keterkontrolan dan keterobservasian sistem llnlerrepository.unp.ac.id/961/1/marliani_640_99.pdf ·...
TRANSCRIPT
KETERKONTROLAN DAN KETEROBSERVASIAN SISTEM LlNlER
MAKALAH
~ ' r s - . --. . , , , ,. . t ' > ,
; p c , S ' \. . - & ' V . r n . . . ' . . . , ; & - ;
;;I ..,:=*:..<., . OLEH:.-- -- --.--A _ . _
.. *.--,, - . _ DRA. MARLlANl
JURUSAN PENDlDlKAN MATEMATIKA FPMIPA IKlP PADANG
1999
Kata Pengantar
Puji syukur penulis aturkan kepada Yang Maha Kuasa karena dengan
karuniaNya penulis manlpu menyelesaikan makalah dengan judul Keterkon-
trolan d a n Keterobservasuian Sistem Linier.
Makalah ini tlit~~lis dengan maksud untuk menambah referensi tentang
matematika terapa 11 khususnya dalam bidang Persamaan Diferensial dan Kon-
trol di Jurusan Matelnatika FPMIPA IKIP Padang, selama ini sedikit sekali
bahan bacaan dalam bidang tersebut yang ditulis oleh staf pengajar Jurusan
Matematika sendiri. Disamping itu, materi dari tulisan ini merupakan ap-
likasi dari matematika 111urni terutama bidang Kalkulus dan Aljabar. Jadi,
tulisan ini juga dima.l<su(lkan untuk memotivasi para pengajar dan mahasiswa
matematika untuk lebih rnendalarni matematika mengingat matematika sangat
penting dalam kaitannya dengan bidang lain.
Terima kasih penulis aturkan kepada rekan-rekan sejawat yang telah
membaca dan menil~erilian masukan berharga tentang perbaikan makalah ini.
Semoga makalah sc.clerhana ini bermanfaat bagi pembaca.
Padang, Juli 1999
Kata Pengantar
Daftar Isi
Daftar Isi
1 Pendahuluan 1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Pembahasan 2
2.1 Ouput yang 'Terkontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 State yang Da.pat Dikontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Keterobservasian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Kesimpulan
Daftar Pustaka
Bagian 1
Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
Pengetahuan nlengenai sistem linear sangat diperlukan untuk menge-
t ahui kelakuan dari proses dinamik. Walaupun dalam praktek sangat sedikit
sistem yang linear, t .~ tapi sistem ini sering kali digunakan untuk mendekati
model tak linear. Selain itu, pengertian mengenai sistem linear sangat berguna
untuk mempelajari sistem nonlinear.
I. 2 Perrnasalahan
Dalam tulisan ini akan dibahas tentang lteterkontrolan dan keterobser-
vasian sistem linier. Iihususnya, tentang apa syarat perlu dan cukup untuk
keterkontrolan dan l<et.erobsevasian suatu sistem linier.
Bagian 2
Pembahasan
2.1 Ouput yang Terkontrol
Diberilcan sistem
x = A( t ) x + B ( t ) u + E( t )w ,
y = C ( t ) x + D(t )u + F( t )w , (2.1)
dimana A, B, C, D , E'. dan F berturut-turut menyatakan matriks n x n , n x r ,
m x n , m x r , n x p. dan m x p. x E Cn disebut vektor state, y E Rm vektor
ouput, u E R' vektor input (control), dan w E RP vektor disturbance.
Ingin diketahui apakall terdapat input u ( t ) yang mentransfer y( t ) dari y(to) ke
~ ( t l ) .
Definisi 2.1 Untuk sllatu w ( t ) yang ditentukan sebarang, sistem (3.1) dikatakan
mempunyai output terkontrol pada saat to jika untuk setiap yo dun yl sebarang,
terdapat u ( t ) dun t l , l o < t < t l < m, sehingga output y ( t ) yang berkaitan
dengan u ( t ) memenuhi y(to) = yo, y ( t l ) = y1
Misalkan @(t , T ) aclalah matriks transisi dari sistem persamaan diferensial
x = A ( t ) x dan rang [C'(to), D(to)] = m. Maka kita punyai teorema berikut.
