1

KEREKEK REZGÉSEI: STABILITÁS ÉS IDŐKÉSÉS

Stépán Gábor és Takács Dénes

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Műszaki Mechanikai Tanszék

ÖSSZEFOGLALÓ A kerekek szitálása alatt a vontatott kerekeknek a síkjukra merőleges,

oldalirányú rezgéseit értik. A cikkben a kerékszitálás vizsgálatához két különböző kis

szabadságfokú mechanikai modell kerül bemutatásra. Ismertetésre kerül egy merev

kerekes modell lineáris stabilitása és nemlineáris viselkedése, amelyet numerikus

bifurkációkövető szoftverrel is elemeztünk. A rugalmas gumikereket alkalmazó

modell lineáris stabilitási térképét meghatároztuk, szimulációs és kísérleti úton is

validáltuk.

SUMMARY Shimmy is the lateral vibration of towed wheels. In this paper, two different

low degree-of-freedom mechanical models are used to describe shimmy. One of the

models considers rigid wheel with elastic suspension. The linear stability analysis and

the nonlinear behaviour of this system are presented by means of continuation and

bifurcation software. The second model takes into account the elasticity of the tyre.

The linear stability of the towed elastic tyre is determined, and it is validated by

numerical simulations and also by experiments.

1. BEVEZETÉS Az emberiség egyik legrégibb találmánya a kerék, mégis mind a mai napig sok

kutatási téma alapjául szolgál. Ha csupán egy elgurított pénzérme mozgását

vizsgáljuk, már ez esetben is komoly dinamikai ismeretekre van szükségünk [1],[2].

De nem csupán „játékpéldák” során találkozunk gördülési problémákkal. A

járműdinamikai vizsgálatok egyik sarkalatos pontja a megfelelő kerékmodell

kiválasztása. Akármilyen járműdinamikában ismeretes stabilitási problémával is

foglalkozunk, a kerék-talaj kapcsolat modellezése eldöntheti, hogy sikeres vagy

sikertelen lesz-e a vizsgálatunk [3],[4].

Az egyik régóta ismert kerékdinamikai stabilitási probléma a „szitálás”. A

jelenség a hétköznapi ember számára is mindennapos, a bevásárlókocsi kereke is

2

sokszor ezt a furcsa táncot járja. Az eredeti angol elnevezés, “shimmy”, a múlt század

elején népszerű tánc nevéből ered. Innen is látszik, hogy már lassan száz éve kezdtek

foglalkozni a szakemberek a probléma elemzésével. A magyar szakirodalomban is

találunk magyar szerzőtől származó múlt század közepi folyóiratcikket [5], amely a

repülőgép orrfutók oldalirányú rezgéseit próbálja magyarázni. Bár ezen kívül

számtalan más publikáció található a témával kapcsolatban, mind a mai napig nem

létezik tökéletes modell a jelenség leírására. Könnyen belátható, hogy nem is

készíthető olyan mechanikai modell, amely bármilyen szerkezetben fellépő

kerékszitálást magyarázna. Más modellt kell készítenünk egy bevásárlókocsi kerék,

illetve egy repülőgép orrfutó vizsgálatához.

A cikkben a kerékszitálást kis szabadságfokú mechanikai rendszerek

segítségével vizsgáljuk. Bemutatunk két különböző mechanikai modellt, melyek

közül az egyik a kerékfelfüggesztés merevségét [6], míg a másik a gumikerék

deformációját [7] veszi figyelembe. A merev kerekes modellt nemlineáris közönséges

differenciálegyenletek írják le. A cikkben bemutatjuk e rendszer lineáris stabilitási

térképét, nemlineáris viselkedését analitikus és numerikus módszerekkel vizsgáljuk. A

második modell esetében a rugalmas kereket egy merev vonórúdhoz kapcsoljuk,

ekkor a kerék-talaj érintkezési tartomány oldalirányú deformációját vesszük

figyelembe. Ezen oldalirányú deformációban fellépő haladó hullám („kígyózó

mozgás”) alakú megoldásokra vezetjük vissza a vontatott kerék laterális rezgését.

Utóbbi modell lineáris stabilitásvizsgálatát és annak kísérleti ellenőrzését is

elvégeztük.

