Kepler Satellitten∗

Lars V. T. Occhionero†

22. juni 2009

1 Indledning

Er der andre end os i universet? Dette er et spørgsmål som betager mangemennesker. Interessen for at vide hvorvidt der er �ere intelligente væsner iuniverset har frembragt mange store projekter inden for astronomien. En af deting man eksempelvis kan søge efter, er planeter hvor betingelserne for liv eropfyldt. Dette mål har haft stort betydning mht. udforskningen af vores egetsolsystem, hvor vi stadig kigger efter livstegn på Mars, Europa m.v. Ydeligerekan vi kigge efter sådanne planeter uden for vores solsystem.

Siden 1996, hvor den første exoplanet blev opdaget, har man gennem diversemetoder, fundet knap 400 planeter uden for vores solsystem. Desværre er alledisse langtfra Jordlignende, da de kun er at �nde hvis planeten er meget stor,eller kredser meget tæt på stjernen. Et første forsøg på at lave en satellitærplanet-søgning, skete i 2007 med COROT satellitten Denne satellit skulle kiggepå et stjernefelt, og observere de små lysdyk som en planet vil medføre, nården ville foretage en transit foran stjernen. Omend COROT fandt en håndfuldplaneter, var dens usikkerhed for høj, til at kunne se de små lysvariationer enJordlignende planet vil medføre. Derfor er en ny satellit blevet opsendt i martsi år. Kepler har en meget højfølsom fotometer, som burde kunne observereplaneter som ligner vores egen. Den skal kigge på det samme stjernefelt denæste 3�6 år og forhåbentlig �nde en stor del planeter. Dette kræver selvfølgeligtil dels en stor målenøjagtighed, og dermed en stor positionsnøjagtighed.

Jeg vil i denne opgave kigge på Kepler satellitten, og se på hvilke overvejelserman har lavet sig under design af dens payload, af den bane om Solen, samtden Attitude Kontrol, til at opretholde en høj stabilitet. Jeg vil herigennemdiskutere hvilke forhold som man bør have i tankerne når man designer enlignende mission.

2 Payload

Det første naturlige skridt på design af en rummission, er at de�nere missio-nens videskabelige mål, og dernæst kigge på det udstyr satellitten skal forsynesmed, for at opnå disse. En satellits nyttelast, altså dens hardware, computere,strømforsyninger mm. betegnes satellitens Payload (Wertz og Larson, 1999).Vi vil nu starte med at kigge på Keplers videnskabelige mål, og dernæst se påKeplers payload, og hvordan denne hjælper til opfyldelsen af målene.

∗Eksamensprojekt i Rumfart og Rumforskning, Forår 2009†Studiekortnr. 20052133

1

KAPITEL 2. PAYLOAD 2

2.1 Videnskabelige Mål

Kepler satellitten er et rumteleskop. Det er ikke det første af sin slags. Denmest kendte rumteleskop er nok Hubble Space Telescope, som har bragt osnogle fantastiske billeder af rummet. Kepler er dog den første rumteleskopsom er speci�kt designet til at søge efter exoplaneter, og vil formeegentlig�nde hundreder af Jord-lignende, eller større, planeter (Press kit, 2009). Formissionen er der opstillet nogle speci�kke videnskabelige mål (taget fra Presskit (2009))

� Bestemme hyppigheden af Jord-lignende, eller større planeter, som be�n-der sig i, eller omkring den Habitable zone, for forskellige stjerneklasser.

� Bestemme fordelingen af planeternes størrelse, og baneradius omkringstjernerne.

� Estimere hyppigheden af planeter i dobbelt- eller �ere-stjernesystemer

� Bestemme fordelingen af de fysiske data for de kæmpe-planeter med kortperiode.

� Identi�cere �ere mindre planeter ved stjerner hvor man allerede kendertil eksistensen af større planeter.

� Bestemme egenskaberne af de stjerner med planetsystemer

� Astroseismiske undersøgelser af stjernerne, bl.a. til bestemmelse af pla-netmasse, alder mm.

For at kunne opfylde de mål, er planen at observere samme felt på himlenkontinuerligt i de 3�6 år missionen varer. På denne måde kan man få megetpræcise tidsseriemålinger, og kunne observere periodiske ændringer af stjerner-nes luminositet, selv for eventuelle planeter med store perioder.

Når man nu klart har de�neret målene for missionen, er næste trin at �ndeud af hvilket udstyr man skal anvende for at observere, samt hvilket udstyrsom er ydeligere påkrævet for at udstyret kan fungere problemfrit.

