kompleksan broj

7/26/2019 kompleksan broj

1/15

Ekonomski fakultet u Sarajevu

Seminarski radPredmet:

Matematika za ekonomiste

Tema:Kompleksan broj. Trigonometrijski i Eulerov oblik kompleksnog

broja. Operacije sa kompleksnim brojevima. Stepenovanje i

korjenovanje kompleksnog broja.

Predmetni profesor: Student:

r. Smajlovi! "ejla #ntonio Soldo $linija %& 'r. (nde)a: *+,-

Sarajevo, novembar/decembar 2010.g.


2/15

Sadr/aj

1. Pojam kompleksnog broja.............................................3

1.1 Kompleksna ravnina....................................................41.2 Sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva..............1.3 !psolu"na vrijednos" kompleksnog broja i kompleksnokonjugiranje.........................................................................#

1.4 $no%enje i dijeljenje kompleksnih brojeva..................#2. Stepenovanje i korjenovanje kompleksni0 brojeva....&

3. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja..................'

4. Eulerova formula..........................................................10

. 1a2to su uvedeni kompleksni brojevi3......................12

"iteratura 4,

2


3/15

4. Pojam kompleksnog broja

Kompleksni brojevisu u izrazioblika a( bi, gdje su ai brealni

brojevi, a ise naziva imaginarna jedinica i ima osobinu )

*vo se mo%e izrazi"i preko sljede+e ormule, gdjeje nbilo koji cijeli broj)

- kompleksnom broju z a( bibroj ase naziva realni dio, piese a Rez, a broj bje imaginarni dio, i pie se b Imz.

va kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni iimaginarni dijelovi.

maginarni brojevi prvi pu" su se pojavili u 1#. s"olje+u vezano zaproblem rjeavanja kubne jednad%be. jihova upo"reba rairila se"okom 15. s"olje+a, kad su se pojavile i prve primjene.ajpozna"ije primjene vezane su za "eoriju elek"rici"e"a i magne"izmakoju bi"no pojednos"avljuju "e za kvan"nu "eoriju.

Kao mo"ivacija za uvo6enje imaginarnih brojeva obi7no se uzimajukvadra"ne jedna7ine s realnim koecijen"ima. 8ozna"o je da ako jediskriminan"a b2 9 4ac kvadra"ne jedna7ine a:2(b:(c 0

nega"ivna, "a jedna7ina nema realnih rjeenja. *snovni primjer "akvejedna7ine je:2 ( 1 0)

8o dogovoru, "a jedna7ina iako nema realnih rjeenja jer bi "o biorealan : koji kvadriran daje nega"ivan broj ;1 ima dva rjeenja ukompleksnim brojevima.


4/15

kvadra"ne jedna7ine :2 (1 0 kao "o su 1 i ;1 rjeenja kvadra"nejedna7ine :2;1 0. =roj i zove se imaginarna jedinica. akle,denicija imaginarne jedinice je da je "o jedan od dva mogu+a brojakoji kvadrirani daju 1)i2 ;1)s"o svojs"vo ima i i) ;i2 (-i)(-i) ;12i2 1 ;1 ;1.Kompleksni brojevi se deniraju kao sve linearne kombinacije 2 srealnim koecijen"imabrojeva 1 i i "j. Kompleksni brojevi su brojevi oblikaz : ( >is :? > 2 @. =roj : se zove realni dio, a broj > imaginarni diokompleksnog broja z dakle) i realni i imaginarni dio kompleksnogbroja su realni brojevi. Skup svih kompleksnih brojeva ozna7avamo sA. Skup @ je podskup od A jer svaki realni broj : mo%emo shva"i"i kao

kompleksni broj : ( 0 1. =rojeve kojima je realni dio nula zovemo7is"o imaginarnima.

