keterkaitan antara ruang hasil kali dalam-2 dan … · 2021. 3. 17. · ruang hasil kali dalam...
TRANSCRIPT
KETERKAITAN ANTARA RUANG HASIL KALI DALAM-2
DAN RUANG BERNORMA-2
TUGAS AKHIR
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada
Jurusan Matematika
Oleh:
F A R I A N I 10554002375
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU
PEKANBARU 2010
CORE Metadata, citation and similar papers at core.ac.uk
Provided by Analisis Harga Pokok Produksi Rumah Pada
xi
KETERKAITAN ANTARA RUANG HASIL KALI DALAM-2
DAN RUANG BERNORMA-2
F A R I A N I
10554002375
Tanggal Sidang: 04 Februari 2010 Periode Wisuda: Juli 2010
Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No.155 Pekanbaru
ABSTRAK
Diberikan .,. merupakan hasil kali dalam dan ..,. hasil kali dalam-2 sedangkan
..,.,X adalah untuk ruang hasil kali dalam-2 serta . adalah norma yang didefinisikan
dengan xxxxx ,, 2
1
== kemudian untuk ruang bernorma-2 didefinisikan dengan
.,.,X . Tujuan dari tugas akhir ini adalah memperkenalkan keterkaitan antara ruang hasil
kali dalam-2 dengan ruang bernorma-2 mempunyai suatu hubungan. Berdasarkan pembahasan diperoleh bahwa antara keduanya saling berhubungan dan saling berkaitan. Kata Kunci: Hasil Kali Dalam, Hasil Kali Dalam-2, Norma, Ruang Bernorma-2, Ruang
HasilKali Dalam-2
xi
RELEVANCE BETWEEN 2-INNER PRODUCT SPACE AND 2-NORMED SPACE
F A R I A N I 10554002375
Date of Final Exam:February 04th 2010 Graduation Cremony Priod: July, 2010
Mathematic Departement Faculty of Sciences and Technology
State Islamic University of Sultan Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No 155 Pekanbaru
ABSTRACT
Let .,. be a Inner Product, and ..,. be a 2-Inner Product and whereas ..,.,X be a
for 2-Inner Product Space with . be a norm defined with xxxxx ,, 2
1
== then
for 2-norma space defined with .,.,X . . Goal of this peper to determine introduction
relevance between 2-Inner Product Space and 2-Normwd Space his have relation. Based of description resulting that between the two of them relation and relevance. Keywords: Inner Product, Normed, 2-Inner Product, 2-Inner Product Space, 2-Normed Space.
xi
DAFTAR ISI
Halaman
LEMBAR PERSETUJUAN ............................................................................... ii
LEMBAR PENGESAHAN .............................................................................. iii
LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL ................................. iv
LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................... v
LEMBAR PERSEMBAHAN ........................................................................... vi
ABSTRAK ....................................................................................................... vii
ABSTRACT ...................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ....................................................................................... ix
DAFTAR ISI ..................................................................................................... xi
DAFTAR LAMBANG .................................................................................... xii
BAB I. PENDAHULUAN ............................................................................... I-1
1.1 Latar Belakang ............................................................................. I-1
1.2 Rumusan Masalah ........................................................................ I-1
1.3 Batasan Masalah ........................................................................... I-2
1.4 Tujuan Pulisan .............................................................................. I-2
1.5 Sistematika Penulisan .................................................................. I-2
BAB II. LANDASAN TEORI ........................................................................ II-1
2.1 Besaran dan Vektor .................................................................... II-1
2.2 Hasil Kali Dalam ........................................................................ II-2
2.3 Ruang Bernorma ........................................................................ II-4
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN ..................................................... III-1
BAB IV. KETERKAITAN ANTARA RUANG HASIL KALI DALAM-2
DAN RUANG BERNORMA-2 .................................................... IV-1
4.1 Ruang Hasil Kali Dalam-2 ...................................................... IV-1
4.2 Sifat-Sifat Dasar Ruang Hasil Kali Dalam-2 .......................... IV-4
4.3 Ruang Bernorma-2 ................................................................. IV-4
4.4 Sifat-Sifat Dasar Ruang Bernorma-2 ...................................... IV-5
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN ......................................................... V-1
5.1 Kesimpulan ................................................................................. V-1
5.2 Saran ........................................................................................... V-1
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
xi
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Perkembangan ilmu matematika pada saat sekarang ini begitu pesat
sehingga memberikan keuntungan dan kemudahan bagi insan pendidikan ataupun
bagi dunia usaha, karena matematika merupakan salah satu induk dari segala
macam ilmu di dunia. Salah satu perkembangan dari ilmu matematika tersebut
yaitu tentang hasil kali dalam. Konsep ruang hasil kali dalam ( inner product
space ) sebenarnya telah banyak dibahas dalam ilmu matematika seperti Howard
Anton yang membahas tentang ruang hasil kali dalam euclidis, dan D. Amir
( 1986 ) yang membahas tentang karakteristik ruang hasil kali dalam kemudian
ruang hasil kali dalam tersebut berkembang lagi menjadi ruang hasil kali dalam -2
(2-inner product space ). Pada tahun 1963 Gahler juga menemukan konsep
norma-2 ( 2-norm ) dan ruang hasil kali dalam-2, sebagaimana diketahui bahwa
konsep ruang hasil kali dalam erat kaitannya dengan norma, sehingga ruang hasil
dalam-2 berkaitan juga dengan ruang hasil kali dalam-2.
Masalah ruang hasil kali dalam juga banyak ditulis oleh beberapa ahli
matematika didalam sebuah jurnal seperti yang ditulis oleh A. White , Y. J dan
S.S, KM (1997) yang membahas tentang karakteristik ruang hasil kali dalam-2.
sedangkan di dalam perkuliahan yang dibahas hanya sebatas ruang hasil kali
dalam maka berdasarkan jurnal tersebut penulis tertarik untuk mengembangkan
jurnal yang ditulis oleh A. White untuk dijadikan sebuah skripsi dengan judul ”
Keterkaitan Antara Ruang Hasil Kali Dalam-2 dan Ruang Bernorma-2”.
1.2 Rumusan Masalah
Masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah mengenai keterkaitan
antara ruang hasil kali dalan-2 dan ruang bernorma-2.
I-2
1.3.1 Batasan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu tentang ruang
hasil kali dalam-2 dan ruang bernorma-2, serta keterkaitan dari hasil kali dalam
dan ruang bernorma-2 itu sendiri.
1.4. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan ini adalah membahas mengenai ruang hasil kali
dalam-2 dan ruang bernorma-2 serta untuk mendapatkan keterkaitan dari ruang
hasil kali dalam-2 dan ruang bernorma-2.
1.5. Sistematika Penulisan
Sistematika dalam pembuatan tulisan ini mencakup 5 bab yaitu :
Bab I Pendahuluan
Bab ini berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan, dan
sistematika penulisan.
Bab ll Landasan Teori
Bab ini berisikan informasi tentang teori-teori yang digunakan dalam
penulisan ataupun metode/teorema yang dipakai.
Bab III Metode Penelitian
Bab ini berisikan cara-cara atau langkah-langkah dalam menyelesaikan
permasalahan ruang hasil kali dalam-2 dan ruang bernorma-2 .
Bab IV Pembahasan dan Analisa
Bab ini berisikan penyelesaian masalah ruang hasil kali dalam-2 dan
ruang bernorma-2, serta keterkaitan keduanya.
Bab V Penutup
Bab ini berisi kesimpulan dan saran
BAB II
LANDASAN TEORI
Adapun landasan teori yang digunakan dalam skripsi ini adalah :
2.1 Besaran dan Vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya
adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu,
besaran yang hanya memiliki nilai tanpa arah disebut dengan skalar. Contohnya
adalah massa, muatan, kerapatan, dan temperatur. Untuk notasinya, besaran yang
dinyatakan sebagai vektor akan ditandai dengan tanda panah di atas simbolnya
( →→BA , dan seterusnya ), sedangkan skalar dinyatakan dengan huruf biasa. Besar
( nilai ) dari suatu vektor →A dapat dituliskan
→A atau dengan notasi skalar A
Definisi 2.1. Jika ),...,( 21 nuuuu = dan ),...,( 21 nvvvv = adalah sebarang vektor
pada nR , maka hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) vu .
didefinisikan dengan nnvuvuvuvu +++= .... 2211 .
Contoh 2.1
Di berikan hasil kali dalam Euclidis dari vektor u dan v masing-masing adalah
)5,3,1(−=u dan )0,4,5(=v . Tentukan hasil kali dalam Euclidisnya.
Jawab:
Hasil kali dalam Euclidis pada 3R adalah
7
0125
)0)(5()4)(3()5)(1(
.... 2211
=++−=
++−=+++= nnvuvuvuvu
Maka nilai 7 disebut sebagai hasil kali dalam Euclidis
II-2
Definisi 2.2 Dua vektor ),....,,( 21 nuuuu = dan ),....,( 21 nvvvv = pada
nR dinamakan sama jika nn vuvuvu === ,...., 2211 sedangkan untuk penjumlahan
vu + didefinisikan dengan ),....,( 2211 nn vuvuvuvu +++=+ dan jika k adalah
sebarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan dengan
),.....,( 21 nkukukuku = . Operasi penambahan dan perkalian skalar dalam definisi
ini disebut dengan operasi-operasi baku pada nR .
Definisi 2.3 Ruang vektor atas lapangan R adalah himpunan tidak kosong X
dengan dua operasi yaitu penambahan dan perkalian dengan skalar atas vektor-
vektor Xzyx ∈,, dengan skalar Rlk ∈, yang memenuhi sifat-sifat sebagai
berikut :
1. yx + X∈
2. yx + xy += ( sifat komunitatif )
3. wvuwvu ++=++ )()( ( sifat asosiatif )
4. Ada sebuah vektor X∈0 sehingga 00 +=+ xx
5. x∀ di X terdapat vektor balikan dari x atau x− sehingga 0)()( =+−=−+ xxxx
6. Jika k skalar dan x sebarang benda vektor di X maka kx berada di Xkx ∈
7. kykxyxk +=+ )( ( sifat distributif )
8. lxkxxlk +=+ )(
9. ))(()( xkllxk =
10. Untuk sebarang real 1 dan untuk setiap Xx ∈ berlaku xx =1
2.2 Hasil Kali Dalam ( Inner Product )
Defenisi 2.4 Hasil kali dalam adalah fungsi yang mengaitkan setiap pasangan
vektor di ruang vektor V ( misalkan pasangan x , y dan z , dinotasikan dengan
yx, dengan bilangan riil dan memenuhi 4 aksioma , yaitu :
1. xyyx ,, = ( aksioma simetris )
II-3
2. zyzxzyx ,,, +=+ ( aksioma penambahan )
3. xykykx ,, = ( aksioma kehomogenan )
4. 0, ≥xx dan 0, =xx jika dan hanya jika 0=x ( aksioma kepositivan )
Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam seperti diatas disebut Ruang hasil
kali dalam yang biasa disingkat dengan RHD.