2. EGYPONTOS ÉRINTKEZÉSŰ MEREV KERÉK [6] Ahogy említettük, a járműdinamikai vizsgálatok egyik legfontosabb pontja a

megfelelő kerékmodell alkalmazása. Minél pontosabb és jobb kerékmodellt

használunk, annál bonyolultabban megoldható egyenletekhez jutunk. Ebben a

fejezetben a gumikerék dinamikájától eltekintve vizsgáljuk a vontatott kerék

stabilitását.

2.1. Mechanikai modell Egy tökéletesen merev kereket vontatunk egy tökéletesen merev vonórúddal,

azonban a vontatórúd királycsapját laterális irányban rugalmasan támasztjuk meg

(lásd 1. ábra).

3

1. ábra

Merev kerék rugalmasan megtámasztott vontatócsapággyal

Az így kapott mechanikai modellnek 3 szabadsági foka van a gördülési feltétel

nélkül, azaz három általános koordinátát választunk a rendszer állapotának leírásához.

Legyenek ezek a vontatócsapágy q laterális helyzete, a vontatórúd ψ szögkitérése és a

kerék saját tengelye körüli φ szögelfordulása. A gördülés feltételének megfelelően a

talajjal érintkező P pont sebessége zérus. Ezen kinematikai feltétel két elsőrendű

skalár differenciálegyenletet ad, amelyek egyenként fél szabadsági fokkal csökkentik

a rendszer szabadsági fokainak számát. Így végül egy 2 szabadsági fokú anholonóm

reonóm rendszert kapunk, melynek mozgásegyenleteit Appell-Gibbs egyenletek

segítségével adhatjuk meg a legegyszerűbb alakban:

( )( )

,, ,

tan ,cos

sin ,cos

,N q

Dlq v

v lR

ψ

ϕ

ψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

= Ω

ΩΩ =

Ω=

−

= + Ω

+

(1)

ahol

( ) ( ) ( )

( )

2w c2

w c c wy2 2

22 2

w c wy2 2

, , tancos cos

sin tan ,cos

m m lvlv klN q m l m l v JR

lm m l J klq bl vR

ψ ψψ ψ

ψ ψψ

⎛ ⎞+Ω = − + + + + Ω⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ + + Ω + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

és

4

( ) ( ) ( ) 2 2w c2 2

c c c w wz cz wy2 22 tan coscos

m m l lD m l l l m l J J JR

ψ ψ ψψ

⎛ ⎞+= − − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. (3)

A képletekben mw és mc a kerék és a vonórúd tömege, l a vonórúd hossza, lc a

vonórúd súlypontjának távolsága a vontatócsapágytól, R a kerék sugara és v a

vontatási sebesség. Jwy és Jwz a kerék tehetetlenségi nyomatékai forgástengelyére

illetve kereszttengelyére számítva a súlypontjában. Jcz a vonórúd tehetetlenségi

nyomatéka a súlypontján átmenő függőleges tengelyre. A vontatócsapágy rugalmas

laterális irányú megtámasztásának merevsége k, csillapítási tényezője b.

2.2. Stabilitási vizsgálat Mivel a kerék φ szögelfordulása nem jelenik meg egyik

differenciálegyenletben sem, azaz ciklikus koordináta, ezért a negyedik

differenciálegyenlet leválasztható a rendszerről a stabilitásvizsgálathoz. Az egyenes

vonalú gördülés lineáris stabilitás térképe a karakterisztikus egyenlet előállítása után

Routh-Hurwitz kritériummal analitikus úton számítható (lásd 2. ábra). Az ábrán a

nemlineáris számításokhoz dimenziótlanított rendszer stabilitási térképe látható

különböző relatív csillapítás (ζ) értékekre. A térképen ζ=0.1 értékre a lineárisan stabil

terület szürkített.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

L

0 0.1 0.2 0.3 0.4

1

2

3

4

1/κ

L

V Aψ [rad]

Vext

Instabil

Stabil ζ=0

ζ=0.02

ζ=0.1

ζ=0.2

ζ=0.16

ζ=0.25

Analitikus

Num

erik

us

Vmax

Stabil periodikuspálya

Instabilperiodikus pálya

Fold

2. ábra

Stabilitási térkép és bifurkációs diagram különböző csillapításokra

2.3. Nemlineáris vizsgálat A rendszer nemlineáris vizsgálatát mind analitikusan, mind pedig numerikusan

megvizsgáltuk. A stabilitási határon Hopf bifurkáció (periodikus rezgés) lép fel,

melynek stabilitását és amplitúdóját analitikus úton meghatároztuk. A hosszadalmas

5

algebrai számításból kiderül, hogy a lineárisan stabil paramétertartomány felett egy

instabil (szubkritikus) periodikus pálya található. Azaz a szubkritikus bifurkáció

amplitúdójánál jobban kitérítve a rendszert, kerékszitálás jelentkezik. Igazolható az is,

hogy nagy csillapítás hatására a szubkritikus bifurkáció szuperkritikussá válik (lásd 2.

