kola prvog reda

4. Класичан поступак у анализи прелазних процеса 105

4. Класичан поступак у анализи прелазних процеса

4.1 Увод

С обзиром на то да се информације у/из електричних кола преносе временским сигналима, то је при анализи кола у временском домену неопходно прво сагледати најосновније облике истих. При анализи кола се сматра да сви сигнали зависе од времена у целом интервалу

t−∞ < < ∞ .

4.2 Функције побуде

Овде ћемо навести три веома корисне функције помоћу којих се може дефинисати читав скуп других сигнала, а то су Хевисајдова, Диракова и рамп функција. Када се ове функције помноже функцијом једносмерног извора добија се Хевисајдов, Дираков и рамп генератор.

a) Хевисајдова или јединична одскочна функција, ( )h t , карактерише тренутне промене у колу, може да се користи за селектовање делова других функција, као и за дефинисање рамп и импулсне функције као свог интеграла, односно извода. Хеависајдова функција има дисконти-нуитет у тренутку 0=t . Често се користи за моделовање прекидача у колу јер се уз помоћ Хевисајдове функције која се дефинише на следећи начин,

( )⎩⎨⎧

≥<

=0,10,0

tt

th , (4.1)

описује побуда (напон или струја) која се од вредности нула за бесконачно кратко време мења на вредност у стационарном стању. Хевисајдова функција је илустрована на слици 4.1а.


а.

б.

Слика 4.1. Хевисајдова и померена Хевисајдова функција

Дефинише се и померена Хевисајдова функција, која почиње да делује после неког времена T , на следећи начин

( )⎩⎨⎧

≥<

=−TtTt

Tth,1,0

(4.2)

и приказана је на слици 4.1б.

Одзив кола на Хевисајдову функцију назива се индициони одзив кола или индициона функција. То је временска функција која помножена са константном електромоторном силом даје одзив кола на константну побуду.

б) Диракова, делта или импулсна функција се дефинише на следећи начин

( )⎩⎨⎧

=∞≠

=δ0,0,0

tt

t . (4.3)

Она се користи за моделовање појава при којима се у веома кратком временском интервалу преко бесконачне величине преноси коначна енергија. Дираков импулс је графички приказан на слици 4.2а.

а.

б.

Слика 4.2. Диракова функција


Диракова функција има особину да јој је површина константна и износи један,

( )⎩⎨⎧

=≠

=ττδ∫∞

∞−0,10,0

dtt

. (4.4)

Дефинише се и померена Диракова функција која почиње да делује после неког времена T као

( )⎩⎨⎧

=∞≠

=−δTtTt

Tt,,0 .

Њен график приказан је на слици 4.2б.

Одзив кола на Диракову функцију назива се импулсни одзив кола или Гринова функција.

Хевисајдова и Диракова функција су повезане следећим релацијама,

( ) ( )ttht

dd

=δ док је ( ) ( ) ττδ= ∫t

th0

d . (4.5)

ц) Интеграл Хевисајдове функције је успонска или рамп функција,

( ) ( ) ( )tthhtrt

=ττ= ∫0

d , (4.6)

и може се записати и на следећи начин

( )⎩⎨⎧

≥<

=0,0,0

ttt

tr , (4.7)

а њен график је приказан на cлици 4.3а.

Важи и обрнуто, Хевисајдова функција је извод рамп функције,

( ) ( )ttrth

dd

= . (4.8)


а.

б.

Слика 4.3. Рамп функција

Померена рамп функција приказана је на слици 4.3б. и може се записати на следећи начин

( )⎩⎨⎧

≥<

=−0,0,0

TtT

Ttr ,

односно,

( ) ( ) ( )TthTtTtr −−=− . (4.9)

4.2.1 Кондензатор са почетном енергијом

Функције побуде су веома корисне за представљање почетне енергије на реактивним елементима у облику независних струјних и напонских извора.