Contoh 2.2
Tunjukkan bahwa operasi perkalian titik titik standar di 3R Euclides merupakan
hasil kali dalam !
Jawab:
Akan ditunjukkan bahwa perkalian titik standar memenuhi keempat aksioma hasil
kali dalam , yaitu :
Misalkan ),,(),,(),,,( 321321321 zzzzyyyyxxxx === maka 3,, Rzyx ∈
1. xyyx ,, =
)(
)(
)(,
332211
332211
xyxyxy
yxyxyx
yxyx
++=++=
⋅=
⟩⟨= xy, ( Aksioma Simetris ) 2. zyzxzyx ,,, +=+
( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )zyzx
zyzyzyzxzxzx
zyzxzyzxzyzx
zzzyxyxyx
zyxzyx
.
,,,,
,
332211332211
333322221111
321332211
+⋅=+++++=
+++++=⋅+++=
⋅+=⟩+⟨
⟩⟨+⟩⟨= zyzx ,, (Aksioma Penambahan )
II-4
3. ⟩⟨=⟩⟨ yxkykx ,,
( )( )
( )yxk
ykxykxykx
yxkykx
⋅=++=
⋅=
332211
,
⟩⟨= yxk , ( Aksioma Kehomogenan ) 4. 0, ≥xx
( )( )0,
0
,2
32
22
1
=⟩⟨
≥++=
⋅=
xx
xxx
xxxx
( ) ( ) 00,0,0,0231
22
21 ==↔=++= xxxx (Aksioma Kepositivan )
2.3 Ruang Bernorma (Norm Space)
Definisi 2.5 Jika X adalah ruang linear atas lapangan R adalah fungsi bernilai
real dan . dikatakan norma pada X jika memenuhi 4 aksioma berikut :
1. 0≥x untuk senua Xx ∈
2. 0=x jika dan hanya jika 0=x
3. xx αα = untuk semua Xx ∈ dan R∈α
4. yxyx +≤+ ( ketaksamaan segitiga )
Pasangan ( )⋅;X disebut dengan ruang linear bernorma dengan norma ⋅
Contoh 2.3
Misalkan X ruang linear atas lapangan R dengan mendefinisikan 21 xxx +=
akan dibuktikan bahwa 21 xxx += adalah norma dengan ),( 21 xxx = dimana
Xx ∈ .
Jawab:
1. 0≥x
II-5
Misalkan X ruang linear atas lapangan R ambil sebarang Xx ∈ dan
21 xxx += dimana 0, 21 ≥xx sehingga 021 ≥+ xx dengan kata lain
0≥x
2. 0=x jika dan hanya jika 0=x
Terlebih dahulu kita harus membuktikan bahwa 0=x maka haruslah 0=x
Misalakan X ruang linear pada lapangan R dengan diketahui bahwa 0=x
sehingga Xxxxx ∈∀=+= ,021 dimana 0, 21 ≥xx sehingga untuk
,021 =+ xx haruslah nilai 021 == xx dengan kata lain nilai dari 0=x
selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 0=x jika 0=x
0,000
0
21 =↔=+=+=
=
xxxx
x
3. xx αα =
( )x
xx
xx
xxx
xx
α
α
αα
ααααα
=
+=
+=
+=
=
21
21
21
4. yxyx +≤+
Ambil sebarang nilai Xy ∈ dengan ( )21 , yyy = sehingga
yx
yyxx
yxyx
yxyxyx
+=
+++=
+++≤
+++=+
2121
211
2211
Sehingga diperoleh yxyx +≤+
Karena keempat aksioma di atas terpenuhi maka 21 xxx += merupak suatu
norma pada ruang linear X atas lapangan R .
II-6
Definisi 2.6 Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam , maka norma
( panjang ) vektor x dinyatakan oleh x dan didefinisikan oleh 2/1
, xxx = .
Jika panjang berada pada 2R maka 22
21 xxx += sedangkan pada 3R maka
23
22
21 xxxx ++= .
Definisi 2.7 Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam , maka jarak antara
dua titik vektor u dan v dinyatakan oleh ),( vud dan didefinisikan oleh
vuvud −=),( jika jarak antara dua titik di 2R maka ),( 21 uuu = dan
),( 21 vvv = dan diberikan vuvuvuvud −=−+−= 222
211 )()(),( sedangkan
jika jarak antara dua titik di 3R maka ),,( 321 uuuu = dan ),,( 321 vvvv = dan
diberikan oleh vuvuvuvuvud −=−+−+−= 233
222
211 )()()(),(
Definisi 2.8 Ruang linier X adalah suatu himpunan yang memiliki anggota
vektor dan skalar pada lapangan (field) K dengan dua operasi yaitu operasi
penjumlahan dan perkalian, yang memenuhi sifat Distributif dan Assosiatif
sebagai berikut :
1. Sifat Distributif ( ) )()( yFxFyxF +=+
2. Sifat Assosiatif )()( xkFkxF = .
Contoh 2.4 Misalkan 32: RRF → adalah fungsi yang didefinisikan oleh
( )yxyxxvuF −+= ,,),( dan jika ( )11 , yxu = dan ( )22 , yxv = maka
( )2121 , yyxxvu ++=+ . Tunjukkan bahwa F adalah sebuah ruang linier.
Jawab :
Diketahui 32: RRF → dan ( )yxyxxyxF −+= ,,),( kemudian diberikan
( )11 , yxu = dan ( )22 , yxv = sehingga didapat ( )2121 , yyxxvu ++=+ . Akan
ditunjukkan bahwa F adalah sebuah ruang linier.
II-7
( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]2121212121 ,,
)()(
vvxxyyxxxx
vFuFvuF
+−+++++=+=+
( ) ( )
)()(
,,,, 2222211111
vFuF
yxyxxyxyxx
+=−++−+=
)(
),,(
),,(
)()(
11111
11111
ukF
yxyxxk
kykxkykxkx
ukFkuF
=−+=
−+==
Karena kedua aksioma diatas terpenuhi maka terbukti bahwa F adalah sebuah
ruang linier.
Definisi 2.9 Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah
1. Tak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak satu diantara vektor S
dintaykan sebagai kombinasi linier dari vektor S lainnya .
2. Bebas linier jika dan hany jika tidak ada vektor S yang dapat dinyatrakan
sebagai kombinasi linier dalam vektor S lainnya.
Teorema 2.1 jika x dan y adalah vektor pada sebuah ruang hasil kali dalam
maka ( ) yxyx ≤, ( Ketaksamaan Cauchy Schwarz ).
Bukti :
Jika 0=x atau 0=y maka ketaksamaan Cauchy diatas terpenuhi, dan jika
0≠x , 0≠y , misalkan ( ) ( ) ( ) cyybyxaxx === ,,,2,, dan Rt ∈ . Dengan
menggunakan aksioma kepositifan hasil kali dalam dari ketaksamaan cauchy di
atas dimana sebarang vektor itu sendiri tidak negatif sehingga
( )( ) ( )( )
( ) ( )cbtat
tyytyxtxx
ytxytx
ytxytx
++=
++=
+⋅+=+≤
2
2 ,,2),(
,0
II-8
Ketaksamaan Cauchy diatas menunjukan bahwa cbtat ++2 yang tidak
mempunyai akar real sehingga harus menggunakan deskriminasi yang memenuhi
sifat 042 ≤− acb maka
( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) 222
2
2
2
,
,,,
,,4,4
0,,4,2
yxyx
yyxxyx
yyxxyx
yyxxyx
≤
≤
−
≤−
( ) yxyx ≤, �
Proposisi. Diberikan X ruang linear bernorm dengan sebuah hasil kali dalam
..,. maka xxxxx ,, 2
1
== untuk Xx ∈ adalah norma pada X .
Bukti :
Akan ditunjukkan bahwa x memenuhi sifat dari norma berikut :
1. 0≥x untuk setiap Xx ∈
0, 2
1
≥= xxx karena jika 2
1
, xx adalah bilangan real maka 2
1
, xx
harusla bernilai positif. �
2. 0=x jika dan hanya jika 0=x
Akan ditunjukan dari kanan dan dari kiri maka :
⇒ Misalkan 0=x yaitu 0, 2
1
== xxx dari teorema 2.1 maka 0=x
⇐ Untuk 0=x akan ditunjukkan 0=x
00,0, 2
1
2
1
=== xxx �
II-9
3. xx αα = untuk setiap Xx ∈ dan α adalah skalar
2
1
2
12
1
2
1
2
1
,
,
,
xx
xx
xx
xx
α
αα
αα
αα
=
=
=
=
xα= �
4. yxyx +≤+ untuk setiap Xyx ∈,
22
22
2
2
,2
,,,,
,,
,
yyxx
yyxx
yyxyyxxx
yxyyxx
yxyxyx
yxyx
++≤
++=
+++=
+++=
++=+
+≤+
22
yx += �
Dari ketidaksaam Cauchy Schwarz sehingga yxyx +≤+ untuk
setiap Xyx ∈, karena x memenhui aksioma dari ruang norma maka x adalah
norma pada X .
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
Metodelogi yang penulis pakai pada skripsi ini adalah metodologi studi
literatur terhadap referensi-referensi yang berhubungan dengan aljabar linier
elementer, teori ruang hasil kali dalam-2 dan ruang bernorma-2 yaitu dengan
langkah-langkah :
1. Memahami definisi dari hasil kali dalam, dan kemudian memberikan
contoh dari hasil kali dalam tersebut.
2. Memahami definisi dari ruang bernorma , dan kemudian memeberikan
contoh dari ruang bernorma tersebut.
3. Memahami definisi dari ruang hasil kali dalam-2.
Dengan tujuan memudahkan dalam menentukan dan mencari keterkaitan
antara ruang hasil kali dalam-2 dan ruang bernorma-2.
4 Memahami definisi dari ruang bernorma-2.
5 Mencari keterkaitan antara ruang hasil kali dalam-2 dan ruang
bernorma-2. yang merupakan hasil yang akan dicapai dalam penulisan
tugas akhir ini.
6 Mengambil kesimpulan
BAB IV
KETERKAITAN ANTARA RUANG HASIL KALI DALAM-2
DAN RUANG BERNORMA-2
Berdasarkan landasan teori mengenai konsep ruang vektor, ruang hasil
kali dalam , ruang bernorma dan norma pada ruang hasil kali dalam. Pada bagian
ini akan dibahas mengenai konsep ruang hasil kali dalam-2 , ruang bernorma serta
sifat-sifat ruang hasil kali dalm-2 dan ruang bernorma -2.