2.2 Fotometeret

Keplers primære stykke udstyr, er dens fotometer.Fotometeret er det stykke apparatur, som skal foretage selve målingerne på

stjernerne, og dermed den, fra et rent astronomisk videnskabelig synsvinkel,mest interessante og vigtige stykke udstyr på satellitten Et skematisk tværsnitgennem fotometeret kan ses på �gur 1.

Fotometeret selv er reelt set en stor Schmidt-type re�ektor kikkert. (se Presskit (2009))

Når Kepler observerer sit felt, vil lyset fra stjernerne først komme forbi enkorrektor, som sørger for lyset ledes videre til bunden af satellitten, hvor man�nder det primære spejl. Det 1.4 m primærspejl er monteret på små motorer,som gennem rotationer og tiltninger kan sørge for at teleskopet er i fokus. Forat spare energi er disse motorer designet således de kan låses på plads, så snartfokus er opnået og det dermed ikke er nødvendigt at fortsat bruge energi på at

KAPITEL 2. PAYLOAD 3

Figur 1: Skematisk tværsnit gennem Keplers fotometer. Billede fra NASA(2009)

holde den på plads. Spejlet selv har en meget høj re�eksivitet, således at 95 %af lyset som rammer spejlet, re�ekteres videre til fokusområdet

Fokusområdet består af en serie af 42 CCD'er, hver med 2200x1024 pixels.Kameraets samlede opløsning er dermed på 95 megapixels. Denne meget højeopløsning er dybt nødvendig til at kunne foretage de meget �ne observationerman har tænkt sig at lave med satellitten Ydeligere er der på fokusområdet �remindre CCD'er, som skal anvendes i forbindelse med satellittens navigation somkan læses mere om i afsnit 4. Hele fokusområdet er koblet elektrisk til bundenaf satellitten, som består af en heksagonal plade, som samler alle elektroniki satellitten Her be�nder sig også de computere som anvendes til datalagringsamt styring af satellitten

2.3 Service udstyr

Et fotometer er et relativ følsomt stykke udstyr, som stiller høje krav til densomgivelser. Til dels fungerer den bedst under relativ lave temperaturer og kræ-ver, lige som alt andet elektronik, energi. Endelig skal vi sørge for at satellittenrent faktisk kigger på samme område hele tiden, og ikke blot �yver væk.

På �gur 2 kan vi se en skematisk tegning af satellitten, set udefra. Vi kan pådenne se forskellige stykker udstyr som satellitten kræver for at fungere. I bun-den har vi en stor heksagonal kasse. På denne er monteret meget af satellittenselektronik, samt små teleskoper, star trackers som anvendes til navigation, sam-men med satellittens �re momenthjul (se afsnit 4). Ydeligere er her i bundenplaceret satellittens kommunikationssytem bestående af �re parabolantenner(to modtagere, og to sendere), som kan kan sende data ned til os, på en af-stand af 96 mio. km. Satellitten selv kan oplagre data i maksimalt to måneder

KAPITEL 2. PAYLOAD 4

Figur 2: Skematisk tegning af Kepler satellitten, set udefra. Billede taget fraPress kit (2009, s. 20)

af gangen. Derfor kan satellitten nøjes med at kontakte Jorden, en gang hvermåned, hvor satellitten positionerer antennerne mod Jorden, og bruger en heldag på at sende data (Press kit, 2009).

Toppen af den heksagonale kasse, består af en plade. hvor elektronikenfra alle de forskellige del-elementer samles. Her på toppen �nde vi også noglesmå hydrazin-raketter, som kan anvendes til større positionsændringer hvis detbliver nødvendigt På denne topplade er også hvor fotometeret og solpanelerne ermonteret. Solpanelerne leverer strømmen til hele satellitten, som således bliverselvforsynende. Den totale areal af solpanelerne er på 10.2 m2, dog er de, modsatmange andre satellitter, fastmonteret, så de ikke kan positioneres efter solen.Af denne årsag skal teleskopet roteres hver 3. måned, så solpanelernes energimaksimeres. For at levere strømmen i satellittens første tid, inden solpanelernefår oplagret nok energi, er der i bundkassen også monteret et Litium-ion batteri.

Som skrevet tidligere er fotometeret relativ følsom overfor temperatur. Afdenne årsag har man sørget for at pakke selve fotometeret ind i varmetæpper, såtemperaturen bliver holdt. Solpanelerne er fremstillet af et specielt materiale,som afskærmer fotometeret fra varme, og stråling. Samtidig er selve fotometeretforsynet med et aktivt køleanlæg bestående af gennem�ydende ammoniak ogpropan gennem nogle rør, som kan ydeligere afkøle systemet. Endeligt er der påfotometeret monteret en radiator som er en plade som sikrer en termisk kontaktmellem fotometeret og rummets kolde vakuum. Satellitten er programmeretsåledes at denne plade altid vender væk fra solen, så den fungere til nedkøling.I nogle områder af fotometeret er der placeret nogle varmekilder, til at opvarme

KAPITEL 3. BANER 5

nogle dele af elektroniken som fungerer bedst under højere varme.

