UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

POUCEVANJE, PREDMETNO POUCEVANJE

KATJA SKUBIC

TEORETICNI IN DIDAKTICNI VIDIKIVERIZNIH ULOMKOV

MAGISTRSKO DELO

LJUBLJANA, 2016

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

POUCEVANJE, PREDMETNO POUCEVANJE

KATJA SKUBIC

TEORETICNI IN DIDAKTICNI VIDIKIVERIZNIH ULOMKOV

MAGISTRSKO DELO

Mentor: izr. prof. dr. MARKO SLAPAR

Somentor: doc. dr. ZLATAN MAGAJNA

LJUBLJANA, 2016

Dr. Marko Slapar hvala vam za vso strokovno pomoc.

Hvala, da ste me ponovno vzeli k sebi in da ste bili vedno

pripravljeni pomagati.

Dr. Zlatan Magajna zahvaljujem se vam za vse strokovne

usmeritve predvsem pa za nesebicno pomoc in sodelovanje

pri nastajanju dela.

Hvala domacim, da ste verjeli vame, me podpirali in z mano

vztrajali do konca.

Hvala prijateljem, da ste bili vedno ob meni in pripravljeni

pomagati tako ali drugace.

Brez vas vseh bi bilo veliko tezje.

POVZETEK

Verizni ulomki so v matematiki znani predvsem zaradi omogocanja natancnejse

predstavitve racionalnih in iracionalnih stevil. Verizni ulomki racionalnih stevil so

koncni, medtem ko je treba za predstavitev iracionalnih stevil vpeljati neskoncne

verizne ulomke. Teoreticni del magistrskega dela bo poleg predstavitve osnovnih poj-

mov veriznih ulomkov, konvergence in iracionalnosti veriznega ulomka zajemal tudi

natancnejso obravnavo stevila e, ki se ga da enostavno razviti v neskoncni verizni

ulomek in tako pokazati njegovo iracionalnost. Iracionalna stevila namrec lahko

na enolicen nacin predstavimo z neskoncnim veriznim ulomkom, delne vsote ne-

skoncnega veriznega ulomka pa predstavljajo odlicne racionalne priblizke stevila, ki

jim pravimo tudi konvergenti. V nadaljevanju bomo obravnavali periodicne verizne

ulomke in pokazali, da je neskoncen enostaven verizni ulomek kvadraticna iracio-

nala, ce in samo ce je periodicen. Zapisana teoreticna vsebina bo, skupaj s predsta-

vitvijo osnovnega algoritma racunanja veriznih ulomkov, vpeljava v empiricni del.

Empiricni del bo predstavljal projekt, v katerem bomo verizne ulomke predstavili

kot obogatitveno vsebino pouka matematike v osnovnih in srednjih solah. Pokazali

bomo, kako z razlicnimi ucnimi pristopi obravnavati verizne ulomke z nadarjenimi

ucenci in dijaki.

KLJUCNE BESEDE IN BESEDNE ZVEZE:

verizni ulomek, iracionalnost, stevilo e, kvadraticna iracionala, ucenje z odkrivanjem.

ABSTRACT

Continued fractions in mathematics are mainly known due to the need for a more

detailed presentation of rational and irrational numbers. Continued fractions of ra-

tional numbers are finite, while for presentation of irrational numbers, it is necessary

to introduce infinite continued fractions. The theoretical part of the master’s thesis

will, in addition to the presentation of the basic concepts of continued fractions,

convergence, and irrationality of a continued fraction, also include a more detailed

discussion of the number e, which can be easily expanded into an infinite continued

fraction in order to demonstrate its irrationality. We are able to represent irrational

numbers in a unique way with an infinite continued fraction, with its finite approxi-

mations representing an excellent rational approximation of the number, also called

convergents. Hereinafter, we will address periodic continued fractions, and show

that an infinite simple continued fraction is a quadratic irrational, if and only if it

is periodic. This theoretical content, together with the presentation of the basic

algorithm of the computation of continued fractions, will be an introduction to the

empirical part. The empirical part will represent the project by means of which we

will present continued fractions as an enrichment of the content for teaching ma-

thematics in elementary and secondary schools. We will show how to use different

learning approaches in teaching continued fractions to gifted students.

KEY WORDS:

continued fraction, irrationality, number e, quadratic irrational number, learning by

discovery.

Kazalo

1 UVOD 1

2 TEORETICNI DEL 4

2.1 SPLOSNE DEFINICIJE VERIZNIH ULOMKOV . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Kaj so verizni ulomki in kdaj so nastali . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2 Koncni verizni ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3 Neskoncni verizni ulomek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.4 Konvergenca neskoncnih veriznih ulomkov . . . . . . . . . . . 14

2.1.5 Iracionalnost veriznih ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 VERIZNI ULOMKI IN STEVILO e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Zapis stevila e z veriznim ulomkom . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Primeri nekaterih lepih izpeljav za e s pomocjo funkcij . . . . 20

2.2.3 Iracionalnost stevila e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 PERIODICNI VERIZNI ULOMKI IN KVADRATNA IRACIONALA 23

2.3.1 Periodicni verizni ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2 Kvadratna iracionala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 EMPIRICNI DEL 27

3.1 UVOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 KAJ SO VERIZNI ULOMKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 O UCENJU Z ODKRIVANJEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 VERIZNI ULOMKI IN SOLSKI KURIKULUM . . . . . . . . . . . . 32

3.4.1 Osnovna sola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.2 Gimnazija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 VODENO ODKRIVANJE – RAZISKOVANJE . . . . . . . . . . . . . 39

3.5.1 Primer obravnave z vodenim odkrivanjem . . . . . . . . . . . 41

3.6 SAMOSTOJNO ODKRIVANJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6.1 Primer obravnave s samostojnim odkrivanjem . . . . . . . . . 46

3.7 PROBLEMSKO UCENJE IN RESEVANJE PROBLEMOV . . . . . 48

3.7.1 Primer obravnave z uporabo problemskega ucenja . . . . . . . 52

3.8 MODELIRANJE PRI POUKU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.8.1 Primer obravnave z matematicnim modeliranjem . . . . . . . 58

4 ZAKLJUCEK 61

Slike

1 Prekrivanje pravokotnika [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 Fibonaccijeva spirala [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Fibonaccijeva stevila [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 1. korak merjenja [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 2. korak merjenja [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 3. korak merjenja [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7 4. korak merjenja [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1 UVOD

Tema, ki jo bomo obravnavali v magistrskem delu, so verizni ulomki. Verizni

ulomki so nastali zaradi zelje po ”matematicno cistih”predstavitvah realnih stevil.

Vecina ljudi pozna desetisko predstavitev realnih stevil. Taksna predstavitev ni

brez pomanjkljivosti, saj v tem sestavu mnogo racionalnih stevil ni mogoce izraziti s

koncnim stevilom clenov v taksnem zapisu. Zapis z veriznimi ulomki je predstavitev

realnih stevil, ki se izogne taksnim tezavam. Predstavitev realnih stevil z veriznimi

ulomki ima vec prikladnih znacilnosti:

• Predstavitev stevila z veriznim ulomkom je koncna, ce in samo ce je stevilo

racionalno.

• Predstavitve ”preprostih”racionalnih stevil z veriznimi ulomki so kratke.

• Predstavitev iracionalnega stevila je enolicna.

• Cleni veriznega ulomka se ponavljajo, ce in samo ce je stevilo kvadraticna

iracionala, oziroma ce je realna resitev kvadratne enacbe.

• Koncni deli veriznega ulomka stevila x vodijo do racionalnega priblizka za x,

ki je v dolocenem smislu ”najboljsi”racionalni priblizek stevila x [18].

Izreke in njihove dokaze bomo podrobneje predstavili v nadaljevanju naloge.

Zametke racunanja veriznih ulomkov je mogoce videti v Evklidovem algoritmu

(300 pr. n. st.), saj gre v bistvu za isto stvar in algoritem kot stranski rezultat

enakovredno poda clene zapisa veriznih ulomkov [13]. Indijski matematik in astro-

nom Aryabhata I. je uporabljal verizne ulomke pri racunanju linearnih enacb oblike

ax+c = by (diofantska enacba, Aryabhatov algoritem). Za zacetnika teorije veriznih

ulomkov velja italijanski matematik Rafael Bombelli. Prvic jih je uporabil leta 1572

pri racunanju kvadratnih korenov. Odkril je tudi, da se dajo iracionalna stevila zelo

tocno aproksimirati z veriznimi ulomki. Aproksimiral je√

13. V tem casu se je z

veriznimi ulomki ukvarjal tudi Pietro Antonio Cataldi. Tudi Cataldi je na podoben

nacin s periodicnim veriznim ulomkom izrazil√

18 [13]. Z delom Johna Wallisa so

verizni ulomki dobili svoje upraviceno mesto v matematiki. V svoji knjigi Algebrski

traktat (Tractatus de algebra), ki je izsla leta 1685, je Wallis zapisal π na 35 deci-

malk s priblizkom neskoncnega veriznega ulomka [13]. Prvi neskoncni (posploseni)

verizni ulomek je zapisal lord Brouncker v svojem delu iz leta 1659 za razvoj stevila

1

4π, na podlagi Wallisovega produkta za π

2[13]. V svojem delu Matematicno delo

(Opera Mathematica) je Wallis leta 1695 tudi prvic uporabil izraz ”verizni ulomek”.

V slovenscino je izraz uvedel Josip Plemelj [13]. Znacilnosti in teorijo veriznih ulom-

kov sta naprej razvila Huygens leta 1703 in Leonhard Euler leta 1744. Lagrange je

mislil, da bi bilo mogoce prepoznati vsako algebrsko stevilo iz njegovega veriznega

ulomka. Periodicnost veriznih ulomkov za kvadraticne iracionale je dokazal sedem-

najstletni Evariste Galois leta 1828 [13].

Magistrsko delo obsega teoreticni in empiricni del, pri cemer se oba navezujeta na

tematiko o veriznih ulomkih. V teoreticnem delu magistrskega dela se bomo seznanili

s splosnimi definicijami in z izreki veriznih ulomkov. Nekatere bomo podkrepili z do-

kazi in trditvami. Ker stevilo zapisemo v obliko veriznega ulomka s pomocjo razlicnih

algoritmov, si bomo poblize ogledali dva najbolj znana algoritma. Eden izmed njiju

je znani Evklidov algoritem, katerega zametki segajo dalec v zgodovino matematike.

Razdelali bomo tudi pojma konvergence in iracionalnosti veriznih ulomkov. Kon-

vergenco neskoncnih veriznih ulomkov obicajno ugotavljamo s pomocjo Eulerjeve

formule [18]. Prvic je bila objavljena leta 1748, najprej le kot navadna identiteta, ki

povezuje koncno vsoto s koncnim veriznim ulomkom. Kasneje se je izkazalo, da ima

formula ocitno razsiritev na neskoncni primer. Danes je Eulerjeva formula pogo-

sto osnova vecine modernih dokazov konvergence veriznih ulomkov. Vsak neskoncni

verizni ulomek je iracionalno stevilo in vsako iracionalno stevilo lahko zapisemo na

tocno en nacin kot neskoncni verizni ulomek. Neskoncni verizni ulomki iracional-

nih stevil pridejo prav, saj njihovi zacetni cleni nudijo odlicne racionalne priblizke

stevila. Tem priblizkom recemo tudi konvergenti veriznega ulomka. Sodi priblizki so

manjsi od stevila, lihi pa vecji [18]. Vso pred tem obravnavano teorijo bomo na koncu

uporabili pri razvoju stevila e v verizni ulomek in zapisu nekaterih lastnosti, ki smo

jih pred tem obravnavali. Zadnji sklop teoreticnega dela je posvecen stevilom s peri-

odicnim veriznim ulomkom, ki so natanko resitve kvadratne enacbe s celostevilskimi

koeficienti. Imenujejo se kvadratna iracionalna stevila. Najpreprostejsi verizni ulo-

mek nasploh ima stevilo zlatega reza ψ [18]. Teoreticna izhodisca bodo v nadalje-

vanju uporabljena v empiricnem delu magistrskega dela, ki bo predstavljal projekt

vpeljave veriznega ulomka v pouk matematike v osnovne sole oziroma gimnazije.

Verizni ulomki so zanimivi kot obogatitvena vsebina solske matematike, ker jih lahko

obravnavamo z elementarnimi matematicnimi sredstvi, so zahtevnejsi od obicajnih

solskih vsebin in omogocajo ucencem ter dijakom, da sami ali pa vodeno pridejo do

zanimivih in presenetljivih spoznanj. Zato jih je smiselno vpeljati v solsko matema-

2

tiko kot obogatitveno vsebino, seveda z ucnimi pristopi, ki so primerni za nadarjene

ucence [9]. Primer tovrstnega pristopa je problemsko ucenje. Problemsko znanje

zdruzuje strategije in aplikativna znanja. Problemsko znanje je uporaba znanja v

novih situacijah, uporaba kombinacij vec pravil in pojmov pri soocenju z novo si-

tuacijo, sposobnost uporabe konceptualnega ter proceduralnega znanja. Vkljucuje

nacrtovanje strategij za resevanje problemov in aplikativna znanja. S problemskim

znanjem sta povezana pojma odkrivanje in raziskovanje [15].

Glavna literatura, ki sem jo uporabila pri pisanju magistrskega dela, je knjiga o

osnovah analize [14], matematicni clanek o veriznih ulomkih [6], knjiga o veriznih

ulomkih [17], knjiga o teoreticni zasnovi modela in njegovi izpeljavi [15] ter posodo-

bitve pouka v osnovnosolski [7] in gimnazijski praksi [16].

Tako so glavni cilji magistrskega dela razumljivo predstaviti, opisati, raziskati

in razdelati teoreticna izhodisca koncepta verizneih ulomkov, povezavo z iracio-

nalnostjo ter elementarnimi funkcijami in jih podkrepiti z dokazi ter konkretnimi

resenimi primeri. Pri tem bodo predstavljeni nekateri osnovni pojmi in izreki iz

teorije veriznih ulomkov. Teoreticna izhodisca bodo nato uporabljena tudi v em-

piricnem delu, kjer bomo verizne ulomke vpeljali v solsko matematiko kot obogati-

tveno vsebino za nadarjene ucence.

3

2 TEORETICNI DEL

2.1 SPLOSNE DEFINICIJE VERIZNIH ULOMKOV

V prvem razdelku bomo obravnavali pojem veriznega ulomka, na kratko predstavili

zgodovino veriznih ulomkov in njihov pomen v matematiki. V nadaljevanju bomo

podali matematicno definicijo veriznega ulomka in bralcu predstavili nekaj osnovnih

lastnosti. Spoznali bomo, kdaj je verizni ulomek neskoncen in zakaj je pomem-

ben za obravnavo. Poznamo lepe algoritme za racunanje oziroma izpeljavo veriznih

ulomkov in njihovih priblizkov, zato bo del pozornosti namenjen tudi predstavitvi

nekaterih najbolj znanih. Na koncu se bomo dotaknili tudi konvergence in iracio-

nalnosti, povezanih z veriznim ulomkom. Uporabili bomo literaturo [2], [3], [6], [14],

[17], [19], [20], [21].

