kapitel 1 die natürlichen und die ganze zahlen. kapitel 1: die natürlichen und die ganzen zahlen...
TRANSCRIPT
Kapitel 1
Die natürlichen und die ganze Zahlen
Kapitel 1
Die natürlichen und die ganze Zahlen
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 2
InhaltInhalt
1.1 Vollständige Induktion
z.B. 1+ 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
1.2 Die Peano-Axiome
Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen
1.3 Die ganzen Zahlen
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }, Abzählbarkeit
1.4 Eigenschaften der ganzen Zahlen
Teiler, Division mit Rest, ggT, ...
1.1 Vollständige Induktion
z.B. 1+ 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
1.2 Die Peano-Axiome
Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen
1.3 Die ganzen Zahlen
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }, Abzählbarkeit
1.4 Eigenschaften der ganzen Zahlen
Teiler, Division mit Rest, ggT, ...
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 3
1.1 Vollständige Induktion1.1 Vollständige Induktion
Prinzip der vollständigen Induktion. Sei A eine Aussage oder eine
Eigenschaft, die von einer natürlichen Zahl n abhängt. Wir
schreiben auch A(n).
Wenn wir wissen, daß folgendes gilt:
(1) Induktionsbasis (Induktionsverankerung): Die Aussage A gilt im
Fall n = 1 (das heißt, es gilt A(1)),
(2) Induktionsschritt: Für jede natürliche Zahl n 1 folgt aus A(n)
die Aussage A(n+1),
dann gilt die Aussage A für alle natürlichen Zahlen 1.
Prinzip der vollständigen Induktion. Sei A eine Aussage oder eine
Eigenschaft, die von einer natürlichen Zahl n abhängt. Wir
schreiben auch A(n).
Wenn wir wissen, daß folgendes gilt:
(1) Induktionsbasis (Induktionsverankerung): Die Aussage A gilt im
Fall n = 1 (das heißt, es gilt A(1)),
(2) Induktionsschritt: Für jede natürliche Zahl n 1 folgt aus A(n)
die Aussage A(n+1),
dann gilt die Aussage A für alle natürlichen Zahlen 1.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 4
ErläuterungErläuterung
Bedeutung der vollständigen Induktion: Um eine Aussage für alle
natürlichen Zahlen (also über unendlich viele Objekte!) nachzuweisen,
muss man nur zwei Aussagen beweisen:
Induktionsbasis: A(1)
Induktionsschritt: A(n) A(n+1)
Man nennt A(n) auch die Induktionsvoraussetzung.
Die hinter diesem Prinzip stehende “Philosophie” ist die, dass man in
objektiv kontrollierbarer Weise über eine Unendlichkeit (“alle”
natürlichen Zahlen) sprechen kann. Die Bedeutung dieses Prinzips,
wurde zwischen 1860 und 1920 u.a. von Moritz Pasch (Professor in
Gießen) und Giuseppe Peano (Professor in Turin) entdeckt.
Bedeutung der vollständigen Induktion: Um eine Aussage für alle
natürlichen Zahlen (also über unendlich viele Objekte!) nachzuweisen,
muss man nur zwei Aussagen beweisen:
Induktionsbasis: A(1)
Induktionsschritt: A(n) A(n+1)
Man nennt A(n) auch die Induktionsvoraussetzung.
Die hinter diesem Prinzip stehende “Philosophie” ist die, dass man in
objektiv kontrollierbarer Weise über eine Unendlichkeit (“alle”
natürlichen Zahlen) sprechen kann. Die Bedeutung dieses Prinzips,
wurde zwischen 1860 und 1920 u.a. von Moritz Pasch (Professor in
Gießen) und Giuseppe Peano (Professor in Turin) entdeckt.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 5
1. Anwendung: Summe der ersten n Zahlen1. Anwendung: Summe der ersten n Zahlen
Problem (C.F. Gauß): 1+2+3 +...+ 100 = ???
1.1.1 Satz. Für jede natürliche Zahl n 1 gilt:
1+2+... + n = n(n+1)/2.
