komplekni broj sinisa
DESCRIPTION
MatematikaTRANSCRIPT
SAOBRAĆAJNI FAKULTET
TRAVNIK
DRUMSKI I GRADSKI SAOBRAĆAJ
TRIGONOMETRIJSKI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA
SEMINARSKI RAD
Predmet: Student:
Matematika I Siniša Gordić
Mentor: Br. Indexa:
Doc.dr.sc. Sead Rešić
Travnik, Novembar 2014
SADRŽAJ
1.UVOD…………………………………………………………………………………... 32. TRIGONOMETRIJSKI PRIKAZ KOMPLEKSNOG BROJA………………………... 43. STEPENOVANJE I KORJENOVANJE KOMPLEKSNIH BROJEVA…………......... 74. EULEROVA FORMULA……………………………………………………………… 105. ZAŠTO SU UVEDENI KOMPLEKSNI BROJEVI…………………………………… 126. FORMULA ZA RJEŠENJE KUBNE JEDNAČINE…………………………………... 14LITERATURA …………………………………………………………………………… 21
2
1. UVOD
Imaginarni brojevi prvi put su se pojavili u 16. vijeku vezano za problem rješavanja kubne jednačine. Njihova upotreba raširila se tokom 19. vijeka, kad su se pojavile i prve primjene.
Najpoznatije primjene vezane su za teoriju elektriciteta i magnetizma (koju bitno pojednostavljuju) te za kvantnu teoriju.
Kao motivacija za uvođenje imaginarnih brojeva obično se uzimaju kvadratne jednačine s realnim koeficijentima. Poznato je da ako je diskriminanta D = b2 - 4ac kvadratne jednačine ax²+bx+c = 0 negativna, ta jednačina nema realnih rješenja. Osnovni primjer takve jednačine je
x2 + 1 = 0:
Po dogovoru, ta jednačina (iako nema realnih rješenja jer bi to bio realan x koji kvadriran daje negativan broj -1) ima dva rješenja u kompleksnim brojevima. To su1 i i -i tj. Oba broja (i i -i) su rješenja kvadratne jednačine x² +1 = 0 (kao što su 1 i -1 rješenja kvadratne jednačine x²-1 = 0). Broj i zove se imaginarna jedinica. Dakle, defnicija imaginarne jedinice je da je to jedan od dva moguća broja koji kvadrirani daju 1:
i2 = -1:
Isto svojstvo ima i -i: (-i)2 = (-i)(-i) = (-1)2i2 = 1 f (-1) = -1.
Kompleksni brojevi se definišu kao sve linearne kombinacije 2 (s realnim koeficijentima)
brojeva 1 i i tj. kompleksni brojevi su brojevi oblika
z = x + yi
s x; y 2 R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnog broja su realni brojevi). Skup svih kompleksnih brojeva označavamo s C. Skup R je podskup od C jer svaki realni broj x možemo shvatiti kao kompleksni broj x + 0 f 1. Brojeve kojima je realni dio nula zovemo čisto imaginarnima.
1 Oznaka i za imaginarnu jedinicu potiče iz 18. vijeka, koju je uveo švicarski matematičar L. Euler.
2 Linearne kombinacije su izrazi oblika fx + fy + : : :, gdje su f; f; : : : skalari, a x; y; : : : vektori.
3
2. TRIGONOMETRIJSKI PRIKAZ KOMPLEKSNOG BROJA
Argument kompleksnog broja z je kut ө takav da je tg ө = y/x , radi se o kutu koji radij-vektor od z zatvara s realnom osi.
Primjer 1
Argument svakog pozitivnog realnog broja je 0, a argument svakog čisto imaginarnog broja s
pozitivnim imaginarnim dijelom (npr. broja i) je
Kako je svaka točka u ravnini potpuno odre.ena svojim polarnim koordinatama, a iz gornjeg
se vidi da su polarne koordinate broja z, slijedi da je prikazu z = x + yi (koji odgovara Kartezijevom koordinatnom sustavu) ekvivalentan prikaz
Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Primjer 2
Trigonometrijski prikaz bitno olakšava množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva. Korištenjem adicionih formula za sinus i kosinus lako je provjeriti da vrijedi za
4
Iz posljednje formule se vidi da je argument recipročnog broja 1=z suprotan argumentu odz, kao što je i argument od z. To je objašnjenje već prikazane slike 7.
