kombinacione i sekvencijalne mreze

СЛОБОМИР П УНИВЕРЗИТЕТФАКУЛТЕТ ЗА ИНФОРМАЦИОНЕ ТЕХНОЛОГИЈЕСМЈЕР ЗА ИНФОРМАЦИОНЕ СИСТЕМЕ

СЕМИНАРСКИ РАД

ТЕМА: Комбинационе и секвенијалне мрежеМЕНТОР: ...СТУДЕНТ: A.S

Добој, Јули 2012 год.

ФАКУЛТЕТ ЗА ИНФОРМАЦИОНЕ ТЕХНОЛОГИЈЕ

САДРЖАЈ

САДРЖАЈ.............................................................................................................2

1. УВОД.................................................................................................................2

2. Булова алгебра................................................................................................3

2.1. Основе........................................................................................................3

2.2. Дефиниција Булове алгебре....................................................................4

2.3. Принцип дуалности...................................................................................5

2.4. De Morganovе теорема.............................................................................5

3. Основна логичка кола.....................................................................................6

4. Изведена логичка кола....................................................................................9

5. Прекидачке функције....................................................................................11

6. Минимизација прекидачких функција..........................................................15

7. ЗАКЉУЧАК.....................................................................................................21

ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................................22

2


1. УВОД

Семинарски рад је подијељен на пет (3) дијелова:

1. Увод2. Булова алгебра – у којој ће бити објашњена посебна математичка

дисциплина која је названа алгебра логике.3. Основна логичка кола – у којима ће бити објашњени основни

принципи и основне логичке операције: I (AND), ILI (OR) или NE (NOT).

4. Изведена логичка кола – изведене логичке операције: NI (NAND), NILI (NOR), Ексклузивно ILI - XILI (XOR) или Ексклузивно NILI - XNILI (XNOR).

5. Прекидачке функције - у којима ће бити објашњено како се формирају прекидачке функције

6. Минимизација прекидачких функција - свођење прекидачких функција на редуцирану форму.

У набројаним дијеловима само дјелимично ће се ићи у техничке детаље. Више ћу се бавити прегледом ове области, његовом имплементацијом и анализом.

3


2. Булова алгебра

2.1. Основе

Булова алгебра се ослања на: постулате, правила, законе, теореме и идентитете. Булова алгебра је дио математичке логике - алгебарска структура која сажима основу операција И, ИЛИ и НЕ као и скуп теоријских операција као што су унија, пресјек и комплемент. Булова алгебра је добила назив по творцу, Џорџу Булу, енглеском математичару из 19. века. Булова алгебра је, осим као део апстрактне алгебре, изузетно утицајна као математички темељ рачунарских наука. Промјенљива у Боолеовој (прекидачкој) алгебри може имати вриједности 0 и 1. Комплемент неке промјенљиве има значење супротно од А.

2.2. Дефиниција Булове алгебре

Дефиниција Булове алгебре полази од једног непразног скупа B који има најмање два елемента и на коме се уводе једна унарна (НЕ) операција и двије бинарне (И и ИЛИ) операције, а за које важи извјестан број аксиома.

Дефиниција 1.Непразан скуп B на коме су дефинисане двије бинарне операције "V"

(збир, дисјункција, или) и "Λ" (производ, коњункција, и) је Булова алгебра ако важе сљедеће аксиоме:

А1. Комутативност: За било која два елемента a,b ∈ B важи:(а) a V b = b V a,(b) a Λ b = b Λ a;

А2. Асоцијативност: За било која три елемента a,b,c ∈ B важи:(а) (a V b) V c = a V (b V c),(b) (a Λ b) Λ c = a Λ (b Λ c);

А3. Дистрибутивност: За било која три елемента a,b,c ∈ B важи:(а) a V (b Λ c) = (a V b) Λ (a V c),(b) a Λ (b V c) = (a Λ b) V (a Λ c);

А4. Постојање неутралних елемената: У скупу B постоје два елемента 0 и 1 (0 <> 1) таква да за свако a ∈ B важи:

(а) a V 0 = a,(b) a Λ 1 = a;

А5. Егзистенција комплемента: За сваки елемент a ∈ B постоји елемент ⌐a (комплемент) тако да је:

(а) a V ⌐a = 1,(b) a Λ ⌐a = 0;

4


Дефиниција 2.