In Worten: Die Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen ist gleich
(n+1)n/2.
Konsequenz: Man kann die Summe 1+2+3+...+n ganz einfach
ausrechnen, und es passieren kaum Rechenfehler.
Problem (C.F. Gauß): 1+2+3 +...+ 100 = ???
1.1.1 Satz. Für jede natürliche Zahl n 1 gilt:
1+2+... + n = n(n+1)/2.
In Worten: Die Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen ist gleich
(n+1)n/2.
Konsequenz: Man kann die Summe 1+2+3+...+n ganz einfach
ausrechnen, und es passieren kaum Rechenfehler.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 6
Beweis durch vollständige InduktionBeweis durch vollständige Induktion
Beweis durch Induktion nach n.
Die Aussage A(n) sei die Aussage des Satzes, also:
A(n): 1+2+3 +...+ n = n(n+1)/2.
Sowohl bei der Induktionsbasis als auch beim Induktionsschritt zeigen
wir, dass in der entsprechenden Gleichung links und rechts das
Gleiche steht.
Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht auf der linken Seite nur der
Summand 1, und auf der rechten Seite steht 21/2, also ebenfalls 1.
Also gilt A(1)
Beweis durch Induktion nach n.
Die Aussage A(n) sei die Aussage des Satzes, also:
A(n): 1+2+3 +...+ n = n(n+1)/2.
Sowohl bei der Induktionsbasis als auch beim Induktionsschritt zeigen
wir, dass in der entsprechenden Gleichung links und rechts das
Gleiche steht.
Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht auf der linken Seite nur der
Summand 1, und auf der rechten Seite steht 21/2, also ebenfalls 1.
Also gilt A(1)
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 7
InduktionsschrittInduktionsschritt
Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl 1, und sei die
Aussage richtig für n. Wir müssen A(n+1) beweisen, das heißt, die
Summe 1+2+3+... +(n–1) + n + (n+1) berechnen.
Wir spalten wir diese Summe auf:
1+2+3+... +(n–1) + n + (n+1)
= [1+2+3+... +(n–1) + n] + (n+1)
= n(n+1)/2 + (n+1) (nach Induktion)
= [n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+2)(n+1)/2.
Insgesamt haben wir die Aussage A(n+1) bewiesen.
Somit gilt der Satz.
Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl 1, und sei die
Aussage richtig für n. Wir müssen A(n+1) beweisen, das heißt, die
Summe 1+2+3+... +(n–1) + n + (n+1) berechnen.
Wir spalten wir diese Summe auf:
1+2+3+... +(n–1) + n + (n+1)
= [1+2+3+... +(n–1) + n] + (n+1)
= n(n+1)/2 + (n+1) (nach Induktion)
= [n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+2)(n+1)/2.
Insgesamt haben wir die Aussage A(n+1) bewiesen.
Somit gilt der Satz.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 8
2. Anwendung: Summe der ungeraden Zahlen2. Anwendung: Summe der ungeraden Zahlen
1.1.2 Satz. Für jede natürliche Zahl n 1 gilt:
1+3+5 + ... + (2n–1) = n2. In Worten: Die Summe der ersten n
ungeraden Zahlen ist gleich der n-ten Quadratzahl.
Beispiele:
(a) 1 + 3 + 5 = 9
(b) 1 + 3 + 5 + ... + 1999 = 1.000.000
1.1.2 Satz. Für jede natürliche Zahl n 1 gilt:
1+3+5 + ... + (2n–1) = n2. In Worten: Die Summe der ersten n
ungeraden Zahlen ist gleich der n-ten Quadratzahl.
Beispiele:
(a) 1 + 3 + 5 = 9
(b) 1 + 3 + 5 + ... + 1999 = 1.000.000
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 9
Beweis mit vollständiger InduktionBeweis mit vollständiger Induktion
Beweis durch Induktion nach n.
Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht auf der linken Seite nur der
Summand 1, und auf der rechten Seite steht 12 = 1. Somit gilt A(1).
Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 1, und es gelte
A(n). Wir müssen A(n+1) nachweisen.
Wir beginnen mit der linken Seite von A(n+1) und formen diese so
lange um, bis wir die rechte Seite von A(n+1) erhalten:
1+3+5+ ... + (2n–1) + (2n+1) = [1+3+5+ ... + (2n–1)] + (2n+1)
= n2 + (2n+1) (nach Induktion)
= n2 + 2n + 1 = (n+1)2 .
Somit gilt A(n+1), und damit ist die Aussage bewiesen.
Beweis durch Induktion nach n.
Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht auf der linken Seite nur der
Summand 1, und auf der rechten Seite steht 12 = 1. Somit gilt A(1).
Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 1, und es gelte
A(n). Wir müssen A(n+1) nachweisen.
Wir beginnen mit der linken Seite von A(n+1) und formen diese so
lange um, bis wir die rechte Seite von A(n+1) erhalten:
1+3+5+ ... + (2n–1) + (2n+1) = [1+3+5+ ... + (2n–1)] + (2n+1)
= n2 + (2n+1) (nach Induktion)
= n2 + 2n + 1 = (n+1)2 .
Somit gilt A(n+1), und damit ist die Aussage bewiesen.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 10
1.2 Die Peano-Axiome1.2 Die Peano-Axiome
Erinnerung: Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 0, 1, 2, ...;
die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet.
Zur Bedeutung der natürlichen Zahlen schreibt L. Kronecker (1823 -
1891): „Die ganzen Zahlen (in unserem Sprachgebrauch: die
natürlichen Zahlen) hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist
Menschenwerk.“
Giuseppe Peano (1858 - 1939) hat die natürlichen Zahlen zum erstem
Mal mathematisch präzise beschrieben. Er hat ein System von fünf
Axiomen (Grundsätzen) aufgestellt, um die natürlichen Zahlen zu
charakterisieren.
Erinnerung: Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 0, 1, 2, ...;
die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet.
Zur Bedeutung der natürlichen Zahlen schreibt L. Kronecker (1823 -
1891): „Die ganzen Zahlen (in unserem Sprachgebrauch: die
natürlichen Zahlen) hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist
Menschenwerk.“
Giuseppe Peano (1858 - 1939) hat die natürlichen Zahlen zum erstem
Mal mathematisch präzise beschrieben. Er hat ein System von fünf
Axiomen (Grundsätzen) aufgestellt, um die natürlichen Zahlen zu
charakterisieren.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 11
Das Axiomensystem von PeanoDas Axiomensystem von Peano
Die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen lauten:
(P1) 0 ist eine natürliche Zahl.
(P2) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es einen eindeutig bestimmten
Nachfolger n‘ .
(P3) 0 ist kein Nachfolger.
(P4) Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger.
(P5) Induktionsaxiom: Wenn M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen
ist, die 0 enthält und mit jeder natürlichen Zahl n auch ihren Nachfolger
n‘ enthält, dann ist M = N.
Die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen lauten:
(P1) 0 ist eine natürliche Zahl.
(P2) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es einen eindeutig bestimmten
Nachfolger n‘ .
(P3) 0 ist kein Nachfolger.
(P4) Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger.
(P5) Induktionsaxiom: Wenn M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen
ist, die 0 enthält und mit jeder natürlichen Zahl n auch ihren Nachfolger
n‘ enthält, dann ist M = N.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 12
Definition der natürlichen ZahlenDefinition der natürlichen Zahlen
Mit den Peano-Axiomen kann man die natürlichen Zahlen definieren:
1 := 0‘ (= Nachfolger von 0)
2 := 1‘ (= 0‘‘)
3 := 2‘ (= 1‘‘ = 0‘‘‘)
...
Auch die Operation „+“ kann man definieren, z.B.:
n + 1 := n‘
n + 2 := n‘‘
...
