Ispitni zadaci iz predmeta

KLASINA MEHANIKA I

27. kolovoza 2012.

Benjamin FetiPrirodno-matematiki fakultet, Sarajevo

Odsjek za fiziku

Prvi parcijalni ispit iz predmeta Klasina mehanika I

(24.11.2011. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

ZADACI

1. Top se nalazi na vrhu brda visine h. Ako je brzina granate pri ispaljivanju v0, aotpor vazduha zanemarljivo mali, izvesti jednainu trajektorije granate. Pokazati dase maksimalan domet granate postie za ugao elevacije 0 koji je odreen formulom(pogledati sliku 4):

sin0 =v0

2(v20 + gh).

y

xD

a

v0

h

v0x

v0y

Slika 1: Domet granate.

2. estica se kree brzinom konstantnog intenziteta v du kardioide ija je jednaina upolarnim koordinatima data sa r() = k(1 + cos).

(a) Izraziti preko intenziteta brzine.(b) Izraziti radijalnu komponentu ubrzanja preko intenziteta brzine.(c) Odrediti intenzitet ubrzanja.

2

3. Kometa se kree po parabolinoj putanji u gravitacionom polju Sunca tako da se njenaorbitalna ravan poklapa sa orbitalnom ravan Zemlje. Perihel komete iznosi treinu po-luprenika Zemljine orbite (smatrati da je putanja Zemlje oko Sunca krunica). Izvestiizraz koji odreuje vrijeme kretanja komete unutar Zemljine orbite (pogledati sliku 4).

4. Pomou grafika efektivnog potencijala kvalitativno ispitati kretanje estice u polju sile

~F = kr5~r (k > 0).

RZ

SunceR

min

Kometa

Slika 2: Parabolina putanja komete.

3

Drugi parcijalni ispit iz predmeta Klasina mehanika I

(29.12.2011. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

1. U famoznom eksperimentu iz 1911. godine Ernest Ruhterford1 iznosi eksperimen-talna opaanja rasijanja pozitivnih estica na tankom metalnom listu debljine reda104 cm.

(a) Ako pretpostavimo da se estica kree u Coulombovom polju jezgre atoma

~F =k

r3~r , k > 0 ,

zakljui koji su integrali kretanja i oblik putanje estice. Skiciraj ovo rasijanje ioznai kljune veliine.

(b) Izvesti izraz za polarni ugao i odredi rastojanje do kojeg se moe pribliiti estica energija E jezgri atoma.

(c) Nai vezu izmeu ugla rasijanja i parametra sudara b.

(d) Odredi diferencijalni presjek rasijanja.

(e) Objasni znaaj diferencijalnog presjeka rasijanja.

2. estica masem kree se po glatkoj sferi ija je jednaina x2+y2+z2 = a2 pod uticajemsile Zemljine tee.

(a) Odrediti integrale kretanja.

(b) Odrediti silu reakcije podloge kao funkciju poloaja estice.

1E. Rutherford, The scattering of alpha and beta particles by matter and the structure of the atom,Philosophical Magazine, 669-688, 21 (1911).

4

Zavrni ispit iz predmeta Klasina mehanika I(za studente koji polau prvi parcijalni ispit)

(11.01.2012. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

ZADACI

1. Taka se kree po kardioidi ija je jednaina r() = 2R(1 cos), konstantnom sek-torskom brzinom. Odrediti brzinu i ubrzanje u zavisnosti od polarnog ugla .

2. Materijalna taka mase m koja ima poetnu brzinu ~v0 = v0~i kree se pravolinijski. Nataku djeluje samo sila otpora u smjeru suprotnom od smjera brzine iji je intenzitetje dat izrazom:

F = k 3v ,

gdje je k konstantna veliina, a v intenzitet brzine.

(a) Odrediti vrijeme zaustavljanja tz.

(b) Odrediti zavisnost intenziteta brzine v(x) od trenutnog poloaja take. Uzeti daje poetni poloaj take u ishoditu koordinatne ose.

(c) Odrediti preeni put sz do zaustavljanja.

3. estica mase m se kree u polju sile sa potencijalom

V (r) = r r2

,

gdje su i pozitivne realne konstante.

(a) Pomou efektivnog potencijala kvalitativno ispitati kretanje estice u datom polju.

(b) Da li je mogue da se estica kree po krunici? Pod kojim uslovima je takvokretanje mogue?

(c) Odredite period kretanja estice po krunici.

5

Zavrni ispit iz predmeta Klasina mehanika I(za studente koji polau ispit integralno)

(11.01.2012. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

ZADACI

1. Materijalna taka mase m koja ima poetnu brzinu ~v0 = v0~i kree se pravolinijski. Nataku djeluje samo sila otpora u smjeru suprotnom od smjera brzine iji je intenzitetdat izrazom:

F = k 3v ,

gdje je k konstantna veliina, a v intenzitet brzine.