Teorema 2.1 Sistenr (3.1) mempunyai output terkontrol pada saat to jika dun
hanya jika no1 bukan nilai eigen dari Y ( t o , t l ) untuk suatu t l > to dimana
Bukti: Perhatikan lsa,hwa dari (2.6) didapat hubungan
Dengan menggunakan Lemma Dirac delta, Lemma 2.6.1 , diperoleh
Untuk mencari solusi rc(t) , mula-mula dihitung x(to)
Karena rang dari [C(to), D(to)] = m, maka [C(to) D(to)] mempunyai invers
kanan. Ini mengakibat)kan adanya solusi, untuk x(to) dan u(to). Selanjutnya
definisikan transforma.si linier
dan tulis
maka diperoleh T (u ) = Y. Untuk menentukan transformasi adjoint dari T,
perhatikan
Sehingga
T*(v) = GT(t)v dan
Transformasi TT* adalah matrilts n x n, nyatakan sebagai Y(to, t l) yaitu
Sistem (3.1) outputnya terkontrol
T(u) = 2 punya solusi u(t) untuk Y sebarang.
Ker(T*) = 0 (dari Lemma 2.4.5)
I<er(TT*)=O (dari Lemma2.4.6)
TT* = Y ( t o , t l ) tidak mempunyai nilai eigen
yang sama dengan no1 (dari Lemma 2.5.1 dan definisi Y(to, t l )) .
Jika didefinisikan
dan dengan mengguna.l;an Lemma Dirac delta, yaitu Lemma 2.6.2, maka (3.2)
dapat dinyatakan da,la,m bentuk
dimana S menyatakail bilangan positif besar sebarang yang merupakan indeks
nilai fungsi delta Dira.c di nol.
def t l Lemma 2.1 Mi~alkni~ Y(to, t l ) = Lo G(r )GT( r ) d r , dimana G( r ) adalah
matriks n x m sebarnizg. Maka pernyataan berikut ekivalen.
1. No1 bukan nila i r dgen dari Y (to, t l )
2. lY(t0, t l ) 1 # 0
3. Y(to,t l) > 0 (dcfinit positif)
Bulcti: 1 .* 2. Definisikan @ ( A ) = I (Y - X I ) I . Jika X I , X2, - 0 - , An adalah
nilai eigen dari Y malia
@ ( A ) = J ( Y - X I ) / = ( X I - X ) ( X 2 - A ) . . - ( A n - A )
Jika diketahui no1 bu1;a.n nilai eigen dari Y maka Xi # 0 V i, jadi
lYl # 0.
2.+ 3. Diketahui 11.1 # 0 akan ditunjukkan Y > 0
Karena Y adjoint dellgan diri sendiri, maka menurut Lemma 2.5.2 terdapat himpunan ortonormal e 1, ez, . , en, yang merupakan vektor eigen dari Y, yang
berturut-turut berkorespondensi dengan nilai eigen X1X2, . , An. Selanjutnya
karena
n
IYI =nX; # O j Xi # O Vi . i= l
Maka diperoleh
A; = cT l ' e ; # 0 dimana Ye; = X;e;, Te; = 1
Tetapi karena vektor eigen el, e2,. - . , en merupakan basis dari Cn, maka untuk
sebarang vektor x E Cin dapat dinyatakan sebagai x = Cy=, aiei. sehingga
Tetapi karena semua X i positif, maka Cy=l XXilai12 2 0 dan ini sama dengan
no1 jika semua a; sama, dengan nol, yaitu jika x = 0. Jadi Y > 0.
3 . d 1. Misalkan X nilai eigen dari Y maka
Karena diketahui Y tlefinit positif maka X positif. Jadi no1 bukan nilai eigen
dari Y.
Sistem Invarian terhadap Waktu
Jika matriks A, B, C. D, E, dan F konstan maka dari (3.3) d m (3.4) diperoleh
Sehingga, dari Teorelxa 3.1.1 dan Lemma 3.1.1, diperoleh ha1 berikut .