Primjer 3
Sad se vidi da se množenje geometrijski gledano svodi na kombinaciju rotacije i množenja apsolutnih vrijednosti kompleksnih brojeva: radij-vektor koji predstavlja produkt je po smjeru zarotirani radij vektor jednog broja za kut jednak argumentu drugog, a po duljina je jednak produktu apsolutnih vrijednosti množenih brojeva. Specijalno, množenje kompleksnog broja nekim brojem kojem je apsolutna vrijednost jednaka 1 interpretira se kao rotacija za argument tog drugog broja.
6
Slika 3: Množenje s i je rotacija za pravi kut.
3. STEPENOVANJE I KORJENOVANJE KOMPLEKSNIH BROJEVA
Promotrimo prvo potencije broja i. Imamo:
Dakle, potenciranje broja i na višekratnik od 4 daje 1 i potencije se ciklički ponavljaju nakon svakog višekratnika od 4. Nadalje, potencije od i nalaze se na jediničnoj kružnici kao vrhovi kvadrata.
Za potenciranje kompleksnih brojeva na prirodne potencije se koristi de Moivre-ova formula
7
Primjer 4
Slika 4: Potencije kompleksnog broja (kojem je apsolutna vrijednost manja od 1).
Potencije od z se prema toj formuli dobivaju redom tako da argument povećavamo za argument od z i istovremeno potenciramo apsolutnu vrijednost, što je ilustrirano slikom 12.
Korjenovanje je kompliciranije jer svaki kompleksan broj z ima n n-tih korijena (tj. Kompleksnih brojeva w takvih da je wn = z ima n). Geometrijski ti se korijeni nalaze u vrhovima pravilnog n-terokuta na kružnici radijusa npjzj (tu gledamo korijen u smislu njegovog značenja u realnim brojevima) kojoj je središte u ishodištu, s tim da prvi od njih ima
argument f
Svi n-ti korijeni dobiju se kao
8
Primjer 5
Četvrti korijeni iz 1 imaju apsolutnu vrijednost , a prvi po redu ima
argument
Svaki sljedeći ima argument veći za
te su treći korijeni od i redom
1; i;-1;-i.
Primjer 6 Treći korijeni iz i imaju apsolutnu vrijednost , a prvi po redu ima argument
Svaki sljedeći ima argument veći za
te su četvrti korijeni od i redom
9
4. EULEROVA FORMULA
Eulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikaza kompleksnih brojeva:
Stoga je
Eksponencijalna funkcija u Eulerovoj formuli je eksponencijalna funkcija s bazom e proširena na kompleksne brojeve; ona ima mnoga specijalna svojstva, no osnovne formule za baratanje eksponencijalnim izrazima i dalje vrijede.
Specijalno, imamo
Iz Eulerove formule dobiju se još preglednija pravila računa s kompleksnim brojevima:
Zbrojimo li i oduzmemo dobit ćemo i iduće dvije važne formule:
10
5. ZAŠTO SU UVEDENI KOMPLEKSNI BROJEVI
Uobičajeno je mišljenje da su kompleksni brojevi uvedeni u matematiku da bi svaka kvadratna jednadžba imala rješenje (na primjer, jednadžba x2 + 1 = 0 nema realnih rješenja, a nakon uvođenja kompleksnih brojeva ima dva rješenja: i i -i). To se kasnije podupire još jačim argumentom da svaka algebarska jednadžba stupnja n ima točno n rješenja (uključujući kratnost). Na primjer, jednadžba
x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = 0
ima točno četiri rješenja: dvostruko rješenje 1 i jednostruka rješenja i, -i. To se obrazlaže rastavom na faktore:
x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 (x2 + 1)
za svaki realni (odnosno kompleksni) broj x, odnosno rastavom
x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 (x - i) (x + i).
Ponekad se uvođenje kompleksnih brojeva obrazlaže Bézoutovim poučkom:
Dvije algebarske krivulje reda m, odnosno n, sijeku se u točno mn točaka (računajući kratnosti i točke u beskonačnosti).
