SADRAJ.................................................................................................1PREDGOVOR....................................................................................................71. UVOD...................................................................................................132. MATEMATIKA KAO NAUKA........................................................152.1. Hostorijski razvoj matematike................................................................152.1.1. Matematika Mesopotamije...................................................................152.1.2. Matematika starog Egipta....................................................................162.1.3. Matematika drevne Kine......................................................................192.1.4. Staroindijska matematika....................................................................212.1.5. Starogrka matematika........................................................................222.1.6. Arapska matematika.............................................................................242.1.7. Matematika srednjovjekovne Evrope.................................................252.1.8. Matematika novog vijeka.....................................................................252.2. Zato je potrebno poznavati historijski razvoj matematike.................283. 2.3. Historija matematike u Bosni i Hercegovini..........................................304. PREDMET, CILJ I METODE POETNE NASTAVE MATEMATIKE...................................................................................37

5. METODIKA POETNE NASTAVE MATEMATIKE I DRUGE NAUKE I NAUNE DISCIPLINE....................................................414.1. Metodika poetne nastave matematike s drugim naukama.................414.1.1. Veza metodike nastave matematike s matematikom.........................424.1.2. Veza metodika nastave matematike sa pedgogijom (didaktikom)...434.1.3. Veza metodike nastave matematike s historijom...............................444.1.4. Veza metodike nastave matematike s psihologijom i logikom .........444.1.5. Metodika nastave matematike u vezi sa metodikom nastave u viim razredima osnovne kole..........................................................454.1.6. Metodika matematike i filozofija.........................................................466. PROGRAMSKI SADRAJI POETNE NASTAVE MATEMATIKE...................................................................................475.1. Poloaj nastave matematike u Nastavnom planu i programu ............475.1.1. Prvi razred.............................................................................................475.1.1.1. Programski sadraj............................................................................485.1.1.2. Oekivani rezultati(ishodi) uenja....................................................495.1.2. Drugi razred..........................................................................................515.1.3. Trei razred...........................................................................................525.1.4. etvrti razred........................................................................................545.1.5. Peti razred..............................................................................................595.2. Metodika interpretacija nastavnog gradiva iz matematike od 1. do 4. razreda osnovne kole..............................................................................635.2.1. Upoznavanje skupa i podskupa...........................................................635.2.2. Formiranje pojmova prirodnih brojeva do 10...................................645.2.3. Formiranje pojmova prirodnih brojeva do 20...................................645.2.4. Formiranje pojmova prirodnih brojeva do 100................................655.2.5. Formiranje pojmova prirodnih brojeva do 1000, 1 000 000 ............655.2.6. Formiranje pojmova sabiranja i oduzimanja prirodnih brojeva.....665.2.7. Sabiranje i oduzimanje brojeva do 20.................................................665.2.8. Sabiranje i oduzimanje brojeva do 100...............................................675.2.9. Sabiranje i oduzimanje brojeva do 1 000 i dalje................................685.2.10. Formiranje pojmova mnoenja i dijeljenja prirodnih brojeva......695.2.11. Mnoenje i dijeljenje brojeva do 1 000..............................................705.2.12. Formiranje osnovnih geometrijskih pojmova..................................707. METODE ISTRAIVANJA U MATEMATICI I U NASTAVI MATEMATIKE..............................................................................................736.1. Metoda praktinih i laboratorijskih radova.......................................736.1.1. Praktini radovi.....................................................................................736.1.2. Laboratorijski radovi............................................................................746.1.3. Prednosti i nedostaci metode praktinih i laboratorijskih radova...756.1.4. Metoda ilustrativnih radova................................................................758. POSMATRANJE I EKSPERIMENT U POETNOJ NASTAVI MATEMATIKE...................................................................................787.1. Nastava matematike u prolosti, sadanjosti i budunosti...................787.2. "PISA" studija i matematika pismenost..............................................807.3. Eksperiment u nastavi matematike........................................................829. ANALIZA I SINTEZA U POETNOJ NASTAVI MATEMATIKE...................................................................................8610. APSTRAKCIJA I UOPTAVANJE U POETNOJ NASTAVI MATEMATIKE...................................................................................9011. OBLICI I RAZVOJ MATEMATIKOG MILJENJA U POETNOJ NASTAVI MATEMATIKE.........................................9410.1. Razvoj matematikog miljenja............................................................9712. MATEMATIKI POJMOVI, MATEMATIKI SUDOVI I MATEMATIKO ZAKLJUIVANJE.........................................10011.1. Matematiko suenje, matematiki sud.............................................10011.2. Spoznajne osnove poetne nastave matematike................................10211.2.1. Izgradnja matematikih pojmova...................................................10211.2.2. Matematiki pojmovi prvog stepena apstrakcije, primarni matematiki pojmovi .....................................................................10311.2.3. Matematiki pojmovi vieg stepena apstrakcije, sekundarni matematiki pojmovi .....................................................................10411.2.4. Sadraj i obim matematikog pojma...............................................10511.3. Matematiko zakljuivanje.................................................................10611.3.1. Zakljuivanje iz nekoliko (pojedinanih) pretpostavki.................10711.3.2. Zakljuivanje nepotpunom indukcijom..........................................10811.3.3. Zakljuivanje potpunom indukcijom..............................................11011.3.4. Zaljuivanje iz jedne pretpostake....................................................11111.3.5. Neposredno deduktivno zakljuivanje............................................11111.3.6. Matematiko zakljuivanje po slinosti (po analogiji)...................11311.3.7. Zakljuivanje intuicijom...................................................................11513. PRINCIPI, OBLICI RADA I METODE U (SAVREMENOJ) NASTAVI MATEMATIKE..............................................................11612.1. Principi nastave matematike...............................................................11612.1.1. Pojam i vrste didaktikih principa..................................................11612.1.2. Princip primjerenosti........................................................................11612.1.3. Princip oiglednosti i apstraktnosti.................................................11712.1.4. Princip svjesnosti i aktivnosti...........................................................11812.1.5. Princip individualizacije...................................................................11812.1.6. Princip sistematinosti i postupnosti...............................................11912.1.7. Princip objektivne realnosti.............................................................12012.1.8. Princip motivisanosti........................................................................12012.1.9. Princip realnosti................................................................................12012.1.11. Princip naunosti i savremenosti...................................................12112.2. OBLICI RADA U NASTAVI MATEMATIKE...................-...........12212.2.1. Vidovi oblika nastavnog rada u nastavi matematike.....................12212.2.2. Uloga frontalnog oblika rada u nastavi matematike......................12312.2.3. Prednosti i nedostaci frontalnog rada.............................................12312.2.4. Individualni oblik rada.....................................................................12412.2.5. Prednosti i nedostaci individualnog oblika rada............................12412.2.6. Grupni oblik rada.............................................................................12412.2.6.1. Veliina grupe.................................................................................12512.2.7. Prednosti i nedostaci grupnog oblika rada.....................................12612.2.8. Rad u parovima.................................................................................12612.2.9. Prednosti i nedostaci rada u parovima...........................................12812.3. METODE RADA U POETNOJ NASTAVI MATEMATIKE......13012.3.1. Metode usmenih izlaganja................................................................13012.3.2. Metoda razgovora.............................................................................13112.3.3. Metoda rada sa tekstom....................................................................13212.3.4. Metoda demonstracije.......................................................................13312.3.5. Metoda pismenih i grafikih radova................................................13314. EDUKATIVNE IGRE U POETNOJ NASTAVI MATEMATIKE.................................................................................13613.1. Kako se razvija djeije uenje i razmiljanje....................................13713.2. Kako djeca ue......................................................................................13713.3. Redoslijed razvoja................................................................................13813.4. Predstavljanje uenja kroz igru..........................................................14013.5. Model uenja kroz igru........................................................................14113.6. Zato se odluujemo za uenje kroz igre............................................14213.6.1. Memorija............................................................................................14413.6.2. ovjee, ne ljuti se.............................................................................14513.6.3. Geometrijski likovi............................................................................14613.6.4. Pjesmice i brojalice za uenje matematike.....................................14715. ORGANIZACIJE POETNE NASTAVE MATEMATIKE.......................................................................14814.1. Organizacija i specifinosti asa natave matematike........................148 14.2. Metodiko oblikovanje sata poetne nastave matematike...............14814.2.1. as obraivanja i usvajanja novog gradiva..................................14914.2.1.1. Priprema ili uvod...........................................................................14914.2.1.2. Obraivanje novog gradiva..........................................................14914.2.1.3. Vjebanje i ponavljanje................................................................15014.2.1.4. Provjeravanje uinka sata............................................................14014.3. Nastavni sat provjeravanja znanja.....................................................15114.3.1. Priprema............................................................................................15114.3.2. Rjeavanje ispitnih zadataka............................................................15214.3.3. Obrada i koritenje rezultata...........................................................15216. 14.3.4. Analiza nastavanog sata....................................................................15217. METODIKO DIZAJNIRANJE ASA POETNE NASTAVE MATEMATIKE...................................................15418. OBLIKOVANJA ASOVA: OBRADE, VJEBANJA, PONAVLJANJA, PROVJERAVANJA.................................15816.1. Sat obraivanja i usvajanja novog gradiva.......................................15916.1.1. Priprema ili uvod...............................................................................16116.1.2. Obrada novoga gradiva....................................................................16216.1.3. Vjebanje i ponavljanje....................................................................16216.1.4. Provjeravanje uinka sata................................................................16316.1.5. Nastavni sat vjebanja i ponavljanja...............................................16316.2. Nastavni Sat provjeravanja znanja....................................................15316.3. Priprema...............................................................................................16516.4. Rjeavanje ispitnih zadataka...............................................................16616.4.1. Obrada i koritenje rezultata...........................................................16616.4.2. Odabir zadataka................................................................................16619. METODIKO DIZAJNIRANJE GLOBALNIH (GODIJIH) PLANOVA RADA, MJESENIH I SEDMINIH ...........................................................................15617.1. Okvirni nastavni plan i program za prvi razred devetogodinje osnovne kole ......................................................................................15617.2. Okvirni nastavni plan i program za drugi razred devetogodinje osnovne kole......................................................................................17417.3. Okvirni nastavni plan i program za trei razred devetogodinje osnovne kole......................................................................................18017.4. Okvirni nastavni plan i program za etvrti razred devetogodinje osnovne kole.......................................................................................18620. 17.5. Okvirni nastavni plan i program za peti razred devetogodinje osnovne kole......................................................................................19621. PRAENJE, PROVJERAVANJE I OCJENJIVANJE UENIKA U NASTAVI MATEMATIKE...........................20618.1. Taksativni pristup nastavi...................................................................20718.2.Nastava i problematika praenja, provjeravanja i ocjenjivanja iz matematike........................................................................................20818.3. Praenje, provjeravanje i ocjenjivanje uenika iz matematike......20918.3.1. Usmeno provjeravanje i ocjenjivanje uenikova uspjeha.............21118.3.2. Pismena provjera znanja i ocjenjivanje uenikova uspjeha.......21318.4. Vrednovanje kao savremeni dokimoloki zahtjev.............................21418.5. Definisanje konane (zakljune) ocjene.............................................21522. VANNASTAVNI RAD U POETNOJ NASTAVI MATEMATIKE (DODATNA I DOPUNSKA NASTVA, MATEMATIA SEKCIJA) ..................................................21819.1. Vidovi nastavnih aktivnosti u nastavi matematike...........................22019.1.1. Dopunska nastava.............................................................................22019.1.1.1. Priprema i organizacija dopunske nastve....................................22119.1.1.2. Oblici i metode rada.......................................................................22219.1.1.3. Praenje rada uenika...................................................................22419.2. Dodatna nastava...................................................................................22519.2.1. Ciljevi i zadaci dodatne nastave.......................................................22619.2.2. Matematika sekcija.........................................................................22719.3. Slobodne matematike aktivnosti.......................................................22823. NASTAVNA TEHNOLOGIJA U POETNOJ NASTAVI MATEAMATIKE....................................................................23020.1. Nastavne metode...................................................................................23020.2. Raunar u nastavi matematike...........................................................23120.3. Resursi za uenje:Medij......................................................................23320.4. Potencijali raunara u nastavi matematike.......................................23320.5. Kako koristiti raunar u nastavi matematike...................................23420.6.Kada, kako i koliko koristiti raunar u nastavi matematike............22120.7. tetna strana tehnologije.....................................................................23424. NASTAVNA SREDSTVA I NASTAVNA POMAGALA..23621.1. Podjela nastavnih sredstava................................................................23621.2. Vizuelna nastavna sredstva.................................................................23721.3. Trodimenzionalna vizuelna nastavna sredstva.................................23721.4. Dvodimenzionalna vizuelna nastavna sredstva.................................23821.4.1.Neka didaktika pravila prilikom odabira i pokazivanja slika.....23821.5. Tekstualna nastavna sredstva.............................................................23921.6. Auditivna nastavna sredstva...............................................................24021.7. iva rije...............................................................................................24021.8. Audiovizuelna nastavna sredstva........................................................24021.8.1. Obrazovna televizija televizijske emisije......................................24121.9. Nastavna pomagala..............................................................................24121.10. Obrazovna tehnologija.......................................................................24221.11. Specijalizirana uionica i kolska medijateka.................................24525. PIMJENA RAUNARA U NASTAVI MATEMATIKE....24622.1. Primjena raunara u radu s nadarenom djecom.............................24622.2. Primjena raunara u radu s djecom sa posebnim potrebama.........24922.3. Zanimljivosti u svijetu raunara buenje kreativnosti u radu s djecom.................................................................................................25122.4. Primjena raunara u redovnoj nastavi matematike.........................25226. RAD SA DJECOM SA POSEBNIM POTREBAMA U POETNOJ NASTAVI MATEMATIKE............................25423.1. Uenici sa posebnim potrebama..........................................................25523.1.1. Kompetentni uitelji i rad sa djecom sa posebnim potrebama.....25523.2. Rad sa djecom sa posebnim potrebama u nastavi matematike.......25723.2.1. Pedagoka opservacija......................................................................25823.2.2. Izrada prilagoenog edukativnog programa..................................25923.3. Izrada didaktikog materijala.............................................................26127. PRILOZI (Pismene pripreme za nastavni sat)......................26324.1. Prvi razred............................................................................................26324.2. Drugi razred..........................................................................................27224.3 Trei razred...........................................................................................27624.4. etvrti razred.......................................................................................28224.5. Peti razred.............................................................................................29028. LITERATURA.........................................................................29425.1. Knjige....................................................................................................29125.2. Internetske stranice..............................................................................293 PREDGOVOR

