KAPITTEL 6. STØRRELSER OG TALL I GRESK MATEMATIKK Grekerne kjente de naturlige tallene og de kjente til forhold - dvs det vi i dag vil oppfatte som brøker. En grunnleggende oppfatning var at to linjestykker måtte ha et felles minste mål - det vi i dag kaller minste felles divisor. Pythagoreerne ble imidlertid klar over at dette ikke alltid var tilfelle. To linjestykker som ikke har felles mål, kalles inkommensurable. Euklid skiller mellom (geometriske) størrelser og forhold og behandler disse på to steder - med tanke på størrelser i bok 51 og med tanke på naturlige tall i bok 72. Hele tiden refereres det her til størrelser og tall som er kommensurable dvs at forholdet mellom dem kan uttrykkes som er rasjonalt tall. Det kan ved første øyekast virke forunderlig at Euklid behandler dette temaet to ganger. Man skulle tro at naturlige tall ville falle under den generelle betegnelsen størrelser. Ikke desto mindre virker det som om forhold i ett tilfelle kunne gjelde linjestykker, i et annet volumer og i et tredje tall. Hos Euklid behandles disse separat. Ikke desto mindre sier han om kommensurable linjestykker at: Kommensurable linjestykker har samme forhold til hverandre som et (naturlig) tall har til et annet3’. Vi skal ta utgangspunkt i hans definisjoner av naturlige tall4. Han starter med å definere en enhet og definerer et tall som en mangfoldighet5 av enheter. Analogt med definisjonen for linjestykker definerer han også et tall som en del (divisor) at et større tall og kaller et tall for multippel av et mindre når det siste går opp i det første. Et partall defineres ved at det kan deles i to like deler, et oddetall ikke. Et primtall går bare opp i enheten. Tall som er innbyrdes primiske har bare enheten som felles mål (divisor). Interessant er det også at produktet av to tall betegnes som en flate der de to tallene betegnes som sider; tilsvarende betegnes produktet av tre tall som et prisme og tallene som sider. Tall (egentlig forhold) sies å være proporsjonale når det første utgjør samme brøkdel av det andre som det tredje av det fjerde. En slik proporsjon kan være et helt tall eller en brøkdel6. Størrelser og tall Om størrelser dvs objekter7 som har utstrekning eller mål, skriver Euklid i Bok 5: Definisjon 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den

måler (går opp i) den større. Definisjon 2. Den større er et multiplum av den mindre når den blir målt av den mindre. Definisjon 3. Et forhold er en slags relasjon mellom to størrelser av samme slag8 med tanke

på mål.

1 Heath. Euclid. The thirteen Books of Elements Bok 5side 114 - 115 . 2 Heath. Euclid. The thirteen Books of Elements II bok 7side 277 - 278 3 Heath. Euclid. The thirteen Books of Elements II bok 5 Introduksjon s 113 4 Heath. Euclid. The thirteen Books of Elements II bok 7 side 277 - 278 5 Dette er den nærmeste oversettelse av (πληθσς ) som tilsvarer det engelskspråklige multitude. 6 Euclid oppfatter her brøkdel som et rasjonalt tall. Euklid II side 280 kom. Def. 3. 7 Dette mener jeg fremgår av definisjon 6, der det refereres til fire linjer i proporsjonen og ikke fire tall.

Definisjon 4. Størrelser sies å ha et forhold til hverandre dersom de er i stand til å overgå

hverandre ved å multipliseres opp (med 1, 2, 3, …) Definisjon 5. Størrelser sies å stå parvis i samme forhold til hverandre, den første til den

andre og den tredje til den fjerde, dersom et gitt multiplum av den første er henholdsvis større enn, lik eller mindre enn et gitt (annet) multiplum av den andre, medfører at det gitte multiplum av den tredje er på tilsvarende vis større enn, lik eller mindre enn det gitte (annet) multiplum av den fjerde.

Definisjon 6. Størrelser som parvis har samme forhold sies å være proporsjonale. Definisjon 7. Når fire størrelser forholder seg parvis slik, den første til den andre og den

tredje til den fjerde, slik at et gitt multiplum av den første er større enn et gitt (annet) multiplum av den tredje, men at det gitte multiplum av den andre ikke er større enn det gitte (annet) multiplum av den fjerde, sies den første størrel-sen å ha et større forhold til den andre, enn den tredje til den fjerde.

Definisjon 8. En proporsjon med tre ledd er den med færrest ledd. (Mellomproporsjonal) Definisjon 9. Når tre størrelser er proporsjonale (slik at forholdet mellom den første og den

andre og forholdet mellom den andre og den tredje er det samme) sies den første å ha et forhold til den tredje som er et gjentatt forhold (sammensatt for-hold) av det den første har til den andre. (Euklid bruker ikke multiplum av!)

Dersom vi forflytter oss til definisjonene for hele tall, Bok 7, finner vi for proporsjoner de-finisjonen 20 der han skriver:

Definisjon 20. Tall er proporsjonale når det første er det samme multiplum eller divisor

(del) av det andre som det tredje er av det fjerde. Det første vi legger merke til i Euklid s definisjoner for hele tall i Bok 7, er at han i motset-ning til Bok 5, ikke omtaler forhold i det hele tatt med tanke på tall. Vi ser også at definisjo-nene av proporsjonalitet for hele tall og for størrelser er ganske ulike. Vi skal imidlertid gå tilbake til definisjon 5 som tilskrives Eudoxus (408 – 360 f.Kr). Hva ligger egentlig i denne definisjonen? Vi skal se litt nærmere på den. Vi har nå i erindring at han arbeider med størrelser dvs linjestykker. Disse kan være inkommensurable. Hva da med forhold? Vi ser på forholdet a : b = A : B Det Euklid sier her er at for ett hvert par av tall N og M gjelder; (1) Na > Mb ⇒ NA > MB (2) Na = Mb ⇒ NA = MB (3) Na < Mb ⇒ NA < MB

8 Jeg har her brukt mål for πηλικοτηζ som i Heath s oversettelse av Euklid er omsatt med size (dvs egenskap) og størrelse for µεγεθζ som i samme oversettelse er omsatt med magnitude (dvs objektet)

Men hva dersom det ikke er mulig å finne to tall slik at (2) gjelder? Det er nettopp det vi har for det tilfellet at a : b er et irrasjonalt tall dvs at a og b er inkommensurable. Da gjelder (1) og (3). Hva betyr dette igjen? For alle tallpar gjelder enten (1) eller (2), dvs alle tallpar kan deles i to mengder X eller Y: },{ 11 MN eller. Dersom vi skriver dette på moderne notasjon, har vi at

