kapitel 4 geometrische abbildungen. kapitel 4 © beutelspacher februar 2004 seite 2 inhalt 4.1...

Kapitel 4

Geometrische Abbildungen

Kapitel 4

Geometrische Abbildungen

Kapitel 4 © Beutelspacher

Februar 2004Seite 2

InhaltInhalt

4.1 Kongruenzabbildungen

4.2 Spiegelungen

4.3 Alle Kongruenzabbildungen

4.1 Kongruenzabbildungen

4.2 Spiegelungen

4.3 Alle Kongruenzabbildungen


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4.1 Kongruenzabbildungen4.1 Kongruenzabbildungen

Wir betrachten Abbildungen der Punktmenge in sich. Dabei hat

jeder Punkt einen Bildpunkt (P).

Wenn klar ist, was ist, schreiben wir auch einfach P‘ statt (P).

Definition. Eine Abbildung der Punktmenge der Ebene in sich

heißt Kongruenzabbildung (auch Bewegung oder Isometrie ),

wenn für je zwei Punkte P, Q gilt:

(P)(Q) = PQ (oder einfach P‘Q‘ = PQ).

In Worten: Eine Kongruenzabbildung ist eine Abbildung, die den

Abstand je zweier Punkte erhält.

Wir betrachten Abbildungen der Punktmenge in sich. Dabei hat

jeder Punkt einen Bildpunkt (P).

Wenn klar ist, was ist, schreiben wir auch einfach P‘ statt (P).

Definition. Eine Abbildung der Punktmenge der Ebene in sich

heißt Kongruenzabbildung (auch Bewegung oder Isometrie ),

wenn für je zwei Punkte P, Q gilt:

(P)(Q) = PQ (oder einfach P‘Q‘ = PQ).

In Worten: Eine Kongruenzabbildung ist eine Abbildung, die den

Abstand je zweier Punkte erhält.


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BeispieleBeispiele

Beispiele: Drehungen, Verschiebungen, Spiegelungen (an einer

Geraden), Punktspiegelung, ... sind Kongruenzabbildungen.

Keine Kongruenzabbildung ist:

– zentrische Streckung,

– nur ein Punkt wird (echt) bewegt,

– nur die vier Ecken eines Quadrats werden (echt) bewegt,

– nur das Innere eines Quadrats wird (echt) bewegt,

– ...

Ziel: Wir wollen alle Kongruenzabbildungen kennenlernen!

Beispiele: Drehungen, Verschiebungen, Spiegelungen (an einer

Geraden), Punktspiegelung, ... sind Kongruenzabbildungen.

Keine Kongruenzabbildung ist:

– zentrische Streckung,

– nur ein Punkt wird (echt) bewegt,

– nur die vier Ecken eines Quadrats werden (echt) bewegt,

– nur das Innere eines Quadrats wird (echt) bewegt,

– ...

Ziel: Wir wollen alle Kongruenzabbildungen kennenlernen!


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Eigenschaften einer KongruenzabbildungEigenschaften einer Kongruenzabbildung

In der Definition einer Kongruenzabbildung haben wir nur sehr wenig

gefordert; zum Beispiel nicht, dass eine Kongruenzabbildung

– eine bijektive Abbildung ist,

– die Zwischenbeziehung erhält,

– Strecken auf Strecken abbildet,

– Halbgeraden auf Halbgeraden abbildet,

– Geraden auf Geraden abbildet,

– Winkel auf Winkel abbildet,

– Winkel auf Winkel desselben Maßes abbildet,

– ...

Aber: Diese Eigenschaften gelten! Wir werden sie beweisen!

In der Definition einer Kongruenzabbildung haben wir nur sehr wenig

gefordert; zum Beispiel nicht, dass eine Kongruenzabbildung

– eine bijektive Abbildung ist,

– die Zwischenbeziehung erhält,

– Strecken auf Strecken abbildet,

– Halbgeraden auf Halbgeraden abbildet,

– Geraden auf Geraden abbildet,

– Winkel auf Winkel abbildet,

– Winkel auf Winkel desselben Maßes abbildet,

– ...

Aber: Diese Eigenschaften gelten! Wir werden sie beweisen!