2.1.1 Kaj so verizni ulomki in kdaj so nastali

Tako imenovani enostavni verizni ulomek je izraz oblike:

π = 3 +1

7 +1

15 +1

1 +1

292 +1

1 +1

1 +1

1 +1

2 + · · ·

Ta zapis stevila π je zapisal Christiaan Huygens1.

1Christiaan Huygens (1629–1695) – nemski matematik, fizik in astronom, prvi, ki je patenti-

ral nihalno uro. Leta 1862 je zgradil avtomatski planetarij. Da je zagotovil pravilna razmerja

periodicnih orbit planetov, je uporabil verizne ulomke, kot jih je opisal v svoji knjigi Descriptio

automati planetarii.

4

Posploseni verizni ulomek je izraz oblike:

a0 +b1

a1 +b2

a2 + · · ·+bn

an + · · ·

,

kjer so ai in bi za i = 1, 2, . . . cela stevila. Stevila ai predstavljajo delni imenovalec

in stevila bi delni stevec.

Naslednja notacija za posplosene verizne ulomke je bila predlagana s strani Al-

freda Israela Pringsheima2 leta 1898:

a0 +b1||a1

+b2||a2

+b3||a3

+ . . .

Leta 1813 je Carl Frederich Gauss3 uporabil prvo notacijo za posplosene verizne

ulomke:

a0 = K∞i=1

bi

ai.

K predstavlja besedo Kettenbruche, ki je nemska beseda za verizni ulomek. Ce je

vsak bi, za i = 1, 2, . . . , enak 1, dobimo:

a0 +1

a1 +1

a2 + · · ·

Recemo, da je to neskoncni enostavni verizni ulomek, ki je zapisan v obliki: [a0; a1, a2, . . . ].

Veriznemu ulomku oblike

a0 +1

a1 +1

a2 + · · ·+1

an

2Alfred Israel Pringsheim (1850–1941) – nemski matematik, ki je bil znan tudi po njegovem

prispevku o realnih in kompleksnih funkcijah.3Carl Frederich Gauss (1777–1855) – nemski matematik, ki je leta 1801 objavil najbolj znano

knjigo Disquisitiones Arithmeticae; delal je na obsezni raznolikosti polj, kjer je vkljuceval tako ma-

tematiko kot fiziko, in sicer teorijo stevil, analizo, diferencialno geometrijo, geodezijo, magnetizem,

astronomijo ter optiko. Zapisal je prvi temeljni dokaz teorema o algebri.

5

recemo koncni enostavni verizni ulomek. Stevilom ai, kjer i = 0, 1, . . . recemo ele-

menti veriznega ulomka.

Izraz ”verizni ulomek”je bil prvic uporabljen s strani Johna Wallisa4 leta 1653 v

njegovi knjigi Arithmetica infinitorum.

Zgodovina veriznih ulomkov je dolga in se v resnici zacne ze skrita v formi zapisa

priblizkov kvadratnih iracional, kot na primer√

2 v anticnih kulturah. Zasledimo

jih ze v enem od najbolje poznanih algoritmov. Evklidov5 algoritem, kot je bil de-

monstriran, je en od najboljsih primerov. Verizni ulomki so bili prav tako najdeni

skriti v formi dela Eudoxosa6, avtorja izcrpnih metod. Eden od prvih eksplicitnih

pojavov veriznega ulomka, je bil najden v delu Leonarda iz Pise, poznanega kot Fi-

bonacci7. V njegovi knjigi Liber Abacci, napisani leta 1202, je predstavil svojevrstne

vzpenjajoce se verizne ulomke z naslednjim pomenom:

e

f

c

d

a

b=adf + cf + e

bdf=a

b+c

d

1

b+e

f

1

b

1

d.

V moderni matematiki ta zapis zapisemo v obliki

a+

c+e

f

db

.

Fibonacci je podal tudi dve drugi notaciji veriznih ulomkov.

Pravo odkritje veriznih ulomkov pripada dvema matematikoma iz univerze v

Bologni. Prvi je Rafael Bombelli8. Leta 1579 je objavil drugo izdajo njegove knjige

L` Agebra Opera. V tej knjigi je zapisal algoritem za zapis stevila√

13. Stevilo je

4John Wallis (1616–1703) – angleski matematik, ki je izumil Lavalierijevo metodo deljivosti in

metodo interpolacije5Euclid of Alexandria (pribl. 340 pr. n. st.– pribl. 278 pr. n. st.) – grski matematik. Njegovo

najbolj znano delo je The Elements, ki vsebuje 13 knjig.6Eudoxos (pribl. 408 pr. n. st.– pribl. 355 pr. n. st.) – grski matematik in astronom, ki je

mapiral zvezde in sestavil zemljevid znanega sveta7Fibonacci (pribl. 1170–pribl. 1250) – problem v tretjem delu Libera abaci se dotakne pred-

stavitve Fibonaccijevih stevil in Fibonaccijevega zaporedja, po katerem je Fibonacci danes najbolj

poznan.8Rafael Bombelli (1526–1572) – bil je inzenir in arhitekt in izumitelj imaginarnih stevil.

6

zapisal v obliki veriznega ulomka:

√13 = 3 +

4

6 +4

6 + · · ·

.

Drugi matematik je italijanski matematik Pietro Antonio Cataldi9, profesor mate-

matike v Firencah in Bologni. Cataldi je sledil enaki metodi kot Bombelli za pov-

zemanje kvadratnih korenov, vendar je bil prvi, ki je razvil simbolni zapis veriznih

ulomkov in zapisal nekaj njihovih lastnosti.

Osemnajsto stoletje je bilo zlata doba veriznih ulomkov. Z njimi se je ukvarjalo

precej znanih matematikov.

Leonhard Euler je zapisal prve osnovne relacije ponovitev v teoriji veriznih ulom-

kov. Prav tako je pokazal, kako transformirati verizni ulomek v vrsto. Izpeljal je

ze uporabljeno metodo za iskanje resitev kvadratne enacbe, ki jo je zapisal v obliki

veriznega ulomka.

Johan Heinrich Lambert10 je studiral, kako izraziti trigonometricno funkcijo s pogoji

veriznih ulomkov.

Joseph Louis Lagrange11 je zapisal√D19 s pomocjo veriznega ulomka. Leta 1776 je

objavil fundamentalni papir o uporabi veriznih ulomkov v integralnih racunih.

2.1.2 Koncni verizni ulomki

Definicija 2.1. Posploseni verizni ulomek je ulomek, ki je v splosnem zapisan

kot

a0 +b1

a1 +b2

a2 +b3

a3 +

. . .

an−1 +bn

an

,

pri cemer sta ak in bk za vse k = 1, . . . , n celi stevili.

9Pietro Antonio Cataldi (1548–1626) – bil je profesor matematike in astronomije na univerzah v

Firencah, Perugiji in Bologni. Napisal je vec razprav o aritmetiki, teoriji stevil, perfektnih stevilih

in algebri.10Johan Heinrich Lambert (1728–1777) – bil je prvi, ki je zagotovil natancen dokaz, da je stevilo

π iracionalno. Bil je kolega z Eulerjem in Lagrangeom na Akademiji znanosti v Berlinu.11Joseph Louis Lagrange (1736–1813) – leta 1766 je podal prvi dokaz, da ima x2 = Dy2 + 1

integralno resitev.

7

Verizni ulomek je enostaven, ce so vsi bk enaki 1 in vsi ak pozitivni za k > 0.

Trditev 2.1. Vsak ulomek pq

lahko zapisemo v obliki koncnega, enostavnega veriznega

ulomka.

Dokaz. Ce je p ≥ q, potem delimo p s q:

p = a0q + r1 (0 ≤ r1 < q) oziromap

q= a0 +

r1

q= a0 +

1

q

r1

.

Ce je p < q, potem je a0 = 0.

Sedaj delimo q z r1:

q = aar1 + r2 oziromaq

r1= a1 +

r2

r1= a1 +

1

r1

r2

.

Nato delimo r1 z r2 in tako dalje. Ker se ostanki r1, r2, . . . nenehno manjsajo, se

ta proces slej ali prej konca. Ce dobro pogledamo, vidimo, da je to pravzaprav

Evklidov algoritem za stevili p in q.

Denimo torej, da je rn zadnji od nic razlicen ostanek:

rn−2

rn−1= an−1 +

rn

rn−1= an +

1

rn−1

rn

inrn−1

rn= an .

Vidimo, da je

p

q= a0 +

1

a1 +1

a2 +1

. . . +1

an

= [a0, a1, . . . , an] .

Sedaj si oglejmo se nekaj razlicnih primerov oziroma algoritmov, kako ulomek

razviti v verizni ulomek in obratno. Dokaze in splosne zapise bomo v tem primeru

8

izpustili.

1. primer:

Ulomek54

19zapisemo kot celi in ulomljeni del

x =54

19= 2 +

16

19.

Ulomljeni del sedaj spremenimo v dvojni ulomek

x = 2 +1

19

16

.

Pod glavno ulomkovo crto smo dobili ulomek19

16, ki ga lahko spet razdelimo na celi

in ulomljeni del19

16= 1 +

3

16. Prvotni ulomek je torej enak

x = 2 +1

1 +3

16

.

Postopek lahko nadaljujemo. Zadnji dobljeni ulomljeni del3

16spet spremenimo

v dvojni ulomek in dobimo

x = 2 +1

1 +1

16

3

.

Ce delimo se16

3in zapisemo na celi in ulomljeni del 5 +

1

3, lahko x izrazimo kot

x = 2 +1

1 +1

5 +1

3

= [2, 1, 5, 3] .

Ulomek1

3je okrajsan ulomek in s tem zakljucimo razvoj ulomka v verizni ulomek.

V tem primeru izmenicno uporabljamo dva koraka:

9

1. Ulomek (vecji od 1) smo razdelili na celi in ulomljeni del (ulomek med 0 in 1).

2. Dobljeni ulomljeni del smo spremenili v dvojni ulomek oziroma poiskali njegovo

reciprocno vrednost. Ker je le ta vecja od 1, smo lahko zopet uporabili 1.

korak.

Zadnji ulomljeni del, ki smo ga dobili v nasem primeru, je enak1

3in njegova

reciprocna vrednost je 3, torej celo stevilo. Ce poskusimo spet uporabiti 1. korak,

dobimo neceli del enak 0, kar pomeni, da postopka ne moremo vec nadaljevati.

2. primer

Ce je verizni ulomek preprost, ga lahko spremenimo nazaj v obicajni ulomek ze

z nekaj preprostimi racunskimi operacijami – racunati moramo od spodaj navzgor.

Tezave nastopijo, ce je verizni ulomek bolj zapleten. Za ta primer so matematiki

izdelali posebno shemo, ki nam omogoca hitrejse racunanje. Oglejmo si jo na zgledu:

Verizni ulomek [2, 1, 5, 3] bomo skusali zapisati kot ulomek54

19.

Najprej napisimo shemo

2 1 5 3

0 1

1 0

Stevila 2, 1, 5, 3 so verizni koeficienti nasega stevila, nicle in enke na levi strani pa so

zacetne vrednosti, ki so potrebne za pravilno delovanje sheme (njihova razporeditev

je enaka za vse ulomke). Zdaj moramo napolniti desni del spodnjih dveh vrstic.

Ravnali se bomo po principu a + b · c. Ce je v zgornji (prvi) vrstici stevilo c, v

spodnji (drugi ali tretji) pa sta v prejsnjih stolpcih stevili a in b, bomo v prazen

prostorcek pod c vpisali vrednost a+ b · c. Enak postopek uporabljamo za drugo in

za tretjo vrstico, paziti je treba le, da stevilo c obakrat vzamemo iz prve vrstice.

Tako bomo pod stevilo 2 vpisali v drugo vrstico 0 + 1 ·2 = 2, v tretjo pa 1 + 0 ·2 = 1

2 1 5 3

0 1 2

1 0 1

Enako racunamo do konca

2 1 5 3

0 1 2 3 17 54

1 0 1 1 6 19

10

V zadnjem stolpcu ze vidimo stevili 54 in 19, torej se rezultat skriva v zadnjem

stolpcu. Zapisan je ze v obliki ulomka, manjka le ulomkova crta. Tudi ostale pare

stevil si lahko predstavljamo kot ulomke.

Poleg rezultata54

19smo dobili se tri ulomke: x0 =

2

1= 2, x1 =

3

1= 3 in x2 =

17

6. Tem

ulomkom, ki jih dobimo z opisano shemo, bomo rekli verizni priblizki danega stevila.

Verizne priblizke dobimo pravzaprav tako, da zadnjih nekaj veriznih koeficientov v

razvoju [b0, b1, b2, . . . , bn] izpustimo.

V nasem primeru je

2 = [2] , 3 = [2, 1] ,17

6= [2, 1, 5] ,

54

19= [2, 1, 5, 3] .

Verizni priblizki so za matematiko zanimivi, ker so zelo dobri priblizki. Med ulomki,

ki imajo imenovalec manjsi ali enak 6, je ulomek17

6najboljsi priblizek za vrednost

54

19. To velja tudi splosnejse z eno majhno izjemo: prvi verizni priblizek je celi del

danega stevila in zato ni nujno najboljsi celostevilski priblizek [10].

3. primer

Eden izmed najbolj znanih algoritmov za izracun elementov veriznega ulomka je

Evklidov algoritem.

Oglejmo si primer zapisa stevila45

16v verizni ulomek s pomocjo Evklidovega algo-

ritma.

Zapisemo Evklidov algoritem za stevili 45 in 16:

45 = 2 · 16 + 13

16 = 1 · 13 + 3

13 = 4 · 3 + 1

3 = 3 · 1 + 0.

Odebeljena stevila so stevila veriznega ulomka. Zapisemo:

45

16= 2 +

13

16

16

13= 1 +

3

13

11

13

3= 4 +

1

3

3

1= 3 +

0

1

V tem primeru je vsak ulomek na desni reciprocna vrednost ulomka, ki ga bomo

zapisali v naslednjem koraku, in predstavlja verizni ulomek:

45

16= 2 +

13

16= 2 +

1

16

13

= 2 +1

1 +3

13

= 2 +1

1 +1

13

3

= 2 +1

1 +3

13

= 2 +1

1 +1

4 +1

3

.