Sistem invarian terhadap waktu outputnya terkontrol pada saat to jika dan
hanya jika
Teorema 2.2 Sisten? invarian terhadap waktu
x = A x + B u
y = c x
outputnya terkontrol ;jika dun hanya jika
atau ekivalen denga,~?
P s [ C B C A B CAn-'B]
m e m p u n y a i r a n g m .
Bukti: Dari (3.7) clan dengan mensubstitusikan D = 0 ke (3.6) diperoleh
(3.9). Selanjutnya alian dibuktikan (3.10). Untuk itu definisikan
Dengan menggunakan (2.7), yaitu
diperoleh
Definisi kan
v j = 1' aj(t1 - T ) U ( T ) d~
M aka
Misalkan sistem (3.S) outputnya terkontrol maka untuk Y sebarang, persamaan
(*) dapat diselesaikan (untuk v ) . Sehingga menurut Teorema 2.1.2 rang P =
m. Sebaliknya misallian rang P = m maka menurut Teorema 2.1.2 sistem
(*) selalu dapat diselesaikan (untuk v ) . Jadi terdapat u yang memenuhi per-
samaan tersebut. Dengan kata lain sistem terkontrol.
2.2 State yang Dapat Dikontrol
Tinjau sistem persanlaan diferensial
i = A( t ) x + B ( t ) u + E( t )w
Definisi 2.2 Untuk srtatu w ( t ) yang ditentukan sebarang, sistem (3.11) dikatakan
mempunyai state ter.l,.orztrol pada saat to jika untuk setiap x( to) dun x ( t l ) se-
barang, terdapat u ( t ) dan t l , to 5 t 5 t l < oo, sehingga solusi x ( t ) yang
berkaitan dengan u ( l ) memenuhi x( to) = xo, x ( t l ) = xl . Yaitu, terdapat u ( t )
yang membawakan ro k e X I dalam waktu t l .
Teorema 2.3 Sistem (3.11) mempunyai state terkontrol pada saat to jika dun
hanya jika X ( t o , t l ) > 0 untuk suatu t l > to dimana X( to , t l ) didefinisikan oleh.
(3.3).
Bukti ini diperoleh dcngan mensubstitusikan C = I, D = 0 dan F = 0 ke
Teorema 3.1.1 dan de~lgan menggunakan Lemma 3.1 .l.
Teorema 2.4 Sister,, invarian terhadap waktu x = Ax + B u mempunyai state
terkontrol jika dun I~cr~zya jika X ( to , t l ) > 0 atau ekivalen dengan
mempunyai rang n . Bukti dari teorema ini diperoleh dengan mensubstitusikan
C = I , D = 0 dun F = 0 ke Teorema 3.1.2.
Dari Teormea 3.2.2 diperoleh Lemma berikut
Lemma 2.2 X ( t o , t l ) > 0 untuk suatu t l > to jika dun hanya jika r a n k [ B A B - An-' B1
n
d' imana
Keterkontrolan dari Transformasi Koordinat
Perhatikan Sistem linier
x = A x + B u
y = C x + D u
Jika dilakukan transforma.si koordinat x = Mq, dimana M adalah matriks tak
singulir, maka diperoleh
M q = A M q + B u
y = C M q + D u
Teorema 2.5 Tranqli)rmasi koordinat dari state tidak mengubah keterkon-
trolan dari state atav output dari sistem linier
Bukti: Dari (3.4) diperoleh
Y(to, t l) = D D ~ S + D ( M - ~ B ) ~ ( C M ) ~ + CMM-IBD~
Jadi uji keterkontrola 1 1 . Y (to, t l ) , tidak berubah. Hal ini menunjukkan bahwa
keterkontrolan dari output tidak berubah jika dilakukan transformasi koordi-
nat. Selanjutnya, d e ~ ~ g a n mensubstitusikan C = I, D = 0 diperoleh bahwa
uji keterkontrolan da.ri state, yaitu X(to, t l ) , juga tidak berubah.
Teorema 2.6 MisalXvn A mempunyai nilai eigen yang saling
def berbeda dun M = [vl . . . v,], dimana vl, vz, - , v, adalah vektor eigen dari
A. Maka sistem (3.14) mempunyai state yang terkontrol jika dun hanya jika
B = M-'B tidak mfrnpunyai baris nol.