1.1 Kompleksna ravnina

8o7e"kom 15. s"olje+a !rgand i Bauss uveli su na7in vizualizacijekompleksnih brojeva. Svaki kompleksan broj z : ( >i mo%emopois"ovje"i"i s "a7kom :? > u koordina"noj ravnini obrnu"o) svakoj

"a7ki odgovara kompleksan broj, uz uobi7ajeni Aar"esiusovkoordina"ni sis"em.8ri"om uzimamo da apscise preds"avljaju realne, a ordina"eimaginarne dijelove pa se koordina"ne osi u ovom slu7aju zovu realnai imaginarna os. a realnoj osi "ada se nalaze svi realni brojevi onikojima je imaginarni dio 0, a na imaginarnoj svi 7is"o imaginarni onikojima je realni dio 0. 8rikaz kompleksne ravnine vidljiv je na slici 3.

2Linearne kom!inacije su izrazi o!lika "# $ "% $ & & &, gdje su "' "' & & & skalari, a #' %' & & & vektori. ( ovom

Slike ovog poglavlja preuze"e su s Ceb;s"ranice h""p)//CCC.clarku.edu/fdjo>ce/comple:/

)


5/15

sl. Kompleksna ravnina.

1.2 Sabiranje i oduzimanje kompleksni0 brojeva

va kompleksna broja sabiramo oduzimamo "ako da im saberemooduzmemo realne odnosno imaginarne dijelove)

Primjer 4.

3 ( i ( 2i9 1 2 ( 3i)

Sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva imaju sva uobi7ajenasvojs"va komu"a"ivnos", asocija"ivnos", broj nula kao neu"ralnielemen", . . . "ih operacija. - kompleksnoj ravnini zbroj odnosnorazlika dva kompleksna broja z i z0 nalazi se na kraju radij;vek"orakoji se dobije sabiranjem odnosno oduzimanjem radij;vek"ora kojipripadaju z i z0) sabiranje i oduzimanje geome"rijski se in"erpre"iraju

kao sabiranje i oduzimanje radij;vek"ora u kompleksnoj ravnini.8ribrajanje is"og broja svim kompleksnim brojevima mo%emo shva"i"ikao "ranslaciju ravnine.Supro"ni broj od :(>i je 9:;>i. *dre6ivanje supro"nog broja u "om jekon"eks"u cen"ralna sime"rija inverzija obzirom na ishodi"e .

*


6/15

1.3 #psolutna vrijednost kompleksnog broja ikompleksno konjugiranje

!psolu"na vrijednos"kompleksnog broja z : ( i>denira se kao

biramopozi"ivni kvadra"ni korijen.Beome"rijski gledano, "o je

udaljenos" "a7ke kojapreds"avlja z do ishodi"a.

sl. !psolu"na vrijednos" kompleksnog broja

1.4 Mno/enje i dijeljenje kompleksni0 brojeva

$no%enje dva kompleksna broja

denirano je ormom

Primjer %.

Drijedi sljede+a korisna jednakos")

+


7/15

oka%imo ju. !ko je

onda je

Primjer 5.

2. Stepenovanje i korjenovanje kompleksni0 brojeva

8romo"rimo prvo s"epene broja i. mamo)

akle, s"epenovanje

broja i na s"epen od 4 daje 1 i s"epenovanje se cikli7ki ponavljajunakon svakog s"epena od 4. adalje, s"epeni od i nalaze se najedini7noj kru%nici kao vrhovi kvadra"a.Ea s"epenovanje kompleksnih brojeva na prirodne s"epene koris"i sede $oivre;ova ormula)

!ko je z FzFcos G ( i sin G, onda je

6 7

Primjer 8.


8/15

S"epenovanje od z se prema "oj ormuli dobivaju redom "ako daargumen" pove+avamo za argumen" od z i is"ovremeno s"epenujemoapsolu"nu vrijednos",. Korjenovanje je kompliciranije jer svakikompleksan broj z ima n n;"ih korijena "j. Kompleksnih brojeva C"akvih da je Cn z ima n. Beome"rijski "i se korijeni nalaze uvrhovima pravilnog n;"roku"a na kru%nici radijusa npjzj "u gledamokorijen u smislu njegovog zna7enja u realnim brojevima kojoj je

sredi"e u ishodi"u, s "im da prvi od njih ima argumen" Svi n;"i korijeni dobiju se kao

Primjer ,.