For alle },{ 11 MN ∈ X gjelder (1) BMANbMaN 1111 >⇒> : BA

NM

ba

NM

>⇒>1

1

1

1

For alle },{ 22 MN ∈ Y gjelder (2) BMANbMaN 2222 <⇒< : BA

NM

ba

NM

<⇒<2

2

2

2

Vi ser nå at vi kan dele det vi kaller rasjonelle tall, inn i to mengder. Elementene i den ene kan

skrives som 1

1

NM , der alle fyller ulikheten (1) - elementene i den andre kan skrives som

2

2

NM

der alle fyller ulikheten (2). Den tyske matematikeren Richard Dedekind (1831 – 1916) fulgte, over to tusen år senere, en tilsvarende vei da han omkring 1860 innførte betegnelsen snitt – som enten er et rasjonalt el-ler et irrasjonalt tall. Et snitt deler de rasjonale tallene i to mengder – der elementene i den ene alltid er mindre enn elementene i den andre. Dedekind innrømmet alltid å ha vært inspirert av Eudoxus ideer. Om tall gir Euklid disse definisjonene i Bok 7 Definisjon 1. En enhet er den egenskap ting (objekter) har som vi kaller én Definisjon 2. Et tall er en mangfoldighet sammensatt av enheter. Definisjon 3. Et tall er en del (divisor9) av et større tall når det måler (går opp i) det større

tallet Definisjon 4. Men en brøkdel av det om det ikke går opp i det større tallet Definisjon 5. Et større tall er et multiplum av et mindre når det blir målt av (går opp i) dette. Definisjon 6. Et jevnt tall er et tall som lar seg dele i to like deler Definisjon 7. Et odde tall er det som ikke lar seg dele i to like deler, eller som er en enhet

forskjellig fra et jevnt Definisjon 8 Et jevnt gange jevnt tall er det som går et jevnt tall opp i et jevnt tall – (en

potens av 2) Definisjon 9 Et jevnt gange odde tall er det som går et odde tall opp i et jevnt tall 9 Ord og kommentarer i parentes er tilføyd av meg.

Definisjon 10. Et odde gange odde tall er det som går et odde tall opp i et odde tall. Definisjon 11. Et primtall er et tall som intet annet tall unntatt 1 går opp i. Definisjon 12. Tall som er innbyrdes primiske er de som bare har 1 som største felles divi-

sor10. Definisjon 13. Et sammensatt tall er det som et annet tall som divisor Definisjon 14. Tall som er innbyrdes kompositte er de som har en største felles divisor for-

skjellig fra 1 Definisjon 15 Et tall sies å gange opp et annet tall, når det andre tallet blir lagt til seg selv så

mange ganger som det er enheter i det første, ved dette fremkommer et tall. Definisjon 16. Når to tall er multiplisert og det fremkommer et tall (produktet), kalles dette et

plan (rektangel) og sidene er tallene som inngår i multiplikasjonen. Definisjon 17. Når tre tall er multiplisert og det fremkommer et tall (produktet), kalles dette et

prisme og sidene er tallene som inngår i multiplikasjonen. Definisjon 18. Et kvadrattall er likt tall ganget med likt tall Definisjon 19. En kube er likt tall ganget med likt tall ganget med likt tall Definisjon 20. Tall er proporsjonale når det første er det samme multiplum eller divisor

(del) av det andre som det tredje er av det fjerde. Det som er interessant her, er at forhold og proporsjon defineres ut fra et geometrisk syns-punkt, som lengder. Derfor blir definisjon 8 å forstå som en proporsjon der det tredje leddet står i forhold til enheten som det første til det andre. Dersom vi ser på Euklid s definisjoner for tall, finner vi ingen parallell til definisjonene 3 - 8. Den eneste definisjonen av proporsjonalitet tilsvarende 5 og 6 er definisjon 20, og det som er særlig interessant er at produkter av tall defineres som sider i plan og prismer og proporsjona-litet knyttes til en geometrisk betraktning. En konklusjon man kan trekke er at naturlige tall for grekerne hadde en geometrisk karakter og at brøker ble oppfattet som forhold som igjen relaterte seg til linjestykker. Sir Thomas Heath skriver om dette at det er bemerkelsesverdig at teorien for proporsjoner er behandlet to ganger av Euklid. Første gang i Bok 5 med hensyn på størrelse generelt og der etter i Bok 7 med hensyn på naturlige tall. Den siste fremstillingen refererer bare til kommen-surable størrelser og kan sies å representere den rådende oppfatning før Eudoxus oppdaget at størrelser kan være inkommensurable11.

10 Jeg bruker i det følgende divisor i stedet for det mer omstendelige et tall som måler et annet 11 Heath. Euclid. The thirteen Books of Elements. Vol II. S 112-113.

Sikkert er det at Pythagoreerne definerte tre former for proporsjoner for naturlige tall, der-iblant den geometriske (αναλοια). Opplagt må denne ha forutsatt kommensurabilitet. Grekerne fant imidlertid en måte å uttrykke et irrasjonalt tall, en måte som tilsvarer vår kjede-brøk. I gresk matematikk finner vi i det hele tatt at en nummerisk eller algebraisk utvikling går parallelt med en geometrisk. I geometrien starter man med to lengder, f eks to deler av en sidekant eller en sidekant og en diagonal, og viser så at den minste går opp i den lengste med en rest dvs et mindre linjestyk-ke. Neste trinn er en gjentagelse av dette i det resten går opp i det minste av de to man startet med - og slik går prosessen videre. Dersom de to første lengdene har en felles største divisor, svarer denne prosessen nummerisk til Euklid s algoritme for å finne denne divisoren eller felles geometrisk mål. Dersom de ikke har et felles mål, fortsetter prosessen bare videre. Det var i de tilfelle da denne prosessen ikke kunne avsluttes at de greske matematikerne forsto at det eksisterte to lengder som ikke hadde felles mål. De var inkommensurable. Når den (uendelige) geometriske prosessen fortsatte, fant man en bedre og bedre tilnærming til et tall, et irrasjonalt tall. Vi skal vise to eksempler, De greske matematikerne fant imidlertid en approksimasjon til 2 , som vi skal vise her. Ut-gangspunktet er Teorem 9 fra Euklid s bok II, men med en mer moderne bevisførsel. Her er AC = CE og AC = CB og CB = BE. Vi ser nå først ut fra Pythagoras setning for en likebent rettvinklet trekant (1) og (2): (1) 222 CBACAE += dvs

22 2ACAE = (2) 222 GFEGEF +=

dvs 22 2GFEF = dvs 22 2CDEF = Pythagoras gir oss nå (3) og (4) (3) 222 EFAEAF += (4) 222 FDADAF += dvs 222 BDADAF += Vi setter høyresiden av (3) og (4) lik hverandre og setter inn for AE fra (1) og EF fra (2): (5) 2222 22 BDADCDAC +=+

A C D B

FG

E

Dersom vi nå setter CD = x og BD = y, finner vi av (5) (6) 2222 )2(2)(2 yyxxyx ++=++ som vi igjen kan skrive: (7) 2222 2)()2(2 yxyxyx −=+−+ Av den siste ser vi at dersom det finnes to naturlige tall x og y som fyller: (8) 12 22 ±=− yx kan vi og konstruerer to nye naturlige tall x’ = (2x + y) og y’= (x + y) som også fyller (8). Ved å starte med x = y = 1, kan vi nå ved hjelp av (7) og (8) konstruere en følge av ordnede par. (9) )2(1 nnn yxx +=+ nnn yxy +=+1

Vi kan nå vise at følgen: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n

nxy

går mot 2 .