4.1 Ruang Hasil Kali Dalam-2.
Konsep ruang hasil kali dalam-2 pertama kali diperkenalkan oleh Gahler
pada tahun 1965 dan kemudian pada tahun 1995 konsep ruang hasil kali dalam-2
tersebut diperkenalkan lagi oleh White et Al .
Definisi 4.1 Diberikan X ruang linear yang berdimensi besar dari satu dan
..,. adalah fungsi nilai real pada XXX ×× , yang memenuhi sifat berikut :
1. 0, ≥zxx , 0, =zxx ⇔ x dan z adalah tak bebas linear
2. xzzzxx ,, =
3. zxyzyx ,, =
4. zyxzyx ,, αα = α∀ bilangan real
5. zyxzyxzyxx ,,, // +=+
..,. disebut hasil kali dalam-2 sedangkan untuk ruang hasil kali dalam-2
disimbolkan dengan ..,.,X .
IV-2
Contoh soal 4.1
Diberikan X ruang linier atas lapangan 2R dengan hasil kali dalam-2 zyx, ,
akan ditunjukkan bahwa zyx, adalah hasil kali dalam-2 pada X .
Jawab :
Diketahui X ruang linier dan hasil kali dalam-2 zyx, , sehingga akan
ditunjukkan bahwa zyx, adalah hasil kali dalam-2 pada X . Untuk menjawab
soal diatas kita harus mendefinisikan dulu bahwa
222111, zyxzyxzyx −= dengan, ),( 21 xxx = , ),( 21 zzz = dan ),( 21 yyy =
dengan Xzyx ∈,, .
1. 0, ≥zxx
Misalkan X ruang linier atas lapangan R kemudian ambil sebarang nilai Xx ∈
sehingga 22
212
1, zxzxzxx −== karena nilai Xx ∈ dan didapat
nixi ...3,2,1,02 =∀≥ sehingga didapat 02
2
212
1 ≥− zxzx dengan kata lain
0, ≥zxx . �
Untuk 0, =zxx jika dan hanya jika x dan z tak bebas linier.
0, =⇒ zxx akan ditunjukkan x dan z tak bebas linier. Disini misalkan lagi
12
222
1, zxzxzxx −= sehingga 0, 12
222
1 =−= zxzxzxx maka
2
12
2
21
12
222
112
222
1 ,,0z
z
x
xzxzxzxzx ===− sehingga didapat 1
2
222
1 zz
xx =
sedangkan untuk 21
212
2 zz
xx = misalkan β==
2
12
2
21
z
z
x
x sehungga didapat
22
212
1 , zxzx β= hal ini menunjukkan bahwa x dan z tak bebas linier. �
IV-3
⇐ x dan z tak bebas linier akan ditunjukkan 0, =zxx misalkan
),( 22
21 xxx = dan ),( 21 zzz = secara sistematis dapat ditulis dengan
)(),(, 212
22
1 zzxxxzx ββ === maka 2
22
1
21
z
x
z
x ==β dengan mensubsitusikan
persamaan tersebut sehingga didapat 12
222
1 zxzx = maka 012
222
1 =− zxzx hal
ini menunjukkan bahwa 0, =zxx �
2. xzzzxx ,, =
xzz
xzxz
zxzxzxx
,
.
.,
21
21
=
−=
−=
xzz,= �
3. zxyzyx ,, =
222111
222111,
zxyzxy
zyxzyxzyx
−=
−=
zxy,= �
4. zyxzyx ,, αα =
111111
111111,
zyxzyx
zyxzyxzyx
−=
−=
α
ααα
zyx,α= �
5. zyxzyxzyxx ,,, 11 +=+
221
22111
111 ,, zyxxzyxxzyxx +−+=+
22
1211
11222111
221
2222111
11111 ,
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxx
−+−=
+−+=+
zyxzyx ,, 1+= �
IV-4
Berdasarka aksioma 1, 2, 3, 4, 5 dan kelima aksoima tersebut terpenuhi maka
zyx, adalah hasil kali dalam-2 pada X .
4.2 Sifar-Sifat Dasar Hasil Kali Dalam-2.
Selanjutnya White et al memberikan beberapa sifat dasar tentang ruang hasil
kali dalam-2 yaitu :
1. Untuk setiap zxxzxxzyxXzyx ,,,,,, ≤∈
2. Untuk setiap 0,,,, =∈ yyxXyx
3. Untuk setiap ,,, Xzyx ∈ dan R∈α maka zyxzyx ,, 2αα =
4. Untuk setiap Rwzyx ∈,,, maka
[ ]yxwzyxwzwyxzyxwzyx −−+++=+ ,,2
1,,,
5. Jika ( )..,X adalah ruang hasil kali dalam maka hasil kali dalam-2
..,. didefinisikan pada X maka
zyzxzyxzzzy
zxyxzyx −== 2
,
4.3 Ruang Bernorma-2.
Definisi 4.2 Diberikan X ruang linear yang berdimensi besar dari satu dan
)..,.( adalah fungsi nilai real pada XX × , yang memenuhi sifat berikut :
1. 0, =yx , jika dan hanya jika x dan y tak bebas linear
2. xyyx ,, =
3. xyyx ,, αα = , untuk semua R∈α
4. zxyxzyx ,,, +≤+
.,. disebut norma-2 pada X , dan ).,.,( X disebut ruang bernorma-2.