9/15

!rgumen" kompleksnog broja z je ugao G "akav da je "g G >/: ,radi se o uglu koji radij;vek"or od z za"vara s realnom osom.

!rgumen" svakog pozi"ivnog realnog broja je 0, a argumen" svakog7is"o imaginarnog broja s pozi"ivnim imaginarnim dijelom npr. broja i

jeKako je svaka "a7ka u ravnini po"puno odre6ena svojim polarnim

koordina"ama, a iz gornjeg se vidi da su polarne koordina"ebroja z, slijedi da je prikazu z : ( >i koji odgovara Kar"ezijevomkoordina"nom sus"avu ekvivalen"an prikaz


10/15

z posljednje ormule se vidi da je argumen" recipro7nog broja 1zsupro"an argumen"u odz, kao "o je i argumen" od z.


11/15

Saberemo li i oduzmemo dobi" +emo i idu+e dvije va%ne

ormule)

Primjer 48


12/15

x4; 2x3( 2x2; 2x( 1 0

ima "a7no 7e"iri rjeenja) dvos"ruko rjeenje 1 i jednos"ruka rjeenja i,;i.


13/15

x3( ax2( bx( ! 0

gdje su a,b,!realni brojevi danas "o mogu bi"i i kompleksni brojevi ilielemen"i nekog"olja. S "akvim su jedna7inama ma"ema"i7ari imalipo"eko+a vie od 3000 godina dok ih u prvom dijelu 1#. s"olje+a nisuuspjeli Lukro"i"iL. eke je od "ih jedna7ina lako rijei"i? primjerice

jedna7inax3;x 0 ima rjeenja 0, 1, ;1. Sli7no je za svaku kubnujedna7inu s racionalnim koeicijen"ima "j. jedna7inu za koju je a, b, !

, koja ima bar jedno racionalno rjeenje. aime, kod "akvihjedna7ina u pravilu je lako na+i racionalno rjeenje r"/ #?",# .akon "o jedna7inu pomno%imo sa zajedni7kim sadr%aocem svihkoeicijena"a,"mora dijeli"i slobodni, a #vode+i koeicijen" jedna7ine.Kako ima kona7no "akvih mogu+nos"i, na7elno mo%emo do+i i do onepovoljne. Kad znamo racionalno rjeenje r, onda dijeljenjem mo%emo

do+i do ras"ava)

x3( ax2( bx( ! x; r x2( a$x( b$

pa se preos"ala rjeenja po7e"ne kubne jedna7ine dobiju rjeavanjemkvadra"ne jedna7inex2( a$x( b$ 0.


14/15

- doba o"krivanja ormula za rjeenje kubne jedna7ine nije bilokompleksnih brojeva pa su iv ondanji ma"ema"i7ari shva"ili kaoivM jednad%ba ima 1 rjeenje.

8os"avljamo pi"anje mogu li se rjeenja zapisa"i bez "ranscenden"nih,kosinus, sinusi arkus;"angens unkcija., a i bez kompleksnih brojevakad su ve+ realnaN a primjer, mogu li se rjeenja jedna7inex3; #x( 2 0 zapisa"i samo pomo+u korijena iz pozi"ivnih brojevaN


15/15

"iteratura

1. /ttp&00/r.ikipedia.org0iki0ompleksni3!roj

2. /ttp&00lavica."es!./r0mat10predavanja0node1-./tml

. 4usi, 5. 6ato su uvedeni kompleksni !rojevi, 7rvatski matematicki elektronski

casopis mat/.e

). avkovi ,9:9eljan, ;. kolska

knjiga.

1*
http://hr.wikipedia.org/wiki/Kompleksni_brojhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node19.htmlhttp://hr.wikipedia.org/wiki/Kompleksni_brojhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node19.html

kompleksan broj

Documents