I teorem 10 fra Euklid s bok IV vises det hvordan man kan konstruere en likebent trekant der de to like vinklene hver er det doble av den tredje. Beviset er relativt omstendelig ført, vi viser imidlertid sammenhengen nedenfor. På figuren til høyre har vi startet med å trekke linjestykket BC og har plassert D slik at vi har, (10) 2DCBDBC =⋅ Vi konstruerer nå en likebent trekant ABC der AC = BC, og AB = CD. Dermed er også ∆ ADC og ∆ ADB likebente. Da er ∠ CAD = ∠ ACD = u og ∠ BAC = ∠ ABC = w For vinkelsummen i ∆ ADB og ∆ ABC har vi da (11) 2u + w + (w - u) = 180 (12) u + w + w = 180 som gir oss at w = 2u Vi kan enkelt vise at om vi legger ut fra denne konstruksjonen kan konstruere en pentagon, dvs en femkant. Den utvendige vinkel til ∆ ADC, ∠ADB = 2u.

A B

C

D

w - u

u

wu

2u

u

E

F

Fra figuren ser vi også at CD går opp i BC med BD som rest. Nå er AB lik CD, og FD = BD slik at dette tilsvarer at AB går opp i BC med FD som rest, vi ser at FD går opp i CD med EF som rest osv. Vi ser nå at BC = CD + BD. Videre ser vi at BD = DE = CE. Dermed har vi at CD = CD + EF tilsvarer at CD = BD + EF, og slik kan vi fortsette videre. Hver gang finner vi at en av de to like sidene tilsvarer grunnlinjen pluss en rest, i neste omgang er grunnlinjen lik side og resten grunnlinje i en mindre likedannet trekant og slik fortsetter det. Setter vi her α for forholdet mellom side og diagonal, har vi CD = α⋅BC. Nå kan vi skrive ligning (12) som: (13) 22)1( BCBCBC αα =+⋅ ⇔ 012 =−−αα Den siste ligningen har en positiv løsning som er det såkalte ”gylne snitt”.

(14) 1

51+=α

Vi har her brukt en algebraisk fremstilling der grekerne brukte en geometrisk. De greske ma-tematikerne hadde gode kunnskaper og stor innsikt innenfor geometri og tallteori. Men algeb-raen ble først utviklet av arabiske matematikere og senere europeiske. Det er vanskelig for oss å forestille oss hvordan de greske matematikerne kunne arbeide så sofistikert med problemer som dem ovenfor uten å ha det algebraiske verktøyet som senere ble utviklet. Men det illustrerer også et annet fenomen jeg finner interessant, det virker som om matemati-kere arbeider med samme problem snart algebraisk og snart geometrisk. Vi skal møte dette senere når vi kommer til de imaginære tallene, der europeiske matematikere fra renessansen av arbeider geometrisk helt opp til Caspar Wessel klarer å gi en tilfredsstillende geometrisk avbildning av de komplekse tallene. Vektorregningen er et annet eksempel som vi også kom-mer til. Men i tallære skal vi tilbake til Euklid og de greske matematikerne

KAPITTEL 7. DELELIGHET – PRIMTALL - KONGRUENSREGNING12 Definisjoner og lover Vi starter med addisjon på en gitt tallmengde. Vi kan lett overbevise oss om at disse sammen-hengene gjelder for de hele tallene illustrert ved eksemplene nedenfor: 1. aea =+ 2 + 0 = 2 enhets element 2. eaa =+ −1 3 + (-3) = 0 motsatt tall 3. cbacba ++=++ )()( 3 + (2 + 4) = (3 + 2) + 4 assosiativ lov 4. abba +=+ 3 + 4 = 4 + 3 kommutativ lov I eksempel 3 er 1−a det motsatte eller inverse av a med hensyn på addisjon dvs –a. Vi ser uten videre at disse sammenhengene også gjelder på mengden av reelle tall. Vi ser så på multiplikasjon på en gitt tallmengde. Vi overbeviser oss også om sammenhenge-ne 1, 3, 4, og 5 gjelder for de hele tallene - og at de samme i tillegg til 2 gjelder for de rasjona-le tallene. 2 gjelder for hele tall og rasjonale tall – i begge tilfelle unntatt for 0. 1. aea =⋅ 2 ⋅ 1 = 2 enhets element

2. eaa =⋅ −1 1414 =⋅ motsatt tall

3. cbacba ⋅⋅=⋅⋅ )()( 3 ⋅ (2 ⋅ 4) = (3 ⋅ 2) ⋅ 4 assosiativ lov 4. abba ⋅=⋅ 3 ⋅ 4 = 4 ⋅ 3 kommutativ lov I tillegg har vi denne loven som sier at multiplikasjon er distributiv over addisjon: 5. babacba ⋅+⋅=+⋅ )( distributiv lov Det er regel 5 vi bruker for å vise sammenhengen at dersom to tall begge et multiplum av et tredje, vil også summen og differensen av disse to tallene være et multiplum av det tredje.13 Grupper og ringer En gruppe er en mengde sammen med en binær operasjon, dvs en operasjon som til et hvert par av elementer i gruppen assosierer et tredje element – i tilfellene ovenfor enten en sum eller et produkt – slik at reglene 1, 2, og 3 gjelder. I tilfellene ovenfor har vi henholdsvis en additiv og en multiplikativ gruppe. Dersom også 4 gjelder, har vi en Abelsk gruppe.