Ova knjiga rezultat je autorovog linog i neposrednog dugogodinjeg rada u nastavi matematike sa svim uzrastima. Ideja da se ona pie nastala je prije desetak godina, ali se morala ekscerpirati brojna gradja, odrati mnogi asovi i sa najmladjim, sa srednjokolcima i sa studentima matematike, te akribino istraiti stavove, miljenja i iskustva drugih matematiara, a naroito vlastitih studenata matematike, koji su s autorom ove knjige godinama razmjenjivali miljenja i iji su posjeeni mnogi asovi,odrani ogledni,obavilo hospitovanje i kao zakljuak profilirale zajednike analize. Tome treba dodati injenicu da je autor ove knjige proveo sve izborne periode u visokokolskoj nastavi, te stupio u akademsku zajednicu kao asistent matematike,uio od starijih i iskusnih kolega, sam se obrazovao literaturom, aktivnim ueem na mnogim skupovima matematiara, te objavljujui svoje radove u asopisima. Uz to autor je svakodnevno due vremena imao strune i naune kontakte sa svojim diplomiranim studentima, sada ve nastavnicima i profesorima matematike, u pogledu pripremanja za konkretan as matematikog sadraja, prisustvo asu matematike, razgovor o asu, nakon ega su dolazile komparativne, kontrastivne i druge analize poslije kojih su slijedili dragocjeni zakljuci. S obzirom da su uvaene injenice dobijene iz seoskih kola, gradskih, prigradskih, iz kola bez ikakvih pomagala i kola sa brojnom informatikom tehnologijom, te da su pojedinci i grupe, matematika i nastava matematike posmatrani i na asu i na matematikim takmienjima, u praksi, ali i kasnije na zavrnim godinama studija matematike, sadraj ove knjige predstavlja vrlo bogatu i dragocjenu riznicu u kojoj svako koga zanima matematika moe pronai adekvatne matematike teme.

Imajui u vidu injenicu da su se zadnjih godina u Bosni i Hercegovini esto mijenjali programski sadraji matematike na svim nivoima obrazovanja, a posebno akademsku realnost koja je ve uveliko prihvatila bolonjski proces obrazovanja, ovu knjigu treba interpretirati i kao udbenik za nastavnike razredne nastave, nastavnike i profesore matematike, kao i za sve druge koje matematika bilo kako zanima. Autor se potrudio ne samo da iznese matematiko gradivo, matematiko znanje, nego i kako sve to prenijeti onima koji ue matematiku. U tome je sadraj ove knjige i rijedak i jedinstven i nedvojbeno je da e na sve naine popuniti niz praznina koje su ve godinama ili bile ili nastajale u svim etapama uenja matematike, ali i biti neposredna i konkretna zamjena za udbenike, skripte, vjebanke i mnoge druge forme pisanja koji su djelimino, usput ili nepotpuno tumaili matematike sadraje, ili su pak pisani izvan Bosne i Hercegovine. Ova knjiga posebna je i po tome to se nizom matematikih igara ui, to se u uenje matematike sada uvrtava i kompjuter, te se ukazuje i pokazuje da je matematika kao znanje mogua svakome i potrebna za svakoga.

Motiv za pisanje ove knjige svakako je matematika kao struka i nauka, ali i autorova namjera da matematiku priblii ovjeku, da ukloni sve sumnje o bauku, o neemu nedostinom, nerazumljivom, neshvatljivom, pa i manje ili vie neomiljenom, o neemu to se izbjegava, zaobilazi, smatra nerjeivim problemom u uenju i vjebanju. Ba zato ova knjiga je koncipirana i za najmlae, za one koji se tek susreu sa pojmom broja, zbira, geometrijskog tijela itd.ali i za one koji imaju manja ili vea matematika predznanja, za studente matematike, za roditelje, te nastavnike i profesore koji svoja matematika znanja trebaju prenijeti na druge. Poseban akcenat stavljen je na nastavi matematike, na rjeavanju problema transfera matematikog znanja sa onih koji znaju na one koji ne znaju. S tim ciljem ova knjiga sadri konkretne primjere,pouku i prijedloge kako u nastavi matematike biti maksimalno efikasan, odnosno kako uenici i studenti da razumiju sve sadraje koji su za njih predvidjeni u nastavnim programima za razliite uzraste, razrede, za mlade sa posebnim potrebama, za pripremna odjeljenja, za osnovnu i osmogodinju kolu,za akademski obrazovane. S obzirom da je to vrlo bogato i brojno matematiko znanje, ova knjiga praktino ilustrira, pored ostalog, prenoenje toga znanja i interpretira nam mnoga pitanja metodike nastave matematike. Prilikom svakodnevnog bavljenja matematikom, u neposrednim kontaktima sa kolegama, kolokvijalnim razgovorima sa roditeljima, uenicima i studentima, ali i kao rezultat dugih razgovora s obinim ljudima o brojnim pitanjima matematike, autor ove knjige je zapazio da svaki razgovor o bilo kojoj potekoi u matematici direktno korespondira sa prenoenjem matematikih znanja sa matematikih znalaca na poetnike, neznalice, nedovoljno matematiki educirane, povrne matematike znalce, uenike i studente i sline. Upravo zato je ovakva jedna knjiga ne samo matematiki dobro dola nego i edukativno matematiki, nastavno matematiki, metodiko matematiki. Dakle, ona je i udbenik za svakoga ko studira matematiku, za svakoga ko dri nastavu matematike u razrednoj nastavi, u predmetnoj nastavi, za roditelje i uenike, za studente i sve one koji se na bilo koji nain pripremaju za bilo koja takmienja iz matematike.

U strukturnom smislu knjiga Matematika i metodika poetne nastave sastoji se iz vie cjelina unutar koji su naslovi, podnaslovi, razredi, oblikovanje asova matematike, matematika nastavna pomagala, prilozi, matematika literatura. Idui hronoloki autor je interpretirao: historijski razvoj matematike, metodiku nastave matematike, programske sadraje poetne nastave matematike, metode istraivanja u matematici i u nastavi matematike, oblike i razvoj matematikog miljenja u poetnoj nastavi matematike, izgradnju matematikih pojmova, matematiko zakljuivanje, principe, oblike rada i metode u savremenoj nastavi matematike, edukativne igre u poetnoj nastavi matematike, organizaciju poetne nastave matematike, metodiko dizajniranje asa poetne nastave matematike, oblikovanje asova: obrade, vjebanja, ponavljanja i provjeravanja, metodiko dizajniranje globalnih/godinjih planova rada, mjesenih i sedminih, praenje, provjeravanje i ocjenjivanje uenika u nastavi matematike, vannastavni rad u poetnoj nastavi matematike, dodatnu i dopunsku nastavu i matematiku sekciju, nastavnu tehnologiju u poetnoj nastavi matematike, nastavna sredstva i nastavna pomagala, primjenu raunara u nastavi matematike, rad sa djecom sa posebnim potrebama u poetnoj nastavi matematike, priloge knjizi, te naveo bogat spisak literature.

Na osnovu strukture ove knjige jasno je da je obuhvaeno sve iz poetne nastave matematike, te da su poglavlja medjusobno povezana, vrlo edukativna i profilirana mnogim bitnim matematikim i metodikim znanjima. Kako bi povezao svoje znanje sa svojim dragocjenim iskustvom u matematici i nastavi matematike, autor je itaima ovih sadraja prezentirao priloge, kojima na neposredan i direktan nain ukazuje na dobre, slabije i loe strane transfera zanja iz matematike. Navedene pripreme za asove matematike su ogledni sadraji za kvalitetnu organizaciju nastave matematike, kvalitetni pristup nastavnika i matematici i nastavi matematike, te jedna od bitnih etapa u procesu uspjene edukacije, prenoenja i usvajanja matematikih znanja. Upravo ovi ciljevi vrlo su vani i za uenika i za uitelja, i za roditelja i za kolu u cjelini, to je jedna od temeljnih garancija izdizanja matematikih znanja svih uzrasta mladih na mnogo viu,produktivniju i progresivniju razinu.

injenica da se tekst ove knjige znatno bavi i drugim oblastima kao to su: logika, pedagogija, metodika, filozofija itd. ukazuje na prirodnu korelaciju koju matematika ima sa mnogim drugim naukama. To se u ovom sluaju posebno odnosi na pedagoke discipline, jer i jest bio jedan od bitnih ciljeva pisanja matamatiziranje pedagogije i pedagogiziranje matematike, odnosno portretirati matematike zakonitosti i onda pronai najbolje naine kako ih prenijeti drugim da bi postali trajno svojstvo i njihovih znanja. U tom smislu objanjeni su i principi i metode, ali i druge vrijednosti koje jedna nauka posudjuje drugoj, odnosno te vrijednosti pripadaju i jednoj i drugoj nauci.Kad se uzme u obzir da su prezentirani i sadraji za koje je nadlean zakonodavac, kao i prosvjetno pedagoke slube, onda je razumljivo s koliko se akribinosti pristupilo pisanju ove knjige. Zato je treba iitavati prema potrebama i u dijelovima, ali je svakako treba razumijevati i interpretirati kao cjelinu, kao jedinstven sadraj, sa jedinstvenim ciljevima i zadacima.

