog kola:

Ova jednačina se može prikazati u obliku:

Preseci grana sa Im-osom se dobijaju rešavanjem sistema jednačina koji se dobija zamenom s sa jω u karakterističnoj jednačini (P-4.4.8-4): Analiza ovog problema pokazuje da će postojati 2 slučaja: (a) kada je τp3>τp1+τp2 (b) kada je τp3<τp1+τp2 Dijagrami položaja korena za ova 2 slučaja su prikazani na slici P-4.4.8. - Slučaj (a): Postoje 2 preseka grana sa Im osom:

Slika P-4.4.6-2. Dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola sa nestabilnim procesom prvog reda i P regulatorom

τp1

1 = p (P-4.4.6-2)

0 = K K + 1 - s 0 = 1 - s

K K + 1 pcpp

pc τ⇔τ

(P-4.4.6-3)

τp

pc K K - 1 = s (P-4.4.6-4)

K1 > K

pc (P-4.4.6-5)

1) - s( 1) + s( 1) + s(K = (s)G

ppp

pp

τττ 321 (P-4.4.8-1)

1) - s( 1) + s( 1) + s(K K = G(s)

ppp

pc

τττ 321 (P-4.4.8-2)

0 = 1) - s( 1) + s( 1) + s(

K K + 1ppp

pc

τττ 321 (P-4.4.8-3)

0 = K K + 1 - s) - - ( + s ) - + ( + s pcppp2

pppppp3

ppp ττττττττττττ 123213221321 (P-4.4.8-4)


- za p

u KK 1

1 = i

τττττττττττττττ=

321

2132312133212

pppp

ppppppppppppu K

) - + ( ) - - ( + <K

Sistem je stabilan za 21 ucu KKK << , a nestabilan za 21 ucuc KKiKK >< . - Slučaj (b): Sistem je nestabilan za svaku vrednost pojačanja regulatora. Pri tome, za Kc<1/Kp sistem ima jedan pozitivan koren karakteristične jednačine, dok se za Kc>1/Kp dva korena karakteristične jednačine nalaze u desnoj poluravni.

ZAKLJUČAK: U prethodna dva primera smo pokazali da se sistem koji je u otvorenom kolu nestabilan, u slučaju sistema prvog reda i nekim slučajevima višeg reda, može prevesti u stabilan sistem sintezom zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom spregom i P regulatorom. Ono što je za ove sisteme karakteristično je, da ukoliko je moguće ostvariti stabilan sistem, onda se on dobija za vrednosti pojačanja regulatora koje su veće od nekog krajnjeg pojačanja. Prethodni primeri su imali za svrhu da ilustruju korišćenje metode dijagrama položaja korena karakteristične jednačine za analizu ponašanja zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom spregom, sa posebnim naglaskom na analizi stabilnosti kola. Pored toga, dijagram položaja korena karakteristične jednačine se može koristiti i za sintezu zatvorenog kola, odnosno za pravilan izbor pojačanja regulatora, tako da se dobiju definisani dominantni koreni karakteristične jednačine, a time i definisani odziv sistema (odziv sa željeni vremenskim konstantama i koeficijentom prigušenja). Iako dosta složena, ova metoda predstavlja vrlo efikasno sredstvo za analizu i sintezu sistema upravljanja. Jedan od značajnih nedostataka ove metode je što ne može da se primeni na sisteme koji imaju mrtvo vreme, jer se crtanje dijagrama položaja korena zasniva na prenosnoj funkciji otvorenog kola definisanoj preko polova i nula. Prenosna funkcija elementa sa mrtvim vremenom e-Ds je periodična funkcija i ima beskonačno mnogo korena, tako da je nemoguće prikazati sve njene korene u s-ravni. Jedan od postupaka koji se koriste je Padeova aproksimacija prenosne funkcije čistog kašnjenja odnosom dva polinoma po s, koja je opisana u poglavlju 2.3.5.2. Međutim, mnogo češće se za analizu i sintezu sistema automatskog upravljanja koji sadrže čisto kašnjenje koriste metode koje se zasnivaju na poznavanju frekventnih karakteristika sistema. U sledećem poglavlju će biti prikazane dve najčešće korišćene metode analize stabilnosti zatvorenog regulacionog kola u frekventnom domenu: Bodeov i Nikvistov kriterijum stabilnosti. 4.4.5. Bodeov kriterijum stabilnosti zatvorenog regulacionog kola Frekventne karakteristike sistema koje smo definisali u poglavlju 2.8. predstavljaju vrlo jednostavno i

Slika P-4.4.8. Dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola sa nestabilnim procesom trećeg reda i P regulatorom


često korišćeno sredstvo za analizu i sintezu zatvorenog regulacionog kola. Jedna od najjednostavnijih i najčešće primenjivanih metoda za ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola je Bodeov kriterijum stabilnosti koji se zasniva na poznavanju frekventnih karakteristika koje odgovaraju prenosnoj funkciji otvorenog kola, koje ćemo ubuduće nazivati frekventne karakteristike otvorenog kola. Bodeov kriterijum stabilnosti se može izvesti na osnovu jednostavnog misaonog eksperimenta: Posmatra se regulaciono kolo sa negativnom povratnom spregom, koje je "otvoreno" na mestu ulaska signala iz mernog elementa u detektor greške i u koje se uvodi sinusna promena postavne tačke sa jediničnom amplitudom: x=sin(ωt). Ako su svi elementi u kolu stabilni i linearni, posle dovoljno dugog vremena se dostiže kvazistacionarno stanje pri kome promena izmerene vrednosti na izlazu iz mernog elementa ima oblik ym=ARsin(ωt+φ). Prema definiciji frekventnih karakteristika, AR i φ su vrednosti amplitudne i fazne karakteristike otvorenog kola za datu frekvenciju ω. Frekvencija ulazne sinusna promene se menja dok se pri jednoj frekvenciji ω0 ne dobije izlaz iz mernog elementa koji je u protivfazi sa ulaznim signalom: ym=-AR0sin(ω0t) (slika 4.4-4(a)). Ova frekvencija, kojoj odgovara fazna karakteristika otvorenog kola φ0=-π je naziva kritična frekvencija, koja se često naziva i krajnja ili presečna frekvencija i najčešće se označava sa ω0 ili ωu. U jednom trenutku se istovremeno zatvara regulaciono kolo na mestu prekida i promena postavne tačke se svodi na nulu (slika 4.4.4(b)). Pošto se signal iz mernog elementa uvodi sa negativnim znakom, regulaciono kolo će i dalje oscilovati kao pre ovog trenutka. Pri tome, ako je amplituda signala iz mernog elementa koja odgovara kritičnoj frekvenciji u otvorenom kolu AR0<1, amplituda ovih oscilacija će se smanjivati i posle nekog vremena će doći do smirivanja sistema. U ovom slučaju je zatvoreno regulaciono kolo stabilno. Ukoliko je amplituda koja odgovara kritičnoj frekvenciji AR0>1, amplituda oscilovanja zatvorenog kola će se povećavati sa vremenom i težiće beskonačnosti kada t64, tako da će zatvoreno regulaciono kolo biti nestabilno. Ukoliko je amplituda izlaznog signala iz mernog elementa koja odgovara kritičnoj frekvenciji u otvorenom kolu AR0=1, zatvoreno kolo će nastaviti da osciluje sa istom amplitudom i biće na granici stabilnosti.

Na osnovu ovoga se definiše Bodeov kriterijum stabilnosti koji glasi: Zatvoreno regulaciono kolo sa negativnom povratnom spregom će biti stabilno ako je vrednost amplitudne karakteristike otvorenog kola koja odgovara kritičnoj frekvenciji manja od jedan, biće nestabilno ako je ova vrednost veća od jedan, i biće na granici stabilnosti ukoliko je jednaka jedan. Značenje Bodeovog kriterijuma stabilnosti postaje jasnije kada se frekventne karakteristike otvorenog kola prikažu u Bodeovim dijagramima. Na slici 4.4-5. su prikazani Bodeovi dijagrami za tri sistema: jedan stabilan, jedan na granici stabilnosti i jedan nestabilan. Zbog jednostavnosti su prikazani Bodeovi

Slika 4.4-4. (a) Otvoreno kolo sa sinusnom promenom postavne tačke, pri kritičnoj frekvenciji; (b) Odgovarajuće zatvoreno kolo sa produženim oscilacijama


dijagrami za tri sistema čije su fazne karakteristike identične, a amplitudne karakteritike su proporcionalne. Grafički prikaz Bodeovog kriterijuma u kompleksnoj G(jω) ravni, odnosno korišćenjem Nikvistovog dijagrama, dat je na slici 4.4-6. U ovom dijagramu, karakteristična tačka je presek Nikvistove krive otvorenog kola sa negativnim delom Re-ose, jer je to tačka tačka koja odgovara kritičnoj frekvenciji, odnosno za koju je fazna karakteristika otvorenog kola jednaka -π. Ukoliko Nikvistova kriva otvorenog kola seče negativni deo Re-ose desno od tačke (-1,0) zatvoreno regulaciono kolo je stabilno, ukoliko je seče u tački (-1,0), zatvoreno kolo je na granici stabilnosti, a ukoliko je seče levo od tačke (-1,0) zatvoreno regulaciono kolo je nestabilno. Vrednost amplitudne karakteristike otvorenog kola koja odgovara kritičnoj frekvenciji je jednaka dužini odsečka koji hodograf vektora G(jω) otvorenog kola odseca na negativnom delu Re-ose. Ova dužina odsečka je u prvom slučaju manja od jedan, u drugom je jednaka jedan, a u trećem veća od jedan. Grafički prikaz značenja Bodeovog kriteriju-ma stabilnosti u Nikolsovom dijagramu, dat je na slici 4.4-7. Primena Bodeovog kriterijuma stabilnosti je izuzetno jednostavna. Za ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola ovom metodom, potrebno je samo poznavanje amplitudne i fazne karakteristike otvorenog kola. Ukoliko su poznate frekventne karakteristike svih elemenata zatvorenog regulacionog kola, amplitudna karakteristika otvorenog kola se dobija jednostavno, kao proizvod amplitudnih karakteristika pojedninih elemenata, dok se fazna karakteristika otvorenog dobija kao zbir pojedinih faznih karakteristika:

(indeks c se odnosi na regulator, v na izvršni element, p na proces i m na mer-ni element.) Pri ovome se mogu koristiti teorijski dobijene frekventne karakte-ristike (izvedene na osnovu poznatih prenosnih funkcija eleme-nata kola) ili frekventne karakte-ristike dobijene eksperimentalno.

Na osnovu Bodeovog kriterijuma stabilnosti, moguće je vrlo jednos-tavno određivanje krajnjeg pojačanja i kritične frekvencije sistema. Da se podsetimo, krajnje pojačanje je pojačanje regulatora pri kome je

Slika 4.4-5. Ilustracija Bodeovog kriterijuma stabilnosti u Bodeovim dijagramima

)( + )( + )( + )( = )( )(AR )(AR )(AR )(AR = )AR(

mpvc

mpvc

ωφωφωφωφωφωωωωω

(4.4-24)

Slika 4.4-6. Ilustracija Bodeovog kriterijuma stabilnosti u Nikvistovom dijagramu

Slika 4.4-7. Ilustracija Bodeovog kriterijuma stabilnosti u Nikolsovom dijagramu


zatvoreno regulaciono kolo na granici stabilnosti, dok je kritična frekvencija ona frekvencija sa kojom takvo kolo osciluje sa konstantnom amplitudom. Korišćenjem logike Bodeovog kriterijuma stabilnosti, ove vrednosti se mogu odrediti na osnovu frekventnih karakteristika otvorenog kola. Tako se kritična frekvencija dobija kao frekvencija pri kojoj je fazna karakteristika otvorenog kola jednaka -π (slika 4.4-5):

ili kao frekvencija pri kojoj je imaginarni deo frekventne prenosne funkcije jednak nuli (slika 4.4-6.):

Krajnje pojačanje se dobija kao recipročna vrednost amplitudne karakteristike otvore-nog kola koje odgovara kritičnoj frekvenciji i jediničnom pojačanju regulatora:

Ograničenja Bodeovog kriterijuma stabilnosti. Za razliku od metoda ispitivanja stabilnosti u Laplasovom domenu, Bodeov kriterijum stabilnosti se može jednostavno primeniti na ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola koje sadrži element sa mrtvim vremenom. Međutim, zbog načina na koji se definiše, nameću se neka ograničenja korišćenja Bodeovog kriterijuma stabilnosti. Jedna od pretpostavki koja je korišćena pri izvođenju ovog kriterijuma je da je otvoreno kolo stabilno. Zbog toga se Bodeov kriterijum stabilnosti ne može koristiti za ispitivanje stabilnosti sistema koji sadrže elemente koji su nestabilni u otvorenom kolu (sistema koji imaju polove otvorenog kola u desnoj poluravni). Druga pretpostavka koja nije eksplicitno navedena, ali se podrazumeva pri definisanju Bodeovog kriterijuma stabilnosti je da su amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kola monotono opadajuće funkcije frekvencije, odnosno da nemaju maksimume i minimume. Kod sistema koji ne zadovoljavaju ovaj uslov može da se javi više preseka krive fazne karakteristike sa pravom φ=-π, odnosno više kritičnih frekvencija. Bodeov kriterijum stabilnosti ne daje odgovor na pitanje u kojim slučajevima je takav sistem stabilan, a u kojim ne, pa se ne može primeniti na ispitivanje stabilnosti ovakvih sistema. 4.4.5.1. Analiza uticaja reda sistema i prisustva elementa sa mrtvim vremenom na stabilnost zatvorenog regulacionog kola, na osnovu Bodeovog kriterijuma stabilnosti U poglavlju 4.3.2.1. smo pokazali da zatvoreno regulaciono kolo koje sadrži proces prvog reda i P regulator, predstavlja takođe sistem prvog reda, sa parametrima koji zavise od pojačanja regulatora. Fazna karakteristika sistema prvog reda ima vrednosti od 0 (kada ω60) do -π/2 (kada ω64), i ni za jednu vrenost frekvencije ne može da dostigne vrednost -π. Zbog toga je ovakvo zatvoreno regulaciono kolo, na osnovu Bodeovog kriterijuma stabilnosti, stabilno za svako pojačanje P regulatora. Na sličan način se može pokazati da je zatvoreno regulaciono kolo koje predstavlja sistem drugog reda stabilno za svaku vrednost pojačanja regulatora, jer njegova fazna karakteristika uzima vrednosti između nule (za ω60) i -π (za ω64), ali ni za jednu realnu vrednost frekvencije ne dostiže -π. Tako ni u ovom slučaju nije moguće definisati kritičnu frekvenciju i sistem je stabilan za svaku vrednost Kc. Ukoliko zatvoreno regulaciono kolo predstavlja sistem trećeg ili višeg reda, ono u principu može da postane nestabilno pri nekim vrednostima pojačanja regulatora. Kao što smo naveli, za razliku od metoda za ispitivanje stabilnosti sistema u Laplasovom domenu, Bodeov kriterijum stabilnosti se može vrlo jednostavno primeniti na sisteme koji sadrže mrtvo vreme. Takođe, mogu se vrlo jednostavno izvesti zaključci o uticaju mrtvog vremena na stabilnost zatvorenog regulacionog kola, na osnovu Bodeovog kriterijuma stabilnosti. Element sa mrtvim vremenom ima frekventnu karakteristiku koja je specifična: amplitudna karakteristika je jednaka jedan za sve vrednosti frekvencije, a fazna karakteristika je negativna i uzima vrednosti od 0 (kada ω60) do -4 (kada ω64). Pri tome se brzina opadanja fazne karakteristike u Bodeovom dijagramu povećava sa povećanjem vrednosti čistog kašnjenja. Zbog ovakvih karakteristika, prisustvo elementa sa mrtvim vremenom u zatvorenom

πωφ - = )( 0 (4.4-25)

0 = ))(G(j Im 0ω (4.4-26)

| )G(j |1 =

|)AR(1 = K

1=K0u

c 1=K ,_=))arg(G(j cπωωω (4.4-27)


regulacionom kolu ne utiče na promenu amplitudne karakteristike, ali bitno "obara" krivu fazne karakteristike otvorenog kola, smanjujući na taj način vrednost kritične frekvencije i stabilnost zatvorenog kola. Za zatvoreno regulaciono kolo koje sadrži element sa mrtvim vremenom uvek postoji oblast pojačanja regulatora za koju je zatvoreno regulaciono kolo nestabilno. Primenu Bodeovog kriterijuma stabilnosti ćemo najpre ilustrovati na primeru sistema sa mrtvim vremenom. PRIMER 4.4-9. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda sa čistim kašnjenjem i P regulatorom, korišćenjem Bodeovog kriterijuma stabilnosti Primenom Bodeovog kriterijuma stabilnosti, odrediti za koje vrednosti pojačanja P regulatora će zatvoreno regulaciono kolo sa negativnom povratnom spregom koje sadrži proces prvog reda sa mrtvim vremenom:

biti stabilno. Usvojiti da se dinamičke karakteristike mernog i izvršnog elementa mogu zanemariti. REŠENJE: Prenosna funkcija otvorenog kola za zatvoreno regulaciono kolo sa datim procesom i P regulatorom je:

Da bi se primenio Bodeov kriterijum stabilnosti, potrebno je definisati amlitudnu i faznu karakteristiku otvorenog kola, što se najjednostavnije može učiniti na sledeći način:

Bodeovi dijagrami koji predstavljaju ove frekventne karakteristike, za Kc=1, su prikazani na slici P-4.4-9. Vrednost kritične frekvencije i amplitudne karakteristike koja joj odgovara se može približno odrediti na osnovu dijagrama (slika P-4.4-9). Vrednost kritične frekvencije se može odrediti i numeričkim rešavanjem jednačine:

kojim se dobija:

Amplitudna karakteristika otvorenog kola koja odgovara ovoj frekvenciji je:

Pojačanje regulatora pri kome je ova vrednost jednaka jedinici, odnosno, pri kome je sistem na granici stabilnosti je krajnje pojačanje, i u ovom slučaju iznosi:

1 + se = (s)G

s-0.1

p

0,01 0,1 1 10 100-6,28

-4,71

-3,14

-1,57

0,00

1,57

0,01 0,1 1 10 10010-3

10-2

10-1

100

101

16.32

-π

π/2

0

-2π

φ(rad)

ω

0.0612

AR

Slika P-4.4-9. Bodeovi dijagrami otvorenog kola za sistem sa procesom prvog reda sa čistim kašnjenjem i P regulatorom, za Kc=1

1 + se K = (s)G (s)G = G(s)

s-0.1

cpc

ωωωφωφωφω

ωωω

0.1 - )(- = )( + )( = )( + 1

1 K = )(AR )(AR = )AR(

pc

2cpc

arctan

πωωωφ - = 0.1 - - = 000 )arctan()(

min32.160 rad/ =ω

cc K + 1

1 K AR 0612.0)(20

0 =ω

=ω


Zatvoreno regulaciono kolo definisano ovim zadatkom će biti: - stabilno za Kc<16.35 - nestabilno za Kc>16.35. 4.4.5.2. Analiza uticaja tipa i parametara regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola na osnovu Bodeovog kriterijuma stabilnosti Regulator predstavlja jedan od elemenata regulacionog kola, tako da prenosna funkcija otvorenog kola, pa time i stabilnost zatvorenog regulacionog kola zavise od parametara regulatora. Pri tome je najjedostavnije ispitati uticaj pojačanja regulatora na stabilnost sistema. Prenosna funkcija otvorenog kola se može prikazati kao:

Poznato je da se pri množenju prenosne funkcije sa konstantom menja samo odgovarajuća amplitudna karakteristika, dok fazna karakteristika ostaje nepromenjena. Na isti način možemo da zaključimo da se pri promeni pojačanja regulatora fazna karakteristika otvorenog kola ne menja (a time ni vrednost kritične frekvencije), dok se ampitudna karakteristika menja proporcionalno pojačanju. Pretpostavimo da najpre definišemo sistem koji odgovara pojačanju regulatora Kc=1, i da je amplitudna karakteristika za vrednost kritične frekvencije u ovom slučaju AR(ω0)=AR0<1. Ovaj sistem će na osnovu Bodeovog kriterijuma biti stabilan (slučaj 1 na slici 4.4-5.). Kada povećavamo pojačanje regulatora, proporcionalno će se povećavati i amplitudna karakteristika, što će se u Bodeovom dijagramu ogledati kao translatorno pomeranje krive amplitudne karakteristike naviše. Za vrednost pojačanja Kc=1/AR0, amplitudna karakteristika za kritičnu frekvenciju će biti jednaka jedan i zatvoreno regulaciono kolo će biti na granici stabilnosti (slučaj 2 na slici 4.4-5.), da bi sa daljim povećanjem pojačanja regulatora ova vrednost postala veća od jedan i sistem postao nestabilan (slučaj 3 na slici 4.4-5). Vrednost pojačanja regulatora pri kojoj je zatvoreno regulaciono kolo na granici stabilnosti je krajnje pojačanje Ku. Za sisteme na koje se može primeniti Bodeov kriterijum stabilnosti važi da je zatvoreno regulaciono kolo stabilno za Kc<Ku i nestabilno za Kc>Ku. Uticaj integralnog i diferencijalnog vremena regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola, posmatrano sa aspekta frekventnih karakteristika, nije tako jednostavno ispitati, jer promena ovih parametara utiče na promenu i amplitudne i fazne karakteristike. Ipak, jednostavnim spekulacijama se mogu izvesti neki generalni zaključci: Proporcionalno-integralni (PI) regulator ima faznu karakteristiku koja je uvek negativna i kreće se u opsegu (-π/2,0). Zbog toga prisustvo PI regulatora povećava faznu karakteristiku po apsolutnoj vrednosti, odnosno "obara" krivu fazne karakteristike, što utiče na smanjenje vrednosti kritične frekvencije. Pošto je, u principu, kriva amplitudne karakteristike opadajuća, ovo će uticati na smanjenje stabilnosti sistema. Istovremeno, dodavanje integralne akcije povećava amplitudnu karakteristiku, što takođe utiče na smanjenje stabilnosti zatvorenog kola. Sa smanjenjem vrednosti integralnog vremena, krive amplitudne i fazne karakteristike PI regulatora se pomeraju udesno, što utiče na smanjenje vrednosti kritične frekvencije, a time i na smanjenje stabilnosti sistema. Dodavanjem diferencijalne akcije (u okviru PD ili PID regulatora), dodaje se član koji ima pozitivnu faznu karakteristiku (u opsegu (0,π/2)). Kao rezultat ovoga, ukupna fazna karakteristika se povećava, a njena apsolutna vrednost smanjuje, što se u Bodeovom dijagramu očituje kao "podizanje" krive fazne karakteristike. Zbog toga fazna karakteristika dostiže vrednost -π pri višim frekvencijama, što rezultuje povećanjem stabilnosti zatvorenog regulacionog kola. Ovo povećanje stabilnosti je utoliko veće ukoliko je kriva fazne karakteristike regulatora pomerena više ulevo, što odgovara većim vrednostima diferencijalnog vremena. Treba primetiti da su ovi zaključci identični sa onim koje smo izveli u poglavlju 4.4.4., na osnovu analize stabilnosi zatvorenog regulacionog kola korišćenjem dijagrama položaja korena.

35.16)(

1

10=

ω=

=

AR

KcK

u

(s)G K = G(s) c ′


Ispitivanje uticaja tipa i parametara regulatora ćemo ilustrovati na istom primeru koji smo koristili za ilustraciju metode geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine (kaskada od tri identična izotermna reaktora sa idealnim mešanjem kao proces koji treba regulisati pomoću P, PI i PID regulatora). PRIMER 4.4-10. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i P regulatorom, korišćenjem Bodeovog kriterijuma stabilnosti Primenom Bodeovog kriterijuma stabilnosti, odrediti za koje vrednosti pojačanja P regulatora će zatvoreno regulaciono kolo sa procesom trećeg redačija je prenosna funkcija:

biti stabilno. (Uticaj dinamike mernog i izvršnog elementa se može zanemariti.) REŠENJE: Prenosna funkcija otvorenog kola koje sadrži dati proces i P regulator je:

a odgovarajuća amplitudna i fazna karakteristika: Bodeovi dijagrami na kojima su prikazane ove karakteristike, za Kc=1 su dati na slici P-4.4.10. Približne vrednosti kritične frekvencije i amplitudne karakteristike koja joj odgovara se mogu odrediti sa dijagrama, kako je prikazano. Tačne vrednosti se mogu dobiti numeričkim rešavanjem sledeće nelinearne jednačine:

odakle je:

Vrednost amplitudne karakteristike koja odgovara ovoj frekvenciji je:

odakle se dobija vrednost krajnjeg pojačanja regulatora:

Zatvoreno regulaciono kolo definisano u ovom zadatku će, na osnovu Bodeovog kriterijuma, biti: - stabilno za Kc<64 - nestabilno za Kc>64. Treba primetiti da su vrednosti kritične frekvencije i krajnjeg pojačanja dobijene u ovom primeru,

0,1 1 10-270

-180

-90

0

0,1 1 1010-4

10-3

10-2

10-1

100

1.73

φ(o)

ω(rad/min)

0.0156

AR

Slika P-4.4.10. Bodeovi dijagrami otvorenog kola za sistem sa procesom trećeg reda i P regulatorom, za Kc=1

)1+(s1/8 = (s)G 3p

)( 3 - = )( + )( = )() + (1

K 1/8 = + 11 K 1/8 = )(AR )(AR = )AR(

pc

3/22c

2

3

cpc

ωωφωφωφω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωωωω

arctan

)1 + (s1/8 K = G(s) 3c

πωωφ - = )( 3 - = )( arctan

1.73 = 3 = 0ω

K 0.015625 =

)731. + (1K

81 = )AR( = AR c3/22

c00 ω

64 = 0.015625

1 = Ku


identične sa onima dobijenim u primeru 4.4-3. u kome je isti problem rešen metodom geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine. PRIMER 4.4-11. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i PI regulatorom, korišćenjem Bodeovog kriterijuma stabilnosti Primenom Bodeovog kriterijuma stabilnosti, odrediti za koje vrednosti pojačanja PI regulatora će zatvoreno regulaciono kolo definisano u prethodnom primeru biti stabilno ako se umesto P upotrebi PI regulator. (a) za slučaj τi=3.03 min; (b) za slučaj τi=0.8 min. REŠENJE: Prenosna funkcija otvorenog kola sa PI regulatorom:

Amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kola:

Za konkretne vrednosti integralnog vremena dobijaju se sledeći izrazi: Za slučaj (a) - τi=3.03 min:

Za slučaj (b) - τi=0.8 min:

Bodeovi dijagrami na kojima su prikazne ove frekventne karakteristike, za Kc=1, dati su na slici P-4.4.11. Na slici su isprekidanim linijama prikazane amplitudna i fazna karakteristika samog procesa (označene sa P). Približne vrednosti kritičnih frekvencija i amplitudnih karakteristika koje im odgovaraju se mogu dobiti grafički sa dijagrama, kako je pokazano. Tačne vrednosti kritičnih frekvencija se mogu odrediti rešavanjem jednačine:

koja se može rešiti samo numerički. Ovo rešenje će biti:

)1+(s1/8

s1 + 1 K = (s)G (s)G = G(s) 3i

cpc ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ωτ

ωωφ

ωωτω

i

3/2222i

c

1 - )( 3- = )(

) + (11/8

1 + 1 K = )AR(

arctanarctan

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωωωφ

ωωω

0.33 - )( 3- = )(

) + (11/8 0.109 + 1 K = )AR( 3/222c

arctanarctan

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωωωφ

ωωω

1.25 - )( 3- = )(

) + (11/8 1.5625 + 1 K = )AR( 3/222c

arctanarctan

πωφ - = )( 0


Za slučaj (a): τi=3.03 min:

Vrednost amplitudne karakteristike koja odgovara ovoj frekvenciji se dobija zamenom ove vrednosti u izraz za amplitudnu karakteristiku:

Odakle se dobija vrednost krajnjeg pojačanja:

Na osnovu ovoga možemo izvući sledeći zaključak: posmatrano zatvoreno regulaciono kolo sa PI regulatorom će za slučaj τi=3.03 min biti: - stabilno za Kc<43.48 - nestabilno za Kc>43.48. Za slučaj (b) -τi=0.8 min:

0.897 = 0ω

Odgovarajuća vrednost amplitudne karakteristike je:

a vrednost krajnjeg pojačanja:

Zatvoreno regulaciono kolo sa posmatranim procesom prvog reda i PI regulatorom će, za τi=0.8 min, biti: - stabilno za Kc<11.3 - nestabilno za Kc>11.3. Ako se ovi rezultai uporede sa rezultatima dobijenim u primeru 4.4-10., u kome je ispitivana stabilnost istog sistema sa P regulatorom, vidi se da dodavanje integralne akcije izaziva smanjenje kritične frekvencije i krajnjeg pojačanja, a time i stabilnosti sistema. Poređenjem slučajeva (a) i (b) u ovom primeru, može se zaključiti da se stabilnost smanjuje sa smanjenjem integralnog vremena. Ovi zaključci su u skladu sa zaključcima koje smo izveli na osnovu kvalitativne analize. Takođe treba primetiti da su rezultati dobijeni u ovom primeru identični sa onim iz primera 4.4-4. u kome je stabilnost istog sistema ispitivana metodom geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine. PRIMER 4.4-12. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i PID regulatorom, korišćenjem Bodeovog kriterijuma stabilnosti Primenom Bodeovog kriterijuma stabilnosti treba ispitati za koje vrednosti pojačanja regulatora će biti stabilno zatvoreno regulaciono kolo koje je posmatrano u prethodnim primerima, za slučaj PID regulacije i tri kombinacije vrednosti integralnog i diferencijalnog vremena:

(a) τi=3.03 min, τd=0.4 min; (b) τi=0.8 min, τd=0.4 min; (c) τi=0.8 min, τd=0.2 min. REŠENJE:

0,1 1 10-270

-180

-90

0

0,1 1 1010-4

10-3

10-2

10-1

100

101

0.879

P

(b)

(a)

1.47

φ(o)

ω(rad/min)

(b)(a)P

0.0880.0228

AR

Slika P-4.4.11. Bodeovi dijagrami otvorenog kola za sistem sa procesom trećeg reda i PI regulatorom, za Kc=1

47.1=ω 0

K 0.0228 = )AR( = AR c00 ω

43.9 = 0.0228

1 = Ku

K 0.088 = )AR( = AR c00 ω

11.3 = 0.088

1 = Ku


Prenosna funkcija otvorenog kola koja odgovara zatvorenom regulacionom kolu sa PID regulatorom je:

a odgovarajuća amplitudna i fazna karakteristika:

Za konkretne slučajeve ovi izrazi postaju: Za slučaj (a) - τi=3.03 min, τd=0.4 min:

Za slučaj (b) - τi=0.8 min, τd=0.4 min:

Za slučaj (c) - τi=0.8 min, τd=0.2 min:

Bodeovi dijagrami na kojima su prikazane amplitudne i fazne karakteristike za sva tri slučaja, za Kc=1, prikazani su na slici P-4.4.12. Na ovoj slici su takođe prikazane frekventne karakteristike samog procesa, isprekidanim linijama. Sa slike P-4.4.12. se može zaključiti

sledeće: - Za slučaj (a): Fazna karakteristika otvorenog kola koja odgovara parametrima PID regulatora τi=3.03 min i τd=0.4 min je za svaku frekvenciju veća od -π, odnosno kriva kojom je definisana ova fazna karakteristika nigde ne seče liniju φ=-π. Kao rezultat toga, sistem je stabilan za svaku vrednost pojačanja regulatora. - Za slučaj (b): Fazna karakteristika otvorenog kola seče liniju φ=-π dva puta i to za frekvencije:

)1 + (s1/8 s +

s1 + 1 K = G(s) 3di

c ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

τ

)( 3 - 1 - = )( + )( = )(

) + (11/8 1 - + 1 K = )(AR )(AR = )AR(

idpc

3/22i

d

2

cpc

ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωτ

ωτωφωφωφ

ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωτ

ωτωωω

arctanarctan

0,1 1 10-270

-180

-90

0

0,1 1 1010-4

10-3

10-2

10-1

100

101

2.07

(c)

0.97

P

(b)

(a)

1.206

φ(o)

ω(rad/min)

0.0105

(c)

(b)(a)P0.0684

0.037

AR

Slika P-4.4.12. Bodeovi dijagrami otvorenog kola za sistem sa procesom trećeg reda i PID regulatorom, za Kc=1

)( 3 - 0.33 - 0.4 = )(

) + (10.125 0.33 - 0.4 + 1 K = )AR( 3/22

2

c

ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωωωφ

ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωωω

arctanarctan

)( 3 - 1.25 - 0.4 = )(

) + (10.125 1.25 - 0.4 + 1 K = )AR( 3/22

2

c

ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωωωφ

ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωωω

arctanarctan

)( 3 - 1.25 - 0.2 = )(

) + (10.125 1.25 - 0.2 + 1 K = )AR( 3/22

2

c

ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωωωφ

ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωωω

arctanarctan


(Ove vrednosti se mogu dobiti grafički, sa date slike ili numeričkim rešavanjem jednačine φ(ω)=−π. Ovim vrednostima frekvenciji odgovaraju vrednosti amplitudne karakteristike otvorenog kola:

U ovom slučaju, kada postoje dva rešenja za kritičnu frekvenciju, ne mogu se izvesti zaključci o stabilnosti zatvorenog regulacionog kola primenom Bodeovog kriterijuma stabilnosti. Ovaj sistem ne zadovoljava uslov da je fazna karakteristika monotono opadajuća funkcija frekvencije. Za njegovu analizu treba primeniti neku drugu metodu ispitivanja stabilnosti. - Za slučaj (c): Fazna karakteristika otvorenog kola seče liniju φ(ω)=−π jednom, za frekvenciju:

Ovoj kritičnoj frekvenciji odgovara amplitudna karakteristika otvorenog kola:

tako da je vrednost krajnjeg pojačanja:

Ovo zatvoreno regulaciono kolo će, na osnovu Bodeovog kriterijuma stabilnosti biti: - stabilno za Kc<14.61 - nestabilno za Kc>14.61. Rezultati dobijeni u ovom primeru za slučajeve (a) i (c) su identični kao oni dobijeni u primeru 4.4-5. u kome je stabilnost istog sistema ispitivana metodom geometrijskog mesta položaja korena karakteristične jednačine. Kao što smo naveli, Bodeov kriterijum se može primeniti samo na ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola koje ne sadrži nestabilne elemente u otvorenom kolu, i to takvog da su amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kola monotono opadajuće funkcije frekvencije, odnosno da nemaju minimume i maksimume. Ukoliko ovi uslovi nisu ispunjeni, neophodno je primeniti neki drugi način za ispitivanje stabilnosti zatvorenog kola. Ukoliko sistem ne sadrži mrtvo vreme, može se primeniti metoda geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine koju smo opisali u poglavlju 4.4.4. U frekventnom domenu se za analizu ovakvih sistema najčešće koristi Nikvistov kriterijum stabilnosti kojme je posvećeno sledeće poglavlje. 4.4.6. Nikvistov kriterijum stabilnosti zatvorenog regulacionog kola Kao što je navedeno u prethodnom poglavlju, jednostavni Bodeov kriterijum stabilnosti se može primeniti samo na zatvoreno regulaciono kolo koje nema nestabilnih elemenata u otvorenom kolu, i čije su amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kola monotono opadajuće funkcije frekvencije. Nikvistov kriterijum stabilnosti se, naravno, može primeniti i na sisteme koji zadovoljavaju ove uslove, ali takođe i na sisteme koji sadrže nestabilne elemente i kod kojih se javljaju lokalni minimumi i maksimumi amplitudne i/ili fazne karakteristike otvorenog kola. Konkretna primena Nikvistovog kriterijuma je prilično jednostavna i praktično se zasniva na crtanju Nikvistovog dijagrama otvorenog kola, ali se, za razliku od Bodeovog, Nikvistov kriterijum stabilnosti izvodi strogim matematičkim postupkom zasnovanim na Košijevoj teoremi vezanoj za kompleksnu funkciju kompleksne promenljive, koja se često naziva Z-P=N teorema. Zbog toga ćemo najpre definisati ovu teoremu. Teorema Z-P=N glasi: Ako kompleksna funkcija F(s) ima Z nula i P polova unutar određene oblasti u ravni nezavisne promenljive s, obihvaćene zatvorenom konturom C, slika zatvorene konture C u F-ravni će obići oko koordinatnog početka (tačke (0,0)) N=Z-P puta. Pri tome se obilaženje u smeru kazaljke na satu uzima sa pozitivnim znakom, a obilaženje u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu sa negativnim znakom.

rad/min 2.07 = i rad/min 02ωω 1.206 = 01

K 0.0105 = )AR( ,K 0.037 = )AR( c02c01 ωω

rad/min 0.97 = 0ω

K 0.0684 = )AR( = AR c00 ω

14.61 = 0.0684

1 = Ku


Primena Z-P=N teoreme na ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola. Ova teorema se može vrlo korisno primeniti na ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom spregom, ukoliko je primenimo na funkciju:

gde je G(s) prenosna funkcija otvorenog kola, i zatvorenu konturu C u kompleksnoj s-ravni koja potpuno obuhvata desnu poluravan, odnosno deo s-ravni desno od Im-ose. Broj obilazaka koju slika ove konture vrši oko koordinatnog početka u ravni 1+G je jednak razlici broja nula i polova funkcije 1+G koji se nalaze u desnoj poluravni kompleksne s-ravni. Za stabilnost zatvorenog regulacionog kola su od značaja koreni karakteristične jednačine zatvorenog kola:

koji su identični sa nulama funkcije 1+G(s). Da bi zatvoreno regulaciono kolo bilo stabilno, sistem ne sme da sadrži nule funkcije 1+G(s) u desnoj poluravni, odnosno mora da bude zadovoljen uslov Z=0. Polovi funkcije 1+G(s) su identični sa polovima prenosne funkcije otvorenog kola G(s). Ukoliko imamo sistem koji je stabilan u otvorenom kolu, prenosna funkcija otvorenog kola G(s), pa prema tome, ni funkcija F(s)=1+G(s), nema ni jedan pol u desnoj poluravni (P=0). U tom slučaju je broj obilazaka slike konture C oko koordinatnog početka u 1+G ravni jednak broju nula funkcije 1+G(s) u desnoj poluravni kompleksne s-ravni, tako da je uslov da sistem bude stabilan:

Ukoliko posmatrani sistem sadrži P nestabilnih elemenata u otvorenom kolu, odnosno ima P polova prenosne funkcije otvorenog kola G(s) u desnoj poluravni, i funkcija F(s)=1+G(s) ima P polova koji se nalaze u desnoj poluravni. Da bi zatvoreno regulaciono kolo bilo stabilno u ovom slučaju (odnosno da bi bio zadovoljen uslov Z=0), broj obilazaka slike konture C oko koordinatnog početka u 1+G ravni mora da bude:

Zbog jednostavnosti se, umesto funkcije F(s)=1+G(s) i njenih nula, obično ispituje funkcija G(s) kojom je definisana prenosna funkcija otvorenog kola i posmatra broj obilazaka slike konture C oko tačke (-1,0) u G-ravni. Pri tome se zaključci izvode na isti način, samo je postupak nešto jednostavniji. Najpogodniji način da se definiše zatvorena kontura u s-ravni koja obuhvata desnu poluravan je onaj prikazan na slici 4.4-8. Ova kontura je sastavljena iz tri dela: 1. poluprave s=jω (ω>0) - linija C+ 2. polukruga sa vrlo velikim poluprečnikom R64 u prvom i četvrtom kvadrantu - linija CR 3. poluprave s=-jω (ω>0) - linija C-. Kao ilustracija, na slici 4.4-9. je prikazano dobijanje slike ove konture u G-ravni, za sistem trećeg reda čija je prenosna funkcija otvorenog kola:

Kao rezultat ovog preslikavanja se dobija: 1. kriva G(jω) u G-ravni, kao slika poluprave s=jω, koja, na osnovu teoreme o zameni s sa jω u prenosnoj funkciji, predstavlja Nikvistov dijagram ili hodograf vektora G(jω) otvorenog kola:

G(s) + 1 = F(s) (4.4-28)

0 = G(s) + 1 (4.4-29)

0 = N (4.4-30)

Slika 4.4-8. Definisanje zatvorene konture u s-ravni za primenu teoreme N=Z-P na ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola

P - = N (4.4-31)

1) + s( 1) + s( 1) + s(K = G(s)

321 τττ


2. tačka u koordinatnom početku G-ravni, kao slika polukruga beskonačno velikog poluprečnika:

3. kriva G(-jω) u G-ravni, kao slika poluprave s=-jω, koja je simetrična Nikvistovom dijagramu u odnosu na Re-osu:

U najvećem broju slučajeva nije neophodno crtati čitavu sliku konture C u G-ravni, već je dovoljno nacrtati Nikvistov dijagram otvorenog kola i na osnovu njega izvesti zaključke o stabilnosti zatvorenog regulacionog kola. Na osnovu prethodno iznetih činjenica se definiše Nikvistov kriterijum stabilnosti. Najčešća formulacija ovog kriterijuma je sledeća: 1. Ukoliko sistem ne sadrži ni jedan nestabilan element u otvorenom kolu, zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno ako i samo ako Nikvistov dijagram otvorenog kola (hodograf vektora G(jω)) ne obilazi oko tačke (-1,0). Ako Nikvistov dijagram obilazi oko tačke (-1,0) zatvoreno regulaciono kolo je nestabilno, a ako prolazi kroz nju, zatvoreno regulaciono kolo je na granici stabilnosti. 2. Ukoliko sistem sadrži P elemenata koji su nestabilni u otvorenom kolu, zatvoreno regulaciono

] - )++[( + ] ) + +( - [1j ] )++( - [ K + ] ) + + ( - [1 K =

1) +j ( 1) +j ( 1) +j (

K = )j=G(s

23321321

22323121

3213

3212

323121

321

ωτττωτττωττττττ


ωτωτωτω

(4.4-33)

0 = e R

K =

1) + e R ( 1) + e R ( 1) + e R (

K =)e R=G(s

3j3321R

j3

j2

j1R

j

R

θ∞→

θθθ∞→

θ

∞→

τττ

τττ

lim

limlim (4.4-34)

] - )++[( + ] ) + +( - [1j] )++( - [ K -] ) + + ( - [1 K =

1) +j (- 1) +j (- 1) +j (-

K = )j=G(s

23321321

22323121

3213

3212

323121

321


ωτττωτττωττττττωτωτωτ

ω− (4.4-35)

Slika 4.4-9. Šematski prikaz preslikavanja konture C koja obuhvata desnu poluravan s-ravni u G-ravan (za sistem trećeg reda)


kolo će biti stabilno ako i samo ako hodograf vektora G(jω) obilazi oko tačke (-1,0) tačno P puta, u smeru suprotnom smeru kretanja kazaljke na satu. Alternativna definicija Nikvistovog kriterijuma stabilnosti je sledeća: Zatvoreno regulaciono kolo je stabilno ako se tačka (-1,0) uvek nalazi za leve strane posmatrača koji putuje duž hodografa vektora G(jω) u smeru porasta frekvencije. Kao što se vidi, praktična primena Nikvistovog kriterijuma stabilnosti se svodi na nalaženje frekventnih karakteristika otvorenog kola. Primenu Nikvistovog kriterijuma stabilnosti ćemo prikazati za nekoliko karakterističnih slučajeva koji se unekoliko razlikuju. 4.4.6.1. Primena Nikvistovog kriterijuma stabilnosti na jednostavne sisteme bez polova prenosne funkcije otvorenog kola u desnoj poluravni i na imaginarnoj osi i sa monotono opadajućom amplitudnom i faznom karakteristikom otvorenog kola Kod jednostavnih sistema, kao što je onaj prikazan prenosnom funkcijom otvorenog kola datom jednačinom (4.4-32) i slikom 4.4-9., može se primeniti i Bodeov kriterijum stabilnosti. U tom slučaju, Bodeov i Nikvistov kriterijum su praktično identični: Ako je sistem stabilan, kriva Nikvistovog dijagrama ne obuhvata tačku (-1,0) i seče negativni deo Re-ose desno od te tačke, tako da je amplitudna karakteristika koja odgovara kritičnoj frekvenciji manja od 1. S druge strane, ako je sistem nestabilan, Nikvistov dijagram obilazi oko tačke (-1,0), što znači da seče negativni deo Re-ose levo od nje, tako da je amplitudna karakteristika koja odgovara kritičnoj frekvenciji veća od 1. Pri tome treba podsetiti da u Nikvistovom dijagramu kritična frekvencija odgovara preseku hodografa vektora G(jω) sa negativnim delom Re-ose. Vrednost krajnjeg pojačanja se određuje na identičan način kao pri primeni Bodeovog kriterijuma stabilnosti. Grafički prikaz jednog stabilnog, jednog sistema na granici stabilnosti i jednog nestabilnog sistema koji odgovara ovakvom slučaju je dat na slici 4.4-10. Isprekidanim linijama su prikazane krive koje odgovaraju negativnim frekvencijama.

4.4.6.2. Primena Nikvistovog kriterijuma stabilnosti na sisteme koji imaju polove prenosne funkcije otvorenog kola na imaginarnoj osi Ukoliko prenosna funkcija otvorenog kola ima polove koji leže na imaginarnoj osi, zatvorena kontura C kojom se okružuje desna poluravan kompleksne s-ravni mora da se modifikuje u odnosu na onu prikazanu na slici 4.4-8., tako da ne obuhvata ove tačke, jer u njima prenosna funkcija otvorenog kola postaje beskonačna. Tipičan primer ovakvog sistema je sistem sa integratorom. Zatvorena kontura u s-ravni koja se koristi u ovom slu-čaju ne sme da obuhvati koordinatni početak. Takva kontura je prikazana

Slika 4.4-10. Primena Nikvistovog kriterijuma na jednostavne sisteme


na slici 4.4-11(a). Razlika u odnosu na konturu definisanu na slici 4.4-8. je u tome što je iz oblasti koju obuhvata kontura C izuzet mali polukrug oko koordinatnog početka, takav da njegov poluprečnik r teži nuli. Ovako definisana zatvorena kontura se sastoji iz četiri dela: 1. poluprave s=jω, za r<ω<R (r60, R64) - C+; 2. polukruga vrlo velikog prečnika R64, u prvom i četvrtom kvadrantu - CR; 3. poluprave s=-jω, za r<ω<R - C-; 4. polukruga vrlo malog prečnika r60, u prvom i četvrtom kvadrantu - C0. Na slici 4.4-11(b) je prikazana slika ove konture u G-ravni, za sistem trećeg reda sa integratorom, čija je prenosna funkcija otvorenog kola:

Ova slika se sastoji iz četiri dela koji se dobijaju preslikavanjem odgovarajućih delova konture C u s-ravni, na sledeći način: 1. Poluprava C+ se preslikava u krivu G(jω), koja i u ovom slučaju predstavlja Nikvistov dijagram otvorenog kola:

Ova kriva je specifična po tome što ne polazi sa Re-ose, već za ω60 ima asimptotu:

2. Polukrug beskonačno velikog poluprečnika CR se preslikava u tačku u koordinatnom početku G-ravni:

3. Poluprava C- se preslikava u krivu G(-jω) koja je je simetrična Nikvistovom dijagramu otvoreanog kola, u odnosu na Re-osu:

1) + s( 1) + s( sK = G(s)

21 ττ (4.4-36)

Slika 4.4-11. (a) Definisanje zatvorene konture koja obuhvata desnu poluravan s-ravni; (b) preslikavanje ove konture u G-ravan za sistem trećeg reda sa integratorom

) - (1 + ) + (j)] - (1 [-K +)] + ( [-K =

1) +j ( 1) +j ( jK = )j=G(s 22

212

213

22121

21 ωττωττωωττττω

ωτωτωω (4.4-37)

∞ωττω→ω→ω

- = ))Im(G(j lim , ) + (K - = ))Re(G(jlim0

21 0

(4.4.38)

0 = e R

K = 1) + e R ( 1) + e R ( e R

K = e R=sG 3j 321Rj

2j

1j R

j

R θ∞→θθθ∞→

θ

∞→ ττττlimlim)(lim (4.4-39)

) - (1 + ) + (j)] - (1 [K +)] + ( [-K =

1) +j (- 1) +j (- j-K = )j=G(s 22

212

213

22121

21 ωττωττωωττττω

ωτωτωω- (4.4-40)


4. Polukrug jako malog poluprečnika C0 (r60) se preslikava u polukrug beskonačno velikog poluprečnika u G-ravni, sa faznim uglom između +π/2 i -π/2:

4.4.6.3. Primena Nikvistovog kriterijuma stabilnosti na sisteme sa uslovnom stabilnošću, bez pozitivnih polova otvorenog kola U poglavlju 4.4.4. smo, na osnovu dijagrama položaja korena, pokazali da kod nekih sistema zatvorenog regulacionog kola stabilnost menja više puta pri promeni pojačanja regulatora, odnosno da se javlja više preseka grana sa Im-osom. Ovakve sisteme smo nazvali sistemi sa uslovnom stabilnošću. U primeru 4.4-12. smo pokazali da kod takvih sistema nije zadovoljen uslov o monotonosti funkcija amplitudne i fazne karakteristike i da se za njihovu analizu ne može primeniti Bodeov kriterijum stabilnosti. Uslovna stabilnost se može javiti kod sistema koji, pored polova, imaju i nule otvorenog kola. Na slici 4.4-12(a) je šematski prikazan izgled Nikvistovog dijagrama, a na slici 4.4-12(b) odgovarajući dijagram položaja korena, za sistem sa uslovnom stabilnošću četvrtog reda koji bi se mogao prikazti prenosnom funkcijom otvorenog kola:

Za neke kombinacije vrednosti vremenskih konstanti dobiće se dijagram položaja korena u kome kompleksne grane seku imaginarnu osu po tri puta (slika 4.4-12(b)), odnosno Nikvistov dijagram koji seče negativni deo realne ose tri puta. Ovaj sistem ima tri kritične frekvencije ω01, ω02 i ω03. Na osnovu prethodnog izlaganja je jasno da za primenu Nikvistovog kriterijuma stabilnosti nije neophodno nacrtati sliku čitave konture C u G-ravni, već je dovoljna samo kriva koja odgovara delu konture C+ (Nikvistov dijagram). Sa slike 4.4-12(a) je očigledno da ova kriva neće obilaziti oko tačke (-1,0) ukoliko se ta tačka nalazi levo od presečne tačke koja odgovara prvoj kritičnoj frekvenciji ω01 ili između presečnih tačaka koje odgovaraju frekvencijama ω02 i ω03, i u tim slučajevima će zatvoreno regulaciono kolo koje odgovara toj prenosnoj funkciji otvorenog kola biti stabilno. Ukoliko se tačka (-1,0) nalazi između presečnih tačaka koje odgovaraju frekvencijama ω01 i ω02 ili između presečne tačke koja odgovara frekvenciji ω03 i koordinatnog početka, Nikvistov dijagram će obilaziti oko ove tačke i sistem će biti nestabilan. Ukoliko se bilo koja od presečnih tačaka koje odgovaraju frekvencijama ω01, ω02 i ω03 nalazi u tački (-1,0), zatvoreno regulaciono kolo će biti na granici stabilnosti.

Za posmatrani sistem sa uslovnom stabilnošću za

erK =

1)+e r ( 1) + e r ( e rK = )e r=G(s j-

0rj 2

j 1

j 0r

j

0r

θ

→θθθ→

θ

→ ττlimlimlim (4.4-41)

1) + s( 1) + s( 1) + s( 1) + s(1) + 1s( K = G(s)

pppp

z

τττττ

4321 (4.4-42)

Slika 4.4-12. Sistem sa uslovnom stabilnošću četvrtog reda (a) Nikvistov dijagram; (b) dijagram položaja korena


koji se mogu definisati tri kritične frekvencije mogu se definisati i tri vrednosti krajnjeg pojačanja. U frekventnom domenu smo krajnje pojačanje definisali kao pojačanje regulatora za koje amplitudna karakteristika otvorenog kola koja odgovara kritičnoj frekvenciji ima vrednost 1, odnosno kao pojačanje regulatora pri kome hodograf vektora G(jω) otvorenog kola prolazi kroz tačku (-1,0). U slučaju kada sistem ima tri kritične frekvencije ω01, ω02 i ω03 odgovarajuće vrednosti krajnjeg pojačanja će biti:

Zatvoreno regulaciono kolo će biti:

Na slici 4.4-13. je šematski prikazano nekoliko slučajeva koji se javljaju pri promeni pojačanja regulatora, pri čemu zatvoreno regulaciono kolo menja stabilnost.

