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KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
Verzerrungen und FestigkeitenVorlesung und Übungen1. Semester BA Architektur
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
2 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und Festigkeitslehre Verzerrungen und Spannungen
WerkstoffkennwerteNormalspannungen
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
3 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Einachsiger Zugversuch
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
4 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Kraft – Verformungs - Diagramm
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
5 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Wie lassen sich die Ergebnisse des einachsigen Zugversuches auf die Tragfähigkeit von Bauteilen übertragen ?
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
6 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
F [kN]
d
d - ∆d
L∆
L
L +
∆L
0u
0 0
u u uu u− ∆
ε = =
Äußere Kraft F und Längenänderung ∆L
u 0
u =
u 0+
∆u
Innere Spannungen σuund Dehnung εu
Teil heraus-geschnitten
σu
σu
Beziehung in u-Richtung
v
u
Das Verhältnis gedehnte Länge / ungedehnte Länge ist
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
7 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Normalspannungen wirken senkrecht auf eine beliebige Schnittfläche
Normalspannungen sind Flächen bezogene Größen [MN/m², N/mm²]
Normalspannungen in u-Richtung sind konstant über die
Länge L und
Querschnittsfläche mit A = d · t
L
d
1 1
F
t
Querschnitt Schnitt 1 - 1 senkrecht zur Mittelachse
F
συσυ
Gleichgewicht am unteren Teilstück
F – σ · A = 0 uF FA d t
⇒ σ = =⋅
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
8 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
tan Eσα = =ε
Eσ = ⋅ ε
Spannungs-Dehnungs-Diagramm Stahl S 235
Hooke‘sches Gesetz
E … Elastizitätsmodul [MN/m² = N/mm²]
Maß für die Nachgiebigkeit des Werkstoffes
Dehnung ε [%]
Spannung σ [N/mm²] elastischer Bereich
plastischer Bereich
Bruch
Zugfestigkeit fu,k
untere Streck-grenze fy,k
elastischer Bereich
Lineare Beziehung von Dehnung zu Spannung (Geradengleichung)
Reversible Dehnungen bei Entlastung keine Restdehnungen
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
9 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Spannungs-Dehnungs-Diagramm Stahl S 235
Tragreserven
bleibende (irreversible) Dehnungen nach der Entlastung (Umformung)
Dehnung ε [%]
Spannung σ [N/mm²] elastischer Bereich
plastischer Bereich
Bruch
Zugfestigkeit
Untere Streckgrenze
plastischer Bereich
nicht-lineare Beziehung von Dehnung zu Spannung
Große Verformungen vor dem Bruch
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
10 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
0 0,1 0,2 0,3 0,4Dehnung ε [%]
Spannung σ [N/mm²]
250
200
150
100
50
0
Stahl, schematisch, duktil
Glas, spröd
Beton, spröd
Elastizitätsmodul
Stahl2
St
2
210 N/mmE0,1 %
210 210 000 N/mm0,001
σ= ≈
ε
= =
2
Glas
2
70 N/mmE0,1 %
70 000 N/mm
σ= ≈
ε
=
E σ=ε
Beton
2
30 N/mm²E0,1 %
30 000 N/mm
σ= ≈
ε
=
Glas
Beton
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
11 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Kohlefaser E = 400 000 [MN/m²]
Stahl E = 210 000 [MN/m²] (Eisen-Kohlenstoff-Legierung)
E = 170 000 [MN/m²] (Chrom-Nickel-Legierng)
Aluminium E = 70 000 [MN/m²]
Glas E = 70 000 [MN/m²]
Stahlbeton E = 15 000 bis 40 000 [MN/m²]
Holz E = 10 000 bis 13 000 [MN/m²]
Holzplatten E = 1 200 bis 8 000 [MN/m²]
Mauerwerk E = 5 000 bis 10 000 [MN/m²]
Kunststoff E = 1 000 bis 4 000 [MN/m²]
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Fachgebiet Bautechnologie
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12 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Räumlicher Spannungszustand
Einschnürung durch Querdehnung bzw. Querkontraktion
Druckspannungen senkrecht zur Zugkraft
FZug
FZug
FDruck
FDruck
Aufweitung durch Querdehnung bzw. Querkontraktion
Zugspannungen senkrecht zur Druckkraft
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
13 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Dehnung (+)
Zugspannung (+)
Druckspannung (-)
Stauchung (-) Dehnung (+)
Zugspannung (+)
Druckspannung (-)
Stauchung (-)
Stahl
Werkstoff mit gleicher Zug- und Druckfestigkeit
Beton
Werkstoffe mit geringer Zugfestigkeit
C 20/25C 30/37C 35/45
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
14 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Betonstauchung ε [%]
Druckspannung σ [N/mm²]
Druckfestigkeit fck
Ecm
fck/εc1εc1 εc1u
Nicht – lineares Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Beton
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
15 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNormalspannungen
Normalspannungen in einer Stütze
Äußere Druckkraft FDQuerschnittsfläche A = b · d
FD
σDAnnahme:
Druckspannung konstant über die Schnittfläche
D DD
F FA d b
⇒ σ = =⋅
FD
FDdb
Gleichgewicht am unteren Teilstück
FD – σD · A = 0
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
16 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNormalspannungen
.l
γ
h
d
N(x) d x= −γ ⋅ ⋅ DN(x)(x)A(x)
σ =
N(h) d h [kN/m]= −γ ⋅ ⋅
x
γ Eigenlast der Wand [kN/m³]
Normalkraft Druckspannung
D(h) d h / d h [kN/m²]
σ = −γ ⋅ ⋅
= −γ ⋅
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
18 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNormalspannungen
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
19 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
F [kN]
d
d - ∆d
L∆
L
L +
∆L
uu
u∆
ε =
Äußere Kraft F und Längenänderung ∆L
v - ∆v
v
u
u +
∆u
Inneren Spannungen σuund Verzerrung εu
Teil heraus-geschnitten
σu
σu
Beziehung in u-Richtung
v
u