Кондензатор на коме се у тренутку 0=t налази почетни напон 0)0( Uu = приказан је на слици 4.4а. Напон на кондензатору се одређује

из релације

∫∞−

ττ=t

iC

tu d)(1

)( (4.10)

па када се овај интеграл растави на два дела добијају се две компоненте напона,

∫∫∫ ττ+=ττ+ττ=∞−

tt

iC

tUiC

iC

tu0

0

0

0

d)(1

)h(d)(1

d)(1

)( , (4.11)


што одговара редној вези напонског извора напона ( )tU h0 и кондензатора без почетне енергије, као на слици 4.4б.

Када се из претходне једначине (4.11) изрази струја )(ti добија се једначина

ttuCtCU

ttuC

ttCUti

d)(d)(

d)(d

d)h(d)( 00 +−=+−= δ , (4.12)

која одговара паралелној вези кондензатора без почетне енергије и струјног извора вредности ( )tUC δ0 , као на слици 4.4ц.

а.

б.

ц.

Слика 4.4. Кондензатор са почетном енергијом

Прелазак из једног у други облик извора може се и једноставније спровести. Имајући у виду да се кондензатор са почетним напоном може приказату у облику реалног напонског генератора, Тевененовог генератора, слика 4.4б, он се лако може превести у реални струјни генератор, Нортонов генератор. Пошто се улазни крајеви кола на слици 4.4б. крако споје у колу тече струја

[ ] [ ])(

d)h(d

d)h(d

)( 000 tCU

tt

CUt

tUCtiks δ−=−=

−= , (4.13)

која одговара вредности струје Нортоновог генератора, слика 4.4ц.

4.2.2 Калем са почетном енергијом

Калем на коме се у тренутку 0=t налази почетна струја 0)0( Ii = при-казан је на слици 4.53а. Веза између струје кроз калем и напона на његовим крајевима се може написати у облику


∫∞−

ττ=tu

Lti d)(1)( , (4.14)

па је

∫∫∫ ττ+=ττ+ττ=∞−

ttu

LtIu

Lu

Lti

00

0

0d)(1)h(d)(1d)(1)( (4.15)

што одговара паралелној вези струјног извора вредности ( )tI h0 и калема без почетне струје, као на слици 4.5б.

а. б. ц.

Слика 4.5. Калем са почетном енергијом

Решавањем претходне једначине по )(tu , добија се једначина

ttiLtLI

ttiL

ttLItu

d)(d)(

d)(d

d)h(d)( 00 +−=+−= δ (4.16)

која одговара редној вези напонског извора вредности ( )tIL δ0 и кале-ма без почетне струје, као на слици 4.5ц.

Као и у случају кондензатора, овде се вредност напона напонског извора може једноставније одредити трансфигурацијом реалног струјног извора, Слика 4.5б. у реални напонски извор, слика 4.5ц. Наиме, напон празног хода на приступним крајевима кола на слици 4.5б има вредност

[ ] [ ])δ(

d)h(d

d)h(d

)( 000

ph tLItt

LIt

tILtu −=−=

−= (4.17)

што одговара напону Тевененовог генератора, слика 4.5ц.


4.3 Анализа кола у прелазном режиму

Да би се извршила комплетна анализа електричног кола, независно од облика побуде, мора се осим стационарног режима анализирати и онај који му претходи, а то је такозвани прелазни режим. Прелаз са једног на други радни режим електричног кола, дешава се при комутацији када долази до промене параметара кола или облика самог кола. Теоријски прелазни процес би требало да траје бесконачно дуго времена а практично се узима онај интервал времена у коме све величине у колу приближно достигну своје вредности у стационарном режиму.

У тренуцима непосредно пре и после комутације струја кроз калем мора имати исту вредност, што важи и за напон на крајевима кондензатора. Такође, укупна количина електрицитета у кондензатору, као и флукс електромагнетног поља у калему, морају у току комутације одржати ону вредност коју су имали непосредно пре ње. Уколико сматрамо да се комутација врши у тренутку 0t = , тренутке непосредно пре и после ње можемо означити са 0t −= и 0t += , респективно. Сада законе комутације можемо записати у облику:

(0 ) (0 ) (0)L L Li i i− += = , (4.18)

(0 ) (0 ) (0)C C Cu u u− += = , (4.19)

(0 ) (0 ) (0)C C Cq q q− += = , (4.20)

(0 ) (0 ) (0)L L L− +φ =φ =φ . (4.21)

Када су испуњени услови описани изразима (4.18-4.19) говори се о регуларној комутацији. У случајевима када важе услови дати изразима (4.20) и (4.21), говори се о нерегуларној комутацији. Ми ћемо разматрати кола са регуларном комутацијом.