12 I dette kompendiet skal vi med tall forstå de hele tallene med mindre noe annet er presisert. 13 Det tredje tallet kan utmerket godt være ett av de to andre tallene,

Dersom vi har en mengde der addisjon og multiplikasjon er definert og reglene 1-4 gjelder for addisjon i tillegg til reglene 1,3 og 5 for multiplikasjon, har vi en ring. Siden regelen 2 er frafalt for multiplikasjon – er mengden av hele tall en ring. Det samme gjelder naturligvis også for mengden av rasjonale tall og reelle tall. Multiplum – sammensatte tall og primtall. Vi kan nå definere multipla av tall. Et multiplum av et tall m er et tall som er et produkt av et tall m og et annet tall n. Eksempelvis er 6 både et multiplum av 2 og av 3. For hvert tall i tall-rekken, kan vi definere en rekke av multipla av tallet som f eks for 2: 2, 4, 6, 8 osv og for 3: 3, 6, 9 ,12 osv. Dersom vi støter på et tall som ikke er inneholdt i noen tidligere rekke av multipla, kaller vi tallet et primtall. Det første primtallet vi støter på er 2 som gir oss rekken 2, 4, 6, osv. Det neste er 3 som gir oss rekken 3, 6, 9 osv. Tallet 4 er inneholdt i rekken av multipla av 2. Det neste primtallet blir 5 som gir oss rekken 5, 10, 15 osv. Slik kan vi fortsette oppover. Vi finner da primtallene 2, 3, 5, 7, 11, 13 osv. Tall som er inneholdt i en eller annen rekke av multipla, kaller vi sammensatte tall. Sammensatte tall kan altså skrives som produkter av minst to tall forskjellig fra 1. Delelighet Dersom et tall er et multiplum av et annet tall, sier vi at det andre tallet er delelig med det første. Dersom bac ⋅= skriver vi ca | (eventuelt også cb | ) Det siste kan vi lese som ”a går opp i c” eller ”c er delelig med a”. Dersom ”a ikke går opp i c” skriver vi a ł b Vi ser også umiddelbart at vi har disse reglene, jfr regel 5 ovenfor: 1 )(| | | cbacaba +⇒∧ 2. )(| | | cbacaba −⇒∧ b > c 3. bcaba | | ⇒ 4. Dessuten gjelder alltid 1|a, a|a og - a|a. Derimot er det litt forunderlig at vi har a|0 såfremt a ≠ 0. Men det henger sammen med at å dividere 0 med et helt tall forskjellig fra 0, gir 0 som rest. Tall på faktorisert form. Divisorer. Vi kan skrive sammensatte tall som produkter. Tallet 18 kan skrives som 9 ⋅ 2. Det kan også skrives som 3 ⋅ 6. Nå er både 9 og 6 igjen sammensatte tall. Dersom vi fortsetter å faktorisere finner vi at 18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 som vi imidlertid velger å skrive som 18 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3. Da har vi faktorisert tallet i primfaktorer og det går derfor ikke an å faktorisere tallet videre.

Alle tall som går opp i 18, kaller vi for divisorer i 18. Dette er tallene, 2, 3, 6, 9. Vi vet at vi kan skrive et tall som sum av flere ledd på forskjellige måter. Eksempelvis kan vi skrive 11 som 3 + 1 + 7 eller 2 + 3 + 6. Det er derfor ikke så urimelig å spørre om vi kan faktorisere et tall på forskjellige måter. Vi kan vise at hvert tall bare har én faktorisering14 dersom vi skriver tallet som et produkt av primfaktorer. Vi skal vise dette og samtidig demonstrere en type bevis vi kaller for induk-sjonsbevis. Vi kan lett overbevise oss om at de sammensatte tallene opp til f eks 14 kun har én faktorisering. Dette er imidlertid en iakttagelse opp til 14, og som vi ikke kan påstå gjelder generelt. Vi antar nå at alle tall opp til N (i vårt tilfelle 14) har en unik faktorisering. Hva så med N +1? Enten er N +1 et primtall og da er faktoriseringen unik. Men hva om det er et sammensatt tall. Åpenbart må vi da kunne skrive N +1 = n ⋅ m, der både n <N og m <N, og følgelig har n og m hver en unik faktorisering. Dermed har vi vist at N +1 har en faktorisering i primfaktorer. Vi kan også overbevise oss om at denne faktoriseringen er unik. Det er denne sammenhengen som kalles aritmetikkens fundamentalsetning. Det at et tall a er en divisor i b er det samme som at b er delelig med a, dvs a | b. Dersom a og b er heltall og det finnes et tall c slik at c | a og c | b, kaller vi c en felles divisor i a og b. Vi skal så definere hva vi mener med den største felles divisor i to tall a og b: Dersom a og b begge er heltall forskjellige fra 0, er heltallet c den største felles divisor i a og b dersom c er divisor i a og b - og divisor i alle hele tall d som er felles divisor i a og b. Vi skriver (a,b) for største felles divisor til a og b – i har altså c = (a,b) Euklid s setning om rest ved divisjon og Euklid s algoritme for største felles divisor. Dersom vi forsøker å dele 11 på 4, går ikke divisjonen opp og vi får en rest, 3. Vi kan derfor skrive 11 som 11 = 2 ⋅ 4 + 3. Dersom vi så forsøker å dele 4 på 3, får vi 1 som rest. Dette har sammenheng med at felles divisor for 11 og 4 er 1. Tallene er innbyrdes primiske. Euclid s setning om rest ved divisjon – også kalt divisjonslemmaet, Setning 1 i Bok 7, sier oss dette. Vi kan formulere denne setningen som at for et hvert tallpar, k og n, finnes det to andre tall r og q, slik at vi har qnrk +⋅= og at denne formen er unik, dvs det finnes ingen andre tall enn r og q som har denne egenskapen. Vi skal la beviset ligger her. I vårt tilfelle har tall-paret 11 og 4 det tilsvarende tallparet 2 og 3. Vi ser også at etter denne setningen vil den siste resten vi finner være felles divisor for de to tallene vi startet med. Vi skal nå vise en fremgangsmåte kalt Euklid s algoritme for å finne den største felles divisor for to tall. Det er Setning 2 i Bok 7 og den er bygget på den forutgående Setning 1. Bevisfør-selen er den samme – og geometrisk15 dvs den bygger på sammenligning av linjestykker! Vi skal illustrere Euklid s algoritme med et talleksempel.

14 Utvider vi tallområdet til komplekse tall, kan vi finne flere faktoriseringen. 15 Det er verd å legge merke til at mens Bok 5 handler om størrelser og Bok 7 om tall, er bevisførselen i den siste hele tiden knyttet til sammenligning av linjestykker.

Vi ser først på et eksempel: 3432 og 91. Vi dividerer 3432 på 91 og finner: 3432 = 91 ⋅ 37 + 65 91 = 65 ⋅ 1 + 26 65 = 26 ⋅ 2 + 13 26 = 13 ⋅ 2 Av dette finner vi at 13 er største felles divisor i 3 432 og 91. Hvorfor? Dersom 3 432 og 91 har en felles divisor, må tallet også være divisor i 65 som er rest. Da må tallet også være divisor i 91 og 65 - og følgelig også i 26. Slik kan vi fortsette inntil vi finner 13 som går opp i 26. Ved å arbeide oss bakover, ser vi: 65 = 26 ⋅ 2 + 13 = 13 ⋅ 4 + 13 = 13 ⋅ 5 91 = 65 ⋅ 1 + 26 = 13 ⋅ 5 ⋅ 1 + 13 ⋅ 2 = 13 (5 + 2) = 13 ⋅ 7 3432 = 13 ⋅ 7 ⋅ 37 + 13 ⋅ 5 = 13 (7 ⋅ 37 + 5) = 13 ⋅ 264 Vi ser nå at siden 3432 = 13 ⋅ 264 og 91 = 13 ⋅ 7, og vi har at 3⋅ 264 - 113⋅ 7 = 1, har vi: 3 ⋅ 3432 - 113 ⋅ 91 = 13. Dette illustrerer Euklid s divisjonslemma: Dersom c er største felles divisor i a og b, kan vi finne to tall m og n slik at vi har: c = m ⋅ a + n ⋅ b Dette kan vi formulere: dersom ligningen, ax + by = d med heltallige x og y, skal være oppfylt er det nødvendig og tilstrekkelig at (a,b)|d der (a,b) er største felles divisor av a og b. Største felles divisor og minste felles multiplum Euklid s algoritme for å finne største felles divisor til to tall bygger på setningen:

),(),( rbbarnba =⇔+⋅= Opplagt må vi ha at dersom a og b har felles divisor, må denne også være divisor i r. Dvs at (a, b) er divisor i r. Opplagt kan ikke b og r ha en største felles divisor som ikke er divisor i a. De to tallene 12 og 18 har hver sin følge av multipla 12, 24, 36, 48, … og 18, 36, 54, … Av dette ser vi at de har felles multipla og det minste av disse er 36. Vi sier da et 36 er det minste felles multiplum av 12 og 18 og skriver dette som 36 = [12, 18]. Dersom vi faktorise-rer 12, 18 og 36, ser vi: 12 = 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 18 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 36 = 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3

Vi ser at alle divisorene i hvert av tallene 12 og 18 må være med i minste felles multiplum. Nå vet vi fra før at største felles divisor for 12 og 18 er 6. Videre vet vi at 12 ⋅ 18 = 216 sam-tidig som vi har 6 ⋅ 36 = 216 - og vi spør om det alltid er slik at ],[),( baba ⋅ ? Vi kan vise at det alltid er slik. Vi har dermed funnet en metode til å finne minste felles multiplum av to tall i fall vi kjenner største felles divisor. Vi skriver nå [a,b] for minste felles multiplum at de to tallene a og b. Minste felles multiplum av to tall går opp i produktet av tallene. Det ser vi av at ett multiplum av de to tallene vil være produktet. Enten er dette det minste felles multiplum eller så finnes det et multiplum som er mindre, og da går dette opp i produktet. Derfor har vi at det finnes et tall n, minst lik 1, slik at: ],[ banab ⋅= som vi kan skrive som:

nabba =],[ . Vi vet at vi kan skrive to tall a og b med største felles divisor (a,b) som:

a = (a,b) ⋅ m og b = (a,b) ⋅ n Vi har da at minste felles multiplum er: [a,b] = (a,b) ⋅ m ⋅ n Vi har nå en enkel sammenheng: a ⋅ b = (a,b) ⋅ m ⋅ (a,b) ⋅ n = (a,b) ⋅ (a,b) ⋅ m ⋅ n = (a,b) ⋅ {(a,b) ⋅ m ⋅ n}= (a,b) ⋅ [a,b] Produktet av to tall er lik produktet av største felles divisor og minste felles multiplum.

],[),( babaab ⋅= Perfekte tall. I tallet 6 finner vi divisorene, 1,2 og 3. Vi ser også at summen av divisorene er 6. Det samme gjelder for tallet 28 som har divisorene 1, 2, 4, 7 og 14. Disse to tallene er dermed eksempler på det vi kaller perfekte tall. Et perfekt tall er lik halve summen av sine divisorer (når vi reg-ner tallet selv som en divisor.) Utenom disse to kjenner vi bare ti andre tall med disse egen-skapene, 496, 8128 og 22250336 er de tre første. Disse inntreffer for m ∈ {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127}. Alle disse perfekte talene er partall og noe odde perfekt tall kjenner man følgelig ikke. Euclid var en av de første man kjenner som studerte perfekte tall og denne setningen for perfekte partall, som vi skal komme tilbake til, tilskrives ham16. Dersom )12( −n er et primtall, er )12(2 1 −= − nnP et perfekt tall. Vi legger imidlertid merke til parentesen i formelen )12( −n . Denne gir oss de såkalte Mer-senne tall når n er et primtall, oppkalt etter Marin Mersenne (1588-1648). Vi skal komme mer utførlig tilbake til de perfekte tallene og Mersenne tallene under avsnittet om primtall. To and-re greske matematikere, Theon fra Smyrna og Nicomakos definerer også perfekte tall og Ni-komakos nevner fire av dem, 6, 28, 496 og 8128. 16 Det skulle gå 2000 år før den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler viste at dette er den eneste formelen for perfekte partall.

KAPITTEL 8. PRIMTALL Vi definerer et primtall som et tall som bare har 1 og tallet selv som divisorer. Tallet 2 er det minste av primtallene. Vi har tidligere sett at om vi starter med multipla av 2, vil vi finne at 3 ikke er inneholdt blant disse, 3 er følgelig et primtall. Tallet 4 er inneholdt i multipla av 2, mens 5 ikke er multiplum hverken av 2 eller 3. Slik kan vi fortsette å kartlegge primtallene. Tankegangen her kan vi utnytte i det som kalles Erathostenes sold eller sil. I sin opprinnelige form er dette arbeidet tapt, men vi kjenner det fra Nichomacos verk Aritmetika. Vi antar at Erathostenes levde i tiden -276 - 194 f Kr) Vi skriver opp alle tall opp til f eks 100. Tallet 2 er første primtall - vi stryker så alle multipla av 2, 3 er neste primtall – vi stryker så alle multipla av 3, og slik fortsetter vi oppover. De tallene vi ikke har strøket – dvs de som ikke er multipla av mindre tall – er primtall. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 20 For å undersøke om et tall, a, er et primtall kan vi dividere med en suksessivt økende følge av primtall, men det er ikke nødvendig å gå lenger enn til det høyeste primtall a≤ . Primtallene har vært utsatt for et omfattende studium. Det gjelder spesielt primtallenes forde-ling. Man har funnet at antall primtall innenfor gitt intervall ],2[ x kan beskrives med funksjo-

nen Li(x) ∫x

tdt

2 ln. Tabellen nedenfor viser antall primtall i intervall opp til x sammenholdt med

verdier av funksjonen Intervall opp til 50 000 100 000 200 000 1 000 000 Antall primtall 5 134 9 593 17 985 78 499 Li (x) 5 167 9 630 18 036 78 628 Prosent avvik 0.64 0.39 0.28 0.16 Dersom vi studerer intervallet opp til 1000 000 000, blir det prosentuelle avviket 0.0033 Vi kan lett vise at det er uendelig mange primtall. Anta at vi kjenner en følge primtall gitt som

},.....,,,{ 321 npppp . Vi kan nå konstruere et nytt primtall som

1.....3211 +⋅⋅⋅⋅=+ nn ppppp Dette tallet kan ikke ha noen av primfaktorene },.....,,,{ 321 npppp som divisor og må derfor enten selv være et primtall eller inneholde en primfaktor større enn np . Dette beviset tilskri-ves Euklid, Setning 20 i Bok 9 i Elementene. Ved en slik rekursiv teknikk kan vi etablere en følge primtall, men den vil opplagt ikke inne-holde alle primtall opp til det siste.