Непразан скуп B на коме су дефинисане двие бинарне операције "V" (збир, дисјункција, или), "Λ" (производ, коњункција, и) и једна унарна операција "⌐" (негација, комплемент, не) је Булова алгебра ако важе сљедеће аксиоме:

А1. Комутативност: За било која два елемента a,b ∈ B важи:(а) a V b = b V a,(b) a Λ b = b Λ a;

А2. Асоцијативност: За било која три елемента a,b,c ∈ B важи:(а) (a V b) V c = a V (b V c),(b) (a Λ b) Λ c = a Λ (b Λ c);

А3. Дистрибутивност: За било која три елемента a,b,c ∈ B важи:(а) a V (b Λ c) = (a V b) Λ (a V c),(b) a Λ (b V c) = (a Λ b) V (a Λ c);

А4. Апсортивност: За било која два елемента a,b ∈ B важи:(а) a Λ (а V b) = a,(b) a V (а Λ b) = a;

А5. За било која два елемента a,b ∈ B важи:(а) (a Λ ⌐a) V b = b,(b) (a V ⌐a) Λ b = b;

2.3. Принцип дуалности

Свака аксиома састоји се из два дијела (а) и (b). Уочљиво је да се дио (b) може добити ако операције V и Λ замене места и ако елементи 0 и 1 замјене места. Стога, ако имамо неку теорему у Буловој алгебри, и ако смо извели њен доказ, тада замјеном операција V и Λ и елемената 0 и 1 долазимо до нове, тзв. дуалне, теореме чији се доказ добија из доказа полазне теореме замјеном операција V и Λ и елемената 0 и 1. Отуда произилази сљедећи принцип. Ако је нека једнакост теорема Булове алгебре, тада замјеном операција V и Λ и елемената 0 и 1 у тој релацији долазимо до тачне једнакости. Та једнакост назива се дуална теорема дате теореме. Може се десити да овим поступком дођемо до полазне теореме, тј. да се наведеним промјенама полазна теорема не мијења. За такву теорему кажемо да је самодуална.

2.4. De Morдanovе теорема

5


На бази Боолеове алгебре, Де Морган је формулисао двије важне теореме, које, у генерализацији Shanona (Шенона), имају јединствен исказ. За добијање комплемента неке Боолеове функције треба све промјенљиве замијенити њиховим комплементима па затим операције "ИЛИ" замијенити са "И", а операције "И" са "ИЛИ“.

и

A B0 0 11 0 00 1 01 1 0

A B0 0 11 0 00 1 01 1 0

3. Основна логичка кола

За изражавање независно промјенљивих величина у Буловој алгебри користе се углавном велика слова абецеде. Пошто ове промјенљиве могу да имају само двије вриједности, то се оне обележавају цифрама бинарног бројног система, који такође има само двије цифарске вриједности 0 и 1. У Буловој алгебри уобичајено је да се каже "логичка вриједност нуле" L(0) и "логичка вриједност јединице" L(1).

Булове функције се дефинишу помоћу три основне операције: сабирања, множења и комплементирања. Операције сабирања и множења обиљежавају се истим симболима као и у класичној алгебри. Операција комплементирања, нема посебан симбол, већ се комплементарна вриједност обиљежава обично цртицом изнад симбола промјенљиве. Тако се, на примјер, за А=1 и B=0 може писати да је , што се изговара >>A је једнако комплементу B<<. Исто тако кој е А=1 може се писати и да је .

Булове операције сабирања и множења подсјећају на одговарајуће операције у класичној алгебри, интерпретација ових операција је сасвим другачија. То потиче отуда што се Буловој промјенљивој величини може приписати само једна од двије могуће вриједности, односно што вриједност промјенљиве треба посматрати као једно одређено стање посматраног објекта. Тако, на примјер, логички збир А+B не интерпретра се као >>A плус B<<. већ као >>A или B<<.. Видимо, дакле, да се знак >>+<< у логичком

6


сабирању изговара као >>ili<<, те се стога логичко сабирање означава као ILI операција. Суштинско значење оваквог сабирања показано је на слици 1. а.

Слика 1.а) логичка ILI операција, б) и ц) логичка I операција

Сијалица S у датом колу ће бити упаљена када се затвори један од прекидача А или B, или оба прекидача. Према томе, ако се за упаљено стање сијалице усвоји Булова вриједност 1, онда значење збира А+B=1 је довољно јасно илустровано.