У општем случају, електрично коло може садржати већи број елемената кола (отпорника, калемова и кондензатора), а његов радни режим се описује системом линеарних диференцијалних једначина к-тог реда. Да би се одредио одзив кола на одређену побуду, треба решити одговарајући систем једначина неком од стандардних метода. Уобичајена је примена методе елиминације којом се систем к-тог реда


своди на само једну линерану диференцијалну једначину к-тог реда по једној од непознатих величина. Ред кола, као и система једначина који га описује, зависи од броја калемова и кондензатора у колу. При даљој анализи биће разматрана само кола првог и другог реда.

4.3.1 Прелазни режим у колима првог реда

Карактеристика свих кола првог реда је та да садрже један динамички елемент (кондезатор или калем), произвољан број отпорника и независне изворе, при чему се под отпорник у ширем смислу подразумевају операциони појачавачи, контролисани извори, жиратори, идеални трансформатори, итд. Основна особина динамичких елемената је та да имају способност чувања енергије као и враћања енергије спољашњем колу али не веће од оне коју су примили.

Уколико у колу постоји више од једног динамичког елемента (калема или кондензатора), они морају бити везани тако да их је могуће представити једним еквивалентним елементом. У складу са тим, свако коло првог реда може се са крајева динамичког елемента замени еквивалентним Тевененовим генератором и свести на једану од четири могуће комбинације елемената које су приказане на слици 4.6.

а. L

ui

LR

ti TT =+

dd

б. L

ui

LR

ti TT =+

dd

ц. CR

uCR

utu

T

T

T=+

dd

д. Ci

CRu

tu N

T=+

dd

Слика 4.6. Четири могућа кола првог реда.


При укључењу генератора као и при ослобађању ускладиштене енер-гије у колу се јављају струје и напони за чије се одређивање може применити више различитих метода као што су: класичан метод, метод примене Лапласове трансформације, помоћу Дијамеловог и Фредхолмпвог интеграла и други.

Да би решавали коло применом класичног поступка врло је важно знати како се поједини елементи понашају у колу у тренутку непо-среднопосле комутације као и у устаљеном режиму. У табели 4.1 представљено је понашање појединих елемената у колима са једно-смерном побудом.

Табела 4.1. Понашање појединих елемената у колима са једносмерном побудом (кс- кратак спој, ок-отворено коло).

У општем случају, математички модел електричног кола које садржи само један реактивни (динамички) елеменат, у временском домену може се описати диференцијалном једначином облика:


)()(

d)(d tftxa

ttx

=+

(4.22)

која одговара колу првог реда. Са )(tx означена је непозната величина коју треба одредити, а то је одзив кола. )(tf је члан у коме се појав-љује побуда и он може бити једнак и нули.

Општи принцип решавања диференцијалних једначина које описују коло у прелазном режиму, је да се одзив тражи као збир две компонен-те у облику

)()()( txtxtx sp += , (4.23)

Компонента )(txp представља партикулатно решење нехомогене диференцијалне једначине, зависи од облика улазног сигнала, и назива се принудни или форсирани одзив. Она је решење једначине

Atxa

ttx

pp =+ )(

d)(d

(4.24)

Компонента )(txs је решење хомогеног дела диференцијане једначине,

0)(

d)(d

=+ txattx

ss , (4.25)

назива се сопствени или природни одзив и зависи само од конфигурације кола. Сопствена компонента озива у колима првог реда увек је истог облика а принудна компонента зависи од облика побуде. Зато ћемо потражити посебно одзив кола на константну, експоненцијалну у простопериодичну побуду.