Takav poučak ne bi vrijedio bez kompleksnih brojeva. Na primjer, pravac ne bi sjekao koniku u točno dvjema točkama i općenito krivulju reda n u n točaka. Na primjer, pravac s jednadžbom y = x + 2 ne siječe kružnicu s jednadžbom x2 + y2 = 1 (ako se razmatraju samo realne točke), međutim, siječe je u točkama
(-1 - √2 / 2 i, 1 - √2 / 2 i) i (-1 + √2 / 2 i, 1 + √2 / 2 i).
Svi ovi (i neki drugi) razlozi matematičarima su dobar povod za uvođenje korijena od negativnih brojeva, a time i kompleksnih brojeva. Međutim, ni u jednome od njih kompleksni brojevi nisu bili nužni.
U vrijeme uvođenja kompleksnih brojeva u matematiku (u 16. stoljeću) kvadratna je jednadžba bila poznata više od 3000 godina. Stari su je matematičari već rješavali i znali su da može imati dva, jedno ili nijedno rješenje i to im je bilo dovoljno. Također se naslućivalo da algebarska jednadžba stupnja n ima najviše n rješenja (tu se misli samo na jednadžbu s realnim koeficijentima i samo na realna rješenja jer za druge nisu ni znali).
Razlogom za uvođenje kompleksnih brojeva mogao je biti samo matematički problem u kojemu se kompleksni brojevi nisu mogli zaobići, a takav se problem pojavio pri rješavanju
12
kubne jednadžbe. O čemu je riječ ukratko ćemo govoriti u nastavku. Kako je poznato, svaka je kubna jednadžba ekvivalentna jednadžbi oblika
x3 + ax2 + bx + c = 0
gdje su a,b,c realni brojevi (danas to mogu biti i kompleksni brojevi ili elementi nekog polja). S takvim su jednadžbama matematičari imali poteškoća više od 3000 godina dok ih u prvom dijelu 16. stoljeća nisu uspjeli "ukrotiti". Neke je od tih jednadžbi lako riješiti; primjerice jednadžba x3 - x = 0 ima rješenja 0, 1, -1. Slično je za svaku kubnu jednadžbu s racionalnim
koeficijentima (tj. jednadžbu za koju je a, b, c ), koja ima bar jedno racionalno rješenje.
Naime, kod takvih jednadžbi u pravilu je lako naći racionalno rješenje r = p / q; p,q . Nakon što jednadžbu pomnožimo sa zajedničkim višekratnikom svih koeficijenata, p mora dijeliti slobodni, a q vodeći koeficijent jednadžbe. Kako ima konačno takvih mogućnosti, načelno možemo doći i do one povoljne. Kad znademo racionalno rješenje r, onda dijeljenjem možemo doći do rastava:
x3 + ax2 + bx + c = (x - r) (x2 + a'x + b')
pa se preostala rješenja početne kubne jednadžbe dobiju rješavanjem kvadratne jednadžbe x2 + a'x + b' = 0. Takve se kubne jednadžbe često pojavljuju u srednjoškolskim zadatcima, a i na sveučilištu. Međutim, što je s jednadžbom
x3 - 6x + 2 = 0 ?
Pokušajte je riješiti! O toj ćemo jednadžbi više reći poslije, a sada se poslužimo sličnim argumentima kao i za kubne jednadžbe s racionalnim koeficijentima i s barem jednim racionalnim rješenjem kako bismo zaključili da svaka kubna jednadžba s realnim koeficijentima ima barem jedno realno rješenje (ukupno 3 kompleksna rješenja, uključujući kratnosti). Izraz x3 + ax2 + bx + c za dovoljno je velike pozitivne x-eve pozitivan, a za dovoljno male negativne x-eve negativan, pa je za neki x jednak nuli. Zaključujemo da jednadžba x3 + ax2 + bx + c = 0 ima bar jedno realno rješenje r. Sada je
x3 + ax2 + bx + c = (x - r) (x2 + a'x + b')
pa mogu nastupiti sljedeće mogućnosti:
(i) jednadžba ima 3 realna različita rješenja,
(ii) jednadžba ima 1 realno jednostruko i 1 realno dvostruko rješenje,
(iii) jednadžba ima 1 realno trostruko rješenje,
(iv) jednadžba ima jedno realno i dva konjugirano kompleksna rješenja.