Povzemimo:

Izrek 2.1. Vsak verizni priblizek danega stevila, je boljsi priblizek tega stevila kot

katerikoli drug ulomek z manjsim ali enakim imenovalcem pri dodatnem pogoji, da

so sodi priblizki manjsi ali enaki danemu stevilu, lihi pa vecji ali enaki od njega.

2.1.3 Neskoncni verizni ulomek

Definicija 2.2. Naj bosta {an} in {bn}, n = 1, 2, . . . zaporedji celih stevil in naj bo

cn := a0 +b1

a1+

b2

a2+

b3

a3+. . .

+

bn

an:= a0 +

b1

a1 +b2

a2 +b3

a3 +

. . .

bn

an

defininiran za vse n. Pravimo, da je cn n-ti verizni priblizek. Ce obstaja limita

limn→∞ cn pravimo, da neskoncni posploseni verizni ulomek

a0 +b1

a1+

b2

a2+

b3

a3+. . .

konvergira. Neskoncni verizni ulomek je enostaven, ce so vsi bi = 1, za i = 1, 2, . . .

12

Izrek 2.2. Iracionalno stevilo a se da enolicno izraziti z enostavnim, neskoncnim

veriznim ulomkom. Ce je a = [a0; a1, . . . ], a0 ∈ Z, a1, a2, · · · ∈ N, so ai celi deli

zaporedja (vi)∞i=0, ki je doloceno z:

v0 = a in v =1

vi−1 − bvi−1cza i > 0.

ZGLED: Stevilo√

2 bomo zapisali v obliki neskoncnega veriznega ulomka.

Zapisimo√

2 kot√

2 = 1 + (√

2− 1).√

2− 1 pa lahko zapisemo v obliki

√2− 1 =

1

1√

2− 1

=1

√2− 1

(√

2− 1)(√

2 + 1)

=1

√2 + 1√

2− 1

=1

√2 + 1

.

Ce nadaljujemo√

2 + 1 = 2 + (√

2− 1),

od prej pa ze vemo, da je√

2− 1 = 1√2+1

, torej lahko zapisemo

√2 + 1 = 2 +

1√2 + 1

.

Sedaj to vstavimo v√

2 = 1 + (√

2− 1) in dobimo

√2 = 1 +

1√2 + 1

= 1 +1

2 +1

√2 + 1

= 1 +1

2 +1

2 +1

√2 + 1

= . . .

Ocitno je, da se izraz√

2 + 1 ponavlja. Neskoncni verizni ulomek stevila√

2 je tako:

√2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +1

2 +1

2 +. . .

.

13

2.1.4 Konvergenca neskoncnih veriznih ulomkov

V nadaljevanju si bomo ogledali kdaj verizni ulomek konvergira.

Imamo verizni ulomek oblike a0+b1

a1 +b2

a2 +b3

a3 +. . . in njegov verizni priblizek cn =

pn

qn,

za a0 +b1

a1 +b2

a2 +b3

a3 +...

+

bn

an. Pri tem velja

c0 < c2 < c4 < · · · < limn→∞

c2n ≤ limn→∞

c2n−1 < · · · < c5 < c3 < c1.

Tako sledi, da limn→∞ cn obstaja, ce in samo ce je limn→∞ c2n = limn→∞ c2n−1, kar

drzi pri pogoju, da velja

c2n − c2n−1 =− b1b2 . . . b2nq2nq2n−1

→ 0 ko n→∞. (1)

Iz tega lahko izpeljemo naslednjo trditev, ki pravi:

Trditev 2.2. Naj bodo c0, c1, c2, ... priblizki veriznega ulomka, torej

cn = a0 +b1

a1+

b2

a2+

b3

a3+...

+

bn

an,

za zaporedji celih stevil {an}∞n=0, {bn}∞n=1 pri cemer an, bn > 0 za n ≥ 1 in

∞∑n=1

anan+1

bn+1

=∞.

Potem velja (1), zato cn konvergira k stevilu a0 +b1

a1 +b2

a2 +b3

a3 +...

Dokaz. Za n ∈ N in n ≥ 1 velja qn = anqn−1 + bnqn−2 ≥ anqn−1, kjer je bn, qn−2 ≥ 0.

Z zamenjavo n z n − 1 za n ≥ 2 dobimo qn = anqn−1 + bnqn−2 ≥ an(an−1qn−2 +

bn−1qn−2) = qn−2(anan−1 + bn) in nato qn ≥ qn−2(anan−1 + bn).

Z veckratno uporabo zgornjega postopka ugotovimo, da za vsak n ≥ 1 velja

q2n ≥ q2n−2(a2na2n−1 + b2n)

≥ q2n−4(a2n−2a2n−3 + b2n−2) · (a2na2n−1 + b2n)...

≥ q0(a2a1 + b2)(a4a3 + b4) · · · (a2na2n−1 + b2n).

14

S podobnim argumentom ugotovimo, da za kateri koli n ≥ 2 velja,

q2n−1 ≥ q1(a3a2 + b3)(a5a4 + b5) · · · (a2n−1a2n−2 + b2n−1).

Tako za kateri koli n ≥ 2 velja,

q2nq2n−1 ≥ q0q1(a2a1 + b2)(a3a2 + b3) · · · (a2n−1a2n−2 + b2n−1)(a2na2n−1 + b2n).

S faktorizacijo vseh bk pridemo do zakljucka, da je

q2nq2n−1 ≥ q0q1b2 · · · b2n ·(

1 +a2a1

b2

)(1 +

a3a2

b3

). . .(

1 +a2na2n−1

b2n

).

Iz tega sledi, da je

b1b2 . . . b2n

q2nq2n−1≤

b1

q0q1·

1

Π2n−1k=1 (1 + akak+1

bk+1). (2)

Spomnimo, da vrsta∑∞

k=1 αk pozitivnih celih stevil konvergira, ce in samo ce ne-

skoncni produkt Π∞k=1(1 + αk) konvergira. Ker je∑∞

k=1akak+1

bk+1= ∞, potem velja

tudi Π∞k=1

(1 + akak+1

bk+1

)=∞. Za desno stran enacbe (2) velja, da gre proti 0, ko gre

n→∞, in to zakljuci nas dokaz.

Iz zgornjega dokaza lahko vpeljemo naslednji izrek.

Izrek 2.3. Naj neskoncni verizni ulomek [a0; a1, . . . ] konvergira proti a in naj bodo

[a0; a1, . . . , an] = cn = pnqn

priblizki. Za vsak n = 0, 1, . . . je a med steviloma cn in

cn+1 in velja ocena

0 < |a− pnqn| < 1

qn+1qn.

Posledica 2.1. Verizni ulomek je koncen natanko tedaj, ko predstavlja racionalno

stevilo.

ZGLED: Oglejmo si primer konvergence veriznega ulomka. Imejmo verizni ulo-

mek

ξ := 3 +4

6 +

4

6 +

4

6 +...

Velja∑∞

n=1anan+1

bn+1=∑∞

n=162

4= ∞, zato lahko sklenemo, da verizni ulomek

konvergira. Iz istega razloga konvergira tudi

η := 6 +4

6 +

4

6 +

4

6 +...

Zapisemo ξ = η−3 in η = 6+4

6 +4

6 +4

· · ·

= 6+ 1η

=⇒ η = 6+ 1η

=⇒ η2−6η−1 = 0.

Resitev za η dobimo η = 6 + 4√

10. Torej, ξ = η − 3 = 3 + 4√

10.

15

2.1.5 Iracionalnost veriznih ulomkov

V tem razdelku si bomo pogledali, kako lahko ugotovimo, ali dani verizni ulomek

konvergira proti iracionalnemu stevilu. Kasneje bomo videli, da lahko na ta nacin

pokazemo, da so nekatera stevila iracionalna. Povzeto po [6].

Trditev 2.3. Naj bosta {an}∞n=0 in {bn}∞n=0 zaporedji racionalnih stevil za kateri

naj velja an, bn > 0 za n ≥ 1 ter 0 < bn ≤ an, za vse dovolj velike n in naj velja∑∞n=1

anan+1

bn+1=∞. Potem je realno stevilo

ξ = a0 + b1a1 +

b2a2 +

b3a3 +

b4a4 +

b5a5 +

. . . iracionalno.

Dokaz. Verizni ulomek ξ konvergira po trditvi (2.2). Naj bo 0 < bn ≤ an za vse

n ≥ m+ 1, pri cemer je m > 0. Opazimo, da v kolikor definiramo η kot

η = am + bm+1

am+1 +bm+2

am+2 +bm+3

am+3 +. . . ,

ki tudi konvergira po trditvi (2.2), potem velja η > am > 0. Tako lahko ξ zapisemo

kot

ξ = a0 + b1a1 +

b2a2 +

b3a3 +· · ·

+bmη

.

Lahko se prepricamo, da za katero koli realno stevilo x velja

ξ = a0 +b1a1 +

b2a2 +

b3a3 +

· · ·+

bnx

=xpn−1 + bnpn−2xqn−1 + bnqn−2

, n = 1, 2, 3, . . . (3)

pri cemer za pn in qn velja cn =pn

qnza n = 1, 2, . . . , kjer je cn n − ti priblizek

veriznega ulomka. Tako s pomocjo enacbe (3) izpeljemo

ξ = a0 +b1a1 +

b2a2 +

b3a3 +

· · ·+

bmη

=ηpm + bmpm−1ηqm + bmqm−1

. (4)

Z resevanjem zadnje enacbe (4) za η, dobimo

ξ = ηpm+bmpm−1

ηqm+bmqm−1⇐⇒ η = ξbmqm−1−bmpm−1

pm−ξqm .

Ce je η > am, potem imamo ξ 6= pm/qm. Ker so vsa an in bn racionalna stevila, iz

tega sledi, da je ξ iracionalno, ce in samo ce η je iracionalno. Dokazati moramo, da je

η iracionalno. Ker je am racionalno, moramo dokazati, da je bm+1

am+1 +bm+2

am+2 +bm+3

am+3 +. . .

iracionalno stevilo, kjer 0 < bn ≤ an za vse n ≥ m+ 1. Privzamemo torej lahko, da

je

16

ξ = a0 + b1a1 +

b2a2 +

b3a3 +

b4a4 +

b5a5 +

. . . ,

kjer 0 < bn ≤ an za vse n. S protislovjem pokazemo, da je ξ ∈ Q. Definiramo

ξn := bnan +

bn+1

an+1 +bn+2

an+2 +. . . Tako imamo za vsak n = 1, 2, . . .

ξn =bn

an + ξn+1

=⇒ ξn+1 =bnξn− an. (5)

Po predpostavki imamo v 0 < bn ≤ an za vse n. Sledi, da ξn > 0 za vse n, zato je

ξn = bnan+ξn+1

< bnan≤ 1

in 0 < ξn < 1 za vse n. ξ0 = ξ, ki je racionalno po predpostavki. Iz enacbe (5) in

po indukciji sledi, da je ξn racionalno za vse n.

Ker velja 0 < ξn < 1 za vse n, lahko zapisemo, da ξn = sn/tn, kjer 0 < sn < tn za

vse n in sn, tn predstavlja celo stevilo. Iz zgoraj zapisane enacbe (5) vidimo, da

sn+1

tn+1= ξn+1 = bn

ξn− an = bntn

sn− an = bntn−ansn

sn.

Zato

snsn+1 = (bntn − ansn)tn+1.

Tako velja tn+1 | snsn+1. Prav tako velja, da tn+1 < sn. Ker po predpostavki velja

sn < tn, iz tega sledi, da je tn+1 < tn. Ce povzamemo, {tn} je zaporedje pozitivnih

celih stevil, kjer

t1 > t2 > t3 > · · · > tn > tn+1 > · · · > 0,

kar je seveda nesmiselno, ker bi tako dobili stevilo 0. �

17

2.2 VERIZNI ULOMKI IN STEVILO e

Pokazali bomo se en lep primer zapisa stevila s pomocjo veriznih ulomkov, in sicer

stevila e. Stevilo e bomo zapisali kot splosni verizni ulomek, v nadaljevanju tudi

kot enostaven verizni ulomek. Ker nam stevilo e ponuja nekaj lepih izpeljav, bomo

nekaj najzanimivejsih tudi pokazali. Uporabili bomo literaturo [6] in [14].

2.2.1 Zapis stevila e z veriznim ulomkom

Za potrebe zapisa stevila e v obliki neskoncnega veriznega ulomka, vpeljemo nasle-

dnjo enacbo, za katero dokaz lahko bralec najde v [6] oziroma [13].

1

α1

−1

α1α2

+1

α1α2α3

− · · · =1

α1+

α1

α2 − 1+

α2

α3 − 1+. . .

+

αn−1

αn − 1+. . . , (6)

Preden se lotimo razvoja stevila e v verizni ulomek, si oglejmo se trditev, ki nam

pove, kaksen je verizni ulomek obratne vrednosti.

Trditev 2.4. Imejmo verizni ulomek ξ = a0+b1a1 +

b2a2 +

b3a3 +

. . .+bnan +· · · 6= 0. Njegovo

obratno vrednost lahko zapisemo kot:

1

ξ=

1

a0 +

b1a1 +

b2a2 +

b3a3 +

. . .+

bnan +

. . .

Pri enostavnih ulomkih je to ξ = 〈a0; a1, . . . , an, . . . 〉 oziroma1ξ

= 〈0; a0, a1, a2, . . . , an, . . . 〉.

Sedaj lahko zacnemo, in sicer z zapisom obratnega stevila e, torej 1e

v obliki

vrste:

1

e= e−1 =

∞∑n=0

(−1)2

n!= 1−

1

1+

1

1 · 2−

1

1 · 2 · 3+ . . . ,

torej je

e− 1

e= 1−

1

e=

1

1−

1

1 · 2+

1

1 · 2 · 3−

1

1 · 2 · 3 · 4+ . . . .

Ce vstavimo αk = k v zgornjo enacbo (6), potem dobimo

e− 1

e=

1

1 +

1

1 +

2

2 +

3

3 +. . . ,

18

oziromae− 1

e=

1

1 +1

1 +2

2 +3

3 +. . .

.

To preoblikujemo v izraz za e. Ulomek obrnemo, kot smo zapisali v trditvi 6.1,

odstejemo 1 na obeh straneh, da dobimo

e

e− 1= 1 +

1

1 +2

2 +3

3 +. . .

=⇒1

e− 1=

1

1 +2

2 +3

3 +. . .

.

Nato zopet obrnemo ulomek, da dobimo

e− 1 = 1 +2

2 +3

3 +4

4 +5

5 +. . .

.

Na koncu pristejemo 1 na obeh straneh in dobimo neverjetno lep izraz

e = 2 +2

2 +3

3 +4

4 +5

5 +. . .

(7)

oziroma v krajsem zapisu

e = 2 +2

2+

3

3+

4

4+

5

5+. . . .

Sedaj si oglejmo kako zapisemo stevilo e v obliki enostavnega veriznega ulomka.