Интерпретација логичког множења такође је другачија од класичне алгебарске операције. Тако се, на примјер, логички производ А*B не изражава као >>A пута B<< већ као >>A и B<<. Видимо, дакле, да се знак >>*<< овдје изговара као >>i<<, па се због тога логичко множење назива још I операција. Значење овакве операције илустровано је помоћу кола на слици1.б. У овом случају сијалица S ће бити упаљена само када су затворени прекидачи A и B. Стога се овакво стање у колу и изражава логичким производом A * B =1.

Операција комплементирања представља у ствари негацију вриједности или стања израженог датом промјенљивом. Због тога се комплементирање назива и NE операција. Тако се, на примјер, за логичку функцију каже >>А и комплемент B<< или >>А и не B<<

7


Слика 2.Ознаке логичких кола

Многи проблеми савремене електронике рјешавају се помоћу често врло сложених прекидачких мрежа. Логичка кола су склопови који су у могућности извршавати основне логичке операције: I (AND), ILI (OR) или NE (NOT).

НЕ кола често имају само један улаз и излаз. Често се називају инвертори и дају излаз чији је логички ниво увијек супротан од улазног логичког нивоа. Задатак НЕ кола је да извши негацију улазног сигнала. Ако

се на улаз А доведе напон логичке јединице (+5V), на излазу Q се добија напон логичке нуле (OV). Обрнуто, ако се на улаз доведе напон логичке нуле, на излазу се добија напон логичке јединице. Табела

истинитости за НЕ коло је дата у табели истинитости основних операција Булове алгебре.

Слика 3. Инвертовањеа) НЕ коло, б) функционална табела,

ц) НЕ коло се представља кружићем у саставу других кола

8


4. Изведена логичка кола

Елементарна логичка кола (ИЛИ, И и НЕ) су сасвим довољна за физичку интерпретацију било каквих функција у прекидачкој алгебри, па с тога ова кола припадају једном базису. Под базисом се подразумијева скуп логичких кола са којима се могу да реализују све прекидачке функције.

При пројектовању прекидачких мрежа обично се намеће и захтјев, да оне буду и изведене коришћењем базиса који садржи што мањи скуп основних логичких кола. Тако, на примјер, постоји и базис који чини само једно логичко коло, као што је НИ или НИЛИ а прекидачке мреже, реализоване коришћењем таквог базиса, називају се хомогене. Поменута НИ и НИЛИ кола остварују се помоћу елементарних логичких кола.

Везивањем инвертора на излаз елементарног ИЛИ кола добија се НИЛИ коло, слика 4. Ово коло садржи логичку ИЛИ-НЕ операцију, па се Булова функција кола изражава комплементом функције елементарног ИЛИ кола:

Слика 4. Логичка НИЛИ и НИ операцијаа) НИЛИ коло, б) функционална табела НИЛИ кола,

ц) НИ коло, д) функционална табела НИ кола

Ова функција показује да у случају постојања сигнала на било ком улазу кола, успостављено стање на излазу неће одговарати логичкој јединици већ нули.Комбинацијска табела НИЛИ кола указује да логичка јединица на излазу кола условљава коинцидентно присуство логичких нула на свим улазима. Ова чињеница је потпуно супротна оној, која је константована код елементарног И кола.

9


Додавањем инвертора на излаз елементарног И кола добија се НИ коло. Логика овог кола базира се на И-НЕ операцији. Због тога се она изражава комплементом фунцкије елементарног И кола:

Комбинацијска табела показује да ово коло има вриједност логичке јединице у свим случајевима, изузев када побудни сигнал дјелују истовремено на свим улазима кола.Логика елементарног ИЛИ кола, као што смо раније видјели, обезбјеђује стање логичке јединице на излазу при постојању сигнала на било ком улазу или на више улаза истовремено. Логика, искључивог, односно ексклузивног ИЛИ кола – EX-ILI – условљава формарање стања логичке јединице на излазу при постојању побудног сигнала искључиво на једном од постојећа два улаза. Оваква логика кола на улазима А и Б, слика 5, може се изразити функцијом.