3 Baner

Vi har nu set på satellittens payload. Næste skridt i vores design, er at be-stemme hvilket kredsløb satellitten skal placeres i. Som skrevet ønsker vi atobservere ét bestemt område af himlen, over lang tid. Dette giver nogle kravtil det område som er blevet udvalgt. Til dels ønsker man et sted hvor der selv-følgeligt er et relativ stort antal stjerner. Samtidig skal feltet placeret såledesman kan observere det, uden Solen, Jorden, Månen eller andre store objekterkommer i vejen for vores observationer. Det udvalgte område (Press kit, 2009)ligger i �sommertrekanten� lige mellem stjernebillederne �Svanen� og�Lyren�Det valgte område kan ses på �gur 3.

Figur 3: Billede af sommertrekanten (bestående af Altair, Vega og Deneb), meddet udvalgte observationsfelt indtegnet. Billede fundet på Wikipedia (2009)

Når observationsfeltet er valgt, bliver næste skridt at �nde en bane, sommuliggør observationen af dette område hele tiden, uden noget kommer i vejen.Det er her allerede tydeligt at se, at enhver geocentrisk bane vil give problemer,da man ikke vil kunne undgå at Jorden kommer i vejen. Et bedre bud er at an-vende en heliocentrisk bane, altså at kredse om Solen, i stedet for Jorden. Dissebaner kan dog være ret problematiske, da de ofte har en stor afstand til Jorden,og dermed giver store krav til kommunikationen og øger omkostningerne vedopsendelsen. En god balance mellem pris og bane, er opnået ved at anvende enbane som ligger meget tæt op ad Jordens egen, blot med en lidt større periode,på 372.5 dage, altså lidt større end Jordens periode på 365.25 dage.

På �gur 4 ses en simulering af Keplers heliocentriske bane, foretaget medMatLab, ud fra baneparametre fundet på NASA (2009) og baneligningerne

KAPITEL 3. BANER 6

Figur 4: Simulation af Keplers heliocentriske bane, foretaget med MatLab.Noter at Solen er forstørret op 30x. Den anvendte kode kan ses på side 17

givet i Wertz og Larson (1999). På �guren ses at denne bane er en smule mereelliptisk end Jordens, og da perioden er større, vil banen efterhånden �sakkebagud� i forhold til Jorden, heraf navnet Earth-trailing Heliocentric Orbit. Udover at sikre at det valgte område kan observeres konstant, har banen ogsåden fordel at satellitten er placeret relativ langt væk fra Jorden. Omend dettekan give problemer med kommunikation, er det en stor fordel i forhold tilde påvirkninger Jorden in�uerer satellitten med. Til dels har vi ikke nogenatmosfære og ydeligere gravitationelle påvirkninger. Samtidig har vi på dettested en væsentlig mindre stråling, da vi kun skal kigge på selve strålingenfra Solen, hvis �uks er mindre end den stråling som ligger fanget i Jordensmagnetfelt.

3.1 Stråling under opsendelse

Stråling er ikke det store problem under missionen. Den primære stråling somsatellitten vil opleve er under dens opsendelse, hvor den vil foretage en baneom Jorden, inden de bliver bragt i bane om Solen.

Vi har på �gur 5 foretaget en simulering af den bane om Jorden, som Keplervil gennemgå inden den bringes videre. Som tidligere er simuleringen foretageti MatLab, ud fra ligningerne i Wertz og Larson (1999) og baneoplysninger fraH-A (2009).

Jorden er omgivet af et magnetfelt, som beskytter Jorden fra Solstrålingen,ved at indfange Solens protoner og elektroner. Alle disse partikler danner Jor-dens to Van Allen bælter, som er to bælter omkring Jorden med kraftig stråling

KAPITEL 3. BANER 7

Figur 5: Simulation af Keplers ene bane om Jorden, under opsendelse, foretagetmed MatLab. Den anvendte kode kan ses på side 15

(Wertz og Larson, 1999). Kepler vil passere gennem disse bælter under sin op-sendelse. Vi kan nu simulere strålingen den vil modtage under sin ene passagei banen ved hjælp af SPENVIS (2009).