Vi skal gi et eksempel, starter vi med 2, finner vi denne følgen: {2, 3, 7, 43, 1807, …..}. Her er 1807 = 13 ⋅ 139, vi finner altså to nye primtall, forskjellig fra tallene i følgen. Vi kan for øvrig utvide uttrykket ovenfor til:

1!1.....3211 +=+⋅⋅⋅⋅=+ nnpn Dette tallet kan ikke ha noe naturlig tall opp til og med n som divisor og må derfor være et primtall større enn n! + 1. Dersom to tall a og b har største felles divisor = 1, sier vi de er innbyrdes primiske. Vi har tidligere funnet at dersom a og b begge er heltall forskjellige fra 0, er heltallet c den største felles divisor i a og b dersom c er divisor i a og b - og alle hele tall d som er felles di-visorer i a og b, går opp i c. Vi skriver (a,b) for største felles divisor til a og b dvs c = (a, b). Vi kan nå skrive at to tall, a og b, er innbyrdes primiske når (a, b) = 1 Vi skal så ta for oss et av de mest bemerkelsesverdige setningene i Euklid s elementer. Set-ning 36 i Bok 9 om de perfekte tall. Perfekte tall har summen av divisorer lik tallet. Et eksem-pel er 6, der vi har 6 = 1 + 2 +3. Et annet er 28, der vi har 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Setning 36 lyder slik: Dersom vi fører opp så mange tall vi måtte ønske (i en rekke), fra 1 til 2 til 4 osv hele tiden i fordobling, inntil summen er et primtall, vil denne summen multiplisert med det siste leddet i rekken være et perfekt tall. Vi skal ikke gå inn på Euklid s bevis for setningen, som er svært omfattende, men se litt på beviset fra en mer moderne synsvinkel, rekkeregningen på vår algebraiske form. I sin bevis-førsel gjør Euklid bruk av den foregående setning 35 som gir summen av en geometrisk rekke I setning 36 sier altså Euklid at dersom vi har at nS er et primtall så vil tallet nP være et per-fekt tall, der:

122....221 122 −=++++= −− nnnS og n

nn SP ⋅= −12

Euklid viser nå på en interessant, skjønt svært omstendelig måte at siden vi har: 122....221 122 −=++++ −− nn dvs 122 22....2211 −− =+++++ nn så vil vi ha at:

( ) =⋅+++++⋅=⋅ −−n

nnn

n SSS 221 2....22112

( ) ( ) nnn S⋅+++++++++ −− 2212 2....2212....221

Han må nå vise at n

nn SP ⋅= −12 ikke kan andre faktorer enn disse to, Dette gjør han ved et

kontradiksjonsbevis, i det han antar at tallet har en faktor x forskjellig fra disse to:

mxSnn ⋅=⋅−12 ⇔ 12 −

= nn x

mS

Nå er det bare tall i mengden }2,.....2 ,2 ,1{ 12 −+ n som går opp i 12 −n , og x var forutsatt ikke

inneholdt i denne mengden. Dermed går x ikke opp i 12 −n . Dermed går heller ikke nS opp i m Siden nS er et primtall, er det primisk til m. Dermed må m gå opp i 12 −n . Han antar nå at rm 2= , og har da at:

nrn

nnr SS 11 2:2:2 −−− = ⇔ :222 11

nn

nrnr SS −−− =⋅

xmSS n

nn

rnr ⋅==⋅ −−− 11 222 og siden vi har rm 2= , må vi ha:

nrn Sx 12 −−= , som er en av leddene i følgen

{ }n

nnnn SSSS 22 2,......,2,2, −

Dette igjen motsier hypotesen om at x er forskjellig fra de nevnte tallene. Dermed har han vist at n

nn SP ⋅= −12 ikke kan ha andre faktorer enn sine divisorer,

{ }1222 2,.....2 ,2 ,1,2,......,2,2, −− n

nn

nnn SSSS En måte å vise dette mer direkte på er å gå frem på følgende måte: Dersom 12 −p er et prim-tall, er de eneste divisorene i tallet: 2, 4, 8,….., 12 −p , 2 ( )12 −p , ( )12 −p , …., ( )122 2 −− pp . Summen av disse divisorene er da:

( ) ( ) ( )[ ] ( )1221211212

121212121222 11

12

1

1

1−=−+−=

−−

−+−−

=−+ −−−−=

=

−=

=∑∑ pppp

pp

pn

n

ppn

pn

n

n

Et annet spørsmål er om alle perfekte tall kan skrives som ovenfor. Allerede greske matema-tikerne var opptatt av dette og problemet er fortsatt ikke løst. Euler viste at ett hvert perfekt tall som er et partall er på denne formen. I dag har man ikke avklart om det finnes odde per-fekte tall. Vi vet ved hjelp av regnemaskiner at slike ikke eksisterer opp til en bestemt grense. Denne grensen øker imidlertid etter som regnemaskinene undersøker tallområdet.

Primtallene etter grekerne Arabiske matematikere oversatte Elementene til arabisk og arbeidet videre med tallteorien. Allerede Pythagoreerne kjente til de såkalte vennskapelig tall der divisorene av det ene er lik summen av det andre, et eksempel er 220 og 284. Arabiske matematikere arbeidet videre på arven fra de greske matematikerne og Tabit Ben Quarra (836-901), som vi kjenner bl a for den utvidede Pythagoreiske setning, fant en formel for slike vennskapelige tall – selv om den ikke omfatter alle. De franske matematikerne Pierre de Fermat (1601 - 1635) og Marin Mersenne var opptatt av primtallene og også de perfekte tallene. Fermat fremsatte tre setninger i et brev til Mersenne, der han bygger på en tabell som knytter de naturlige tallene til potenser av 2 - 1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …. 1 3 7 15 31 63 127 255 511 …. Her finner han at følgende relasjoner synes å holde: 1. Dersom eksponenten ikke er et primtall, vil det tilsvarende tallet heller ikke være et

primtall, siden )1( −pqa alltid er delelig med )1( −pa ) og )1( −qa . 2. Dersom eksponenten n er et primtall, vil det tilsvarende tallet bare være delelig med

det dobbelte av eksponenten i det nn nn :)12(2:)22( 1 −=− − . Dette er som man vil se et spesialtilfelle av Fermat s lille teorem: dersom p er et primtall og a er primisk til p, så er )1( −pa delelig med p - alternativt aa p ≡ (mod p).

3. Dersom eksponenten n er et primtall, vil det tilsvarende tallet bare være delelig med

tall på formen )12( +mn . Hvis det tilsvarende tallet ikke har faktorer av denne formen, er det et primtall.