ábra).

Az eredmények igazolására numerikus bifurkációs szoftverrel, esetünkben

AUTO97-tel [8], követtük a periodikus pályát. Az eredeti, még nem dimenziótlanított

rendszer bifurkációs diagramját is előállítottuk (lásd 3. ábra). Ahogy az ábrán látszik,

az eredeti rendszerben periodikus pályák nyereg-csomó bifurkációját fedezhetjük fel.

Elegendően nagy csillapítási tényező értékekre az instabil és stabil periodikus pálya

átmetszve önmagát kettéválik, létrehozva egy elkülönült periodikus pályákból álló

szigetet (úgynevezett „isola”-t) a lineárisan instabil tartomány felett.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0.01 0.1 1

Aψ [rad]

Log( l ) [m]

v=5 [m/s]

Fold 3

Fold 2

Fold 1

b=0.35 [Ns/m]

b=0.269 [Ns/m]

b=0.2 [Ns/m]Instabil periodikus pálya

Stabil periodikus pálya

Hopf pont Egyenes vonalú gördülés

3. ábra

„Isola” születése csillapítási tényező növelésének hatására

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

v [m/s]

Instabil

Bistabil

StabilS

b=0 [Ns/m]

l [m]

b=0.5 [Ns/m]

„Isola” születése

(instabil egyenes vonalú gördülés + stabil periodikus pálya)

(stabil egyenes vonalú gördülés)

(sta

bil e

gyen

esv.

görd

ülés

)(s

tabi

l egy

enes

v. g

ördü

lés+

insta

bil p

erio

diku

s pál

ya+

stabi

l per

iodi

kus p

álya

)

Fold 1

Fold 2

Fold 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

v [m/s]

Aψ [rad]

l=0.06 [m]

q

ψ

Stabil periodikuspálya

Instabil periodikuspálya

Ω

Egyenes vonalú gördülés

4. ábra

Stabilitás térkép a nemlineáris hatásokat figyelembe véve

Ha az „isola” által létrejövő fold bifurkációkat numerikusan követjük a

vontatási hossz és vontatási sebesség paraméterek segítségével, akkor helyzetüket

bejelölhetjük a rendszer lineáris stabilitási térképén is (lásd 4. ábra). Ezáltal egy olyan

stabilitási térképhez jutunk, amelyen a vontatott kerék nemlineáris viselkedéséről is

információkat kapunk. Látható, hogy a lineárisan stabil tartományban megjelenik egy

bistabil tartomány, ahol az egyenes vonalú gördülésen kívül a kerékszitálás is stabilan

jelentkezik. Ennek veszélyessége a stabilitási térkép fölé rajzolt bifurkációs diagram

alapján még jobban érthető. A kiválasztott vontatási hossz esetén a kerék egyenes

vonalú gördülése stabil bármilyen vontatási sebesség esetén. Viszont egy

7

meghatározott sebességtartományban elegendően nagy kitérítés, zavarás hatására

simmizni kezd. Az ilyen viselkedés rendkívüli módon veszélyes, mert csupán lineáris

számításokkal nem deríthető fel. Előfordulhat, hogy egy nemlineárisan nem elemzett,

de gyártásba kerülő szerkezet hosszas tesztelése során sem akadnak rá az ilyen jellegű

bistabil tartományra. A szerkezet éveken át tartó használata során azonban kaphat

olyan gerjesztést a bistabil tartományban, melynek hatására kerékszitálás lép fel.

3. GUMIKERÉK

t

X

xy

z

YZ

rL(t)rP(t)=rL(t-τ)

t-τ

ττ

0L

R

C

O

P

5. ábra

Gumikerék deformációjának „memóriahatása” gördülés közben (Szagatott vonallal a kerék azon múltbeli helyzete látható, amikor P pont letapadt a talajra.)

Mechanikai tanulmányaink elején a legegyszerűbb gördülési feladatatokat

ismerjük meg. Eleinte csak tökéletesen merev, a talajjal egy ponton érintkező kerekek

gördülését vizsgáljuk, később találkozhatunk a gördülési ellenállás fogalmával.