13
U doba otkrivanja formula za rješenje kubne jednadžbe nije bilo kompleksnih brojeva pa su (iv) ondašnji matematičari shvatili kao
(iv)' jednadžba ima 1 rješenje.
6. FORMULA ZA RJEŠENJE KUBNE JEDNAČINE
Dovoljno je razmatrati jednadžbu x3 + px + q = 0, gdje su p, q realni brojevi (to se
dobije zamjenom x - a/3 x). Ako napišemo x = u + v, uz uvjet uv = -p/3, dolazimo do sustava
u3 + v3 = -q,
u3 v3 = -p3/27,
odakle je
x = 3√ -q/2 + √(q2/4 + p3/27) + 3√ -q/2 - √(q2/4 + p3/27)
(to je prikaz rješenja x u obliku u + v). Ta se formula zove Cardanova formula (prema talijanskom matematičaru koji je tu formulu objavio 1545. g. u djelu Artis Magnae).
Pogledajmo kako su se matematičari u početku koristili tom formulom.
Primjer 1: x3 + 3x + 2 = 0, p = 3, q = 2.
x = 3√ -1 + √2 + 3√ -1 - √2 = 3√ -1 + √2 - 3√ 1 + √2.
Tada su matematičari znali samo za realne brojeve i tu nije bilo problema:
u = 3√ -1 + √2, v = - 3√ 1 + √2, uv = 3√ -1 + √2 (- 3√ -1 + √2 ) = - 3√-1 = -1
(naime, 3√ je za njih jednoznačna neparna funkcija definirana za sve realne brojeve, a √ je definiran za nenegativne realne brojeve). Tako je dobiveno jedinstveno rješenje početne jednadžbe. To se može i provjeriti. Ta jednadžba ima i dva kompleksno-konjugirana rješenja, međutim, matematičari 16. st. o tome na početku nisu vodili računa, niti im je, u ovom slučaju, to bilo potrebno.
Primjer 2: x3 - 3x = 0.
Za tu jednadžbu ne treba formula. Odmah se vidi da su rješenja x1 = 0, x2,3 = √3. Pokušajmo ipak primijeniti formulu. Tu je p = -3, q = 0, pa je
x = 3√√-1 + 3√-√-1. (*)
14
Vidimo da nas Cardanova formula, u ovom jednostavnom slučaju, dovodi do teških problema - drugih korijena iz negativnih brojeva. To je navelo matematičare 16. st. da se pozabave i takvim matematičkim objektima. Ako su ovakav slučaj mogli i zanemariti (jer već znaju rješenja: 0, √3, -√3), neke su im jednadžbe stvarale još veće poteškoće.
Primjer 3: x3 - 6x + 2 = 0.
Lako se vidi da ta jednadžba nema racionalnih rješenja. Cardanova formula daje sljedeći izraz:
x = 3√ -1 + √-7 + 3√ -1 - √-7. (**)
Sljedeća tablica govori nam da bi ta jednadžba trebala imati tri realna rješenja:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
x3-6x+2 -7 6 7 2 -3 -2 11
Zaključujemo da je -3 < x1 < -2; 0 < x2 < 1; 2 < x3 < 3.
Za razliku od prethodnog primjera, matematičari 16. st. u početku nisu uspjeli doći do tih realnih brojeva, nego su samo imali izraz (**) u kojemu su morali vaditi korijene iz negativnih brojeva. Pred njima su se pojavila sljedeća pitanja:
1. Kako iz izraza (*) i (**) rekonstruirati 3 realna rješenja jednadžbe? 2. Kako treba na takvim izrazima izvesti operacije da bismo mogli računati uvjet uv = -
p/3 ? 3. Mogu li se u (**) i sličnim izrazima rješenja pripadajuće kubne jednadžbe zapisati bez
korijena iz negativnih brojeva?