Ce stevilo e zapisemo v obliki decimalnega stevila, dobimo 2.718281828 . . . . S

pretvorbo priblizka 2.718281828 v enostavni verizni ulomek, dobimo

19

2.718281828 = 〈2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1〉.

Zdi se, da lahko e zapisemo kot

e = 〈2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, . . . 〉 (8)

Ta zapis je prvi dokazal ze Euler. Natancen dokaz si lahko bralec prebere v [1].

Stevila v zapisu veriznega ulomka so tako a0 = 2, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 1, a4 = 1, a5 =

4, a6 = 1, a7 = 1 in v splosnem, za vse n ∈ N velja a3n−1 = 2n in a3n = 1. Ker

2 = 1 +1

0 +1

1

,

lahko zgoraj zapisan zapis e-ja (8) zapisemo v lepsi obliki, ki nam kaze celotni vzorec:

e = 〈1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, . . . 〉 (9)

ali drugace

e = 1 +1

0 +1

1 +1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +1

4 +. . .

. (10)

2.2.2 Primeri nekaterih lepih izpeljav za e s pomocjo funkcij

Za potrebe izpeljav za e, ki jih bomo pokazali v nadaljevanju, najprej vpeljemo hi-

pergeometrijsko funkcijo coth x, ki jo zapisemo v obliki veriznega ulomka. Izpeljavo

lahko bralec najde v [6, Theorem 8.24].

Trditev 2.5. Za kateri koli x, ki predstavlja realno stevilo, lahko zapisemo

cothx =1

x+

x

3 +x2

5 +x2

7 +x2

9 +. . .

20

Kot zanimivost si oglejmo nekaj lepih izpeljav za stevilo e.

1.

e2/x + 1

e2/x − 1= x+

1

3x+1

5x+1

7x+.. .

(11)

Izraz dobimo iz formule

cothx =ex + e−x

ex − e−x=e2x + 1

e2x − 1=

1

x+x

3+

x2

5 +

x2

7 +

x2

9 +. . . ,

kjer x zamenjamo z 1/x in dobimo

e2/x + 1

e2/x − 1= x+

1/x

3 +

1/x2

5 +

1/x2

7 +

1/x2

9 +. . .

Izraz preoblikujemo s pomocjo transformacijskih pravil in tako dobimo zgoraj

zapisano enacbo zae2/x + 1

e2/x − 1.

2.

ex =1

1−2x

x+ 2 +x2

6 +x2

10 +x2

14 +. . .

Zapis dobimo iz

coth(x/2) =ex/2 + e−x/2

ex/2 + e−x/2=

1 + e−x

1− e−x=⇒ e−x =

coth(x/2)− 1

1 + coth(x/2),

kjer

e−x =coth(x/2)− 1

1 + coth(x/2)=

1 + coth(x/2)− 2

1 + coth(x/2)= 1−

2

1 + coth(x/2).

Ce zapisemo z obratno vrednostjo ulomka, dobimo

ex =1

1−2

1 + coth(x/s)

.

21

Ker vemo, da je

coth(x) =1

x+

x

3 +x2

5 +x2

7 +x2

9 +. . .

lahko zapisemo, da je

1 + coth(x/2) = 1 +2

x+x/2

3 +

x2/4

5 +· · · =

x+ 2

x+x/2

3 +

x2/4

5 +

x2/4

7 +. . .

in tako

ex =1

1+

− 2x+2x

+

x/2

3 +

x2/4

5 +

x2/4

7 +. . .

S pomocjo transformacijskega pravila (dokaz lahko bralec najde v [6] oziroma

[13]), ki pravi:

b1

a1+

b2

a2+

b3

a3+. . .

+

bn

an+· · · =

ρ1b1

ρ1a1+

ρ1ρ2b2

ρ2a2 +

ρ2ρ3b3

ρ3a3 +. . .

+

ρn−1ρnbn

ρnan +. . . ,

z ρ1 = 1, ρ2 = x in ρn = 2 za vse n ≥ 3, tako dobimo

ex =1

1+

− 2x

x+ 2+

x2

6 +

x2

10+

x2

14+. . .

2.2.3 Iracionalnost stevila e

Ker vemo, da je

e = 2 +2

2+

3

3+

4

4+

5

5+. . .

in velja bn ≤ an, je e iracionalno stevilo.

Izrek 2.4. er je iracionalno stevilo, za katerikoli r, ki je racionalno stevilo.

Dokaz. Vzamemo katerikoli x, da velja 0 < bn = x2 < 2n + 1 = an, za vse

n, ki so dovolj veliki. Iz Trditve 2.3 sledi, da ko je x racionalno stevilo, je cothx

iracionalno stevilo. Torej, ce zapisemo, da je x racionalno stevilo, je tudi

cothx =ex + e−x

ex − e−x=e2x + 1

e2x − 1

iracionalno stevilo. Tako sledi, da je za racionalni x, e2x iracionalno oziroma obratno.

Ce je cothx racionalno stevilo, je to v nasprotju z naso predpostavko. Ce zamenjamo

x za x/2 in ga poimenujemo kot r, potem je er iracionalno za katerikoli r, ki je

racionalno stevilo. �

22

2.3 PERIODICNI VERIZNI ULOMKI IN KVADRATNA

IRACIONALA

Kot ze vemo, lahko vsako realno stevilo zapisemo s periodicnim decimalnim zapisom,

ce in samo ce je stevilo racionalno. V tem razdelku nas bo zanimalo, katera realna

stevila lahko zapisemo s periodicnim veriznim ulomkom. Odgovor na to vprasanje,

kot bomo videli v nadaljevanju, je, da so to realna stevila, ki jim recemo kvadratna

iracionalna stevila.

2.3.1 Periodicni verizni ulomki

V tem razdelku se bomo ukvarjali s pojmom periodicnega veriznega ulomka. Torej

poiskali bomo verizne ulomke, ki se ”ponavljajo”, pri tem bomo uporabili literaturo

[6] in [22]. Najprej si oglejmo nekaj primerov.

ZGLED: Oglejmo si primera veriznega ulomka, kjer se njuni verizni priblizki

ponavljajo:

•1 +√

5

2= 〈1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... . . . , kjer opazimo, da se 1 ponavlja v ne-

skoncno.

•√

8 = 〈2; 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, . . . , kjer opazimo, da se stevili 1 in 4 ponavljata v

neskoncno.

Razvoj stevil v verizni ulomek prepuscamo bralcu.

ZGLED: Oglejmo si se naslednji zgled.

Imamo ξ = 〈3; 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, . . . 〉 = 〈3; 2, 1〉. Ce je η = 〈2; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, . . . 〉,potem je ξ = 3 + 3

ηin

η = 2 +1

1 +1

2 +1

1 +. . .

= 2 +1

1 +1

η

.

Ce zapisemo stevilo za η dobimo, da je η = 1 +√

3. Zato je

ξ = 3 +1

η= 3 +

1

1 +√

3= 3 +

√3− 1

2=

5 +√

3

6,

23

kar je se ena predstavitev kvadratnega korena.

Splosni neskoncni verizni ulomek, ki se ”ponavlja”, zapisemo kot

ξ = 〈a0; a1, . . . , al−1, b0, b1, . . . , bm−1, b0, b1, . . . , bm−1, . . . 〉 (12)

= 〈a0; a1, . . . , al−1, b0, b1, . . . , bm−1〉, (13)

kjer se del stevil ponovi neskoncno krat. Takemu veriznemu ulomku pravimo, da

je periodicen. Stevilu m recemo perioda veriznega ulomka. Periodicni verizni ulo-

mek lahko enostavno definiramo tako, da imamo neskoncni verizni ulomek ξ =

〈a0; a1, a2, . . . 〉, za nekatere m in l naj velja, da

an = am+n za vse n = l, l + 1, l + 2, . . . (14)

Primere neskoncnih veriznih ulomkov lahko neposredno povezemo s prezentacijami

kvadratnih korenov, ki jih poimenujemo kvadratna iracionala.

2.3.2 Kvadratna iracionala

Kvadratna iracionala je realna resitev kvadratne enacbe. V tem razdelku bomo

pogledali kaksna je povezava med veriznimi ulomki in kvadratnimi iracionalami.

Uporabili bomo literaturo [6] in [22].

Izrek 2.5. Neskoncni enostavni verizni ulomek je kvadratna iracionala, ce in samo

ce je periodicen.

Dokaz. Najprej pokazimo, da lahko periodicni verizni ulomek zapisemo v obliki

kvadratne enacbe. Recimo, da je verizni ulomek [a0, a1, . . . , an, an+1, . . . , an+h] peri-

odicen. Naj bo α = [an+1, an+2, . . . ]. Potem je α = [an+1, . . . , an+h, α] in tako lahko

zapisemo

α =αpn+h + pn+h−1

αqn+h + qn+h−1.

Naj bo α zadnji parcialni konvergent. Tako α predstavlja kvadratno enacbo. Ce so

vsi ai cela stevila, potem stevilo

[a0, a1, . . . ] = [a0, a1, . . . an, α] = a0 +1

a1 +1

a2 + · · ·+ α

izrazimo kot polinom v α z racionalnimi koeficienti in tako [a0, a1, . . . ] predstavlja

kvadratni polinom. Po Trditvi 2.3 α /∈ Q.

24

Sedaj pokazimo, da lahko kvadratno enacbo zapisemo v obliki periodicnega

veriznega ulomka. Dokaz v to smer je prvi predstavil ze Lagrange. Recimo, da

α ∈ R pripada kvadratni enacbi

aα2 + bα + c = 0, kjer a, b, c ∈ Z.

Naj bo [a0, a1, . . . ] razsiritev α. Za vsak n, naj velja rn = [an, an+1, . . . ] tako, da je

α = [a0, a1, . . . , an−1, rn]. Imamo

α =rnpn + pn−1

rnqn + qn−1.

Ce α vstavimo v zgoraj zapisano kvadratno enacbo, dobimo

Anr2n +Bnrn + Cn = 0,

kjer

An = ap2n−1 + bpn−1qn−1 + cq2n−1,

Bn = 2apn−1pn − 2 + b(pn−1qn−2 + pn−2qn−1) + 2cqn−1qn−2,

Cn = ap2n−2 + bpn−2qn−2 + cp2n−2.

Naj bo An, Bn, Cn ∈ Z tako, da velja Cn = An−1 in da

B2 − 4AnCn = (b2 − 4ac)(pn−1qn−2 − qn−1pn−2)2 = b2 − 4ac.

Uporabimo enacbo

∣∣∣∣α− pn−1qn−1

∣∣∣∣ < 1

qnqn−1in tako dobimo |αqn−1− pn−1| <

1

qn<

1

qn+1

.

Tu sledi

pn−1 = αqn−1 +δ

qn−1, kjer |δ| < 1 .

Zato je

An = a

(αqn−1 +

δ

qn−1

)2

+ b

(αqn−1 +

δ

qn−1

)qn−1 + cq2n−1 =

= (aα2 + bα + c)q2n−1 + 2aαδ + aδ2

q2n−1+ bδ =

= 2aαδ + aδ2

q2n−1+ bδ.

Dobimo |An| =

∣∣∣∣∣2aαδ + aδ2

q2n−1+ bδ

∣∣∣∣∣ < 2|aα|+ |a|+ |b|.

25

Tako vidimo, da so za celo stevilo An mozne le koncne resitve. Prav tako velja

za |Cn| = |An−1| in |Bn| =√b2 − 4(ac− AnCn), kjer dobimo le trojice (An, Bn, Cn)

s koncno vrednostjo, zato tudi za rn, kjer je n spremenljivka, dobimo koncne resitve.

Tako velja za nekatere h > 0, da je rn = rn+h.

To nam pokaze, da je verizni ulomek periodicen. �

ZGLED: Vzemimo enacbo x2 − 5x− 1 = 0.

Zapisemo jo kot x2 = 5x+ 1 in obe strani enacbe delimo z x, da dobimo:

x = 5+1

x. To pomeni da lahko x kadarkoli zamenjamo z 5+

1

x, da na primer dobimo:

x = 5 +1

x= 5 +

1

5 +1

x

x lahko vedno znova zamenjamo in tako dobimo neskoncni periodicni verizni ulomek:

x = 5 +1

x= 5 +

1

5 +1

x

= · · · = [5; 5, 5, 5, . . . ]

26

3 EMPIRICNI DEL

3.1 UVOD

Verizni ulomki so zanimivi kot obogatitvena vsebina k solski matematiki. Obravna-

vamo jih lahko z elementarnimi sredstvi, so zahtevnejsi od obicajnih solskih vsebin

in omogocajo ucencem ter dijakom, da sami ali vodeno pridejo do zanimivih in pre-

senetljivih spoznanj. Zato jih v nadaljevanju vpeljemo kot obogatitveno vsebino s

pristopi, ki so primerni za nadarjene ucence.

Poudarek bo na vpeljavi veriznih ulomkov z raznimi oblikami ucenja z odkriva-

njem. V prvem delu bomo tematiko veriznih ulomkov primerjali z ucnim nacrtom

tako osnovne sole kot gimnazije.

V nadaljevanju bomo obravnavali primere vsebin iz veriznih ulomkov. Izbrane

primere bomo umestili v stiri razlicne didakticne nacine obravnave – vodeno odkri-

vanje, samostojno odkrivanje, problemsko ucenje in modeliranje. Pred vsakim pri-

merom bomo tudi na kratko opisali izbrani nacin dela v razredu, primere pa izbirali

tako, da bo bralec njihovo teoreticno ozadje nasel v teoreticnem delu magistrskega

dela.

27

3.2 KAJ SO VERIZNI ULOMKI

V nadaljevanju bomo na kratko predstavili osnovni pojem in pomen veriznega

ulomka v obsegu, ki je primeren za obravnavo v solskem okolju. Obravnavana vse-

bina tega razdelka je povzeta po viru [5].

Enostavni verizni ulomek je izraz oblike:

ξ = a0 +1

a1 +1

a2 +1

. . . +1

an

,

kjer so a0, . . . an cela stevila in velja: a1, a2, . . . , an > 0. Stevila a1,. . . ,an so torej

naravna stevila, a0 pa je lahko tudi 0.

Enostavni verizni ulomki so primerni za obravnavo kot obogatitvene vsebine v

osnovnosolskem izobrazevanju, zato se v nadaljevanju omejimo le na ta tip veriznih

ulomkov. Vsak ulomek lahko zapisemo v obliki veriznega ulomka, kar smo pokazali

ze v teoreticnem delu naloge. Ucenci se v osnovni soli ze zgodaj srecajo z ulomki in

njihovo obravnavo. Prav tako poznajo pojem dvojnega ulomka, ki se s predstavi-

tvijo pribliza zapisu veriznih ulomkov. Kljub temu pa veliko ucencev nima izkusenj

z njimi, kar bomo pokazali v nadaljevanju, ko si bomo poblize ogledali ucni nacrt

matematike v osnovni soli in gimnaziji.