Симбол + означава логичку операцију искључиво >>ИЛИ<<, те се горња функција изговара искључиво А или Б. Видимо да функција садржи све елементарне логичке операције И, ИЛИ и НЕ. Напоменимо, да се примјеном неких ставова прекидачке алгебре горња функција може да сведе и на другачије облике. То значи да се логика EX-ILI кола може да оствари и другим комбинацијама елементарних логичких кола.

Слика 5.Операција искључиво ИЛИ, операција искључиво НИЛИа) коло EX-ILI (ексклузивно ИЛИ), б) функционална табела EX-ILI кола,

ц) EX-NILI коло, д) функционална табела EX-NILI кола

Стање логичке јединице на излазу елементарног И кола обезбјеђено је коинцидентним дјеловањем сигнала на свим улазима. Логичка опеација укључиво И, међутим, условљава формирање стања логичке јединице на излазу, не само при коинцидентном постојању, већ и при коинцидентном непостојању сигнала на свим улазима кола. Излаз код овог кола постоји, ако истовремено постоје сви улази, или ако истовремено не постоји ни

10


један улаз. Укључиво, осносно инклузивно И коло, познато још и као коинцидентно коло, представљено је на слици 5. Логичка функција овог кола показује једнакост два улаза и пише се у облику:

Симбол • означава операцију укључиво И, па се дата функција изговара укључиво А и Б. И ова функција садржи све елементарне логичке операције. Напоменимо и овдје да логика укључивог И кола може бити реализована и другчијом комбинацијом елементарних логичких кола.

Упоређујући функционалне, односно комбинацијске табеле искључивог ИЛИ и укључивог И кола на слици 5 уочава се да су логичке функције ових коа комплементарне. Због тога се операција укључиво И радије изводи са логичким EX-ILI колом уз додатну негацију. На тај начин остварује се искључива НИЛИ операција, која се реализује са логичким EX-NILI колом. Отуда се и логички израз, дат за ову функцију у претходној једначини може да пише у облику:

5. Прекидачке функције

Основни елементи прекидачких функција могу да буду чланови логичког производа и чланови логичког збира. Чланове логичког производа чини скуп промјенљивих које су спојене знаком логичког множења. Према томе, ови се чланови могу да реализују помоћу логичког И кола. Како се излаз овог кола налази у стању логичке јединице само у једном једином случају - када су сви улази такође на нивоу јединице, онда се чланови логичког производа и дефинишу само за такав случај, тј. за вриједност 1. Такоо, ако се ради о промјенљивим А, Б и Ц, чланови логичког производа могу да буду , AB, итд. само под условом да сваки од ових симбола има вриједност логичке јединице. Запазимо да се у првом члану производа појављују све промјенљиве, а у посљедњем само једна. Ако се у члану појављују све промјенљиве било у правом или комплементарном облику и то само једанпут, онда се такав члан назива потпун, савршен или стандардан. У противном, ради се о непотпуном члану. Уколико члан садржи само једну од промјенљивих, он се назива дегенерисан. Према

11


томе, у горњем примјеру је потпун члан производа и су непотпуни, а уз то је и дегенерисан члан.

Прекидачке функције са логичким збировима могу да имају исте форме. Имајући у виду да су промјенљиве у логичким збировима повезане знаком логичког сабирања, то се они могу да реализују помоћу логичког ИЛИ кола. Пошто се ово коло налази у стању нуле само у једном случају - када су сви улази такође на нивоу нуле, онда се логички збирови или суме и дефинишу за такав случај, тј. за логичку нулу. Тако, ако се опет ради са промјенљивим А, Б и Ц, логички збирови могу да буду ( ), ( ), А, итд. само под условом да сваки од ових симбола има вриједност логичке нуле.

Сложене прекидачке функције могу да буду састављене од збира чланова производа или од производа чланова збира. У првом случају каже се да да функција има дисјунктивну нормалну форму DNF, или једноставно да је дата у облику суме производа SOP (sum of products). Таква функција је, на примјер:

f(A,B,C) = У другом случају, када функција садржи логички производ чланова

збира, каже се да је дата у конјуктивној форми KNF, или једноставно да је дата у облику производа сума POS (product of sums). Примјер такве функције је:

f(A,B,C) = ( ) ( ) ( )Према томе, прекидачке функције су дате у нормалној форми ако

садрже искључиво збир чланова производа или, пак, производ чланова збира. Разумљиво је да и ове нормалне форме могу да буду потпуне - савршене, или не, зависно од тога да ли су сви чланови у сложеној функцији потпуни или има и непотпуних. За функције које садрже само птпуне чланове каже се још да су дате у каноничном, односно стандардном облику, а ако ти није случај, функције су дате у елементарном облику.