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Kongruenzabbildungen sind bijektivKongruenzabbildungen sind bijektiv

4.1.1 Hilfssatz. Jede Kongruenzabbildung ist eine bijektive Abbildung.

Beweis. Sei eine beliebige Kongruenzabbildung.

ist injektiv: Seien P, Q Punkte mit (P) = (Q). Dann ist

0 = (P)(Q) = PQ. Also muss PQ = 0 sein. D.h. P = Q.

ist surjektiv: Sei Y ein beliebiger Punkt. Wir müssen zeigen, dass

Y ein Urbild hat. Dazu brauchen wir einen raffinierten Trick!

Es gibt zwei Punkte P und Q so, dass ihre Bilder P' und Q'

nicht auf einer gemeinsamen Geraden mit Y liegen. (Sei PQR

ein Dreieck. Dann ist auch P'Q'R' ein Dreieck, und Y liegt nicht

auf allen drei Geraden PQ, QR, RP. O.B.d.A. nicht auf P'Q'.)

4.1.1 Hilfssatz. Jede Kongruenzabbildung ist eine bijektive Abbildung.

Beweis. Sei eine beliebige Kongruenzabbildung.

ist injektiv: Seien P, Q Punkte mit (P) = (Q). Dann ist

0 = (P)(Q) = PQ. Also muss PQ = 0 sein. D.h. P = Q.

ist surjektiv: Sei Y ein beliebiger Punkt. Wir müssen zeigen, dass

Y ein Urbild hat. Dazu brauchen wir einen raffinierten Trick!

Es gibt zwei Punkte P und Q so, dass ihre Bilder P' und Q'

nicht auf einer gemeinsamen Geraden mit Y liegen. (Sei PQR

ein Dreieck. Dann ist auch P'Q'R' ein Dreieck, und Y liegt nicht

auf allen drei Geraden PQ, QR, RP. O.B.d.A. nicht auf P'Q'.)


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Beweis, 2. TeilBeweis, 2. Teil

Sei p := YP' und q = YQ'. Dann gibt es außer Y noch genau

einen Punkt Y* mit der Eigenschaft Y*P' = p und Y*Q' = q.

Also gibt es genau zwei Punkte X und X*, die von P den Abstand

p und von Q den Abstand q haben.

Worauf werden X und X* unter abgebildet? Da eine

Kongruenzabbildung ist, gilt: (X)(P) = XP = p.

Entsprechend folgt: (X)(Q) = XQ = q.

Also muss (X) = Y oder (X) = Y* sein. Entsprechendes gilt für

das Bild von X*.

Da injektiv ist, können nicht X und X* auf Y* abgebildet

werden. Also muss einer dieser Punkte auf Y abgebildet werden.

Sei p := YP' und q = YQ'. Dann gibt es außer Y noch genau

einen Punkt Y* mit der Eigenschaft Y*P' = p und Y*Q' = q.

Also gibt es genau zwei Punkte X und X*, die von P den Abstand

p und von Q den Abstand q haben.

Worauf werden X und X* unter abgebildet? Da eine

Kongruenzabbildung ist, gilt: (X)(P) = XP = p.

Entsprechend folgt: (X)(Q) = XQ = q.

Also muss (X) = Y oder (X) = Y* sein. Entsprechendes gilt für

das Bild von X*.

Da injektiv ist, können nicht X und X* auf Y* abgebildet

werden. Also muss einer dieser Punkte auf Y abgebildet werden.


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Hintereinanderausführung von KongruenzabbildungenHintereinanderausführung von Kongruenzabbildungen

4.1.2 Satz. (a) Die Hintereinanderausführung (Verkettung) von zwei

Kongruenzabbildungen ist wieder eine Kongruenzabbildungen. In

Formeln: Wenn und Kongruenzabbildungen sind, so ist auch

eine Kongruenzabbildung.

(b) Die zu einer Kongruenzabbildung inverse Abbildung ist wieder

eine Kongruenzabbildung. In Worten: Wenn eine

Kongruenzabbildung ist, so ist auch –1 eine Kongruenzabbildung.

Beispiel: Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine

Kongruenzabbildung.

4.1.2 Satz. (a) Die Hintereinanderausführung (Verkettung) von zwei

Kongruenzabbildungen ist wieder eine Kongruenzabbildungen. In

Formeln: Wenn und Kongruenzabbildungen sind, so ist auch

eine Kongruenzabbildung.

(b) Die zu einer Kongruenzabbildung inverse Abbildung ist wieder

eine Kongruenzabbildung. In Worten: Wenn eine

Kongruenzabbildung ist, so ist auch –1 eine Kongruenzabbildung.

Beispiel: Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine

Kongruenzabbildung.