Verizni ulomki so v matematiki pomembni predvsem zaradi tega, ker njihovi

verizni priblizki nudijo zelo dobre racionalne priblizke stevil. Pomembno je, da

ucenci pri obravnavi veriznih ulomkov razumejo to lastnost. Za boljso predstavo si

oglejmo naslednjo zgodbo. Zgodba je povzeta po viru [5].

Ameriski matematik je od svojega sina izvedel, da njegov delez zadetkov pri bejzbolu

0, 846. Ocetu je bilo jasno, da to ne pomeni, da je sin zadel 846 zog od 1000, pac

pa, da je to decimalni priblizek za neki ulomek pq, kjer sta p in q ne preveliki celi

28

stevili. Razvil je 0, 846 v verizni ulomek:

0, 846 =1

1 +1

5 +1

2 +1

38

.

Ker je stevilo 38 veliko, je1

38zanemaril in dobil

1

1 +1

5 +1

2

=1

1 +2

11

=11

13,

kar je zelo dober priblizek za 0, 846. Recemo lahko tudi obratno: 0, 846 je zelo dober

priblizek za 1113

. Matematik je tvegal in vprasal sina, ali to pomeni, da je zadel enajst

zog od trinajstih. Odgovor je bil pritrdilen.

Obstajajo problemi prakticne narave, pri katerih so verizni ulomki prav uporabni

in jih je enostavno umestiti kot obogatitveno vsebino v solsko okolje.

Denimo, da je treba izdelati zobniski mehanizem iz dveh zobatih koles, tako da

bo prenos cim blize razmerju pq, kjer sta p in q dve veliki stevili. Stevilo zob na zob-

nikih je omejeno. Pomagamo si tako, da razvijemo pq

v verizni ulomek in poiscemo

primeren priblizek. Za razmerje 988517

bi naredili takole:

988

517= 1 +

1

1 +1

10 +1

4 +1

5 +1

2

= [1, 1, 10, 4, 5, 2]

Ena moznost za priblizek je [1, 1, 10] = 2111

. Tako bi vzeli zobnik z 10 in zobnik z 21

zobmi. Poglejmo si natancnost priblizka:

988

517= 1, 911 . . .

21

11= 1, 909 . . . .

29

Druga moznost je vzeti priblizek [1, 1, 10, 42] =86

45. Primerjajmo:

988

517= 1, 9110 . . .

86

45= 1, 9111 . . . .

Ta priblizek je seveda boljsi od prejsnjega.

30

3.3 O UCENJU Z ODKRIVANJEM

Informacije, ki nadgrajujejo obstojece znanje, si lazje in boljse zapomnimo. Ampak

kognitivni konflikt, ki se ob tem sprozi pri ucencih, ni dovolj, ce v nadaljevanju

znanje posreduje ucitelj. Da bi si ucenci lahko dopolnili lastno konceptno predstavo,

morajo z lastnim razmisljanjem, s samostojnim odkrivanjem, ki ga ucitelj le usmerja

oz. vodi, priti do produktov, ki jih lahko povezejo z lastnimi izkusnjami oz. znanjem

[15].

"Seveda ne gre za to, da bi ucenci sami odkrili matematicne resnice. Zelo pa je

pomembno, da o novem pojmu razmisljajo in tako novo znanje bolj aktivno vkljucijo

v svojo obstojeco mrezo znanja. To so lahko razne oblike izkustvenega ucenja, upo-

raba modelov, iskanje podobnosti, analogij, iskanje razlik ter povezav med pojmi in

dejstvi, ki jih uvajamo.”[15]

Bruner se je zavzemal za to, da bi cim vec pouka potekalo kot odkrivanje. Trdil

je, da se tako pri bolj motiviranih ucencih razvijeta samostojnost in kriticnost,

poleg vsebine pa se naucijo tudi metod resevanja problemov. Pri raziskovalnem

ucenju (poucevanju) ucenci torej spoznavajo vsebino in proces hkrati. Ucijo se,

kako resevati probleme, vrednotiti resitve in posledicno kriticno razmisljati. Za

ucinkovito ucenje z odkrivanjem ucenci potrebujejo dovolj znanja o problemu in

morajo vedeti, katere strategije uporabiti pri resevanju le-tega. Taksno ucenje ni

najbolj uspesno pri ucencih, ki jim manjka to predznanje. Metode odkrivanja so za te

ucence preobremenjujoce, saj jim primanjkuje vsebinskega predznanja in spretnosti

resevanja problemov [16].

31

3.4 VERIZNI ULOMKI IN SOLSKI KURIKULUM

3.4.1 Osnovna sola

V nadaljevanju zapisani ucni cilji so vzeti iz Ucnega nacrta Matematike v tretjem

vzgojno-izobrazevalnem obdobju osnovnosolskega izobrazevanja. Izbrani ucni cilji

so potrebno predznanje, za nova znanja s podrocja veriznih ulomkov.

Ucni nacrt je povzet po [23].

Ucenci v tretjem vzgojno-izobrazevalnem obdobju v sklopu racionalnih stevil:

• uporabljajo racunske zakone pri racunanju z ulomki,

• uporabljajo racunske zakone pri spretnem racunanju,

• z zepnim racunalom pretvorijo ulomek v decimalno stevilko,

• z zepnim racunalom izracunajo vrednost izraza z ulomki,

• na stevilski osi ponazorijo vsoto celih oziroma racionalnih stevil,

• sestevajo cela stevila in poznajo vsoto nasprotnih stevil,

• prevedejo odstevanje racionalnih stevil v sestevanje in poenostavijo izraz z

odpravljanjem oklepajev,

• izracunajo vrednost izraza s celimi stevili (sestevanje in odstevanje),

• sestevajo in odstevajo racionalna stevila,

• pomnozijo celo oziroma racionalno stevilo z (-1),

• pomnozijo celi oziroma racionalni stevili,

• izracunajo zmnozek celih (racionalnih) stevil,

• uporabljajo in razumejo dogovor o opuscanju znaka za mnozenje,

• poiscejo danemu celemu oziroma racionalnemu stevilu obratno vrednost,

• delijo celi oziroma racionalni stevili,

• z zepnim racunalom zanesljivo izvajajo racunske operacije z racionalnimi stevili.

32

V nadaljevanju so zapisani ucni cilji razdelani po razredih in navezani na obrav-

navo veriznih ulomkov.

UCNI CILJI V 7. RAZREDU OS POVEZAVA Z VERIZNIMI

ULOMKI

Ucenec:

• poisce skupne delitelje in skupne

veckratnike dveh stevil,

• primerja ulomke po velikosti; ulomek

krajsa in razsiri z danim stevilom, ulomka

razsiri na skupni imenovalec,

Zapis ulomka v obliki enostav-

nega veriznega ulomka.

• ulomek zapise kot celi del in ulomek, ki je

manjsi od ena, ter obratno,

• sesteva, odsteva, mnozi in deli ulomke,

• ulomek zapise z decimalnim zapisom in

obratno.

Navajam tudi cilje v sedmem razredu, povezane z ulomki, ki jih je pomembno

spoznati pred obravnavo veriznih ulomkov. Cilji niso neposredno povezani s samo

obravnavo, temvec so pomembni za celostno razumevanje ulomkov. Ucenec:

• v stevilskem izrazu uposteva vrstni red racunskih operacij (z najvec tremi

racunskimi operacijami),

• pri racunanju z ulomki uporablja zepno racunalo,

• izracuna p % od a,

• sklepa iz mnozine na enoto in obratno,

• resi enacbe in neenacbe s premislekom ali diagramom,

• v koordinatni mrezi upodobi tocko in odcita njuni koordinati,

• interpretira podatke, prikazane s preglednico ali diagramom,

• zbere podatke in jih prikaze z racunalnisko preglednico,

• resi matematicni problem in problem z zivljenjsko situacijo.

33

UCNI CILJI V 8. RAZREDU OS POVEZAVA Z VERIZNIMI

ULOMKI

Ucenec:

• uporablja cela in racionalna stevila v

zivljenjskih situacijah,

• poisce nasprotno in obratno vrednost

stevila,

• primerja in ureja cela stevila,

• izracuna vrednost stevilskega izraza s ce-

limi in racionalnimi stevili (z najvec tremi

racunskimi operacijami),

Zapis korena v obliki veriznega

ulomka, vendar je pri tem treba

usvojiti se racionalizacijo imeno-

valca, ce imenovalec vsebuje ko-

ren.

• pozna kvadratni koren popolnega kvadrata

(do stevila 20),

• resi matematicni problem in problem z

zivljenjsko situacijo.

Navajam tudi cilje v osmem razredu, povezane z ulomki, ki jih je pomembno

spoznati pred obravnavo veriznih ulomkov. Cilji niso neposredno povezani s samo

obravnavo, temvec so pomembni za celostno razumevanje ulomkov. Ucenec:

• uposteva prednost racunskih operacij v izrazu,

• uporablja zepno racunalo za izracun vrednosti stevilskega izraza,

• potencira cela in racionalna stevila,

• sesteva, odsteva in mnozi enoclenike,

• izracuna vrednost izraza s spremenljivko, ce je znana vrednost spremenljivke,

• mnozi enoclenik z dvoclenikom,

• prepozna odvisnost kolicin,

• pozna in uporablja lastnosti premega sorazmerja,

• bere podatke iz razlicnih prikazov in jih uredi v preglednici.

34

UCNI CILJI V 9. RAZREDU OS POVEZAVA Z VERIZNIMI

ULOMKI

Ucenec:

• daljico deli v zahtevanem razmerju. Povezava veriznih ulomkov z mer-

jenjem dolzine.

Navajam tudi cilje v devetem razredu, povezane z ulomki, ki jih je pomembno

spoznati pred obravnavo veriznih ulomkov. Cilji niso neposredno povezani s samo

obravnavo, temvec so pomembni za celostno razumevanje ulomkov. Ucenec:

• mnozi dvoclenik z dvoclenikom, kvadrira dvoclenik in poenostavi izraz,

• izpostavi skupni faktor v algebrskem izrazu,

• prepozna linearno enacbo in jo resi s preoblikovanjem v ekvivalentne enacbe,

• izrazi neznanko iz matematicnih formul,

• resi matematicni problem in problem z zivljenjsko situacijo.

3.4.2 Gimnazija

V nadaljevanju predstavljeni ucni cilji so vzeti iz Ucnega nacrta v gimnazijskem

izobrazevanju. V spodnji tabeli zapisani ucni cilji so neposredno povezani z izbrano

vsebino veriznih ulomkov. V nadaljevanju so navedeni ostali ucni cilji, ki posredno

vplivajo na obravnavo veriznih ulomkov, saj je pomembno, da dijak celostno razume

pred tem obravnavano temo in tako lahko ustrezno povezuje nova znanja z ze ob-

stojecimi.

Ucni nacrt povzet po [24].

35

KURIKUL POVEZAVA Z VERIZNIMI

ULOMKI

Dijaki:

• racunajo z racionalnimi stevili,

• uporabljajo in utemeljijo decimalni zapis

racionalnega stevila ter razlikujejo med de-

setiskimi in nedesetiskimi ulomki,

Znajo zapisati ulomek v obliki

veriznega ulomka.

• poznajo in utemeljijo razloge za vpeljavo

realnih stevil,

• navedejo nekaj primerov iracionalnih stevil,

• uporabljajo pravila za racunanje s kvadra-

tnimi koreni,

Znajo zapisati iracionalno stevilo

v obliki neskoncnega veriznega

ulomka.

• prepoznajo iracionalno enacbo ter resijo in

utemeljijo korake pri resevanju iracionalnih

enacb in interpretirajo rezultat,

• resijo splosno kvadratno enacbo x2 =

a, a > 0, a ∈ R, z razstavljanjem in s ko-

renjenjem.

Znajo poiskati resitev kvadratne

enacbe v obliki ulomka.

Navajam tudi cilje v devetem razredu, povezane z ulomki, ki jih je pomembno

spoznati pred obravnavo veriznih ulomkov. Cilji niso neposredno povezani s samo

obravnavo, temvec so pomembni za celostno razumevanje ulomkov. Dijaki/dijakinje:

• uporabljajo osnovni izrek o deljenju celih stevil,

• uporabljajo Evklidov algoritem za iskanje najvecjega skupnega delitelja,

• poznajo in utemeljijo razloge za vpeljavo racionalnih stevil,

• predstavijo racionalna stevila na stevilski premici,

• racunajo z decimalnimi stevili,

• uporabljajo deleze in odstotke ter procentni racun v nalogah iz vsakdanjega

zivljenja in spretno uporabljajo zepno racunalo,

• uporabljajo in utemeljijo pravili za kvadrat in kub dvoclenika,

• primerjajo in utemeljujejo resevanje preprostih enacb xn = a, a ∈ R, n ∈ N v

mnozici realnih stevil s korenjenjem in z razstavljanjem,

36

• konstruirajo nekatere kvadratne korene kot primere iracionalnih stevil z upo-

rabo Pitagorovega izreka,

• interpretirajo stevilsko premico kot realno os,

• zaokrozujejo decimalna stevila,

• povezejo geometrijsko in analiticno predstavitev absolutne vrednosti realnih

stevil,

• poenostavljajo izraze z absolutno vrednostjo ter resijo preproste enacbe,

• resijo preproste neenacbe z absolutno vrednostjo realnih stevil,

• primerjajo pomen absolutne in relativne napake ter ocenijo absolutno in rela-

tivno napako vsote, razlike, produkta in kvocienta dveh podatkov,

• primerjajo in razlikujejo zapis in pomen izraza in enacbe ter spremenljivke in

neznanke,

• sestevajo in mnozijo algebrske izraze,

• s pomocjo Pascalovega trikotnika dolocijo pravila za visje potence dvoclenika

in jih tudi uporabljajo,

• prepoznajo in uporabljajo ustrezni nacin razstavljanja danega izraza: izposta-

vljanje, razlika kvadratov, vsota in razlika kubov, vietovo pravilo, razstavljanje

stiriclenikov,

• racunajo z algebrskimi ulomki (vse stiri racunske operacije in izrazi z oklepaji),

• uporabljajo pravila za tvorbo ekvivalentnih enacb in enacbe spretno resujejo,

• prepoznajo in resijo linearno enacbo,

• prepoznajo in resijo razcepne enacbe,

• spretno izrazajo neznanke iz razlicnih fizikalnih ali kemijskih enacb,

• obravnavajo linearne enacbe s parametrom,

• uporabljajo pravila za tvorbo ekvivalentnih neenacb ter korake resevanja ne-

enacb utemeljijo,

• prepoznajo in resijo linearno neenacbo,

37

• obravnavajo preproste linearne neenacbe s parametrom,

• utemeljijo in uporabljajo pravila za racunanje s potencami z naravnim ekspo-

nentom,

• utemeljijo in uporabljajo pravila za racunanje s potencami s celim eksponen-

tom in jih primerjajo s pravili za racunanje s potencami z naravnim eksponen-

tom,

• razlozijo pomen zapisov in a−1 in a−n,

• razlozijo in uporabljajo zvezo√x2 = |x|,

• racunajo kubicne korene realnih stevil natancno (na pamet) in z zepnim racunalom,

• razlikujejo med dolocilnimi pogoji za obstoj n-tega korena realnega stevila

(glede na korenski eksponent in korenjenec),

• spretno uporabljajo zepno racunalo za racunanje n-tih korenov,

• preoblikujejo zapis n-tega korena v zapis potence z racionalnim eksponentom,

• povezujejo in primerjajo resevanje nalog z n-timi koreni z resevanjem s poten-

cami z racionalnim eksponentom.