Bukti: Dari (3.14 ) cliperoleh
dimana A = M-' AM clan B = M-' B. Andaikan baris dari 23 ada yang sama dengan nol, misalkan baris ke-i, maka
4.; = Xiqi, dimana Xi adalah nilai eigen yang berkorespondensi dengan vektor
eigen vi. Dalam kasus ini komponen ke-i dari solusi, yaitu qi berbentuk qi =
cexit. Untuk c # 0, q; tidak dapat dibawa ke no1 didalam waktu hingga, karena
untuk Xi > 0 ex" + m atau untuk Xi < 0 exit + m , jika t + m .
Ini berarti kompone~ I ke-i tidak terkontrol. Sehingga solusi t ak terkontrol,
bertentangan dengall sitem mempunyai state terkontrol. Ini membuktikan
bahwa jika st atenya t crl<ontrol maka B tidak mempunyai baris nol. Sebaliknya,
misalkan B tidak me~llpunyai baris nol. Solusi di t l dari q = Aq + Bu adalah
Misalkan bi adalah baris ke-i dari ??3 dan u ( t ) = x;=, Pje-'jt $7 dimana Pj adalah konstanta yang tidak diketahui. Maka komponen ke-i dari
q( t ; ) adalah
atau
dimana d ; ( t ) = e-,'tf 6; dan
Dalam bentuk matrilis, setelah digabung, didapat
atau
Untuk menunjukkan Imhwa invers dari [ ( O i ( r ) , 0j ( T ) ) ] ada perhatikan ha1 berikut . Dari asumsi diketahui b; # 0 'd i dan X i berbeda. Ini mengakibatkan { O j ( t ) ) ,
j = 1,2 , . . . , n bebas linier. Misalkan G ( t ) = [O1(t) 02( t ) . . . O,(t)] dan &fin-
isikan
Jelas bahwa , IIG(t)sl12 = 0 * G( t )x = 0. Karena {Oj(t)) bebas linier
maka persamaan G(f1.r = 0 hanya dipenuhi oleh x = 0. Ini berarti matriks
J," G T ( ~ ) ~ ( ~ ) d~ d~f in i t positif. Sehingga menurut Lemma 3.1.1 matriks ini
tak singulir. Oleh ka.rena itu
= ltl G T ( r ) G ( r ) d r
adalah matriks tak siligulir. Dari (*) didapat
Jadi fungsi inputnya. adalah
Teorema 2.7 Sisten~ dalam bentuk Jordan
m e m p u n y a i s tate terliontrol jika dun hanya jika
I. {bit, bjt, . . . , bkl) adalah h impunan bebas linier, d imana J ; , Jj, . . . , Jk
adalah blok Jor.rlnn dengan nilai eigen sama X i dun b$ adalah baris ter-
alchir dari B i .
2. bPt # 0 jika J , c~dnlah satu-satunya blok Jordan dengan nilai eigen A,.
Bukti: Untuk menyetlerhanakan pembuktian, asumsikan hanya ada tiga blok.
dengan BT = [bll b12 b13 I b21 b22 I b31 b32]. Menurut Teorema 3.2.2 dan dari
(3.15) diperoleh
Dengan induksi matc~natika dapat dibuktikan bahwa
Syarat perlu dari (2 ) cukup jelas karena, sebagai contoh, jika b32 = 0 maka
baris ke-7 dari P adalah baris no1 dan rang P < n. Untuk melihat syarat perlu
dari (I), misalkan b22 = ab13. Maka dengan melakukan operasi baris elementer
(kalikan baris ke-3 dengan CY lalu tambahkan ke baris ke-5) diperoleh baris ke-5
menjadi baris nol. Ini berarti rang P < n, sehingga sistem tidak terkontrol.
Sebaliknya, akan ditl11;j ukkan sistem (3.15 ) mempunyai state yang terkontrol.
Dengan melakulcan operasi kolom elementer pada P diperoleh PI =
Dua baris terakhir da.ri PI terdiri dari B3, ( J3 -XI I)B3, ( ~ 3 - X l I ) ~ B ~ , (J3-
X1 I)3B3,. . . . Akhirnya. dengan melakukan operasi baris elementer (pertukaran
baris) diperoleh
Menurut syarat ( I) , 613, b22 bebas linier sehingga rang dari [!?I adalah 2.
