kinematika

5/11/2018 KINEMATIKA - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/kinematika-55a3599aeb4ff 1/101

1

MEHANIKA

• je dio fizike koji proučava zakone gibanjatijela:

• materijalne točke

• sustava materijalnih točaka

• krutog tijela

• fluida (tekućine i plinovi)• http://www.walter-fendt.de/ph14cr/index.html

2

kinematika materijalne točke

•Svako gibanje je relativno gibanje premaodređenom referentnom sustavu.

•Tijelo se giba ako mijenja položaj prema nekomdrugom tijelu (okolini), odnosno referentnomsustavu. Gibanje je vremenska promjena položajatijela u odnosu na referentni sustav.

•Mirovanje je poseban oblik gibanja. Tijelo mirujeako ima nepromijenjene koordinate s obzirom naodabrani referentni sustav. U svemiru nematočke koja apsolutno miruje; gibanje je relativno.



3

MEHANIKA

• KINEMATIKA: proučava gibanjematematički; određuje položaj, brzinu iakceleraciju bez obzira na uzroke gibanja

• DINAMIKA: proučava uzroke gibanja, dajefizikalnu bit gibanja

• STATIKA (poseban slučaj dinamike):proučava uvjete ravnoteže tijela

4


• Materijalna točka:

zanemarujemo dimenzije tijela i predstavljamoga točkom mase m

• Koordinate materijalne točke ovise o odabranomreferentnom sustavu

• Izbor referentnog sustava je proizvoljan, ali seobično odabire sustav vezan uz Zemlju, tzv.laboratorijski sustav



5


Gibanja s obzirom na brzinu:

Jednolika: brzina, v = konst.

akceleracija, a=0

Nejednolika: brzina, v ≠ konst.

akceleracija a>0 ili a<0

Gibanja s obzirom na putanju:

Pravocrtna: jednolika i nejednolika

Krivocrtna: nejednolika

6

Krivocrtno nejednoliko gibanje u ravnini

• Brzina mijenja i smjer i iznos

• Gibanje moramo promatrati vektorski

• Jednadžbu putanje (radijus vektor)

čestice zadajemo u Kartezijevompravokutnom sustavu:

jt yit xt r rr

r

)()()( +=



7


• Brzina je vremenska derivacija radijusvektora čestice i ima smjer tangentena putanju u toj točki:

dt

ds

t

sv

t pr =

Δ

Δ=

→Δ 0lim

v

pk

pk

t t

ss

t

sv

−

−=

Δ

Δ=

r

8


• ubrzanje (akceleracija) je promjena brzinepo smjeru i (ili) po iznosu u jedinicivremena:

2

2

0lim

dt

r d

dt

vd

t

va

t

v

t t

vva

t pravo

A B

A Bsrednje

rrr

r

rrr

r

==Δ

Δ=

ΔΔ=

−−=

→Δ



9

Ovisnost puta o vremenu, x=f(t),

i definicija brzine, v(t)

dt

dxt v =)(

0→dt

x(t)

t

α

dx

10

Kako iz poznavanja ovisnosti položaja ovremenu, , možemo prikazati i …

derivacijski oblik

)(t r r

)(t vr

)(t ar

jt ait a jdt

t dvi

dt

t dv

dt

t vd t a

jt vit v jdt

t dyi

dt

t dx

dt

t r d t v

jt yit xt r

y x

y x

y x

rrrv

r

r

rrrr

r

r

rr

r

)()()()()(

)(

)()()()()(

)(

)()()(

+=+==

+=+==

+=



11

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

Nastavak: kako iz poznavanja ovisnosti položaja

o vremenu, x(t), možemo prikazati v(t) i a(t)…

12

Kako iz poznavanja ovisnosti brzine o vremenu v(t)možemo prikazati x(t)… integralni oblik

jednoliko gibanje duž pravca, zadano je:

( )

t v xt x

t v x xt v xt

xv

ili

t v x xt v x x

k t vdt t vt dx

dt t vdx

dt

dxt v

t x

x

t x

⋅+=

⋅=−Δ⋅=Δ⇒Δ

Δ=

⋅+=→⋅=−

=⋅=

⋅=

=

∫ ∫

∫ ∫

0

0

00

0

)(

;

:

)(,)(

)(

)(

0

konst t v =)(



13

Kako iz poznavanja ovisnosti akceleracije o vremenu a(t)

možemo prikazati v(t) i x(t)… integralni oblik

jednoliko ubrzano gibanje duž pravca, zadano je:

t avv

t avv

dt t adv

dt avd

konst dt

vd a

v

v

t

v t

⋅+=

⋅=−

→=

⋅=

==

∫ ∫

∫ ∫

0

0

00

)(

rv

r

r

konst t a =)(

14

jednoliko ubrzano gibanje duž pravca, nastavakhttp://www.walter-fendt.de/ph14cr/acceleration_cr.htm

2

22

00

2

00

0 0

0

0

0

0

t at v x x

t at v x x

dt at dt vdx

dt at dt vdx

dt t avdt

dx

dt

dxv

t t x

x

x t

⋅+⋅+=

⋅+⋅=−

⋅+⋅=

⋅+⋅=

⋅⋅+=

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫

..skripte, str.5-6



15

Derivacijski i integralni oblik; općenito, a=f(t)

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

16

Derivacijski i integralni oblik; a(t)=konstanta

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/acons.html#c2



17

Gibanje u ravnini,

Putanja (prijeđ eni put) po kojoj se giba materijalnatočka u ravnini može se prikazati vektorom:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

s

m

dt

r d v

r

r

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

2s

m

dt

vd a

r

r

brzina:

akceleracija:

jt yit xt r rr

r

)()()( +=

)(t r v

18

jt t it t t t r rr

r

)135()1655()(223 +−++−=

( ) ( ) ( ) jt it t dt

r d t v

rr

r

r

3101610152 −++−==

Primjer: zadan radijus vektor materijalne točke:

vektor brzine ovisan o vremenu:

Vektor akceleracije ovisan o vremenu:

( ) ( ) jit dt

vd t a

rr

r

r

101030 +−==



19

jt t it t t t r rr

r

)135()1655()(223 +−++−=

zadatak:

Vektor položaja materijalne točke određen je relacijom:

Odredite:a) gibanje materijalne točke u x(t) i y(t)

komponenti ib) vektor brzine i iznos brzine u trenutkukada je akceleracija u x smjeru jednaka nuli.

20

( ) ( ) jit dt

vd t a

rr

r

r

101030 +−==

( ) ( ) st t t a x3

101030 ==−=

jidt

r d v

rr

r

r

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ==⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ 3

3

11016

3

110

3

115

3

12

( ) ( ) ( ) jt it t t vrr

r

3101610152 −++−=

jivrr

r

3

1

3

43

3

1+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ s

mv 3,14

3

1

3

43

3

122

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ r

rješenje:

kinematika

Documents