Kapitel 2

Mathematik für Mikroökonomie

1

• Ökonomische Theorien basieren auf der Annahme, dass die Agenten versuchen, den optimalen Wert einer Funktion zu wählen.– Konsumenten maximieren Nutzen– Produzenten maximieren Profit

Mathematik der Optimierung

2

Funktionen mit einer Variablen

• Der Manager einer Firma will den Profit maximieren:

)(qf

= f(q)

Menge

*

q*

Maximum Profit von * bei q*

3

Funktionen mit einer Variablen

• Der Manager variiert die Menge q um zu sehen wann der maximale Profit eintritt– Eine Steigerung der Menge von q1 nach q2 erhöht

= f(q)

Menge

*

q*

1

q1

2

q2

0

q

4

Funktionen mit einer Variablen• Wenn die Menge über q* gesteigert wird, fällt der

Profit– Eine Mengensteigerung von q* nach q3 führt zu einer

Abnahme von

= f(q)

Menge

*

q*

0

q

3

q3 5

Ableitungen

• Die Ableitung von = f(q) ist der Grenzwert von /q für sehr kleine Änderungen von q

• Der Wert hängt von q1 ab.

hqfhqf

dqdf

dqd

h

)()(lim 11

0

6

Der Wert einer Ableitung in einem Punkt

• Wenn die Ableitung an der Stelle q = q1 gebildet wird, schreibt man:

• In unserem vorherigen Beispiel,

01

qqdq

d 03

qqdq

d 0*

qqdq

d

1qqdqd

7

Bedingung erster Ordnung für ein Maximum

• Damit eine Funktion mit einer Variablen ein Maximum in einem Punkt erreicht, muss die Ableitung in diesem Punkt Null sein.

0*

qqdq

df

8

Bedingung zweiter Ordnung

• Die Bedingung erster Ordnung (d/dq) ist eine notwendige Bedingung für ein Maximum aber keine hinreichende Bedingung.

Menge

*

q*

Wenn die Profitfunktion eine u-FormHätte, würde die Bedingung erster Ordnung zu q* führen, bei dem minimiert! wird.

9

Bedingung zweiter Ordnung• Damit q* ein Optimum ist, muss also gelten,

)("oder oder 2

2

2

2

qfdq

fddqd

undqqdqd *für 0

*für 0 qqdqd

• Bei q*, muss d/dq fallen, also muss die Ableitungvon d/dq bei q* negativ sein.

• Eine zweite Ableitung schreibt man:

• Damit ist die Bedingung zweiter Ordnung für einlokales Maximum:

0)("*

*2

2

qq

qq

qfdqd

10

Funktionen mit mehreren Variablen

• Viele Zielfunktionen von ökonomischen Agenten hängen von mehreren Variablen ab. Daher gibt es “trade-offs”.

• Die Abhängigkeit einer Variablen (y) von einer Reihe anderer (x1,x2,…,xn) schreibt man

),...,,( 21 nxxxfy

11

Partielle Ableitungen• Die partielle Ableitung von y nach x1 schreibt man

111

oder oder oder 1

ffxf

xy

x

• Wenn man eine partielle Ableitung bildet, werden alleanderen x konstant gehalten (“ceteris paribus”Annahme).

hxxxfxxhxf

xfoder nn

hxx n

),...,,(),...,,(lim 2121

0...1 ,,2

12

Partielle Ableitungen zweiter Ordnung

• Eine zweite partielle Ableitung schreibt man

• Die Reihenfolge, in der zweite Ableitungen gebildet werden ist unwichtig für das Ergebnis (Young‘s Theorem).

ijijj

i fxxf

xxf

2)/(

jiij ff

13

Das totale Differential• Angenommen y = f(x1,x2,…,xn), wenn alle x ein wenig

variieren, dann wird der totale Effekt auf y gegeben durch

nn

dxxfdx

xfdx

xfdy

...22

11

nndxfdxfdxfdy ...2211

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Notwendige Bedingung für ein Maxiumum

• Eine notwendige Bedingung für ein Maximum der f(x1,x2,…,xn) ist das dy = 0 für jede Kombination kleiner Änderungen in den x. Das kann nur sein wenn:

• An dieser Stelle hat die Funktion einen kritischen Punkt aber diese Bedingung ist nicht hinreichend für ein Maximum. Daher betrachten wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von f.