38

3.5 VODENO ODKRIVANJE – RAZISKOVANJE

Namen vodenega odkrivanja je, da ucenci sami ali v skupini pridejo do dolocene

ugotovitve. Pogoj je, da imajo na voljo navodila oziroma priblizno navedeno pot

raziskovanja. Navodila lahko ucitelj poda ustno ali pisno. Cilj vodenega odkrivanja

je, da skusa privesti do aktivnosti vseh ucencev, to pomeni, da delajo sami, v paru

ali v skupini ipd., kar pri pogovoru ni mogoce, saj je vecja moznost sodelovanja le

nekaterih [16].

Aktivnosti vodenih odkrivanj so lahko krajse, saj je pomembno da stopnjo pri-

lagodimo glede na razred, v katerem jo izvajamo. Ta vrsta aktivnosti je primerna

za analiticne ucence, ki imajo sposobnost lociti dele od celote in jih smiselno orga-

nizirati.

Kot pravi Kavas (2002, po [16]), kljub temu, da so ucenci pri vodenem odkrivanju

samostojni, je vloga ucitelja zelo pomembna pri vodenju pogovorov in razprav.

”Med ucence, ki so primerni za ucenje z odkrivanjem, zagotovo spadajo tudi

nadarjeni ucenci. Te lahko prepoznamo po nekaterih naslednjih lastnostih:

• Ucne znacilnosti: hitro spoznajo nacela, na katerih temeljijo stvari, mislijo

jasno in natancno, kriticno presojajo podatke in dokaze, hitro si zapomnijo

dejstva, iscejo skupne znacilnosti in razlike, hitro analizirajo razlicno vsebino

in probleme.

• Motivacija: prizadevajo si, da bi nalogo vedno resili, radi delajo neodvisno,

dolocenim problemom se popolnoma predajo, ob rutinskih nalogah se dolgocasijo,

ce pa jih naloga zanima, ne potrebujejo nobene zunanje motivacije.

• Ustvarjalnost: veliko sprasujejo o razlicnih stvareh, svoje mnenje jasno izra-

zijo, pri resevanju problemov tudi tvegajo, imajo veliko zamisli in problemskih

resitev.”(Kavas, 2002, v [16])

Priporocila za ucitelje:

Ko uvedemo nov pojem je pomembno, da predstavimo razlicne primere, tudi

nasprotne, saj ucenci tako lazje prepoznajo povezavo med njimi.

1. Uro zacnemo z uvodno motivacijo. Pripravimo lahko tudi gradiva, ki morajo

biti razdelana glede na faze ucenja.

39

2. Pri postavljanju vprasanj je treba dati ucencem dovolj casa, da nanje odgovo-

rijo sami. Ko opazimo, da ucenci zaidejo s poti, jih usmerjamo z dodatnimi

vprasanji.

3. Ucenci naj poskusajo sklepati sami, sklepe naj tudi oblikujejo, pri tem pa ne

smemo pricakovati, da bodo sami odkrivali matematicne resnice. Z razlicnimi

pristopi, ki jih uporabljamo, imajo ucenci vec priloznosti, da povezujejo znanja

in razmisljajo o novih pojmih [16].

Pri vodenem odkrivanju ucenci iscejo ali dolocajo strategijo resevanja, zapisejo

ugotovitve in utemeljijo ugotovljeno. Pri tem jim lahko delno pomaga ucitelj ali pa

delujejo povsem samostojno. Pomembno je, da imajo ucenci na zacetku le grobe

usmeritve, brez natancnih navodil, prav tako jim dodatna vprasanja postavimo, ce

presodimo, da jih potrebujejo. Vprasanja postavljamo postopoma in tako ucencu

po korakih pomagamo priti do zelene resitve. Na koncu je pomembno, da ucenci

skupaj z uciteljem oblikujejo sklepe in se o ugotovitvah pogovorijo [16].

40

3.5.1 Primer obravnave z vodenim odkrivanjem

Pojma verizni ulomek v osnovnih solah ne obravnavajo. Njegove zasnove lahko

najdemo v posameznih ucnih ciljih iz razlicnih sklopov ucnega nacrta in ga tako

vpeljemo v druge, dodatne oblike pouka. V nadaljevanju je predstavljena naloga pre-

krivanja pravokotnika s cim manj kvadrati, ki ne zahteva veliko predznanja ucencev.

Pomembno je, da imajo eno znanje osnovnih lastnosti pravokotnikov in kvadratov,

znajo zapisati razmerje in poznajo pojem ulomka.

Naloga:

Podan je pravokotnik s stranicama dolzine 16 in 45 enot. Poskusi ga prekriti s cim

manj kvadrati. Razmerje stranic pravokotnika izrazi z velikostjo uporabljenih kva-

dratov.

Postopek obravnave:

Imamo pravokotnik z dolzino 16 in 45 enot. V prvem koraku ga prekrijemo z dvema

kvadratoma dolzine 16 enot. Zapisemo: 2 kvadrata z enoto 16 oziroma 16 : 2 ali s

celim delom in ostankom 2 +13

16.

Odkrit ostane pravokotnik s stranicama 16 in 13 enot. Prekrijemo ga z enim kva-

dratom, kjer je stranica dolga 13 enot. Zapisemo: 1 kvadrat z enoto 13 oziroma

13 : 1 ali s celim delom in ostankom 1 +13

3. Ker je to ostanek prejsnjega ostanka,

lahko zapisemo 2 +1

1 +13

3

.

Odkrit ostane pravokotnik z dolzinama stranic 3 in 13 enot. Prekrijemo ga s stirimi

kvadrati z dolzino stranice 3 enote. Zapisemo: 4 kvadrati z enoto 3 oziroma 3 : 4

ali s celim delom in ostankom 4 +1

3. Ker je to ostanek prejsnjega ostanka, lahko

zapisemo 2 +1

1 +1

4 +1

3

.

Odkrit ostane pravokotnik z dolzino stranic 1 in 3 enot, ki ga v zadnjem koraku

prekrijemo s tremi kvadrati, ki imajo dolzino stranice 4 enote. Zapisemo: 3 kvadrati

z enoto 1 oziroma 1 : 3 ali s celim delom 3. Ker je to ostanek prejsnjega ostanka in

41

ima enoto 1, je to nasa resitev 2 +1

1 +1

4 +1

3

.

Tako dobimo naslednji rezultat:

Slika 1: Prekrivanje pravokotnika [20]

Oziroma 2 +1

1 +1

4 +1

3

.

Komentar k nalogi:

Nalogo lahko obravnavamo v osnovni soli in tudi v gimnaziji. Za ucence je dovolj

osvojen pojem ulomka, da poznajo lastnosti kvadrata in pravokotnika in znajo zapi-

sati razmerje med dolzinami stranic. Nalogo lahko uporabimo kot uvodno motiva-

cijo v ucenje veriznih ulomkov. Ucencem podamo modele pravokotnikov z zapisano

dolzino stranice v obliki enot. Potrebujejo se prazne liste, najbolje razlicnih barv,

ki jih nato izrezujejo v kvadrate in z njimi prekrivajo pravokotnik. Ker je naloga

izhodisce za obravnavo samega zapisa ulomka v verizni ulomek, lahko nalogo iz uvo-

dne motivacije vpeljemo v ucenje zapisa ulomka z veriznim ulomkom. Ko ucenci

usvojijo ta cilj, lahko nalogo uporabimo za utrjevanje, in sicer v obratni smeri, pri

cemer ucenci zapisejo ulomek kot verizni ulomek in nato zapis prikazejo s prekriva-

njem pravokotnika s cim manj kvadrati. Naloga ponuja razvoj obravnave v zapis

veriznega ulomka s pomocjo Evklidovega algoritma. Ker le ta v osnovnosolskem

izobrazevanju ni vkljucen v ucni nacrt, je naloga v tem primeru bolj primerna za

gimnazije. Evklidov algoritem je postopek za iskanje najvecjega skupnega delitelja

in zahteva znanje osnovnega izreka o deljenju. S takim zapisom se ucenci v osnovni

42

soli ponavadi ze srecajo, zato lahko v izjemnih primerih, z upostevanjem zmoznosti

ucencev, po presoji ucitelja, vkljucimo v obravnavo tudi v devetih razredih.

Postopek razvoja ulomka v verizni ulomek s pomocjo razlicnih postopkov lahko

bralec najde v teoreticnem delu magistrskega dela.

43

3.6 SAMOSTOJNO ODKRIVANJE

Da bi ucencem omogocili samostojno spoznavanje znanja, moramo prednje postaviti

izziv v obliki dovolj razumljivega problema, da ga lahko identificirajo in sami izbe-

rejo, kako ga bodo raziskovali. Raziskovanje ucenja iz didakticnega vidika posega na

podrocje procesnih znanj in ucenja matematicnih pojmov ter struktur. Ko ucenci

raziskujejo strategije za resevanje matematicnih problemov, pridobivajo izkusnje,

potrebne za gradnjo pojmovnih predstav [16].

V kontekstu problema ucenci spoznavajo posamezne pojme, s pomocjo drugih

vsebin oz. razlicnih predstav istega problema pa gradijo pojmovne predstave. Pri

nalogah iz ucbenika in preverjanju znanja v soli ucenci ponavadi vedo, kateri posto-

pek resevanja morajo uporabiti, pri resevanju zivljenjskih problemov, pa postopki

oz. metode niso takoj ocitne [16].

Problemska situacija pri odprtih problemih predstavlja ucencu izziv. Najvecji

izziv ucencu je odsotnost vnaprej dolocene poti resevanja in ciljev raziskovanja. Ker

vprasanja niso eksplicitno postavljena, odpirajo priloznost samostojnega odlocanja

in spoznavanje razlicnih strategij resevanja problemov [16].

Ob ucenju matematike se ucenci ucijo tudi procesna znanja, vpogled v problem-

sko situacijo, postavljanja smiselnih vprasanj in utemeljitev lastnih ugotovitev. Ob

vpogledu problemske situacije sledijo faze:

• postavitev vprasanja,

• nacrtovanje preiskave,

• zbiranje podatkov,

• analiza podatkov,

• interpretacija rezultatov,

• predstavitev [16].

Odprti problemi so zelo primerni za ucenje z odkrivanjem. Pri odprtih pro-

blemih mora ucenec sam najti in postaviti vprasanja, saj le-ta niso vnaprej na-

tancno dolocena. Ucence vzpodbujamo, da postavijo cim vec razlicnih vprasanj.

44

Tako ucenec pokaze raven zanimanja za obravnavano temo. Razlicni pristopi, ki jih

ucenci razvijejo pri iskanju resitve, ucitelju omogocajo vpogled v nivo in kakovost

dosezenega znanja [16].

Razlicna vprasanja so zelo pomembna pri resevanju odprtih problemov pri po-

uku, zato ucence spodbujamo, da jih postavijo cim vec. Med pogovorom z ucenci

ugotovimo, na katera vprasanja bomo znali odgovoriti in jih nekaj izberemo. Ta

vprasanja postanejo ucno orodje za spoznavanje snovi. Sledi resevanje, kjer imajo

ucenci vec svobode, razlicne moznosti matematicnega raziskovanja [16].

Vprasanja zaprtega tipa, nasprotno od odprtih, od resevalca zahtevajo konkreten

odgovor. Zaprti problemi vsebujejo vprasanja, ki so natancno postavljena in sta cilj

resevanja ter resitev natancno dolocena. Pri teh vprasanjih je v ospredju aplikacija

matematicnega znanja [16].

Pri ucenju matematike je poglabljanje matematicnih znanj vedno nekoliko navzoce.

Poglabljanje pa lahko dodatno spodbujajo se razlicne dejavnosti, usmerjene v vse-

bine. Te aktivnosti, ceprav povrsinsko razlicne, imajo skupno lastnost - ob izpeljavi

sprozijo matematicne procese, torej povzrocijo matematicno poglabljanje oz. reflek-

tiranje [16].

45

3.6.1 Primer obravnave s samostojnim odkrivanjem

Naloga:

Poskusi zapisati kvadratne korene stevil od 2 do 10 v obliki veriznega ulomka. Ka-

tere lastnosti prepoznas? Z besedami zapisi algoritem zapisa kvadratnih korenov v

verizni ulomek.

Postopek obravnave:

Zapis kvadratnih korenov od 2 do 10 kot verizni ulomek:√

2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...] = 1 nato se ponavlja stevilo 2.√

3 = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...] = 1 nato se ponavljata stevili 1 in 2.√

4 = 2√

5 = [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...] = 2 nato se ponavlja stevilo 4.√

6 = [2; 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, ...] = 2 nato se ponavljata stevili 2 in 4.√

7 = [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...] = 2 nato se ponavljajo stevila 1, 1, 1, 4.√

8 = [2; 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 4, ...] = 2 nato se ponavljata stevili 1 in 4.√

9 = 3√

10 = [3; 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...] = 3 nato se ponavlja stevilo 6.

Zapisemo tudi primer algoritma, s pomocjo katerega lahko koren zapisemo v

obliko veriznega ulomka, ne da bi pri tem uporabili vmesni korak, v katerem koren

zapisemo v obliki decimalnega zapisa.

1. korak:

Najdi najblizji kvadrat stevila n, ki mu recimo m2 in velja m2 < n in n < (m+ 1)2.

Zapisemo√n = m+

1

x, kjer sta n in m celi stevili.

2. korak:

Preuredimo enacbo iz prvega koraka v obliko, ki vkljucuje kvadratni koren, ki bo

zapisan kot imenovalec ulomka x =1

(√n−m)

.

3. korak:

Sedaj imamo ulomek s kvadratnim korenom v imenovalcu, kar pomeni, da upora-

bimo postopek za odpravo tega. V nasem primeru stevec in imenovalec mnozimo z

(√n+m).