Polazei od injenice da su sadraji koncipirani dominantno prema planovima i programima pretkolskog obrazovanja i razredne nastave, tome treba dodati i da su prilagodjavani u praktinom smislu i onima na bosanskom i onima na hrvatskom jeziku, to nimalo ne umanjuje edukativnost i za programe na srpskom jeziku. Matematika, kao struka i nauka, ne poznaje jezike barijere, niti programske specifinosti lokalno ili regionalno oblikovane, ali se ovom knjigom nastojalo nastavno adaptirati na sve ono to je na bilo koji nain u ovom trenutku neka organizacijska injenica u Bosni i Hercegovini.

Da bi sve ovo bilo dostupno javnosti, autor zahvaljuje uenicima, roditeljima, studentima, nastavnicima i profesorima, te kolegama s kojima neposredno svaki dan radi u akademskoj zajednici za saradnju, sugestije i mnogu strunu i naunu kooperativnost.

Imajui u vidu sve navedeno, autor s radou i zadovoljstvom ovu knjigu stavlja javnosti na korienje, ali i na uvid, sud i zakljuivanje.S obzirom da je ovakva literatura oskudna u iroj regiji, misija ove knjige je dobro dola, dugo oekivana, te e kao ira matematika i nastavna potreba svoje mjesto nai u kolama, domovima, bibliotekama, meu uenicima, roditeljima, nastavnicima, ali i svim drugim pojedincima koje zanima sve ono to pripada matematici i nastavi matematike.

Autor

Matematika nije tek skup vjetina - ona je nain razmiljanja. Nalazi se u srcu razumijevanja u znanosti, te racionalnog i logikog argumentiranja

dr. Colin Sparow University of Cambridgeelite li sudjelovati u svijetu sutranjice, matematika i statistika trebat e vam u jednakoj mjeri kao i gramatika i pravopis.

Prof Robert Worcester

Market Opinion Resarch International1. UVOD

UITI, UITI I SAMO UITI!

ALI, KAKO?

ujem pa zaboravim,

vidim pa zapamtim,

uinim pa shvatim.

(Stara kineska poslovica)

Vaspitanje i obrazovanje kao fundamentalni elementi svake drutvene djelatnosti ni u kom sluaju ne mogu biti poteeni napretka nauke, tehnike i tehnologije, pogotovo uzimajui u obzir sveopte nezadovoljstvo efikasnou kolskih sistema. Za realizaciju breg i ekonominijeg naina kolovanja nije dovoljno znati samo ta je nuno uiti, ve i kako uiti. Jo davne 1613. godine predloio je Ratke da se u nastavni proces ugrade i vjetine pouavanja. Pored niza ponuenih rjeenja, nije pronaen unikatan model uenja, ime se nametnuo zakljuak da jedinstvenog modela nema, ve je potrebno koristiti razne, meusobno isprepletene metode, kako bi i rezultati bili bolji. Kada i koju metodu primijeniti u nastavnom procesu, prvenstveno je stvar gradiva koje je nuno kvalitetno obraditi sa uenicima, a zatim i nastavnika u kome se ogleda veliina dobrog matematiara metodiara, didaktiara, pedagoga i uitelja. Sa druge strane, ono to u sutini predstavlja nonu moru, prvenstveno pedagoga, jeste injenica da e ivotni kontekst buduih generacija biti drugaiji od dananjeg, a o tome kakva e ta budunost biti, moe se samo nagaati, jer ona ovisi od mnogih faktora. Nastavnik je u sutini nezamjenljiv akter nastavnog procesa, ali se namee pitanje u kojoj mjeri je njegova prisutnost neophodna. Zato sputavati uenike da samostalno ue i grade svoj svijet? Zato predavako-receptivni oblik edukacije ne zamijeniti jednostavnijim dijalogom?

Iz godine u godinu ponavljaju se poznati problemi vezani za razliite nivoe predznanja koja djeca donose sa sobom prilikom upisa u prvi razred, to je naroito izraeno u oblasti matematike. Zato je to tako? Ranija praksa nije u velikoj mjeri poznavala predkolsko obrazovanje, te se prihvatalo poloaj matematike u razrednoj nastavi, kao i u osnovnoj koli openito, odreen je njenom odgojnoobrazovnom funkcijom. Naime, usvajanjem matematikih sadraja uenici se ne osposobljavaju za neko zanimanje, ve se prvenstveno odgajaju i obrazuju, pa se s pravom moe rei da poetna nastava matematike ima iskljuivo odgojnu i opeobrazovnu funkciju. No osim ove, matematika u razrednoj nastavi ima i znaajnu propedeutiku funkciju, a to je pripremiti uenike za matematiko odgajanje u viim razredima osnovne kole (bez znanja matematikih sadraja razredne nastave ne mogu se usvajati sadraji predmetne nastave matematike), a zajedno s tom nastavom i za matematiko obrazovanje u srednjoj koli. (Markovac, 1992, str. 17)Da predkolska djeca mogu spontano razmiljati i raunati, te da kognitivna sposobnost uenja jezika, sposobnost raunanja i pisanja broja moe biti uroena i univerzalna, nije nikakva novina. Matematika, kao i druge naune discipline koje su oslonjene na matematiki aparat, pruaju velike mogunosti razvoja logikog miljenja i razmiljanja. Matematika egzaktnost zahtijeva prvenstveno misaonu aktivnost utemeljenu na analizi, apstrakciji, generalizaciji i na kraju zakljuku. Danas je potpuno jasno da smo uli u ueu civilizaciju XXI vijeka i da e biti sretni oni ljudi koji s lakoom ue, koji se ne boje nepoznatog i novog, koji su sposobni da rjeavaju probleme i da prate najnovija saznanja nauke i tehnike. To nam govori da djecu moramo od ranih poetaka ivota osposobljavati za uenje, omoguiti im da zavole uenje. Ovim predkolska pedagogija dobija posebnu vrijednost i izuzetan znaaj. (Suzi, 2006, str. 10)Odbojan stav prema nastavi matematike ili pak prema matematici kao naunoj disciplini, oduvijek je bio prisutan kod manje vie svih narataja. Jedan od nesumnjivo prvih razloga za takav stav je prvenstveno u strukturi matematike, naune discipline koja je po svojoj prirodi sloena i apstraktna, te kao takva za otkrivanje svojih tajni zahtijeva dosta marljivog rada i intelektualnog naprezanja. Ili, pak, za tako neto veina individua uglavnom nema puno afiniteta.

Djeca nieg uzrasta, barem tako pokazuju ankete, kao i razna ispitivanja, veim dijelom vole matematiku, no prelaskom u vie razrede dolazi do promjene uenikih stavova.

Gdje traiti krivca? Pitanje koje datira vjerovatno otkad se matematika i izuava. Nema sumnje da potencijalnih uzronika i razloga postoji mnogo. U svakom odjeljenju postoji arolikost u tekoama u okvirima matematike. Tako imamo jedan dio uenika koji je sklon grekama prilikom rjeavanja zadatka, dio uenika na jednom asu daje izuzetne odgovore na postavljena pitanja, dok sljedei as to nije u mogunosti. Dobar dio uenika dosta sporo rjeava zadatke ili sporo daje odgovore na postavljena pitanja. Sa druge strane imamo uenike koji pokazuju sklonost prema jednom dijelu matematike npr. geometriji, dok algebru jednostavno preziru. U sutini, svaki uenik koji ima potekoe u savladavanju matematike na neki nain je sluaj za sebe, to predstavlja nemali problem nastavnicima, to za posljedicu ima da svaki nastavnik mora uloiti velike napore kao i veliko pedagoko umijee da bi se uzroci, ako ne odstranili, ono barem doveli na najminimalniju moguu mjeru.

Zato se neuspjeh u nastavi matematike toliko istie za razliku od ostalih nastavnih predmeta? Odgovor nije utopijske prirode, ve je zasnovan na istini da veina uenika koji su uspjeni u sferi matematike, takoe su uspjeni i u okvirima drugih nastavnih predmeta.Kada je rije o strunim sadrajima matematike, treba posebno istai da je ova lnjiga interpretirala nastavne planove i programe Federacije BiH uvaavajui jezine i druge osobitosti naroda koji u njoj ive.

To nikako ne znai da ova knjiga ne moe biti koritena i na irem regionalnom podruju.Na kraju, autor ni najmanje ne sumnja, da e svi koji budu imali dodir sa ovim materijalom, kritiki se osvrnuti, te ovaj materijal upotpuniti sa dosadanjim iskustvima, kao i dobrim sugestijama, na emu e im autor biti neizmjerno zahvalan.

2. MATEMATIKA KAO NAUKA

2.1. Historijski razvoj matematike

Matematika je stara prirodna nauka. Kao takva bila je vezana za realni svijet, za neto to postoji, to je tano, to je istinito. Ona je prije svega nastala iz prakse, iz potrebe da ljudi poboljaju svoje uslove ivota, da postanu umni i pametni ljudi. Tako moemo zakljuiti da se matematika razvijala paralelno sa stepenom razvoja drutva i vremena.

Ali za ovjeka koji e sutra predavati matematiku, ili za nekoga ko voli matematiku, veoma je bitno da poznaje njenu historijsku epohu. To ne znai poznavati cjelokupnu historiju matematike, ve samo bar neke bitne injenice i zanimljive anegdote vezane za njene predstavnike.

2.1.1. Matematika MesopotamijeOstaci starog Vavilona

Mesopotamija, podruje izmeu i oko Eufrata i Tigrisa, bila je kolijevka jedne od nekoliko najstarijih kultura. Govorei o matematici stare Mesopotamije podrazumijevamo ostavtinu Sumerana, Babilonaca, Asiraca, Akaana, Kaldejaca i drugih naroda koji su u pojedinim razdobljima ivjeli na dijelovima tog podruja. Takoe se esto izraz vavilonski koristi kao sinonim za mesopotamski.Sistemi i zapisi brojeva

Pismo ove kulture bilo je primitivno slikovno pismo, ali je ono ve vrlo rano postalo veoma stilizovano, poprimivi oblik nazvan klinasto pismo, zbog obiaja urezivanja znakova pomou klinu slinog pisaeg pribora u ploice od meke gline koje su kasnije peene na suncu. Sredinom 19. vijeka deifrovano je klinasto pismo. Naeni tekstovi se relativno lako itaju, a klinasto pismo je nekad bilo standardno od Vavilona do Persije.

Vavilonci su za predoavanje brojeva koristili heksagezimalni brojevni sistem sistem s bazom ezdeset. To je bio prvi sistem u kojem je jedan te isti znak, mogao oznaavati razliite brojeve ve prema mjestu, odnosno prema poziciji koju zauzima. Vavilonci nisu imali ezdeset razliitih znakova za brojeve od nule do 59, ve su svaki takav broj ispisali sa samo dvije vrste znakova: po jedan vertikalni, uski za svaku jedinicu i po jedan tupi za svaku deseticu, drugim rijeima, pojedine znakove heksagezimalnog sistema su ispisivali u dekadnom sistemu.Vavilonci su taj nedostatak donekle ublaili time to bi izmeu skupine omasinua to su predstavljale znakove izmeu kojih je trebala biti nula ostavili vei razmak.Kako su raunali?