Mit den Peano-Axiomen kann man die natürlichen Zahlen definieren:
1 := 0‘ (= Nachfolger von 0)
2 := 1‘ (= 0‘‘)
3 := 2‘ (= 1‘‘ = 0‘‘‘)
...
Auch die Operation „+“ kann man definieren, z.B.:
n + 1 := n‘
n + 2 := n‘‘
...
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 13
1.3 Die ganzen Zahlen1.3 Die ganzen Zahlen
Die natürlichen Zahlen N sind abgeschlossen bzgl. Summenbildung.
D.h. für je zwei natürliche Zahlen n, m ist auch die Summe n + m
immer eine natürliche Zahl.
Die Differenz zweier natürlicher Zahlen muß jedoch keine natürliche
Zahl sein (z.B. 3 - 5 N). Um eine Menge zu erhalten, die auch bzgl.
Differenzbildung abgeschlossen ist, müssen wir N erweitern.
Wir definieren die Menge der ganzen Zahlen wie folgt:
Z := N { -n | n N }.
Dabei ist -n das bzgl. der Addition inverse Element („negatives
Element“) von n, d.h. es gilt -n + n = 0.
Die natürlichen Zahlen N sind abgeschlossen bzgl. Summenbildung.
D.h. für je zwei natürliche Zahlen n, m ist auch die Summe n + m
immer eine natürliche Zahl.
Die Differenz zweier natürlicher Zahlen muß jedoch keine natürliche
Zahl sein (z.B. 3 - 5 N). Um eine Menge zu erhalten, die auch bzgl.
Differenzbildung abgeschlossen ist, müssen wir N erweitern.
Wir definieren die Menge der ganzen Zahlen wie folgt:
Z := N { -n | n N }.
Dabei ist -n das bzgl. der Addition inverse Element („negatives
Element“) von n, d.h. es gilt -n + n = 0.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 14
Rechengesetze in ZRechengesetze in Z
Um mit den ganzen Zahlen rechnen zu können, müssen wir auf der
Menge Z noch Rechenregeln definieren.
Wir definieren (wie üblich) für n, m N:
(-n) + (-m) = - (n + m)
(-n) (-m) = n m
usw.
Warum definieren wir die Rechenregeln gerade so?
Mit diesen Regeln gelten die üblichen Gesetze (Beweis als Übung):
Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, ...
Um mit den ganzen Zahlen rechnen zu können, müssen wir auf der
Menge Z noch Rechenregeln definieren.
Wir definieren (wie üblich) für n, m N:
(-n) + (-m) = - (n + m)
(-n) (-m) = n m
usw.
Warum definieren wir die Rechenregeln gerade so?
Mit diesen Regeln gelten die üblichen Gesetze (Beweis als Übung):
Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, ...
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 15
Wie viele ganze Zahlen gibt es?Wie viele ganze Zahlen gibt es?
Klar: Es gibt unendlich viele ganze Zahlen. Denn schon N enthält
unendliche viele Zahlen.
Nicht ganz so klar: Gibt es „mehr“ ganze als natürliche Zahlen?
1. Antwort: Ja, denn N ist eine echte Teilmenge von Z.
2. Antwort: Nein, denn die Mengen N und Z sind „gleichmächtig“.
Definition. Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es
eine bijektive Abbildung von A nach B gibt.
Wie könnte diese bijektive Abbildung von N nach Z aussehen?
Klar: Es gibt unendlich viele ganze Zahlen. Denn schon N enthält
unendliche viele Zahlen.
Nicht ganz so klar: Gibt es „mehr“ ganze als natürliche Zahlen?
1. Antwort: Ja, denn N ist eine echte Teilmenge von Z.
2. Antwort: Nein, denn die Mengen N und Z sind „gleichmächtig“.
Definition. Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es
eine bijektive Abbildung von A nach B gibt.
Wie könnte diese bijektive Abbildung von N nach Z aussehen?
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 16
N und Z sind gleichmächtigN und Z sind gleichmächtig
1.3.1 Satz. Die Mengen N und Z sind gleichmächtig.
Beweis. Wir definieren eine Abbildung f von N nach Z wie folgt:
f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = -1, f(3) = 2, f(4) = -2, f(5) = 3, f(6) = -3, ...