У случај када је побуда константна онда је десна страна једначине (4.22) облика константе па је Atf =)( , тако да и принудно решење једначине мора бити облика константе. Према томе, претпоставићемо да је партикуларно решење једначине једнако константи 1K ,

1)( Ktx p = . (4.26)

Заменом претпостављеног решења (4.26) у једначину (4.24), уз чиње-ницу да је извод константе једнак нули,

0/dd =tA , добија се једначина


AKa =1 из које се одређује принудна компонента одзива кола,

aAK =1 (4.27)

Сопствена компонента одзива одређује се из једначине (4.25) која се решава тако што се она прво напише у облику

ta

txtx

s

s d)()(d

−= .

Интеграљењем леве и десне стране претходне једначине добија се да је

2ln)(ln Ktatxs +−= ,

одакле се добија сопствена компонента одзива у облику

ta

s Ktx −= e)( 2 , (4.28)

где је 2K константа интеграције. Према томе, општи облик одзива у колу првог реда са константном побудом је

.e)( /21

τ−+= tKKtx (4.29)

Вредност константе 1K одређена је у једначини (4.27) а константа

2K може се одредити из зависног почетног услова независне промен-

љиве ( )x t , у тренутку += 0t . Стављајући да је += 0t у једначину

τ

−+=

t

KaAtx e)( 2 ,

добија се једначина

0

2 e)0( KaAx +=+ ,

из које се одређује непозната константа 2K ,


aAxK −= + )0(2 . (4.30)

па је

)(e)0()( th

aAx

aAtx ta−+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= (4.31)

Први сабирак у изразу је одзив кола у устаљеном стању, док други сабирак представља одзив кола у прелазном режиму.

Коефицијент a назива се константа пригушења сигнала и дефинише брзину опадања сигнала. Много чешће се за представљање брзине опадања сигнала користи коефицијент τ , која има димензију време и назива се временска константа при чему је

a1

=τ

Временска константа је веома важан параметар у колу док влада прелазни режим. Након што се деси комутација, стационарно стање се, условно речено, успоставља након "дужег временског интервала". Из Табеле 4.2 може се видети да већ после три временске константе, струје и напони у колу опадну на 5% од своје почетне вредности. После пет временских константи може се сматрати да су променљиве у колу достигле своје коначне вредности јер је након овог периода њихова вредност мања од 1% од своје иницијалне вредности. Сада се израз (4.31) може написати у облику

)(e)0()( / th

aAx

aAtx t τ−+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= .

Табела 4.2 Релативна промена струје или напона са временом

т τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ 7τ 8τ

( )0/)( xtx 0.368 0.135 0.05 0.018 0.0067 0.00248 0.0009 0.0003


4.3.2 Одзив кола на константну, експоненцијалну и простопериодичну побуду

a) Одзив на константну побуду

Посматраћемо коло на слици 4.7 у коме је побуда константна,

Uug = .

Коло се налази у стационарном стању у тренутку 0=t када се преклопник се пребацује из положаја (1) у положај (2). У положају (1) коло је без почетне енергије па је

0)0( =−i .

Слика 4.7

Када се преклопник пребаци у положај (2), сагласно Табели 4.1, комутација је регуларна, па је

0)0()0( == −+ ii .

Диференцијална једначина која описује струју у колу за 0>t је

gu

Li

LR

ti 1

dd

=+

. (4.32)

У складу са претходним разматрањем, претпоставићемо решење за диференцијалну једначину првог реда у облику

t

LR

KKti−

+= e)( 21 . (4.33)

Када ово решење заменимо у једначину (4.32) добија се да је партикуларно решење


REK =1 .

Сада је

t

LR

KREti

−+= e)( 2 . (4.34)

Константа 2K одређује се из почетног услова срује кроз калем.

Увођењем += 0t у задњу једначину она постаје

20 KRE+=

одакле је

REK −=2 .

Према томе, комплетно решење за струју у колу је

)(e1)( thREti

tLR

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−.