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BeweisBeweis

Beweis. (a) Zu zeigen: Wenn und Kongruenzabbildungen

sind, dann ist auch die Abbildung (“erst , dann ”) eine

Kongruenzabbildung. Für je zwei Punkte P und Q gilt:

(P) (Q) = (P))(Q)) = (P)Q) = PQ.

Also ist eine Kongruenzabbildung.

(b) Wir betrachten zwei beliebige Punkte P und Q. Wir bezeichnen

mit P* und Q* die Urbilder von P und Q unter . Dann gilt

–1(P)–1(Q) = P*Q* = P*)(Q*) = PQ.

Also ist –1 eine Kongruenzabbildung.

Beweis. (a) Zu zeigen: Wenn und Kongruenzabbildungen

sind, dann ist auch die Abbildung (“erst , dann ”) eine

Kongruenzabbildung. Für je zwei Punkte P und Q gilt:

(P) (Q) = (P))(Q)) = (P)Q) = PQ.

Also ist eine Kongruenzabbildung.

(b) Wir betrachten zwei beliebige Punkte P und Q. Wir bezeichnen

mit P* und Q* die Urbilder von P und Q unter . Dann gilt

–1(P)–1(Q) = P*Q* = P*)(Q*) = PQ.

Also ist –1 eine Kongruenzabbildung.


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Kongruenzabbildungen erhalten ZwischenbeziehungKongruenzabbildungen erhalten Zwischenbeziehung

4.1.3 Hilfssatz. Jede Kongruenzabbildung erhält die

Zwischenbeziehung.

Beweis. Sei eine Kongruenzabbildung.

Sei Z ein Punkt zwischen P und Q. Es ist zu zeigen,

dass dann auch (Z) zwischen (P) und (Q) liegt.

Dies folgt so: Da Z zwischen P und Q liegt, folgt

PZ + ZQ = PQ, also auch

(P)(Z) + (Z(Q) = PZ + ZQ = PQ = (P(Q).

Dies bedeutet, dass (Z) zwischen (P) und (Q) liegt.

4.1.3 Hilfssatz. Jede Kongruenzabbildung erhält die

Zwischenbeziehung.

Beweis. Sei eine Kongruenzabbildung.

Sei Z ein Punkt zwischen P und Q. Es ist zu zeigen,

dass dann auch (Z) zwischen (P) und (Q) liegt.

Dies folgt so: Da Z zwischen P und Q liegt, folgt

PZ + ZQ = PQ, also auch

(P)(Z) + (Z(Q) = PZ + ZQ = PQ = (P(Q).

Dies bedeutet, dass (Z) zwischen (P) und (Q) liegt.



Kongruenzabbildungen erhalten allesKongruenzabbildungen erhalten alles

4.1.4 Korollar. Jede Kongruenzabbildung führt Strecken in Strecken,

kollineare Punkte in kollineare Punkte, Strahlen in Strahlen, Geraden

in Geraden, Halbebenen in Halbebenen und Winkel in Winkel über.

Beweis. Sei eine Kongruenzabbildung. Wir zeigen einige der

Aussagen.

1. Strecken. Sei PQ eine Strecke, also

PQ = {Z Z liegt zwischen P und Q}.

Aufgrund von 4.1.3 folgt

(PQ) = {(Z) Z liegt zwischen P und Q}

= {(Z) (Z) liegt zwischen (P) und (Q)} = (P)(Q).

Also bildet die Strecke PQ auf die Strecke (P)(Q) ab.

4.1.4 Korollar. Jede Kongruenzabbildung führt Strecken in Strecken,

kollineare Punkte in kollineare Punkte, Strahlen in Strahlen, Geraden

in Geraden, Halbebenen in Halbebenen und Winkel in Winkel über.

Beweis. Sei eine Kongruenzabbildung. Wir zeigen einige der

Aussagen.

1. Strecken. Sei PQ eine Strecke, also

PQ = {Z Z liegt zwischen P und Q}.

Aufgrund von 4.1.3 folgt

(PQ) = {(Z) Z liegt zwischen P und Q}

= {(Z) (Z) liegt zwischen (P) und (Q)} = (P)(Q).

Also bildet die Strecke PQ auf die Strecke (P)(Q) ab.



Fortsetzung des BeweisesFortsetzung des Beweises

2. „kollinear“. Seien P, Q, R drei kollineare Punkte. Dann liegt einer,

sagen wir: Q, zwischen den beiden andern.