4. korak:

Postopek koncaj, ce je izraz kvadratni koren plus prvotno stevilo. Ce to ne velja,

ponovno zacni s prvim korakom [20].

46

Komentar k nalogi:

Naloga je primerna za dijake v gimnazijskem izobrazevanju kot naloga samo-

stojnega odkrivanja. Pomembno je, da imajo dijaki osvojena znanja dela z ulomki

in koreni ter da ze znajo zapisati ulomek kot verizni ulomek. V tem primeru gre

namrec za razsiritev osnovnega znanja veriznih ulomkov. Ker gre za zdruzitev dveh

znanj, ki jih ze poznajo, je naloga primerna kot samostojno odkrivanje, saj morajo

ucenci poiskati postopek, kako koren zapisati v verizni ulomek. Naloga bo dijakom

zagotovo predstavljala ustrezen izziv, vendar je pomembno, da vkljucimo tudi uvo-

dno motivacijo. Kot motivacijo lahko uporabimo vprasanje ali so vsi verizni ulomki

koncne vrednosti ali bi morda lahko obstajali tudi neskoncni? Skozi pogovor z dijaki

pridemo do ugotovitve, da obstajajo tudi neskoncni zapisi veriznih ulomkov. Kot

primer lahko vzamemo koncno decimalno stevilo, ki ga skupaj zapisemo v verizni

ulomek in nato dijake izzovemo, naj poskusijo zapisati stevilo π kot verizni ulomek,

kjer lahko v prvem koraku vzamejo zapis stevila v obliki koncnega decimalnega za-

pisa in ga zapisejo npr. kot 3, 14159 = 3 + 1x, nato π − 3 = 1

7+xin tako dalje.

Za direktno pretvarjanje korena v verizni ulomek je treba ugotoviti naslednji za-

pis, ki smo ga prikazali na primeru√

2.√

2 = 1 + (√

2− 1) od tu dalje ni vec tezko

ugotoviti, da je potrebno dalje razviti v ulomek izraz√

2−1. Ker je do te ugotovitve

verjetno dijakom tezko priti, jim ali ponudimo namig, lahko pa se naloge lotijo tudi

tako, da koren najprej zapisejo kot decimalno stevilo in nato dalje decimalno stevilo

razvijejo v verizni ulomek. Ker je nasa zelja vseeno ta, da osvojijo zapis korena v

verizni ulomek z zgoraj zapisanim izrazom, mora ucitelj slediti poteku dela in razi-

skovanja dijakov in na koncu analizirati rezultate in postopke, se o njih pogovoriti.

Razvoj korena v verizni ulomek in teorijo o neskoncnem veriznem ulomku lahko

bralec najde v teoreticnem delu magistrskega dela.

47

3.7 PROBLEMSKO UCENJE IN RESEVANJE PROBLE-

MOV

”Uciteljevo poslanstvo ni le prenasanje matematicnih vednosti, ampak vzbujanje in

spodbujanje zanimanja, radovednosti in spoznavnih potreb. Didaktiki matematike in

ucitelji matematike cedalje pogosteje oblikujejo naloge, ki pri ucencu vzbudijo zani-

manje za matematiko in so jih sposobni tudi doziveti, saj bodo le tako lahko pokazali

zanimanje za njihovo resevanje.” [16]

Zakelj in Cotic (2004, v [16]) pravita, da govorimo o resevanju oziroma razisko-

vanju problema takrat, ko je resevanje samostojno, je resitev za resevalca nova in s

tem pridobi znanja za bolj uspesno resevanje novih problemov in ko se zgodi prenos

znanja oziroma uporaba metod resevanja v novih problemih.

Elementi, ki dolocajo problemsko znanje, so:

• ”postavitev problema (prepoznava problema in njegova formulacija, postavitev

smiselnih vprasanj),

• preveritev podatkov (ucenec se mora vprasati in nato analizirati, ali ima pro-

blem dovolj ali prevec podatkov za resitev, ali so si podatki nasprotujoci . . . ),

• strategije resevanja oziroma uporaba nabora naslednjih procesov (Frobisher,

1994):

- komunikacijskih (pojasnjevanje, govorjenje, strinjanje, sprasevanje),

- operacijskih (zbiranje, urejanje, razvrscanje, spreminjanje),

- miselnih (razciscevanje, analiziranje, razumevanje),

- procesov zapisovanja (risanje, pisanje, izdelovanje razlicnih diagramov . . . ),

• uporaba znanja oziroma transfer znanja – razlikujemo tri primere transfera:

- solski primer transfera (ucenec uporabi usvojeni matematicni koncept v dru-

gem kontekstu, lahko tudi pri drugem predmetu),

- zunajsolski primer transfera (ucenec uporablja matematicne koncepte v vsak-

danjem zivljenju),

- analogni transfer (ucenec prenasa usvojene koncepte na podobne situacije,

tipicni odraz te sposobnosti je ucencev medklic: ”. . . ah, to smo ze poceli pri

. . . ”),

• miselne vescine, kot so analiza, sinteza, indukcija, dedukcija, interpretacija,

48

• metakognitivne zmoznosti (ucenec presodi, ali smo matematicni koncept pra-

vilno uporabili v dolocenem kontekstu in utemelji svoja stalisca in s tem dokaze,

da je presegel kognitivni konflikt. Ta ucenceva sposobnost se zelo jasno kaze

pri razgovoru, ki ga vodimo v manjsih ali vecjih skupinah).”[16]

Zentall (1990, v [16]) poudarja, da je uspesnost resevanja matematicnih proble-

mov povezana s sposobnostjo priklica matematicnih dejstev iz spomina. Zaradi tega

je pomembno, da kratkorocni spomin ne obremenjujemo z racunanjem, ampak ga

uporabimo, da usmerimo pozornost na problem.

Sweller (1989, v [16]) prav tako trdi, da ucenec, ki pri resevanju problema upo-

rablja neavtomatizirana pravila, ima potem premalo kognitivne zmogljivosti za ra-

zumevanje in resevanje problema.

Nove situacije, ki niso vnaprej pricakovane, v ucencu spodbujajo razvoj ma-

tematicnega razmisljanja. Te nove situacije vplivajo na kognitivni razvoj ucenca,

zaradi svoje raznolikosti omogocajo boljso gradnjo pojmovnih predstav, povezova-

nje le-teh in uporabo znanja. Omogocajo pa tudi uvid v osmisljanje matematicnih

vsebin in motivirajo nadarjene ucence, saj so priloznost za matematiziranje, reflek-

tiranje matematicnih znanj in modeliranja [16].

Ko lahko ucenec ucenje poveze z zivljenjskimi izkusnjami, je vecja verjetnost,

da bo pridobljeno znanje ponotranjil, ga shranil v dolgorocni spomin. Spoznavanje

formalnega matematicnega znanja ob konkretnih primerih, kjer ucenec lahko doume

povezavo definicij oz. trditev, ki so obravnavane pri pouku, z zivljenjskimi situaci-

jami, poveca vrednost tega znanja oz. njegovo smiselnost v oceh ucenca. Formule,

definicije, pravila in zakonitosti, ki jih lahko poveze s svojim zivljenjem, postanejo

zanj bolj ”domace”, ker jih lahko uporabi v naravi [16].

Priporocila za ucitelje

Namen resevanja problemov je iz didakticnega vidika zelo sirok. Z resevanjem

problemov ucitelj zelo pogosto tudi utrjuje ucencevo osnovno znanje in preverja

njegovo razumevanje pridobljenih znanj, zmoznost povezovanja snovi z zivljenjskimi

situacijami, ucenje strategij resevanja problemov in pridobivanje izkusenj s prenosom

znanja. Resevanje problemov je povezano z razumevanjem prebranega, obvladanjem

49

razlicnih strategij za resevanje problemov, sposobnostjo za priklic matematicnih

dejstev iz spomina, motivacijo in drugim [16].

Pogosto je pri resevanju problemov najvecja tezava, kako zaceti oz. katero stra-

tegijo uporabiti. Pri tem si lahko pomagamo s sistematicnim pristopom:

• Uporabimo predznanje.

• Razmislimo, kako bi podatke cim bolj pregledno zapisali.

• Poiscemo, naredimo in uporabimo primerne modele, ipd.

• Z opazovanjem iscemo povezave.

• Uredimo in razvrstimo podatke [16].

”Pri raziskovanju in resevanju problemov se ucenci ucijo povezovati znanje v

matematiki in tudi sirse (interdisciplinarno), razvijati kreativnost in ustvarjalnost,

postavljati kljucna raziskovalna vprasanja, ki izhajajo iz zivljenjskih situacij oz. so

vezana na raziskovanje matematicnih problemov, kriticno razmisljati o potrebnih in

zadostnih podatkih, interpretirati, utemeljiti, argumentirati resitve, posplosevati, ab-

strahirati, razvijati kriticni odnos do resitev, razvijati kriticni odnos do interpretacije

rezultatov, razvijati matematicno misljenje: abstraktno-logicno misljenje in geome-

trijske predstave, izrazati se ustno, pisno ali v drugih izraznih oblikah, dekodirati

in prevajati matematicne situacije iz naravnega jezika v simbolni jezik in obratno,

interpretirati in uporabljati razlicne oblike predstavljanja (fizicni ali abstraktni mo-

deli, slikovne predstavitve, formule, prikazi, tabele, vzorci, geometrijske konstrukcije

idr.), izbrati primerna sredstva in predstavitve za izrazanje in sporocanje resitev.”

[16]

Ko ucenci resujejo problemske naloge, je uciteljeva naloga spodbujanje. Pri tem

ucitelj:

• preverja razumevanje samega problema:

- ali ucenci locujejo pomembnost posameznega podatka iz naloge,

- ali prepoznajo mozne omejitve,

- ali ga znajo razloziti in predstaviti;

• spodbuja ucence videti problem z razlicnimi pogledi in v razlicnih situacijah:

- pomaga jim s predlogi posameznih moznosti, a ucenci naj navedejo se druge;

50

• pomaga ucencem, da sistematicno razvijajo razlicna preverjanja posamezne

strategije resevanja problema:

- ucenci naj zamislijo, kako bodo resili, problem predstavijo ostalim ucencem;

• ucence uci razlicnih nacinov resevanja po korakih:

- ucenci naj utemeljijo uporabljene korake pri resevanju,

- uporabijo retrogradno strategijo za dokazovanje;

• ucencem ne poda resitve, sami naj razmisljajo:

- ce ucenci obticijo pri resevanju problema, naj ucitelj namige poda postopoma

in ne vseh hkrati [16].

51

3.7.1 Primer obravnave z uporabo problemskega ucenja

Prvi del naloge:

Na spodnji sliki je prikazana Fibonaccijeva spirala iz Fibonaccijevih stevil. Spirala

doloca zaporedje pravokotnikov 2x1, 3x2, 5x3, . . . Zapisi z veriznim ulomkom raz-

merje stranic nastalih pravokotnikov. Kaj ugotovis?

Slika 2: Fibonaccijeva spirala [20]

Postopek obravnave:

Slika 3: Fibonaccijeva stevila [20]

52

in tako dobimo verizni ulomek oblike:

21

13= 1 +

1

1 +1

1 +1

1 +1

1 +1

2

Drugi del naloge:

Vzemimo naslednje ulomke in jih zapisimo kot verizne ulomke. Kaksen vzorec pred-

stavljajo in kateremu znanemu stevilu so podobni?

Postopek obravnave:

2 = [2; ]

3 = [3; ] = [2; 1]

5/2 = [2; 2] = [2; 1, 1]

8/3 = [2; 1, 2] = [2; 1, 1, 1]

13/5 = [2; 1, 1, 2] = [2; 1, 1, 1, 1]

Zaporedje ulomkov vodi k stevilu φ = [2; 1, 1, . . . ]. To ustreza enacbi φ2 =

1 + φ = [2; 1] (φ je stevilo zlatega reza) [20].

Komentar k nalogi:

Nalogo umestimo v gimnazijsko izobrazevanje, na primer kot dodatni pouk. Po-

membno je, da dijaki pred resevanjem ze poznajo pojem veriznega ulomka, znajo za-

pisati stevilo v obliki veriznega ulomka in poznajo Fibonaccijeva stevila, ki dolocajo

Fibonaccijevo zaporedje. V primeru, da zelimo problemsko nalogo povezati z razi-

skovanjem, ni potrebno, da imajo dijaki osvojene zgoraj nastete ucne cilje. Lahko

jim ponudimo prost dostop do knjiznice oziroma IKT, kjer s pomocjo knjig ozi-

roma racunalnika in interneta poiscejo ustrezne informacije, ki jih potrebujejo za

resitev problema. Ce dijaki ze poznajo pojem Evklidovega algoritma, lahko obrav-

navo razsirimo tako, da vpeljemo zapis ulomka v obliki veriznega ulomka s pomocjo

Evklidovega algoritma in v nasem primeru dobimo:

21 = 1 · 13 + 8

53

13 = 1 · 8 + 5

8 = 1 · 5 + 3

5 = 1 · 3 + 2

3 = 1 · 2 + 1

2 = 2 · 1 + 0 .

Splosno razlago, kako ulomek zapisati v obliki v obliki veriznega ulomka in tudi

postopek z Evklidovim algoritmom, lahko bralec najde v teoreticnem delu magistr-

skega dela.

54

3.8 MODELIRANJE PRI POUKU

”Matematicno modeliranje je odkrivanje in preizkusanje matematicne predstavitve

ali modela za realen objekt ali proces.” [12]

Beseda model je v matematicnem jeziku po navadi uporabljena, ko zelimo kon-

kretno ponazoriti matematicni pojem. Ponavadi predstavlja matematicni abstrak-

tno teoreticni konstrukt. Z matematicnim modeliranjem skusamo izpeljati proces

od realne situacije do matematicnega modela in obratno [4].

”Modeliranje je zahtevno, ker predpostavlja poznavanje modeliranega pojava, ma-

tematicnih orodij, tehnik modeliranja in kriticnost pri uporabi modelov.” [16]

Matematicno modeliranje je ciklicni proces, ki poteka po naslednjih korakih.

1. Najprej je treba razumeti in identificirati problem.

2. V nadaljevanju oblikujemo predpostavke in matematicno formulacijo:

a. identificiramo in klasificiramo spremenljivke,

b. dolocimo povezave med spremenljivkami in morebitnimi modeli.

3. Nato postavimo in resujemo model.

4. Preverimo model, pri cemer ugotavljamo:

a. nanasanje modela na problem,

b. smiselnost modela,

c. uporabnost modela za dane podatke.

Ce je preverjanje neuspesno, se vrnemo na drugo tocko.

5. Model uporabimo

6. in ga po potrebi izboljsamo [12].