Vi skal merke oss at Fermat ikke gir noe bevis for disse setningene, men sier at man umiddel-bart vil innse riktigheten av dem17. Mersenne som vi har omtalt tidligere, fremsatte påstanden om at tall på formen: 12 −= n

nM var primtall dersom n var et primtall. Disse tallene kalles derfor Mersenne tall etter ham. Nå er f eks 257 et primtall, men det ble påvist i 1952 ved hjelp av en av de aller første regne-maskinene at 12257

257 −=M er et sammensatt tall. Det er lett å se at dersom n = 2m er et partall, har vi følgende etter konjugatsetningen:

)12()12(122 +⋅−=−= mmmp Det er noe vanskeligere å se at dersom n = rq er et odde, men sammensatt tall, er p et sam-mensatt tall.

17 Euvres de Fermat Vol II

Vi starter med formelen for en geometrisk rekke:

11.......1 12

−−

=++++ −

aaaaa

qq

Vi setter nå ra 2= . Dermed har vi i formelen ovenfor:

1)2(1)2()2(.......)2()2(1 12

−−

=++++ −r

qrqrrr

Som vi kan skrive som:

( )( )12 )2(.......)2()2(11)2(1)2( −++++−=− qrrrrqr Setter vi inn n = rq i formelen ovenfor, finner vi for dette leddet

1)2(12 −=−= qrrqp som vi vet kan faktoriseres som ovenfor.

KAPITTEL 9. RESTKLASSER – KONGRUENSREGNING Vi kommer nå til et emne i tallteori som heter kongruensregning. Denne grenen av matema-tikken ble innført av den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) i 1801. Det har siden vist seg å være et overmåte nyttig verktøy18. Anta at vi har sammenhengen:

1rnka +⋅= og 2rnpb +⋅= Der 21 og ,,,, rrnkba alle er hele tall. Ved divisjon med n har tallene a og b restene 1r og 2r . Dersom vi adderer tallene, finner vi:

)()( 21 rrnpkba ++⋅+=+ Dersom vi multipliserer tallene, finner vi:

[ ] 211221122 )()( rrnrprknpkrrnrprknpkba ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅

Vi finner da reglene, om vi adderer to tall som har restene s og t ved divisjon med n, vil sum-men ha resten (s +t), og dersom vi multipliserer, vil produktet har resten s⋅t. Dersom vi dividerer med 7, ser vi at tallene 8 og 29 har samme rest, nemlig 1. Tilsvarende har 9 og 30 samme rest, 2. Tallene 10 og 31 har resten 3. Dette skriver vi slik: 8 ≡ 1 (mod 7) leses modulo 7 29 ≡ 1 (mod 7) 10 ≡ 3 (mod 7) Når vi skriver ” 31 ≡ 19 (mod 4) ” leser vi dette som 31 og 19 er kongruente modulo 4 – og med dette mener vi at de har samme rest ved divisjon med 4, nemlig 3. En annen måte å betrakte det på er å si at 31 og 19 er kongruente modulo 4 fordi differensen (31 - 19) = 12 er delbar med 4. Generelt har vi altså: Vi hadde i eksemplet ovenfor at 29 ≡ 1 (mod 7). Differensen mellom 29 og 1 er 28 som er et multiplum av 7. Det er lett å overbevise seg om at følgende regel gjelder: a ≡ b (mod n) ⇔ n|(a – b) 18 Disquisitiones Arithmeticae – Del 7.

Vi illustrerer det med dette eksemplet: 77 ≡ 41 (mod 9) 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 og 41 = 36 + 5 = 9 ⋅ 4 + 5 Vi har nå: (77 – 41) = (9 ⋅ 8 + 5) – (9 ⋅ 4 + 5) = 9 ⋅ 4 Vi kan nå undersøke disse påstandene: d|a ⇒ d|ab d|a ∧ d|b ⇒ d|a + b d|a ∧ d|b ⇒ d|a - b Vi har disse regnereglene som gjelder for kongruenser: a ≡ b ∧ c ≡ d (mod n) ⇒ (1), (2), (3), (1) dbca +≡+ (mod n) (2) dbca ⋅≡⋅ (mod n) (3) kk ca ≡ (mod n) Vi arbeider i mengden av hele tall, Z, noe som gjør at vi kan arbeide med kongruenser med negative tall. Dette skal vise seg å være en stor fordel. Vi har som eksempel 43 = 3 ⋅ 11 + 10 ⇒ 43 ≡ 10 (mod 11) 43 = 4 ⋅ 11 - 1 ⇒ 43 ≡ - 1 (mod 11)

22 1043 ≡ ⇒ 1849 ≡ 100 (mod 11) 100 ≡ 1 (mod 11)

22 )1(43 −≡ ⇒ 1849 ≡ 1 (mod 11) Nå skal vi bruke regel (3) sammen med kongruenser med negative tall på et eksempel: Vi har at 34 ≡ -2 (mod 12) – dette gir oss etter (3)

8181 )2(34 −≡ (mod 12) Vi har at 10)2(− = 1024 og 1024 ≡ 4 (mod 12) Nå er 880 1024)2( =− og 880 4)2( ≡− (mod 12) Nå er 84 = 65536 ≡ 4 (mod 12) Dermed finner vi at 84)2(3481 −=⋅−≡ og - 8 ≡ 4 (mod 12)

Restklasser og restsystem. To hele tall sies å tilhøre samme restklasse modulo n når de er kongruente modulo n. Meng-den av de hele tall inndeles derfor i n restklasser modulo n, svarende til de n mulige verdiene vi kan få for rest etter divisjon med n, 0, 1, 2, …, n -1. Dersom vi ser på tallene opp til 11, tilhører 3, 6, og 9 samme restklasse modulo 3, tilsvarende tilhører 1, 4, 7 og 10 samme restklasse modulo 3, tallene 2, 5, 7 og 11 tilhører samme rest-klasse modulo 3. Disse tallene gir i rekkefølge 0, 1, og 2 ved divisjon med 3. Vi sier nå at disse n restklasser modulo n danner et fullstendig restsystem modulo n. Vi skal vise en setning angående restklasser, men illustrerer dette først med et eksempel: Her starter vi med tallene 3 og 5 som er innbyrdes primiske og velger i tillegg det hele tallet 4. Vi ser nå på disse tallene: 4, 3 +4, 2⋅ 3 + 4, 3⋅ 3 + 4, 4⋅ 3 + 4, som gir 4, 7, 10, 13, 16. Stude-rer vi disse modulo 5, finner vi: 4 ≡ 4 mod 5, 7 ≡ 2 mod 5, 10 ≡ 0 mod 5, 13 ≡ 3 mod 5, 16 ≡ 1 mod 5, Disse tallene representerer altså et fullstendig restsystem. Vi skal nå vise setningen: Dersom tallene m og n er innbyrdes primiske og k er et helt tall, så representer de n - 1 tallene k, m + k, 2m + k, 3m + k,…..,(n -1)m + k, et fullstendig restsystem modulo n. Det er tilstrekkelig for beviset at vi viser at disse tallene er innbyrdes inkongruente modulo n. Nå har vi: (r⋅ m + k) - (p⋅ m + k) = (r - p) ⋅ m der 1 ≤ r, p < n dermed er n ikke delelig med noen av faktorene på høyresiden av (), og tallene ovenfor er innbyrdes inkongruente. Anvendelse av delelighetsreglene Vi skriver T(n) for tverrsummen av tallet n skrevet i 10 tall systemet. Vi viser først at aa m ≡⋅10 (mod 9) Vi har 110 ≡ (mod 9) og regneregel (2) gir oss da 110 ≡m (mod 9)