Za odgovor na ta pitanja bilo je potrebno uvesti kompleksne brojeve i operacije s njima. Sustavna teorija kompleksnih brojeva prvi se put pojavila 1572. g. u Algebri talijanskog matematičara Raffaela Bombellia. Izrazi (*) i (**) zaista se mogu protumačiti tako da daju rješenje kubne jednadžbe. Kao što znate, kompleksni brojevi jesu brojevi oblika a +
bi, a,b , dok je imaginarna jedinica i izabrana tako da bude i2 = i i = -1, tj. da bude rješenje jednadžbe x2 = -1. Tada se izraz (*) može zapisati kao
x = 3√i + 3√-i. (*)'
15
Dakle, umjesto √-1 možemo staviti i. Budući da je -i također rješenje jednadžbe x2 = -1, umjesto √-1 mogli smo staviti -i. U (*) ništa se ne bi promijenilo (3√i prešao bi u 3√-i, a 3√-i u 3√i; zbroj bi ostao isti).
Izraz 3√i ima tri vrijednosti: z1 = √3/2 + 1/2 i, z2 = - √3/2 + 1/2 i, z3 = -i. Naime, ta su tri broja rješenja kubne jednadžbe z3 = i (provjerite).
Slično tome, izraz 3√-i ima tri vrijednosti: w1 = i, w2 = - √3/2 - 1/2 i, w3 = √3/2 - 1/2 i.
16
Od 9 mogućih izbora zi, wi; i = 1,2,3 dobije se 9 mogućih vrijednosti izraza (*)'. Treba
odabrati one za koje je uv = -p/3 = 1, tj. 3√i 3√-i = 1.
Napomenimo da, iako kompleksni brojevi imaju svojstva analogna realnim brojevima, ima i nekih razlika. Osim one da se na kompleksne brojeve ne može proširiti relacija uređaja s
(tako da vrijede aksiomi uređenog polja), važna je razlika i u formulama √ab = √a √b; 3√ab = 3√a 3√b i sl. Naime, one se ne mogu doslovno primijeniti na kompleksne brojeve. Na
primjer, kad bi bilo √(-1)(-1) = √-1 √-1, bilo bi √1 = i i, tj. 1 = -1 (Vidi: I.Gusić, Korjenovanje kompleksnih brojeva, Zbornik radova 1. kongresa matematike RH, 2000., 108-111). To se razrješava tako da bude √1 = {-1, 1}, √-1 = {i, -i}, dakle, skupovima brojeva. Prema tome, ako se radi s kompleksnim brojevima, √ nije jednoznačna funkcija nego ima dvije vrijednosti (izuzimajući činjenicu da je √0 = 0). Tada će zaista biti √(-1)(-1) = √-1 √-1
(na desnoj strani riječ je o umnošku skupova). Slično je 3√z za z 0 tročlan skup itd.
Vratimo se skupovima 3√i i 3√-i i uočimo da je z1w3 = z2w2 = z3w1 = 1 (a da su ostali
međusobni umnošci različiti od 1). Zato izraz x = 3√i + 3√-i, uz uvjet 3√i 3√-i = 1, ima tri vrijednosti: x1 = z1 + w3 = √3; x2 = z2 + w2 = - √3; x3 = z3 + w1 = 0. Upravo su to rješenja početne kubne jednadžbe x3 -3x = 0. Dakle, uz pravilno uvođenje kompleksnih korijena, formula x = 3√i + 3√-i može se protumačiti kao formula koja daje rješenja kubne jednadžbe x3
- 3x = 0.
17
Nekima niti to ne bi bio dovoljan razlog za uvođenje kompleksnih brojeva jer već znamo rješenje te jednadžbe. Razmotrimo zato jednadžbu x3 - 6x + 2 = 0, tj. izraz (**) x = 3√ -1 + √-7 + 3√ -1 - √-7. Taj izraz možemo pisati kao
x = 3√ -1 + i √7 + 3√ -1 - i √7, (**)'
gdje je umnožak pribrojnika jednak 2. Pritom treba imati na umu sljedeće:
(i) √7 je u (**)' običan realni drugi korijen iz 7, tj. pozitivan broj čiji je kvadrat jednak 7.