IV-5
4.4 Sifat-Sifat Dasar Ruang Bernorma-2.
Dalam ruang bernorma White et Al juga memberikan sifat-sifat dasar dari
ruang bernorma-2 yaitu :
1. pada sebarang hasil kali dalam-2 ..,.,X sedangkan yxxyx ,, =
didefinisikan sebagai norma-2 dengan 4
,,,
22zyxzyx
zyx−−+
= dan
2222,,2,, zyzxzyxzyx +=−++ .
2. Misalkan ..,.,X adalah ruang linier bernorma-2 dengan kondisi
2222,,2,, zyzxzyxzyx +=−++ yang memenuhi setiap ,,, Xzyx ∈
maka hasil kali dalam-2 pada X didefinisikan dengan
4
,,,
22zyxzyx
zyx−−+
= .
Contoh 4.2
Diberikan 2Rx = dengan norma-2 yx, adalah luas yang dibagun oleh vektor x
dan y . Maka yx, merupakan norma-2 pada 2Rx = .
Jawab:
Diketahui 2Rx = dengan norma-2 ,dan yx, luas yang dibagun oleh vektor x
dan y , akan ditunjukkan bahwa yx, adalah norma-2 pada 2Rx = . Untuk
menjawab soal didefinisikan dahulu bahwa yx, = 1221 yxyx − dengan
21 , xxx = dan 21 , yyy = maka
1. 0, =yx jika dan hanya jika x dan y tak bebas linier.
IV-6
⇒ 0, =yx akan ditunjukkan x , dan y tak bebas linier . karena yx, =
1221 yxyx − maka
0, 1221 =−= yxyxyx , 01221 =− yxyx , 1221 yxyx = ,2
1
2
1
y
y
x
x=
sehingga didapat 12
21 y
y
xx = sedangkan untuk 2
1
12 y
y
xx = kemudian
misalkan α==1
1
2
2
y
x
y
x sehingga didapat 11 yx α= dan 22 yx α= , hal
ini menunjukkan bahwa x dan y tak bebas linier.
⇐ x dan y adalah tak bebas linier akan ditunjukkan bahwa 0, =yx
x dan y adalah tak bebas linier artinya x merupaakan kelipatan y atau sama
dengan y dan sebaliknya, dan misalkan 21 , xxx = dan 21 , yyy = maka
secara sistematis dapat ditulis yx α= , 2121 ,, yyxxx α==
sehingga 11 yx α= dan 22 yx α= maka 2
2
1
1
y
x
y
x==α dengan
mensubsitusikan persamaan tersebut maka 12211 yxyx = maka
01221 =− yxyx , 1221 yxyx − . Hal ini menunjukkan bahwa 0, =yx
2. Xyxxyyx ∈∀= ,,,
1221
2112
1221,
xyxy
yxyx
yxyxyx
−=
−=
−=
xy,= �
IV-7
xzyyzxzyxzyyx ,2,2,2,2 +−+=++ ∑
3. Xyxxyyx ∈∀= ,,, αα dan α sebarang vektor
2112
2112
1221,
xyxy
yxyx
yxyxyx
−=
−=
−=
α
α
ααα
yx,α= �
4. Xyxzxyxzyx ∈∀+≤+ ,,,,
12211221
12211221
12122121
112221,
zxzxyxyx
zxzxyxyx
zxyxzxyx
zyxzyxzyx
−+−≤
−+−=
−−+=
+−+=+
= zxyx ,, + �
Berdasarkan sifat 1, 2, 3, dan 4 kemudian semua sifat tersebut terpenuhi maka
yx, adalah norma-2 pada X .
LEMMA 4.1 Di dalam ruang hasil kali dalam-2 (2-inner product space )
terdapat
1. xzyyzxzyxzyyx ,2,2,2,2 +−+=++ ∑
2. xzyyzxzyxzyyx ,2,2,2,2 −++=−+ ∑
3. xzyyzxzyxzyyx ,2,2,2,2 ++−=+− ∑
4. xzyyzxzyxzyyx ,2,2,2,2 −−−=−− ∑
Dengan
[ ][ ]yzxzyxzyyx
yzxzyxzyyx
yy
yyz
zyzxyx
,,,
,,,
0,
0,
,,,
2
222
+=−
−=+
=
=
++=∑
Bukti :
1.