Nai izvori informacija koji se odnose na nivo mesopotamijske matematike vrlo su obimni. Mnogo stotina tablica u klinastom pismu bavi se problemima to bismo ih danas zvali algebarskim, ili se bave geometrijskim odnosima. Naeno je mnogo stotina tablica koje slue za raunanje. Vavilonci su se sluili tablicama kao to se mi danas sluimo npr. logaritamskim tablicama. Meu tablicama mnoenja bile su i tablice koje bismo mogli zvati tablicama recipronih vrijednosti pomou kojih su Vavilonci dijeljenje mogli svoditi na mnoenje. Osim tih tablica, imali su i tablice za kvadrat i kub te za drugi i trei korijen. Naene su i njihove tablice za vrijednosti od INCLUDEPICTURE "http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/1-3_clip_image002.gif" \* MERGEFORMATINET

u rasponu od n = 1 do n = 30, kojima su na primjer, mogli rjeavati kubne jednaine oblika za zadano, poznato a i nepoznato n. 2.1.2. Matematika starog Egipta

Staroegipatska je matematika jedna od najranijih epoha razvoja te nauke. Posebno jedna od prvih grana matematike, geometrija, ve samim svojim nazivom otkriva i svoje porijeklo. To je po postanku grka rije koja bi, doslovno prevedena, znaila "mjerenje zemlje". A upravo kao mjerenje zemlje geometrija se iroko razvila ve u starom Egiptu. Poslovina izreka "Egipat je dar Nila", dovoljno je poznata. Bez blatnjavih utih voda te rijeke to su hiljadama godina natapale zemlju, ne bi se razvila tako bogata civilizacija starog Egipta. No, poslije redovnih velikih poplava Nila, svake bi se godine granice zemljinih posjeda izbrisale i trebalo ih je ponovno odrediti valjalo je, dakle, premjeravati zemljita. Izgradnja velianstvenih hramova, piramida, kipova, takoe je zahtijevala odreena otkria iz geometrije.

Papirus

O staroegipatskoj matematici doznajemo ponajvie iz dva glasovna (znamenita) papirusa: Ahmesovog ili Rhindovog i Moskovskog. Rhindov papirus je 1858. otkrio kotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru. To je zapravo svitak duine 6 m, irine 30 cm. Pisao ga je pisar Ahmes oko 1650. g. pr. Kr. i vjerovatno je nastao tako to je Ahmes prepisivao neki spis star 200 godina. Danas se uva u British Museumu u Londonu, a sadri 87 matematikih problema.

Kako su raunali stari Egipani?

Stari Egipani imali su razvijeni decimalni sistem i svoje oznake za brojeve tabela br.1:

Tabela br.1

Hijeroglifskim znacima se pisalo po kamenu kako s lijeva na desno, tako i obrnuto, a ponekad i odozgo prema dolje. Razliito pisanje ne stvara probleme kod itanja brojeva, jer egipatski nain pisanja brojeva nije pozicijski. Hijeratiki su znaci uvedeni za brzo pisanje po papirusu, drvu ili po lonariji. Osim navedenih, upotrebljavali su se povremeno i neki posebni znakovi za brojeve koji nisu dekadne jedinice, npr. za broj dva crtali bi se govei rogovi, za broj pet morska zvijezda, a ljudska glava bila je i oznaka za broj sedam (7 otvora).

GeometrijaPosmatramo li fantastine graevine koje su stari Egipani ostavili u prilog svjetskoj batini, ne moemo a da se ne zapitamo koliko su dobro imali razvijenu geometriju, stereometriju i sve ono to im je bilo potrebno za izgradnju piramida i hramova. Znamo da su znali raunati nagib piramide, obim krnje piramide te obim piramide. Raunali su povrinu trougla kao 1/2 mnoenjem dviju kraih stranica (to vrijedi samo za pravougaoni trougao); malena odstupanja nisu im znaila previe. Znali su izraunati i povrinu pravougaonika kao proizvod duina njegovih stranica. Algebra

Staroegipatska algebra bila je retorika, problemi i rjeenja dati su rijeima. Znali su rjeavati jednaine prvog stepena s tim da su obavezno provodili analizu i sintezu pri rjeavanju, tj. svako rjeenje su uvrtavali u poetni problem da se uvjere da to uistinu i jest pravo reenje.

Stari Egipani nisu poznavali oznake za mnoenje, dijeljenje, jednakost, drugi korijen, decimalnu taku, nisu ak ni znali za "obini" razlomak p/q, nisu se pitali zato neto funkcionie, nisu traili univerzalnu istinu formulisanu simbolima koji bi jasno i logiki pokazali njihov misaoni proces. Ali su se zato koristili i sedmerocifrenim brojevima, imali su neku udnu mjeavinu jednostavnosti i udne komplikovanosti u svojim raunima, ali taj se koncept pokazuje kao potpuno jedinstvena i zatvorena cjelina. Zato se moe rei da je egipatska matematika jedini sauvani isti primjerak raunske tehnike koja je bila vrlo razvijena, koja u itavom svom razvoju nije doivjela nikakav bitni diskontinuitet, ve se u potpunosti temelji na osnovi raunanja - na brojenju i pojmu razlomka.

2.1.3. Matematika drevne Kine Obino kada se govori o matematici Istone Azije tada se u obzir uzimaju doprinosi Kine, Koreje i Japana kao jedne velike cijeline. Matematiari ovih zemalja smatrani su dijelom jedne velike zajednice koja je pisala kineskim znakovima, te je kao takva bila izdvojena od drugih civilizacija koje nisu bile upoznate s tim znakovima. Kina je ostatku svijeta postala poznata tek zahvaljujui Marku Polu, te raznim drugim misionarima (isusovci) koji su putujui svijetom i trgujui doli u kontakt s kineskom civilizacijom i matematikom.Najstariji sauvani matematiki tekstovi potiu tek iz doba oko 200. prije nove ere, no to je posljedica spaljivanja svih knjiga godine 213. prije nove ere po naredbi vladajueg tiranina. Ne zna se tano kada se u Kini poela razvijati matematika, ali pretpostavlja se da je to bilo u 3. vijeku pre Hrista. Prema starim kronikama uti car Huang Ti (vladao Kinom u 27.vijeku prije nove ere) dao je naredbe svojim predanicima tj. zadao im je zadatke ta moraju istraivati. Tako je trojici naunika dao zadatak da proriu pomou Sunca, Mjeseca i zvijezda. etvrtom nauniku dao je zadatak da stvori muzike note, petom nauniku Tai Naou naredio je da konstruie seksagezimalni sistem (Chia Tsu), esti naunik Li Skouu dobio je zadatak da izgradi brojeve i umjetnost aritmetike, a posljednji sedmi naunik dobio je zadatak da regulie svih tih est vjetina te razradi kalendar.Koristili su se seksagezimalno heksagezimalnim sistemom. To je najstariji kineski sistem numeracije. Baza mu je broj 60, a funkcionisao je tako da su se brojevi od jedan do ezdeset tvorili kombinovanjem elemenata jednog desetolanog i jednog dvanaestolanog ciklusa. Taj su sistem koristili za brojanje dana i godina. Naunici su kasnije utvrdili da su poeci matematike u Kini imali srodnosti s poecima razvoja matematike u staroj Mezopotamiji i vjeruje se da su na neki nain povezani. Prvi dokazi matematike aktivnosti u Kini pronaeni su u obliku numerikih simbola zapisanih na tankim kostima stoke i drugih ivotinja, a procijenjeni su da potiu iz 14. vijeka prije nove ere Kineski brojevi

U Kini su ljudi, kao i u veini drugih zemalja, najprije raunali na prste, a ve u 2. vijeku prije nove ere u Kini su imali simbole za brojeve, a oni su prikazani u tabeli br.2:

Tabela br. 2 -2000.god. prije nove ereKasnije se u Kini raunalo pomou tapia (od bambusa, slonove kosti ili metala). Svi tapii su bili jednake veliine, a trgovci i su ih najee nosili stalno sa sobom u torbi. Brojevi od 1 - 5 bili su prikazivani kao horizontalne crtice, odnosno kao polegnuti bambusovi tapii, brojevi od 6 9 su prikazivani kao jedan vertikalni tapi, te kombinacija od nekoliko horizontalnih tapia(tabela br.3)..

Tabela br. 3- 400. god prije nove ere Nakon uvoenja negativnih brojeva, tapii za raunanje su se izraivali u dvije boje - crveni za pozitivne i crni za negativne brojeve. Mnogo kasnije, tek u 16. stoljeu e se pojaviti abakus. Abakus je pretea dananjih kalkulatora, a sastojao se od drvenog okvira i niza ica po kojima su se mogli pomjerati kamenii. On se koristio do usvajanja arapskih brojeva, a zanimljivo je to da se ponegdje u Kini trgovci jo uvijek njime slue(tabela br.4).

Tabela br. 4 -Kineski Abakus

Vremenom kinesko se pismo malo promijenilo i oblikovalo. U slijedeoj tablici moemo vidjeti savremene kineske znakove za brojeve. Isti zapis brojeva moe se nai i u Japanu i Koreji(tabela br. 5)

Tabela br. 5-Savremeni kinesko-japansko-korejski brojeviRazlomci su se pojavili u upotrebi gotovo istovremeno s prirodnim brojevima. Osnovne raunske operacije izvodile su se slino kao i danas, s tim da su mnoenje i dijeljenje objanjavali na konkretnim primjerima. Dalje se matematika razvijala iz skupa algoritama za raunanje i metoda za rjeavanje praktinih zadataka.2.1.4. Staroindijska matematikaMatematika nije nezavisna od ljudi koji je stvaraju. Staroindijska matematika bila je preteno aritmetiko-algebarski orijentisana, za razliku od starogrke matematike koja je bila preteno geometrijski orijentisana. Naravno, Grka matematika nije bila iskljuivo geometrija, niti je staroindijska matematike bila bez geometrije; rije je samo o usmjerenju koje je dominiralo.

U staroindijskoj literaturi nema velikih djela iskljuivo posveenih matematici; matematika je prisutna tek kao dio, kao pojedinano poglavlje u astronomskim ili astrolokim djelima.

Uvoenje posebnih znakova za brojeve od nula do devet u staroindijskom dekadnom sistemu, donosi bitan napredak staroindijske matematike. Ti znakovi za brojeve vrlo su slini naima, dakako zbog toga to su nai znakovi i sami nastali od indijskih uz modifikacije do kojih je dolo njihovim prenosom to ga Europa zahvaljuje Arapima.

Pozicionim sistemom ve su se ranije koristili Vavilonci i upotrebljavali ga i za oznaavanje razlomka, a ne samo cijelih brojeva. Stari su Indijci pozicioni sistem pisanja brojeva upotrebljavali samo za cijele brojeve, a ne i za razlomke.

Otkrie nule kod Indijaca novijeg je datuma nego vavilonsko (nije iskljueno da je moda bilo i pred njegovim uticajem). Kao to je ve pomenuto, bitan napredak staroindijske matematike bilo je uvoenje znakova za brojeve. Vavilonci takav zapis brojeva nisu imali u svome heksagezimalnom sistemu, ve su brojeve od jedan do pedeset i devet ispisivali aditivno znacima za deseticu i jedinicu.