Spenvis er et net-program, bl.a. anvendt af ESA, som kan udføre mangeaf de modelberegninger som er involveret i design af rummissioner. Én af deting som Spenvis kan beregne, er den stråling en satellit modtager i bane omJorden. I programmet starter man med at de�nere en bane, hvorefter man haradgang til beregning af stråling. Gør vi dette for Keplers passage om Jorden,kan vi producere en Worldmap magen til den på �gur 6. Worldmappet visermængden af stråling på forskellige steder i satellittens bane. Vi ser at banenstadig er relativ høj over Jorden, hvilket betyder vi ikke bliver påvirket af densydatlantiske anomali (Wertz og Larson, 1999), og at de primære strålingskildeer elektronstråling

Heldigvis be�nder vi os ikke i den bane særlig længe, så den modtagnestrålingsdosis er relativ lille.

På �gur 7 ser vi den modtagne strålingsmængde som funktion af afskærm-ingstykkelsen. Vi ser at det ikke kan betale sig at afskærme med mere end 4 mmaluminium, da Comptonspredningen i materialet forsager, at strålingsdosisen

KAPITEL 3. BANER 8

Figur 6: Stråling som funktion af satellittens position over Jorden (Worldmap).T.V. ses protonstrålingen, T.V. elektronstrålingen. Lavet med SPENVIS (2009)

Figur 7: Strålingsdosis som funktion af afskærmingstykkelse (i aluminium) forvores passage om Jorden. Lavet med SPENVIS (2009)

KAPITEL 4. NAVIGATION 9

forbliver konstant derefter (Wertz og Larson, 1999). Elektroniken i Kepler erplaceret i selve �hjertet� af instrumentet, afskærmet af solpaneler, bundkasse,samt selve teleskopet, som alt i alt leverer en væsentlig tykkere afskærmning afelektroniken, end de �re millimeter som kan være favorable at anvende. Vi kanaltså se at elektroniken er sikret ganske fornuftigt under opsendelsen.

Anvender vi Spenvis, til at udregne den strålingsdosis Kepler modtager idens heliocentriske bane, ser vi at den strålingsmængde Solen kan levere pådenne afstand er absolut neglicibel. Man kan dog overveje at Kepler satellittener komplet åbent, ned til elektroniken og CCD'erne, gennem teleskopet, mendenne er sat til, i forvejen, at konstant vende væk fra Solen. Den smule strålingsom be�nder sig i dette område, kan dermed �nt skærmes for, udelukkende vedat anvende solpanelerne.

4 Navigation

Den sidste ting jeg vil diskutere i denne opgave, er Keplers navigationssystem.Som skrevet ønsker vi med Kepler at observere et meget bestemt område afhimlen konstant de næste 3�6 år. Selvom vi nu har fundet en bane, og et om-råde hvor dette kan lade sig gøre, skal vi huske på at der i rummet er mangemuligheder for at satellitten kan begynde at vandre væk fra det præde�neredested. Denne vandring skyldes påvirkning fra diverse kraftmomenter, fra andrelegemer, som Jorden, Solen m.v. Generelt ser man to forskellige former for på-virkninger: De cykliske, hvor påvirkningerne ser ud til at give anledning til enperiodisk drift væk fra udgangspositionen. Disse skyldes som regel påvirkningerfra andre objekt i kredsløb. Samtidig har vi en påvirkning af en sekulær på-virkning, som stille og sikkert driver satellitten væk. Mere om dette kan læsesom i Wertz og Larson (1999).

Specielt den cykliske er problematiske, da den hurtigt kan bringe satellittenvæk fra sin udgangsposition. På �gur 8 ser vi en simulation foretaget i Mat-Lab, hvor vi kan se driften af en satellit som bliver påvirket af en tilfældigkraftmoment i både x- og y-retning.

Alt dette er meget uheldigt når man netop gerne vil have satellitten til atvære stille og observere samme område konstant, over lang tid. Derfor er Keplerforsynet med en ADCS: Attitude Determination and Control System. Sådan etsystem, forsøger konstant at måle, og korrigere for satellittens drift, og dermedholde den nogenlunde konstant i samme position. Vi kan illustrere hvordan enADCS fungerer, og hvad man skal tage hensyn til, ved at kigge på driften påen simpel måde, i en dimension:

Driften af en satellit kan beskrives som:

x(t+ dt) = x(t) + dx(t, dt)