Поред нормалних форми, прекидачке функције могу да имају и друге - произвољне облике. Такве су, рецимо, функције, које садрже истовремено и чланове збира и чланове производа, као на примјер:

f(A,B,C) = (A + B) CD + + A ( + D)

Очигледно је да је овакав облик функције могао да се добије из дисјунктивне форме извлачењем заједничких промјенљивих из више чланова производа. Како се такав поступак назива факторизовање, то се за горњу функцију каже да је дата у факторизованој форми. Да ли ће коначни облик функције бити у некој нормалној или факторизованој форми зависиће у првом реду од услова реализације мреже коју та функција описује.

Скуп различитих потпуних чланова које прекидачка функција у нормалној форми може да садржи зависи од броја промјенљивих, наиме:

NP = NS = 2N

гдје су: NP - број логичких производа

12


NS - број логичких сума2n - број промјенљивих

Обично се чланови ових скупова означавају индексом, који се добија као бројна вриједност трансформисаног Буловог израза у одговарајући бинарни слог. То значи да промјенљиве у члану збира или производа треба замијенити јединицом, а њихове комплементе нулом и на тако добијени бинарни слог примјенити формулу:

i =

гдје су: i - бројна вриједност индексаj - позиција бинарних цифара c иn - број бинарних цифара

Тако, на примјер, логички производ постаје бинарни слог 011, који одређује бројну вриједност индекса:

i = 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 = 3.

Према томе, умјесто горњег члана производа може се писати само P3. У литератури се потпуни члан производа зове још и минтерм, а суме макстерм, па се умјесто Pi и Si користе симболи mi и Mi респективно. Ови називи настали су у вези са приказивањем функција једном графичком методом по којој логички производи заузимају минималну а логичке суме - максималну површину.

У табели 1. дате су све вриједности прекидачке функције са три промјенљиве A, B и C и исписани су одговарајући чланови логичких производа Pi и логичких сума Si. Треба уочити да су чланови логичких производа и сума везаних релацијом:

Si = Pi

што је и разумљиво када се има у виду да су ти чланови дефинисани за комплементне вриједности.

13


Табела 1. Логички производи и суме за три промјенљиве

Формирање прекидачких функција најчешће се врши помоћу табеле у коју се уносе све могуће комбинације вриједности промјенљивих величина, као и одговарајуће вриједности тражене функције. Као примјер узмимо да одредимо функцију f(A,B). за вриједности дате у табели 2. које описује EX-ILI функцију

Табела 2. Одређивање функције f(A,B)

Тражена функција може да се одреди у дисјунктивној или у коњуктивној нормалној форми. У првом случају ради се о исписивању логичке суме потпуних логичких производа вриједности 1, наиме:

f(A,B) = P1 + P2 = (1)

14


У другом случају треба исписати логичку производ потпуних логичких сума вриједности 0, тј.:

f(A,B) = S0*S3 = (A + B) ( ) (2)

Оба облика нађене функције су математички равноправна, а који ће се коначно задржати, зависиће од евентуалних услова за њену реализацију која је показана на слици 6. Први облик функције се ипак више користи па се диверзија конјуктивне у дисјунктивну форму може извести множењем одговарајућих чланова сума.

Слика 6. Реализација мреже са табеле 2.а) према једначини 1,б) према једначини 2

6. Минимизација прекидачких функција

Већ смо раније говорили да се једна те иста прекидачка функција може да изрази на различите начине. Већ на више места је указано да се једна те иста прекидачка функција може да изрази на различите начине. Ова могућност је веома значајна са гледишта синтезе мрежа. У вези с тим поставља се коначно проблем одредивања критеријума за најповољнији облик функције за практичну реализацију. Раније, у време изградње мрежа у дискретној техници, овај разлог је наметао сасвим оправдан критеријум, да се мрежа изведе са што мањим бројем дискретних компонената. Појавом интегрисаних компонената на нивоу логичких кола, овај критеријум се модификује тако, да захтјева реализацију мреже са што мањим бројем логичких кола, уз додатни услов да та кола буду и са што мањим бројем улаза. Међутим, филозофија пројектовања мрежа и даље се мијења са развојем интегрисаних компонената средње и високе интеграције. Очигледно је да у оваквим могућностима битну улогу у реализацији прекидачких мрежа треба да има број чипова. Како је асортиман чипова веома разноврстан, а уз то и недовољно стандардизован, то би било врло тешко дефинисати критеријуме најприхватљивијег рјешења мреже за