б) Одзив на експоненцијалну побуду

Посматраћемо сада случај када се побудни напон gu у колу на слици 4,7 мења по експоненцијалном закону,

ateUtu −=)(g . (4.35)

Диференцијална једначина за струју у колу је облика

Ltu

iLR

ti g )(

dd

=+

(4.36)

Као и у предходним примерима потражићемо комплетан одзив за струју у колу. Како принудна компонента одзива зависи од облика побудног сигнала претпоставићемо је у облику


tap Kti −= e)( 1 .

(4.37)

Сопствена компонента одзива за коло првог реда има облик дат једна-чином (4.28), па ћемо комплетан одзив претпоставити у облику

tLR

ta KKti−− += ee)( 21 , (4.38)

где су 1K и 2K непознате константе. Прво се одређује константа 1K из нехомогене диференцијалне једначине кола тако што се претпостављено решење за принудну компоненту (4.37) замени у једначину (4.36), када се добија једначина

LUK

LRKa

tatata

−−− =+−

eee 11 ,

одакле се након деобе леве и десне стране једначине са чланом ta−e , добија једначина

LUK

LRKa =+− 11 ,

из које се одређује непозната константа 1K ,

aLRUK−

=1 , уз услов да је aLR ≠ ,

која се потом уврсти у једначину (4.38) и она постаје

t

LR

ta KaLR

Uti

−− +−

= ee)( 2 . (4.39)

Као и у претходном случају константа 2K се одређује из једначине

(4.39) стављајући да је += 0t . Када се стави да је += 0t она постаје

02

0 ee)0( KaLR

Ui +−

=+

одакле је

aLRUiK−

−= + )0(2 .

Према томе, струја у колу за 0>t је

)(e)0(e)( thaLR

UiaLR

Utit

LR

ta −+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−

=


ц) Одзив на простопериодичну побуду

И на крају посматраћемо случај када се побудни напон gu у колу на слици 4,7 мења по простопериодичом закону

).cos(2)( ϕ+ω= tUtug И у овом случају диференцијална једначина за струју у колу је

облика (4.36), и њено решење се може потражити у облику

tLR

p Ktiti−

+= e)()( 2 .

Принудна компонента струје у колу може се израчунати из нехомо-гене диференцијалне једначине (4.36). Међутим у случају простопери-одичног режима, пошто је принудна компонента струје уствари једнака тренутној вредности струје у колу, то је много лакше одредити је применом комплексног рачуна. Зато прво треба одредити комплексни представник струје а затим тренутну вредност струје.

Комплексни представник напона побуде је

ϕ= jeUU g

а струје у колу

RL

gp

LR

ULR

UI

ω−ϕ

ω+=

ω+=

tanArcj

22

je

)(

ej

одакле је принудна компонента

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

−ϕ+ωω+

=RLt

LR

Utip tanArccos)(

2)(22

Комплетан одзив кола је облика

tLR

KRLt

LR

Uti−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

−ϕ+ωω+

= etanArccos)(

2)( 222 (4.40)


Када се стави да је += 0t у једначину (4.40) добија се

222tanArccos

)(

2)0( KRL

LR

Ui +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

−ϕω+

=+

одакле је

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

−ϕω+

−= +

RL

LR

UiK tanArccos)(

2)0(222

па је

⎢⎢

⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

−ϕ+ωω+

=RLt

LR

Uti tanArccos)(

2)(22

)(etanArccos)(

2)0(22

thRL

LR

Uit

LR

⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

−ϕω+

−+−+ (4.41)


Садржај:

4. Класичан поступак у анализи прелазних процеса ............................. 105

4.1 Увод ................................................................................................. 105

4.2 Функције побуде ............................................................................ 105 4.2.1 Кондензатор са почетном енергијом ............................................................ 108

4.2.2 Калем са почетном енергијом ....................................................................... 109

4.3 Анализа кола у прелазном режиму ............................................... 111 4.3.1 Прелазни режим у колима првог реда .......................................................... 112

4.3.2 Одзив кола на константну, експоненцијалну и простопериодичну побуду ................................................................................................................................... 117

kola prvog reda

Documents