Altså vil satellitens position efter et tidsrum dt ændre sig et stykke dx. For atkorrigere for dette, er det tydeligt at vi i højre side skal efterstræbe at trækkedriften fra igen. Men vi må huske på at systemet selv har en �svartid� somumuliggør at korrigere det hele �real time� (Wertz og Larson, 1999). Samtidigskal vi huske på at intet system er absolut støjfrit, samt vores bestemmelse afdriften heller ikke kan være perfekt. Satellitens drift med en ADCS kan dermedskrives som:

x(t+ dt) = x(t) + dx(t, dt) − α · (x(t− ∆t) + δS) + δT

KAPITEL 4. NAVIGATION 10

Figur 8: Simulation af en tilfældig vandring af en satellit, uden ADCS Denanvendte kode kan ses på side 20

hvor ∆t er tidsforskydningen mellem drift og korrektion, δS er støjen på sy-stemet og δT er usikkerheden på positionen. Det vi gør er altså at bestemmepositionsændringen, og dernæst korrigere for denne gennem diverse metoder,som jeg vil komme ind på senere, for denne. Men da vi ikke kan gøre dette �realtime� vil satellitten have ændret sin positionen, inden vi har nået at korrigereden. Samtidig vil støj og usikkerhed give anledning til endnu en ændring. Alti alt risikerer vi at korrigere satellitten mere end nødvendigt, og dermed gøredet hele værre. Derfor indfører vi faktoren α som skalerer hvor meget vi skalkorrigere. Denne skal generelt være mindre end 1, og faktisk er det vist at detofte er en god idé at gøre denne faktor så lille som muligt, så den dog stadiggiver anledning til en korrektion.

Anvendes en ADCS med disse egenskaber på vores simulation fra før, fårvi simulationen på �gur 9, hvor vi ser at, omend vi ikke kan holde satellittenfuldstændig på plads, formår at holde den stabil inden for en cirkelområde.

4.1 Navigationsudstyr

.Vi har nu diskuteret hvad en ADCS er, og hvorfor denne er vigtig. Som

skrevet består en ADCS af to systemer, en detektionssystem og en kontrolsy-stem.

Kepler har �ere forskellige detektionssystemer. Den primære består af �resmå CCD'er som er placeret i hjørnerne af fokusområdet sammen med restenaf CCD'erne. Disse observerer konstant efter nogle standardstjerner, og sikrer

KAPITEL 4. NAVIGATION 11

Figur 9: Simulation af en tilfældig vandring af en satellit, men en ADCS. Ititlen ses de anvendte parametre. Den anvendte kode kan ses på side 20

dermed at satellitten altid peger i den rigtige retning. Samtidig er der på Keplermonteret to Star Trackers som er små teleskoper som ligeledes holder øje mednogle standardstjerner, og beregner satellittens �ytning ud fra dette. Sidst, menikke mindst, er Kepler forsynet med 14 solsensorer som er små teleskoper som erkonstant orienteret mod Solen, som dermed også fungerer som standardstjerneSamtidig sørger dette sidste system for at Kepler altid vender modsat Solen, atsolpanelerne altid bliver belyst maksimalt, og at radiatoren altid vender vækfra Solen. Man kan læse mere om disse i Press kit (2009).

Til positionering benytter Kepler sig primært af �re momenthjul. Disse hjulkan sættes til at spinne, og dermed give satellitten en kraftmoment i den øn-skede retning. Disse �re hjul, er monteret på ikke-ortogonale akser i Kepler,og er sat til at arbejde altid samtidig, således det samlede arbejde altid for-deles over alle hjulene. I øvrigt kan Kepler tåle at miste ét af disse hjul, udenat ADCS'en kommer ude af funktion, da de sidste tre, godt kan udføre ar-bejdet alene. I tilfælde af at hjulene skulle give en for stor kraftmoment, ellerat Keplers bane skal ændres mere drastisk, er satellitten forsynet med noglesmå hydrazin-raketter, som kan positionere den igen. Men da Kepler har enbegrænset mængde hydrazin om bord, er dette noget man kun gør hvis det erstrengt nødvendigt (Press kit, 2009).

Dette positioneringssystem har også en anden vigtig funktion. Som skrevettidligere skal Kepler roteres 90° hver tredje måned, for at konstant holde sol-panelerne vendt mod Solen, og radiatoren vendt væk fra Solen. På �gur 10 kanses hvordan Kepler skal være placeret som funktion af dens bane om Solen.

Som det fremgår i Press kit (2009) er Keplers ADCS system ansvarlig for:

KAPITEL 4. NAVIGATION 12

Figur 10: Keplers bane om Solen, med indtegnet hvordan Kepler vender i for-hold til Solen i løbet af banen. Billede fundet på NASA (2009)

� Stabilisering af højden, efter Kepler frigøres af raketten

� Sørger for at Keplers teleskop peger mod det valgte himmel område

� Sørger for at satellitten er stabiliseret inden for en meget lille margin, forat garantere højpræcisions fotometri

� Vender solpanelerne mod Solen og kommunikationsantennerne ned modJorden, når det er nødvendigt

� Beskytter teleskopet fra at kigge på Solen

� Roterer Kepler 90°, når det er påkrævet, hver tredje måned.

� Sørger for at Kepler modtager positionsbestemmelse i tilfælde af nogetskulle gå galt.