0...21 nfff

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Bedingung zweiter Ordnung• Funktion mit einer Variablen y=f(x): • Eine notwendige Bedingung folgt aus dy/dy=f‘(x)=0. Um

sicher zu sein, dass der gefundene Punkt ein Maximum ist betrachten wir nun Bewegungen von diesem Punkt weg.

• Das totale Differential gibt: dy=f‘(x)dx. Bei einem Maximum muss dy für kleine Erhöhungen von x fallen. Um die Veränderungen in dy zu sehen, betrachten wir die zweite Ableitung von y:

22 )(")("])('[ dxxfdxdxxfdxdx

dxxfdyd

Damit d2y< 0 muss f ’’(x)dx2 < 0 und da dx2 >0 muss f ’’(x) < 0.16

Bedingung zweiter Ordnung• Funktion mit mehreren Variablen y=f(x1, x2):

• Bedingungen erster Ordnung für ein Maximum sindy/x1 = f1 = 0

y/x2 = f2 = 0• Damit dieser Punkt ein Maximum ist, muss y abnehmen,

wenn wir uns in jede mögliche Richtung von diesem kritischen Punkt entfernen. (Berg-Analogie)

• f1 und f2 müssen am kritischen Punkt abnehmen, aber zusätzliche Bedingung müssen auch für die partiellen Kreuzableitungen gelten.

17

Bedingung zweiter Ordnung• Das totale Differential von y ist

dy = f1 dx1 + f2 dx2

• Das Differential dieser Funktion istd 2y = (f11dx1 + f12dx2)dx1 + (f21dx1 + f22dx2)dx2

d 2y = f11dx12 + f12dx2dx1 + f21dx1 dx2 + f22dx2

2

• Aus Young’s theorem folgt, f12 = f21 und d 2y = f11dx1

2 + 2f12dx1dx2 + f22dx22

• Damit diese Gleichung für alle dx1 und dx2 kleiner Null ist, müssen f11 und f22 negativ sein.

• Falls weder dx1 noch dx2 Null ist, so ist d 2y < 0 nur wennf11 f22 - f12

2 > 0 18

Bedingung zweiter Ordnungf11 f22 - f12

2 > 0• Ist diese Bedingung und f11 <0 erfüllt, ist die Matrix der

zweiten partiellen Ableitungen (Hesse Matrix) „negativ definit“ und die Zielfunktion konkav.

• Eine solche Funktion liegt immer unterhalb jeder Ebene, die die Funktion tangiert.

• Die Extensions in SN, S. 81 zeigen, wie sich diese Bedingungen zweiter Ordnung für mehr als zwei Variablen verhalten.

19

Maximierung unter Nebenbedingung

• Wenn sich eine (implizite) Nebenbedingung zu einer Wahlvariablen auflösen lässt, so kann man einfach in die Zielfunktion substituieren. Oft ist das jedoch nicht möglich.

• Eine allgemeine Methode um eine Maximierung unter Nebenbedingung durchzuführen ist der Lagrange Multiplikator Ansatz.

• Angenommen wir suchen Werte x1, x2,…, xn , diey = f(x1, x2,…, xn) u.d.N. g(x1, x2,…, xn) = 0 maximieren.

20

Der Lagrange Ansatz• Die Lagrange Multiplikator Methode impliziert

ℒ = f(x1, x2,…, xn ) + g(x1, x2,…, xn) wobei der Lagrange Multiplikator ist.

• Wenn die Nebenbedingung erfüllt ist, dann ist ℒ = f dag(x1, x2,…, xn) = 0. Daher können wir statt der kritischen

Werte von f hier auch die von ℒ suchen.

21

Der Lagrange Ansatz

• Bedingungen erster Ordnung (BeOs): ℒ /x1 = f1 + g1 = 0

ℒ /x2 = f2 + g2 = 0

.

ℒ /xn = fn + gn = 0

.

.