Oleh karena itu determinan tak no1 2 x 2 dapat dibentuk dengan mengha-
puskan kolom-kolom. Dari syarat (I), yaitu sifat kebebas linierannya, diper-
oleh b13 # 0. Selanjut nya karena bg2 # 0 malta determinan tak no1 2 x 2 dapat
diperoleh dari [(J3 - XI I)3B3 (J3 - X I I)4B3]. Jadi matriks segitiga blok bawah
dapat dibentuk dari 11" dan rang P" = rang P = n. Ini berarti sistem (3.15)
mempunai state terkontrol.
CONTOH
Perhatikan sistem linier i = Ax + Bu , dimana
Maka diperoleh
Rang(P) = 7 sehingga, sistem ini terkontrol.
Rang(P) = 6 sehingga sistem ini tak terkontrol.
2.3 Keterobservasian
Perhatikan sistem
2 = A(t )x + B( t )u
y = C ( t ) x + D(t)u
Solusi dari (3.16) diperoleh dari (2 .6) , yaitu
Definisi 2.3 Sistem (.I. 16) dikatakan terobservasi pada saat t jika x ( t o ) dapat
ditentukan secara unil,: berdasarkan y ( ~ ) , u ( T ) , 0 5 T 5 t .
Perhatikan bahwa nilai x untuk tl sebarang dapat ditentukan segera sesudah
x ( t o ) diketahui, yai t u clengan menggunakan (2 .4)
Teorema 2.8 Sistem linear (3.16) terobservasi pada saat t l jika dun hanya
jika no1 bukan nilai f igen dari K(to, t l ) dimana
Bukti: Dari (3.17) cliperoleh
Tulis
dan definisikan transf'ormasi linear
maka diperoleh
Misalkan sistem (3.16) terobservasi. Maka, menurut definisi, x(to) dapat di-
tentukan secara tunggal. Sehingga dari Lemma 2.4.3 diperoleh Ker(T) = 0. Transformasi linear T* dapat digunakan sebagai pengganti dari T pada
Lemma 2.4.6. Akiba.t nya, diperoleh Ker(T*T) = Ker(T) = 0. Untuk menda-
patkan transformasi acljointnya, perhatikan
sehingga
dan
Dari Lemma 2.5.1 diperoleh Iiler(T*T) = 0 jika dan hanya jika nilai eigen
dari T*T tidak sama 1101. Karena K(to, t l ) = T*T, maka no1 bukan nilai eigen
dari K(to, t l ) . Sebalili~lya, misalkan no1 bukan nilai eigen dari K(to, t l) . Ka-
likan ( tc ) dari sebela,h kiri dengan [$T(t, to )cT( t ) ] dan itegralkan, diperoleh tl -T S,, Q (t,to) C T ( t ) W ) d t
t -T = Lo1 Q (t, to)CT(t)r( t )@(t , to)x(to) dt.
Dengan mengubah variabel integrasi, diperoleh
karena no1 bukan l~ilai eigen dari K(to, t l) malca menurut Lemma 3.1.1
IK(to,tl)l # 0 atau I\'-'(to, tl) ada. sehingga solusi untuk x(to) adalah
.(to) = K-l (to, t,) QT(r, to)CT(r)9(t) dr. Lot1 -
Jadi, menurut definisi . sistem linear (3.16)dapat diobservasi.
Lemma 2.3 Misalknll
Maka pernyataan be~ili,ut ekivalen.
1. No1 bukan nilai cigen dari K ( t o , t l )
3. K(to , t l ) > 0 (d t f in i t positif)
Bukti dari lemma ill i diperoleh dengan mensubstitusikan
T ( ~ , t O ) C T ( 7 ) ke Lc~uma 3.1.1.
Sistem Invarian terhadap Waktu
Sistem invarian terhaclap waktu
Teorema 2.9
dapat diobservasi jika dan hanya jika
mempunyai rang n.