Nach dem schon Bewiesenen liegt dann das Bild von Q zwischen

den Bildern von P und R. Insbesondere liegen die Bilder (P),

(Q), (R) auf einer gemeinsamen Geraden.

3. Geraden. Sei g = PQ eine Gerade. Behauptung: Das Bild jedes

Punktes R von g liegt auf der Geraden (P)(Q). (Da P, Q und

R kollinear sind, sind auch (P), (Q) und (Z) kollinear.

Insbesondere liegt (Z) auf der Geraden (P)(Q).)

Wir halten fest: (PQ) = (P)(Q) für je zwei Punkte P, Q.

2. „kollinear“. Seien P, Q, R drei kollineare Punkte. Dann liegt einer,

sagen wir: Q, zwischen den beiden andern.

Nach dem schon Bewiesenen liegt dann das Bild von Q zwischen

den Bildern von P und R. Insbesondere liegen die Bilder (P),

(Q), (R) auf einer gemeinsamen Geraden.

3. Geraden. Sei g = PQ eine Gerade. Behauptung: Das Bild jedes

Punktes R von g liegt auf der Geraden (P)(Q). (Da P, Q und

R kollinear sind, sind auch (P), (Q) und (Z) kollinear.

Insbesondere liegt (Z) auf der Geraden (P)(Q).)

Wir halten fest: (PQ) = (P)(Q) für je zwei Punkte P, Q.



Kongruenzabbildungen erhalten WinkelmaßeKongruenzabbildungen erhalten Winkelmaße

4.1.5 Satz. Sei eine Kongruenzabbildung.

Dann führt jeden Winkeln in einen Winkel mit dem gleichen Maß

(also einen kongruenten Winkel) über.

Beweis. Sei ASB ein Winkel.

Wir betrachten die Dreiecke ASB und A)(S)(B).

Da eine Kongruenzabbildung ist, sind entsprechende Seiten

dieser Dreiecke kongruent.

Nach SSS sind also auch entsprechende Winkel dieser Dreiecke

kongruent.

Insbesondere sind ASB und A)(S)(B) kongruent.

4.1.5 Satz. Sei eine Kongruenzabbildung.

Dann führt jeden Winkeln in einen Winkel mit dem gleichen Maß

(also einen kongruenten Winkel) über.

Beweis. Sei ASB ein Winkel.

Wir betrachten die Dreiecke ASB und A)(S)(B).

Da eine Kongruenzabbildung ist, sind entsprechende Seiten

dieser Dreiecke kongruent.

Nach SSS sind also auch entsprechende Winkel dieser Dreiecke

kongruent.

Insbesondere sind ASB und A)(S)(B) kongruent.



4.2 Spiegelungen4.2 Spiegelungen

Definition. Eine Spiegelung an einer Geraden g ist eine Abbildung

= g der Punkte der Ebene in sich, die wie folgt definiert ist:

g(P) = P, falls P auf g liegt

g(P) = P’, falls P nicht auf g liegt; dabei ist P’ so

bestimmt, dass g das Mittellot von P und P’ ist.

Konstruktion des Bildes eines Punktes P g einer Spiegelung g:

Fälle das Lot h von P auf g.

Suche denjenigen Punkt P’ auf h, der von g denselben Abstand

wie P hat, aber auf der P gegenüberliegenden Seite von g liegt.

Definition. Eine Spiegelung an einer Geraden g ist eine Abbildung

= g der Punkte der Ebene in sich, die wie folgt definiert ist:

g(P) = P, falls P auf g liegt

g(P) = P’, falls P nicht auf g liegt; dabei ist P’ so

bestimmt, dass g das Mittellot von P und P’ ist.

Konstruktion des Bildes eines Punktes P g einer Spiegelung g:

Fälle das Lot h von P auf g.

Suche denjenigen Punkt P’ auf h, der von g denselben Abstand

wie P hat, aber auf der P gegenüberliegenden Seite von g liegt.



Spiegelungen sind selbstinversSpiegelungen sind selbstinvers

4.2.1 Hilfssatz. Jede Spiegelung ist zu sich selbst invers;

das heißt –1 = .

Mit anderen Worten: Wenn man eine Spiegelung zwei mal

hintereinander ausführt, ergibt sich die Identität.

Man sagt dazu auch, eine Spiegelung hat “Ordnung 2”.

Der Beweis folgt direkt aus der Definition.

4.2.1 Hilfssatz. Jede Spiegelung ist zu sich selbst invers;

das heißt –1 = .