Azonban a járműdinamikai vizsgálatokhoz jóval komolyabb és pontosabb gördülési

modellek használatára van szükségünk. A kerék vagy jármű mozgását ugyanis

nagyban befolyásolja a gumikerék laterális deformációja is.

A rugalmas deformálható kerék a rá ható terhelés hatására egy felületen

érintkezik a talajjal, melyet esetünkben csupán egy érintkezési vonalként

modellezünk, ami a kerék mozgása során deformálódik. Ha egy rugalmas kerék

8

megcsúszás nélküli gördülését vizsgáljuk, akkor a talajjal érintkező pontok sebessége

zérus. Márpedig ez azt jelenti, hogy a talajjal érintkező pontok helyzete nem változik

a letapadás pillanatától egészen az elválás pillanatáig. Mindemellett minden egyes – a

talajjal érintkezésben lévő – ponthoz rendelhető egy τ idővel korábbi időpillanat,

amikoris az letapadt a talajra (lásd 5. ábra). A kerék pillanatnyi mozgása tehát függ a

korábbi mozgásállapotaitól, melyek deformációként tárolódnak el az érintkezési

felületben vagy esetünkben vonalon. Az, hogy a kerék mennyivel korábbi

mozgásállapotára „emlékszik”, attól függ, hogy a talajon lévő éppen elválni készülő R

pont mennyi idővel korábban került érintkezésbe a talajjal. Innen is látszik, hogy a

„memóriahatás” a kerék gördülési sebességének növelésével csökken.

3.1. Mechanikai modell

6. ábra

Vontatott gumikerék mechanikai modellje

Vegyünk tehát egy deformálódó köpennyel ellátott kerekeket (lásd 6. ábra),

amely egy 2a hosszúságú vonalon érintkezik a talajjal. A kereket egy tökéletesen

merev vonórúddal kapcsoljuk a vontatócsapágyhoz. A kereket v állandó nagyságú és

irányú sebességgel vontatjuk. A vontatott szerkezet vontatási iránytól való

szögkitérését a ψ szögelfordulás írja le.

A vontatott gumikerék mozgásegyenlete egy integro-differenciálegyenlet

alakjában adódik:

A ( ) ( ) ( , )d ( ) ( , )da a

a a

J t k l x q x t x b l x q x t xψ− −

= − − − −∫ ∫ , (4)

9

ahol JA a vontatmány A pontra vett z tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka. A

vontatási hossz l, a laterális deformációt leíró függvény q(x,t). A kerék hossz mentén

megoszló merevsége és csillapítási tényezője k és b. Az egyenlet jobb oldalán tehát a

deformációból származó A pontra számított visszatérítő nyomaték található.

A gördülést leíró kinematikai feltételt egy parciális differenciálegyenlet adja:

( , ) sin ( ) ( , ) ( cos ( , ) )q x t v l x q x t v q x tψ ψ ψ ψ′= + − + ⋅ − (5)

ahol [ ],x a a∈ − és [ )0 ,t t∈ ∞ . A legegyszerűbb gumimodellt („kefemodell”, lásd [9])

alkalmazva a peremfeltétel ( , ) 0q a t ≡ alakban adódik, ami kimondja, hogy a

letapadáskor az éppen letapadó pont deformációja zérus.

Kis amplitúdójú rezgéseket vizsgálva, a parciális differenciálegyenlet haladó

hullám megoldása előállítható a következő zárt alakban:

( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )q x t l x t l a t xψ ψ τ= − − − − , (6)

és ezzel bevezethető a gumikerék „memóriahatását” leíró időkésés:

v

xax −=)(τ . (7)

Az időkésés bevezetésével a lineáris rendszert leíró integro-

differenciálegyenlet és a hozzá kapcsolt parciális differenciálegyenlet az alábbi

időkésleltetett differenciálegyenletté transzformálható:

02

21

0

21

1( ) 2 ( ) ( ) ( 1 2 ) ( ) d1 3

1 2 ( 1 2 ) ( ) d1 3

LV t V t t L tL

L V L t ,L

ψ ζ ψ ψ ϑ ψ ϑ ϑ

ζ ϑ ψ ϑ ϑ

−

−

−′′ ′+ + = − − ++

− ′+ − − ++

∫

∫ (8)

ahol V és L a dimenziótlan vontatási sebesség és vontatási hossz, ζ pedig a rendszer

relatív csillapítása.