Najstariji zapisi koji su nam sauvani, a sadre rane oblike indijskih cifara nalaze se na kamenim stubovima to ih je u svakom znaajnom gradu stare Indije dao podii vladar Maurya-carstva, kralj Asoka, sredinom 3. vijeka prije nove ere.Indijsko otkrie nule, ukoliko je uopte nezavisno od vavilonskog, bilo je usko povezano sa indijskom filozofijom i religijom. Svakako je znak za nulu Indijcima omoguio spretnije raunanje. Vie nije bila potrebna raunska ploa sa stupcima ili poljima, gdje je prazno polje znailo nita i bilo bez posebnog znaka.

2.1.5. Starogrka matematika Vrlo se esto tvrdi da je i najstarija grka nauka samonikla i da nema veze s vavilonskom i egipatskom civilizacijom. Meutim, izmeu rane grke nauke i prvih civilizacija postoji jasna veza. Mnogi starogrki tekstovi pominju putovanja grkih naunika i filozofa, posebno Talesa i Pitagore, u te zemlje, istiui da su ti naunici tamo upoznali pojedina matematika otkria. Nisu Grci ponovo otkrili ona otkria koja su ve bila poznata u Babilonu i Egiptu, oni su ta otkria preuzeli i interpretirali ih na nov nain. Do Grka matematika je bila preteno empirijska. Stari su Grci bili prvi koji su sebi, svjesni toga to time ine, postavili zadatak da sva preanja i sva nova matematika otkria skupe i poveu u skladan i cjelovit sistem, unutar kojeg e svaka teorema i svaka formula biti dokazani. Prelo se u matematici na apstraktna razmiljanja i dokaze.

U vrijeme pojave prvih zapisa o grkoj matematici, grki pomorci i trgovci su bili ve nauili od svojih egipatskih muterija, da za pisanje upotrebljavaju papirus, koji se mogao lake nositi i uvati nego glinene tablice starih semitskih civilizacija. U meusobno udaljenim zajednicama istoga jezika, bogati trgovci i pomorci ovladali su pismenou, bez uticaja neke mone svetenike kaste. Oni su bili spremni da prilagode korisno znanje, sticano na putovanjima, praktinim potrebama.

Period tokom koga su grke mediteranske zajednice dale trajan doprinos razvoju matematike moe se podijeliti u tri velike faze. Prva, koja nije ostavila nikakvih pisanih tragova, protee se od Talesa i Pitagore do Demokrita, priblino od 600-400. godine prije n.e. Osnovu druge faze predstavlja uenje Platona (430-349. godine prije n.e.). Ona kulminira u Euklidovom sistemu, koji se veoma oslanjao na Eudoksa (408-355. godine prije n.e.), Platonovog uenika. Euklidova smrt prethodi za nekoliko godina Arhimedovom roenju (oko 287. godine prije n.e.) ija naklonost ka pronalascima predstavlja poetak tree faze. Treu fazu tj. aleksandrijsku fazu odlikuje odstupanje od formalizama i jak osjeaj za praktinu primjenu matematike.

Grka tradicija istie Talesa kao osnivaa grke matematike mada o tome nema dokumentovanih podataka, ranijih od jednog vijeka poslije Talesove smrti. Tales je poznat po tome to se smatra prvim Helenom koji je izlagao i dokazao teoreme, te stoga i ocem helenske matematike. U matematici se vie zna i pominje Pitagora, vjerovatno zbog toga to je za sobom ostavio kolu tzv. pitagorejce koji su se uprkos i najeem proganjanju, odrali dugo poslije njegove smrti. Smatra se da je Pitagora, kao i Tales svoje znanje donio u mnogome iz Egipta. Pitagorina teorema je jedna od osnovnih i najznaajnijih matematikih teorema. Pitagorino uenje bilo je trajnog karaktera i prenosilo se samo usmeno na neposredne uenike, koji su njegov nauk obino citirali uz izraz (lat. ipse dixit = "lino je rekao").Razvoj matematike se sastojao pored nalaenja novih injenica geometrije i u korienju deduktivne metode u geometriji. To e dati Euklidove elemente. Euklid je bio Platonov student u Atini, dok je veinu ivota proveo radei u Aleksandriji, u Egipatu, gdje je osnovao matematiku akademiju.Arhimed iz Sirakuze, smatra se jednim od trojice najgenijalnijih matematiara svih vremena, bio je vrhunac helenske matematike i najvei fiziar starog vijeka.Heureka! Heureka! (gr. prefiks glagola heursiko - naem, izraunam, izmislim). Naao sam, uzviknuo je Arhimed kada je, sjedei u kupatilu, otkrio fiziki zakon da svako tijelo, potopljeno u tenost, gubi od svoje teine onoliko kolika je teina njime istisnute tenosti ( ili gasa ). Taj gubitak je u stvari potisak tenosti ili gasa.

2.1.6. Arapska matematikaMnogi smatraju da u razdoblju od kraja grke antike nauke do kasnog srednjeg vijeka u Europi nije bilo vanih dogaaja u matematici osim prevoenja grkih tekstova na arapski, koji su tako-ne direktno preko rimskog naslijea, ve indirektno preko arapskih osvajanja - postali dostupni Evropi srednjeg vijeka. No, zapravo je doprinos arapskog podruja matematici mnogo vei od samog prevoenja i prenosa podataka. Dananja matematika zapadnog stila mnogo je slinija matematici kakvu susreemo u arapskim doprinosima, nego onoj u starogrkim. Mnoge ideje koje su pripisane Evropljanima kasnog srednjeg vijeka i renesanse pokazale su se zapravo arapskim. Ovdje emo opisati razdoblje od 8. do 15. vijeka.Prvi predstavnik nauke i prevoenja grkih tekstova (npr. Euklidovih Elemenata) na arapski bio je kalif al-Hajjaj, koji je na vlast stupio 786.god. Glavni nauni centar postaje Kua mudrosti, vrsta akademije ili sveuilita u Bagdadu (koji je osnovan 762.god.), koju je poetkom devetog stoljea osnovao al-Hajjajev sin kalif al-Ma'mun.

Arapski brojevi

Indijski nain zapisivanja brojeva bio je temelj evropskom nainu zapisivanja koji je danas jako proiren. No, oni nisu odmah preneseni iz Indije u Evropu, ve je njihov medij bio arapski narod.Poprilino razliiti brojevni sistemi su simultano koriteni na arapskom poluotoku dugi niz godina.

Postojala su najmanje 3 razliita brojna sistema:1) raunanje na prste: brojevi se piu rijeima; ovaj nain rauna su koristili trgovci i raunovoe;2) seksagesimalni sistem: brojevi oznaeni arapskim slovima, koristio se najee za astronomiju;3) indijski dekadni sistem: poznate su preuzete iz Indije, ali bez standardnog skupa simbola, tako da se u raznim krajevima koristilo donekle razliite oblike poznatih; ispoetka su ih koristili na pranjavim ploama koje su omoguavale isto to i danas ploa i kreda;

Posljednji sistem je omoguio napredak numerikih metoda, npr. raunanje korijena (Abu'l-Wafa, Omar Khayyam), otkrie binomnog teorema za prirodne eksponente (al-Karaji), aproksimaciju transcendentnih realnih brojeva i raunanje n-tih korijena (al-Kashi).

2.1.7. Matematika srednjovjekovne Evrope Smatra se da je srednji vijek razdoblje mraka i razdoblje u kojem se nije dogaalo nita vano u naunom pogledu. Mladi su evropski narodi do kraja 12. vijeka prihvatili relativno siromano starorimsko matematiko naslijee: meu ostalim tzv. quadrivium koji se sastojao od aritmetike, muzike, geometrije i astronomije. Ta su se otkria pred imenom matematike esto i (zlo)upotrebljavala u astrologiji, pa nije udno da neki spisi toga vremena, govorei o matematiarima i drugim mranjacima, ne nalaze za njih mnogo lijepih rijei. Sve do 11. vijeka poznavanje Euklidovih Elemenata u Europi je bilo vrlo oskudno. Na Siciliji su se neki matematiki tekstovi prevodili na latinski i neposredno s grkog izvora. U posljednjoj treini srednjega vijeka javlja se ve nekoliko domaih europskih matematiara, koji to ime zasluuju ne samo kao reproizvodivni ve i kao kreativni umjetnici. Meu najistaknutije spadaju Fibonacci i Jordanus Nemorarius.

Pred kraj srednjeg vijeka matematikom se ozbiljnije bave i neki vrlo istaknuti nematematiari, posebno slikari, Leonardo da Vinci i Albrecht Drer, koji se zauzimaju, pored ostalog, za geometrijske konstrukcije koje se mogu provesti samo upotrebom estara s fiksnim otvorom.Za matematiku je srednji vijek u Evropi bio tek prelazni period unutar kojeg su se arapskim posredstvom pomalo uila zaboravljena otkria starih Grka. No ta su otkria posluila kao odskona daska za ulaz u matematiku novog vijeka Evrope. U posljednjih pedesetak godina istraivanja su pokazala da je to razdoblje mnogo bogatije nego to se smatralo, te da je srednji vijek vrlo vana spona izmeu starog i novog vijeka.

2.1.8. Matematika novog vijekaKao to je nekad starogrka matematika svojim ostvarenjima veoma zasjenila sve to je u toj nauci do tad uinjeno u prijanjim velikim kulturama Azije i Afrike, tako je novovjekovna matematika Evrope neuporedivo nadmaila sve to je u matematici do tad bilo ostvareno.

Matematika do 20. vijeka

U razdoblju od sredine 17. do sredine 19. vijeka dakle unutar nekih dvjesta godina - matematika je obogaena mnogo vie negoli tokom itava svog dotadanjeg razvoja za vrijeme vie od dvije hiljade godina. U 17. su vijeku za matematiku nastupila bolja vremena, sazreli su uslovi za njen veliki procvat. U korijenima su tog sazrijevanja svakako mnoga otkria koja su tek pripremila put za kasniji gotovo eksplozivni rast: bez tih otkria do njega ne bi bilo dolo.Nova otkria

Algebra je zakoraila daljim koracima naprijed kada su tri italijanska renesansna matematiara nala rjeenje kubne jednaine. Matematiari renesanse znaju da se svaka kubna jednaina moe svesti na oblik bez kvadratnog lana putem linearne supstitucije. Stoga je dovoljno znati rijeiti jednaine oblika x3+px+q=0. Napomenimo jo i da u renesansi, iako su ponegdje poznati, negativni brojevi jo nisu opte prihvaeni te su stoga u renesansnom shvatanju jednaine x3+px=q i x3=px+q razliiti tipovi kubne jednaine.