110 ⋅≡⋅ aa m (mod 9) Regneregel (1) gir oss da:

011011

1 .....10.....1010 aaaaaaaa mmm

mm

m +++⋅+≡+⋅++⋅+⋅ −−

− (mod 9) Dermed har vi vist at n ≡ T(n) (mod 9)

Dette gir oss igjen at 9|n ⇔ 9|T(n) Vi finner en tilsvarende regel for delelighet med 3 Tilsvarende har vi disse reglene: 9|n +m ⇔ 9|T(n) + T(m) 9|n ⋅ m ⇔ 9|T(n) ⋅ T(m) Vi skal så utlede en regel for delelighet med 11 Vi har 110 −≡ (mod 11) Dette gir oss:

mm )1(10 −≡ (mod 11) Som igjen gir oss:

0111

011

1 .....)1()1(10.....1010 aaaaaaaa mm

mmm

mm

m +−+⋅−+−≡+⋅++⋅+⋅ −−−

− (mod 11) For å undersøke om et tall er delelig med 11 starter vi med enersifferet, fra dette trekker vi tiersifferet, til dette legger vi hundredesifferet osv – dersom resultatet vi da kommer frem til er delelig med 11, er tallet delelig med 11. For divisjon med 13 har vi disse kongruensene:

310 −≡ (mod 13)

22 )3(10 −≡ (mod 13) Det at 9102 ≡ (mod 13) kan vi imidlertid skrive som

4102 −≡ (mod 13)

)3()4(103 −⋅−≡ (mod 13) Det at 12102 ≡ (mod 13) kan vi imidlertid skrive som

1103 −≡ (mod 13)

)3()1(104 −⋅−≡ (mod 13) og vi har

3104 ≡ (mod 13)

Du kan selv regne videre og kontrollere at 4105 ≡ (mod 13) Dermed finner vi:

.....434310 65432100

−+++−−−≡∑ ⋅=

aaaaaaaan

m

mm

i det vi ser at koeffisientene 1,-3,-4 gjentar seg med alternerende fortegn. Nå vet vi fra før at 143 er 13 ⋅ 11, men vi ser i tillegg at 13 er faktor i 1001. Dette betyr igjen at tall av typen abcabc, abcabcabc, osv alltid er delelig med 13 – noe som kan være til hjelp for en stresset lærer som skal improvisere oppgaver. Denne sammenhengen kan vi for øvrig se av et annet forhold, både 7, 11 og 13 går opp i 1001. Dvs at tall som er på formen abcabc er delelig med 7, 11 og 13. Vi skal vise et interessant teorem – også kalt Fermat s lille teorem: Gitt et vilkårlig a som ikke er delbar med primtallet p, da har vi følgende:

aa p ≡ (mod p) tilsvarende 11 ≡−pa (mod p) Vi skal føre beviset som et induksjonsbevis. Vi har først:

11 ≡−pa (mod p) ⇔ aa p ≡ (mod p) Teoremet gjelder åpenbart for a = 1. Vi forutsetter derfor i det følgende at teoremet gjelder for a, og vil vise at da gjelder det for (a + 1) Vi har nå

....321

)1( 321 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+ −−− ppppp a

pa

pa

paa

Siden alle binomialkoeffisientene inneholder p som faktor, har vi for alle ledd etter a

0≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −mpamp

(mod p)

Dette gir oss:

1)1( +≡+ pp aa (mod p)

)1()1( +≡+ aa p (mod p) ⇔ 1)1( 1 ≡+ −pa (mod p) Dermed har vi bevist at setningen også gjelder for (a + 1). Fermats teorem er et spesialtilfelle av et mer generelt teorem som Leonhard Euler (1707 - 1783) viste i 1747.

Euler formulerte i 1747 en generalisering av dette teoremet til Fermat. Han definerer en ϕ(n) som antall naturlige tall mindre enn n som ikke har felles faktor med n. For et primtall p, har vi ϕ (p) = p – 1. Dersom vi har to primtall p og q, har vi at ϕ (p⋅ q) = (p – 1)(q -1) Nå kan vi skrive Euler s teorem på denne formen:

1)1)(1()( ≡= −− qppq aaϕ (mod pq) Der a og pq ikke har felles faktor. Vi skal komme tilbake til Euler s teorem i forbindelse med kodeteori. Vi skal så se på et interessant teorem, det såkalte Wilson s teorem. Sammenhengen ble faktisk først funnet av den arabiske matematiker ibn al-Haytham (965–1040) – og igjen funnet av den britiske matematiker John Wilson (1741 – 1793). Setningen ble bevist av Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) Det formuleres vanligvis slik: Dersom p er et primtall, har vi [ ]1)!1(| +−pp . Vi ser at vi kan formulere dette som: 1)!1( −≡−p (mod p)

Alternativt også som: Np

p∈

+− 1)!1(

Før vi går over på kodeteori som er kapittel 10, skal vi vise et interessant teorem som angår røttene i en algebraisk ligning med heltallige koeffisienter. Det viser seg nemlig at vi kan vise at disse enten er hele tall eller irrasjonale tall – altså ikke brøker! Dersom n

nn axaxxf +++= − ........)( 11 er et polynom i x med heltallige koeffisienter,

0≠na , ),.....,,( 21 naaa , er røttene til ligningen 0)( =xf enten hele tall eller irrasjonale tall. Beviset føres som et kontradiksjonsbevis. Vi antar at λ er en rot i ligningen og kan skrives

som et rasjonalt tall sr

=λ , der r og s ikke har felles divisor > 1, dvs (r, s) = 1. Ved multipli-

kasjon med ns på begge sider går ligningen 0)( =xf over på formen:

0........11 =+++ − n

nnn sasrar som vi kan skrive som:

[ ] 0........ 11

1 =+++ −− nn

nn sarasr Av dette følger at for at ligningen skal være oppfylt, må r og s ha en felles divisor c , og den eneste mulighet for dette er at c = 1, dvs at λ er et helt tall Vi har dermed vist at ligningen ikke kan oppfylles for et rasjonalt tall som ikke er et helt tall.