Damit wir jeder natürlichen Zahl genau eine ganze Zahl zugeordnet.
Umgekehrt wird auch jeder ganzen Zahl z genau eine natürliche
zugeordnet: Der ganzen Zahl z>0 wird 2z-1 N zugeordnet, z<0 wird
-2z N zugeordnet, und z = 0 wird 0 zugeordnet. Also ist f surjektiv.
Da aus f(n) = f(m) offensichtlich n = m folgt, ist f auch injektiv.
Also ist f bijektiv, also sind N und Z gleichmächtig.
1.3.1 Satz. Die Mengen N und Z sind gleichmächtig.
Beweis. Wir definieren eine Abbildung f von N nach Z wie folgt:
f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = -1, f(3) = 2, f(4) = -2, f(5) = 3, f(6) = -3, ...
Damit wir jeder natürlichen Zahl genau eine ganze Zahl zugeordnet.
Umgekehrt wird auch jeder ganzen Zahl z genau eine natürliche
zugeordnet: Der ganzen Zahl z>0 wird 2z-1 N zugeordnet, z<0 wird
-2z N zugeordnet, und z = 0 wird 0 zugeordnet. Also ist f surjektiv.
Da aus f(n) = f(m) offensichtlich n = m folgt, ist f auch injektiv.
Also ist f bijektiv, also sind N und Z gleichmächtig.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 17
AbzählbarkeitAbzählbarkeit
Definition. Eine Menge, die gleichmächtig zu N ist, heißt abzählbar.
Mit anderen Worten: Abzählbare Mengen kann man mit den
natürlichen Zahlen numerieren.
Satz 1.3.1 kann man dann auch wie folgt ausdrücken:
1.3.2 Folgerung. Die Menge Z der ganzen Zahlen ist abzählbar.
Definition. Eine Menge, die gleichmächtig zu N ist, heißt abzählbar.
Mit anderen Worten: Abzählbare Mengen kann man mit den
natürlichen Zahlen numerieren.
Satz 1.3.1 kann man dann auch wie folgt ausdrücken:
1.3.2 Folgerung. Die Menge Z der ganzen Zahlen ist abzählbar.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 18
1.4 Eigenschaften der ganzen Zahlen1.4 Eigenschaften der ganzen Zahlen
Wir wiederholen einige Eigenschaften der ganzen Zahlen.
Seien a und b ganze Zahlen.
Wir sagen “a teilt b” (geschrieben a b), falls es eine ganze Zahl z
gibt mit b = za.
Man nennt a einen Teiler von b, und b ein Vielfaches von a.
Beispiele. Es gelten die folgenden Aussagen:
2 10, –3 21, 8 –16, –15 –135, 2000 0.
Wir wiederholen einige Eigenschaften der ganzen Zahlen.
Seien a und b ganze Zahlen.
Wir sagen “a teilt b” (geschrieben a b), falls es eine ganze Zahl z
gibt mit b = za.
Man nennt a einen Teiler von b, und b ein Vielfaches von a.
Beispiele. Es gelten die folgenden Aussagen:
2 10, –3 21, 8 –16, –15 –135, 2000 0.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 19
Division mit RestDivision mit Rest
1.4.1 Division mit Rest. Seien a und b ganze Zahlen (b 0).
Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit
a = bq + r und 0 r b–1.
Beispiele.
a = 13, b = 4 13 = 43 + 1 (q = 3, r = 1)
a = –13, b = 4 –13 = 4 –4 + 3 (q = –4, r = 3)
a = 13, b = –4 13 = –4 –3 + 1 (q = –3, r = 1)
a = –13, b = –4 –13 = –44 + 3 (q = 4, r = 3).
Bemerkung: Die Eindeutigkeit kommt erst durch beide Eigenschaften
(a = bq + r und 0 r b–1) zustande.