15


овакве компоненте. Због тога ћемо за сада као најоптималнији критеријум усвојити онај, који се заснива на најмањем броју логичких кола и најмањем укупном броју улаза тих кола. У вези с тим поставља се задатак да се дата прекидачка функција доведе баш на такав облик, који ће пресликавањем у одговарајућу логичку шему задовољити оба горња критеријума минималности. Таква функција назива се минималном, јер има најмањи збир броја чланова и броја словних симбола у недегенерисаним члановима. Сам процес упрошћавања функција назива се минимизација, за коју се, иначе, користе разноврсне алгебарске, табличне и графичке методе (5, 9, 11).

Алгебарска метода минимизације састоји се у томе, да се дати облик функције сведе на простији примјеном познатих ставова прекидачке алгебре.

Суштина минимизације већине прекидачких функција своди се на изналажење најмањег скупа логичких чланова. Овај посао се може преглед није да обави исписивањем разних таблица, односно применом одговарајућих табличних метода(12,13). Овакав поступак минимизације је понекад доста замршен и дуготрајан (1), па је често погодан само за машински рад.

Графички метод минимизације функција користи поступак сажимања два члана логичких производа, који се разликују по вредности само једне

променљиве, једначинa AB + A = A. Због тога се дата функција графички

представља тако да се њени потпуни логички производи уписују у тачно одређене картице на одговарајућој мапи(14).

Да би се лако уочили логички производи, који се могу сажимати Карно (Karnaugh) је направио такав распоред картица на мапама, (слика 7). да се производи у сусједним картицама разликују по вриједности само једне промјенљиве(15). На тај начин се веома лако изналазе чланови функције који могу да буду замјењени једним чланом.

Очигледно је да су сусједна поља она која имају заједничку страницу, али исто тако и она, код којих би се остварила заједничка страница када би се саставиле наспрамне стране таблице, на примјер поља P3 и P11 на слици 7 ц.

16


Слика 7. Карноове таблицеа) за двије, б) за три, ц) за четири промјенљиве

Начин коришћења Карноових таблица показаћемо на неким примјерима. Нека је функција дата сумом производа:

f = CBA + (3)

Како горња функција има четири промјенљиве, логички производи нису потпуни, те се стога не могу директно да уносе у Карноову таблицу. Ради тога се функција проширује тако, да се добију потпуни производи, наиме:

Овако добијени потпуни производи унијети су у Карноову таблицу на слици 8. тако, да су одговарајућа поља у таблици обиљежена са 1. У преостала поља могле би да се упишу нуле, али то није потребно. Изналажење минимизоране функције врши се на сљедећи начин. Прво се уоче сусједна поља са јединицама. То су P8 и P9 а исто тако P6 , P7, P14 и P15. Што је већи број сусједних поља то је и могућа минимизација функције

17


већа. У вези с тим дефинише се и ред заједничких површина у таблици: два сусједна поља чине заједничку површину првог реда (21), четири сусједна поља чине површину другог реда (22), осам сусједних поља одређују површину трећег реда (23) итд.

Слика 8. Карноова таблица за функцију 3

Важи правило да ће број промјенљивих у функцији, која одговара заједничкој површини, бити смањена за вриједност реда површине. Према томе, заједничка површина P8,9 je првог реда, те ће одговарајућа заједничка функција бити изражена са три умјесто са четири промјенљиве, наиме:

P8,9 = + = =

Друга заједничка површина P6,7,14,15 је површина другог реда што занчи да ће одговарајућа функција бити изражена само са двије промјенљиве:

P6,7,14,15 = + + + DCBA = CB

Коначна вриједност минимизиране функције налази се једноставније тако што се просто за сваку заједничку површину исписују само промјенљиве, које имају исте вриједности у свим картицама у оквиру те површине. Стога се редовно заједничке површине уоквирују, да би се лакше извршило очитавање одговарајућих чланова функције из таблица. З функцију дату на слици 8. једноставно се очитавају идентичне величине у