Bulcti: Menurut l'corema 3.3.1 sistem (3.19) terobservasi jika dan hanya
jika no1 bukan nilai eigen dari K( to , t l ) . Menurut Lemma 3.3.1, ini ekivalen
dengan K(to , t l ) > 0. .J adi, dari Lemma 3.2.1 dengan mengganti B dengan
dan A dengan XT, sistem (3.19) terobsevasi jika dan hanya jika r a n g (Q) = n.
Keobservasian dari Transformasi koordinat
Perhatikan sistem (3.13). Jika dilakukan transformasi koordinat x = Mq maka
dari (3.14) diperoleh
Untuk keobservasian~~~:a, menurut Teorema 3.3.2, kita harus menguji rang dari
Tetapi rang Q* = r n ~ l g Q'M untuk sebarang matriks tak singulir M . Jadi
transformasi koordinaf tidak mengubah sifat keobservasian dari sistem.
Teorema 2.10 Mis~~llian A mempunyai nilai eigen yang saling
def berbeda dun M = [ I Y ~ va . . - v,], dimana v1, v2, - . , v, adalah vektor eigen
dari A. Maka sisterir invarian terhadap waktu (3.14) terobservasi jika dun
hanya jika C = C M r'ddak mempunyai kolom no/.
Bukti: Dari (3.14) cliperoleh
Andaikan kolom dari C ada yang sama dengan no1 , misalkan kolom ke-i, maka
output y tidak dipengaruhi oleh qi. Sehingga qi(to) bisa mempunyai nilai se-
barang. Oleh karena itu q(to) tidak dapat ditentukan secara unik. Dengan
kata lain tidak terobscrvasi. Sebaliknya, misalkan C tidak memuat kolom nol.
Ini ekuivalen dengan cT tidak memuat baris nol. Sehingga, dari proses pem-
buktian Teorema 3.2.-1. diperoleh I - ( t o , t l ) tak singulir. Jadi menurut Lemma
3.3.1 dan Teorema 3.3.1 sistem terobservasi.
Teorema 2.11 Misc~lkan output dari sistem (3.14) adalah
Maka sistem ini tero0.servasi jika dun hanya jika
1 { c , c . . . , c } adalah himpunan bebas linier, dimana
Jd, J j , . . . , Jk adnlah blok Jordan dengan nilai eigen sama A; dun c;l
adalah kolom I)( rtama dari Ci.
2. cpl # 0 jika J , c~dalah satu-satunya blok Jordan dengan nilai eigen A,.
Bulcti: [Lihat [3] ]
Bagian 3
Kesimpulan
Sistem
i = A(t )x + B(t )u + E(t )w ; y = C ( t ) x + D(t)u + F(t)w
mempunyai output tc11,kontrol pada saat to jika dan hanya jika Y ( to , t l ) > 0
untuk suatu t l > to tlimana
Sistem x = A(t )x+B(f )u+E(t )w mempunyai state terkontrol pada saat to jika
dan hanya jika X ( t o , 1 , ) > 0 untuk suatu t l > to dimana
Sistem linear
terobservasi pada sa.at t l jika dan hanya jika K(to, t l ) > 0 dimana K(to, t l )
didefinisikan oleh
Transformasi ko0rdina.t dari state tidak mengubah keterkontrolan dari state
atau output dan sifa.t keterobsevasian dari sistem linier.
Daftar Pustaka
[l] Brockett, R.W., l"iizite Dimensional Linear Systems, John Wiley & Sons,
New York, 1970.
[2] Brogan, W. L., hlorlern Control Theory, Quantum Publishers, New York,
1974.
[3] Coddington, E.A. a.nd N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equa-
tions, McGraw-Hill, New York, 1955.
[4] Halmos, P.R., Fiilite Dimensional Vector Spaces, 2nd Ed., D. Van Nos-
trand, Princeton, New Jersey, 1958.
[5] Jacob, B., Lineal .-llgebra, W.H. Freeman and Company, New York, 1990.
[6] Schwarz, R.J ant1 Friedland., Linear Systems, McGraw-Hill, New York,
1965.
[7] Skelton, R.E., Dylrnmic Systems Control, John Wiley & Sons, New York,
1988.