Poznati matematiariZa razvoj algebre tokom renesanse posebno je zasluan poznati francuski matematiar koji to nije bio, Franois Vite (1540.-1603.) koji je po struci bio pravnik. Kao matematiar iz hobija, dvaput se naao u prilici pomoi svojoj dravi matematikim otkriem. Bilo je to prvi put kad je panski kralj Filip II., poznati borac protiv reformacije, zagovornik inkvizicije i pokreta armade protiv Engleske, 1590. godine postavio zahtjev za francuskim prijestolom na osnovu rodbinskih veza. Tadanji francuski kralj Henrik IV., protestant, odbija zahtjeve te dolazi do rata. U tom ratu slane su razne ifrirane poruke, te iz tog doba potie jedna od najpoznatijih matematikih anegdota iz kriptografije. Francuzi su presreli jednu pansku poruku, te ju je kralj dao Viteu da je deifrira. To Vite i uspijeva, panjolcima postaje jasno da Francuzi znaju za njihove namjere, a Filip II. tuio je Francusku papi da se koristi crnom magijom. Vite je poeo razvijati i tehniko raunanje s algebarskom notacijom ne samo da se proizvoljna i nepoznata veliina oznaavala slovom, ve se s takvim slovima poelo i manipulisati. U svom djelu In artem analyticam isagoge (1591) Viete upotrebljava samoglasnike za nepoznate, a suglasnike za poznate, date veliine.Descartes, veliki filozof (1596.-1650.) upotrijebio je (ve od prije poznatu) metodu koordinantnog prouavanja ovisnosti jedne veliine (funkcije) o drugoj (varijabli) da bi povezao geometriju s algebrom: geometrijska su se pitanja sada mogla formulisati, izuavati i rjeavati algebarskim sredstvima, a algebarske veze mogle su se ilustrovati geometrijski.Pascal je bio udo od djeteta od rane mladosti. S dvanaest godina sam je ponovo otkrio mnogo toga iz elementarne geometrije. Sa etrnaest godina ve je prisustvovao sastancima francuskih matematiara koji su kasnije stvorili Francusku akademiju. No bio je slabog zdravlja i sa 27 godina napustio je (iako ne zauvijek) matematika istraivanja i posvetio se gotovo potpuno religioznim razmiljanjima. Pred kraj svog kratkog ivota napisao je glasovite Penses (Misli), moda jedno od najvrjednijih djela francuske knjievnosti.Gottfried Wihelm Leibniz (1646.-1716.) bio je ne samo jedan od najveih matematiara, ve i jedan od najveih filozofa svoga doba, gdje je poznata njegova teorija monada. Veinu kapitalnih matematikih djela, poznatih u njegovoj mladosti, prouio je Leibniz dok mu nije bilo jo ni dvadeset godina.

Matematika 20. vijekaU ovom razdoblju razvila su se mnoga podruja matematike kao to su teorija vjerovatnoe, matematika logika, teorija skupova, te infinitezimalni raun. Za posljednjih stotinak godina stvoreno je u matematici vie od svega onoga to je stvoreno u itavoj istoriji te nauke do poetka toga razdoblja. Matematika 20. vijeka biljei veliki broj poznatih matematiara koji su uveliko doprinijeli onom to danas nazivamo modernom matematikom. Albert Einstein (Ulm,1879. - 1955.), fiziar-teoretiar i najistaknutiji stvaratelj novog doba u fizici. Sve do svoje tree godine Albert nije progovorio, ali je pokazivao nevjerovatnu radoznalost i briljantnu mo shvaanja kompliciranih matematikih koncepata. U doba od 12 godina sam je sebe nauio geometriju. Otkrio je niz osnovnih zakona prirode (brzinu svjetlosti kao maksimalnu brzinu, dilataciju vremena i novu interpretaciju dilatacije duina, te ekvivalentnost mase i energije, korpuskularnu prirodu svjetlosti i princip ekvivalencije, te osnovu opte teorije relativnosti). Einsteinovo najpoznatije djelo je teorija relativnosti koja je ne samo od osnovne vanosti kao temeljni okvir za dalji razvoj teorijske fizike, ve duboko zahvata i u filozofske koncepcije, o prostoru i vremenu, a povrh toga u probleme kosmologije i kosmogonije. 2.2. Zato je potrebno poznavati historijski razvoj matematike?Moe se rei da su prvi korijeni matematike vezani za staru Grku, za Egipat, Kinu, Vavilon, Indiju. Nezaboravimo arapske cifre, koje se i danas koriste u aritmetici prirodnih brojeva. Pomenimo poznate matematiare: Platona, Aristotela, Euklida, Pitagoru... To su samo neki od njih,a naravno ima ih mnogo.Istorija matematike je znaajna, jer ona omoguava veu zainteresovanost za njenu materiju. Tako na primjer djecu mogu zainteresovati neke anegdote vezane za "prve" matematiare. Gaus je kau imao devet godina kad je umio, za tren oka da sabere sve brojeve od 1 do 100. Tako e uenicima biti interesantno da saznaju nain na koji je on to radio, poeljee i sami da postanu kao on " mladi Gaus". Tales je pomou sjenke izmjerio duinu Keopsove piramide, zbog ega je proglaen za jednog od sedam mudraca Starog vijeka.Na slian nain, ovjek moe da izmjeri objekte iz svoje okoline, a da se ne penje na njih. Veina mladih matematiara su svoj prvi talenat pokazali jo u godinama dananjih uenika razredne nastave.

Veliki znaaj u matematici imao je pojam broja i geometrijskih figura. Pojam broja ovjeka je asocirao na odreivanje kvantiteta predmeta koji su ga okruivali. Ipak, broj kao broj i sam proces brojanja prije svega je vezan za uspostavljanje nekih relacija meu istobrojnim skupovima (dvije jabuke, dvije ruke..). Od davnina, ovjek je za broj znao, imao je neku predstavu o njemu, pa ga je poistovjeivao sa brojanjem stvari, ali nikad nije broj izraavao posebnom rijeju, to bi upuivalo na naziv nekog broja. Ponekad je ovjek naziv broja poistovjeivao sa nazivom nekog karakteristinog skupa. Tako se na primjer, za broj elemenata dvolanog skupa, nezavisno od njegove same prirode govorilo :"ruke", "ui".

Prvobitno shvatanje pojma geometrijskih figura bilo je u neposrednoj vezi sa praksom, sa ovjekovom okolinom. Razna sredstva koje i danas ovjek koristi u radu , imaju oblik, ili bar lie na neko geometrijsko tijelo (sjekira, srp, kosa). Na crteima po peinama u kojima je ivio prvobitni ovjek, mogu se vidjeti konture geometrijskih tijela kao to su: trouglovi, kvadrati, pravougaonici, krunice i druge geometrijske figure koje su u vezi sa praktinom djelatnou ovjeka. Slike nekih geometrijskih tijela, mogle su se primijetiti i na glinenom posuu u mlaem kamenom dobu, kada se ovjek iskljuivo bavio zemljoradnjom, stoarstvom. Na tim predmetima uoavali su se ornamenti krunica, kvadrata koje su odraavale ljepotu i harmoniju. I ta jo rei, matematiki likovi su zapaeni veoma rano, povremeno se usavravali i ostali do danas kao osnovni pojmovi koji se koriste, ne samo u matematici, ve i u drugim naukama.

Ako se ne poznaje dovoljno neka istorijska injenica matematikih formula uenik moe stei pogrenu sliku o matematici, kao o nekoj vjetakoj tvorevini koja se slui umnom imaginacijom, bez ikakve veze sa praksom. Na prvi pogled, sama matematika moe biti teka, nezanimljiva. Zato je uenika potrebno zaintrigirati nekom zanimljivom istorijskom priom.

Naveemo neke istorijske injenice vezane za istorijske simbole i termine koji se koriste u matematici:

Matematika: Grci su bili prvi narod, koji su izgradili opti pojam nauke. Za opti pojam nauke-matematike, oni koriste dva termina: episteme i mathema. Ovaj prvi termin prvenstveno se odnosio na nauku,dok se drugi odnosio na znanje, na neto to se moe nauiti, shvatiti. Naziv mathema bio je u etimolokoj srodnosti sa grkim nazivom mathematika (to bi u prevodu znailo matematiki spisi) od koje potie moderno ime matematika. Tako su pitagorejci imali etiri takozvane mateme (nauke): aritmetiku, muziku, geometriju i astronomiju. Evo jednog primjera koji nam govori kako je matematika nekad bila "sebina" i zadavala muke talentovanim ljudima. Zato je svako morao da uva svoje izume u tajnosti, da ne bi bio strogo kanjavan. Hipas, uenik pitagorejske kole je jednom prilikom odao tajnu o pronalasku iracionalnog broja i bio je ubijen. Sljedbenici Hipasa su sebe nazivali matematiarima-privrenicima nauke njenim "slugama".

Mnoenje: Od mnogih znakova koji su korieni za mnoenje, dugo vremena se upotrebljavao znak pravougaonika, kao simbol koji znai da se njegova povrina dobija mnoenjem njegovih stranica. Tako se umjesto rijei proizvod dugo vremena upranjavao termin pravougaonik. Kasnije se koristilo i slovo M kao znak za mnoenje.

Geometrija: Termin geometrija potie od starih Egipana. ivei pored rijeke Nil, Egipani su esto bili izloeni poplavama, pa su bili primorani da premjeravaju svoja zemljita koja su imala oblik ranih geometrijskih figura. Tako je re geometrija znaila i zemljomjerstvo. Meutim, danas geometrija nema veze sa mjerenjem zemlje, ali se naziv zadrao.

Sabiranje i oduzimanje: Jo u starom Egiptu znak za sabiranje oznaavan je ljudskim korakom koji "koraa" u smjeru pisanja. Kretanje u suprotnom smjeru znailo je oduzimanje. Postoji zanimljiva anegdota koja opisuje kako su nastali znak plus (+) i minus (-). Pretpostavka je da potiu od trgovaca vinom. Kada je prodavano vino na buretu je zapisivana crta do one koliine koja je ostala u buretu, odnosno crta za oduzimanje vina. Kada se vino dodavalo u to isto bure, dopisivala se jo jedna vertikalna crta i dobijao se simbol + (vino je dodato).

Legenda o Euklidu. Na kraju prvog predavanja koje je odrao jednoj grupi studenata -poetnika, Euklida je jedan od studenata upitao: "A to e nam u ivotu matematika?" Euklid nije odgovorio nita. Nakon pola sata poslao mu je po svome robu jedan zlatnik i otpustio ga iz kole.2.3. Historija matematike u Bosni i Hercegovini

Teko je govoriti o historiji matematike Bosne i Hercegovine jer je vrlo malo do sada zabiljeenog, sauvanog i prouavanog. Posebno je to sluaj s graom iz rimskog perioda, a zatim i srednjovijekovnog. Ono to postoji jesu dva vremenska razdoblja u povijesti Bosne i Hercegovine sa sauvanim i poznatim dokumentima koji mogu posluiti za rekonstrukciju matematike iz tih fragmentnih perioda.

Prvo od tih razdoblja je osmanski period Bosne i Hercegovine iz kojeg je sauvan znaajan broj matematikih rukopisa na arapskom jeziku i sa matematikom orijentalne civilizacijskog kruga kome je pripadala i Bosna tog doba, a znaaj te matematike u svjestkim civilizacijskim krugovima je dovoljnjo poznat.

Drugi fragment povijesti matematike u Bosni i Hercegovini je period poslije Drugog svjetskog rata i koji traje do danas. Ovdje emo se koncentrisati na podatke o naunom radu bosanskohercegovakih matematiara u XX stoljeu. Teko je bilo cjelovito opisati povijesni tok poslijeratne matematike s obzirom da tu nisu svi matematiari koji i dalje daju svoj doprinos dananjoj matematici.