1.4.1 Division mit Rest. Seien a und b ganze Zahlen (b 0).
Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit
a = bq + r und 0 r b–1.
Beispiele.
a = 13, b = 4 13 = 43 + 1 (q = 3, r = 1)
a = –13, b = 4 –13 = 4 –4 + 3 (q = –4, r = 3)
a = 13, b = –4 13 = –4 –3 + 1 (q = –3, r = 1)
a = –13, b = –4 –13 = –44 + 3 (q = 4, r = 3).
Bemerkung: Die Eindeutigkeit kommt erst durch beide Eigenschaften
(a = bq + r und 0 r b–1) zustande.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 20
Gemeinsame TeilerGemeinsame Teiler
Seien a und b ganze Zahlen.
Eine natürliche Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, falls
sowohl d a als auch d b gilt.
Beispiele: (a) Gemeinsame Teiler von 6 und 10: 1 und 2.
(b) Gemeinsame Teiler von –24 und 42: 1, 2, 3 und 6.
(c) Gemeinsame Teiler von 0 und 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Bemerkungen.
(a) Gemeinsame Teiler sind immer positiv.
(b) Im allgemeinen gibt es mehr als einen gemeinsamen Teiler.
Seien a und b ganze Zahlen.
Eine natürliche Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, falls
sowohl d a als auch d b gilt.
Beispiele: (a) Gemeinsame Teiler von 6 und 10: 1 und 2.
(b) Gemeinsame Teiler von –24 und 42: 1, 2, 3 und 6.
(c) Gemeinsame Teiler von 0 und 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Bemerkungen.
(a) Gemeinsame Teiler sind immer positiv.
(b) Im allgemeinen gibt es mehr als einen gemeinsamen Teiler.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 21
Teilerfremde ZahlenTeilerfremde Zahlen
Beobachtung: Je zwei ganze Zahlen haben mindestens einen
gemeinsamen Teiler, nämlich die Zahl 1.
Wir nennen zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn sie nur einen
gemeinsamen Teiler haben.
M.a.W.: Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemein-
samer Teiler die Zahl 1 ist.
Achtung: “Teilerfremd” bedeutet nicht, dass die Zahlen keinen
gemeinsamen Teiler haben!
Beispiele: 11 und 13, 5000 und 333, 1999 und 2000 sind
teilerfremd.
Beobachtung: Je zwei ganze Zahlen haben mindestens einen
gemeinsamen Teiler, nämlich die Zahl 1.
Wir nennen zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn sie nur einen
gemeinsamen Teiler haben.
M.a.W.: Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemein-
samer Teiler die Zahl 1 ist.
Achtung: “Teilerfremd” bedeutet nicht, dass die Zahlen keinen
gemeinsamen Teiler haben!
Beispiele: 11 und 13, 5000 und 333, 1999 und 2000 sind
teilerfremd.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 22
Größter gemeinsamer TeilerGrößter gemeinsamer Teiler
Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide gleich Null sind.
Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte ganze
Zahl unter den gemeinsamen Teilern von a und b.
Beispiele.
(a) 6 ist größter gemeinsamer Teiler von 12 und 18,
denn die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3, 6;
unter diesen ist 6 ist größte Zahl.
(b) Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd,
falls ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist.
Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide gleich Null sind.
Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte ganze
Zahl unter den gemeinsamen Teilern von a und b.
Beispiele.
(a) 6 ist größter gemeinsamer Teiler von 12 und 18,
denn die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3, 6;
unter diesen ist 6 ist größte Zahl.
(b) Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd,
falls ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 23
Der ggTDer ggT
Tatsache/Definition: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b, die nicht
beide gleich Null sind, existiert stets ein größter gemeinsamer Teiler;
dieser ist eindeutig bestimmt. Er wird mit ggT(a, b) bezeichnet.
Beispiele. (a) ggT(12, 18) = 6.
(b) ggT(1001, 2001) = 1.
(Denn: Jeder gemeinsame Teiler t von 1001 und 2001 teilt
auch 2001 – 1001 = 1000. Also teilt t auch 1001 – 1000 =
1.)