ℒ / = g(x1, x2,…, xn) = 0

22

Der Lagrange Ansatz• Diese Bedingungen können für x1, x2,…, xn und gelöst

werden. Die gefundenen x werden die Nebenbedingung erfüllen und den Wert von ℒ und somit f maximieren.

• Der Lagrangemultiplikator gibt den “Schattenpreis” der Nebenbedingung an.

• Jede Maximierung unter Nebenbedingung hat ein duales Problem. Z.B. kann man in der Konsumententheorie statt der Maximierung des Nutzens u.d.N. der Budgetrestriktion auch das minimale Budget suchen, welches einen vorgegebenen Nutzenlevel erreicht.

23

Maximierung unter linearer Nebenbedingung

• Angenommen, wir möchten x1 und x2 so wählen, dass y= f(x1, x2) unter der linearen Nebenbedingung c - b1x1 -b2x2 = 0 maximiert wird.

• Die Lagrange Multiplikator Methode:

ℒ = f(x1, x2) + (c - b1x1 - b2x2)• Die Bedingungen erster Ordnung sind

f1 - b1 = 0

f2 - b2 = 0

c - b1x1 - b2x2 = 0

24

Maximierung unter linearer Nebenbedingung

• Um ein Maximum sicherzustellen, benötigen wir erneut das “zweite” totale Differential

d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2

2

• Nur die Werte von x1 und x2, die die Nebenbedingung erfüllen, können Alternativen zum kritischen Punkt sein

• Das totale Differential der Nebenbedingung ist-b1 dx1 - b2 dx2 = 0dx2 = -(b1/b2)dx1

Dieses sind die erlaubten relativen Veränderungen in x1und x2.

25

Maximierung unter linearer Nebenbedingung

• Aus den Bedingungen erster Ordnung f1/f2 = b1/b2, erhält man

dx2 = -(f1/f2) dx1

• Da d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2

2

können wir für dx2 substituieren und bekommen

d 2y = f11dx12 - 2f12(f1/f2)dx1

2 + f22(f12/f22)dx12 oder

d 2y = f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 [dx12/ f22]

• Daher muss für d 2y < 0 gelten dassf11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 < 0

26

Maximierung unter linearer Nebenbedingung

f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 < 0

• Ist diese Bedingung erfüllt, so ist die Funktion quasi-konkav.

• Das Set aller Punkte für die die Funktion Werte oberhalb einer bestimmten Konstante annimmt, ist konvex.

27

Konkavität und Quasi-Konkavität am Beispiel y=(x1·x2)k

28

Konkavität und Quasi-Konkavität am Beispiel y=(x1·x2)k

• Hier x1,x2,k>0, und für jeden Wert von k ist diese Funktion quasi-konkav. Quasi-Konkavität ist eine ordinale Eigenschaft, sie ist robust gegenüber monotonen Transformationen (da diese eine ordinale Ordnung nicht beeinträchtigen).

• Die Funktion ist allerdings nur konkav wenn k<1/2 und sonst konvex (für k>1/2). Konkavität oder Konvexität sind kardinale Eigenschaften, monotone Transformationen können die Eigenschaft zerstören.

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Schlussendlich …• Der Umhüllenden-Satz (Envelope Theorem):

Angenommen y = f(x1,…xn,a) dann gilt im Optimum y*

• Der Satz von den Impliziten Funktionen: Gegeben eine implizite Funktion f(x,y)=0, dann folgt aus dem totalen Differenzial 0 = fxdx + fydy oder:

af

af

dadx

xf

dadx

xf

dadx

xf

dady n

n

...* 2

2

1

1

y

x

ff

dxdy

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Schlussendlich…• Eine Funktion f(x1,x2,…xn) nennt man homogen vom

Grad k genau dann, wennf(tx1,tx2,…txn) = tk f(x1,x2,…xn)

– Wenn k = 1, führt eine Verdopplung aller Argumente zu einer Verdopplung des Wertes der Funktion.

– Wenn k = 0 fürt eine Verdopplung aller Argumente zu keiner Änderdung des Wertes der Funktion.

• Eine homothetische Funktion entsteht durch eine monotone Transformation einer homogenen Funktion.

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