картицама заједничких површина и то за P8 и P9 односно CB за P6, P7,

P14 и P15. Према томе, коначни облик минимизиране функције је:

f = + CB (4)

18


Нека је сљедећа функција дата у дисјунктивној нормалној форми, чији логички производи вриједности један имају индексе(16) :

f(1) = {2, 4, 6, 10} (5)

Према томе, зна се да чланови са индексима:

f(b) = {0, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15} (6)

не могу да се појаве на улазима мреже, што практично значи да не постоје. Због тога се, ако је то могуће, може да претпостави да је вриједност ових чланова производа "било шта", у овом случају 0 или 1. те су отуда и означени симболом "b". Како могућност минимизације може да буде ефикаснија, ако функција садржи већи број чланова, то нема никаквих сметњи да се претпостави, да и логички производи f(b) имају вриједност 1. Захваљујући томе и чланови f(b) укључују се у поступак минимизације заједно са члановима f(1).

У К мапу на слици 9. унијети су сви унапријед наведени производи са вриједностима f(1) и f(b). Заједничка површина коју чине поља P2,3,6,7,10,11,14,15

je трећег реда и смаљује број промјенљивих у заједничкој функцији за три. Према томе, редуковани заједнички члан биће C.

Слика 8. Карноова таблица за функције 5 и 6

Из скупа поља P0,2,4,6 налази се и други редуковани члан . Како су

тиме покривени сви чланови са јединицама у таблици то је:

f(A,B,C,D) = C +

Meђутим, из таблице се види да се јединица у пољу P4 може да покрије и заједничком површином P4,6,12,14. у ком се случају за други

19


редуковани члан добија . То показује да постоји и друга минимална

форма функције, наиме f(A,B,C,D) = C+

Има много примјера коришћења Карноове мреже картица. Те изведене функције могу имати предности у реализацији јер захтијевају мањи број логичких компонената са мањим бројем улаза. Укратко, можемо рећи да под минимизацијом прекидачких функција подразумијевамо специјални поступак добијања оптималне реализације прекидачке везе.

20


7. ЗАКЉУЧАК

Алгебра се дефинише скупом исказа који се прихватају као чињенице. Ове исказе називамо аксиомима или постулатима алгебре. Један од основних циљева је да се изврши редукција броја потребних постулата којим се дефинише алгебра на минималан конзистентан скуп.

Прекидачке функције имају коначну област дефинисаности и могу се представљати таблицама које се називају комбинационе таблице или таблице истинитости. Прекидачка функција се може представити и скуповима индекса који одговарају векторима на којима функција има вредност 1, на којима функција има вредност 0 и на којима вредност функције није дефинисана и који се означавају са ф(1), ф(0) и ф(б), респективно.

Потпуно дефинисана прекидачка функција се задаје скуповима f(1) и f(0), док се непотпуно дефинисана прекидачка функција задаје скуповима f(1), f(0) и f(б).

Можемо закључити да се процес поједностављења односи на одређивање скупа "најмањих" импликаната дате функције. Конкретније, дефинисаћемо прости импликант (приме имплицант) као импликант функције који не имплицира на било који други импликант функције.

Процес минимизације се састоји у груписању јединица у оквиру мапе у веће цјелине. При томе се настоји да ове цјелине буду што веће, али оне не смију да садрже поља која немају 1. Може се груписати: 1 поље самостално, 2 поља, 4 поља, 8 поља или 16 поља. Када се у једној мапи прави више група, настоји се да те групе буду што веће, макар и по цијену заједничког поља у групама.

21


ЛИТЕРАТУРА

[1] Основи електронике, Др. Спасоје Тешић, Драган М. Васиљевић[2] Електроника, импулсна и дигитална кола, Др. Спасоје Тешић

Линкови:

http://sr.wikipedia.org/sr/Булова_алгебра

http://www.slideshare.net/elvirah/bulova-algebra

http :// dl . fit . ba / nastava / ars / poglavlje _5/5.2.4/ index . html

http :// www . scribd . com / doc /64567208/ Minimizacija - prekidackih - funkcija

22

http://en.wikipedia.org/wiki/Counter

http://www.otpornik.com/uvoduelektroniku/uvoduelektroniku.php

http://www.fpz.hr/~goldh/ES/DE/osnove1.htm

kombinacione i sekvencijalne mreze

Documents