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KOCUNIVERSITY
MATH203-CALCULUS2-FINAL
Hiday,June5,2015startingat18‥15
Durat,ion ofExam:150minutes
INSTRUCTIONS:NocalculatorsmaybeusedoIlthetest・Nobooks,nOnOteS,andno
talkiIlgallowed・Youmustalwaysexplainyouranswersandshowyourwot・ktoreceive
fullcredit.Usethebackofthesepagesifnecessary.Print(useCAPITAI・LETTERS)
andsignyourname,andindicateyoursectionbelow・
Surname:
Signature:
Section(CheckOne):
Sectionl:AttilaASkaJT-Th(8:30)
Section2:AttllaAskarT-Th(11‥30)
Section3‥Ay詳SoysalM-W(8:30)
Section4:AyseSoysaJM-W(10‥00)
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1.(12points)LetLlandL:2betheIines
Ll:互=1+t g=1-1∴2=2一打∴∴∴∴42:セ=1-2t u=3t∴之=4叫
(i)DeteminewhethertheSelinesintersectandifso,determinetheintersectionpoint;
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(ii)Ifthereisaplanecontdningthesetwolines,nndtheequationoftheplane・
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2.(12points)GiventhepoiIltP(1,1)andthefurlCtionf(瑚)=(C+y-2)2十位-y-6)2
(i)InwhichdlreCtionshouldonetravel,StartingfromthepOintP,tOObtaintheInOSt
rapidrateofdecrcase(Directionaldcrivative)onthesuEacedeGnedbythefunctionf(瑚)?
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(li)Findtherateofchange(slope)iIlthisdirection
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3.(12points)Giventhe請nction
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(i)Findallthecriticalpointsofthefunctionf(瑚);
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(Li)Determinethenatureofthecriticalpoints・
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4.(12points)Giventhedoubleintegral
I=Ff誓甚
(i)SketchtheregionofiIltegration;
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(ii)Findthevalueofthelntegralby飢ymethod・
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5・(12points)DistIletIleSOlidregioIlboundedabovebytlleplaIでy+2:=4,belowby
theayplane,andonthesidesbythecylinderg2+y2=16・WeareglVenthetripleintegral
I=ILIJ矛干すdV
(i)Writethelntegralinasuitablecoordinatesystemindicatingtllelimitsofintegration
andtheorderofintegrationi
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(ii)EvaluateIthatyouwrotein(i)・
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6.(12poiIltS)Evaluate・
(i)Thesurfaceareaoftheportionoftheparaboloid2:=9-g2-y2abovetheplanez=5;
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(h)Thelineintegralbelowanywayyouchooset〇・rJ
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7‘(14points)Given嵩誓書=(2e。#+。))
(i)DetermlneWhetherthevectorneldFgrvenaboveisconservativeamdifso,nndthe
poteIltial;
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(ii)Calculatethelineintegral
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betweenthepointsA‥(0,0)andB‥(1,1)alongthecurveC‥y=ヽ佃・Fisasgivenabove・
Youcanuseanymethodorcoordmatesyouwant・
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/X三着三十と之二㌔8・(14points)LetDbethesolidregionenclosedbythesphereofradiusa.Sisthe
boundaryofthissolidandnistheunitoutwardnormalonS・WbaJegiventhevectorGeld
F二言五十沈+ek二(鋼,U,2)
andareaskedtocalculatetheintegral
I=IfF・ndS
(i)EvaluatethedoubleintegralIbyuslngatheoremtochangeittoatripleintegral.
雪中…互助等時‾出入レ”,
ユニ 暗示・←手Cい「二、3旧柄
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(ii)EvaluatethedoubleintegralIdirectlyasasurfacelntegralinanycoordinatesystem
Ofyourchoice・ 一 _
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