KAPITEL 5. KONKLUSION 13

Vi ser altså at ADCS'et har mere end blot én funktion, og er en meget vitalelement i Keplers design.

5 Konklusion

Vi har i denne opgave kigget på nogle elementer af designet af NASAs nyerumteleskop, Kepler, som vil i løbet af de næste 3�6 år formeegentlig �nde �erehundreder exoplaneter, �ere af disse formeegentlig Jordlignende.

Vi har kigget på hvilket udstyr Kepler er forsynet med, altså dens Payload.Her har vi både kigget på dens videnskabelige apparatur, altså fotometeret,samt alt det udstyr som er påkrævet for at få fotometeret til at virke, så somsolpaneler, elektronik, m.v.

Dernæst har vi kigget på Keplers særprægede heliocentriske bane, som sik-rer at den kan observere sit targetområde kontinuerligt uden Jorden, Solen ellerandet kommer i vejen for synsfeltet. Vi har her set at Kepler reelt set er upåvir-ket af stråling, og vi har i den forbindelse også kigget på den mængde strålingKepler har modtaget under opsendelse, og bemærket at strålingsdosisen harværet minimal.

Endeligt har vi set på ét af Keplers vigtigste systemer, nemlig dens Atti-tude Kontrol System, ADCS, som garanterer at Kepler ikke driver væk pga.diverse �uktuationer, men observerer feltet uden af �ytte sig for meget. Vi harsamtidig set at denne ADCS også varetager mange andre vigtige funktioner forsatellitten, så som navigation, orientering og endelig positionsbestemmelse, itilfælde af at noget skulle gå galt, og Kepler alligevel ville drive væk.

Opgaven giver et kort indblik i nogle af de tanker man har gjort sig underdesign af denne mission samt nogle af de tanker og idéer man generelt skalholde sig for øje når man ønsker at designe en rummission. Her er det vigtigtat sørge for at alt er tilrettelagt, og fungerende, samt at systemet fortsat eranvendeligt, i tilfælde af noget skulle gå galt.

Kepler har foretaget sine første målinger, og er nu i fuld gang med at �ndenye Jordlignende planeter, og man må håbe at den �nder mange, så det storespørgsmål, hvorvidt der er andet intelligent liv i universet, bliver mere og meresandsynlig bud for at være sandt.

LITTERATUR 14

Litteratur

H-A, Heavens-Above Homepage, 2009. URL http://heavens-above.com/.

NASA, NASA Homepage, Kepler Mission, 2009. URL http://kepler.nasa.

gov/.

Press kit,Kepler: NASA's First Mission Capable of Finding Earth-Size Planets,2009. Press kit.

SPENVIS, SPENVIS Homepage, 2009. URL http://www.spenvis.oma.be/.

James R. Wertz og Wiley J. Larson, red., Space Mission Analysis and Design,Springer, 1999, 9. udgave, ISBN 978-1-881883-10-4.

Wikipedia, Wikipedia UK, 2009. URL http://www.wikipedia.org/.

MatLab Koder

Her følger de anvendte MatLab koder:

MATLAB KODER 15

Første bane

1 clear, clc, clf, close all2

3 %%baneparametre for KEPLER%%%4

5 % Epoch (UTC): 00:25:07, Sunday, March 8, 20096 % Eccentricity: 0.22876897 % Inclination: 28.55148 % Perigee height: 2245 km9 % Apogee height: 7361 km

10 % Right Ascension of ascending node: 43.960811 % Argument of perigee: 108.467612 % Revolutions per day: 7.3426548413 % Mean anomaly at epoch: 277.672914 % Orbit number at epoch: 615

16 R=6378000; % jordens radius i m17 h=2245000+R; %hjden fra jordens centrum18 mu=3.986004418*10^14; % gravitationskonstant for jorden19

20 %r=[8567000; 0; 0]; % Position i m fra jordens centrum21

22 %Positionen over jorden i sfriske koordinater23 rsph = [h; pi/2 ; 0];24 r = [rsph(1)*sin(rsph(2))*cos(rsph(3));...25 rsph(1)*sin(rsph(2))*sin(rsph(3));...26 rsph(1)*cos(rsph(2))];27 ink=28.5514;28 inkrad=ink*pi/180;29

30 a=((R+2245000)+(R+7361000))/2;31 V=sqrt(2*mu*((1/sqrt(dot(r,r)))−(1/(2*a))));32 vx=0;33 vy=cos(inkrad)*V;34 vz=sin(inkrad)*V;35