4.4.6.4. Primena Nikvistovog kriterijuma stabilnosti na sisteme koji sadrže nestabilne elemente u otvorenom kolu Kao što smo naveli u prethodnom izlaganju, broj obilazaka slike zatvorene konture koja obuhvata desnu poluravan s-ravni, oko tačke (-1,0) u G-ravni, je jednak razlici između broja nula i broja polova funkcije F(s)=1+G(s) koji se nalaze u desnoj poluravni. Pošto je uslov da zatvoreno regulaciono kolo bude stabilno da ova funkcija nema ni jednu nulu desno od imaginarne ose, zatvoreno regulaciono kolo koje ima P nestabilnih elemenata u otvorenom kolu (P polova prenosne funkcije otvorenog kola leži u desnoj

K / )AR(1 =

|)G(j |1 = K

K / )AR(1 =

|)G(j |1 = K

K / )AR(1 =

|)G(j |1 = K

c031=K03u

c021=K02u

c011=K01u

c

c

c

ωω

ωω

ωω

3

2

1

(4.4-43)

K = Kili K = Kili K = K ZATI STABILNOSGRANICI NAK > Kili K < K < K ZANESTABILNO

K< K < Kili K < K ASTABILNO Z

ucucuc

ucucu

ucuuc

321

321

321

Slika 4.4-13. Promena stabilnosti sistema četvrtog reda sa uslovnom stabilnošću, pri povećanju pojačanja regulatora: (a) i (c) stabilan sistem; (b) i (d) nestabilan sistem


poluravni) će biti stabilno ako ova slika obilazi oko tačke (-1,0) P puta u negativnom smeru (u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu). Ukoliko je ovaj uslov ispunjen, biće:

Primenu Nikvistovog kriterijuma stabilnosti na sisteme sa nestabilnim elementima prikazaćemo na najjednostavnijem primeru nestabilnog sistema prvog reda sa P regulatorom, čija je prenosna funkcija otvorenog kola:

Na slici 4.4-14. je prikazana zatvorena kontura C koja obuhvata desnu poluravan kompleksne s-ravni i njena slika u G-ravni definisana prenosnom funkcijom otvorenog kola datom jednačinom (4.4-45), za dva slučaja: KcKp<1 i KcKp>1.

Svaka od ovih slika se sastoji iz tri dela koji odgovaraju delovima konture C u s-ravni: 1. Deo konture C+ (poluprava s=jω) se preslikava u krivu:

koja predstavlja polukrug u trećem kvadrantu koji počinje na negativnom delu Re-ose (za ω=0: Re(G(jω))=-KcKp, Im(G(jω))=0) i završava se u koordinatnom početku. Moduo i argument kompleksne funkcije G(jω) su:

Treba naglasiti da ove funkcije ne predstavljaju amplitudnu i faznu karakteristiku, odnosno da kompleksna funkcija G(jω) nije frekventna prenosna funkcija sistema definisanog prenosnom funkcijom (4.4-45). Frekventni odziv se može definisati samo za stabilne sisteme, i samo u slučaju stabilnih sistema važi teorema o dobijanju frekventnih karakteristika zamenom s sa jω u prenosnoj funkciji sistema. 2. Polukrug beskonačno velikog poluprečnika CR se preslikava u tačku u koordinatnom početku. 3. Deo konture C- (poluprava s=-jω) se preslikava u polukrug u drugom kvadrantu koji je simetričan funkciji G(jω) u odnosu na Re-osu. Kao što se vidi sa slike 4.4-14., slika konture C u G-ravni dobijena za KcKp<1 ne obilazi oko tačke (-1,0), dok ona za koju je KcKp>1 obilazi oko tačke (-1,0) jednom, u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu. Na osnovu Nikvistovog kriterijuma stabilnosti primenjenog na slučaj sistema sa nestabilnim elementom u otvorenom kolu, zaključujemo da je zatvoreno regulaciono kolo čija je prenosna funkcija otvorenog kola definisana jednačinom (4.4-45):

0 = (-P) + P = N + P = Z (4.4-44)

1 - sK K = G(s)

p

pc

τ (4.4-45)

Slika 4.4-14. Primena Nikvistvog kriterijuma stabilnosti na sistem sa nestabilnim elementom prvog reda u otvorenom kolu

ωτ

ωτωτ

ω22

p

ppc

p

pc

+ 1j - 1-

K K = 1 -j

K K = )j=G(s (4.4-46)

πωτωωτ

ω

- )(arctan = )G(j arg p

22p

pc

+ 1K K = |)G(j|

(4.4-47)


Treba primetiti da je ovaj rezultat identičan onom dobijenom u poglavlju 4.4.4.3. (primer 4.4-6.), na osnovu analize u kompleksnom domenu. Za slučajeve koji su obrađeni u primerima 4.4-10., odnosno 4.4-3., i 4.4-11., odnosno, 4.4-4., primena Nikvistovog kriterijuma stabilnosti se praktično svodi na Bodeov kriterijum stabilnosti. Zbog toga ćemo primenu Nikvistovog kriterijuma stabilnosti ilustrovati samo na primeru zatvorenog regulacionog kola za regulaciju izlazne koncentracije iz kaskade od tri izotermna reaktora sa idealnim mešanjem sa PID regulatorom, odnosno na sistemu koji je bio obrađen u primerima 4.4-12. i 4.4-5. PRIMER 4.4-13. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i PID regulatorom, primenom Nikvistovog kriterijuma Za zatvoreno regulaciono kolo sa PID regulatorom, definisano u primerima 4.4-5. i 4.4-12.:

nacrtati Nikvistove dijagrame otvorenog kola za Kc=1, za slučajeve: (a): τi=3.03 min, τd=0.4 min; (b) τi=0.8 min, τd=0.4 min; (c): τi=0.8 min, τd=0.2 min i ispitati njegovu stabilnost primenom Nikvistovog kriterijuma stabilnosti. REŠENJE: Za crtanje Nikvistovog dijagrama i primenu Nikvistovog kriterijuma stabilnosti je pogodno frekventnu prenosnu funkciju otvorenog kola prikazati u algebarskom obliku G(jω)=Re+jIm. Zamenom s sa jω u prenosnoj funkciji otvorenog kola:

Zbog prisustva integralne akcije, ovaj sistem ima jedan pol na imaginarnoj osi (s=0). Kao rezultat toga, kada ω60, Nikvistov dijagram teži ka asimptoti paralelnoj sa Im-osom:

Za konkretne vrednosti parametara regulatora se dobijaju sledeći rezultati:

K1/ > K ZASTABILNOK = K ZATI STABILNOSGRANICI NA

K1/ < K ZANESTABILNO

pc

pc

pc

1 = (s)G = (s)G ,)1 + (s

1/8 = (s)G mv3p

s+ s 3 + s 3 + s1 + s + s

8K =

)1 + (s1/8 s +

s1 + 1 K = G(s)

234i

2di

i

c3d

ic

ττττ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ

τ (P-4.4.13-1)

ωωωωωτττωτττ

τω

ωωωτωτττωττ

τω

+ 3 + 3 + 1 - )3 - + (3 + )3 - (

8K = ))(G(j Im

1 + 3 + 3 + 3) - ( + ) 3 - 3 + (1 + -

8K = ))(G(j Re

357

2idi

4dii

i

c

246i

2idi

4di

i

c

(P-4.4.13-2)

τττ→ω∞→ω→ω

ii

i 0.375 - 0.125 = 8

3 - ))(G(j Re , - ))(G(j Im :0 (P-4.4.13-3)


(a) τi =3.03 min, τd =0.4 min, za Kc=1:

Nikvistov dijagram koji odgovara ovim frekventnim karakteristikama je dat na prikazan P-4.4.13-1. Sa slike se vidi da hodograf vektora G(jω) ne seče negativni deo Re-ose, tako da ne obuhvata tačku (-1,0) ni za jednu vrednost pojačanja regulatora (analiza izraza za Im(G(jω)) pokazuje da je on negativan za svaku frekvenciju). Zaključak je da je zatvoreno regulaciono kolo sa ovim vrednostima τi i τd apsolutno stabilno. Kao što se vidi sa slike, Nikvistov dijagram ima asimptotu:

(b) τi =0.8 min, τd =0.4 min, za Kc=1:

Rešavanjem jednačine:

dobijaju se dve vrednosti kritične frekvencije:

Kojima odgovaraju vrednosti amplitudnih karakteristika (za Kc=1):

i vrednosti krajnjeg pojačanja:

Nikvistov dijagram koji odgovara ovim frekventnim karakteristikama, kao i njegov uvećani deo oko koordinatnog početka, prikazan je na slikama P-4.4.13-2. (a) i (b). Asimptota kada ω64, dobijena na osnovu jednačine (P-4.4.13-3) je:

U ovom slučaju imamo sistem sa uslovnom stabilnošću koji će biti: - stabilan za Kc<26.93 ili Kc>95.07 - nestabilan za 26.93<Kc<95.07.

Slika P-4.4.13-1. Nikvistov dijagram sistema trećeg reda reda sa PID regulatorom: τi=3.03, τd=0.4, Kc=1

ωωωωωωω

ωωωωωω

+ 3 + 3 + 0.041 - 0.201 - 0.025- = )))(G(j Im

1 + 3 + 3 + 10x1.24 + 0.284- 0.05- = )))(G(j Re

357

24

246

-324

0.00124 ))(G(j Re , - ))(G(j Im →ω∞→ω→ω : 0

ωωωωωωω

ωωωωωω

+ 3 + 3 + 0.15625 - 0.14375 + 0.025- = ))(G(j Im

1 + 3 + 3 + 0.34375 - 0.55- 0.05- = ))(G(j Re

357

24

246

24

0 = 0.15625 - 0.14375 + 0.025- 0 = ))(G(j Im 20

400 ωω⇔ω

rad/min 2.07 = irad/min 02ωω 1.206 = 01

0.0105 = |))Re(G(j| = )AR( = 0.037 = |))Re(G(j

020202

01

ωωωω

AR| = )AR( = AR 0101

95.07 = 0.0105

1 = K

26.93 = 0.037

1 = K

u

u

2

1

0.34375- ))(G(j Re , - ))(G(j Im →ω∞→ω→ω : 0


(c) τi=0.8 min, τd=0.2 min, za Kc=1:

Jednačina:

ima jedno realno pozitivno rešenje, kojim je definisana kritična frekvencija:

Ovoj vrednosti odgovara vrednost amplitudne karakteristike (za Kc=1):

i vrednost krajnjeg pojačanja:

Nikvistov dijagram otvorenog kola koji se dobija za ovaj slučaj, i njegov uvećani deo oko koordinatnog početka, prikazan je na slici P-4.4.13-3. Hodograf vektora G(jω) neće obuhvatati tačku (-1,0) za Kc<14.61, dok će za Kc>14.61 obilaziti oko nje. Tako će, na osnovu Nikvistovog ktiterijuma stabilnosti, ovo zatvoreno regulaciono kolo biti: - stabilno za Kc<14.61 - nestabino za Kc>14.61. Asimptota Nikvistovog dijagrama, kada ω60 je ista kao u slučaju (b). Rezultati dobijeni u ovom primeru su, naravno, identični kao oni koje smo dobili analizom dijagrama položaja korena (primer 4.4-5.) i primenom Bodeovog kriterijuma stabilnosti (primer 4.4-12.) za isti sistem.

(a) (b) Slika P-4.4.13-2. (a) Nikvistov dijagram otvorenog kola za sistem sa PID regulatorom za τi =0.8, τd =0.4 i Kc=1; (b) uvećani deo dijagrama oko koordinatnog početka

ωωωωωωω

ωωωωωω

+ 3 + 3 + 0.15625 - 0.11875 + 0.05 = ))(G(j Im

1 + 3 + 3 + 0.34375 - 1.55- 0.025- = ))(G(j Re

357

24

246

24

0 = 0.15625 - 0.11875 + 0.05 0 = ))(G(j Im 20

400 ωωω _

rad/min 0.97 = 0ω

0.0684 = |))Re(G(j 0ωω | = )AR( = AR 00

14.61 = 0.0684

1 = K u


4.4.7. Ispitivanje relativne stabilnosti zatvorenog regulacionog kola korišćenjem frekventnih karakteristika otvorenog kola U prethodna dva poglavlja smo definisali dva najčešće korišćena kriterijuma stabilnosti (Bodeov i Nikvistov kriterijum) čijom primenom se, na osnovu frekventnih karakteristika otvorenog kola, mogu izvesti zaključci o stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom spregom. Pri tome su se ovi zaključci odnosili na tzv. apsolutnu stabilnost sistema, tj. dobijeni rezultati su govorili da je zatvoreno regulaciono kolo stabilno, nestabilno ili na granici stabilnosti, za zadate parametre regulatora. Međutim, pri sintezi zatvorenog regulacionog kola i izboru parametara regulatora, treba voditi računa o činjenici da dinamički modeli elemenata kola i parametri tih modela nikada nisu potpuno tačni i da se mogu menjati u toku vremena, tako da se ovaj izbor mora izvršiti tako da zatvoreno regulaciono kolo ne bude jako blizu granice stabilnosti, već da ima neku "rezervu stabilnosti". Koncept Bodeovog i Nikvistovog kriterijuma stabilnosti i korišćenje frekventnih karakteristika otvorenog kola omogućavaju definisanje veličina koje predstavljaju meru udaljenosti zatvorenog kola od granice stabilnosti, odnosno meru relativne stabilnosti zatvorenog regulacionog kola. Kritična tačka kojom je definisana granica stabilnosti zatvorenog regulacionog kola u frekventnom domenu je ona pri kojoj je AR(ω)=1, φ(ω)=-π, odnosno Re(G)=-1, Im(G)=0, tako da se relativna stabilnost definiše kao udaljenost od ove tačke. Obično se definišu dve veličine koje predstavljaju pokazatelje relativne stabilnosti zatvorenog regulacionog kola: pretek pojačanja i pretek faze. 4.4.7.1. Pretek pojačanja Pretek pojačanja definiše koliko je stvarno stanje sistema udaljeno od kritične tačke granice stabilnosti, mereno jedinicama amplitudne karakteristike otvorenog kola. Ova veličina govori koliko puta bi se mogla povećati amplitudna karakteristika otvorenog kola (pri nepromenjenoj faznoj karakteristici), pa da sistem dođe na granicu stabilnosti. Matematički se ova definicija može izraziti na sledeći način:

Ukoliko su dinamičke karakteristike sistema tačno poznate i ukoliko se ne menjaju u toku vremena, pretek pojačanja pokazuje koliko puta se sme povećati pojačanje regulatora, pa da zatvoreno kolo ne postane nestabilno (da dođe na granicu stabilnosti).