IV-8
[ ]yzxzyxxzyzyzxyx
yzxzyxxzyzyzxyx
yzyzyyxxzyyyzyzxyx
yzyzyyyzyyxxyzxzxzyxy
,2,2,2,,,
02,,2,20,,,
,2,2,2.,,,
,,2.,2,,,,
222
222
2222
2222
++−++=
⋅+++−+++=
−−+++++=
+−+−+−+−=
yzyzyyxxzyyyzyzxyx
yzyzyyyzyyxxyzxzxzyxy
yzzyyzyzyyyy
zyyxxyzxzzxzyxyy
yzyzyzyyzyyxxzyzxzyy
yzyzyzyyxxzyzy
yzyzyzyxyzyxyxzyzy
zyyyzyyxzyxyzyxx
zyyxyzyyxx
zyyxyxzyyx
,2,2,2.,,,
,,2.,2,,,,
,,,,
,2,,,,
,,,2,,
,,2,
,,,,
,,,,
,,
,,
2222
2222
2
+++++++=
++++++++=
++++
+++++=
+++++++++=
+++++++=
+++++++++=
+++++++=
+++++=
+++=++
[ ]
xzyyzxzyx
yzxzyxxzyzyzxyx
yzxzyxxzyzyzxyx
,2,2,2
,2,2,2,,,
02,,2,20,,,222
222
+−+=
−++++=
⋅+−+++++=
∑
xzyyzxzyxzyyx ,2,2,2,2 +−+=++ ∑ �
2. xzyyzxzyxzyyx ,2,2,2,2 −++=−+ ∑
yzyzyzyyxxzyzy
zyyyzyyxzyxyzyxx
zyyxyzyyxx
zyyxyxzyyx
−−+−+−−=
−+−+−+−=
−++−+=
−++=−+
,,2,
,,,,
,,
,,2
yzzyyzyzyyyy
zyyxxyzxzzxzyxyy
yzyzyzyyzyyxxzyzxzyy
,,,,
,2,,,,
,,,2,,
+−−+
−+−+−=
−+−+−+−−−=
xzyyzxzyxzyyx ,2,2,2,2 −++=++ ∑ �
IV-9
3. xzyyzxzyxzyyx ,2,2,2,2 ++−=+− ∑
yzzyyzyzyyyy
zyyxxyzxzzxzyxyy
yzyzyzyyzyyxxzyzxzyy
yzyzyzyyxxzyzy
zyyyzyyxzyxyzyxx
zyyxyzyyxx
zyyxyxzyyx
,,,,
,2,,,,
,,,2,,
,,2,
,,,,
,,
,,2
++++
+−+++=
+++++−−++=
++++−++=
+++−+−+=
+−−+−=
+−−=+−
[ ]
xzyyzxzyx
yzxzyxxzyzyzxyx
yzxzyxxzyzyzxyx
yzyzyyxxzyyyzyzxyx
zyyzyyyzyyxzxxzyyx
,2,2,2
,2,2,2,,,
02,,2,20,,,
,2,2,2.,,,
,,2.,2,,2,
222
222
2222
2222
++−=
+−+++=
⋅+−−++++=
++−++++=
++++−++=
∑ xzyyzxzyxzyyx ,2,2,2,
2 ++−=++ ∑ �
4. xzyyzxzyxzyyx ,2,2,2,2 −−−=−− ∑
yzzyyzyzyyyy
zyyxxyzxzzxzyxyy
yzyzyzyyzyyxxzyzxzyy
yzyzyzyyxxzyzy
zyyyzyyxzyxyzyxx
zyyxyzyyxx
zyyxyxzyyx
,,,,
,2,,,,
,,,2,,
,,2,
,,,,
,,
,,2
+−−+
−−−+−=
−+−+−−−−−=
−−+−−−−=
−+−−−−−=
−−−−−=
−−−=+−
IV-10
[ ]
xzyyzxzyx
yzxzyxxzyzyzxyx
yzxzyxxzyzyzxyx
yzyzyyxxzyyyzyzxyx
zyyzyyyzyyxzxxzyyx
,2,2,2
,2,2,2,,,
02,,2,20,,,
,2,2,2.,,,
,,2.,2,,2,
222
222
2222
2222
−−−=
−−−++=
⋅−+−−+++=
−−−−+++=
+−+−−+−=
∑xzyyzxzyxzyyx ,2,2,2,
2 ++−=++ ∑ �
Teorema 4.1 Ruang linier bernorma-2 ( linear 2-normed space ) ..,,X
adalah hasil kali dalam-2 (2-inner product space ) jika dan hanya jika
∑ −−++−+−++++= 2222,,,,4 zyyxzyyxzyyxzyyx adalah benar
Bukti :
Diketahui Ruang linier bernorma-2 ..,,X adalah hasil kali dalam-2 akan
ditunjukkan bahwa
∑ −−++−+−++++= 2222,,,,4 zyyxzyyxzyyxzyyx adalah benar
Berdasarkan lemma 4.1 sehingga diperoleh
+−++=−+
++−+=++
∑
∑xzyyzxzyxzyyx
xzyyzxzyxzyyx
,2,2,2,
,2,2,2,2
2
+−−−=−−
+++−=+−
∑
∑xzyyzxzyxzyyx
xzyyzxzyxzyyx
,2,2,2,
,2,2,2,2
2
=−−−+++−
+−+−++−+
=−−++−+−++++
∑∑∑∑
xzyyzxzyxxzyyzxzyx
xzyyzxzyxxzyyzxzyx
zyyxzyyxzyyxzyyx
,2,2,2,2,2,2
,2,2,2,2,2,2
,,,,2222
IV-11
∑∑∑∑∑
=−−++−+−++++
+++=−−++−+−++++
4,,,,
,,,,2222
2222
zyyxzyyxzyyxzyyx
zyyxzyyxzyyxzyyx
Jadi terbukti bahwa
∑ −−++−+−++++= 2222,,,,4 zyyxzyyxzyyxzyyx �
Contoh 4.3 Diberikan ruang bernorma-2 dengan 2
, yx dan jika diberikan
2, zyyx ++ ,
2, zyyx −+ ,
2, zyyx −+ ,
2, zyyx −+ tunjukkan bahwa
∑4 adalah benar.
Jawab :
Diketahui 2
, yx adalah ruang bernorma-2, sehingga akan ditunjukkan bahwa
∑4 adalah benar.