(c) ggT(–15, –21) = 3.
(d) Für jede natürliche Zahl a gilt: ggT(a, 0) = a. (Klar: a ist der
größte Teiler von a. Da a auch die Zahl 0 teilt, ist a = ggT(a, 0).)
Tatsache/Definition: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b, die nicht
beide gleich Null sind, existiert stets ein größter gemeinsamer Teiler;
dieser ist eindeutig bestimmt. Er wird mit ggT(a, b) bezeichnet.
Beispiele. (a) ggT(12, 18) = 6.
(b) ggT(1001, 2001) = 1.
(Denn: Jeder gemeinsame Teiler t von 1001 und 2001 teilt
auch 2001 – 1001 = 1000. Also teilt t auch 1001 – 1000 =
1.)
(c) ggT(–15, –21) = 3.
(d) Für jede natürliche Zahl a gilt: ggT(a, 0) = a. (Klar: a ist der
größte Teiler von a. Da a auch die Zahl 0 teilt, ist a = ggT(a, 0).)
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 24
Berechnung des ggTBerechnung des ggT
1.4.2 Satz. Seien a und b ganze Zahlen mit 0 < b < a. Seien q
und r diejenigen ganzen Zahlen mit
a = qb + r und 0 r < b.
Dann gilt ggT(a, b) = ggT(b, r).
Ist dies ein guter Satz? Ja, denn er führt die Berechnung des ggT
großer Zahlen (a, b) auf die Berechnung des ggT kleinerer Zahlen
(b, r) zurück. Eventuell muss man den Prozess wiederholen.
Beispiel: ggT(2001, 1001) = ?
2001 = 11001 + 1000, 1001 = 1 1000 + 1;
also ggT(2001, 1001) = ggT(1001, 1000) = ggT(1000, 1) = 1.
1.4.2 Satz. Seien a und b ganze Zahlen mit 0 < b < a. Seien q
und r diejenigen ganzen Zahlen mit
a = qb + r und 0 r < b.
Dann gilt ggT(a, b) = ggT(b, r).
Ist dies ein guter Satz? Ja, denn er führt die Berechnung des ggT
großer Zahlen (a, b) auf die Berechnung des ggT kleinerer Zahlen
(b, r) zurück. Eventuell muss man den Prozess wiederholen.
Beispiel: ggT(2001, 1001) = ?
2001 = 11001 + 1000, 1001 = 1 1000 + 1;
also ggT(2001, 1001) = ggT(1001, 1000) = ggT(1000, 1) = 1.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner
April 2005Seite 25
BeispielBeispiel
ggT(4711, 1024) = ?
4711 = 4 1024 + 615 ggT(4711, 1024) = ggT(1024, 615)
1024 = 1 615 + 409 ... = ggT(1024, 615) = ggT(615, 409)
615 = 1 409 + 206 ... ggT(615, 409) = ggT(409, 206)
409 = 1 206 + 203 ... ggT(409, 206) = ggT(206, 203)
206 = 1 203 + 3 ... ggT(206, 203) = ggT(203, 3)
203 = 67 3 + 2 ... ggT(203, 3) = ggT(3, 2)
3 = 1 2 + 1 ... ggT(3, 2) = ggT(2, 1) = 1.
ggT(4711, 1024) = ?
4711 = 4 1024 + 615 ggT(4711, 1024) = ggT(1024, 615)
1024 = 1 615 + 409 ... = ggT(1024, 615) = ggT(615, 409)
615 = 1 409 + 206 ... ggT(615, 409) = ggT(409, 206)
409 = 1 206 + 203 ... ggT(409, 206) = ggT(206, 203)
206 = 1 203 + 3 ... ggT(206, 203) = ggT(203, 3)
203 = 67 3 + 2 ... ggT(203, 3) = ggT(3, 2)
3 = 1 2 + 1 ... ggT(3, 2) = ggT(2, 1) = 1.