Izmeu dva svjetska rata, u Bosni i Hercegovini teko je govoriti o naunom radu iz oblasti matematike. Moe se govoriti o nekoliko udbenika koje su iza sebe ostavili pojedini srednjokolski profesori matematike. U to vrijeme nije na ovim prostorima djelovao ni jedan matematiar koji je bio doktor nauka. Poslije Drugog svjetskog rata situacija se znatno poela mijenjati. Otvaranje velikog broja kola zahtijevalo je i odgovarajui kadar. Za kolovanje kadra iz matematike osnovane su najprije vie pedagoke akademije u Sarajevu, Banja Luci, Mostaru i Tuzli, sa grupom matematika-fizika. Godine 1950. u Sarajevu je osnovan Filozofski fakultet koji je imao studijsku grupu matematika-fizika. Poetkom 1961. godine iz Filozofskog fakulteta se izdvaja Prirodno-matematiki odsjek u samostalnu instituciju-Prirodno -matematiki fakultet sa Odsjekom za matematiku. Tada je u Bosni i Hercegovini bilo est fakulteta, tri viskoe kole i jena via kola na kojima se predavala matematika. Na tim fakultetima je radilo 15 nastavnika matematike i nekoliko asistenata, od kojih su 8 bili doktori matematikih nauka. Prvi doktor matematikih nauka iz Bosne i Hercegovine, promovisan je 1953. godine na sorboni, bio je Mahmut Bajraktarevi. Ostali doktori su bili: Leonida Lui, efkija Raljevi, Boo Popovi, Manojlo Maravi, Milenko tekovi, Branislav Marti, Mato Bri-Kosti. Pored ovih matematiara, krae vrijeme, na Prirodno -matematikom fakultetu u Sarajevu radili su i dr. Vojislav Avakumovi, i dr, Bogdan Bajanski. Do 1961. godine naunim radom bavilo se 10 matematiara, a broj objavljenih radovaprelazio je 50. Poslije 1961. godine osnivaju se novi fakulteti i druge kole a gdje se predavala matematika. Na odsjeku za matematiku pokree se 1966/67. postdiplomski studij. Razvijaju se novi Univerzitetski centri, pored Sarajeva, u Banja Luci, Tuzli i Mostaru. Nagli porast broja fakulteta sa nastavom matematike uvjetovao je i porast broja matematiara koji su bili sposobni da pruzmu nastavu matematike na tim fakultetima. S time stasaju mladi matematiari koji se ukljuuju u nauni rad. Tako se ve 1979. godine u Bosni i Hercegovini bavilo naunim radom iz oblasti matematike vie od 30 matematiara. Broj objavljenih radova se kretao oko 300 od kojih je veina bila objavljena u asopisima ex Jugoslavije, a prilian broj i u stranim asopisima.

Posebno je bio plodan period 1984.-1992. godina. Hronika asopisa Radovi matematiki, jedinog bosanskohercegovakog naunog asopisa s meunarodnom recenzijom, iz godine u godinu biljei kvalitativni i kvantitativni porast naune aktivnosti u svim matematikim centrima BiH. To se ogleda u rastu broju publikacija, naunih izlaganja, kolokvija, gostovanja uglednih stranih matematiara, uspostavi trajnijih istraivakih seminara, studijskim boravcima naih matematiara na vodeim svjetskim univerzitetima, sve do pojave da se inostrani istraivai odluuju da provedu akademsku godinu i due na svom usavravanju na Odsjeku za matematiku u Sarajevu. Tako je u martu 1992. godine na Prirodno-matematikom fakultetu u Sarajevu veoma pozitivnu ocjenu dobija doktorska disertacija kineskog matematiara Li Haizhounga, sada redovnog profesora Tsinghua University u Pekingu, koju je od septembra 1990. radio pod mentorstvom prof. dr. Muharema Avdispahia na odsjeku za matematiku.

Rat u Bosni i Hercegovini, od 1992. godine, uvjetovao je stagnaciju u naunom radu matematiara i veliki odliv kadra koji je obezbjeivao nastavu iz matematike na razliitim fakultetima gdje se predavala matematika. U posebno tekom poloaju se naao vodei centar. Zavretak rata je omoguio ponovno intezivnije ukljuivanje u naune tokove i uzdizanje novog nastavnog kadra koji do danas predaje na razliitim univerzitetima i fakultetima. Za ouvanje kontinuiteta naune djelatnost u periodu 1992.-2012. , posebno je bio znaajan mentorski rad prof .dr. Muharema Avdispahia (9 doktora matematikih nauka, 17 magistara matematikih nauka), prof dr. Mustafe Kulenovia, sada na University of Rhode Islands(6 doktora i 5 magistara), akad. prof dr. Fikret Vajzovia(2 doktora i 4 magistra) , prof. dr. Mehmed Nurakanovia(1 doktor i 3 magistra)

U Bosni i Hercegovini danas postoji osam dravnih univerziteta koji koluju kadrove iz matematike:

1. Univerzitet u Sarajevu

2. Univerzitet u Banja Luci

3. Univerzitet u Tuzli

4. Univerzitet "Demal Bijedi" u Mostaru

5. Sveuilite u Mostaru

6. Univerzitet u Bihau

7. Univerzitet u Istonom Sarajevu

8. Univerzitet u Zenici

Takoe postoje i 2 privatna univerziteta na kojima se koluju budui nastavnici matematike:

1. Univerzitet Travnik, Edukacijski fakultet u Travniku

2. Evropski Univerzitet Brko Distrikt, Brko Distrikt

Dajem pegled imena aktivnog nastavnog osoblja iz matematike s naunim stepenom doktora nauka

1. Univerzitet u Sarajevu

-Prirodno matematiki fakultet: prof. dr.Muharem Avdispahi (Rektor Univerziteta u Sarajevu), Akademik prof. dr. Mirjana Malenica, prof. dr. Mirjana Vukovi, prof dr.Senada Kalabui, prof dr. Medo Pepi, doc. dr. Muratovi-Ribi Amela, van.prof. dr.sc. Memi-Ouis Nacima, doc. dr. Fikret unjalo, doc, dr. Odak Almasa,doc. dr. Esmir Pilav.

-Saobraajni fakultet: v. prof. dr. Huse Fatki

-Farmaceutski fakultet: prof dr. efket Arslanagi

-Ekonomski fakultet: v. prof. Lejla Smajlovi

-Pedagoka akademija: doc. dr. Fatih Destovi

-Graevinski fakultet: prof. dr. Behdet Mesihovi, doc.dr. Emil Ili- Georgijevi2. Univerzitet u Banja Luci

-Prirodno matematiki fakultet: prof. dr.Daniel A.Romano, prof. dr. Momir eli, prof dr.Milan Jovanovi, prof. dr. Milan Janji, prof. dr. Milovan Vini, van.prof. dr. Milorad Stefanovi,van.prof, van prof. dr. Zoran Mitrovi

3. Univerzitet u Tuzli

-Prirodno matematiki fakultet: van prof. dr. Mehmed Nurkanovi, van. prof.dr. Ramiz Vugdali, van. prof. dr. Zehra Nurkanovi, van prof. dr. Enes Duvnjakovi, Doc. dr. Nermin Okii, Doc. dr. Sead Rei, Doc. dr. Mirela Gari.

4. Univerzitet "Demal Bijedi" u Mostaru

doc. dr. Amina ahovi

5. Sveuilite-Univerzitet Hercegoviina u Mostaru i irokom Brijegu

-Fakultet drutvenih znanosti: prof.dr.sc. Marinko Peji6. Univerzitet u Bihau

-Pedagoki fakultet: van. prof dr. Bernadin Ibrahimpai, doc. dr. Pjani Karmelita

-Ekonomski fakultet: Doc. dr. Omer Kurtanovi

7. Univerzitet u Istonom Sarajevu

Filozofski fakultet: prof. dr. Veljko Vuleti, prof. dr. Milenko Pikula, van. prof. dr. Neboja Elez

Saobraajni fakultet Doboj: doc. dr. Vesna Mii

8. Univerzitet u Zenici

-Filozofski fakultet: doc .dr. Burgi Devad, Dr. Almir Huskanovi

-Ekonomski fakultet: van.prof. dr. Devad Zei

9. Univerzitet u Travniku

-Edukacijski fakultet: Prof. dr. Hamid Drljevi10. Internaciomalni Univerzitet u Travniku

-Doc. dr. Branko Sari

Udruenje matematiara Bosne i Hercegovine primljeno je u Evropsko matematiko drutvo 1994. godine, a Bosna i Hercegovina je postala 65. lanica Internacionalne matematike unije na Generalnoj skuptini u Shangai.u avgustu 2002. godine.

Nakon prekida u izlaenju asopisa Radovi matematiki uzrokovanog ratom, odlaskom najveeg dijela redakcije i iznoenjem u inostranstvo pripremljenog mateijala za brojeve koji su trebali biti objavljeni 1992. godine, od 1997. se postepeno ponovo uspostavlja potrebna dinamika u pojavljivanju novih volumena. do 2000. godine izalo je oko 5 volumena. U Banja Luci je tokom rata pokrenut asopis " Bulletin of Society of Mathematicians " Banja Luka.

Veina bosansko-hercegovakih matematiara-istraivaa nauno je radila, i danas radi, a fundamentalnim matematikim oblastima kao to su Matematika analiza, algebra, Teorija vjerovatnoe i slino. Posebno su zapaeni radovi iz oblasti funkcionalnih jednadbi, iterativnih nizova teorije sumabilnosti, kvalitativne teorije diferencijalnih i diferentnih jednadbi, relane i Fourierove analize, polugrupe operatora, teorije prstena, kao i Metodike nastave matematike. U svjetskoj bazi podataka Mathemattical Reviewes American Mathematical Society (AMS) registrirano je , do sada preko 600 objavljenih radova bosansko-hercegovakih matematiara. U ovaj broj su ukljuni samo oni matematiari koji trenutno ive i rade u Bosni i Hercegovini i BiH matematiari koji nisu vie meu ivim. Ovi nauni radovi su tampani , najveim dijelom , u asopisima ex Jugoslavije a jedan dio radova je objavljen u vodeim internacionalnim matematikim asopisima. Takoer o velikom broju , od preko 600 registriranih radova, objavljeni su prikazi u poznatim svjetskim referentnim asopisima kao to su: Mathematical Reviews (SAD), Mateatieskij urnal(Rusija) i Zentralblatt fur Mathematik(Njemaka). Rezultati izvjesnog broja matematiara iz BiH uli su u poznate monografije, bilo da su ti radovi samo citirani bilo da su pojedini rezultati detaljno izloeni. Matematiari iz Bosne i Hercegovine, u zadnjih 6. decenija, uestvovali su sa naunim saopenjima na vie kongresa. Drali su nauna ili struna predavanja u razliitim institucijama vani i u zemlji. Izvjestan broj svjetskih matematiara u svojim radovima su citirali neke bosansko-hercegovake matematiare. Iz ovih konstatacija je jasno da su bosansko-hercegovaki matematiari prisutni i aktivno uestvuju u razvoju matematike. Njihov nauni doprinos je bivao prepoznatljiv svojom originalnou, pa je taj krug naunika ponekad bivao okarakteriziran atributom sopstvene kole.

Sigurno da se taj krug matematiara kontinuirano razvijao, prevashodno, na odsjeku za matematiku Prirodno -matematikog fakulteta u Sarajevu. Posljednji rat (1992.-1996.) je doprinio stagnaciji ukupnog naunog rada u Bosni i Hercegovini. Meutim od 1997. godine je obnovljen postdiplomski studij, intezivirana meunarodna saradnja, otvoreni novimodsjevi za matematiku na drugim univerzitetima. Time je omoguno podizanje mlaeg kadra i njihovo ukljuivanje u nauni rad.

Izuzetan je doprinos openitom razvoju matematike u Bosni i Hercegovini matematiara koji su sad u zasluenoj mirovini su:1. Sabahet Drpljanin

2. Arif Zoli

3. Kemal Subai

4. Hary Miller

5. Hasan Jamak

6. Fikret Vajzovi

7. Behdet Mesihovi

8. Nevenka Skaki

Doprinos openitom razvoju matematike u Bosni i Hercegovini onih matematiara koji sad nisu meu ivim, a to su:

1. najder Vera(1904.-1976.)