36

37 v=[vx;vy;vz]; % Hastighed i m/s38

39 Tm=4; %Observationstiden i timer40

41

42 ts=Tm*3600; % omlbtid i sekunder43 dt=1; % tidsstep44

45 i=1; % t lleskridt46 X=[r(1)];47 Y=[r(2)];48 Z=[r(3)]; % til opsamling af koordinater49 r_i=[];50 v_i=[]; % til opsamling af position og hastighed51 E=[];52 L=[]; % til opsamling af energi og impulsmoment53 T=1:dt:ts; %Tidsvektor54 for i=1:length(T); %fra 1 til l ngde af tidsvektor55 [r_i,v_i]=orb(r,v,mu,dt); % ny position og hastighed beregnes56 X=[X,r_i(1)];...57 Y=[Y,r_i(2)];...58 Z=[Z,r_i(3)]; % koordinater opsamles

MATLAB KODER 16

59 E(i)=dot(v_i,v_i)/2−mu/sqrt(dot(r_i,r_i)); % energi beregnes60 l=cross(r_i,v_i);% impulsmoment beregnes61 L=[L;l]; %impulsmoment opsamles62 r=r_i; % ny position defineres som position63 v=v_i; % ny hastighed defineres som hastighed64 i=i+1; % et beregningsskridt er hermed g et65 end66 hold on67 grid on68 plot3(X,Y,Z); % banen plottes69 plot3(X(1),Y(1),Z(1),'bo') % startpunkt plottes70 [xx yy zz]=sphere; % sfre genereres71 J=surf(xx*R, yy*R, zz*R); % jordkoordinater genereres72 set(J,...73 'CData',...74 rand(21),...75 'FaceColor',...76 'interp');77 colormap(winter); %jorden farvelgges78 axis equal

MATLAB KODER 17

Heliocentrisk bane

1 clear, clc, clf, close all2

3 R=6.955*10^8; % Solen middelradius i m4 aj=1.0*149.60*10^9; %halvestorakse for jorden5 ak=1.01319*149.60*10^9; %halve storakse for Kepler6 ek=0.03188; %Eccenricitet for keplers bane7 ej=0.01675; %Eccenricitet for keplers bane8 pj=aj*(1−ej); %Perigeum for jorden9 pk=ak*(1−ek); %perigeum for Kepler

10

11

12 %De halve storakse er fundet p NASAs Kepler−hjemmeside,13 %hvor i en powerpointfil: Koch2003_06b.ppt p side 9 er14 %angivet baneparametrene for Kepler og Jorden.15 %Perigeum er udregnet p baggrund af formlerne side16 %137 i "Space Mission Analysis And Design"(SMAD).17

18 hj=pj+R; %jordens h jde fra Solens centrum19 hk=pk+R; %Keplers h jde fra Solens centrum20 mu=1.327124*10^20; % gravitationskonstant for solen21

22 rsph = [hj; pi/2 ; 0]; %Positionen over Solen i sfriske koordinater23 r = [rsph(1)*sin(rsph(2))*cos(rsph(3));...24 rsph(1)*sin(rsph(2))*sin(rsph(3));...25 rsph(1)*cos(rsph(2))];26

27 %Hastigheden udregnet p baggrund af (6−4) side 134 i (SMAD)28 V=sqrt(2*mu*((1/sqrt(dot(r,r)))−(1/(2*aj))));29 vx=0;30 vy=V;31 vz=0; %Der tages ikke h jde for inklinationen,32 %hvilket betyder vi ser det i xy−planen,33 %blot for at g re det hele lidt nemmere.34

35

36 v=[vx;vy;vz]; % Hastighed i m/s37

38 Tm=365.25*24; %Jordens omlbstid i dage39

40

41 ts=Tm*3600*24; % jordens omlbtid i sekunder42 dt=6*3600; % tidsstep43

44 i=1; % t lleskridt45 Xj=[r(1)]; Yj=[r(2)]; Zj=[r(3)]; % til opsamling af koordinater46 r_i=[]; v_i=[]; % til opsamling af position og hastighed47 E=[]; L=[]; % til opsamling af energi og impulsmoment48 T=1:dt:ts; %Tidsvektor49 for i=1:length(T); %fra 1 til l ngde af tidsvektor50 [r_i,v_i]=orb(r,v,mu,dt); % ny position og hastighed beregnes51 Xj=[Xj,r_i(1)];...52 Yj=[Yj,r_i(2)];...53 Zj=[Zj,r_i(3)]; % koordinater opsamles54 E(i)=dot(v_i,v_i)/2−mu/sqrt(dot(r_i,r_i)); % energi beregnes55 l=cross(r_i,v_i);% impulsmoment beregnes56 L=[L;l]; %impulsmoment opsamles57 r=r_i; % ny position defineres som position58 v=v_i; % ny hastighed defineres som hastighed