3.2. Stabilitási vizsgálat

Időkésleltetett differenciálegyenlet esetén a karakterisztikus egyenlet

transzcendens és végtelen sok gyökkel rendelkezik. A stabilitási határok D-

szétválasztás módszerével határozhatók meg. A stabilitási térkép 7. ábrán látható, ahol

a stabil tartomány ζ=0.02 relatív csillapításra szürkített. A rezgési frekvenciák is erre a

csillapítás értékre kerültek megrajzolásra. Látható, hogy két stabilitási határgörbe

metszéspontjában két különböző frekvenciával rezeg a kerék, ami egyébként a

10

valóságos rendszerekben fellépő kerékszitálások egyik ismert, lebegést mutató

tulajdonsága.

Csillapítás hatására az instabil „szigetek” szűkülnek, végül az alsó domináns

instabil tartomány kivételével el is tűnnek. A csillapítás hatása a gyakorlatban jól

ismert, hiszen sok motorkerékpáron és repülőn található torziós csillapítás („shimmy

damper”) a kormányzott kerék királycsapjánál. Természetesen nem alkalmazhatunk

tetszőlegesen nagy csillapításokat sem, mert akkor éppen a kerék irányíthatóságát,

gördülési irányválasztását akadályoznánk.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

1

2

3

L

V

ζ=0.00ζ=0.02ζ=0.03

Instabil

Stabil I

I

Dupla-Hopfbifurkáció

Rezgési frekvenciák

0

1

f / f n

7. ábra

Stabilitási határok a hozzájuk tartozó rezgési frekvenciákkal

3.3. Kísérlet A gumikerék modell elméleti számításából kapott eredményeket kísérleti úton

szerettük volna validálni [7]. Ehhez egy hagyományos biciklikereket vontattunk

futópadon (lásd 8. ábra). A vontatáshoz olyan felfüggesztést építettünk, amin a

mechanikai modell összes paraméterét változtatni lehet.

11

8. ábra

Kísérleti berendezés

A mérések során sikerült detektálni az elméleti stabilitási határ alsó

szegmensét, de nagy vontatási hosszakra jelentős eltérést fedeztünk fel az elméleti

modell és a valós kerék viselkedése között (lásd 9. ábra). Az elméleti dupla-Hopf

bifurkációs pont közelében kvázi-periodikus rezgést figyeltünk meg. A rögzített

gyorsulásjel Fourier spektrumában azonban nem csupán a két elméleti lineáris rezgési

frekvenciát találtuk meg, hanem további releváns csúcsokat azonosítottunk. Ezek

kivizsgálására szimulációs programot készítettünk, amelyben már a kerék

megcsúszását is figyelembe vettük. A 10. ábrán látható a mért és a szimulált

kerékszitálás frekvencia spektruma. Mint látható, az összes releváns csúcs

megtalálható a numerikus úton előállított rezgés spektrumában. A 11. ábrán lévő

vízesés diagramon pedig megfigyelhető, hogy a kis zavarással indított szimulált

mozgás először az elméleti frekvenciákkal rezeg, és csak a nemlineáris,

megcsúszásokkal teli mozgása során mutatja a kimért spektrumú rezgést.

12

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 V0

0.5

1

1.5

2

2.5

L ζ=0.054

Stabil Instabil

Elméletistabilitási határ

Kísérleti stabilitási határ

Futópad minimálissebessége

a

t

9. ábra

Kísérleti eredmény

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3f [Hz]

Elméleti lineárisfrekvenciák

Mérés Numerikus szimuláció

A

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3f [Hz]

A

10. ábra

A mért és a szimulált nagy amplitúdójú rezgés spektruma

13

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1020

3040

50105

103

101

f [Hz]

t [s]

A

10-1 Kis amplitúdójú rezgés

Nemlineáris rezgés,sok megcsúszással

11. ábra

Vízesés diagram az elméleti dupla-Hopf pont közelében szimulált rezgésből

3.4. Modell továbbfejlesztése A nagy vontatási hosszak esetében tapasztalt stabilitásbeli eltérés megszűnését

a mechanikai modell pontosításától vártuk [10]. Többféle fejlesztési irányt figyelembe

véve, végül a gumikerék modelljét változtattuk meg. Az úgynevezett „kefemodell”

helyett a „feszített-húr” kerékmodellt alkalmaztuk a számításokban. Az új mechanikai

modell figyelembe veszi a kontakttartományon kívüli kerékköpeny deformációt is.

