Matriks adalah suatu susunan angka atau bilangan, variabel, atau parameter yang berbentuk empat persegi dan biasanya ditutup dengan tanda kurung. (JOSEP BINTANG KALANGI, MATEMATIKA EKONOMI & BISNIS buku 2, hal 113)

KONSEP MATRIKSSetiap bilangan pada matriks disebut elemen (unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukan oleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.Contoh :

a b

c d

Kolom ke 1

Kolom ke 2

baris ke 1 baris ke 2

A =

Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo 2 X 2 ditulis A2X2 atau (a22).

“Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.”

a b

c d

Kolom ke 1

Kolom ke 2

baris ke 1 baris ke 2

A =

KESAMAAN MATRIKSMatriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B.

Contoh :

Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 x 3Definisi:Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B),

jika :a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama.b. Unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan matriks B

sama.

a b c

d e fA =a b c

d e fB =dan

MACAM-MACAM MATRIKS

MATRIKS BARISMatriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris.

Contoh : A = ( 4 3 2 4 )

MATRIKS KOLOMMatriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

Contoh : A = 4

5

-1

MATRIKS PERSEGI ATAU MATRIKS BUJUR SANGKAR

Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom

Contoh :Contoh : A = ,

4 5 -1

5 2 4

3 2 1

jumlah baris = jumlah kolom

MATRIKS NOLMatriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n ,ditulis dengan huruf O

Contoh : O2X3 = 0 0 0

0 0 0

0 0 0

MATRIKS SEGI TIGAMatriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 (nol).

Contoh : C = , D = 2 0 0 0

3 7 0 0

-9 0 8 0

4 1 -3 5

8 2 1 -3

0 6 5 4

0 0 3 7

0 0 0 9

MATRIKS DIAGONALMatriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

Contoh : E = 5 0 0 0

0 7 0 0

0 0 -2 0

0 0 0 8

MATRIKS SKALARMatriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

Contoh : F =

7 0 0 0

0 7 0 0

0 0 7 0

0 0 0 7

MATRIKS IDENTITAS ATAU MATRIKS SATUAN Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah

matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya 1 (satu) ditulis dengan huruf I.

Contoh : I3 = , I4 =

I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

MATRIKS SIMETRISMatriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji.

Contoh : G =

Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga

1 3 2 5

3 4 6 9

2 6 7 8

5 9 10

2

MATRIKS MENDATARMatriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

Contoh : H2X3 =

3 2 1

4 5 1

MATRIKS TEGAK Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

Contoh : K3x2 = 1 -8

4 1

9 1

MATRIKS TRANSPOS ( notasi At ) Transpos A adalah matriks baru dimana

elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga = elemen baris ketiga matriks A.Misal Matriks A =

Maka Transpos A adalah At =

Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

1 -2 5 8

9 1 4 2

0 3 -2 -3

1 9 0

-2 1 3

5 4 -2

8 2 -3

SIFAT-SIFAT MATRIKS TRANSPOS

1) ( A + B )t = At + Bt

2) ( At )t = A 3) ( AB )t = Bt At

OPERASI MATRIKS

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN 2 MATRIKS

Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama.

Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

CONTOH

Jika A = , dan B =

Maka A + B = =

A - B = =

3 2 1

5 4 6

7 5 -3

-2 1 0

3+7 2+5 1+(-3)

5+(-2) 4+1 6+0

10 7 -2

3 5 6

3-7 2-5 1-(-3)

5-(-2) 4-1 6-0

-4 -3 4

7 3 6

BEBERAPA SIFAT YANG BERLAKU PADA PENJUMLAHAN MATRIKS

1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif)2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif)3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas tambah)

PERKALIAN BILANGAN REAL DENGAN MATRIKS

Jika k adalah suatu bilangan Real (skalar) dan Matriks A = (aij), maka Matriks kA = (kaij) adalah suatu matriks yang di peroleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.