Mit anderen Worten: Wenn man eine Spiegelung zwei mal

hintereinander ausführt, ergibt sich die Identität.

Man sagt dazu auch, eine Spiegelung hat “Ordnung 2”.

Der Beweis folgt direkt aus der Definition.



Spiegelungen sind KongruenzabbildungenSpiegelungen sind Kongruenzabbildungen

4.2.2 Satz. Jede Spiegelung ist eine Kongruenzabbildung.

Daraus folgt: Jede Spiegelung erhält Strecken, Geraden,

Winkelmaße, ...

Beweis. Sei = g eine Spiegelung an der Geraden g.

Seien P und Q zwei beliebige Punkte, und P’, Q’ ihre Bilder.

Wir haben zu zeigen: PQ = P’Q’.

1. Fall: P, Q g. Dann ist P’ = P und Q’= Q. Also gilt

PQ = P’Q’.

4.2.2 Satz. Jede Spiegelung ist eine Kongruenzabbildung.

Daraus folgt: Jede Spiegelung erhält Strecken, Geraden,

Winkelmaße, ...

Beweis. Sei = g eine Spiegelung an der Geraden g.

Seien P und Q zwei beliebige Punkte, und P’, Q’ ihre Bilder.

Wir haben zu zeigen: PQ = P’Q’.

1. Fall: P, Q g. Dann ist P’ = P und Q’= Q. Also gilt

PQ = P’Q’.



Beweis, 2., 3., 4., FallBeweis, 2., 3., 4., Fall

2. Fall: h = PQ steht senkrecht auf g. Dann ist h das Lot durch P

bzw. Q auf g. Nach Def. von ist dann P’, Q’ h, und es folgt

P’S = PS und Q’S = QS.

wobei S = g h ist. Es folgt PQ = P’Q’.

3. Fall: PQ parallel zu g. Dann ist PQQ'P' ein Rechteck; also ist

PQ = P'Q', da im Rechteck gegenüberliegende Seiten gleich lang

sind.

4. Fall: P g, Q g. Dann liegt P auf dem Mittellot g von Q und

Q'. Nach dem Mittellotsatz gilt also

PQ = PQ' = P'Q' .

2. Fall: h = PQ steht senkrecht auf g. Dann ist h das Lot durch P

bzw. Q auf g. Nach Def. von ist dann P’, Q’ h, und es folgt

P’S = PS und Q’S = QS.

wobei S = g h ist. Es folgt PQ = P’Q’.

3. Fall: PQ parallel zu g. Dann ist PQQ'P' ein Rechteck; also ist

PQ = P'Q', da im Rechteck gegenüberliegende Seiten gleich lang

sind.

4. Fall: P g, Q g. Dann liegt P auf dem Mittellot g von Q und

Q'. Nach dem Mittellotsatz gilt also

PQ = PQ' = P'Q' .



Beweis, 5. FallBeweis, 5. Fall

5. Fall. P, Q g, PQ ist nicht senkrecht und nicht parallel zu g.

Sei S = PQ g. Nach Fall 4 ist dann PS= P'S, QS = Q'S.Ferner ist PQ = SQ– SP. Wenn S, P' und Q' auf einer gemeinsamen Geraden liegen, ist

entsprechend P'Q'= SQ'– SP'; also folgte PQ = P'Q'. Es bleibt zu zeigen, dass P', Q' und S kollinear sind.

Sei X der Mittelpunkt von P, P' und Y der von Q, Q‘. Dann ist g

= XY. Die folgenden Winkel sind kongruent:

XSP', XSP (SWS); XSP, YSQ; YSQ, YSQ' (SWS).

Also sind XSP' und YSQ' kongruent. Daraus folgt nach dem

Geodreicksaxiom, dass S, P' und Q' kollinear sind.

5. Fall. P, Q g, PQ ist nicht senkrecht und nicht parallel zu g.

Sei S = PQ g. Nach Fall 4 ist dann PS= P'S, QS = Q'S.Ferner ist PQ = SQ– SP. Wenn S, P' und Q' auf einer gemeinsamen Geraden liegen, ist

entsprechend P'Q'= SQ'– SP'; also folgte PQ = P'Q'. Es bleibt zu zeigen, dass P', Q' und S kollinear sind.

Sei X der Mittelpunkt von P, P' und Y der von Q, Q‘. Dann ist g

= XY. Die folgenden Winkel sind kongruent:

XSP', XSP (SWS); XSP, YSQ; YSQ, YSQ' (SWS).