Untuk menyelesaikan soal diatas kita ter lebih dahulu mendefenisikan
xzyyzxzyxzxzyyxzyyx ,2,2,2,,,,2222 +−+++=++
xzyyzxzyxzxzyyxzyyx ,2,2,2,,,,2222 −++++=−+
xzyyzxzyxzxzyyxzyyx ,2,2,2,,,,2222 ++−++=+−
xzyyzxzyxzxzyyxzyyx ,2,2,2,,,,2222 −−−++=−−
Berdasarkan teorema 4.1
∑ −−++−+−++++= 2222,,,,4 zyyxzyyxzyyxzyyx
Karena nilai 2
, zyyx ++ , 2
, zyyx −+ , 2
, zyyx −+ , 2
, zyyx −+ sudah
didefinisikan , sehingga
2222,,,, zyyxzyyxzyyxzyyx −−++−+−++++
IV-12
.,2,2,2,,,
,2,2,2,,,
,2,2,2,,,
,2,2,2,,,
222
222
222
222
xzyyzxzyxzxzyyx
xzyyzxzyxzxzyyx
xzyyzxzyxzxzyyx
xzyyzxzyxzxzyyx
−−−++
+++−++
+−++++
++−+++
Sehingga ++++++ 222222,,,,,, zxzyyxzxzyyx
222222
,,,,,, zxzyyxzxzyyx +++++
[ ] 2222222,,,,,,,4 zyyxzyyxzyyxzyyxzxzyyx −−++−+−++++=++
karena 2
22,,, zyzxyx ++=∑ maka terbukti bahwa
2222,,,,4 zyyxzyyxzyyxzyyx −−++−+−++++=∑ �
Teorema 4.2 Ruang linier bernorma-2 ..,,X adalah hasil kali dalam-2 jika
dan hanya jika untuk setiap 2
,),(,, tzyysxtsNXyx ++=∈ adalah fungsi dari
sttssttsts ,,,,, 222222 dimana s dan t adalah bilangan real.
Bukti :
Diketahui ruang linier bernorma-2 dengan ..,,X adalah ruang hasil kali
dalam-2 dan XyxtzyysxtsN ∈∀++= ,,),(2
dan s dan t adalah bilangan
real. Akan ditunjukkan XyxtzyysxtsN ∈∀++= ,,),(2
adalah fungsi dari
sttssttsts ,,,,, 222222 .
IV-13
sxzytsxyztsxyys
ytztzytzyyytzyyy
tzyyxssxtztzsxtzysxytzsxyy
ytzytzytzyytzyyxs
sxzytzsxzyy
ytzytzytzyyxssxztytzy
tzyyytzyysxtzysxytzyysxsx
tzyysxysx
tzyysxtsN
,,,
,,,,
,2,,,,
,,,2
,,
,,2,
,,,,
,
,),(
222
2
++=
++++
+++++=
++++++
+++=
+++++++=
++++++++=
+++=
++=
22222222
222
,,2,,2,
,,2,
zyttzyyxszxtsxzytsyxs
yzzttzyyxsxzzts
+++++=
++++
Berdasarkan Lemma 4.1 sehingga diperoleh
22222
2
222222
222
22
,,2,
,,,,
,,
,,
,4,4,2,,,4
2,2
2,2
2,2
2,
2,,4
2,42,
zytyzxtzxt
tzyytzxytzxytzxx
tzyxytzyxx
tzyxyxtzyx
xzytyzxtzyxtzxtzytyx
xzt
yyzt
xzt
yxzt
xzt
yyx
zt
yyxtzyyx
++=
+++=
+++=
++=+
+−+++=
++−++=
++=++
222222
222222
222
22
,,2,2,
,4,4,2,,,4
2,2
2,2
2,2
2,
2,,4
2,42,
zytzyxtzxttzyyx
xzytyzxtzyxtzxtzytyx
xzt
yyzt
xzt
yxzt
xzt
yyx
zt
yyxtzyyx
+−=+−
+−−++=
++−++=
+−=+−
IV-14
Sedemikian sehingga untuk
yzxtzyxttzyyx ,,, 2 −=+ jadi didapat untuk
xzxstzytyxs
zyxstxzytsyxtstsN
,2,,
,2,2,,2222
22222
−++
++=
2
, tzyysx ++= �
Sehingga terbukti bahwa setiap 2
,),(,, tzyysxtsNXyx ++=∈ adalah fungsi
dari sttssttsts ,,,,, 222222 dimana s dan t adalah bilangan real.
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan sebelumnya dapat ditarik beberapa kesimpulan,
yaitu:
1. Hasil kali dalam mempunyai struktur lain yaitu hasil kali dalam-2 .
2. Ruang bernorma juga dapat dibentuk ke dalam stuktur ruang bernorma-2.
3. Ruang linier bernorma-2 mempunyai suatu keterkaitan dengan dengan
ruang hasil kali dalam-2.
5.2 Saran
Pada penulisan ini dibahas mengenai keterkaitan antara ruang hasil kali
dalam-2 dan ruang bernorma -2. Bagi yang tertarik dapat mengembangkan
penelitian ini dengan menentukan keterkaitan antara ruang bernorma- k2 dan
ruang hasil kali dalam- k2 .
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. “ Aljabar Linear Elementer” , Drexel University, Amerika Serikat .1997.
CHEN,W.W.L. “Linear Functional Analysis ” , J.Math .2001. David, J. Silvester . “ A Finite Element Primer ”, University of Manchester,
London Version.1.1,2009. E.H. Connell. “ Elements of Abstract and Linear Algebra” , Miami University,
Florida.1999. K. Ehret. “ Linear 2-Norm Space”, not online available http://www.2-
normspace.com, diakses 16 desember 2009. White, A.” Charaterization of 2-Inner Product Space” , Proceedings of Nonlinear
Functional Analysis and Applications, Vol. 2 , halm.145-152, 1997. Willey, J . “ Linear Algebra ” , New York University. New York .1997.