Slika P-4.4.13-3. (a) Nikvistov dijagram otvorenog kola za sistem sa PID regulatorom za τi=0.8, τd =0.2 i Kc=1; (b) uvećani deo dijagrama oko koordinatnog početka

|)G(j |1 =

|)AR(1 = m

0=)(0 0 πωπ−ωφ ωω - = ))(G(j arg 0

(4.4-48)


Za pretek pojačanja se često koriste i sledeći nazivi: granica pojačanja, rezerva pojačanja i rezerva stabilnosti po modulu. Može se primetiti da je definicija preteka pojačanja vrlo slična definiciji krajnjeg pojačanja regulatora Ku. Osnovna razlika je u tome što se krajnje pojačanje definiše preko frekventnih karakteristika otvorenog kola koje odgovaraju pojačanju regulatora Kc=1, dok se pretek pojačanja definiše za realno pojačanje regulatora. Kada je pojačanje regulatora jednako jedan, ove dve veličine su jednake. U opštem slučaju važi jednostavna relacija:

koja kaže da se pretek pojačanja može dobiti jednostavno kao odnos krajnjeg i stvarnog pojačanja regulatora datog zatvorenog regulacionog kola. Pretek pojačanja m>1 odgovara stabilnom sistemu, m<1 znači da je sistem nestabilan, dok m=1 znači da je sistem na granici stabilnosti. Pretek pojačanja služi kao jedan od kriterijuma kvaliteta regulacije, kao što će biti opisano u poglavlju 4.5.1.

Pri sintezi zatvorenog regulacionog kola (pri izboru parametara regulatora) preporučuje se da ova vrednost bude veća od 1.7 (najčešće 2). Pri tome, što je pouzdanost poznavanja parametara dinamičkog modela na osnovu kojeg se vrši izbor parametara regulatora manja, treba obezbediti veću vrednost preteka pojačanja m, jer ona predstavlja neku vrstu stepena sigurnosti. 4.4.7.2. Pretek faze Pretek faze takođe definiše udaljenost stvarnog stanja zatvorenog regulacionog kola od kritične tačke koja predstavlja granicu stabilnosti, ali u jedinicama fazne karakteristike otvorenog kola. On predstavlja ugao za koji bi, po apsolutnoj vrednosti, smela da se poveća fazna karakteristika otvorenog kola (pri nepromenjenoj amlitudnoj karakteristici), pa da zatvoreno regulaciono kolo ne postane nestabilno (da dođe na granicu stabilnosti). Matematička interpretacija ove definicije je data sledećom jednačinom:

Vrednosti preteka faze γ>0 odgovaraju stabilnim sistemima, γ =0 odgovara sistemu na granici stabilnosti, a γ <0 nestabilnom sistemu. Kao i pretek pojačanja, i pretek faze predstavlja jedan od kriterijuma kvaliteta regulacije. Pri sintezi zatvorenog regulacionog kola se preporučuje izbor parametara regulatora koji će obezbediti pretek faze oko 30o. Naravno, preporuke za m i γ su orijentacione, jer najčešće nije moguće obezbediti da i jedna i druga karakteristika relativne stabilnosti imaju tačno definisane vrednosti. Pretek faze se često naziva i granica faze, rezerva stabilnosti po fazi ili rezerva faze. Grafička interpretacija preteka pojačanja i preteka faze, u Bodeovim i Nikvistovom dijagramu, prikazana je na slikama 4.4-15. i 4.4-16.

Slika 4.4-15. Prikaz preteka pojačanja i preteka faze u Bodeovim dijagramima

KK = m

c

u (4.4-49)

Slika 4.4-16. Prikaz preteka pojačanja i preteka faze u Nikvistovom dijagramu

|))(G(j arg 1 = )||G(j1 1ωω ωπωφπγ + = |)( + = 1 = )AR(1 1(4.4-50)


Značenje preteka pojačanja i preteka faze, kao pokazatelja relativne stabilnosti zatvorenog regulacionog kola, ćemo ilustrovati na jednom primeru. PRIMER 4.4-14. Pretek pojačanja i pretek faze zatvorenog regulacionog kola Prenosna funkcija objekta upravljanja u širem smislu (procesa, mernog instrumenta i izvršnog elementa) je određena na osnovu eksperimentalno dobijene reakcione krive procesa, u sledećem obliku:

(a) Odrediti pojačanje P regulatora, tako da se u zatvorenom regulacionom kolu sa ovim procesom ostvari pretek pojačanja 2. Koliki je pretek faze u tom slučaju? (b) Odrediti pojačanje P regulatora, koje daje pretek faze 30o. Koliki je pretek pojačanja u tom slučaju? (c) Naknadnom analizom je utvrđeno da je prilikom identifikacije procesa učinjena greška u određivanju čistog kašnjenja, i da je prava vrednost za 40% veća od prvobitno utvrđene, odnosno da iznosi 0.14 min. Ispitati relativnu stabilnost zatvorenog regulacionog kola sa pojačanjem regulatora određenim pod (a) i pod (b). (d) Ponoviti zadatak pod (c), ali za slučaj da je pri identifikaciji procesa učinjena greška u određivanju vremenske konstante za 100%, odnosno da je stvarna vrednost vremenske konstante 0.5 min. REŠENJE:

(a) U primeru 4.4-9. smo odredili vrednosti kritične frekvencije i krajnjeg pojačanja za dati sistem sa P regulatorom:

Pošto je poznata vrednost krajnjeg pojačanja, pojačanje regulatora pri kome se dobija pretek pojačanja m=2 se može dobiti na osnovu jednačine (4.4-49):

Da bi odredili pretek faze koji se dobija pri ovom pojačanju, određujemo prvo frekvenciju pri kojoj je amplitudna karakteristika jednaka jedan:

Fazna karakteristika otvorenog kola koja odgovara ovoj frekvenciji je:

odakle se dobija vrednost preteka faze:

(b) Uslov da sistem ima pretek faze od 30o je da je zadovoljen sledeći sistem jednačina:

1+se = (s)G

s-0.1

p

16.35 = Krad/min

u

16.32 = 0ω

8.175 = 2

16.35 = mK = K u

ac,

rad/min 8.11 = 1 = + 1

8.175 = )AR( 121

1 ωω

ω _

44129. - = 180 0.1 - )( - = )( o111 π

ωωωφ arctan

5650. = 129.44 - 180 = oγ


Numeričkim rešavanjem druge jednačine se dobija vrednost frekvencije pri kojoj je fazna karakteristika jednaka -150o:

a iz prve jednačine se dobija vrednost pojačanja regulatora za koju je amplitudna karakteristika pri toj frekvenciji jednaka 1 (Kc koje daje pretek faze 30o):

Pretek pojačanja koji se dobija pri ovom pojačanju je:

Poređenjem vrednosti m i γ za slučajeve (a) i (b), može se videti da je sistem definisan pod (a) stabilniji.

(c) Tačna prenosna funkcija objekta upravljanja u širem smislu je, u ovom slučaju:

a tačni izrazi za amplitudnu i faznu karakteristiku otvorenog kola sa P regulatorom:

Tačna vrednost kritične frekvencije se dobija numeričkim rešavanjem jednačine:

i iznosi:

Treba odrediti vrednosti preteka pojačanja i preteka faze koji se dobijaju pri pojačanjima regulatora određenim pod (a) i (b). Slučaj 1: Kc=Kc,a=8.175 Amplitudna karakteristika otvorenog kola koja odgovara kritičnoj frekvenciji je, za ovaj slučaj:

Da bi smo odredili pretek faze, treba odrediti frekvenciju pri kojoj je amplitudna karakteristika otvorenog kola jednaka jedan. Međutim, pošto promena mrtvog vremena ne utiče na amplitudnu, već samo na faznu karakteristiku, ova vrednost je identična kao u primeru pod (a):

Stvarni pretek faze je:

150- = 30 + 180- = 180 0.1 - )( = )(

1 = + 1

K = )AR(

o222

22

cb2

πωωωφ

ωω

arctan

rad/min 11.35 = 2ω

11.39 = + 1 = K 22bc, ω

1.43 = 11.3916.35 =

KK = m

bc,

u

1 + se = G

s-0.14Tp

πωωωφ

ωω

180 0.14 - )( - = )(

+ 1K = )(AR

T

2

cT

arctan

180- = 180 0.14 - )( - = )( 000T

πωωωφ arctan

rad/min 11.823 = 0ω

0.689 = 82311. + 1

8.175 = )(AR20

T ω 1.451 = 0.689

1 = m

rad/min 8.11 = 1 = )(AR 11T ωω _

9831. = 148.02 - 180 = 1808.110.14 - (8.11) + 180 = )( + 180 = o1

T

π××ωφγ arctan


Na osnovu ovih vrednosti preteka pojačanja i preteka faze, vidi se da sistem ima zadovoljavajuće karakteristike i da je dovoljno stabilan, iako je pojačanje regulatora određeno na osnovu pogrešne vrednosti mrtvog vremena. Slučaj 2: Kc=Kc,b=11.39 U ovom slučaju je amplitudna karakteristika koja odgovara kritičnoj frekvenciji:

Odavde se dobija pretek pojačanja:

Pretek faze se dobija na sledeći način:

Kao što se vidi, i u ovom slučaju se dobija stabilan sistem, ali je njegova relativna stabilnost vrlo mala, tako da je dobijeni sistem praktično na granici stabilnosti.

(d) Ovaj slučaj je sličan prethodnom, ali je greška učinjena prilikom određivanja drugog parametra modela. U ovom slučaju je tačna prenosna funkcija objekta:

a amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kola:

Kritična frekvencija koja odgovara ovom slučaju se dobija numeričkim rešavanjem jednačine:

i iznosi:

I u ovom slučaju ćemo odrediti pretek pojačanja i pretek faze koji se dobijaju sa pojačanjem regulatora odabranim pod (a) i (b). Slučaj 1: Kc=Kc,a=8.175 - pretek pojačanja:

-pretek faze:

Kao što se vidi, ovo zatvoreno regulaciono kolo je stabilno, ali je jako blizu granice stabilnosti, što se ogleda u vrednosti preteka pojačanja koja je vrlo blizu jedinice i u vrlo maloj vrednosti preteka faze. Slučaj 2: Kc=Kc,b=11.39

0.960 = 82311. + 1

11.39 = )(AR20

T ω

1.04 = 0.960

1 = m

993. = 176.01 - 180 = (11.35) + 180 = rad/min oTφγ⇒ω⇒ω 11.35 = 1 = )(AR 22T

1 + s0.5e = G

s-0.1Tp

πωωωφ

ωω

180 0.1 - )(0.5 - = )(

50. + 1K = )(AR

T

22cT

arctan

180- = 180 0.1 - )(0.5 - = )( 00T

πωωωφ arctan

rad/min 16.89 = 0ω

1.04 = m 0.961 = 50. + 1

8.175 = )(AR220

T ⇒ω

ω

054. = _ 95175.- = )( rad/min oo1

T γωφ⇒ω⇒ω

ω 16.227 = 1 = 50. + 1

8.175 = )(AR 121

21T


- pretek pojačanja:

- pretek faze:

Vrednosti preteka pojačanja i preteka faze pokazuju da je zatvoreno regulaciono kolo je pri ovom pojačanju regulatora nestabilno. To znači da pretek faze od 30o, u ovom slučaju ne predstavlja dovoljan stepen sigurnosti koji bi mogao da "pokrije" grešku u određivanju vremenske konstante sistema od 100%. Na osnovu prethodnog primera se vidi da pokazatelji relativne stabilnosti sistema, pretek pojačanja i pretek faze, na izvestan način definišu sposobnost sistema da ostane stabilan i u slučajevima nedovoljno tačnog modela na osnovu koga se vrši sinteza regulatora, ili u slučajevima kada u toku eksploatacije dolazi do promene dinamičkih karakteristika procesa (npr. prljanje površine razmenjivača toplote, prljanje površine punjenja kod kolona sa pakovanim slojem, deaktivacija katalizatora kod katalitičkog reaktora, i sl.). Ovo je najgrublja definicija robustnosti sistema. Kod jednostavnih sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom, robustnost se definiše upravo preko preteka pojačanja i preteka faze. NAPOMENA: Prilikom definisanja preteka pojačanja i preteka faze, iako nije naglašeno, usvojena je pretpostavka da se radi o jednostavnom sistemu kod koga se može primeniti Bodeov kriterijum stabilnosti i kod koga je sistem stabilan za vrednosti pojačanja regulatora manje od krajnjeg pojačanja Ku i nestabilan za Kc>Ku. Treba se podsetiti da ovo ne važi za sisteme koji u otvorenom kolu sadrže nestabilne elemente, tako da se navedene definicije preteka pojačanja i preteka faze ne mogu primeniti na takve sisteme. Kod sistema sa uslovnom stabilnošću koji ne sadrže nestabilne elemente u otvorenom kolu, pretek pojačanja i pretek faze se mogu definisati, pri čemu oni predstavljaju udaljenost stanja stabilnog sistema od granice stabilnosti koja odgovara najnižoj kritičnoj frekvenciji (prvom preseku Nikvistovog dijagrama sa negativnim delom Re-ose). 4.5. IZBOR I PROJEKTOVANJE REGULATORA ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA U prethodnim poglavljima smo dali analizu ponašanja zatvorenog regulacionog kola, i to u vremenskom, Laplasovom i frekventnom domenu, sa posebnim naglaskom na analizi stabilnosti. Na osnovu ove analize je jasno da dinamika zatvorenog kola, njegov odziv i stabilnost, zavise od dinamike svih elemenata koji ga sačinjavaju: procesa, mernog elementa, izvršnog elementa i regulatora. Takođe je jasno da se na ukupnu dinamiku najjednostavnije može uticati izborom dinamičke karakteristike regulatora. Izbor tipa i parametara regulatora se najčešće podrazumeva pod pojmom sinteza regulacionog sistema. Dva osnovna zahteva koje mora da osigura izbor regulatora i njegovih parametara su stabilnost sistema i njegov dovoljno brzi odziv. Ova dva zahteva su najčešće u kontradikciji, jer u većini slučajeva promena parametara koja obezbeđuje povećanje brzine odziva zatvorenog regulacionog kola istovremeno smanjuje njegovu stabilnost. Zbog toga, prilikom sinteze regulatora treba naći optimum između ova dva zahteva. Osnovna pitanja koja se postavljaju pri projektovanju regulatora su sledeća: 1. Koji tip regulatora treba upotrebiti za regulaciju datog procesa? Tip regulatora definiše upravljačku akciju. Konvencionalne tipove regulatora koji se koriste u sistemima upravljanja sa povratnom spregom (P, PI PD, PID) smo definisali u poglavlju 4.2. Pri tome treba naglasiti da su najčešće korišćeni P, PI i PID regulatori, dok se PD regulator dosta retko koristi. 2. Kako odabrati najbolje vrednosti parametara regulatora? Izbor vrednosti parametara regulatora se obično naziva podešavanja regulatora. 3. Koji kriterijum za ocenu kvaliteta ponašanja sistema treba koristiti za izbor tipa regulatora i podešavanje njegovih parametara? Odgovor na ovo pitanje kvantifikuje prethodna dva.

0.75 = m 1)(> 1.339 = 89x16.50. + 1

11.39 = )(AR220

T →ω

9834.- = 28214.- = )( rad/min oo2

T γ⇒ωφ⇒ω⇒ω 22.692 = 1 = )(AR 22T


4.5.1. Kriterijumi za ocenu kvaliteta regulacije Postoji više različitih kriterijuma za ocenu kvaliteta ponašanja zatvorenog regulacionog kola. Osnovna podela ovih kriterijuma je prema domenu u kome se definišu: na kriterijume u vremenskom, Laplasovom i frekventnom domenu. 4.5.1.1. Kriterijumi u vremenskom domenu Kriterijume ponašanja sistema koji se definišu u vremenskom domenu možemo podeliti na kriterijume stacionarnog stanja i kriterijume dinamičkog odziva. Kriterijumi stacionarnog stanja. Osnovni kriterijum stacionarnog stanja je greška stacionarnog stanja, koja predstavlja odstupanje regulisane veličine od njene željene vrednosti kada sistem dođe u novo stacionarno stanje. Greške stacionarnog stanja koje se dobijaju pri jediničnoj stepenastoj promeni postavne tačke i opterećenja, prikazane su šematski na slikama 4.5-1(a) i 4.5-1(b). Greška stacionarnog stanja predstavlja izrazito negativnu karakteristiku odziva, tako da se pri projektovanju regulatora teži da se ona smanji na najmanju moguću meru, ukoliko je nije moguće potpuno eliminisati.

Kriterijumi dinamičkog odziva. Definisanje kriterijuma dinamičkog odziva zatvorenog regulacionog kola se bazira na dva osnovna pristupa: 1. definisanje jednostavnih kriterijuma koji koriste nekoliko tačaka odziva; 2. definisanje kriterijuma koji koriste ukupnu krivu odziva zatvorenog regulacionog kola. Ovi kriterijumi se najčešće definišu u obliku integrala. Njihova primena je znatno komplikovanija nego primena kriterijuma koji koriste samo pojedine tačke odziva. Jednostavni kriterijumi u vremenskom domenu. Na slici 4.5-2. je prikazan tipičan odziv zatvorenog regulacionog kola na stepenastu promenu postavne tačke. Ovakvom odzivu odgovara prenosna funkcija zatvorenog kola sa dominantnim parom konjugovano kompleksnih korena:

Neke karakteristične veličine koje se kod njega javljaju, predstavljaju kriterijume za ocenu kvaliteta regulacije. Ovi kriterijumi su potpuno analogni kriterijumima kvaliteta odziva sistema drugog reda koje smo definisali u poglavlju 2.7.2. Najčešće se koriste sledeći kriterijumi:

Slika 4.5-1. Greška stacionarnog stanja (offset) pri jediničnoj stepenastoj promeni (a) postavne tačke; (b) opterećenja

1< ,1)+s2+s( Q(s)

P(s)=W(s)22

ξξττ

(4.5-1)


1. Prekoračenje: definiše se kao odnos B/D, na slici 4.5-2. Ukoliko je par dominantnih konjugovano kompleksnih korena karakteristične jednačine zatvore-nog kola mnogo bliži Im-osi nego svi ostali koreni, mogu se koristiti zavisnosti koje važe za sistem drugog reda. Tako se približna vrednost prekoračenja odziva zatvorenog regulacionog kola može odrediti na osnovu zavisnosti između prekoračenja i koeficijenta prigušenja izvedene za sistem drugog reda:

Prekoračenje se smanjuje sa po-većanjem koeficijenta prigušenja ξ (za ξ$1, prekoračenje je jednako nuli). 2. Odnos slabljenja: definiše se kao odnos amplituda dve susedne oscilacije (C/B na slici 4.5-2.). Veza sa koeficijentom prigušenja, za sistem drugog reda, je:

Odnos slabljenja se takođe smanjuje sa povećanjem koeficijenta prigušenja ξ. 3. Frekvencija oscilovanja i period oscilovanja: Za sistem drugog reda važe sledeće zavisnosti: - ugaona frekvencija oscilovanja:

-frekvencija oscilovanja:

- period oscilovanja:

4. Vreme uspona: najčešće se definiše kao vreme vreme potrebno da odziv prvi put dostigne krajnju ravnotežnu vrednost (vrednost tu,100% na slici 4.5-2.) ili kao vreme potrebno da se izlaz promeni od 10% do 90% svoje ukupne promene. Vreme uspona opada sa smanjenjem koeficijenta prigušenja ξ. 5. Vreme smirenja: definiše se kao vreme potrebno da odstupanje izlaza od njegove konačne vrednosti postane manje od nekog procenta, najčešće "2% ili "5% (ts na slici 4.5-2.). Vreme smirenja se smanjuje sa povećanjem koeficijenta prigušenja ξ. Dinamički parametri τ i ξ u prenosnoj funkciji zatvorenog kola (jednačina (3.5-1)) zavise od parametara regulatora. Cilj projektovanja regulatora je da se izaberu takvi parametri regulatora koji će obezbediti dobar kvalitet regulacije u pogledu svih ovih kriterijuma (malo prekoračenje, kratko vreme uspona, kratko vreme odziva, mali odnos slabljenja). Ovi zahtevi su delom kontradiktorni: povećanjem koeficijenta

Slika 4.5-2. Tipičan odziv zatvorenog regulacionog kola na stepenastu promenu postavne tačke

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ξ

πξ2-1

- = PR exp (4.5-2)

PR = -1

2- = O.S. 22 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ξ

πξexp (4.5-3)

τξ

ω2-1

= (4.5-4)

πτξ

πω

2-1

=2

=f2

(4.5-5)

ξ

πτ2-1

2=f1=P (4.5-6)


prigušenja ξ smanjuju se prekoračenje i odnos slabljenja, kao i vreme smirenja, ali se povećava vreme uspona. Zbog toga pri izboru parametara regulatora treba naći kompromis između svih zahteva. Eksperimentalno je ustanovljeno da je dobar kompromis usvojiti da odnos slabljenja bude 1/4 (što odgovara ξ .0.225) 4.5.1.2. Kriterijumi u Laplasovom domenu Najbolji način za prikazivanje ponašanja zatvorenog regulacionog kola u Laplasovom domenu je crtanje dijagrama položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog kola, pri promeni pojačanja regulatora od 0 do 4. Kao što smo naveli u poglavlju 4.4.4., na osnovu dijagrama položaja korena se mogu dobiti mnogi značajni podaci o ponašanju zatvorenog regulacionog kola: 1. Ako svi koreni za dato Kc leže u levoj poluravni kompleksne s-ravni, sistem je stabilan. 2. Ako svi koreni leže na realnoj osi, sistem je previše ili kritično prigušen (neoscilatoran). 3. Što se koreni karakteristične jednačine nalaze dalje od koordinatnog početka (ulevo), sistem će biti brži (ima manje vremenske konstante). 4. Koreni koji leže najbliže imaginarnoj osi imaju dominantan uticaj na dinamički odziv sistema i nazivaju se dominantni koreni. Dominantan realni koren je po apsolutnoj vrednosti jednak recipročnoj vrednosti najveće vremenske konstante u sistemu. 5. Što je par konjugovano kompleksnih korena dalje od realne ose (ima veći imaginarni deo), sistem je manje prigušen. Jednostavni kriterijumi definisani u vremenskom domenu (prekoračenje, odnos slabljenja i td.) se mogu koristiti ako postoji dominantan par konjugovano kompleksnih korena. U tom slučaju se koeficijent prigušenja sistema može direktno odrediti sa dijagrama, kao kosinus ugla koji vektor definisan korenom zaklapa sa negativnim delom realne ose. Podsetimo se da su linije konstantnog koeficijenta prigušenja radijalne linije u s-ravni, dok su linije konstantne vremenske konstante krugovi sa centrom u koordinatnom početku. Jednostavni kriterijumi u vremenskom domenu su u korelaciji sa dominantnim korenima karakteristične jednačine zatvorenog kola. Kao kriterijum kvaliteta regulacije u kompleksnom domenu se mogu definisati željeni dominantni koreni karakteristične jednačine ili željeni koeficijent prigušenja. Pri tome se često izdvaja oblast s-ravni u kojij treba da leže svi koreni karakteristične jednačine, tako da se obezbedi da vreme smirenja ne bude duže od neke zadate vrednosti (slika 4.5-4.) ili da koeficijent prigušenja ne bude manji od neke zadate vrednosti (slika 4.5-5.) 4.5.1.3. Kriterijumi u frekventnom domenu Za analizu kvaliteta regulacije u jako često se koriste kriterijumi definisani u frekventnom domenu. Oni se mogu definisati na osnovu frekventnih karakteristika otvorenog ili na osnovu frekventnih karakteristika zatvorenog kola. Kriterijume kvaliteta regulacije definisane na osnovu frekventnih karakteristika otvorenog kola koji se

Slika 4.5-4. Oblast u s-ravni koja obezbeđuje zadato vreme smirenja

Slika 4.5-5. Oblast u s-ravni koja obezbeđuje zadati koeficijent prigušenja


najčešće koriste smo opisali u poglavlju 4.4.7. To su, da se podsetimo: Pretek pojačanja m:

Pretek faze γ:

Kao što smo naveli u poglavlju 4.4.7., najčešće se smatra da je zatvoreno regulaciono kolo dobro podešeno kada pretek pojačanja ima vrednost oko 2 (1.7- 3), a pretek faze oko 30o. Pretek pojačanja i pretek faze su u korelaciji sa koeficijentom prigušenja i jednostavnim kriterijumima u vremenskom domenu. Na osnovu odabranog kriterijuma kvaliteta regulacije, ili, što je češće, kombinacije više njih, vrši se izbor tipa regulatora i njegovih parametara, tako da se dobije zatvoreno regulaciono kolo koje što bolje ispunjava tražene kriterijume. Pri tome se, zbog kompleksnosti problema, ovaj izbor jako mnogo zasniva na iskustvu i različitim poluempirijskim pravilima. 4.5.2. Izbor tipa regulatora zatvorenog regulacionog kola Pri izboru tipa regulatora, najčešće korišćeni upravljački zakoni su P, PI i PID. U principu bi, u cilju izbora najboljeg regulatora trebalo istovremeno izvršiti izbor i tipa i parametara regulatora, na osnovu sledeće procedure: 1. Definiše se odgovarajući kriterijum kvaliteta regulacije (npr. IKG, IAG, IVAG). 2. Za svaki tip regulatora (P, PI, PID), na osnovu odabranog kriterijuma se odrede optimalne vrednosti parametara regulatora i izračunaju se vrednosti kriterijuma koje odgovaraju P, PI ili PID regulatoru, sa najboljim vrednostima parametara (Kc, τi, τd). 3. Odabere se regulator koji daje najbolji kvalitet regulacije, prema datom kriterijumu. Ova procedura, iako matematički rigorozna, ima nekoliko praktičnih nedostataka: - zahteva puno vremena i angažovanja; - zasniva se na modelima procesa, mernog elementa i izvršnog elementa, koji često nisu egzaktno poznati; - uključuje izvesne nedoumice oko izbora najpogodnijeg kriterijuma i, kod integralnih kriterijuma, ulazne promene za koju ga treba odrediti. U praksi se najpogodniji tip regulatora najčešće bira na osnovu opštih kvalitativnih saznanja o uticaju proporcionalnog, integralnog i diferencijalnog dejstva na odziv sistema. Sumarni zaključci koje smo izveli u poglavlju 4.3.2. su bili sledeći: 1. Proporcionalno dejstvo: (a) Ubrzava odziv procesa koji se reguliše (brzina odziva raste kad Kc raste). (b) Proizvodi grešku stacionarnog stanja za sve procese osim onih koji sadrže čist kapacitivni element (član 1/s u prenosnoj funkciji). Greška stacionarnog stanja se smanjuje sa povećanjem Kc. (c) Kod sistema drugog i višeg reda može da izazove ili da poveća oscilatornost (koeficijent prigušenja ξ opada kada Kc raste). (d) Kod sistema trećeg i višeg reda ili sistema sa čistim kašnjenjem, može da dovede do nestabilnosti sistema. Povećanjem Kc se, kod većine sistema smanjuje stabilnost. 2. Integralno dejstvo: (a) Eliminiše grešku stacionarnog stanja. (b) Izaziva povećanje maksimalnih odstupanja od željene vrednosti. (c) Smanjuje stabilnost sistema; stabilnost se manjuje sa smanjenjem integralnog vremena. (c) Proizvodi spore odzive koji dugo osciluju. (d) Sa povećanjem Kc, dobilja se brži odziv, ali sistem postaje oscilatorniji i može postati nestabilan.

|)AR(1=m

=)( πωφω _

(4.5-12)

|)(+= =1)AR(ωωφπγ (4.5-13)


3. Diferencijalno dejstvo: (a) Predskazuje buduće greške i uvodi odgovarajuću akciju. (b) Povećava stabilnost zatvorenog regulacionog kola i smanjuje njegovu oscilatornost (ξ raste sa porastom Kc i τd). (c) Smanjuje brzinu odziva. Na slici 4.5-6. je kvalitativno prikazan izgled odziva jednog sistema bez regulacije i odgovarajućeg zatvorenog regulacionog kola sa P, PI i PID regulacijom (za promenu opterećenja), koji ilustruje prethodne navode. Na osnovu napred iznetog se može zaključiti da je PID regulator nabolji, jer omogućuje najveću fleksibilnost da se dođe do željenog odziva, izborom tri parametra. Međutim, korišćenje PID regulatora podrazumeva podešavanje tri parametra, što predstavlja vrlo kompleksan problem. Balans između kvaliteta regulacije i teškoća podešavanja se može naći kroz sledeća praktična pravila: 1. Ako je moguće, treba koristiti P regulator koji je najjednostavniji. P regulacija se koristi kada se sa umerenim vrednostima pojačanja regulatora može ostvariti prihvatljivo mala greška stacionarnog stanja ili kada sam proces sadrži integrator (član 1/s u prenosnoj funkciji) otvorenog kola. P regulator se najčešće koristi za regulaciju nivoa i pritiska, u slučajevima kada nije neophodno održavanje regulisane veličine (nivoa, pritiska) na tačno određenoj vrednosti, već u datom opsegu. Ovo je najčešće slučaj kada se regulacija pritiska ili nivoa vrši u cilju regulacije materijalnog bilansa jednog dela ili celog postrojenja. 2. Ako P regulator ne zadovoljava, koristiti PI regulator. Za regulaciju protoka se koristi gotovo isključivo PI regulacija. Otklanja grešku stacionarnog stanja, a sa druge strane, zbog vrlo brzog procesa, odziv ostaje dovoljno brz uprkos uvođenju integralnog dejstva koje izaziva smanjenje brzine odziva zatvorenog regulacionog kola. 3. PID regulator treba koristiti kada treba povećati brzinu odziva i zadržati robustnost zatvorenog regulacionog kola. Preporučuje se za regulaciona kola temperature i sastava, kod kojih se javljaju spori procesi višeg reda. Ne preporučuje se za sisteme u kojima ima značajnih šumova (npr. za regulaciju protoka), jer diferencijalna akcija pojačava šumove. 4.5.3. Podešavanje parametara regulatora 4.5.3.1. Podešavanje parametara regulatora za objekat upravljanja čiji je dinamički model poznat Podešavanje parametara regulatora se najčešće vrši u frekventnom ili u Laplasovom domenu. U frekventnom domenu, izbor vrednosti parametara regulatora se vrši na osnovu frekventnih karakteristika otvorenog kola, tako da se dobije određeni pretek pojačanja, pretek faze ili maksimum logaritma modula frekventne karakteristike zatvorenog kola. U Laplasovom domenu se izbor vrednosti parametara regulatora najčešće vrši na osnovu dijagrama položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog kola pri promeni pojačanja regulatora od 0 do 4, izborom dominantnih korena ili koeficijenta prigušenja. I u jednom i u drugom slučaju, podešavanje P regulatora, ili složenijih regulatora kada su vrednosti integralnog vremena i diferencijalnog vremena poznate je prilično jednostavno. Međutim, podešavanje sva tri parametra regulatora može da predstavlja vrlo složen problem. U praksi se izbor vrednosti parametara regulatora najčešće vrši na osnovu poluempirijskih pravila koja su razvijena tako da predstavljaju kompromis između više kriterijuma za kvalitet regulacije i da, istovremeno omogućavaju brzo i jednostavno određivanje svih parametara regulatora, čak i za slučaj složene PID regulacije. 4.5.3.2. Podešavanje parametara regulatora korišćenjem poluempirijskih pravila Poluempirijska pravila koja se koriste za podešavanje parametara regulatora se generalno mogu podeliti u dve osnovne grupe koje se najčešće koriste. Prva grupa se zasniva na poznavanju reakcione krive procesa, odnosno vremenskog odziva objekta upravljanja na stepenastu promenu manipulativne

Slika 4.5-6. Kvalitativni prikaz uticaja različitih tipova regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola


promenljive. Druga grupa poluempirijskih parvila se zasniva na poznavanju krajnjeg pojačanja i kritične frekvencije sistema. Treba naglasiti da se ova pravila mogu koristiti za podešavanje parametara regulatora i u slučaju kada nije poznat egzaktni dinamički model objekta. U daljem tekstu će biti prikazana najčešće korišćena metode za podešavanje parametara regulatora: metoda krajnjeg perioda Cigler-Nikolsa (Ziegler-Nichols). Metoda Ciglera i Nikolsa na osnovu krajnjeg pojačanja i krajnjeg perioda (Z-N metoda) Ova metoda za definisanje parametara regulatora koristi vrednosti krajnjeg pojačanja i krajnjeg perioda, odnosno kritične frekvencije, zatvorenog regulacionog kola sa P regulacijom. Da podsetimo, krajnje pojačanje predstavlja pojačanje regulatora pri kome je zatvoreno regulaciono kolo na granici stabilnosti. Krajnji period predstavlja period oscilovanja, sa konstantnom amplitudom, zatvorenog regulacionog kola koje je na granici stabilnosti. Ova veličina je usko povezana sa kritičnom frekvencijom sistema:

Ukoliko su poznati dinamički modeli svih elemenata u zatvorenom kolu (procesa, mernog i izvršnog elementa), vrednost krajnjeg pojačanja i kritične frekvencije se mogu odrediti nekom od metoda za ispitivanje stabilnosti sistema (npr. Rutov kriterijum, dijagram položaja korena, Bodeov ili Nikvistov kriterijum stabilnosti). Ukoliko dinamički model procesa nije poznat, vrednosti krajnjeg pojačanja i krajnjeg perioda se mogu odrediti i eksperimentalno, i to na dva načina: na osnovu eksperimentalnog ispitivanja u otvorenom i u zatvorenom kolu. 1. Krajnje pojačanje i krajnji period se mogu odrediti na osnovu eksperimentalno određenih frekventnih karakteristika otvorenog kola. Najpogodnije je ove eksperimente vršiti za pojačanje regulatora Kc=1. Frekvencija za koju se dobija fazna karakteristika otvorenog kola φ=-π je kritična frekvencija, i na osnovu nje se može izračunati krajnji period korišćenjem jednačine (4.5-15). Krajnje pojačanje se dobija kao recipročna vrednost ampitudne karakteristike otvorenog kola koja odgovara kritičnoj frekvenciji. 2. Eksperimentalno ispitivanje u zatvorenom kolu se svodi na sledeći postupak: Regulator se podesi tako da integralno vreme bude maksimalno, a diferencijalno minimalno (odnosno, da se regulator ponaša kao proporcionalni) i povećava se pojačanje regulatora dok se ne pojave neprigušene oscilacije. Pojačanje regulatora pri kome se one javljaju je krajnje pojačanje Ku, a period oscilacija krajnji period Pu. Izrazi za određivanje vrednosti parametara regulatora metodom Ciglera i Nikolsa su dati u Tabeli 4.5-3. Tabela 4.5-3. Izrazi za određivanje parametara regulatora metodom Cigler-Nikolsa Tip regulatora Kc τi τd

P /2 K u

PI /2.2 K u /1.2 Pu

PID /1.7 K u /2 Pu /8 Pu

Ovi parametri približno odgovaraju kriterijumu da je odnos slabljenja jednak 1/4. Na osnovu izraza za izračunavanje vrednosti integralnog i diferencijalnog vremena PID regulatora

ω

π

0u

2 = P (4.5-15)


metodom Cigler-Nikolsa, prikazanih u tabeli 4.5-3., može se primetiti da je odnos ove dve vrednosti konstantan i jednak 4. Ovaj princip se koristi pri konstrukciji nekih PID regulatora, tako da postoje industrijski PID regulatori koji imaju samo dva parametra koje treba podesiti, Kc i τi, dok se vrednost τd podešava automatski tako da je odnos τi/τd konstantan. Treba naglasiti da se poluempirijske metode za izbor parametara regulatora koje smo prikazali mogu koristiti samo za jednostavne sisteme koji ne sadrže nestabilne elemente u otvorenom kolu, nisu oscilatorni u otvorenom kolu i imaju monotono opadajuće amplitudne i fazne karakteristike (sisteme za koje se može koristiti Bodeov kriterijum stabilnosti). Ukoliko imamo sistem koji sadrži nestabilne elemente u otvorenom kolu ili sistem sa uslovnom stabilnošću, izbor parametara regulatora se mora vršiti na osnovu posebne analize. 4.5.3.3. Eksperimentalno on-line podešavanje parametara regulatora Parametri regulatora se mogu podešavati i eksperimentalno, metodom probanja. Postupak on-line podešavanja regulatora se sastoji iz sledećih koraka: 1. Isključi se integralna i diferencijalna akcija regulatora, postavljanjem τi na maksimalnu, a τd na minimalnu vrednost. 2. Podesi se pojačanje regulatora na neku malu vrednost. 3. Regulator se prebaci na automatski rad. 4. Uvodi se mala promena postavne tačke i posmatra odziv. Zbog malog pojačanja odziv će biti vrlo spor. 5. Udvostruči se pojačanje regulatora i ponovo uvodi mali poremećaj ulaza. 6. Ponavlja se korak 5, sve dok sistem ne postane jako neprigušen i oscilatoran. Pojačanje pri kome se to dešava je krajnje pojačanje. 7. Smanji se pojačanje regulatora na polovinu od krajnjeg. 8. Smanjuje se vrednost integralnog vremena sa faktorom 2 i posmatra se odziv zatvorenog kola na malu promenu postavne tačke. 9. Nađe se vrednost τi pri kojoj je sistem jako oscilatoran i usvoji se dvostruko veća vrednost. 10. Povećava se diferencijalno vreme u koracima, sa faktorom 2, dok šum ne počne značajno da se primećuje u odzivu. 11. Postavi se τd na vrednost dvostruko manju od one određene u prethodnoj tački. 12. Menja se pojačanje regulatora ponovo u koracima po 10%, dok se ne dobije odziv sa željenim prekoračenjem i odnosom slabljenja. Ova procedura se ne može koristiti za podešavanje parametara regulatora u sistemima sa uslovnom stabilnošću, jer se kod njih oblasti nestabilnosti javljaju i pri niskim i pri visokim pojačanjima, ali između njih postoji oblast kada je sistem stabilan. Naravno, ova metoda se ne može koristiti ni ako je objekat upravljanja nestabilan sistem.

konfiguracija upravljanja sa negativnom povratnom …elektron.tmf.bg.ac.rs/aup/oaup/tekst/materijal...

Documents