Jadi, jika A = , maka : kA =

Contoh : Misal A = ,

maka 3A = 3 = =

7 5 -3

-2 1 0

a11 a12

a21 a22

ka1

1

ka1

2

ka2

1

ka2

27 5 -3

-2 1 0

3.7 3.5 3.(-3)

3.(-2)

3.1 3.0

21 15 -9

-6 3 0

SIFAT-SIFAT PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REALJika a dan b bilangan real, maka :( a + b )A = aA + bAa ( A + B ) = aA + aBa( bA ) = (ab)A

PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS (PERKALIAN 2 MATRIKS)

Matriks A yang berordo mxp dengan suatu matriks B yang berordo pxn adalah matriks C yang berordo mxn.A mxp.Bpxn = C mxn

Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah : Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.

Secara umum jika A = >> ordo matriks 2x3

B = >> ordo matriks 3x2

C = A . B = >> ordo

matriks 2x2

Dimana

a11 a12 a13

a21 a22 a23

b11 b12

b21 b22

b31 b32

c11 c12

c21 c22

c11 = a11b11+a12b21+a13b31

c12 = a11b12+a12b22+a13b32

c21 = a21b11+a22b21+a23b31

c22 = a21b12+a22b22+a23b32

DETERMINAN MATRIKS

Determinan matriks 𝐴 di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemen - elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen - elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks � dinotasikan dengan det 𝐴 atau |𝐴|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.

DETERMINAN MATRIKS ORDO 2x2

Jika Matriks A = maka det (A) = |A| = | |= ad – bc

Contoh :P = maka,

det (P) = |P| = | | = (2.3) – (1.(-6)) = 6+6 = 12

a b

c da b

c d

2 1

-6 3

2 1

-6 3

DETERMINAN MATRIKS ORDO 3x3

Untuk mencari determinanmatriks berordod apatdigunakan dua metode, sebagaiberikut:

MetodeSarrusMetodeEkspansiKofaktor

METODE SARRUSCara ini paling tepat digunakan untuk menentukan determinan matriks ordo 3×3. Cara sarrus : i. Tuliskan kolom pertama dan kedua dari determinan awal di sebelah kanan setelah kolom ketiga.

ii. Kalikan unsur – unsur pada keenam diagonal, yaitu tiga kolom diagonal utama (dari kiri ke kanan) dan tiga kolom diagonal pendamping (dari kanan ke kiri). Hasil kali diagonal utama dijumlahkan dan hasil kali pada diagonal pendamping dikurangkan.

Jika Matriks B =

maka det (B) = |B| =

= ptx + quv + rsw – vtr –wup – xsq

Perlu diperhatikan bahwa Metode Sarrus tidak berlaku bila matriks berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi.

p q r

s t u

v w x

p q r

s t u

v w x

p q

s t

v w

METODE EKSPANSI KOFAKTORa. Pengertian Minor . Minor suatu matriks 𝐴

dilambangkan dengan 𝑀𝑖j adalah matriks bagian dari 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen - elemennya pada baris ke-𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑗.

Contoh : Q = maka,

M11 = , M12 = , M13 =

M11, M12 , M13 merupakan sub,matriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks Q

3 2 4

1 7 5

7 2 3

3 2

1 7

3 2

1 7

3 2

1 7

b. Pengertian Kofaktor Kofaktor suatu elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗dari matriks A dilambangkan dengan

𝐾𝑖j =(−1)𝑖+𝑗. |𝑀𝑖j| = (−1)𝑖+𝑗.det (𝑀𝑖.j)

Penentuan tanda dr determinan matriks persegi berodo 3x3 :

Untuk mencari det (A) dg metode ekspansi kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi bari ke -1

+ - +

- + -

+ - +

CONTOH𝑄 =

Untuk mendapatkan det(𝑄) dengan metode kofaktor adalah mencari terlebih dahulu determinan – determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1 diatas, yaitu :

M11= , det(𝑀11) = 11 ; M12= , det(𝑀12) = -32 ;