Also sind XSP' und YSQ' kongruent. Daraus folgt nach dem

Geodreicksaxiom, dass S, P' und Q' kollinear sind.



4.3 Klassifikation aller Kongruenzabbildungen4.3 Klassifikation aller Kongruenzabbildungen

• Ziel: Wir wollen alle Kongruenzabbildungen übersichtlich

beschreiben!

• Methode: Wir unterschieden die Kongruenzabbildungen bezüglich

ihrer „Fixpunkte“.

Definition. Ein Fixpunkt einer Kongruenzabbildung

ist ein Punkt P mit (P) = P.

• Zum Beispiel ist bei einer Spiegelung an der Achse g jeder Punkt

auf g ein Fixpunkt, während alle anderen Punkte keine Fixpunkte

sind.

• Ziel: Wir wollen alle Kongruenzabbildungen übersichtlich

beschreiben!

• Methode: Wir unterschieden die Kongruenzabbildungen bezüglich

ihrer „Fixpunkte“.

Definition. Ein Fixpunkt einer Kongruenzabbildung

ist ein Punkt P mit (P) = P.

• Zum Beispiel ist bei einer Spiegelung an der Achse g jeder Punkt

auf g ein Fixpunkt, während alle anderen Punkte keine Fixpunkte

sind.



Zwei FixpunkteZwei Fixpunkte

4.3.1 Haupthilfssatz. Wenn eine Kongruenzabbildung

zwei verschiedene Fixpunkte P und Q hat,

dann ist jeder Punkt der Geraden PQ ein Fixpunkt.

Beweis. Sei X ein beliebiger Punkt der Geraden PQ.

Sei X‘ = (X). Zu zeigen: X‘ = X.

Dann hat X‘ den Abstand XP von P. Also gibt es für X‘ zwei

Möglichkeiten: Entweder ist X‘ = X oder X‘ liegt auf der anderen

Seite von P.

Aber X‘ hat den Abstand XQ von Q. Also muss X‘ = X sein.

4.3.1 Haupthilfssatz. Wenn eine Kongruenzabbildung

zwei verschiedene Fixpunkte P und Q hat,

dann ist jeder Punkt der Geraden PQ ein Fixpunkt.

Beweis. Sei X ein beliebiger Punkt der Geraden PQ.

Sei X‘ = (X). Zu zeigen: X‘ = X.

Dann hat X‘ den Abstand XP von P. Also gibt es für X‘ zwei

Möglichkeiten: Entweder ist X‘ = X oder X‘ liegt auf der anderen

Seite von P.

Aber X‘ hat den Abstand XQ von Q. Also muss X‘ = X sein.



StrategieStrategie

Methode: Wir gehen bei der Klassifikation schrittweise vor.

Sei eine Kongruenzabbildung.

• Wenn drei nichtkollineare Fixpunkte hat, ist die Identität.

Also brauchen wir nur noch Kongruenzabbildungen mit kollinearen

Fixpunkten zu betrachten!

• Wenn (mindestens) zwei (kollineare) Fixpunkte hat, ist eine

Spiegelung.

• Wenn genau einen Fixpunkt hat, ist ein Produkt von genau

zwei Spiegelungen.

• Wenn keinen Fixpunkt hat, ist ein Produkt von zwei oder drei

Spiegelungen.

Methode: Wir gehen bei der Klassifikation schrittweise vor.

Sei eine Kongruenzabbildung.

• Wenn drei nichtkollineare Fixpunkte hat, ist die Identität.

Also brauchen wir nur noch Kongruenzabbildungen mit kollinearen

Fixpunkten zu betrachten!

• Wenn (mindestens) zwei (kollineare) Fixpunkte hat, ist eine

Spiegelung.

• Wenn genau einen Fixpunkt hat, ist ein Produkt von genau

zwei Spiegelungen.

• Wenn keinen Fixpunkt hat, ist ein Produkt von zwei oder drei

Spiegelungen.



Drei (nichtkollineare) Fixpunkte ...Drei (nichtkollineare) Fixpunkte ...

4.3.2 Satz. Wenn eine Kongruenzabbildung drei nichtkollineare

Fixpunkte hat, dann ist = id.

Mit anderen Worten: Es gibt keine Kongruenzabbildung id, die

drei Fixpunkte hat, die nicht auf einer Geraden liegen.