MATLAB KODER 18

59 i=i+1; % et beregningsskridt er hermed g et60 end61

62 %Lkken k res nu igen, blot for Keplers baneparametrer.63

64 rsph = [hk; pi/2 ; 0]; %Positionen over solen i sfriske koordinater65 r = [rsph(1)*sin(rsph(2))*cos(rsph(3));...66 rsph(1)*sin(rsph(2))*sin(rsph(3));...67 rsph(1)*cos(rsph(2))];68

69 V=sqrt(2*mu*((1/sqrt(dot(r,r)))−(1/(2*ak))));70 vx=0;71 vy=V;72 vz=0;73

74 v=[vx;vy;vz]; % Hastighed i m/s75

76 Tm=372.50; %Keplers omlbstid i dage77

78

79 ts=Tm*3600*24; % omlbtid i sekunder80 dt=6*3600; % tidsstep81

82 i=1; % t lleskridt83 Xk=[r(1)]; Yk=[r(2)]; Zk=[r(3)]; % til opsamling af koordinater84 r_i=[]; v_i=[]; % til opsamling af position og hastighed85 E=[]; L=[]; % til opsamling af energi og impulsmoment86 T=1:dt:ts; %Tidsvektor87

88 for i=1:length(T); %fra 1 til l ngde af tidsvektor89 [r_i,v_i]=orb(r,v,mu,dt); % ny position og hastighed beregnes90 Xk=[Xk,r_i(1)];...91 Yk=[Yk,r_i(2)];...92 Zk=[Zk,r_i(3)]; % koordinater opsamles93 E(i)=dot(v_i,v_i)/2−mu/sqrt(dot(r_i,r_i)); % energi beregnes94 l=cross(r_i,v_i);% impulsmoment beregnes95 L=[L;l]; %impulsmoment opsamles96 r=r_i; % ny position defineres som position97 v=v_i; % ny hastighed defineres som hastighed98 i=i+1; % et beregningsskridt er hermed g et99 end

100

101 hold on102 grid on103

104 plot3(Xj,Yj,Zj,'b'); % Jordens bane plottes105 plot3(Xk,Yk,Zk,'r'); % Keplers bane plottes106 [xx yy zz]=sphere; % sfre genereres107 % Solens koordinater genereres, og forstrres en faktor 30108 J=surf(xx*R*30, yy*R*30, zz*R*30);109 set(J,...110 'CData',...111 rand(21),...112 'FaceColor',...113 'interp');114 colormap(winter); %jorden farvelgges115 axis equal

MATLAB KODER 19

Orb Funktionen

1 function [r_n, v_n]= orb(r, v, mu, dt)2 r_g=r+v.*dt;3 r_c=sqrt((((r(1)+r_g(1))^2)+((r(2)+r_g(2))^2)+((r(3)+r_g(3))^2))/4);4 v_n=v−mu.*(r_c.^(−3)).*(r+r_g).*dt/2;5 r_n=r+(v+v_n).*dt/2;

MATLAB KODER 20

ADCS Simulering

1 clc, clear all, clf, close all2

3 dt=1;4 Dt=2*dt;5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%stjbidrag%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%6 dS=0;7 dT=0;8 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%9

10 alpha=0.9;11

12 xstart=zeros(1,Dt);13 indi=1;14 x=xstart;15 xn=zeros;16

17 ystart=zeros(1,Dt);18 y=ystart;19 yn=zeros;20

21 T=1:dt:1000;22

23 for n=(Dt+1):dt:100024 xn=x(n−1) + randn(1,1)−alpha*(x(n−Dt)+dS)+dT;25 x(n)=xn;26

27 yn=y(n−1) + randn(1,1)−alpha*(y(n−Dt)+dS)+dT;28 y(n)=yn;29 end30

31 xn2=zeros;32 x2=x(length(x)−(Dt−1):length(x));33

34 yn2=zeros;35 y2=y(length(y)−(Dt−1):length(y));36

37 for n=(Dt+1):dt:100038 xn2=x2(n−1) + randn(1,1)−alpha*(x2(n−Dt)+dS)+dT;39 x2(n)=xn2;40

41 yn2=y2(n−1) + randn(1,1)−alpha*(y2(n−Dt)+dS)+dT;42 y2(n)=yn2;43

44 end45

46 hold on47 plot(x2,y2,'.−')48 axis([−30 30 −30 30])49 title('\alpha = 0,7 \Deltat = 2\cdot dt \∆_S = \∆_T = 0')50 xlabel('Pitch')51 ylabel('Yaw')52

53 close all54

55 for n=(Dt+1):dt:100056 xn=x(n−1) + randn(1,1);57 x(n)=xn;58

MATLAB KODER 21

59 yn=y(n−1) + randn(1,1);60 y(n)=yn;61 end62 plot(x,y,'.−')63 xlabel('Pitch')64 ylabel('Yaw')