2. Raljevi efkija(1909.-1976.)

3. Bajraktarevi Mahmut(1909.-1985.)

4. Marti Branislav(1923.-1985.)

5. Vujakovi Duan(1934.-1986.)

6. Finci Kalmi (1926.-1997.)

7. Belagi Amer(1959.-1997.)

8. Maravi Manojlo(1919.-2000.)

9. Tanovi -Miller Naza(1938.-2001.)

10. lakovi Semiha(1929.-2002.)

11. Udovii Enes(1947-2003.)

12. Vlado Cigi(1946.-2008.)

13. arovi Jovo(1937.-2009.)

3. PREDMET, CILJ I METODE METODIKE NASTAVE MATEMATIKEPrije nego to istaknemo osnovne odrednice metodike poetne nastave matematike, u najkraem emo se podsjetiti nekih aspekata matematike, nauke i matematike nastavnog predmeta. Matematika (mathema, grki, nauka o veliinama) je nauka o prirodi i odnosima meu veliinama (brojevima) i prostornim tvorevinama. Nastava matematike je predmet u kojem se odgoj i obrazovanje ostvaruje matematikim sadrajima.Historiju matematike, s obzirom na strukturu i funkcionalnost njenih sadraja, moemo podijeliti u etiri epohe:I epoha raanja matematike, od postanka ovjeka do VI stoljea,

II epoha matematike konstantnih veliina, od VI do XVII stoljea,

III epoha matematike promjenljivih veliina, od XVII do XIX stoljea i

IV epoha savremene matematike, od XIX stoljea do dananjih dana.

Svaku od epoha obiljeila su matematika djela velikih matematikih stvaratelja:

matematiar godine ivota obiljeena epoha

PITAGORA (550?-480?) p.n.e. sve

EUKLID oko 380. p.n.e. sve

ARHIMED 287. - 212. p.n.e. sve

DEKART 1596. - 1650. III i IV

NJUTN 1642. - 1727. III i IV

GAUS 1777. - 1855. III i IV

Jedinstveno je miljenje da su Arhimed, Njutn i Gaus najvei matematiari svih prostora i svih vremena. Meutim, ako se analiziraju matematiki sadraji nastavnog predmeta matematike, posebno oni u osnovnoj koli, lahko se dolazi do zakljuka da je u tim programima najzastupljenija matematika Euklida, Dekarda, Gausa, a uenici osnovne kole Arhimeda i Njutna vide u svijetu fizike i fiziara i to miljenje nije pogreno. Arhimeda moemo svrstati i meu ininjere. Ovakvo razmiljanje namee zakljuak o tim ljudima koji su bili svestrani , ali i na veliku povezanost i uslovljenost u razvoju matematike, fizike i tehnike. ta je, zapravo, matematika? Teko je danas dati cjelovit odgovor na to pitanje, a jo mnogo tee je dati opteprihvatljivu definiciju tog pojma. Ve je istaknuto da je matematika nauka o prirodi i odnosima meu veliinama (brojevima) i prostornim tvorevinama. Ovakve ili sline definicije nalazimo u enciklopedijama. Moramo istai da matematika, danas, svojim ciljevima i zadacima, sadrajima, metodama istraivanja prevazilazi okvire ma kakve definicije o njoj. Usuujemo se ovdje rei matematika je, jednostavno, matematika. Plediramo na intuitivno usvajanje ovog pojma. Ili ono to je rekao Erih Templ Bel: Matematika je kraljica i ropkinja (svih ostalih, op. autora) nauka.

Odgovorimo sada na pitanje ta je predmet prouavanja matematike. Matematika prouava odreena, karakteristina sutinska svojstva objekata, operacija i relacija iz realnog svijeta koje posmatra apstraktno na razliitim stupnjevima apstrakcije, te primjenu dobijenih rezultata u praksi. Nazivom Metodika poetne nastave matematike oznaava se nauna disciplina koja prouava odgoj i obrazovanje u nastavi matematike, odgoj i obrazovanje u ijoj su osnovi matematiki sadraji, dakle, matematika (nauka). Metodika nastave matematike je nauna disciplina koja prouava odgoj i obrazovanje u nastavi matematike na svim stupnjevima apstrakcije. Metodika poetne nastave matematike dio je ire naune discipline metodike nastave matematike, a ova je dio didaktike koja je konano i dio pedagogije. Metodika poetne nastave matematike je nauna disciplina koja prouava probleme i fenomene poetne nastave matematike, matematikog odgoja i obrazovanja uenika od prvog do etvrtog razreda osnovne kole. Dakle, pod pojmom poetne nastave matematike podrazumijevamo matematiku edukaciju uenika, polaznika razredne nastave, uenika od prvog do etvrtog razreda. U predkolskom odgoju i obrazovanju ne moe se govoriti o nekom znaajnijem ostvarivanju obrazovnih dobara iz domena matematike. Na ovom nivou odgoja i obrazovanja dominantna je perceptivna spoznaja bez znaajnijeg udjela apstraktnog, koje je imanentno matematici nauci, pa i matematici kao nastavnom predmetu.

U predkolskom odgoju i obrazovanju dominantan je proces neposrednog i spontanog dodira, taktilne spoznaje koja u poetnoj nastavi matematike, takoe, zauzima vano mjesto, ali nema dominantnu ulogu. Koje su karakteristike poetne nastave matematike?

Ve prema izloenom i na osnovu naih iskustava (svi smo proli kroz poetnu nastavu matematike) lahko se moe zakljuitii da su bitne karakteristike poetne nastave matematike:

- formiranje matematikih pojmova, (primarnih) sudova i (sudova) zakljuaka,

- relativno visoka apstraktnost pojmova kojima se operie,

- potrebni stupanj i kvalitet intelektualne razvijenosti uenika,

- miljenjem uenika, naroito u prvom razredu, jo dominira percepcija i taktilno (razmiljanje),

- uenik moe apstraktno, logiki misliti samo ako je to miljenje utemeljeno na promatranju i manipulisanju konkretnih predmeta i procesa,

- uenici u poetnoj nastavi matematike stiu osnovnu matematiku pismenost .Iz navedenog, i ostalog to karakterizira poetnu nastavu matematike, izvode se elementi predmeta prouavanja Metodike (methodos, gr. nain na koji se obavlja neki rad, nain postupanja, metoda) poetne nastave matematike:

- odgojno-obrazovna funkcija matematikih sadraja: provjeriti u kojima se ostvaruju, uinci i rezultati,

- ueniki intelektualni razvoj (dometi vlastite uenikove aktivnosti),

- utjecaj oiglednosti u nastavi,

- nastavne metode,

- organizacija nastavnog procesa, nastavni principi,

- praenje, vrjednovanje i ocjenjivanje uenikih postignua,

- psiholoka utemeljenost matematikog odgoja i obrazovanja, itd.Odgovorimo jo na pitanje: koje su veze Metodike poetne nastave matematike sa drugim naukama?. Oigledno, Metodika poete nastave matematike, nauna disciplina, u posrednoj je vezi sa optom teorijom saznanja, tj. sa gnoseologijom (gnosis, gr. spoznaja; logos, gr. uenje). Takoer neraskidiva veza je i sa didaktikom (didaskein, gr. pouavam, obuavam).

Dakle metodika nastave matematike je dio pedagogije koji se (preteno) bavi nastavnim metodama (ranije, reducirane u odnosu na predmet, definicije).Drugim rijeima, pod Metodikom poetne nastave matematike podrazumijevamo naunu disciplinu koja prouava odgoj i obrazovanje u nastavi matematike, odgoj i obrazovanje u ijoj su osnovi matematiki sadraji, dakle, matematika (nauka). Takoe se moe rei da je Metodika poetne nastave matematike nauna disciplina koja prouava probleme i fenomene poetne nastave matematike, matematikog odgoja i obrazovanja uenika od prvog do etvrtog razreda osnovne kole, ili pak pod pojmom poetne nastave matematike podrazumijevamo matematiku edukaciju uenika, polaznika razredne nastave, uenika od prvog do etvrtog razreda. U predkolskom odgoju i obrazovanju ne moe se govoriti o nekom znaajnijem ostvarivanju obrazovnih dobara iz domena matematike. Na ovom nivou odgoja i obrazovanja dominantna je perceptivna spoznaja bez znaajnijeg udjela apstraktnog, koje je imanentno matematici nauci, pa i matematici kao nastavnom predmetu.

U predkolskom odgoju i obrazovanju dominantan je proces neposrednog i spontanog dodira, taktilne spoznaje koja u poetnoj nastavi matematike, takoe, zauzima vano mjesto, ali nema dominantnu ulogu.

Poloaj matematike u savremenom ivotu bitno, u velikom stepenu, odreuje i poloaj predmeta nastave matematike u sistemu oteg odgoja i obrazovanja. Odmah treba upozoriti na potrebu razlikovanja pojmova matematika (nauka) i matematika nastavni predmet odgojno-obrazovnog sistema na bilo kom stepenu. Rekli smo da u najsaetijoj formi matematiku (nauku) shvatamo kao onu nauku koja prouava kvantitativne odnose meu veliinama i prostorne oblike realnog svijeta, a matematiku, nastavni predmet, kao skup matematikih, prvenstveno metodikih sadraja, kojima se ostvaruje odgoj i obrazovanje u kolskim, openito, edukativnim sistemima. Dakle, iz ukupne matematike (nauke), prema odreenim kriterijumima, u prvom redu prema mentalnim sposobnostima polaznika, uenika kojima je predmet matematika namijenjena, te prema zahtjevima civilizacijskih potreba drutva koji su naglaeni u ukupnim, globalnim programima kole, i kolovanja, biraju se odreeni sadraji koji se, nakon obavezne metodike prerade, stavljaju pred uenika, polaznika.Kao to smo rekli, pod Metodikom poetne nastave matematike podrazumijevamo pedagogijsku naunu disciplinu koja prouava sve fenomene koji su prisutni u poetnoj nastavi matematike, od prvog do etvrtog razreda osnovne kole, to bi trebalo da znai da je Metodika poetne nastave matematike imanentno pedagogijska znanost, jer ona prouava i podupire odgoj i obrazovanje skoro iskljuivo sa aspekta pedagogije (didaktike).Dakle, primarni sadraji preuzeti iz matematike nauke moraju pretrpjeti bitne metodike transformacije poslije kojih e poprimiti forme kojima se mogu dobro ostvarivati odgoj i obrazovanje.4. METODIKA POETNE NASTAVE MATEMATIKE I DRUGE NAUKE I NAUNE DISCIPLINE

U pogledu mjesta i uloge metodike razredne nastave nema jedinstvenog stava. Po jednima ona je pedagoka nauna disciplina, po drugima ona pripada naukama iji se sadraji putem nastave prenose uenicima, a ima i onih koji smatraju da su metodike nastave odreenih predmeta samo aplikativne vjetine izvoenja nastave. Moda je najblie istini tvrenje da metodike predstavljaju relativno samostalno i interdisciplinarno nauno-nastavno podruje, izmeu odreene matine nauke, pedagogije (didaktike) i relevantnih nauka sa kojima su metodike povezane i na koje se oslanjaju. (orevi, J., 1998) Imajui ovakav stav u vidu, mi pokazujemo vezu metodike nastave matematike sa drugim naukama, istiui na taj nain njen interdisciplinarni i multidisciplinarni karakter.Metodika nastave matematike oznaava znanstvenu disciplinu koja se bavi prouavanjem odgoja i obrazovanja u nastavi matematike i dru