Priporocila za ucitelje:

Ker je znanje ucencev iz podrocja matematike v osnovni soli se precej skromno,

imajo lahko z izdelavo matematicnega modela precej tezav. Tako je pomembno, da

se ucitelj usmeri na druge prvine, ki poudarjajo ucencevo razumevanje pojma mo-

dela in uporabo kriticnosti pri razlikovanju med modelom in modeliranim pojavom.

55

Predvsem naj poudarimo, da je modeliranje ciklicen proces, v katerem povezujemo

obravnavani pojav z matematicnimi objekti. Se tako preprosto modeliranje zahteva

dobro poznavanje modeliranega pojava in seveda nekaj matematicnega znanja. Iz-

delava matematicnega modela zato ni preprosta [7].

Postopek modeliranja:

1. Interpretacija situacije.

Ucenci si situacijo dobro predstavljajo, jo razumejo.

2. Nastopajoce spremenljivke.

Ucenci najdejo vse mozne spremenljivke, ki bi lahko vplivale na model, ki bo

iz njih nastal.

3. Formuliranje predpostavk z upostevanjem spremenljivk.

To je zelo pomemben korak modeliranja, saj moramo premisliti pomembnost

posamezne spremenljivke, jo vkljuciti ali izlociti, pri tem pa navesti tudi pred-

postavko za uporabo spremenljivke. Predpostavke so namrec kljucne za po-

stavitev modela, saj bomo na podlagi le teh lahko model kriticno ovrednotili.

4. Prevedba v matematicne objekte, izracun.

Izbrane spremenljivke in ustvarjene predpostavke prevedemo v matematicni

jezik in jih opremimo z izracuni.

5. Interpretacija resitve.

Matematicno resitev zapisemo v obliki izhodiscnega konteksta.

6. Obravnava ustreznosti resitve.

Na tem koraku je treba preveriti, ali na podlagi izbranih spremenljivk in pred-

postavk izdelan model daje ustrezno veljavnost in s tem primerne rezultate.

7. Porocanje.

Na koncu je treba izdelati porocilo o modelu, v katerem povzamemo uporabo

izbranih spremenljivk in zapisanih predpostavk [7].

Znacilnost modeliranja je, da je za razliko od besedilnih nalog, kjer so vhodni po-

datki enolicno doloceni in jih mora ucenec le urediti, tu izhodiscna situacija na prvi

pogled ni jasna. Tako je ucenceva naloga odlociti se, katere podatke bo uporabil in

katerih ne. Problem, ki je predmet modeliranja, podamo v kontekstu, ki je ucencem

56

blizu. Tako modeliranje poudarja povezavo med situacijo, podano v kontekstu z

matematicnimi objekti. Ker je moznih vec povezav, je naloga ucenca, da kriticno

predlaga povezavo. Ker je izdelava matematicnega modela lahko prezahtevna za

ucence, jim lahko model ze na zacetku ponudimo, ki ga morajo nato analizirati [7].

”Matematicno modeliranje je kot vsako resevanje realnih problemskih situacij

zahtevno, saj moramo poznati dve podrocji, matematiko in podrocje problema. Zato

lahko pricakujemo naslednje kognitivne tezave ucencev:

• tezave pri uporabi dveh ali vec informacij hkrati,

• tezave pri prepoznavanju implicitno danih podatkov v nalogi,

• slabe skice, torej premalo usmerjenosti v vizualizacijo problema,

• nejasno razlago svojih idej o resevanju problema,

• nerazumevanje enacb,

• tezave pri verifikaciji in interpretiranju enacbe oz. modela.

Ucitelj ob zavedanju pricakovanih kognitivnih tezav vertikalno in horizontalno nacrtuje

tako, da lahko ucenci napredujejo in premagujejo ovire pri resevanju problema do

mogoce stopnje samostojnosti v procesu resevanja.” [4]

57

3.8.1 Primer obravnave z matematicnim modeliranjem

Naloga:

Denimo, da pri roki nimamo nikakrsnega merila, le palico, za katero vemo, da je

dolga ravno en meter. Ali je mogoce s tako palico meriti dolzine vsaj na centimeter

natancno? Ena od resitev bi bila, da bi iz palice naredili merilo: razdelili bi jo naj-

prej na deset delov, potem pa se vsakega od teh spet na deset in bi dobili centimetre.

Z nekaj znanja geometrije in z nekaj iznajdljivosti se to da narediti, precej hitreje

pa dolzine lahko merimo po veriznem postopku.

Postopek obravnave:

l. primer Narisani sta daljica z neznano dolzino in 1m dolga daljica (seveda po-

manjsani).

Slika 4: 1. korak merjenja [20]

Da bomo merili kolikor mogoce natancno, bomo uporabljali sestilo.

Slika 5: 2. korak merjenja [20]

Daljica je torej dolga 2 m in se nekaj ostane. Koliko ostane? Na prvi pogled se

ostanka ne da izmeriti, saj nimamo drugega merila razen 1 m dolge daljice. Vendar

je resitev prav enostavna. Z ostankom izmerimo metrsko daljico:

58

Slika 6: 3. korak merjenja [20]

Vidimo, da je metrska daljica nekoliko daljsa od stirih ostankov. Torej je osta-

nek nekoliko krajsi od cetrtine metra. Dobili smo natancnejsi rezultat, pa se vseeno

ne dovolj natancen. Spet uporabimo zgornjo idejo – stari ostanek izmerimo z novim:

Slika 7: 4. korak merjenja [20]

Zdaj se nam je merjenje izslo: novi ostanek je ravno tretjina starega. Rezultate

vseh treh meritev zapisimo v obliki ulomkov:

1m = 4 +1

3starega ostanka.

Zato je

stari ostanek =1

4 +1

3

m

in od tod

dolzina daljice = 2 +1

4 +1

3

m.

59

Ker je

1

4 +1

3

=1

13

3

=3

13

in je

3

13= 0, 2307 . . . ,

je torej daljica dolga nekaj vec kot 2m in 23cm.

Takim ulomkom, kot je

2 +1

4 +1

3

,

pravijo zaradi znacilne oblike verizni ulomki. Pravkar opisanemu nacinu merjenja

dolzin recemo kar verizno merjenje [8].

Komentar k nalogi:

Naloga je primerna za delo z nadarjenimi ucenci tretje triade v osnovni soli.

Zahtevna osnovna predznanja iz merjenja dolzin in ulomkov.

Ucenci s poskusanjem merijo dolzino daljice. Ko pridejo do ugotovitve, da ostane

del, ki je neizmerjen in predstavlja ostanek, jim lahko s pomocjo posrednih namigov

in postavljanjem vprasanj, pomagamo, da nadaljujejo z iskanjem postopka, kako

izmeriti preostali del daljice. Nalogo lahko uporabimo kot uvodno motivacijo v glo-

bljo obravnavo pojma veriznega ulomka. S pomocjo modela, ki ga ucenci razvijejo,

lahko nalogo nadaljujemo tako, da poiscejo splosen postopek zapisa ulomka v verizni

ulomek. Ker naloga zahteva precej raziskovanja in poglobitve, jo lahko uporabimo

tudi za projekt npr. raziskovalne naloge. Ucenec v raziskovalni nalogi tako odkriva

metodo za iskanje dolzin z veriznim merjenjem.

Splosno razlago, kako ulomek zapisati kot verizni ulomek, lahko bralec najde v

teoreticnem delu magistrskega dela.

60

4 ZAKLJUCEK

V teoreticnem delu magistrskega dela se seznanimo s kratko zgodovino veriznih

ulomkov, kjer zasledimo, da zametki veriznih ulomkov segajo v cas pred nasim

stetjem. Podrobnejsi vpogled v zgodovino prepustimo bralcu, saj je tema precej

obsezna. Verizni ulomki so se namrec razvijali vrsto let. V nadaljevanju spoznamo

osnovne definicije veriznih ulomkov, nekatere dokazemo in podkrepimo z zgledi.

Predstavimo tudi dva algoritma za racunanje veriznih ulomkov in obratno, eden

izmed njiju je znan Evklidov algoritem. V nadaljevanju vpeljemo tudi neskoncne

verizne ulomke in s tem razsirimo teorijo iz racionalnih stevil tudi na iracionalna

stevila, ki jih lahko zapisemo kot neskoncni verizni ulomek. Vpeljemo tudi konver-

genco neskoncnih veriznih ulomkov, ki jo obicajno ugotavljamo s pomocjo Eulerjeve

formule in danes tudi predstavlja osnovo vecine modernih dokazov konvergence. Vso

pred tem obravnavano teorijo uporabimo pri razvoju stevila e v verizni ulomek in

pri zapisu nekaterih lastnosti, ki smo jih pred tem obravnavali. Zadnji sklop teo-

reticnega dela posvetimo stevilom s periodicnim veriznim ulomkom, ki so natanko

resitve kvadratne enacbe s celostevilskimi koeficienti. Imenujemo jih kvadratna ira-

cionalna stevila.

Teoreticna izhodisca v nadaljevanju uporabimo v empiricnem delu magistrskega

dela, ki predstavlja projekt vpeljave veriznega ulomka v pouk.

Verizni ulomki so zanimivi kot obogatitvena vsebina solske matematike, ker jih lahko

obravnavamo z elementarnimi matematicnimi sredstvi, so zahtevnejsi od obicajnih

solskih vsebin, in omogocajo ucencem in dijakom, da sami ali pa vodeno pridejo do

zanimivih in presenetljivih spoznanj. Zato jih smiselno vpeljemo v solsko matema-

tiko kot obogatitveno vsebino, seveda z ucnimi pristopi, ki so primerni za nadarjene

ucence. Primeri tovrstnih pristopov so vodeno odkrivanje - raziskovanje, samostojno

odkrivanje, problemsko ucenje in modeliranje. Vsakega od njih opisemo in ga pod-

krepimo s konkretnim primerom obravnave iz teorije veriznih ulomkov. Pred tem

si ogledamo tudi ucni nacrt osnovne sole in gimnazije in cilje primerjamo s cilji

obravnave veriznih ulomkov.

61

62

Literatura

[1] Cohn, H. (2006). A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of

e, The American Mathematical Monthly, 113 (1), 57–62.

[2] Euler, L. (1748). Introductio in analysin infinitorum, vol. 1., Chapter 18.

[3] Jones, W.B., Thorn, W.J. (2010). Encyclopedia of Mathematics and its Applica-

tions, Continued fractions, Cambridge University Press.

[4] Kmetic, S. (2010). Razvoj in spremljanje procesa modeliranja. V Zakelj, A. (ur.),

Posodobitve pouka v gimnazijski praksi. Matematika, Ljubljana: Zavod RS za

solstvo, 90–102.

[5] Legisa, P. (1982). Verizni ulomki.Presek: List za mlade matematike, fizike, astro-

nome in racunalnikarje, 10 (1), 7–11.

[6] Loya, P. (2006). Amazing and Aesthetic Aspects of Analysis: On the incredible

infinite, http://www.math.binghamton.edu/dennis/478.f07/EleAna.pdf.

[7] Magajna, Z. (2013). Matematicno modeliranje v osnovni soli. V Suban, M. (ur.),

Posodobitve pouka v osnovnosolski praksi. Matematika, Ljubljana: Zavod RS za

solstvo, 293–304.

[8] Malesic, J. (1994). Verizno merjenje dolzin. Presek: List za mlade matematike,

fizike, astronome in racunalnikarje, 22 (1), 4–9.

[9] McClure, L., Piggott J. (2007). Meeting the Needs of Your Mosta Able Pupils:

Mathematics, NY: Taylor and Francis e-Library.

[10] Pavletic, M. (1999). Verizni priblizki. Presek: List za mlade matematike, fizike,

astronome in racunalnikarje, 26 (4), 26. 234–240.

[11] Petek, P. (1976): Kako spravimo ulomek v skatlo. Presek: List za mlade mate-

matike, fizike, astronome in racunalnikarje, 3 (4), 163–165.

[12] Repolusk, S. (2010). Primeri razlicnih pristopov pri matematicnem modeliranju.

V Zakelj, A. (ur.) Posodobitve pouka v gimnazijski praksi. Matematika. Ljubljana:

Zavod RS za solstvo, 81–89.

[13] Skubic, K. (2014). Verizni ulomki in neskoncne vrste. Diplomsko delo. Lju-

bljana: Univerza v Ljubljani, Pedagoska fakulteta.

63

[14] Vidav, I. (1976). Visja matematika, Ljubljana: DMFA.

[15] Zakelj, A. (2003). Kako poucevati matematiko: teoreticna zasnova modela in

njegova didakticna izpeljava, Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za solstvo.

[16] Zakelj, A. (2010). Raznovrstnost pristopov k ucenju in poucevanju matema-

tike. V Zakelj, A. (ur.): Posodobitve pouka v gimnazijski praksi. Matematika,

Ljubljana: Zavod RS za solstvo. 15–76.

[17] Wall, H.S. (1948). Analytic theory of continued fractions, New York: Van No-

strand.

Spletni viri

[18] Verizni ulomek, http://sl.wikipedia.org/wiki/Veri\vzni_ulomek, (do-

stop 30. avgust 2016).

[19] From the History of Continued Fractions, http://www.mff.cuni.cz/veda/

konference/wds/proc/pdf09/WDS09\_131\_m8_Widz.pdf, (dostop 20. avgust

2016).

[20] Introducing the Continued Fraction..., http://www.maths.surrey.ac.uk/

hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html, (dostop 20. avgust 2016).

[21] Verizni ulomki, http://www.fmf.uni-lj.si/~juvan/Racunalnistvo3/

gradivo/verizni_ulomki.pdf, (dostop 11. junij 2016).

[22] Periodic Continued Fractions, http://wstein.org/edu/124/lectures/

lecture19/lecture19/node2.html, (dostop 12. junij 2016).

[23] Program osnovna sola. Matematika. Ucni nacrt, http://http:

//www.mizs.gov.si/fileadmin/mizs.gov.si/pageuploads/podrocje/

os/prenovljeni_UN/UN_matematika.pdf, (dostop 21. julij 2016).

[24] Ucni nacrt: Gimnazija. Matematika, http://eportal.mss.edus.si/msswww/

programi2010/programi/media/pdf/un_gimnazija/un_matematika_gimn.

pdf, (dostop 21. julij 2016).

[25] Problemski pouk, http://www.gape.org/mateja/files/Problemski\_pouk.

doc, (dostop 22. avgust 2016).

64

Izjava o avtorstvu

Spodaj podpisana Katja Skubic, z vpisno stevilko 01014736, izjavljam, da je magi-

strsko delo z naslovom

TEORETICNI IN DIDAKTICNI VIDIKI VERIZNIH ULOMKOV,

ki sem ga napisala pod mentorstvom izr. prof. dr. Marka Slaparja in doc. dr.

Zlatana Magajne, avtorsko delo in da so uporabljeni viri in literatura korektno

navedeni.

Podpis studentke:

Ljubljana, september 2016