Ehhez a kerék relaxációs hosszát, mint új paramétert kell bevezetni, amit a

dimenziótalanított rendszerben Σ paraméter jellemez. Egy megfelelő kísérleti

összeállításban a relaxációt lemérve esetünkben Σ=1.8 értékre adódott. A

továbbfejlesztett modellhez viszonyítva mért stabilitási határ a 12. ábrán látható. Nagy

vontatási hosszakra a stabilitási tulajdonságok sokkal jobban megegyeznek, mint a

„kefemodell” esetében.

14

V

L

0.80.60.40.20

1

2

3

ζ=0.02Σ=1.8

Elméletistabilitási határ

Kísérleti stabilitási határ

Futópad minimálissebessége

Stabil

Instabil

12. ábra

Kísérleti és elméleti stabilitási határok

4. ÖSSZEFOGLALÁS

A bemutatott kis szabadsági fokú mechanikai modellek, a kerékszitálás

néhány gyakorlatból ismert dinamikai tulajdonságát jól leírja. A merev kerekes

modell nemlineáris vizsgálatából olyan elkülönült periodikus pályákat azonosítottunk,

amik remekül megmutatják, hogy a kerékszitálás milyen rejtett mozgása lehet egy

szerkezetnek. A valós rendszerekben megfigyelt simminek másik ismert tulajdonsága

a kvázi-periodikus rezgés, amit a gumikerekes modell leírásához használt

időkésleltetett rendszer segítségével mutattunk ki.

A jövőbeli kutatások egyik lehetséges iránya a gumikeréknél ismertetett

„memóriahatás” alkalmazása a kerekek longitudinális rezgéseinél. Az ez irányú

vizsgálatok segítségével új fékezési stratégiák kerülhetnek kidolgozásra, amik az ABS

rendszerek továbbfejlődését nagyban elősegíthetik.

5. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A kutatáshoz az OTKA K68910 pályázat valamint az MTA-BME Gépek és

Járművek Dinamikája Kutatócsoport nyújtott anyagi segítséget.

15

6. IDODALOMJEGYZÉK [1] Gantmacher, F.: Lectures in Analytical Mechanics, MIR Publishers, Moscow,

1975.

[2] Griffith, J. B.: The Theory of Classical Mechanics, Cambridge University Press,

Cambridge, 1985.

[3] Sitkei, Gy.: Mezőgazdasági gépek talajmechanikai problémái, Budapest,

Akadémia kiadó, 1967.

[4] Sitkeit, Gy.: A talaj-kerék kapcsolat néhány elméleti kérdése, MTA

Székfoglalók a Magyar Tudományos Akadémián, 2000.

[5] Rácz Elemér: Repülőgépek orrfutójának lengése, Járművek, Mezőgazdasági

Gépek, 2. évf., 8. sz., 243-248. old., 1955.

[6] Takács, D., Stépán, G., and Hogan, S. J.: Isolated large amplitude periodic

motions of towed rigid wheels. Nonlinear Dynamics, online megjelent, 2007.

[7] Takács, D. and Stépán, G.: Experiments on quasi-periodic wheel shimmy. In

Proceedings of IDETC/CIE 2007. ASME, 2007.

[8] Doedel, E.J., Champneys, A.R., Fairgrieve, T.F., Kuznetsov, Yu.A., Sandst-ede

X. Wang, B.: ”AUTO97: Continuation and bifurcation software for ordinary

differential equations (with HomCont)” Technical Report, Concordia

University, 1997.

[9] Pacejka, H.: Tyre and Vehicle Dynamics, Elsevier Butterworth-Heinemann,

2002.

[10] Takács, D., Orosz, G. and Stépán, G.: Delay effects in shimmy dynamics of

wheels with stretched-string like tyres, European Journal of Mechanics Solid/A,

benyújtva, 2007.

Adatok:

Stépán Gábor: akadémikus, gépészmérnök, beosztás: tanszékvezető,

munkahely: Műszaki Mechanikai Tanszék, Budapesti Műszaki és

Gazdaságtudományi Egyetem, elérhetőség: 1521 Budapest Pf. 91., tel: +36 463 1369,

stepan@mm.bme.hu

Takács Dénes: gépészmérnök, beosztás: PhD hallgató, munkahely: Műszaki

Mechanikai Tanszék, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem,

elérhetőség: 1521 Budapest Pf. 91., tel: +36 463 1227, takacs@mm.bme.hu