Beweis. Zu zeigen: Jeder Punkt ist ein Fixpunkt!

Seien P, Q, R drei nichtkollineare Fixpunkte.

Nach 4.3.1 ist dann jeder Punkt auf den Geraden PQ, QR, RP ein

Fixpunkt.

Dann liegt jeder Punkt X auf einer Geraden g mit mindestens zwei

Fixpunkten. Wieder nach 4.3.1 ist jeder Punkt auf g ein Fixpunkt.

Also ist X ein Fixpunkt.

4.3.2 Satz. Wenn eine Kongruenzabbildung drei nichtkollineare

Fixpunkte hat, dann ist = id.

Mit anderen Worten: Es gibt keine Kongruenzabbildung id, die

drei Fixpunkte hat, die nicht auf einer Geraden liegen.

Beweis. Zu zeigen: Jeder Punkt ist ein Fixpunkt!

Seien P, Q, R drei nichtkollineare Fixpunkte.

Nach 4.3.1 ist dann jeder Punkt auf den Geraden PQ, QR, RP ein

Fixpunkt.

Dann liegt jeder Punkt X auf einer Geraden g mit mindestens zwei

Fixpunkten. Wieder nach 4.3.1 ist jeder Punkt auf g ein Fixpunkt.

Also ist X ein Fixpunkt.



Kollineare FixpunkteKollineare Fixpunkte

4.3.3 Satz. Wenn eine Kongruenzabbildung id mindestens

zwei Fixpunkte besitzt, dann ist eine Spiegelung.

Beweis. Wegen id liegen nach 4.3.2 alle Fixpunkte auf einer

Geraden g. Nach 4.3.1 ist dann jeder Punkt von g ein Fixpunkt.

Sei P ein Punkt außerhalb von g, und sei P‘ sein Bild. Zeige: (1) Die Spiegelung = g mit Achse g führt P in P‘ über.

(2) Die Verkettung hat als Fixpunkte alle Punkte auf g und

(mindestens) den Punkt P.

(3) Es folgt = id. Und also ist = –1 = eine Spiegelung.

Details: Übungsaufgabe.

4.3.3 Satz. Wenn eine Kongruenzabbildung id mindestens

zwei Fixpunkte besitzt, dann ist eine Spiegelung.

Beweis. Wegen id liegen nach 4.3.2 alle Fixpunkte auf einer

Geraden g. Nach 4.3.1 ist dann jeder Punkt von g ein Fixpunkt.

Sei P ein Punkt außerhalb von g, und sei P‘ sein Bild. Zeige: (1) Die Spiegelung = g mit Achse g führt P in P‘ über.

(2) Die Verkettung hat als Fixpunkte alle Punkte auf g und

(mindestens) den Punkt P.

(3) Es folgt = id. Und also ist = –1 = eine Spiegelung.

Details: Übungsaufgabe.



Nur ein FixpunktNur ein Fixpunkt

4.3.4 Satz. Wenn eine Kongruenzabbildung genau einen Fixpunkt

hat, dann ist sie ein Produkt von genau zwei Spiegelungen.

Beweis. Sei P der (einzige) Fixpunkt der Konguenzabbildung .

Sei Q ≠ P ein Punkt, und sei Q' = (Q). Dann gilt PQ'= PQ.

Sei die Spiegelung an der Winkelhalbierenden von QPQ’. Dann

ist eine Kongruenzabbildung, die P und Q als Fixpunkte hat.

Also ist eine Kongruenzabbildung mit zwei Fixpunkten P und Q.

Nach 4.3.2 und 4.3.3 gibt es zwei Möglichkeiten:

1. = id. Dann ist = –1 = eine Spiegelung: Widerspruch!

2. = , die Spiegelung an PQ. Dann ist = –1 = ein Produkt

von zwei Spiegelungen.

4.3.4 Satz. Wenn eine Kongruenzabbildung genau einen Fixpunkt

hat, dann ist sie ein Produkt von genau zwei Spiegelungen.

Beweis. Sei P der (einzige) Fixpunkt der Konguenzabbildung .

Sei Q ≠ P ein Punkt, und sei Q' = (Q). Dann gilt PQ'= PQ.

Sei die Spiegelung an der Winkelhalbierenden von QPQ’. Dann

ist eine Kongruenzabbildung, die P und Q als Fixpunkte hat.

Also ist eine Kongruenzabbildung mit zwei Fixpunkten P und Q.

