Векторы называются компланарнымикомпланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

cc

Другими словами, векторы называются компланарнымикомпланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

aacc

Любые два вектора Любые два вектора компланарны.компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.коллинеарных, также компланарны.

cc

aakk

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед.

АО

Е

D

C

Являются ли векторы ВВ1,

ОD и ОЕ компланарными?

В

B1

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед.

АО

Е

D

C

В

B1

Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор

ОС не лежит в плоскости ОАВ.

Являются ли векторы ОА,

ОВ и ОС компланарными?

BB

CC

AA11 BB11

CC11DD11

Являются ли векторы AD, А1С1 и D1B компланарными?

Векторы А1D1, A1C1 лежат в плоскости А1D1C1.

Вектор D1В не лежит в этой плоскости.

Векторы AD, А1С1 и D1B не компланарны.

AA

DD

AA BB

CC

AA11 BB11

CC11DD11

DD

Являются ли векторы AD и D1B компланарными?

Любые два вектора компланарны.Любые два вектора компланарны.

№№355355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы?

В

А

В1 С1

D1

D

С

А1

АА1, СС1, ВВ1

Три вектора, среди которых имеются Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.два коллинеарных, компланарны.

№№355355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы?

В

А

В1 С1

D1

D

С

А1

АВ, АD, АА1Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так

как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.

№№355355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы?

В

А

В1 С1

D1

D

С

А1

В1В, АС, DD1 Три вектора, среди которых имеются Три вектора, среди которых имеются

два коллинеарных, компланарны.два коллинеарных, компланарны.

№№355355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы?

В

А

В1 С1

D1

D

С

А1

АD, CC1, А1B1Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так

как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.

АD, CC1, А1B1Векторыне компланарны

Любые два вектора компланарны.Любые два вектора компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.коллинеарных, также компланарны.

Если вектор можно разложить по векторам Если вектор можно разложить по векторам

и , т.е. представить в виде и , т.е. представить в виде

где x и y – некоторые числа, то векторы , и где x и y – некоторые числа, то векторы , и

компланарны.компланарны.

cc

aa bb c = xa + ybc = xa + yb

aa bb cc

Признак компланарностиПризнак компланарности

c = xa + ybc = xa + yb

Докажем, что векторы

компланарны.

bb

О

В

В1

А1

А

С

ОВ1 = у ОВОА1 = х ОА

Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ.

Векторы ОА1 и ОВ1 также лежат плоскости ОАВ.

А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ,

равный вектору .

cc

cc

aa

Если вектор можно разложить по векторам Если вектор можно разложить по векторам

и , т.е. представить в виде и , т.е. представить в виде

где x и y – некоторые числа, то векторы , и где x и y – некоторые числа, то векторы , и

компланарны.компланарны.

cc

aa bb c = xa + ybc = xa + yb

aa bb cc

Признак компланарностиПризнак компланарностиСправедливо и обратное утверждение.

Если векторы , и компланарны, а векторы Если векторы , и компланарны, а векторы

и не коллинеарны, то вектор можнои не коллинеарны, то вектор можно

разложить по векторам иразложить по векторам и

, причем , причем

коэффициенты разложения определяются коэффициенты разложения определяются

единственным образом.единственным образом.

ccaa bb

c = xa + ybc = xa + yb

aa bb cc

aa bb

Сложение векторов.Сложение векторов. Правило треугольника.Правило треугольника.

aa

aa

bb

bba +a +bb

АВ + ВС АВ + ВС == АС АС ППООВВТТООРРИИММ

Сложение векторов. Правило параллелограмма.Сложение векторов. Правило параллелограмма.

aa

aa

bb

bba +a +bb

bba +a + АВ + АD АВ + АD == АС АС

АА

ВВ

DD

CC

ППООВВТТООРРИИММ

Сложение векторов.Сложение векторов. Правило многоугольника.Правило многоугольника.

= АO = АO АВ + ВС + СD + DO АВ + ВС + СD + DO

aa

cc

nnmm

cc

mmnn

a+c+m+na+c+m+naa

ППООВВТТООРРИИММ

AA

ВВ

СС

ВВ11DD

ЕЕ

Правило параллелепипеда. Правило параллелепипеда.

aa bb

cc

ОО

OE + EDOE + ED= (OA + AE) + ED= (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = = OA + OB + OC =

= a + b + c= a + b + c

OA + OB + OC = ODOA + OB + OC = OD

из OED∆ из OAE∆

OD =OD =

DD

ВВAA

СС

BB11

CC11DD11

№№358358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

АВ + АD + АА1

AA11

= AC1

ВВAA

СС

CC11DD11

DD

№№358358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

DА + DC + DD1

AA11

= DB1

BB11

ВВAA

СС

CC11DD11

DD

№№358358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

AA11

= DB1

BB11

A1B1 + C1B1 + BB1

DC + DD1+ DA

ВВAA

СС

CC11DD11

DD

№№358358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

AA11

= A1C

BB11

A1A + A1D1 + AB

+ A1B1A1A + A1D1

ВВAA

СС

CC11DD11

DD

№№358358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

AA11

= BD1

BB11

B1A1 + BB1 + BC

BA + BB1 + BC

Теорема о разложении вектора по трем Теорема о разложении вектора по трем некомпланарнымнекомпланарным векорам. векорам.