(a) Odrediti vrijeme zaustavljanja tz.(b) Odrediti zavisnost intenziteta brzine v(x) od trenutnog poloaja take. Uzeti da

je poetni poloaj take u ishoditu koordinatne ose.(c) Odrediti preeni put sz do zaustavljanja.

2. estica mase m se kree u polju sile sa potencijalom

V (r) = r r2

,

gdje su i pozitivne realne konstante.

(a) Pomou efektivnog potencijala kvalitativno ispitati kretanje estice u datom polju.(b) Da li je mogue da se estica kree po krunici? Pod kojim uslovima je takvo

kretanje mogue?(c) Odredite period kretanja estice po krunici.

3. Nai diferencijalni i totalni presjek rasijanja estice energije E u polju sile sa potenci-jalom

V (r) =

{V0 r < a0 r > a

Razmotriti sluaj kada je E < V0.

4. Materijalna taka mase m nalazi se na unutranjoj strani rotacionog paraboloida ijaje jednaina x2+y2 = 2az, gdje je a konstanta. Ispitati kretanje ove take ako je ona upoetnom trenutku bila u poloaju sa datim koordinatama (x0, 0, z0) i imala poetnubrzinu (0, v0, 0). Nai integrale kretanja i silu reakcije podloge.

6

Popravni ispit iz predmeta Klasina mehanika I(za studente koji polau prvi parcijalni ispit)

(26.01.2012. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

ZADACI

1. Materijalnoj taki mase m koja se nalazi u homogenom polju sile tee, saoptena jehorizontalna poetna brzina ~v0 = v0~i (pogledati sliku 4). Odrediti jednainu kretanjatake ako na nju djeluje i sila otpora vazduha ~Fot = k~v, gdje je k pozitivna konstanta.

x

y

0 v0

mg

vFot

Slika 3: Kretanje materijalne take pod uticajem sile tee i sile otpora vazduha.

2. Nai putanju estice u polju sile

~F = kr3~r , k > 0 ,

pomou integrala kretanja. Diskutovati mogua rjeenja.

7

Popravni ispit iz predmeta Klasina mehanika I(za studente koji polau ispit integralno)

(26.01.2012. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

ZADACI

1. Materijalnoj taki mase m koja se nalazi u homogenom polju sile tee, saoptena jehorizontalna poetna brzina ~v0 = v0~i (pogledati sliku 4). Odrediti jednainu kretanjatake ako na nju djeluje i sila otpora vazduha ~Fot = k~v, gdje je k pozitivna konstanta.

x

y

0 v0

mg

vFot

Slika 4: Kretanje materijalne take pod uticajem sile tee i sile otpora vazduha.

2. Nai putanju estice u polju sile

~F = kr3~r , k > 0 ,

pomou integrala kretanja. Diskutovati mogua rjeenja.

3. Dvije estice masa m1 i m2 meudjeluju preko potencijala

V (~r1, ~r2) = k|~r1 ~r2|3, k > 0 .

8

(a) Nai silu meudjelovanja i napisati diferencijalne jednaine kretanja.

(b) Pokazati da je referentni sistem vezan za centar masa inercijalan.

(c) Kolika mora biti energija relativnog kretanja Er u sistemu centra masa da bi dolodo sudara estica.

4. estica mase m kree se po glatkom konusu ija je jednaina x2 + y2 = a2z2 poduticajem sile tee.

(a) Napisati jednaine kretanja.

(b) Nai integrale kretanja.

(c) Nai silu reakcije podloge kao funkciju poloaja estice.

9

Popravni ispit iz predmeta Klasina mehanika I(za studente koji polau ispit integralno)

(30.08.2012. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

ZADACI

1. Tijelo mase m izbaeno je pod uglom u odnosu na horizont poetnom brzinom v0kao to je prikazano na slici. Pod pretpostavkom da se tijelo kree pod uticajem sileZemljine tee i sile otpora zraka iji je intenzitet proporcionalan intenzitetu brzinetijela, odrediti:

(a) koordinate poloaja tijela u zavisnosti od vremena, x(t) i y(t).

(b) maksimalnu visinu koju tijelo moe dosegnuti. (40%)

y

x

Hv0

v

v0x

v0y

mg

Fot

Slika 5: Kosi hitac.

2. Pomou grafika efektivnog potencijala kvalitativno ispitati kretanje estice u polju sile

~F = kr5~r (k > 0).

(30%)

10

3. Dvije estice masa m1 i m2 meudjeluju preko sile koja je opisana potencijalom

V (~r1, ~r2) =1

2k |~r1 ~r2|2 .

(a) Napisati diferencijalne jednaine kretanja.

(b) Nai integrale kretanja.

(c) Izvesti Newtonovu jednainu relativnog kretanja. (30%)

11