M13= , det(𝑀13)=− 47

det(𝑄)= 𝑘11.𝑞11+𝑘12.𝑞12+𝑘13.𝑞13

= (−1)1+1.|𝑀11|.𝑞11+ (−1)1+2.|𝑀12|.𝑞12 + (−1)1+3.|𝑀13|.𝑞13

=11.3 − (−32).2 + (−47).4 =33+64−188 = −91

3 2 4

1 7 5

7 2 3

7 5

2 3

1 5

7 3

1 7

7 2

ADJOIN MATRIKSAdjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = (k ij )T

CONTOH :

k11= (-1)1+1 | =11 ; k12= (-1)1+2 =32 ;

k13= (-1)1+3 =−47 ; k21= (-1)2+1 =2 ;

k22= (-1)2+2 | |=−19 ; k23 = (-1)2+3 =8 ;

k31= (-1)3+1 =−18 ; k32= (-1)3+2 =−11

k33= (-1)3+3 =18

3 2 4

1 7 5

7 2 3

3 2

1 7

1 5

7 3

1 7

7 2

2 4

2 3

3 4

7 3

3 2

7 2

2 4

7 5

3 4

1 5

3 2

1 7

Adj Q = =

Jika A= maka kofaktor-kofaktornya adalah k11= d, k12 = − c, k 21= − b dan k 22 = a.

Kemudian Adj A = =

Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada diagonal utamanya dan mengubah tanda pada elemen-elemen pada diagonal lainnya.

k11

k12

k13

k21

k22

k23

k31

k32

k33

11 2 -18

32 -19 -11

-47 8 18

a b

c d

k11

k12

k21

k22

d -b

-c a

INVERS MATRIKSInvers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks dalam perkalian yang dilambangkan dengan A-1. Definisi:Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A x B = B x A = I , dimana I matriks identitas maka B disebut invers dari A dan A invers dari B. Karena invers matriks A dilambangkan dengan A-1 maka berlaku: A x A-1 = A-1 x A= I Dimana I adalah matrik identitas.

INVERS MATRIKS ORDO 2×2Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2Misalkan A = invers dari A adalah A-1, yaitu

A -1 = , dengan det A ≠ 0

2 1

-3 -2

ac

bd

Adet

1

Contoh :

Tentukan invers dari matriks D = Jawab :det D = = 3(11) – (–7)(–6) = 33 – 42 = –9

D -1=

=

= =

117

63

117

63

37

611

det

1

A

37

611

9

1

9

3

9

79

6

9

11

3

1

9

73

2

9

11

INVERS MATRIKS ORDO 3×3Contoh: B = , tentukan B-1!

Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan metode kofaktor dengan mengekspansi baris yang memuat nol terbanyak yaitu baris ke-3, maka :

Det(B) = |B| = k31 . b31 + k32 . b32 + k33 . B33= (-1)3+1 .0+(-1)3+2 .0+(-

1)3+3 .6 = 0 + 0 + 24 = 24

1 2 3

0 4 5

0 0 6

54

32

50

31

40

21

MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

= x

y

1

ad - bc

d -b

-c -a

p

q

CONTOHTENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIANSISTEM PERSAMAAN LINIER BERIKUT

2x + y = 43x + 2y = 9

=2 1

-3 -2

x

y

4

9

Persamaan Matriks diatas dapat ditulis menjadiAX =B, A = , X = , B =

det A = | | = 1 dan A-1 = 1/1 =

Oleh karena itu, X =A-1B = =

Jadi, HP adalah {(-1, 6)}

2 1

-3 -2

x

y

4

9

2 1

-3 -2

2 1

-3 -2

2 1

-3 -2

x

y

2 1

-3 -2

4

9

-1

6

METODE CRAMERmetode cramer didasarkan atas perhitungan

determinan matriks. Suatu sistem persamaan linier Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat di kerjakan dengan metode cramer, jika hasil perhitungan menunjukkan bahwa det(A)≠0.