Nach 4.3.2 und 4.3.3 gibt es zwei Möglichkeiten:

1. = id. Dann ist = –1 = eine Spiegelung: Widerspruch!

2. = , die Spiegelung an PQ. Dann ist = –1 = ein Produkt

von zwei Spiegelungen.



Gar kein FixpunktGar kein Fixpunkt

4.3.5 Satz. Jede Kongruenzabbildung ohne Fixpunkt ist Produkt von

höchstens drei Spiegelungen.

Beweis. Sei P ein beliebiger Punkt, und sei P’ = (P).

Mit Hilfe einer Spiegelung kann man P' auf P abbilden.

Dann ist eine Kongruenzabbildung mit mindestens einem

Fixpunkt, also nach 4.3.2. 4.3.3, 4.3.4 ein Produkt von höchstens

zwei Spiegelungen.

Also ist ein Produkt von höchstens drei Spiegelungen.

4.3.6 Hauptsatz. Jede Kongruenzabbildung läßt sich als Produkt

von höchstens drei Spiegelungen darstellen.

4.3.5 Satz. Jede Kongruenzabbildung ohne Fixpunkt ist Produkt von

höchstens drei Spiegelungen.

Beweis. Sei P ein beliebiger Punkt, und sei P’ = (P).

Mit Hilfe einer Spiegelung kann man P' auf P abbilden.

Dann ist eine Kongruenzabbildung mit mindestens einem

Fixpunkt, also nach 4.3.2. 4.3.3, 4.3.4 ein Produkt von höchstens

zwei Spiegelungen.

Also ist ein Produkt von höchstens drei Spiegelungen.

4.3.6 Hauptsatz. Jede Kongruenzabbildung läßt sich als Produkt

von höchstens drei Spiegelungen darstellen.



Verschiebungen (Translationen)Verschiebungen (Translationen)

Definition. Eine Verschiebung bildet jeden Punkt so ab, dass er in

eine bestimmte Richtung (Verschieberichtung) um eine bestimmte

Strecke der Länge d abgebildet („verschoben“) wird.

Jede Verschiebung ist eine Kongruenzabbildung (ohne Beweis).

4.3.7 Satz. Jede Verschiebung ist ein Produkt von zwei

Spiegelungen, deren Achsen parallel sind.

Beweis. Sei g eine Gerade senkrecht zur Verschieberichtung. Jeder Punkt mit Abstand d/2 von g wird auch durch = g auf

(P) abgebildet (u.u.). Also ist eine Kongruenzabbildung, deren

Fixpunkte eine Gerade bilden, also eine Spiegelung.

Also ist Produkt von zwei Spiegelungen.

Definition. Eine Verschiebung bildet jeden Punkt so ab, dass er in

eine bestimmte Richtung (Verschieberichtung) um eine bestimmte

Strecke der Länge d abgebildet („verschoben“) wird.

Jede Verschiebung ist eine Kongruenzabbildung (ohne Beweis).

4.3.7 Satz. Jede Verschiebung ist ein Produkt von zwei

Spiegelungen, deren Achsen parallel sind.

Beweis. Sei g eine Gerade senkrecht zur Verschieberichtung. Jeder Punkt mit Abstand d/2 von g wird auch durch = g auf






Drehungen (Rotationen)Drehungen (Rotationen)

Definition. Eine Drehung bildet jeden Punkt so ab, dass er auf dem

Kreis um das Zentrum Z um einen gewissen Winkel abgebildet

(„gedreht“) wird.

Jede Drehung ist eine Kongruenzabbildung (ohne Beweis).

4.3.8 Satz. Jede Drehung ist ein Produkt von zwei Spiegelungen,

deren Achsen durch das Zentrum gehen.

Beweis. Sei g eine Gerade durch das Zentrum Z. Die Punkte P einer Geraden durch Z werden durch = g auf




Definition. Eine Drehung bildet jeden Punkt so ab, dass er auf dem

Kreis um das Zentrum Z um einen gewissen Winkel abgebildet

(„gedreht“) wird.

Jede Drehung ist eine Kongruenzabbildung (ohne Beweis).

4.3.8 Satz. Jede Drehung ist ein Produkt von zwei Spiegelungen,

deren Achsen durch das Zentrum gehen.

Beweis. Sei g eine Gerade durch das Zentrum Z. Die Punkte P einer Geraden durch Z werden durch = g auf




kapitel 4 geometrische abbildungen. kapitel 4 © beutelspacher februar 2004 seite 2 inhalt 4.1...

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