(ii) 3√ u oba pribrojnika ima tri vrijednosti, ali ćemo za svaku odabranu vrijednost 3√ -1 + i √7 imati točno jednu vrijednost od 3√ -1 - i √7 za koju će umnožak pribrojnika biti jednak 2.
Da bi to pokazali, matematičari 16. st. poslužili su se nečim što danas zovemo trigonometrijskim prikazom broja. Neka je z = -1 + √7 i; w = -1 -√7 i. Tada je z = 2√2 (cos
+ i sin ), gdje je argument broja z.
Sada je 3√ -1 + i √7 = {z1, z2, z3},
z1 = √2 (cos ( /3) + i sin ( /3)),
z2 = √2 (cos ( /3 + 120o) + i sin ( /3 + 120o)),
z3 = √2 (cos ( /3 + 240o) + i sin ( /3 + 240o)).
18
Slično je 3√ -1 + i √7 = {w1, w2, w3},
w1 = √2 (cos (120o - /3) + i sin (120o - /3)),
w2 = √2 (cos (240o - /3) + i sin (240o - /3)),
w3 = √2 (cos (360o - /3) + i sin (360o - /3)).
Vidimo da je z1w3 = z2w2 = z3w1 = 2. Naime,
360o - ( /3 + 120o) = 240o - /3,
360o - ( /3 + 240o) = 120o - /3.
Zato su rješenja jednadžbe x3 -6x + 2 = 0 realni brojevi:
x1 = z1 + w3 = 2√2 cos ( /3);
x2 = z2 + w2 = 2√2 cos ( /3 + 120o);
x3 = z3 + w1 = 2√2 cos ( /3 + 240o).
19
To su tri realna broja dobivena iz Cardanove formule pravilnom uporabom kompleksnih brojeva. Bez kompleksnih brojeva bilo bi gotovo nemoguće doći do tih rješenja.
U tim rješenjima pojavljuje se kut koji se može eliminirati ovako: = 180o - arctg(√7)
(naime, tg(180o - ) = √7). Sada je
x1 = 2√2 cos ( /3) = 2√2 cos (60o - arctg(√7) / 3) = 2√2 (1/2 cos (arctg(√7) / 3) + √3/2 sin (arctg(√7) / 3)),
itd.
Slično bi se dobilo za svaku kubnu jednadžbu x3 + px + q = 0, koja ima tri različita realna rješenja (odnosno za koju je D = q2 / 4 + p3 /27 < 0). Naime, za z = -q/2 + √D i, r = |z|,
= arg(z) dobili bismo da je
x1 = 3√r cos ( /3);
x2 = 3√r cos ( /3 + 120o);
x3 = 3√r cos ( /3 + 240o).
Eliminacijom kuta ( = arctg(2√D/(-q)) za q < 0, = arctg(2√D/q) za q > 0 i = 90o za q = 0) dobili bismo da je
x1 = 2 3√r cos (arctg(2√D/(-q)) / 3),
itd. Vidimo da se rješenja mogu dobiti u ovisnosti o koeficijentima p,q jednadžbe, međutim u rješenjima sudjeluju transcendentne funkcije kosinus, sinus, arkus-tangens. Pitamo se mogu li se rješenja zapisati bez takvih funkcija, a i bez kompleksnih brojeva (kad su već realna)? Na primjer, mogu li se rješenja jednadžbe x3 - 6x + 2 = 0 zapisati samo pomoću korijena iz pozitivnih brojeva? Taj slučaj kubne jednadžbe, koji je najviše mučio matematičare 16. st., a i one kasnije, nazvan je nesvodljivim slučajem kubne jednadžbe. Kako smo vidjeli, zbog njega su uvedeni kompleksni brojevi i trigonometrijski prikaz. Tek je metodama Galoisove teorije iz 19. st. dan odgovor na gore postavljeno pitanje. Evo jedne varijante odgovora:
Neka je x3 + px + q = 0; p,q kubna jednadžba za koju je D < 0, koja nema racionalnog rješenja. Tada se rješenja te jednadžbe ne mogu zapisati pomoću realnih radikala (drugih, trećih ili nekih drugih korijena iz pozitivnih racionalnih brojeva).
20