Любой вектор можно разложить по трем данным Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.разложения определяются единственным образом.

Разложение вектора по трем некомпланарным Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.векторам. Если вектор представлен в виде

где , и - некоторые числа, то говорят, что вектор

разложен по векторам , и . Числа , и

называются коэффициентами разложения.

p = xa + yb + zcp = xa + yb + zc

ccxx zz ppyy

bbaa xx zzyy

p = xa + yb + zcp = xa + yb + zc

Докажем, что любой вектор можно представить в виде pp

bb

cc

aa

ppC

B

P1

A

P

P2

aabb

ccpp

O

По правилу многоугольника ОР = ОР2 + Р2Р1 + Р1Р⋅ОР2 = x OA

⋅Р2Р1= у OВ

⋅Р1Р = z OC

ОР = x OA + y OB + z OC ⋅ ⋅ ⋅p = xa + yb + zcp = xa + yb + zc

bzz

yya

zz

xxс

1

1

1

1

−−−

−−−=

Если предположить, например, что , то из этого

равенства можно найти

01 ≠− zz

Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора

p = xp = x11a + ya + y11b + zb + z11ccp = xa + yb + zcp = xa + yb + zc–

o = (x – xo = (x – x11)a + (y – y)a + (y – y11)b + (z – z)b + (z – z11)c)c

Это равенство выполняется только тогда,

когда oo oo oo

Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно, и

cиba

,

.,, 111 zzyyxx === Следовательно, коэффициенты

разложения определяются единственным образом.

czbyaxp ++=

ВВAA

СС

CC11DD11

DD

№№359359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.

Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.

AA11 BB11

ВD1 = BA + BC + BB1По правилу параллелепипеда

ВВAA

СС

CC11DD11

DD

№№359359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.

Разложите вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1.

AA11 BB11

В1D1 = B1A1+ А1D1

По правилу треугольника из А1В1D1:∆

из А1В1B∆

= (В1B + BA1)+ А1D1

=

= (A1A – A1B)+ А1D1

=

=

= A1A – A1B+ А1D1

Для выяснения компланарности трех векторов необходимо, чтобы любой из этих векторов можно было разложить по двум оставшимся, т.е.

a,b,c c x·a y·b, x, y .α∈ ⇔ = + ∈r r r r r r

.R

ar

br

cr

A

B

C

D

Напомним как это выглядит геометрически:

По правилу параллелограмма: . Но , AC AB AD= +uuur uuur uuur

AC c=uuur r

AB a, AD b.uuur r uuur rP P

Значит, AB x·a , AD y·b= = ⇒uuur r uuur r

c x·a y·b, x, y .= + ∈r r r

.R

Аналитически выяснить компланарность трех векторов, заданных координатами, можно решая систему: ( )

( )( )

1 1 13 1 2

3 1 2 2 2 2

3 1 2 3 3 3

; ;

; ;

; ;

a m n km xm ym ,

n xn yn , ãäå b m n k .

k xk yk , c m n k

= + = + = +

r

r

r

Если система имеет единственное решение, то векторы компланарны.a,b,cr r r

Любой вектор пространства можно разложить по трем некомпланарным векторам, т.е. ;d x·a y·b z·c, ãäå a,b,c x, y,z .α= + + ∉ ∈

ur r r r r r r.R

где

где

Компланарность векторовКомпланарность векторов

Аналитически разложение любого вектора по трем некомпланарным векторам сводится к решению системы:

( )4 4 4; ;d m n kur

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3; ; ; ; ; ;a m n k , b m n k è c m n kr r r

4 1 2 3

4 1 2 3

4 1 2 3

m xm ym zm ,

n xn yn zn ,

k xk yk zk ,

= + + = + + = + +

А решение этой системы – числа x, y и z являются коэффициентами разложения вектора по трем векторам d

ura,b è c.r r r

Разложение вектора по трем некомпланарнымРазложение вектора по трем некомпланарнымвекторамвекторам

и

В прямоугольной системе координат в пространстве любой вектор пространства можно разложить по ортам. При этом образуется прямоугольный параллелепипед, а коэффициенты разложения – координаты данного вектора.

xy

z

A

B

C

D

A1B1

C1

D1

01

1

1ir

jr

kr

( )1 1 1 ; ;AC AD AB AA x·i y· j z·k AC x y z= + + = + + ⇒uuuur uuur uuur uuur r r r uuuur

В данном случае x=–3; y=4; z=6, т.е. координаты вектора ( )1 3;4 6AC ; .−uuuur

Сылки: